数学建模习题指导
2023数学建模d题目解题思路总结
2023数学建模d题目解题思路总结一、题目背景2023年数学建模D题目是一个具有实际应用背景的问题，涉及到数学建模、数值计算和数据分析等多个领域的知识。
该问题需要我们根据已知的数据和条件，建立数学模型并进行求解，以解决实际问题。
二、解题思路分析1. 明确问题性质：首先需要了解题目的具体要求，包括需要解决的问题是什么，需要达到的目标是什么，以及限制条件有哪些等。
2. 数据收集与分析：根据题目提供的数据和条件，收集相关数据并进行初步分析，了解数据的基本特征和规律。
3. 建立数学模型：根据问题的性质和数据的特征，选择合适的数学模型进行建模。
可以考虑使用线性模型、非线性模型、回归模型、统计模型等。
4. 模型求解：使用合适的数值计算方法对模型进行求解，包括迭代、优化、数值积分等方法。
同时需要注意模型的收敛性和稳定性。
5. 模型验证与优化：对求解得到的模型进行验证，观察实际数据与模型预测结果的差异，并进行必要的优化和调整。
三、具体解题步骤1. 建立变量关系：根据题目提供的数据，将相关变量之间的关系进行初步分析，建立初步的变量关系图。
2. 收集数据：根据题目的要求，收集相关数据并进行筛选和处理，确保数据的准确性和完整性。
3. 建立模型：根据变量的关系和数据的特征，选择合适的数学模型进行建模。
如线性回归模型、非线性回归模型等。
4. 模型求解与验证：使用合适的数值计算方法对模型进行求解，并对求解得到的参数进行验证和调整。
可以使用MATLAB、Python等编程语言来实现。
5. 模型应用与优化：将求解得到的模型应用于实际问题中，观察实际数据与模型预测结果的差异，并进行必要的优化和调整。
同时，还需要考虑模型的泛化能力，即对未知数据的预测能力。
6. 报告撰写：将整个解题过程和结果进行总结和归纳，形成完整的报告。
报告中需要包括问题的描述、数据的收集与分析、模型的建立与求解、模型的验证与优化、结论与建议等内容。
同时，还需要注意报告的格式和排版，确保报告的清晰和美观。
2023年数学建模国赛c题讲解
2023年数学建模国赛C题讲解一、题目背景2023年数学建模国赛C题是关于金融领域的一个实际问题，要求参赛者运用数学模型和相关知识来解决与金融市场相关的挑战。
本题旨在考察参赛者对于金融市场运作规律的理解和分析能力，以及运用数学建模方法解决实际问题的能力。
二、题目内容2023年数学建模国赛C题的具体内容为：某一金融市场中存在大量投资者，他们根据市场上的信息进行投资决策。
假设该金融市场具有一定的波动性，投资者的交易行为对市场价格也会产生一定影响。
请分析和建立数学模型来研究以下问题：1. 分析不同类型投资者的行为特征，包括长期投资者、短期投机者和市场制造者等；2. 研究市场价格的波动规律，并提出相应的预测和控制策略；3. 考虑交易成本、信息不对称等因素对投资者决策的影响，提出相应的交易规则和风险管理策略。
三、解题思路1. 了解金融市场基本知识：参赛者需要对金融市场的基本运作规律和相关知识有一定的了解，包括市场价格的形成机制、投资者行为特征、交易规则等方面的知识。
2. 建立数学模型：参赛者需要从数学建模的角度出发，分析投资者行为的数学模型、市场价格的波动规律的数学模型，以及交易成本、信息不对称等因素对投资者决策的数学模型。
3. 提出预测和控制策略：在建立数学模型的基础上，参赛者需要提出相应的预测和控制策略，包括对市场价格波动的预测方法和交易规则、风险管理策略等方面的内容。
四、解题步骤1. 数据收集和分析：参赛者需要收集金融市场相关的数据，包括市场价格的历史数据、投资者交易行为数据等，对数据进行分析，了解市场的波动规律和投资者行为特征。
2. 建立数学模型：根据数据分析的结果，参赛者需要建立相应的数学模型，包括投资者行为的数学模型、市场价格波动的数学模型等。
3. 预测和控制策略提出：在建立数学模型的基础上，参赛者需要提出相应的预测和控制策略，包括利用数学模型进行市场价格波动的预测、设计交易规则和风险管理策略。
数学建模lingo作业-习题讲解
基础题：1．目标规划问题最近，某节能灯具厂接到了订购16000套A 型和B 型节能灯具的订货合同，合同中没有对这两种灯具的各自数量做要求，但合同要求工厂在一周内完成生产任务并交货。
根据该厂的生产能力，一周内可以利用的生产时间为20000min ，可利用的包装时间为36000min 。
生产完成和包装一套A 型节能灯具各需要2min ；生产完成和包装完成一套B 型节能灯具各需要1min 和3min 。
每套A 型节能灯成本为7元，销售价为15元，即利润为8元；每套B 型节能灯成本为14元，销售价为20元，即利润为6元。
厂长首先要求必须按合同完成订货任务，并且即不要有足量，也不要有超量。
其次要求满意销售额达到或者尽量接近275000元。
最后要求在生产总时间和包装总时间上可以有所增加，但过量尽量地小。
同时注意到增加生产时间要比包装时间困难得多。
试为该节能灯具厂制定生产计划。
解：将题中数据列表如下：根据问题的实际情况，首先分析确定问题的目标级优先级。
第一优先级目标：恰好完成生产和包装完成节能灯具16000套，赋予优先因子p1；第二优先级目标：完成或者尽量接近销售额为275000元，赋予优先因子p2； 第三优先级目标：生产和包装时间的增加量尽量地小，赋予优先因子p3； 然后建立相应的目标约束。
在此，假设决策变量12,x x 分别表示A 型，B 型节能灯具的数量。
（1） 关于生产数量的目标约束。
用1d -和1d +分别表示未达到和超额完成订货指标16000套的偏差量，因此目标约束为1111211min ,..16000z d d s t x x d d -+-+=+++-=要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小（2） 关于销售额的目标约束。
用2d -和2d +分别表示未达到和超额完成满意销售指标275000元的偏差值。
因此目标约束为221222min ,..1520-275000.z d s t x x d d --+=++=要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，(另外：d +要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小) （3） 关于生产和包装时间的目标约束。
全国数学建模竞赛经典解题步骤
一、看清楚题目。
1.文字理解
2.专业词语要搞懂意思
二、搜集参考文献（三人分工搜索）
1.中国知网、百度一下
2.查看资料（没用的就剔除）分类浏览
三、精度有用的资料
（有用的记下来并标记可以解决什么问题、或者问题几）
四、分析
1.每个人想出一个或两个方法
2.经过讨论，选出两个较好的方法或思路
五、做题目
1.按照既定的方法进行分工
2.每个人都要积极的解决问题
3.要积极交流问题的进度和遇到的麻烦
队长：1.整个题目的全盘掌握（清楚和各题目的关系）
2.协调统筹问题的解决和分配
3.了解问题解决的进度（进度的安排和控制）
阅卷标准：
1.假设的合理性
2.建模的创新性
3.结果的合理性
4.文字表述水平。
数学建模练习题用数学建模解决实际问题
数学建模练习题用数学建模解决实际问题数学建模练习题是一种常见的数学应用题型，通过建立数学模型来解决实际问题。
本文将介绍数学建模练习题的基本概念和解题思路，并以实例演示如何用数学建模解决实际问题。
一、数学建模练习题的基本概念数学建模练习题是一种将实际问题转化为数学问题，并通过建立数学模型来对问题进行定量分析和解决的题型。
在解题过程中，需要掌握数学建模的基本思想和模型构建方法。
二、数学建模练习题的解题思路解决数学建模练习题的关键在于建立合适的数学模型来描述实际问题，并通过数学方法对模型进行求解。
下面以一个实例来说明解题思路。
【实例】某果园的苹果和梨的产量问题某果园今年的苹果和梨的产量分别为A吨和B吨，已知苹果的单位售价为a元/吨，梨的单位售价为b元/吨。
根据市场需求和销售情况，果园需要制定一个合理的售价方案，使得果园的总收入最大化。
假设市场需求量为D吨，且果园的总产量不会超过需求量。
针对这个问题，我们需要建立一个数学模型来描述果园的总收入与售价之间的关系。
首先，我们可以设定苹果的售价为x元/吨，梨的售价为y元/吨。
然后，我们可以设定苹果和梨的销售量分别为X吨和Y 吨。
根据题目中的条件，我们可以得到以下等式：X + Y ≤ D （1）X ≤ A （2）Y ≤ B （3）另外，我们还可以得到果园的总收入R与售价x和y的关系：R = X * x + Y * y我们的目标是求取使果园总收入最大化的售价x和y的取值。
由于题目没有给出具体的数值，我们无法通过求导等方法直接得到结果。
因此，我们可以通过构建不同的数学模型来求解。
一种常见的方法是利用线性规划的思想求解。
我们可以将目标函数R与约束条件（1）、（2）和（3）一起构建一个线性规划问题，然后通过线性规划的解法求解售价x和y的取值。
另外，我们还可以通过试探法或者穷举法来寻找可能的最优解。
我们可以固定一个售价，然后根据约束条件计算苹果和梨的销售量，进而计算总收入。
数学建模课后习题答案
第一章 课后习题6.利用1.5节药物中毒施救模型确定对于孩子及成人服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量。
解：假设病人服用氨茶碱的总剂量为a ，由书中已建立的模型和假设得出肠胃中的药量为：)()0(mg M x =由于肠胃中药物向血液系统的转移率与药量)(t x 成正比，比例系数0>λ，得到微分方程M x x dtdx=-=)0(,λ （1） 原模型已假设0=t 时血液中药量无药物，则0)0(=y ，)(t y 的增长速度为x λ。
由于治疗而减少的速度与)(t y 本身成正比，比例系数0>μ，所以得到方程：0)0(,=-=y y x dtdyμλ （2） 方程（1）可转换为：tMe t x λ-=)(带入方程（2）可得：)()(t t e e M t y λμμλλ----=将01386=λ和1155.0=μ带入以上两方程，得：t Me t x 1386.0)(-= )(6)(13866.01155.0---=e e M t y t针对孩子求解，得：严重中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 87.494=； 致命中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 8.4694= 针对成人求解：严重中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 83.945= 致命时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 74.1987=课后习题7.对于1.5节的模型，如果采用的是体外血液透析的办法，求解药物中毒施救模型的血液用药量的变化并作图。
解：已知血液透析法是自身排除率的6倍，所以639.06==μut e t x λ-=1100)(，x 为胃肠道中的药量，1386.0=λ )(6600)(t t e e t y λμ---=1386.0,639.0,5.236)2(,1100,2,====≥-=-λλλu z e x t uz x dtdzt 解得：()2,274.112275693.01386.0≥+=--t e e t z t t用matlab 画图:图中绿色线条代表采用体外血液透析血液中药物浓度的变化情况。
数学建模课后习题答案
方程及方程组的求解1、路灯照明问题。
在一条20m 宽的道路两侧，分别安装了一只2kw 和一只3kw 的路灯， 它们离地面的高度分别为5m 和6m 。
在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时 （1）两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？ （2）如果3kw 的路灯的高度可以在3m 到9m 之间变化，如何路面上最暗点的亮度最大？ （3）如果两只路灯的高度均可以在3m 到9m 之间变化，结果又如何？解：根据题意，建立如图模型P1=2kw P2=3kw S=20m 照度计算公式：2sin r p k I α= （k 为照度系数，可取为1；P 为路灯的功率）（1）设Q(x,0)点为两盏路灯连线上的任意一点，则两盏路灯在Q 点的照度分别为21111sin R p k I α= 22222sin R p k I α=22121x h R += 111sin R h =α22222)(x s h R -+= 222sin R h =αQ 点的照度：3232322222322111))20(36(18)25(10))((()(()(x x x s h h P x h h P x I -+++=-+++=X S P1 P2R1 α1α2 Q yx OR2 h1 h2要求最暗点和最亮点，即为求函数I(x)的最大值和最小值，所以应先求出函数的极值点5252522222522111'))20(36()20(54)25(30))(()(3)(3)(x x x x x s h x s h P x h x h P x I -+-++-=-+-++-=利用MATLAB 求得0)('=x I 时x 的值代码：s=solve('(-30*x)/((25+x^2)^(5/2))+(54*(20-x))/((36+(20-x)^2)^(5/2))'); s1=vpa(s,8); s1运行结果： s1 =19.97669581 9.338299136 8.538304309-11.61579012*i .2848997038e-1 8.538304309+11.61579012*i因为x>=0，选取出有效的x 值后，利用MATLAB 求出对应的I(x)的值，如下表：x 0 0.028489970 9.3382991 19.976695 20 I(x) 0.081977160.081981040.018243930.084476550.08447468综上，x=9.33m 时，为最暗点；x=19.97m 时，为最亮点。
学会快速解决数学建模题
学会快速解决数学建模题数学建模题在学生中间是一个相对难题，因为它要求学生具备一定的数学基础和解决问题的能力。
然而，随着对这一领域的研究不断深入，一些方法和技巧已经被开发出来，可以帮助学生更好地解决数学建模题。
本文将介绍一些快速解决数学建模题的方法和技巧，希望能对学生有所帮助。
1. 理解问题解决数学建模题的第一步是充分理解问题。
仔细阅读问题陈述，确定问题的要求和给定条件。
理解问题的关键是在数学建模题中找到抽象和实际问题之间的联系，将实际问题转化为数学表达式和方程。
2. 分析问题分析问题是解决数学建模题的关键步骤。
通过分析问题，可以确定问题所涉及的数学概念和原理，找到解决问题的合适方法。
在分析问题时，可以使用图表、公式、等式等方式进行表达和计算。
3. 创造模型建立适当的数学模型是解决数学建模题的关键步骤之一。
根据问题的性质和要求，可以选择不同的数学模型，如线性模型、非线性模型、概率模型等。
在建立模型时，需要考虑问题的实际情况，并根据问题的特点和要求进行合理的假设。
4. 进行计算完成建模后，可以开始进行具体的计算。
根据所建立的数学模型，使用适当的计算方法和技巧进行计算。
在计算过程中，应该注意计算的准确性和精确度，并注意使用适当的数学工具，如计算器、计算软件等。
5. 分析和解决计算完成后，需要对结果进行分析和解释。
比较结果与问题要求的一致性，并进行合理的解释和推理。
如果结果与问题要求不一致，则需要重新检查模型和计算方法，找出错误并进行修正。
总结通过以上方法和技巧，学生可以更好地解决数学建模题。
然而，要想真正掌握快速解决数学建模题的能力，需要不断的实践和经验积累。
在解决数学建模题的过程中，关键是要保持耐心和积极性，并灵活运用数学知识和技巧。
希望本文所介绍的方法和技巧能对学生在解决数学建模题时提供一些帮助和指导。
只有通过不断学习和实践，才能真正掌握快速解决数学建模题的能力。
2023年高教社杯数学建模d题解题思路
对于2023年高教社杯数学建模D题，我们可以按照以下步骤进行解题思路的梳理：1. 明确问题目标：首先需要明确题目所要求解的问题目标。
本题目要求我们根据给定的数据和条件，建立一个数学模型，来解决一个实际问题。
具体而言，题目给出了一组城市之间的距离数据，以及每个城市的人口数据。
任务是确定一个合适的方案，将这些城市划分为若干个区域，使得每个区域都包含一定数量的人口和具有合理的距离分布。
2. 分析问题约束条件：在解题过程中，需要明确问题的约束条件。
本题目中，约束条件包括每个区域的人口数量和距离分布。
我们需要根据这些约束条件来建立数学模型。
3. 建立数学模型：根据题目要求和约束条件，我们可以选择线性规划方法来解决这个问题。
首先，需要定义变量，包括每个区域的人口数量和距离分布。
然后，根据题目要求和约束条件，建立线性规划模型。
该模型的目标函数可以是最大化每个区域的人口数量或最小化总距离，而约束条件可以包括每个区域的人口数量范围、距离范围等。
4. 执行计算：使用线性规划求解器进行计算，求解最优解。
在本题目中，可以使用MATLAB或Python等编程语言中的线性规划求解器进行计算。
5. 结果解释和评价：对计算结果进行解释和评价。
根据最优解，我们可以得出每个区域的人口数量和距离分布。
然后，需要对结果进行评价，检查是否满足题目的要求和约束条件。
如果不满足，需要重新调整数学模型或参数设置，并进行再次计算。
对于2023年高教社杯数学建模D题，需要明确问题目标、分析问题约束条件、建立数学模型、执行计算并解释和评价结果。
这些步骤是解题的关键步骤，可以帮助我们得出正确的答案并解决实际问题。
数学建模作业指导
数学建模作业指导在进行数学建模作业时，我们需要遵循一定的步骤和方法，以确保我们的成果准确、完整和可靠。
本文将介绍一些数学建模作业的指导原则和方法。
一、问题分析在进行数学建模作业前，我们首先需要仔细分析问题，确保我们对问题的理解准确。
通过仔细观察问题陈述，确定问题的关键要素和约束条件，理清问题的逻辑结构和问题类型。
二、模型建立在问题分析的基础上，我们开始着手构建数学模型。
数学模型是对实际问题进行抽象和描述的一种数学形式。
常见的数学模型包括线性规划模型、非线性规划模型、动态规划模型等。
根据问题的特点，选择合适的数学模型进行建立。
1. 建立数学表达式：将问题中的变量、约束条件和目标函数通过数学符号进行表达，并建立数学方程式或不等式。
2. 建立数学关系：将问题中的因果关系、随机关系、量变关系等通过数学方法进行建模，确保模型的准确性和可靠性。
3. 建立参数设定：确定模型中的参数值，并进行合理的设定和推导。
三、模型求解模型建立完成后，我们需要对模型进行求解，得到问题的解答。
数学建模中常用的求解方法包括优化算法、最优化工具和数值计算等。
1. 优化算法：通过优化算法寻找模型的全局最优解或局部最优解，常用的优化算法包括蚁群算法、遗传算法、模拟退火算法等。
2. 最优化工具：使用最优化软件工具，如Matlab、Gurobi等，进行模型求解和优化。
3. 数值计算：对于复杂的数学模型，可以采用数值计算方法进行求解，如差分法、积分法等。
四、模型评价当模型求解完成后，我们需要对模型的可行性和有效性进行评价。
评价模型的指标包括模型的精度、稳定性、灵敏度等。
1. 精度评价：通过与实际数据进行对比，评估模型的预测准确性和误差水平。
2. 稳定性评价：通过模型的参数稳定性和鲁棒性评估模型的可靠性和稳定性。
3. 灵敏度评价：评估模型对于输入变量和参数的敏感程度，以判断模型对于外部变化的响应能力。
五、结果分析与应用在模型评价后，我们需要对结果进行深入分析和应用。
数学建模课后习题作业
数学建模课后习题作业选修课——数学建模部分习题详细解答【陈文滨】1、在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？【模型假设】（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形．（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面．这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件．（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地．为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的．因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的)，此时三只脚是无法同时着地的。
【模型建立】在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来．首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动．生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的．于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形．注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。
于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置．为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题．如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为数学模型：已知f（θ）和g（θ）是θ的非负连续函数，对任意θ，f（θ）•g(θ)＝0，证明：存在θ0∈[0，π]，使得f（θ0）＝g（θ0）＝0成立。
【模型求解】如果f（0）＝g（0）＝0，那么结论成立。
如果f（0）与g（0）不同时为零，不妨设f（0）＞0，g（0）＝0。
这时，将长方形ABCD绕点O 逆时针旋转角度π后，点A，B分别与C，D互换，但长方形ABCD在地面上所处的位置不变，由此可知，f（π）＝g（0），g（π）＝f（0）.而由f（0）＞0，g（0）＝0，得g（π）＞0， f （π）＝0。
数学建模例题及解析
.例1差分方程——资金(de)时间价值问题1:抵押贷款买房——从一则广告谈起每家人家都希望有一套(甚至一栋)属于自己(de)住房,但又没有足够(de)资金一次买下,这就产生了贷款买房(de)问题.先看一下下面(de)广告(这是1991年1月1日某大城市晚报上登(de)一则广告),任何人看了这则广告都会产生许多疑问,且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等,人们关心(de)是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢银行贷款(de)利息是多少呢为什么每个月要付1200元呢是怎样算出来(de)因为人们都知道,若知道了房价(一次付款买房(de)价格),如果自己只能支付一部分款,那就要把其余(de)款项通过借贷方式来解决,只要知道利息,就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了,从而也就可以对是否要去买该广告中所说(de)房子作出决策了.现在我们来进行数学建模.由于本问题比较简单无需太多(de)抽象和简化.a.明确变量、参数,显然下面(de)量是要考虑(de)：需要借多少钱,用记；月利率(贷款通常按复利计)用R记；每月还多少钱用x记；借期记为N个月.b．建立变量之间(de)明确(de)数学关系.若用记第k个月时尚欠(de) 款数,则一个月后(加上利息后)欠款 , 不过我们又还了x元所以总(de)欠款为k=0,1,2,3,而一开始(de)借款为.所以我们(de)数学模型可表述如下(1)c. (1)(de)求解.由(2)这就是之间(de)显式关系.d．针对广告中(de)情形我们来看(1)和(2)中哪些量是已知(de).N=5年＝60个月,已知；每月还款x＝1200元,已知 A.即一次性付款购买价减去70000元后剩下(de)要另外去借(de)款,并没有告诉你,此外银行贷款利率R也没告诉你,这造成了我们决策(de)困难.然而,由(2)可知60个月后还清,即,从而得(3)A和x之间(de)关系式,如果我们已经知(3)表示N＝60,x＝1200给定时0A.例如,若R ＝0．01,则由(3)可算得道银行(de)贷款利息R,就可以算出053946元.如果该房地产公司说一次性付款(de)房价大于70000十53946＝123946元(de)话,你就应自己去银行借款.事实上,利用图形计算器或Mathematica这样(de)数学软件可把(3)(de)图形画出来,从而可以进行估算决策.以下我们进一步考虑下面两个问题.注1问题1标题中“抵押贷款”(de)意思无非是银行伯你借了钱不还,因而要你用某种不动产(包括房子(de)产权)作抵押,即万一你还不出钱了,就没收你(de)不动产.例题1某高校一对年青夫妇为买房要用银行贷款60000元,月利率0．01,贷款期25年＝300月,这对夫妇希望知道每月要还多少钱,25年就可还清.假设这对夫妇每月可有节余900元,是否可以去买房呢解：现在(de)问题就是要求使 (de)x,由(2)式知现＝60000,R＝0．01,k＝300,算得x=632元,这说明这对夫妇有能力买房.例题2 恰在此时这对夫妇看到某借贷公司(de)一则广告：“若借款60000元,22年还清,只要；(i)每半个月还316元；(ii)由于文书工作多了(de)关系要你预付三个月(de)款,即316×6＝1896元.这对夫妇想：提前三年还清当然是好事,每半个月还316元,那一个月不正好是还632元,只不过多跑一趟去交款罢了；要预付18％元,当然使人不高兴,但提前三年还清省下来(de)钱可是22752元哟,是1896元(de)十几倍哪这家公司是慈善机构呢还是仍然要赚我们(de)钱呢这对夫妇请教你给他们一个满意(de)回答.具体解法略.问题2：养老基金今后,当年青人参加工作后就要从其每月工资中扣除一部分作为个人 (de)养老基金,所在单位（若经济效益好(de)话）每月再投入一定数量(de)钱,再存入某种利息较高而又安全(de)“银行”(也可称为货币市场)到60岁退休时可以动用.也就是说,若退休金不足以维持一定(de)生活水平时,就可以动用自己(de)养老基金,每月取出一定(de)款项来补贴不足部分.假设月利率及＝0．01不变,还允许在建立养老基金时自己可以一次性地存入A(不论多少),每月存入y元(个人和单位投入(de)总和)；通常从一笔钱0三十一岁开始到六十岁就可以动用.这当然是一种简化(de)假设,但作为估算仍可作为一种考虑(de)出发点.本问题实际上有两个阶段,即退休前和退休后,其数学模型为其中x为每月要从养老基金中提出(de)款项.习题1 某大学年青教师小李从31岁开始建立自己(de)养老基金,他把已有(de)积蓄1万元也一次性地存入,已知月利率为0．01 (以复利计),每月存入300元,试问当小李60岁退休时,他(de)退休基金有多少又若,他退休后每月要从银行提取l000元,试问多少年后他(de)退休基金将用完你能否根据你了解(de)实际情况建立一个较好(de)养老基金(de)数学模型及相应(de)算法和程取软件).习题2 渔业(林业)管理问题设某养鱼池(或某海域)一开始有某种鱼条,鱼(de)平均年净繁殖率为R,每年捕捞x条,记第N年有鱼条,则池内鱼数按年(de)变化规律为注意,在实际渔业经营中并不按条数计算而是以吨记数(de).若对某海域(de)渔业作业中＝100000吨,R＝0．02,x＝1000吨,试问会不会使得若干年后就没有鱼可捕捞了（资源枯竭了）例2比例分析法——席位分配问题：某学校有三个系联合成立学生会,（1）试确定学生会席位分配方案.（2）若甲系有100名,乙系60名,丙系40名.学生会设20个席位,分配方案如何(3)若丙系有3名学生转入甲系,3名学生转入乙系,分配方案有何变化（4）因为有20个席位(de)代表会议在表决提案时有可能出现10： 10(de)平局,会议决定下一届增加1席,若在第（3）问中将学生会席位增加一席呢（5）试确定一数量指标衡量席位分配(de)公平性,并以此检查（1）—（4）.公平而又简单(de)席位分配办法是按人数(de)比例分配,若甲系有100名,乙系60名,丙系40名.学生会设20个席位,三个系分别应有10,6,4个席位.如果丙系有6名学生转入其他两系学习,各系人数如表所示系别学生人数所占比例（%）按比例分配(de)席位按惯例分配(de)席位甲10310乙636第二列所示,按比例分配席位时,出现了小数(见表中第四列)．在将取得整数(de)19席分配完毕后,剩下(de)1席按照惯例分给余数最大(de)丙系,于是三个系仍分别占有10、6、4个席位．因为有20个席位(de)代表会议在表决提案时有可能出现10：10(de)平局,会议决定下一届增加1席,于是他们按照上述惯例重新分配席位,计算(de)结果令人吃惊：总席位增加1席,丙系反而减少1席,见下表．看来,要解决这个矛盾,必须重新研究所谓惯例分配方法,提出更加“公平”(de)办法．下面就介绍这样一个席位分配模型．设A、B两方人数分别是p1 和p2,分别占有n1 和n2 个席位,则两方每个席位所代表(de)人数分别是p1 ／n12和p2／n2．很明显,仅当这两个数值相等时,席位(de)分配才是公平(de)．但是,通常它们不会相等,这时席位分配得不公平.不公平(de)程度可以用数值来表示,它衡量(de)是“绝对不公平”．从下表所举(de)例子来看,A、B之间(de)“绝对不公平”与C、D之间是一样(de).但是从常识(de)角度看,A、B之间显然比C、D之间存在着更加严重(de)不公平．所以“绝对不公平”不是一个好(de)衡量标准．p n p/n p1/n1-p2/n2 A120101212-10=2B1001010C102010102102-100=2D100010100为了改进绝对标准,我们自然想到用相对标准．因为p／n越大,每个席位代表(de)人数越多,或者说,总人数一定时分配(de)席位越少.所以,如果p1／n13＞p2/n2,则A方是吃亏(de),或者说,对A是不公平(de),由此,我们这样定义“相对不公平”：若p1／n1＞p2／n2,则称为对A(de)相对不公平值,记做若p1／n1＜p2／n2,则称为对B(de)相对不公平值,记做假设A、B两方已分别占有n1和n2个席位,我们利用相对不公平(de)城念来讨论,当总席位再增加1席时,应该给且A方还是B方不失一般性,可设p1／n1＞p2/n2,即此时对A方不公平, ,有定义．当再分配1个席位时,关于p／n(de)不等式有以下三种可能：1)p1／(n1十1)＞p2／n2,这说明即使A方增加1席,仍然对A不公平,所以这1席当然应给A方；2)p1／(n1十1)＜p2／n2,说明当A方增加1席位,将对B不公平,此时应参照式,计算对B(de)相对不公平值3）说明当B方增加1席时,将对A方不公平,此时计算得对A (de)相对不公平值是（注意：在p1/n1p2/n2(de)假设下,不可能出现p1／n1＜p2／(n2+1)(de)情况因为公平(de)席位分配方法应该使得相对不公平(de)数值尽量地小,所以如果则这1席应给A方；反之应给B方．根据(3)、（4）两式,(5)式等价于并且不难证明1从上述第1)种情况(de)p1／(n1十1)＞p2／p2也可推出. 于是我们(de)结论是：当(6)式成立时,增加(de)1席应分配A方；反之,应分配给B方．若记,则增加(de)1席位应分配给Q值较大(de)一方．将上述方法可以推广到有m方分配席位(de)情况．下面用这个方法,重新讨论本节开始时提出(de),三个系分配21个席位(de)问题．首先每系分配1席,然后计算：甲系n1＝1,乙系, n2=1,丙系,n3=1,因为最大,所以第4席应分配给甲系,继续计算：甲系n1＝2,将与上面(de)相比,最大,第5席应分给乙系,继续计算.如此继续,直到第21席分配给某个系为止（详见列表）．n甲系乙系丙系1（4）（5）578（9）2（6）（8）（15）3（7）（12）（21）4（10）（14）5（11）（18）6（13）7（16）8（17）9（19）10（20）11可以看出,用Q值法,丙系保住了它险些丧失(de)1席.你觉得这个方法公平吗习题：学校共1000名学生,235入住在A宿合,333人住在B宿合,432人住在C宿合．学生们要组织一个10人(de)委员会,试用下列办法分配各宿舍(de)委员数．1）惯例(de)方法,印按比例分配完整数名额后,剩下名额给余数最大者. 2）Q值方法.如果委员会从10人增至15人,分配名额将发生什么变化 ,例3 状态转移问题——常染色体遗传模型随着人类(de)进化,人们为了揭示生命(de)奥秘,越来越注重遗传学(de)研究,特别是遗传特征(de)逐代传播,引起人们(de)注意.无论是人,还是动植物都会将本身(de)特征遗传给下一代,这主要是因为后代继承了双亲(de)基因,形成自己(de)基因对,基因对将确定后代所表现(de)特征.下面,我们来研究两种类型(de)遗传：常染色体遗传和x—链遗传.根据亲体基因遗传给后代(de)方式,建立模型,利用这些模型可以逐代研究一个总体基因型(de)分布.在常染色体遗传中,后代从每个亲体(de)基因对中各继承一个基因,形成自己(de)基因对,基因对也称基因型.如果我们所考虑(de)遗传特征是有两个基因A和控制(de),那么就有三种基因对,记为AA,A,.例如,金草鱼由两个遗传基因决定花(de)颜色,基因型是AA(de)金鱼草开红花,型(de)开粉红色花,而型(de)开白花.又如人类(de)眼睛(de)颜色也是提高通过常染色体遗传控制(de).基因型是(de)人,眼睛是棕色,基因型是(de)人,眼睛是兰色.这里因为都表示了同一外部特征,我们认为基因A 支配基因,也可以认为基因对于A 来说是隐性(de)农场(de)植物园中某种植物(de)基因型为AA,A 和.农场计划采用AA 型(de)植物与每种基因型植物相结合(de)方案培育植物后代.那么经过若干年后,这种植物(de)任一代(de)三种基因型分布如何 第一步：假设：令 ,2,1,0=n .（1） 设n n b a ,和n c 分别表示第n 代植物中,基因型为AA,Aa 和aa(de)植物占植物总数(de)百分率.令)(n x 为第n 代植物(de)基因型分布:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n c b a x )(当n=0时⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000)0(c b a x表示植物基因型(de)初始分布（即培育开始时(de)分布）,显然有1000=++c b a（2） 第n 代(de)分布与第n-1代(de)分布之间(de)关系是通过上表确定(de).第二步：建模根据假设（2）,先考虑第n 代中(de)AA 型.由于第n-1代(de)AA 型与AA 型结合,后代全部是AA 型；第n-1代(de)Aa 型与AA 型结合,后代是AA 型(de)可能性为1/2,第n-1代(de)aa 型与AA 型结合,后代不可能是AA 型.因此,当 ,2,1,0=n 时11102/1---•++•=n n n n c b a a即2/11--+=n n n b a a 类似可推出2/11--+=n n n b c a 0=n c将式相加,得111---++=++n n n n n n c b a c b a根据假设（1）,有1000=++=++c b a c b a n n n对于式、式和式,我们采用矩阵形式简记为,2,1,)1()(==-n Mx x n n其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00012/1002/11M ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n c b a x )(式递推,得)0()2(2)1()(x M x M Mx x n n n n ====--式给出第代基因型(de)分布与初始分布(de)关系.为了计算出n M ,我们将M 对角化,即求出可逆矩阵P 和对角阵D,使1-=PDP M因而有,2,1,1==-n P PD M n n其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n nnn D 321321000000000λλλλλλ这里321,,λλλ是矩阵M(de)三个特征值.对于式中(de)M,易求得它(de)特征值和特征向量:0,2/1,1321===λλλ因此⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00002/10001D ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0112 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1213 所以[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==100210111321P通过计算1-=P P ,因此有)0(1)0()(x P PD x M x n n n -==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=0001002101110000)21(0010100210111c b a n 即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--00011)(000)2/1()2/1(0)2/1(1)2/1(11c b a c b a x n n n n n n n n ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--++=--0)2/1()2/1()2/1()2/1(010010000c b c b c b a n n n n所以有⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=--0)2/1()2/1()2/1()2/1(1010010n n n n n n n c c b b c b a当∞→n 时0)2/1(→n,所以从式得到0,1→→n n b a 和n c =0即在极限(de)情况下,培育(de)植物都是AA 型. 第三步：模型讨论若在上述问题中,不选用基因AA 型(de)植物与每一植物结合,而是将具有相同基因型植物相结合,那么后代具有三代基因型(de)概率如下表：并且)0()(x M xn n =,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=14/1002/1004/11M M(de)特征值为2/1,1,1321===λλλ通过计算,可以解出与21,λλ相对应(de)两个线性无关(de)特征向量1 和2 ,及与3λ相对应(de)特征向量3 ：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1002 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1213 因此[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==111200101321P⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-02/1011102/111P)0(1)0()(x P PD x M x n n n -==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=00002/1011102/11)2/1(0001001111200101c b a n n所以有⎪⎩⎪⎨⎧-+==++=++010000100)2/1()2/1()2/1()2/1()2/1(bb c c b b b b a a n nn n n n当∞→n 时0)2/1(→n,所以从式得到0,)2/1(00→+→n n b b a a 和00)2/1(b c c n +→因此,如果用基因型相同(de)植物培育后代,在极限情况下,后代仅具有基因AA 和aa. 例4 合作对策模型在经济或社会活动中,几个社会实体（个人、公司、党派、国家）相互合作或结成联盟,常能获得比他们单独行动更多(de)经济或社会效益.这样合理地分配这些效益是合作对策要研究(de)问题.请看下面(de)例子.问题一：经商问题甲、乙、丙三人经商,若单干,每人仅能获利1元；甲乙合作可获利7元；甲丙合作可获利5元；乙丙合作可获利4元；三人合作可获利10元,问三人合作时如何分配10元(de)收入.甲(de)收入应按照甲对各种形式(de)合作(de)贡献来确定．对于某一合作(de)贡献定义为：有甲参加时这个合作(de)收入与无甲参加时这个合作(de)收入之差．例如甲对甲乙二人合作(de)贡献是7—1＝6 (因为甲乙合作获利7元,而乙单干仅获利1元)．甲可以参加(de),合作有四个：甲自己(单干视为合作(de)特例)、甲乙、甲丙、甲乙丙．甲对这些合作(de)贡献分别是甲：1一0＝1元；甲乙：7—1＝6元；甲内：5—1＝4元；甲乙丙：10—4＝6元,甲应分得(de)收入是这四个贡献(de)加权平均值,加权因子将由下面(de)一般模型给出．这个问题叫做3人合作对策,是对策论(de)一部分,这里介绍它(de)一种解法.一般(de)n人合作对策模型可以叙述如下：记n人集合为I=,如果对于I中 (de)任一子集,都对应一个实值函数v（s）,满足则称为定义在I上(de)特征函数．所谓合作对策是指定义了特征函数(de)I中n个人(de)合作结果,用向量值函数来表示．在实际问题中．常可把I中各种组合(de)合作获得(de)利益定义为特征函数,上式表示合作规模扩大时,获利不会减少.不难看出,如将三人经商问题中合作(de)获利定义为特征函数v,v是满足(1)、(2)(de)．为了确定,Shapley在1953年首先制定了一组应该满足(de)公理,然后证明了满足这组公理(de)(de)唯一解是其中是I中包含{i}(de)所有子集,是集合s中(de)人数,是加权因子,由确定．(3)式中可看作成员{i}对合作s(de)贡献；表示对所有包含{i}(de)集合求和．称为由v定义(de)合作(de)Shapley值．我们用(3)、(4)计算三人经商问题中各个人应得到(de)收入．甲、乙、丙分别记作{1},{2},{3},包含{1}(de)集合有{1}、{1,2}、{1,3}、{1,2,3},计算结果列入下表．S{1}{1,2}{1,3}{1,2,3}V(s)17510V(s-{1})0114V(s)- V(s-{1})1 6 4 612 23 W()1/31/61/61/3W()[V(s)-V(s-{1})]1/31 2/3 2.同样可以算出乙、丙应得收入为＝3．5元,＝元.问题二：三城镇(de)污水处理方案沿河有三城镇1、2和3,地理位置如图4；6所示．污水需处理后才能排入河中．三城镇或者单独建立污水处理厂,或者联合建厂,用管道将污水集中处理(污水应于河流(de)上游城镇向下游城镇输送).以Q 表示污水量(吨／秒),工表示管道长度(公里).按照经验公式,建立处理厂(de)费用为712.0173Q P =,铺设管道(de)费用为LQ P 51.0266.0=．今已知三城镇(de)污水量分别为5,3,5321===Q Q Q ．L(de)数值38,202312==L L ．试从节约总投资(de)角度为三城镇制定污水处理方案；包括是单独还是联合建厂；如果联合,如何分担投资额等．三城镇或单干或不同形式(de)联合,共有五种方案.下面一一计算所需(de)投资．方案一 三城镇都单干.投资分别为总投资：方案二城1、2合作.这时城1、2将从节约投资(de)角度对联合还是分别建厂作出决策,所以城1、2(de)投资为：=3500C（3）=2300总投资：方案三城2、3合作.C（1）=2300总投资：方案四城1、3合作.C（2）=1600总投资：方案五三城镇合作=5560总投资：比较五个方案可知,应该选择三城合作,联合建厂(de)方案． 下面(de)问题是如何分担总额为5560(de)费用．城3(de)负责人提出,联合建厂(de)费用按三城(de)污水量之比5：3：5分担,铺设管道费应由城1、2担负．城2(de)负责人同意,并提出从城2到城3(de)管道费由城1、2按污水量之比5：3分担；从城1到城2(de)管道费理应由城1自己担负．城1(de)负责人觉得他们(de)提议似乎是合理(de),但因事关重大,他没有马上表示同意；而是先算了一笔账．联合建厂(de)费用是4530)535(73712.0=++,城2到城3(de)管道费是730,城1到城2(de)管道费是300,按上述办法分配时,城3负担(de)费用为1740,城2(de)费用为1320,域1(de)费用为2500．结果出乎意料之外,城3和城2(de)费用都比单独建厂时少,而城1(de)费用却比单独建厂时(de)C(1)还要多.城1(de)负责人当然不能同意这个方法,但是一时他又找不出公平合理(de)解决办法．为了促成联合(de)实现,你能为他们提供一个满意(de)分担费用(de)方案吗首先,应当指出,城3和城2负责人提出(de)办法是不合理(de)：从前面(de)计算我们知道,三城联合,才能使总投资节约了640(de)效益应该分配给三城,使三城分配(de)费用都比他们单干时要少,这是为促成联合所必须制定(de)一条原则．至于如何分配,则是下面要进一步研究(de)问题． 把分担费用转化为分配效益,就不会出现城1联合建厂分担(de)费用反比单独建厂费用高(de)情况.将三城镇记为I={1,2,3},联合建厂比单独建厂节约(de)投资定义为特征函数.于是有v(φ)=0,v({1})=v({2})=v({3})=0,v({1,2})=c(1)+c(2)-c(1,2)=2300+1600-3500=400,v({2,3})=c(2)+c(3)-c(2,3)=1600+2300-3650=250,v({1,3})=0,v(I)=c(1)+c(2)+c(3)-c(1,2,3)=640.S {1} {1,2} {1,3} {1,2,3} V(s) 0 400 0 640 V(s-{1}) 0 0 0 250 V(s)- V(s-{1})0 400 0 39012 23 W()1/31/61/61/3W()[V(s)-V(s-{1})] 0 67 0 130即197)(1=v ϕ同理得321)(2=v ϕ,122)(3=v ϕ那么, 城1分担(de)费用为2300-197=2103, 城2分担(de)费用为1600-321=1279, 城3分担(de)费用为2300-122=2178,合计5560. 习题：某甲（农民）有一块土地.如果从事农业生产可年收入100元；如果将土地租给某企业家用于工业生产,可年收入200元；如果租给某旅店老板开发旅游业,可年收入300元；当旅店老板请企业家参与经营时,年收入可达400元.为实现最高收入,试问如何分配各人(de)所得才能达成协议例5动态规划模型有不少动态过程可抽象成状态转移问题,特别是多阶段决策过程(de)最优化如最短路径问题,最优分配,设备更新问题,排序、生产计划和存储等问题．动态规划是一种将复杂问题转化为一种比较简单问题(de)最优化方法,它(de)基本特征是包含多个阶段(de)决策．1951年,美国数学家贝尔曼(R．Bellman)等人,提出了解决多阶段决策问题(de)“最优化原理”,并研究了许多实际问题,从而创建了动态规划·动态规划方法(de)基本思想是：将一个复杂问题分解成若干个阶段,每一个阶段作为一个小问题进行处理,从而决定整个过程(de)决策,阶段往往可以用时间划分这就具有“动态”(de)含义,然而,一些与时间无关(de)静态规划中(de)最优化问题,也可人为地把问题分成若干阶段,作为一个多阶段决策问题来处理,计算过程单一化,便于应用计算机．求解过程分为两大步骤,①先按整体最优化思想递序地求出各个可能状态(de)最优化决策；②再顺序地求出整个题(de)最优策略和最优路线．下面,结合一个求最短路径(de)例子,来说明动态规划(de)一些基本概念．最短路径问题如图所示(de)交通网络,节点连接线路上(de)数字表示两地距离,计算从A 到E(de)最短路径及长度.1．阶段．把所要处理(de)问题,合理地划分成若干个相互联系(de)阶段,通常用k 表示阶段变量.如例中,可将问题分为4个阶段,k=1,2,3,4. 2．状态和状态变量．每一个阶段(de)起点,称为该阶段(de)状态,描述过程状态(de)变量,称为状态变量,它可以用一个数、一组数或一个向量来描述,常用k x 来表示第k 阶段(de)某一状态．如果状态为非数量表示,则可以给各个阶段(de)可能状态编号,i x i k =)(()(i k x 表示第k 个阶段(de)第i 状态).第k 阶段状态(de)集合为},,,,,{)()()2()1(T k i k k k k x x x x X =如例6中,第3阶段集合可记为}3,2,1{},,{},,{321)3(3)2(3)1(33===C C C x x x X3．决策和决策变量．决策就是在某一阶段给定初始状态(de)情况下,从该状态演变到下一阶段某状态(de)选择.即确定系统过程发展(de)方案．用一个变量来描述决策,称这个变量为决策变量.设)(k k x u 表示第k 个阶段初始状态为k x (de)决策变量．)(k k x D 表示初始状态为k x (de)允许决 策集合,有)(k k x u ∈)(k k x D ={k u }如例6中},,{)(3211B B B A D =,若先取2B ,则21)(B A u =. 4．策略和子策略．由每段(de)决策)(k k x u 组成(de)整个过程(de)决策变量序列称为策略,记为n P ,1,即n P ,1=)}(,),(),({2211n n x u x u x u从阶段k 到阶段n 依次进行(de)阶段决策构成(de)决策序列称为k 子策略,记为n k P ,即)(1,x P n k =)}(,),(),({11n n k k k k x u x u x u ++显然,k=1时(de)k 子策略就是策略.如例6,选取路径E D C B A →→→→221就是一个子策略．从允许策略集中选出(de)具有最佳效果(de)策略称为最优策略. 5．状态转移方程．系统在阶段k 处于状态k x ,执行决策)(k k x u (de)结果是系统状态(de)转移,即由阶段K(de)状态k x 转移到阶段K 十1(de)状态1+k x 适用于动态规划方法求解(de)是一类具有无后效性(de)多阶段决策过程．无后效性又称马尔科夫性,指系统从某个阶段往后(de)发展,完全由本阶段所处(de)状态以及其往后(de)决策决定,与系统以前(de)状态及决策无关,对于具有无后效性(de)多阶段过程,系统由阶段k 向阶段k+1(de)状态转移方程为))(,(1k k k k k x u x T x =+意即1+k x 只与k x ,)(k k x u 有关,而与前面状态无关．))(,(k k k k x u x T 称为变换函数或算子．分确定型和随机型,由此形成确定型动态规划和随机型动态规划． 6．指标函数和最优指标函数．在多阶段决策中,可用一个数量指标来衡量每一个阶段决策(de)效果,这个数量指标就是指标函数,为该阶段状态变量及其以后各阶段(de)决策变量(de)函数,设为n k V ,即n k x x u x V V n k k k n k n k ,,2,1),,,,(1,, ==+指标(de)含义在不同(de)问题中各不相同,可以是距离、成本、产品产 量、资源消耗等．例6中,指标(de)含义就是距离,指标函数为A 到E(de)距离,为各阶段路程(de)和．最常见(de)指标函数取各阶段效果之和(de)形式,即∑==nk j j j j n k u x V V ),(,指标函数nk V ,(de)最优值,称为相应(de)最优指标函数,记为)(k k x fnk k k optV x f ,)(=式中opt 是最优化之意,根据问题要求取max 或min ． 7．动态规划最优化原理．贝尔曼指出“作为整个过程(de)最优策略具有这样(de)性质：即无论过去(de)状态和决策如何,对前面(de)决策所形成(de)状态而言,余下(de)诸决策必须构成最优策略”基于这个原理,可有如下定理：定理 若策略*,1n P 是最优策略,则对于任意(de)k(1<k<n),它(de)子策略*,n k P 对于以),(*1*11*---=k k k k u x T x 为起点(de)k 到n 子过程来说,必是最优策略． 实质上,动态规划(de)方法是从终点逐段向始点方向寻找最短路径(de)一种方法．8．动态规划(de)数学模型．利用最优化原理,可以得到动态规划(de)数学模型)}(),({)(11+++=k k k k k k k x f u x V opt x f ))(1,,1,(k k k x D u n n k ∈-=0)(11=++n n x f这是一个由后向前(de)递推方程．下面以例6(de)最短路径问题说明这种递序解法．指标函数为两点之间(de)距离,记为),(k k u x d ,例中共分4个阶段． (倒推) 第4阶段2)(),()(5114=+=E f E D d D f 3)(),()(5224=+=E f E D d D f 5)(),()(5334=+=E f E D d D f 0)(5=E f第3阶段6835)(),(624)(),(min )(2421141113=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=D f D C d D f D C d C f},,{11*4,3E D C P =4431)(),(826)(),(min )(2422141223=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=D f D C d D f D C d C f},,{22*4,3E D C P =6651)(),(1239)(),(min )(3433243333=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=D f D C d D f D C d C f},,{33*4,3E D C P =第2阶段7734)(),(1367)(),(min )(2321131112=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=C f C B d C f C B d B f},,,{221*4,2E D C B P =7734)(),(826)(),(min )(2322131222=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=C f C B d C f C B d B f},,,{222*4,2E D C B P =91468)(),(945)(),(min )(3333232332=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=C f C B d C f C B d B f},,,{223*4,2E D C B P =第1阶段10111192)(),(74)(),(1073)(),(min )(323221211=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+=+=+=+=B f B A d B f B A d B f B A d A f},,,,{221*4,1E D C B A P =故最短路径为E D C B A →→→→221,从A 到E(de)最短距离为10. 上述步骤可归纳为下述递推公式)}(),(m in{)(11+++=k k k k k k x f u x d x f 1,2,3,4(=k ）0)(55=x f此递推关系叫做动态方程,即最短路径问题(de)动态规划模型,应用动态规划方法解决问题(de)关键是根据所给问题建立具体(de)动态规划模型,建立动态规划模型时(de)主要困难在于：如何将所遇到(de)最优化解释为合适(de)多段决策过程问题．从例6看出,划分I 阶段、定义状态、确定指标函数,是动态规划模型化时(de)主要工作,其合适性决定应用动态规划(de)成败．建模时,除将实际问题根据时间和空间恰当地划分若干阶段外,还须明确下列几点： (1)正确选择状态变量,使它既能描述过程(de)状态,又。
数学建模习题及答案课后习题资料
宿舍
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 1）
（2）
（3）
A
3
2
2
4
4
3
B
3
3
3
5
5
5
C
4
5
5
6
6
7
总计
10
10
10
15
15
15
2. （ 1）生产成本主要与重量 w 成正比，包装成本主要与表面积 s 成正比，其它成本也
包含与 w 和 s 成正比的部分，上述三种成本中都含有与
w，s 均无关的成分。又因为
形状一定时一般有 s
20/18 25/23
35/33
50/48
15
7/8
14/16
28/28 35/36
49/52
70/76
20
10/11
20/22
40/39
50/50
70/72 100/105
当 a， b 较大时，方案二优于方案一。
其它方案，方案一、二混合，若 a=b=20， 3 行正方形加 8 行六角形，圆盘总数为 106。
线的数分别为 2，3， 5，这就是 3 个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。 如果委员会从 10 人增至 15 人，用以上 3 种方法再分配名额。 将 3 种方法两次分配的结果
列表比较。
（ 4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。
2. 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏
Nm , y*
N m 是平衡点 ; yn 1 yn ry n (1 yn ) 的平 Nm
衡 点 为 y*
N m . yn 1
《数学建模》习题及参考答案 第五章 微分方程模型
第五章部分习题1. 对于5.1节传染病的SIR 模型，证明：（1）若σ/10>s ，则()t i 先增加，在σ/1=s 处最大，然后减少并趋于零；()t s 单调减少至∞s 。
（2）若σ/10>s ，则()t i 单调减少并趋于零，()t s 单调减少至∞s 。
9. 在5.6节人口的预测和控制模型中，总和生育率()t β和生育模式()t r h ,是两种控制人口增长的手段，试说明我国目前的人口政策，如提倡一对夫妇只生一个孩子、晚婚晚育，及生育第2胎的一些规定，可以怎样通过这两种手段加以实施。
*16. 建立铅球掷远模型，不考虑阻力，设铅球初速度为v ，出手高度为h 出手角度为∂（与地面夹角），建立投掷距离与∂,,h v 的关系式，并在h v ,一定的条件下求最佳出手角度。
参考答案1. SIR 模型（14）式可写作().,1si dt di s i dt di λσμ-=-=由后一方程知()t s dtds ,0<单调减少。
1) 若σ10>s ，当01s s <<σ时，()t i dt di ,0>增加；当σ1=s 时，()t i dt di ,0=达到最大值m i ；当σ1<s 时，()t i dt di ,0<减少且()()式180=∞i 2) 若σ10<s ，()t i dt di ,0<单调减少至零 9. 一对夫妻只生一个孩子，即总和生育率()1=t β；晚婚晚育相当于生育模式()r h 中（5。
6节（13）式）使1r 和c r 增大；生育第2胎一些规定可相当于()t β略高于1，且()r h 曲线（5。
6节图19）扁平一些（规定生2胎要间隔多少年）*16. 在图中坐标下铅球运动方程为()()()().sin 0,cos 0,0,00,,0ααv y v x h y x g yx ====-== 解出()t x ，()t y 后，可以求得铅球掷远为,cos 2sin cos sin 2/12222ααααv g h g v g v R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=这个关系还可表为()ααtan cos 2222R h v g R +=由此计算0*=ααd dR，得最佳出手角度()gh v v +=-21*2sin α，和最佳成绩gh v g v R 22*+=设m h 5.1=，s m v /10=，则0*4.41≈α，m R 4.11*=。
数学建模方法与分析部分习题解答第三版
数学建模方法与分析部分习题解答第三版P38题22(a)第一步：提出问题变量：x1=蓝鲸的数量x2=长须鲸的数量r1=蓝鲸种群的内禀增长率r2=长须鲸种群的内禀增长率K1=蓝鲸的最大可生存的种群数量K2=长须鲸的最大可生存的种群数量a1=竞争对蓝鲸的影响a2=竞争对长须鲸的影响t=时间（年）Q=鲸鱼总数假设: dx1dt=r1*x1(1-x1/K1)-a1*x1*x2 dx2dt=r2*x2(1-x2/K2)-a2*x1*x2x1>=0x2>=0dx1dt>=0dx2dt>=0Q=x1+x2目标：求在满足约束条件下Q的最大值第二步：建立模型五步法和有约束的最优化模型第三步：推导模型公式设目标函数为y=f(x1, x2)=x1+x2约束条件为dx1dt=r1*x1(1-x1/K1)-a1*x1*x2>=0dx2dt=r2*x2(1-x2/K2)-a2*x1*x2>=0x1>=0x2>=0即求解y满足以上条件的最大值第四部：求解模型由y=f(x1, x2)=x1+x2得▽f=(1, 1)由g1=0.05*x1*(1-x1/150000)-10^(-8)*x1*x2g2=0.08*x2*(1-x2/400000)-10^(-8)*x1*x2得▽g1(x1, x2)=(1/20 - x2/100000000 - x1/1500000, -x1/100000000)▽g2(x1, x2)=(-x2/100000000, 2/25 - x2/2500000 - x1/100000000) 设λ1, λ2为拉格朗日乘子，则在极值点满足▽f＝λ1*▽g1+λ2*▽g2带入解得Matlab求解clc;clear;syms x1x2w vg1=0.05*x1*(1-x1/150000)-10^(-8)*x1*x2g11=diff(g1,x1)g12=diff(g1,x2)g2=0.08*x2*(1-x2/400000)-10^(-8)*x1*x2g21=diff(g2,x1)g22=diff(g2,x2)s=solve(w*g11+v*g21-1,w*g12+v*g22-1,g1,g2)λ1= -20.6522λ2= -12.3567x1=138210x2=393090因此y=f(x1, x2)=x1+x2=531300第五步：回答问题由五步法和有约束的最优化模型解得当满足种群数量是可行的可持续条件时，鲸鱼总数最大的种群数量为531300，此时蓝鲸数量为138210，长须鲸数量为393090.2（b）考虑最优种群数量x1, x2对内禀增长率r1的灵敏性在模型中将此参量设为变量则有y=f(x1, x2)=x1+x2得▽f=(1, 1)此时g2=0.08*x2*(1-x2/400000)-10^(-8)*x1*x2▽f＝λ1*▽g1+λ2*▽g2解得λ1= -475/(500*r1 - 2)λ2=-(2000*r1 - 3)/(157*r1)x1=(6000000000*r1 - 24000000)/(40000*r1 - 3)x2=(157*********r1)/(40000*r1 - 3)则计算出dx1/dr1=6000000000/(40000*r1-3)-(40000*(6000000000*r1-24000000))/(40000 *r1 - 3)^2dx2/dr1=157********/(40000*r1-3)-(628000000000000*r1)/(40000*r1 - 3)^2 在点x1=138210, x2=393090, r1=0.05, 有S(x1, r1)=dx1/dr1*r1/x1=236210*0.05/138210=0.0855S(x2, r1)=dx1/dr1*r1/x2=11810*0.05/393090=- 0.00152 (c)考虑最优种群数量x1, x2对环境承受力K1, K2灵敏性在模型中将此参量设为变量则有y=f(x1, x2)=x1+x2得▽f=(1, 1)此时g2=0.08*x2*(1-x2/400000)-10^(-8)*x1*x2▽f＝λ1*▽g1+λ2*▽g2解得λ1= -475/23λ2=-(20*K1 - 100000000)/(K1 - 8000000)x1= - (92000000*K1)/(K 1– 100000000)x2= (5000000*K1 - 40000000000000)/(K1 - 100000000)则计算出dx1/dK1=(92000000*k1)/(k1- 100000000)^2 - 92000000/(k1 - 100000000)dx2/dK1=5000000/(k1-100000000)-(5000000*k1 - 40000000000000)/(k 1- 100000000)^2在点x1=138210, x2=393090, K1=150000, 有S(x1, K1)= dx1/dK1*K1/x1= 0.9228*150000/138210=1.0015 S(x2, K1)= dx2/dK1*K1/x2= -0.0461*150000/393090= -0.01762(d)考虑最优种群数量x1, x2对竞争强度a灵敏性在模型中将此参量设为变量则有y=f(x1, x2)=x1+x2得▽f=(1, 1)由g2=0.08*x2*(1-x2/400000)-a*x1*x2▽f＝λ1*▽g1+λ2*▽g2解得λ1= -(100000000*a - 20)/(8000000*a - 1)λ2= -(75000000*a - 25)/(3750000*a - 2)x1= (1200000000000*a - 150000)/(15000000000000*a^2 - 1) x2=(750000000000*a - 400000)/(15000000000000*a^2 - 1)则计算出dx1/da=1200000000000/(15000000000000*a^2-1)-(30000000000000*a *(1200000000000*a-150000))/(15000000000000*a^2 - 1)^2dx2/da=750000000000/(15000000000000*a^2-1)-(30000000000000*a* (750000000000*a - 400000))/(15000000000000*a^2 - 1)^2在点x1=138210, x2=393090, a=10^(-8), 有S(x1, a)=dx1/da*a/x1= -0.0840S(x2, a)=dx2/da*a/x2=-0.0161当出现某一种群灭绝时，a=0，此时以上解出的种群数量不是最优解，此时最优解为X1max=150000, X2max=400000。
数学建模上机练习习题及答案教学内容
数学建模上机练习习题及答案教学内容练习1 基础练习⼀、矩阵及数组操作：1．利⽤基本矩阵产⽣3×3和15×8的单位矩阵、全1矩阵、全0矩阵、均匀分布随机矩阵（[-1，1]之间）、正态分布矩阵（均值为1，⽅差为4）。
A=eye(3) B=eye(15,8) C=ones(3) D=ones(15,8) E=zeros(3) F=zeros(15,8) G=(-1+(1-(-1))*rand(3)) H=1+sqrt(4)*randn(5) 2．利⽤fix及rand函数⽣成[0，10]上的均匀分布的10×10的整数随机矩阵a，然后统计a中⼤于等于5的元素个数a=fix(0+(10-0)*rand(10));K=find(a>=5);Num=length(K)或者num=sum(sum(a>=5))num =533．在给定的矩阵中删除含有整⾏内容全为0的⾏，删除整列内容全为0的列。
如已给定矩阵A在给定的矩阵中删除含有整⾏内容全为0的⾏在命令窗⼝中输⼊A(find(sum(abs(A'))==0),:)=[];删除整列内容全为0的列。
A(：，find(sum(abs(A'))==0))=[];⼆、绘图：4．在同⼀图形窗⼝画出下列两条曲线图像： y1=2x+5； y2=x^2-3x+1，并且⽤legend 标注 x=0:0.01:10; y1=2*x+5; y2=x.^2-3*x+1; plot(x,y1,x,y2,'r') legend('y1', 'y2')12345678910-10010203040506070805．画出下列函数的曲⾯及等⾼线： z=x^2+y^2+sin(xy)．在命令窗⼝输⼊： [x,y]=meshgrid(0:0.25:4*pi);z=x.^2+y.^2+sin(x.*y)；contour3(x,y,z); meshc(x,y,z)5101551015100200300400三、程序设计：6．编写程序计算（x在[-3，3]，间隔0.01）建⽴M⽂件d.mx=input('请输⼊x的值:');if x>=-3&x<-1y=(-x.^2-4*x-3)/2;elseif x>=-1&x<1y=-x.^2+1;elseif x>=1&x<=3y=(-x.^2+4*x-3)/2;elsey='error'endy在命令窗⼝输⼊x 的值：7．有⼀列分数序列：求前15项的和。
数学建模解题思路与方法
2、方法的选择
我们的选择：
关于排序：
层次分析法（我们的数据层次感不强，且层次 分析要主观确定权重）
主成分，因子（KMO检验没通过） ——多目标决策分析方法：TOPSIS 法。
关于预测：
回归分析差较小，但有时
有过拟合的现象——模糊粒子化）
3、数学建模常用的方法
遗传算法，神经网络）
推荐接触的方法
4、数学建模示例 例 出版社的资源配置问题
目标：获取最大总利润（数学中的最值，即最优化 问题） 出版社的总利润就等于各分社的利润之和。 Max（sum（分社的利润））
机理分析：
分社的利润=销售总额×C/（1+C）（由于本 文中的各课程书目具有同一的利润率C）
销售总额=卖出的书本数（销售量）×书本的 平均定价（单价）
2、方法的选择
层次分析法 统计分析 （主成分，因子，聚类） 判别分析 回归分析 模糊建模（GM（1,1）） 图论（略） 遗传算法（略） BP神经网络
2、方法的选择
大家已了解的方法： 层次分析法 统计分析 （主成分，因子，聚类） 判别分析 回归分析 模糊建模（GM（1,1）） 图论（略） 遗传算法（略） BP神经网络
整体思路的形成
对前两步形成的思路结合可得数据进行进一步细 化
——纵横比较（大方向） ——横向：经济影响（数据基本可得或 替代）；纵向：由于时间的久远，举办 城市的经济数据难以查询，从世博会网 站可查阅世博会本身的数据，因而转为 考虑世博会自身的总体影响力（注意数 据指标要可以解释总体影响力——见原 文，排序）
分社的利润=分得的书号数×平均单位书号书 本数（单位销量）×书本的平均定价×C/ （1+C）
测试分析：确定来年的单位销量
【2023年数学建模国赛】d题解题思路
【2023年数学建模国赛】d题解题思路D题是数学建模竞赛中的一道综合应用题，通常需要结合数学知识和实际问题进行分析和建模。
针对题目的特点和要求，我们可以通过以下思路来解题。
首先，我们需要仔细阅读题目，了解题目要求和条件。
在阅读题目时，需要重点关注题目中提供的信息和数据，找出关键数据和提示，确定问题的具体内容和要求。
在理解题目的基础上，我们可以着手解题。
第一步，我们需要对问题进行分析，明确问题的核心和要求。
在D 题中，通常会涉及到实际问题的模拟和分析，需要考虑到问题背后的具体情境和条件。
我们可以通过思维导图或逻辑分析，对问题进行拆解和分析，找出问题的关键因素和影响因素。
第二步，我们需要选择合适的数学模型来解决问题。
在建模过程中，我们可以通过分析问题的特点和数据的规律，选择合适的数学模型来描述和分析问题。
常见的数学模型包括线性规划、非线性规划、动态规划、随机模型等。
我们可以根据问题的实际情况和要求，选择合适的数学模型进行建模。
第三步，我们需要对选择的数学模型进行求解和分析。
在建立数学模型之后，我们需要通过数学方法和工具对模型进行求解和分析。
在求解过程中，我们需要注意模型的稳定性和可靠性，确保模型的有效性和合理性。
针对不同的模型和求解方法，我们可以通过数值计算、优化算法、统计分析等方法进行求解和分析。
在求解过程中，我们需要对结果进行验证和分析，确保模型的有效性和可行性。
第四步，我们需要对模型的结果进行解释和应用。
在模型求解之后，我们需要对模型的结果进行解释和应用。
通过对结果的解释和分析，我们可以得出问题的结论和建议，指导解决问题的实际行动。
在解释和应用过程中，我们需要考虑到模型的局限性和影响因素，确保模型的有效性和可行性。
综上所述，通过以上的解题思路和步骤，我们可以较为系统地解决数学建模竞赛中的D题。
在解题的过程中，我们需要灵活运用数学知识和工具，对问题进行全面分析和建模，确保模型的有效性和可靠性。
希望以上思路能够帮助大家更好地解决数学建模竞赛中的D题。
2023数学建模c题思路
2023数学建模C题思路
题目：某城市有100万个家庭，每个家庭有1.5辆汽车。
该城市有1000个公共停车场，每个停车场可以停放1000辆汽车。
为了缓解停车难问题，该城市决定建设更多的公共停车场。
假设每个新停车场可以停放n辆汽车，并且每个家庭至少有一辆汽车需要停放。
问题：
1.计算该城市需要建设多少个新停车场才能满足需求。
2.假设每个新停车场的建设成本为100万元，计算建设这些新停车场需要多少资金。
思路：
1.计算总的汽车数量：100万个家庭，每个家庭1.5辆汽车，所以总共有100万× 1.5
= 150万辆汽车。
2.计算需要的停车场数量：每个停车场可以停放1000辆汽车，所以需要的停车场数
量为150万辆÷ 1000辆/个= 1500个停车场。
3.计算需要建设的新停车场数量：假设每个新停车场可以停放n辆汽车，那么需要建
设的新停车场数量为1500个- 1000个= 500个。
4.计算建设这些新停车场需要的资金：每个新停车场的建设成本为100万元，所以需
要的资金为500个× 100万元/个= 5亿元。
结论：
该城市需要建设500个新停车场才能满足需求，建设这些新停车场需要的资金为5亿元。
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数学建模习题指导第一章 初等模型讨论与思考讨论题1 大小包装问题在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象吗？比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这种现象。
（1）分析商品价格C 与商品重量w 的关系。
（2）给出单位重量价格c 与w 的关系，并解释其实际意义。
提示：决定商品价格的主要因素：生产成本、包装成本、其他成本。
单价随重量增加而减少 单价的减少随重量增加逐渐降低思考题2 划艇比赛的成绩赛艇是一种靠浆手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种。
各种艇虽大小不同，但形状相似。
T.A.McMahon 比较了各种赛艇1964—1970年四次2000m 比赛的最好成绩(包括1964年和1968年两次奥运会和两次世界锦标赛)，见下表。
建立数学模型解释比赛成绩与浆手数量之间的关系。
各种艇的比赛成绩与规格γβα++=32w w C ww c γβα++=-3123431w w c γβ--='-329434w w c γβ+=''-第二章 线性代数模型森林管理问题森林中的树木每年都要有一批砍伐出售。
为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。
被出售的树木，其价值取决于树木的高度。
开始时森林中的树木有着不同的高度。
我们希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值。
思考：试解释为什么模型中求解得到的 为每周平均销售量会略小于模型假设中给出的1。
练习：将钢琴销售的存贮策略修改为：当周末库存量为0或1时订购，使下周初的库存达到3架；否则，不订购。
建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率和每周的平均销售量。
2.将钢琴销售的存贮策略修改为：当周末库存量为0时订购本周销售量加2架；否则，不订购。
建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率和每周的平均销售量。
第三章 优化模型讨论题1）最优下料问题用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘。
给出几种加工排列方法，比较出最优下料方案。
2）广告促销竞争问题甲乙两公司通过广告竞争销售商品，广告费分别为 x 和 y 。
设甲乙公司商品的售量在两公司总售量中所占份额是它们的广告费在总广告费中所占份额的函数又设公司的收入与售量成正比，从收入中扣除广告费后即为公司的利润。
试构造模型的图形，并讨论甲公司怎样确定广告费才能使利润最大。
（1）令（2）写出甲公司的利润表达式 对一定的 y ，使 p (x ) 最大的 x 的最优值应满足什么关系。
用图解法确定这个最优值。
练习1三个家具商店购买办公桌：A 需要30张，B 需要50张，C 需要45张。
这些办公桌由两个工厂供应：工厂1生产70张，工厂2生产80张。
下表给出了工厂和商店的距离（单位公里） ，857.0=n R )(),(y x y f y x x f ++的示意图。
画出则)()()(,t f t f t f yx xt 11=-++=。
)(t p1 B 2练习2 下料问题某车间有一批长度为180公分的钢管（数量充分多）今为制造零件，要将其截成三种不同长度的管料，70公分，52公分，35公分。
生产任务规定，这三种料的需要量分别不少于100根，150根，100根。
我们知道，截分钢管时不免要产生“边角料”，从节约原料的观点来考虑，应该采取怎样的截法，才能在完成任务的前提下，使总的边角料达到最小限度？所 有 可 能 的 截 法 现用 分别表示采用每个截法的次数，则问题变成在约束条件：()为正整数且j jx j xx x x x x x x x x x x x x x x 821010053231502321002876431765324321,,,, =≥≥+++++≥++++≥+++下求目标函数： 的最小值。
实例1 加工奶制品的生产计划一奶制品厂用牛奶生产A 和B 两种奶制品，一桶牛奶可以在设备甲上用12 小时加工成3 公斤A ，或者在设备乙上用8 小时加工成4 公斤B 。
根据市场需求，生产的A ，B 全能出售，且每公斤A 获利24元，每公斤B 获利16元。
现在加工每天能得到50 桶牛奶的供应，每天正式工人总劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100 公斤A ，设.,,.,,.][.321210455030807052073051050231322122111232221131211232221131211==≥⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+⎩⎨⎧≤++≤+++++++=j i x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x u ij8218765432152362452365x x x x x x x x f +++++++=备乙的加工能力没有限制。
试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题：（1）若用35元买到1 桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？（2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？（3）由于市场需求变化，每公斤A获利增加到30元，应否改变生产计划？第四章概率统计模型练习：利用上述模型计算，若每份报纸的购进价为0.75元，售出价为1元，退回价为0.6元，需求量服从均值500份，均方差50份的正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，最高收入是多少？用本章所学方法，思考以下几个方面的问题：1）酒店酒店接受房间预订主要是建立在诚信之上，因此通常不会再接受有过失信记录的顾客的预订。
一些酒店在接受预订时会要求顾客交纳押金，以此来确保顾客住房的概率（施行这种方案的一般是低价酒店，因为它们的周转资金往往不多），而另一些酒店则可能会给长期订房或是预付房费的顾客打折。
这种多价格系统的经营方式是可以考虑的。
2）汽车出租公司汽车出租公司一般会保留固定数量的汽车（至少在短期内）以出租给顾客。
出租公司可能会为频繁租借汽车的顾客打折，以此来确保公司能有最低量的收入。
而一些长期出租品（一次出租一周或一个月）也会标上优惠的价格，因为这给出了一个至少确定了未来的一段日子会有收入的策略。
在预测一些车辆的预订可能会被取消的情况下，一间公司有可能充分地留出比它们计划中要多的汽车。
3）图书馆图书馆都有可能购买一些畅销书籍的多种版本。
特别是在学院或大学图书馆里，时常购买一系列课本。
某些版本极有可能仅限在图书馆内，以方便学生们的使用。
可以尝试建立书籍使用的模型。
练习：下表给出了某工厂产品的生产批量与单位成本（元）的数据，从散点图，可以明显的发现，生产批量在500以内时，单位成本对生产批量服从一种线性关系，生产批量超过500时服从另一种线性关系，此时单位成本明显下降。
希望你构造一个合适的回归模型全面地描述生产批量与单位成本的关系。
第五章离散模型思考：多名专家的综合决策问题五练习1合理分配资金问题某工厂有一笔企业留成利润，要由领导决定如何利用。
可供选择的方案有：以奖金名义发给职工；扩建集体福利设施；购进新设备等。
为了进一步促进企业发展，如何合理使用这笔利润。
2 足球队排名次（CUMCM）1993年 B 题China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling3 自己设计有关题目如：高考填报志愿问题，选择职业问题，排名（排序）问题。
合理分配资金问题1 层次结构模型2 求解Z-C矩阵{0.667, 0.333, 0}第六章 微分方程模型 思考2 屋檐的水槽问题房屋管理部门想在房顶的边檐安装一个檐槽，其目的是为了雨天出入方便。
从屋脊到屋檐的房顶可看成是一个12米长，6米宽的矩形平面，房顶与水平方向的倾斜角度一般在 。
现有一公司想承接这项业务，允诺：提供一种新型的檐槽，包括一个横截面为半圆形（半径为7.5cm ）的水槽和一个竖直的排水管（直径为10cm ），不论天气情况如何，这种檐槽都能排掉房顶的雨水。
房管部门犹豫，考虑公司的承诺能否实现。
请你建立数学模型，论证这个方案的可行性。
1 问题的简化水槽的容量能否足以排出雨水的问题，简化为水箱的流入流出问题。
从房顶上流下的雨水量是流入量；顺垂直于房顶的排水管排出的是流出量。
水槽能否在没有溢出的情况下将全部雨水排出，即就是要研究水槽中水的深度与时间的函数关系。
2 假设（1）雨水垂直下落并且直接落在房顶上； （2）落在房顶上的雨水全部迅速流入水槽中； （3）直接落入水槽中的雨水可忽略不计； （4）落在房顶上的雨没有溅到外面去；（5）在排水系统中不存在一些预料不到的障碍，象落在房顶上的杂物、树叶等。
50~204 模型的建立根据速度平衡原理，对于房顶排水系统水槽中水的容量的变化率=雨水的流入速度 - 排水管流出的速度。
01,Q Q()t r 表示单位时间里落在水平面上雨水的深度，房顶的面积bd 实际受雨的水平面积αcos bd ，房顶上雨水的流速()cos bd t r 流入水槽的速度应是在铅垂方向的分量 排水管的流出速度应与水槽中水的深度有关。
根据能量守恒原理 ， ，水槽中水的体积为 ， θ h5模型的求解与分析接下来请同学们自己完成。
古尸年代鉴定问题在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家把它带到实验室，作碳14年代测定，分析表明，14c 与12c 的比例仅仅是活组织内的6.24%，能否判断此人生活在多少年前？第六章 其他模型某大楼人员的疏散问题01)(Q Q t V -='ααsin cos )(1bd t r Q =)(212t mgh mv =)(2t gh v =)(20t gh A Q =)cos sin ()(2θθθ-=d a t V a h a -=θcos a h ah 22sin -=θ()ah a a 22sin --=θ)2)((cos )(2212a h ah h a a ha d a t V ----=-)()(2)(2)(2t h t ah t h d t V -'=')()(2)(22t h t ah t h d -'ααsin cos )(bd t r =)(2t gh A -)()(22)(2cos sin )(2t h t ah d t gh A bd t r dt dh --=αα。