第七章 状态空间分析法

目前，控制系统的发展趋势是朝着控制任务更为复杂、控制 精度要求更高的方向发展。特别是数字计算机迅速发展的今天， 利用数字计算机辅助分析与设计系统，需要有一种适合应用于数 字计算机分析和设计系统的理论与数学模型，这个理论即是现代 控制理论，这个数学模型即是建立在状态空间上的状态方程。
7.1 状态变量与状态空间
x1 x 2 x 2 4 x 2 3x1 u
写成矩阵微分方程形式为
1 x1 0 x1 0 x 3 4 x 1 u 2 2
根据上述状态变量的选取，其输出方程为
点 系统状态方程的建立
点 系统状态方程的求解 以传递函数为基础的控制理论，主要考虑的是系统的输入、 输出和偏差信号，所采用的方法主要是频率特性法与根轨迹法。 其局限性在于它只适用于单输入单输出线性系统，对于时变系统 （变参数系统）、非线性系统等则无能为力，不适用于例如最优 控制、自适应控制、神经网络控制、鲁棒控制等的分析与设计， 这是因为这些控制系统绝大多数是时变和（或）非线性系统。
Y ( s) 1 1 3 U ( s ) s( s 2)( s 3) 1 s 5s 2 6s 1
根据闭环传递函数可求得系统运动微分方程为
5 6 y y u y y
由于该系统为三阶系统，因此可选择状态变量为
x1 y, x 2 y, x 3 ，则可写出系统的状态方程为 y x1 x 2 x2 x3 x 3 5 x 3 6 x 2 x1 u
第7章 状态空间分析法
目 录 7.1 状态变量与状态空间 7.2 连续系统的状态方程及其输出方程 7.2.1 由系统微分方程列写状态方程及其输出方程 7.2.2 由系统状态变量图列写状态方程及其输出方 程 7.2.3 由系统方框图直接列写状态方程及其输出方 程 7.2.4 非线性系统的状态方程及其输出方程 7.2.5 时变线性系统的状态方程及其输出方程 7.3 离散系统的状态方程及其输出方程 7.3.1 作用函数不含未来值时线性离散系统的状态
x1 x2 y 1 0 0 C X CX x n
（7.7）
例 7.1 设某控制系统的动态特性可用下述微分方程描述
4 y 3 y u y
试列写其状态方程及其输出方程。 解 根据式（7.2），选取 x1 y, x2 y 为系统的状态 变量，则通过状态变量的选取及根据系统微分方程，系统的状态 方程可写成
用状态空间法分析控制系统，比以传递函数为基础的分析设 计方法更为直接和方便，为讲述用状态空间描述和分析控制系 统，这里先介绍一些名词术语。 1. 状态 控制系统的状态是描述系统的最小一组变量，只要知道在 t t 0 时刻的这组变量和 t ≥ t0 时刻的输入函数，便完全可以确 定在任何 t ≥ t0 时刻上的系统行为，这个系统的行为称为状态。 基于状态的概念，控制系统在时刻 t 的行为是由 t 0 时刻的行为和 t ≥ t0 时刻的输入函数唯一地确定，而与 t 0 时刻前的行为与输入
无关。在分析线性定常系统时，通常取初始时刻 t 0 为零。 2. 状态变量 构成控制系统状态的变量称为状态变量。在控制系统中，状 态变量并非是唯一的，也并非一定是系统的输出，也不要求状态 变量在物理上一定是能控和能观测的。 3. 状态向量 若完全描述一个给定系统的动态行为需要 n 个状态变量，记 为 x1 (t ), x 2 (t ), , x n (t )，将这些状态变量看成向量 X (t ) 的 分量，则称向量 X (t ) 为系统的状态向量。 4. 状态空间 以状态向量 X (t )的分量 x1 (t ), x 2 (t ), , x n (t ) 为坐标 轴，构成的 n 维空间称为状态空间，任意的状态 x (t )都可以用状 态空间中的一个点来描述。 5. 状态方程 通过向量表示法，可以将 n 阶微分方程表示成一阶矩阵微分
方程与输出方程 7.3.2 作用函数含未来值时线性离散系统的状态方 程与输出方程 7.4 控制系统状态方程的解 7.4.1 连续系统状态方程的解 7.4.2 离散系统状态方程的解 7.4.3 连续系统状态方程的离散化 7.5 基于连续系统状态方程的计算机辅助分析 7.5.1 连续系统状态方程的数值积分程序 7.5.2 MATLAB与SIMULINK在连续系统分析中的应用 7.6 SIMULINK在离散系统分析中的应用 7.6.1 基于状态差分方程的时域特性分析 7.6.2 基于离散系统方框图的时域特性分析
件 y (0), y ( i ) (0), (i 1,2, , n) 及 t ≥ 0 时刻的作用函数 u ，则系 统在任何 t ≥ 0时刻的行为便可完全确定。因此，可以选取 y 及 y (i ) (i 1,2,3,, n 1) 为系统状态变量，即选取 x1 y
x2 y x3 y
写成矩阵微分方程的形式为
X AX Bu
式中：
其输出方程为
xxx x xxx x 00 1 1 1 1 1 1 1 0000 1111 000 00 0 1 XXxxx x XXXXxxx x AAAA 000 0000 1111 BBB0000 XX 22 X 22 0 X 2 2 2 2 B 11 6 5 x33 33 1 6 6 5 55 11 xxx x 3 1 6 11 xx x 3 3 3
n 1
（7.2）
xn y 则式（7.1）所示的 n 阶常微分方程可以写成 n 个一阶常微 分方程，即1 x 2 x x1 x 2
x2 x3 x2 x3 x3 x4
x3 x4
（7.3）
x n a nx 1 aa n xx 2 a n 2 x a x 1 x nu u x n an x n 1 1 2 a n 2 x 3 3 an 1 1
x1 y x1 1 0 x 2
例 7.2 设某控制系统， 可用下述方框图描述： 图 试列写该系统的状态方程 7.1 及其输出方程。 系统 解 对于用方框图描 方框 述的系统，根据微分方程 图 列写状态方程时，首先应根据方 框图写出系统的传递闭环函数， 通过拉普拉斯反变换，写成微分方程的形式，再根据系统微分方 程列写系统状态方程。为此由方框图可得，系统闭环传递函数为
称式（7.3）或式（7.5）为线性定常系统式（7.1）的状态方 程。根据系统输出变量的选取，其输出方程可写成 y x1 （7.6） 或写成矩阵方程形式为
C 式中， = 1 0 0 称为输出向量。 式（7.5）及式（7.7）所示的状态方程及其输出方程是应用 状态空间法分析与设计线性系统时，描述系统动态特性的标准状 n 态空间表达式，应该指出， 阶线性定常系统，它的状态变量只 有 n 个。
或写成矩阵微分方程形式
0 x 1 0 0 1 0 x 2 0 u （7.4） 0 0 1 x n 1 0 a n 1 a n 2 a1 x n 1 记 1 x 1 0 x x1 1 x1x1 0 0 01 0 1 0 10 00 0 0 0 0 1 xx1 x 0 1 0 x 2 0 2 x 2 x 2 x2x 0 0 00 0 0 1 01 11 0 0 0 0 2xx2 x 0 2 XX X A X A AA A X X BB X B X x x 0 00 0 0 0 00 00 1 1 1 1 xnxxn1 xn 1 0 1n1 0 n1 1 nx1 1 0 n n 0 x a n n n 1 nn 1 n a a a 2 a1 a n 1 2 1 n n xnxn a naaaa na2 n2n a n 1a 1nxxn x 1 x a 1 n a x 1 n 1 0
则式（7.4）可以写成
x1 0 x2 0 x n 1 0 x a n n
式中： X， X
（7.5） ——状态向量及其一阶导数，均为 n 维；
X AX Bu
A —— n n 阶常系数矩阵； B —— n 1 阶常系数矩阵。
方程，若向量分量是选定的状态变量，则上述一阶矩阵微分方程 称为系统状态方程。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7.2 连续系统的状态方程及其输出方程 7.2.1 由系统微分方程列写状态方程及其输出方程
1.作用函数不含导数项时 n 阶线性系统的状态方程及其输 出方程 设 n 阶线性定常系统的运动方程可用下述微分方程描述，即 y ( n ) a1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) a n 1 y a n y u （7.1） (i ) u 式中 y, y , (i 1,2, , n)分别为系统的输出及其各阶导数； a 为系统的作用函数（即被控对象的控制输入）；1 , a 2 , , a n 为常系数。 式（7.1）为作用函数 u 不含导数项的 n 阶常微分方程，其 y (i ) (i 1,2,3,, n) 项均为 中作用函数、输出函数及其各阶导数 时间的函数，为书写的方便，将时间 t 略去。 由式（7.1）可知，对于上述线性定常系统，若已知初始条