第三章 拱桥计算

Hg
M
f
j
半拱恒载对拱脚的弯矩
Vg P （半拱恒载重力）
N
Hg cos
偏离的影响可按式（1－2－29）～式（1－2－30）首先计算出X1 , X 2 然后根据静力平衡条件计算任意截面的轴力N，弯矩M和剪力Q。
对于无铰拱，由于其是超静定结构， 偏离弯矩将引起次内力，其计算过程 如下： 取左图所示的基本结构，赘余力X1， X2作用在弹性中心，则有：
M1 1 M p H g y
s EI s X 1 1 p I ds M12 ds 11
s
M 1M p ds
拱顶填料、拱圈及拱腹填料的容重
拱顶填料厚度 拱圈厚度
d
j 拱脚处拱轴线的水平倾角
d d h f 2 2 cos j
由上计算m值的公式可以看出，除 j 为未知数外，其余均为已知； 在具体计算m值时可采用试算法，具体做法如下： a) 先假设mi b)根据悬链线方程（1－2－22）求 j ； 将式（1－2－22）两边取导数，有:
拱脚的竖向反力：拱脚的竖向反力为半拱的恒载重力，即
Vg g x dx g xl1d
0 0
l1
1
代
y1 g x g d y1 g d 1 (m 1) f
Vg m2 1 2[ln(m m 1)]
2 ' gd l kg gd l
dy1 fk shk d m 1 dy dy 2dy1 2 fkshk tg 1 1 shk dx l1d ld l (m 1)
其中

2kf l (m 1)
k可由式（1－2－23）计算
代=1，如上式，即可求得：
tg j shk
c)根据计算出的 j 计算出gj后，即可求得mi+1
空腹式拱桥的恒载从拱顶到拱脚不再是连续分布的（如下图），其 恒载压力线是一条不光滑的曲线，难于用连续函数来表达。目前最 普遍的还是采用悬连线作为空腹拱的拱轴线，仅需拱轴线在拱顶、 跨径的四分之一点和拱脚初与压力线重合。
1、拱轴方程的建立（实腹拱压力线） 如下图所示，设拱轴线为恒载压力线Fra Baidu bibliotek则拱顶截面的内力为：
chk m
通常m为已知，则可以用下式计算k值：
k ch1m ln(m m2 1)
反双曲余弦函数对数表示
（1－2－23）
当m=1时 gx=gj，可以证明，在均布荷载作用下的压力线为二次抛 物线，其方程变为：
f 2 y1 f 2 x l
2
由悬链线方程可以看出，当拱的跨度和失高确定后，拱轴线各点的坐 标取 确于拱轴系数m。其线线形可用l/4点纵坐标y1/4的大小表示： 当
1 2
时， y1
y1/ 4 ；代

1 2
到悬链线方程（1－2－22）有：
半元公式
chk m
y1/ 4 1 k (ch 1) f m 1 2 ch k chk 1 2 2 m 1 1 2 m 1 m 1 2 1 2( m 1) 2
y1/ 4 f
其中：y以弹性中心为原点（向上为正）的拱轴坐标。
拱顶、拱脚处：Mp=0 拱顶： M d X1 X 2 ys 0 拱脚： M j X1 X 2 ( f ys ) 0 其中，ys弹性中心至拱顶的距离。 （5）拱轴系数初值的选定
m gj gd
坦拱：m值选用较小 陡拱：m值选用较大
弯矩 Md=0
剪力Qd=0 恒载推力为Hg
对拱脚截面取矩，有:
Hg
M
f
（1－2－12）
M
半拱恒载对拱脚的弯矩。
对任意截面取矩，有：
Mx y1 Hg
y1以拱顶为原点，拱轴线上任意点的坐标；
(1－2－13）
M 任意截面以右的全部恒载对该截面的弯矩值。 对式（1－2－13）两边对x取两次导数，可得：
d 2 y1 1 d 2M gx 2 2 dx H g dx Hg
（1－1－14）
由上式可知，为了计算拱轴线（压力线）的一般方程，需首先知道恒载 的分布规律，对于实腹式拱，其任意截面的恒载可以用下式表示：
g x gd y1 gd
拱顶处恒载强度；
（1－2－15）
拱上材料的容重。
（二）抛物线拱
在竖向均布荷载作用下，拱的合理拱轴线是二次抛物线。对于 恒载集度比较接近均布的拱桥（如矢跨比较小的空腹式钢筋混 凝土拱桥，或钢筋混凝土桁架拱和刚架拱等轻型拱桥），往往 可以采用抛物线拱。其拱轴线方程为：
y1
4f 2 x 2 l
（三）、悬链线桥
实腹式拱桥的恒载集度从拱顶到拱脚均匀增加，其压力线是一条悬 链线（如下图）。一般采用恒载压力线作为实腹式拱桥的拱轴线
Mp
ds
EI

H g

y
s
s
I
I ds s I
ds
（1－2－29）
M2 y
X 2 2 p 22
yy s EI s I ds H g M 22 ds y 2 ds s EI s I M 2 M p ds
（1－2－30）
任意截面的弯矩为：
M X1 X 2 y M p
（一）圆弧线
线形最简单，施工最方便。但圆弧拱轴线一般与恒 载压力线偏离较大，使拱圈各截面受力不够均匀。 常用于15~20m以下的小跨径拱桥。园弧线的拱轴 方程为：
桥梁与道路结构
2 x 2 y1 2 Ry1 0
x R sin y1 R (1 co s ) R
1 1 ( f / l) 2 4 f /l
y1ds
s
ds
s

f 0 m 1
1
(chk 1) 1 2 sh 2 k d

1
0
1 2 sh 2 k d
（4）空腹式无铰拱压力线与拱轴线偏离产生的附加内力 对于静定三铰拱，各截面的偏离弯矩 值Mp可以按下式计算：
M p H g y
其中：y为三铰拱压力线在该截面 的偏离值
d)比较mi和mi+1，如两者相符，即假定的mi为真实值；如两者相差较大， 则以计算出的mi+1作为假设值，重新计算，直到两者相等
（2）空腹式拱拱轴系数的确定 空腹式拱桥中，桥跨结构的恒载由两部 分组成，即主拱圈承受由实腹段自重的分布 力和空腹部分通过腹孔墩传下的集中力（如 左图）。由于集中力的存在，拱的压力线为 在集中力作用点处有转折的曲线。但实际设 计拱桥时，由于悬链线的受力情况较好，故 多用悬链线作为拱轴线。 为了使悬链线与其恒载压力线重和， 一般采用“ 五点重和法”确定悬链线的m 值。即要求拱轴线在全拱（拱定、两1/4l点 和两拱脚）与其三铰拱的压力线重和。其 相应的拱轴系数确定如下
到上式，并积分，有
（1－2－43）
其中
Vg
m2 1 2[ln(m m 2 1)]
拱圈各截面的轴力N：由于不考虑弹性压缩时恒载弯矩和剪力为零，有
N
Hg cos
（1－2－44）
2）空腹拱 在计算空腹式悬链线不考虑弹性压缩的恒载内力时，可分为两部分， 即先不考虑拱轴线与压力线偏离的影响，假设恒载压力线与拱轴线 完全重和，然后再考虑偏离的影响，计算由偏离引起的恒载内力， 二者叠加。 不考虑偏离的影响：此时拱的恒载推力Hg，拱脚的竖向反力Vg和 拱任意截面的轴力可由静力平衡条件得到
三、拱桥内力计算
（一）、等截面悬链线拱桥恒载（自重）内力计算 不考虑弹性压缩 拱轴线与压力线相符 弹性压缩 恒载内力 拱轴线与压力线不相符产生次内力
拱轴线与压力线不相符
不考虑弹性压缩
弹性压缩
1、不考虑弹性压缩的恒载内力 1）实腹拱 实腹式悬链线的拱轴线与压力线重和，恒载作用拱的任意截面存 在轴力，而无弯矩，此时拱中轴力可按以下公式计算。 在进行悬链线方程推导时有：
拱定处弯矩Md=0；剪力Qd=0。对拱脚取距，由有： 对拱脚取距，由
M
Hg
A
0 有：
j
M
f
（1－2－26）
对l/4截面取距，由 M B 0 有：
H g y1/ 4 M 1/ 4 0 Hg
M
y1/ 4 f
1/ 4
y1/ 4
代上式到式（1－2－26），可得：
对于悬链线无铰拱有： f y1 (chk 1) m 1
l x l1 2
ds
dx l 1 d cos 2 cos
cos 1 1 tg 2 1 1 2 sh 2 k
其中： 则： 这样：
ds
l 1 2 sh 2 k 2
ys
（1－2－21）
上式为二阶非齐次微分方程。解此方程，得到的拱轴线（压力线）方程为：
f y1 (chk 1) m 1
上式为悬链线方程。
（1－2－22）
其中ch k为双曲余弦函数：
e k e k chk 2
对于拱脚截面有：=1，y1=f，代入式（1－2－22）可得：
y1/ 4 随m的增大而减小（拱轴线
抬高，随m减小而增大（拱轴线 降底）。
2、拱轴系数m值的确定 （1）实腹式拱m值的确定
m
gj gd
拱顶恒载分布集度
gd gd 1hd 2d
拱脚恒载分布集度 gj d g j 1hd 2 3h cos j
其中
1, 2 , 3 hd
第三章 拱桥的计算
第一节 上承式拱桥的计算
一、概述
拱轴线的选择与确定
拱 桥 的 计 算
恒载内力 活载内力 温度、收缩徐变 拱脚变位 内力调整 拱上建筑的计算
成桥状态的内力分析和强度、刚度、 稳定验算
施工阶段的内力分析和稳定验算
二、拱轴线的选择与确定
拱轴线的形状直接影响主截面的内力分布与大小， 选择拱轴线的原则，是要尽可能降低荷载产生的弯 矩。最理想的拱轴线是与拱上各种荷载作用下的压 力线相吻合，使拱圈截面只受压力，而无弯矩及剪 力的作用，截面应力均匀，能充分利用圬工材料的 抗压性能。实际上由于活载、主拱圈弹性压缩以及 温度、收缩等因素的作用，实际上得不到理想的拱 轴线。一般以恒载压力线作为设计拱轴线。
l12 g d k2 (m 1) Hg f
恒载水平推力Hg ：利用上式有
（1－2－20）
l1 l / 2
gd l 2 m 1 gd l Hg kg 2 4k f f
2
（1－2－42）
其中：
kg
m 1 4k 2
（1－2－23）
k ch1m ln(m m2 1)
由上式，取y1=f，可得拱脚处恒载强度 g j 为：
g j gd f mgd
m gj gd
（1－2－16）
其中：
称为拱轴系数。
这样gx可变换为：
g j gd f mgd
y1 g x g d y1 g d 1 (m 1) f
(m 1) gd / f
13 31 0 23 32 0
但任有 12 21 0 达到。
为了使 12 21＝0 ，可以按下图引用“ 刚臂 ”的办法
12 21 0
y1ds s EI 时， ＝0 可以证明当 ys 12 21 ds s EI
设想沿拱轴线作宽度等于1/EI的图形，则ds/EI就代表此图的面积，而上 式就是计算这个图形的形心公式，其形心称为弹性中心。
M M
1/ 4 j
（1－2－27）
M
1/ 4
自拱定至拱跨1/4点的恒载对l/4截面的力距。
求得 y1/ 4 后，即可求得m值：
f
y1/ 4 1 f 2(m 1) 2
（1－2－28）
1 f m ( 2) 2 1 2 y1/ 4
空腹拱的m值，任需采用试算法计算（逐次渐近法）。 （3）悬链线无铰拱的弹性中心 无铰拱是三次超静定结构。对称无铰 拱若从拱定切开取基本结构，多余力 X1（弯矩），X2 （轴力）为对称， 而X3（剪力）是反对称的，故知副系 数
（1－2－19）
将上式代入式（1－2－14），并引参数:
x l1
可得：
则：
dx l1d
d 2 y1 l12 g d y1 1 (m 1) f 2 d Hg l12 g d k (m 1) Hg f
2
令
（1－2－20）
则
d 2 y1 l12 g d k 2 y1 d 2 Hg