第一型曲线积分

L f ( x, y, z)ds
2.存在条件：
当 f ( x, y)在光滑曲线弧L上连续时,
对弧长的曲线积分L f ( x, y)ds 存在.
3.推广
函数 f ( x, y, z)在空间曲线弧上对弧长的 曲线积分为
n
f ( x, y, z)ds
lim
T 0
i 1
f (i ,i , i ) si .
n
lim
t0 i1
f ( ( i), ( i))
( i) 2( i)ti
f ((t), (t))
2(t ) 2(t )dt
因此当在(4)式两边取极限后,即所得要证 的(3).
□
注1.当L:y= ( x), x [a, b]表示,则
f ( x, y)ds
b
f ( x, ( x))
1 2( x)dx;(5)
k
ci (1 i k )为常数，则 L ci fi ( x, y)ds也 i 1
存
在
，
且
k
k
L ci fi ( x, y)ds ci L fi ( x, y)ds
i 1
i 1
2 区间可加性 若线段 L由线段
Li (1 i k )首尾相接而成，且
f ( x, y)ds(1 i k)都存在，则 f ( x, y)ds
x
且J 的值与分割T 与点(i,i )的无法无关，则称此 极限为 f (x, y)在L上的第一型曲线积分或第一类 曲线积分，记作
L f ( x, y)ds
设 L为空间上可求长的曲线段，f (x, y, z)为
定义在 L上的函数。则可类似地定义 f (x, y,z) 空间曲线上的第一型曲线积分，并且记作
续函数，则
f ( x, y)ds
f ((t), (t))
(t)2 (t)2dt 。
L
证：在 L 上作一个划分 T：t0 , t1, tn。因此，
s ti
i
ti 1
2(t) 2(t)dt
2
(
i)
2
(
i
)ti
(ti1 i ti )
所以
n
n
f (i ,i )si f ((i), (i)) 2(i) 2( i)ti,
5 平均值公式 若L f ( x, y) d存s在，L的弧长为s，
则存在常数c，使得L f ( x, y)ds cs。
其中inf f ( x, y) c sup f ( x, y)
L
L
二 第一型曲线积分的计算
定理 20.1
设光滑曲线
L
:
x y
(t ), (t ),
t [ , ]，函数 f ( x, y)为定义在 L上的连
第二十章 曲线积分
§1 第一型曲线积分 §2 第二型曲线积分
§1 第一型曲线积分
一 第一型曲线积分的定义 二 第一型曲线积分的计算
y
一 第一型曲线积分的定义
B
L Mn1
实例:曲线形构件的质量
匀质之质量 M s.
(i ,i ) Mi
M2
oA M1 Mi1
x
分割 T:M1 , M2 , , Mn1 , Mi-1Mi si ,
取 (i ,i ) si , Mi (i ,i ) si .
n
求和 M (i ,i ) si .
近似值
i 1 n
精确值
取极限
M
lim
T 0
i 1
(i ,i ) si .
上述和式的极限就是该物体的质量。
1 定义 1
设L为平面上可求长度的曲线段，f (x, y)为定义在L上的函数。对
i1
i1
其中ti1 i, i ti.
令
n
f ( ( i), ( i))[ 2( i) 2( i)
i 1
2(i) 2(i)]ti
则有
n
n
f (i ,i )si f (( i), ( i)) 2( i) 2( i)ti . (4)
i 1
i 1
令 t max{t1 , t2 , , tn } 0. 当 T 0, 时 ， 必 有 t 0. 由 于 ，
f ( (t ), (t ))关于t 连续， 则
M>0, 使得 f ( (t ), (t )) M .
又 2(t) 2(t)在[, ]上一致连续
。
即 0, 0,使当t<时有
2( ) 2( ) 2( ) 2( ) ,
从而
n
M ti M (b a) 0. i 1
由定积分的定义
L
a
2.当L:x= ( y), y [c, d ]表示,则
f ( x, y)ds
d
f (( y), y)
1 2( y)dy;(6)
L
c
3.当L:x= (t ), y (t ), z (t ), t [ , ]表示,则
L f ( x, y, z)dt
f ((t), (t),(t))
3
解2： L : x y2 , 0≤y≤2 2
Li
L
k
也存在，且 f ( x, y)ds
f ( x, y)ds
L
i 1 Li
3 保号性若L f ( x, y)ds与L g( x, y)ds都存在，
且在 L上 f ( x, y) g( x, y)，
则L f ( x, y)ds L g( x, y)ds
4 积分绝对值 若L f ( x, y)ds存在，则 L f ( x, y)ds也存在，且| L f ( x, y)ds | L f ( x, y)ds
曲线L作分割T ，它把分成n个可求长度的小曲线段
Li(i 1,2,
,n)，Li的弧长记为si，分割T 的细度为 T
max
1in
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱsi
，
在上任取一点(i ,i )(i 1,2, ,n)。若有极限
n
lim
T 0 i 1
f (i ,i )si
J
y
A o
B L Mn1
(i ,i ) Mi M2 M1 Mi1
2(t) 2(t) 2(t)dt;
例1. 计算L yds. 其中 L 为y2=2x自点(0, 0)到点(2, 2)
的一段弧. 解1:
y 2
y2=2x
ds
1
dy dx
2
dx
1 1 dx 2x
yds 2 2x 1 1 dx
L
0
2x
0
2x
2 2x＋1dx 1 (5 5 1)
0
注意：
1. 若 L(或)是分段光滑的, (L L1 L2 )
f ( x, y)ds f ( x, y)ds f ( x, y)ds.
L1 L2
L1
L2
2. 函数f ( x, y)在闭曲线L上对弧长的
曲线积分记为L f ( x, y)ds.
第一型曲线积分的性质
1 线性性质 若 L fi ( x, y)ds(1 i k)存在，