第一型曲线积分
第一类曲线积分的计算
第一类曲线积分的计算第一类曲线积分的计算1、定义定义1 ：设L 为平面上可求长度的曲线段，)y ,x (f 为定义在L 上的函数．对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段)n ,,2,1i (L i ，i L 的弧长记为i s ，分割T 的细度为i ni 1s max T ，在i L 上任取一点(i ,).n ,,2,1i )(i 若存在极限J s ),(f lim i i n1i i 0T且J 的值与分割T 及点),(i i 的取法无关，则称此极限为)y ,x (f 在L 上的第一型曲线积分，记作 .ds )y ,x (f L （1） 定义2： 若L 为空间可求长曲线段，)y ,x (f 为定义在L 上的函数，则可类似地定义)z ,y ,x (f 在空间曲线L 上的第一型曲线积分为J s ),,(f lim i i i n1i i 0T ，(此处i s 为i L 的弧长,i n i 1s max T ,J 为一常数),并且记作 L .ds )z ,y ,x (f （2） 2、物理意义（1）设某物体的密度函数f （P ）是定义在 上的连续函数．当 是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量。
现在研究当 是平面上某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题．首先对 作分割,把 分成n 个可求长度的小曲线段i （i=1，2，…，n)，并在每一个i 上任取一点P i由于f （P ）为 上的连续函数,故当i 的弧长都很小时，每一小段i 的质量可近似地等于f （P i）i ,其中 i 为小曲线段i 的长度.于是在整个 上的质量就近似地等于和式i n1i i )P (f 当对 的分割越来越细密时,上述和式的极限就应是该物体的质量。
（2）空间曲线L 的重心坐标为(,,)(,,)yz LLx x y z dlM x Mx y z dl,(,,)(,,)zx LLy x y z dlM y Mx y z dl,(,,)(,,)xy LLz x y z dlM z Mx y z dl（3） 曲线L 的绕z 轴(x, y 轴)的转动惯量是22()(,,)z LJ x y x y z dl3、几何意义1） 当被积函数为1时, 积分的值恰为曲线的长度。
第一型曲线积分 第一型曲线积分的定义
n
i
f ( ( i), ( i)) 2 ( i) 2 ( i )t i . (4)
令 t max{t1 , t 2 ,
t 0
, t n }, 则当 T 0 时, 必有
t 0. 现在证明 lim 0.
这里 t i 1 i, i ti . 设
f ( ( i), ( i))[ 2 ( i ) 2 ( i ) 2 ( i) 2 ( i)]ti ,
i 1 n
则有
f ( , )s
i 1 i i n i 1
n ||T || 0
, n). 若有极限
i i i
lim
f ( , )s
i 1
J,
且 J 的值与分割 T 与点 ( i , i ) 的取法无关, 则称此 极限为 f ( x , y ) 在 L 上的第一型曲线积分, 记作
L
f ( x , y )ds .
若 L 为空间可求长曲线段 , f ( x , y , z ) 为定义在 L上 的函数, 则可类似地定义 f ( x , y , z )在空间曲线 L 上
, k ) 都存在, 则 L f ( x , y )ds
也存在, 且
L
L
f ( x , y )ds f ( x , y )ds .
i 1 Li
k
3． 若 f ( x , y )ds 与 g ( x , y )ds都存在, 且在 L 上
L
f ( x , y ) g( x , y ), 则
且
L
f ( x , y )ds g ( x , y )ds .
L
第一型曲线积分
L xyds
2 0
a cos t b sin t ( a sin t )2 (b cos t )2 dt
ab02 sin t cos t a 2 sin 2 t b 2 cos2 t dt
ab 02 (a 2 b 2 ) sin 2 t b 2 d (sin 2 t ) 2
( x ) 0.
L ( x y )ds
2 ( x 0 ) 1 0 dx 0
2
0 x dx
2
2.
(2) L： x ( y ) 2, 0 y 3.
( x ) 0.
L ( x y )ds
2 ( 2 y ) 1 0 dy 0
x2 y2
x2 y2
ds. 其中曲线 x 2 y 2 a 2 , 直
线 x 0, y x 在第一象限中所围的图 形边界。
解
Le
ds ds AB e
x2 y2
oA e
x2 y2
ds oB e
x2 y2
ds
oA : x 0, 0 y a .
I xyz ds
0 a 2 cos sin k ( a sin )2 (a cos )2 k 2 d
2 2 2 a k a k 2
2Байду номын сангаас
0 sin 2 d
2
1 ka 2 a 2 k 2 . 2
例5
计算
Le
0
ab(a 2 ab b 2 ) . 3(a b )
y
例2
计算
L ( x y ) ds.
第一型曲线积分的定义
第一型曲线积分的定义第一型曲线积分，是微积分中的一种重要概念与计算方法，它涉及曲线和向量场之间的积分。
本文将介绍第一型曲线积分的定义、性质和计算方法。
一、第一型曲线积分的定义第一型曲线积分，也称为曲线的线积分，是指在曲线上某个有向长度元素$\mathrm{d}s$上的函数值与该长度元素的乘积$d\boldsymbol{s}$在整个曲线上的积分。
设$C$是曲线，其参数方程为$\boldsymbol{r}(t)=(x(t), y(t), z(t)), t\in[a,b]$，则$C$的长度由公式：$$ L(C)=\int_{C}\mathrm{d}s=\int_{a}^{b}\left[\ left(x^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(t)\r ight)^{2}+\left(z^{\prime}(t)\right)^{2}\right]^{\f rac{1}{2}} \mathrm{d}t $$计算曲线$C$上的一个标量函数$f(x,y,z)$在曲线上的第一型曲线积分，即为：$$ \int_{C} f(x, y, z) \mathrm{d}s=\int_{a}^{b}f\left(\boldsymbol{r}(t)\right)\left[\left(x^{\prim e}(t)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(z^{\prime}(t)\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}t $$若积分路径可以看成向量值函数$\boldsymbol{r}(t)$的积分，第一型曲线积分就可以写作：$$ \int_{\boldsymbol{r}}\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r}=\int_{a}^{b}\boldsymbol{F}\left(\boldsymbol{r}(t)\right) \cdot \boldsymbol{r}^{\prime}(t) \mathrm{d}t=\int_{a}^{b} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s} $$其中$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})$是向量场，$\mathrm{d}\boldsymbol{r}$表示一个有向长度元素，$\cdot$表示向量内积运算，$\mathrm{d}\boldsymbol{s}=\boldsymbol{r}^{\prime}(t ) \mathrm{d} t$表示线元素。
第一型曲线积分的计算
L
2
4
2 2 求圆柱面 x y 1位于平面z 0上方与z y 例 6 下方那部分的侧面积 A.
当f ( x, y ) 0 时, f ( x, y ) ds 表示以 L 为准线,
L
母线平行于z轴, 高为z f ( x, y )的柱面面积。
s i (i 1, 2, , n ) ，同时也以 si
表示第 i 小段弧长。
（2）近似
(i , i )si ，
则 mi f (i ,i )si 。
y
M1 M2
M i1
（3）求和
m f ( i , i )si 。
n i 1
(i ,i )
Mi
L
M n1
2 y 2 R 2 , y 0.
例2
( x y)ds, L : 连接三点 O(0,0), A(1,0), B(0,1)的折线.
L
9 2 2 2 x y z 例 3 计算 ( x 2 y 2 z 2 )ds, 其中L : . 2 L x z 1
§6.4
第一型曲线积分的计算
一、第一型曲线积分的概念
曲线形物体的质量
设曲线形物体在xoy 平面上占有可求长曲线 L， 其线密度为连续函数 f ( x, y) ，求该物体的质量 m。
y
M1
M2
M i1
(i ,i )
Mi
L
M n1
A
B
o
x
（1）分割 在 L上 任取点列 M 1 , M 2 , M n 1 ，把 L 分为 n 小 段
2 2 2 2 x y z R 例 4 计算 （y 2 z )ds, 其中L : . L x yz 0
格林公式
y E
x 1 ( y)
D
x 2 ( y)
L Q ( x , y )dy
c o
C
x
同理可证
P dxdy L P ( x , y )dx D y
两式相加得
证明(2)
Q P ( x y )dxdy L Pdx Qdy D
L3 D3 D2 L2
格林公式的实质：
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系。
特别地：若 P y, Q x，则由 Green 公式
Q P x y dxdy 2 dxdy D D
1 ydx xdy S L ydx xdy L 2
由(2)知
Q P ( x y )dxdy D
2 3
G
L3
E D
L2
B
A
L1
C F
{ AB L BA AFC CE L EC CGA } ( Pdx Qdy)
( L L L )( Pdx Qdy)
2 3 1
L Pdx Qdy
一. 区域连通性的分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围 成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.
D D
单连通区域
复连通区域
二. 格林(Green)公式
定理1
数, 则有 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成, 函数 P ( x , y )及Q( x , y )在 D 上具有一阶连续偏导
1) D {( x, y ) | ( x 2)2 ( y 1)2 1},在 D 内 解
数学分析20.1第一型曲线积分(含习题及参考答案)
第二十章 曲线积分 1第一型曲线积分一、第一型曲线积分的定义引例：设某物体的密度函数f(P)是定义在Ω上的连续函数. 当Ω是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量.当Ω是平面或空间中某一可求长度的曲线段时，可以对Ω作分割，把Ω分成n 个可求长度的小曲线段Ωi (i=1,2,…,n)，并在每一个Ωi 上任取一点P i . 由f(P)为Ω上的连续函数知，当Ωi 的弧长都很小时，每一小段Ωi 的质量可近似地等于f(P i )△Ωi , 其中△Ωi 为小曲线段Ωi 的长度. 于是在整个Ω上的质量就近似地等于和式i ni i P f ∆Ω∑=1)(.当对Ω有分割越来越细密(即d=i ni ∆Ω≤≤1max →0)时，上述和式的极限就是该物体的质量.定义1：设L 为平面上可求长度的曲线段，f(x,y)为定义在L 上的函数.对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段L i (i=1,2,…,n)，L i 的弧长记为△s i ，分割T 的细度为T =i ni s ∆≤≤1max ，在L i 上任取一点(ξi ,ηi ),( i=1,2,…,n). 若有极限i ni i i T s f ∆∑=→1),(lim ηξ=J ，且J 的值与分割T 与点(ξi ,ηi )的取法无关，则称此极限为f(x,y)在L 上的第一型曲线积分，记作：⎰L ds y x f ),(.注：若L 为空间可求长曲线段，f(x,y,z)为定义在L 上的函数，则可类似地定义f(x,y,z)在空间曲线L 上的第一型曲线积分⎰L ds z y x f ),,(.性质：1、若⎰L i ds y x f ),((i=1,2,…,k)存在，c i (i=1,2,…,k)为常数，则⎰∑=L ki i ids y x f c1),(=∑⎰=ki Li i ds y x f c 1),(.2、若曲线L 由曲线L 1,L 2,…,L k 首尾相接而成，且⎰iL ds y x f ),((i=1,2,…,k)都存在，则⎰L ds y x f ),(也存在，且⎰L ds y x f ),(=∑⎰=ki L i ids y x f 1),(.3、若⎰L ds y x f ),(与⎰L ds y x g ),(都存在，且f(x,y)≤g(x,y)，则⎰Lds y x f ),(≤⎰Lds y x g ),(.4、若⎰L ds y x f ),(存在，则⎰L ds y x f ),(也存在，且⎰L ds y x f ),(≤⎰L ds y x f ),(.5、若⎰L ds y x f ),(存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得⎰L ds y x f ),(=cs, 这里),(inf y x f L≤c ≤),(sup y x f L.6、第一型曲线积分的几何意义：(如图)若L 为平面Oxy 上分段光滑曲线，f(x,y)为定义在L 上非负连续函数. 由第一型曲面积分的定义，以L 为准线，母线平行于z 轴的柱面上截取0≤z ≤f(x,y)的部分面积就是⎰Lds y x f ),(.二、第一型曲线积分的计算 定理20.1：设有光滑曲线L:⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ, t ∈[α,β]，函数f(x,y)为定义在L上的连续函数，则⎰L ds y x f ),(=⎰'+'βαψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22. 证：由弧长公式知，L 上由t=t i-1到t=t i 的弧长为△s i =⎰='+'ii t t dt t t 1)()(22ψϕ.由)()(22t t ψϕ'+'的连续性与积分中值定理，有△s i =)()(22i i τψτϕ''+''△t i (t i-1<i τ'<t=t i )，∴i ni i i s f ∆∑=1),(ηξ=i i i ni i i t f ∆''+''''''∑=)()())(),((221τψτϕτψτϕ (t i-1<i τ',i τ''<t=t i ). 设σ=[]i i i i i n i i i t f ∆'''+'''-''+''''''∑=)()()()())(),((22221τψτϕτψτϕτψτϕ，则有in i iis f ∆∑=1),(ηξ=i i i ni iit f ∆'''+'''''''∑=)()())(),((221τψτϕτψτϕ+σ.令△t=max{△t 1,△t 2,…,△t n }，则当T →0时，必有△t →0. 又复合函数f(φ(t),ψ(t))关于t 连续，∴在[α,β]上有界，即 存在常数M ，使对一切t ∈[α,β]，都有|f(φ(t),ψ(t))|≤M. 再由)()(22t t ψϕ'+'在[α,β]上连续，从而在[α,β]上一致连续，即 ∀ε>0, ∃δ>0，使当△t<δ时有)()()()(2222i i i i τψτϕτψτϕ'''+'''-''+''<ε, 从而|σ|≤εM ∑=∆ni i t 1=εM(β-α)， 即σlim 0→∆t =0. 又由定积分的定义，得i i i ni i i t t f ∆'''+'''''''∑=→∆)()())(),((lim221τψτϕτψτϕ=⎰'+'βαψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22. 故⎰Lds y x f ),(=in i iit s f ∆∑=→∆1),(limηξ=i i i ni iit t f ∆'''+'''''''∑=→∆)()())(),((lim 221τψτϕτψτϕ+0lim →∆t σ=⎰'+'βαψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22.注：1、若曲线L 由方程y=ψ(x), x ∈[a,b]表示，且ψ(x)在[a,b]上有连续的导函数时，则有⎰L ds y x f ),(=⎰'+ba dx x x x f )(1))(,(2ψψ.2、当曲线L 由方程x=φ(y), y ∈[c,d]表示，且φ(y)在[c,d]上有连续的导函数时，则有⎰L ds y x f ),(=⎰'+dc dy y y y f )(1)),((2ϕϕ. 3、对空间曲线积分⎰L ds z y x f ),,(，当曲线L 由参量方程x=φ(t),y=ψ(t),z=χ(t), t ∈[α,β]表示时，有⎰Lds z y x f ),,(=⎰'+'+'βαχψϕχψϕdt t t t t t t f )()()())(),(),((222. 4、由第一型曲线积分的定义，在Oxy 平面上，线密度为ρ(x,y)的曲线状物体对x,y 轴的转动惯量分别为：J x =⎰L ds y x y ),(2ρ和J x =⎰L ds y x x ),(2ρ.例1：设L 是半圆周⎩⎨⎧==t a y ta x sin cos , t ∈[0,π]，试计算第一型曲线积分⎰+Lds y x )(22.解：⎰+L ds y x )(22=⎰++π022222222cos sin )sin cos (dt t a t a t a t a =⎰π03dt a =a 3π.例2：设L 是y 2=4x 从O(0,0)到A(1,2)的一段，试求第一型曲线积分⎰L yds . 解：⎰L yds =⎰+20241dy yy =⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++202241412y d y =202324134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y =)122(34-.例3：计算⎰L ds x 2，其中L 为球面x 2+y 2+z 2=a 2被平面x+y+z=0所截得的圆周.解：由对称性知，⎰L ds x 2=⎰L ds y 2=⎰L ds z 2，∴⎰L ds x 2=⎰++L ds z y x )(31222=⎰L ds a 32=33πa .例4：求线密度ρ(x,y)=21xy +的曲线段y=lnx, x ∈[1,2]对于y 轴的转动惯量.解：J x =⎰L ds y x x ),(2ρ=⎰+Lds x y x 221=⎰++21222111ln dx xx x x =⎰21ln xdx x =ln4-43.习题1、计算下列第一型曲线积分：(1)⎰+L ds y x )(, 其中L 是以O(0,0), A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形； (2)⎰+L ds y x 22, 其中L 是以原点为中心，R 为半径的右半圆周；(3)⎰L xyds , 其中L 为椭圆22a x +22by =1在第一象限中的部分；(4)⎰L ds y ||, 其中L 为单位圆周x 2+y 2=1；(5)⎰++L ds z y x )(222, 其中L 为螺旋线x=acost, y=asint, z=bt(0≤t ≤2π)的一段；(6)⎰L xyzds , 其中L 是曲线x=t, y=3232t , z=21t 2(0≤t ≤1)的一段； (7)⎰+L ds z y 222, 其中L 为x 2+y 2+z 2=a 2与x=y 相交的圆周. 解：(1) ⎰+L ds y x )(=⎰+OA ds y x )(+⎰+AB ds y x )(+⎰+BO dsy x )( =⎰10xdx +⎰102dx +⎰10ydy =1+2.(2)右半圆的参数方程为：x=Rcos θ, y=Rsin θ, -2π≤θ≤2π. ∴⎰+L ds y x 22=⎰-222ππθd R =πR 2.(3)方法一：∵y=22x a a b-, y ’=22xa a bx -, ∴⎰L xyds =⎰-+-adx x a a x b x a x a b 02222222)(1=⎰--adx x b a a a b 0222242)(2=)(3)(22b a b ab a ab +++.方法二：L 的参数方程为：x=acos θ, y=bsin θ,0≤θ≤2π.∴⎰L xyds =⎰+202222cos sin sin cos πθθθθθd b a ab=⎰-++-2022222cos 2cos 2)(224πθθd a b b a ab =)(3)(22b a b ab a ab +++. (4)方法一：圆的参数方程为：x=cos θ, y=sin θ,0≤θ≤2π， ∴⎰L ds y ||=⎰πθθ0sin d -⎰ππθθ2sin d =4. 方法二：∵|y|=21x -, (|y|)’=21xx --,∴⎰L ds y ||=2⎰--+-11222111dx x x x=2⎰-11dx =4. (5)⎰++L ds z y x )(222=⎰++π2022222)(dt b a t b a =2232b a +π(3a 2+4π2b 2).(6)x ’=1, y ’=t 2, z ’=t,∴⎰L xyzds =⎰++⋅⋅102232121232dt t t t t t =⎰+129)1(32dt t t =143216. (7)依题意，L 的参数方程可表示为：x=y=2a cos θ, z=asin θ, 0≤θ≤2π，∴⎰+L ds z y 222=⎰πθ202d a =2a 2π.2、求曲线x=a, y=at, z=21at 2(0≤t ≤1, a>0)的质量，设线密度为ρ=az 2. 解：⎰L ds a z 2=⎰+10222dt t a a t =⎰+102212dt t a =)122(3-a.3、求摆线x=a(t-sint), y=a(1-cost) (0≤t ≤π)的质心，设其质量分布均匀.解：∵dx=dt t a t a 2222sin )cos 1(+-=2asin 2t dt ，m=2a ρ0⎰π02sin dt t=4a ρ0.∴质心坐标为x=⎰-πρ002sin 2)sin (1dt t a t t a m =⎰-π0)2sin sin 2sin (2dt t t t t a =34a;y=⎰-πρ002sin 2)cos 1(1dt t a t a m =34a .4、若曲线以极坐标ρ=ρ(θ) (θ1≤θ≤θ2)表示，试给出计算⎰L ds y x f ),(的公式，并用此公式计算下列曲线的积分： (1)⎰+L y x ds e22, 其中L 为曲线ρ=a (0≤θ≤4π)的一段； (2)⎰L xds , 其中L 为对数螺线ρ=ae k θ (k>0)在圆r=a 内的部分. 解：L 的参数方程为x=ρ(θ)cos θ, y=ρ(θ)sin θ, (θ1≤θ≤θ2)，ds=θθθd d dy d dx 22⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθρθρd )()(22'+，∴⎰L ds y x f ),(=⎰'+21)()()sin ,cos (22θθθθρθρθρθρd f .(1)⎰+L y x ds e22=⎰40πθd ae a =4πae a . (2)⎰L xds =a ⎰∞-+022222cos θθθθθd e k a e a e k k k=a 2⎰∞-+022cos 1θθθd ekk =1412222++k k ka .注：∵⎰∞-02cos θθθd e k =⎰∞-02cos 21θθk de k =⎰∞-∞-+202sin 21cos 21d e ke kk k θθθθ=θθk e d k k 202sin 4121⎰∞-+=⎰∞--022cos 4121θθθd e kk k ； ∴⎰∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛+022cos 411θθθd e k k =k 21，即⎰∞-02cos θθθd e k =1422+k k .5、证明：若函数f(x,y)在光滑曲线L: x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]上连续，则存在点(x 0,y 0)∈L ，使得⎰L ds y x f ),(=f(x 0,y 0)△L ，其中△L 为L 的弧长. 证：∵f 在光滑曲线L 上连续，∴⎰L ds y x f ),(存在，且⎰Lds y x f ),(=⎰'+'βαdt t y t x t y t x f )()())(),((22.又f(x(t),y(t))与)()(22t y t x '+'在[α,β]上连续，由积分中值定理知， ∃t 0∈[α,β]，使⎰L ds y x f ),(=f(x(t 0),y(t 0))⎰'+'βαdt t y t x )()(22= f(x(t 0),y(t 0))△L. 令x 0=x(t 0), y 0=y(t 0), 则(x 0,y 0)∈L, 且⎰L ds y x f ),(=f(x 0,y 0)△L.。
高数9-1(第一型曲线积分)
(3) L : r r( ),
L f ( x, y)ds
f [r ) cos, r( )sin ]
r2 ( ) r2 ( )d
推广 : x (t), y (t), z (t) ( t )
f ( x, y, z)ds
f [(t), (t),(t)] 2(t) 2(t) 2(t)dt ( )
2 f ( x, y)ds,当f ( x, y) 是L上关于x (或y)的偶函数 L1
L1是曲线L落在y (或x)轴一侧的部分.
运用对称性简化对弧长的曲线积分 计算时, 应同时考虑被积函数 f ( x, y)与积 分曲线L的对称性.
6/19
例 计算 ( x y3 )ds. 其中L是圆周 x2 y2 R2. L
(对路径具有可加性)
4/19
5．性质
(1) [ f ( x, y, z) g( x, y, z)]ds
f ( x, y, z)ds g( x, y, z)ds
(2) kf ( x, y, z)ds k f ( x, y, z)ds (k为常数)
(3) 与积分路径的方向无关, 即
(
⌒ f
f ( x, y)ds
b
f [ x, ( x)]
1 2( x)dx (a b)
L
a
ds 1 2( x)dx
(2) L : x ( y), c y d
f ( x, y)ds
d
f [( y), y]
1 2( y)dy (c d )
L
c
ds 1 2( y)dy
10/19
解 对称性,得
y x2 y2 R2
( x y3 )ds xds y3ds 0
L
第一型曲线积分和第二型曲线积分的联系
第一型曲线积分和第二型曲线积分的联系区别：方法不同；积分对象不同；应用场合不同。
第一型曲线积分：在平面曲线或空间曲线上的函数关于该曲线的积分。
第一型曲线积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲线，计算该曲线的质量。
第二型曲线积分亦称关于坐标的曲线积分，是一种与曲线定向有关的曲线积分。
1、第一型曲面分数最基本的计算方法就是同第二型曲面分数一样, 也就是化成二重积分。
第二型曲面最基本的方法就是通过找投影化为二重积分. 想要提醒一点的是: 如果曲面是 x=c 的一部分, 这时候x'=0, 即 dx=0, 所以曲面积分中包含 dxdy 与 dzdx 的两项直接为零,。
而关于 p(x,y,z)dzdx 的分数, 也变成了 p(c,y,z)dydz 的分数, 然后融合方向就可以化成二重积分.。
同理, 对于 y 或者 z 为常数的情况亦就是如此。
2、第一类曲线积分是对弧长积分，对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素；第二类曲线积分是对坐标（有向弧长在坐标轴的投影）积分，对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素。
3、第一类曲线分数求非密度光滑的线状物体质量等问题，第二类曲线分数化解作功类等问题。
曲线曲面积分公式(一)
曲线曲面积分公式(一)曲线曲面积分公式本文将介绍曲线曲面积分的相关公式，并通过举例进行解释说明。
一、曲线积分公式1. 第一型曲线积分第一型曲线积分表示对曲线上的函数在曲线长度方向上的积分，其公式为：(_C f(x, y, z) ds)其中，(C)为曲线，(f(x, y, z))为曲线上的函数，(ds)表示曲线微元的长度。
举例：考虑计算曲线(C: x = t, y = t^2, z = t^3)上函数(f(x, y, z) = x^2 + y + z)的第一型曲线积分。
首先需要计算曲线的参数方程可微分区间([a, b])上的导数：( = 1)( = 2t)( = 3t^2)曲线微元的长度(ds)可以表示为：(ds = dt = dt)因此，对函数(f(x, y, z) = x^2 + y + z)进行第一型曲线积分的结果为：(_C (x^2 + y + z) ds = _a^b (t^2 + t^2 + t^3) dt)2. 第二型曲线积分第二型曲线积分表示对曲线上的矢量场在曲线长度方向上的积分，其公式为：(_C d)其中，(C)为曲线，()为矢量场，(d)表示曲线微元的矢量。
举例：考虑计算曲线(C: x = t, y = t^2, z = t^3)上的矢量场( =(2xy, 3x^2, z))的第二型曲线积分。
首先需要计算曲线的参数方程可微分区间([a, b])上的导数：( = 1)( = 2t)( = 3t^2)曲线微元的矢量(d)可以表示为：(d = (, , ) dt = (1, 2t, 3t^2) dt)因此，对矢量场( = (2xy, 3x^2, z))进行第二型曲线积分的结果为：(_C (2xy, 3x^2, z) (1, 2t, 3t^2) dt = _a^b (2t(t^2),3(t2)2, t^3) (1, 2t, 3t^2) dt)二、曲面积分公式1. 第一型曲面积分第一型曲面积分表示对曲面上的函数在曲面面积方向上的积分，其公式为：(_S f(x, y, z) dS)其中，(S)为曲面，(f(x, y, z))为曲面上的函数，(dS)表示曲面微元的面积。
第一型曲线积分
第一型曲线积分第一型曲线积分是微积分中一个重要的概念，用于计算曲线上的函数与曲线弧长之间的关系。
它在物理学、工程学以及数学等领域中都有广泛的应用。
本文将为您详细介绍第一型曲线积分的相关内容。
首先，我们需要明确什么是第一型曲线积分。
第一型曲线积分也被称为曲线上的函数积分，是将一个函数沿着曲线路径进行积分的过程。
其数学表示为∫f(x,y)ds，其中f(x,y)为函数，ds表示曲线上的微小弧长。
在计算第一型曲线积分时，我们需要确定积分路径的参数方程。
常见的参数方程有参数方程表示法、极坐标方程和向量值函数方程。
通过确定参数方程，我们可以将曲线上的函数与弧长联系起来，并进行积分运算。
接下来，我们将详细介绍第一型曲线积分的计算方法。
计算第一型曲线积分的一般步骤如下：1. 确定积分路径的参数方程。
根据题目给出的信息，选择合适的参数方程描述曲线路径。
2. 计算弧长微元ds。
根据参数方程求得弧长微元ds的表达式。
3. 将函数f(x,y)表示为参数的形式。
将参数方程中的x和y表示为参数的函数形式。
4. 将函数f(x,y)与弧长微元ds进行乘积运算。
将步骤3中的函数形式代入弧长微元表达式中，得到被积函数与弧长微元的乘积。
5. 对被积函数与弧长微元的乘积进行积分。
将步骤4中得到的乘积函数进行积分运算，得到第一型曲线积分的结果。
除了以上计算步骤，我们还需要注意以下几点：1. 曲线的方向：在计算第一型曲线积分时，需要注意曲线的定向。
如果曲线是定向的，则与定向相反的方向计算的积分结果会有所不同。
2. 曲线的参数变换：有时候在计算第一型曲线积分时，可能需要对参数进行变换，以便更方便地进行积分计算。
3. 曲线的分段计算：如果曲线是由多个路径组成的，可以将整个曲线分成若干个路径进行计算，然后将每个路径的积分结果相加得到整个曲线的积分结果。
总之，第一型曲线积分是计算曲线上函数与弧长之间关系的重要工具。
通过确定积分路径的参数方程，计算弧长微元，将函数与弧长微元进行乘积运算，并进行积分，我们可以得到曲线上函数的积分结果。
考研数学-第一型曲线曲面积分
3 2 C在xoy面上投影D xy {( x , y ) x y 1} 4
2
2x 2 y z z z 1 1 x y y 2z y 2z
2
2
2
2
4 y 2 z 2 4 yz y 2z
2 2
8 16 8 5 5 R R R 5 15 5 3
例14
练习十二/五
设有一个由曲线y ln x, y 0, x e所围成的 均匀薄片, 其面密度为 1, 若此薄片关于直线 x t的转动惯量为I (t ), 求使I (t )取得最小值的t. y 2 解：I (t ) ( x t ) d
dx 2 2 解 : ds 1 ( ) dy dy 2 dy 4 y
( x y 1)ds
L
2
2
( 4 y y 1)
2
2 4 y
2
dy
8 2
例2 练习十三/二(2)
x2 y 2 设L为椭圆 1,已知其周长为a, 2 3 则 (3x 2 5 xy 2 y 2 )ds _______ .
λ 0
i 1
n
2. 计算:
: z z( x , y ) , ( x , y ) D x y , 则
f ( x , y, z )dS
Dxy
f [ x, y, z( x , y )]
1 zx zy dxdy;
2 2
方法：一投、二代、三换．
3. 对称性
对面积的曲面积分 f ( x , y , z ) d S，
第十节 第一型曲线曲面积分 积分应用
第一型曲线积分几何意义
第一型曲线积分几何意义摘要：一、引言二、第一型曲线积分的基本概念1.定义2.性质三、第一型曲线积分的几何意义1.面积分2.线积分四、应用实例1.求解曲面的面积2.求解空间曲线的长度五、结论与展望正文：一、引言在数学领域，曲线积分是一种重要的积分形式，它具有广泛的应用。
根据积分的形式和性质，曲线积分可分为第一型和第二型。
本文将主要探讨第一型曲线积分的几何意义及其应用。
二、第一型曲线积分的基本概念1.定义第一型曲线积分是对曲线上的点进行积分，它的一般形式如下：∫(C)f(x,y,z)ds，其中C为空间曲线，f(x,y,z)为空间函数，ds为曲线C上的微小元。
2.性质第一型曲线积分具有以下性质：（1）线性性：对于任意两个函数f(x,y,z)和g(x,y,z)，有∫(C)f(x,y,z)ds + ∫(C)g(x,y,z)ds = ∫(C)(f(x,y,z) + g(x,y,z))ds。
（2）可积性：若f(x,y,z)在曲线C上连续，则∫(C)f(x,y,z)ds存在。
（3）参数不变性：对于曲线C上的参数变换，积分结果不变。
三、第一型曲线积分的几何意义1.面积分第一型曲线积分可以表示为曲面上的面积分。
例如，设曲面S由参数方程表示：x = x(u, v)，y = y(u, v)，z = z(u, v)，其中(u, v)为参数。
则曲面S的面积为：A = ∫(S)ds = ∫(∫(S_udu)d v)dv，其中ds = dxdu + dydv + dzdv，S_udu表示曲面S上微小元在u方向上的微分。
2.线积分第一型曲线积分还可以表示为空间曲线的长度。
例如，设空间曲线C由参数方程表示：x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)，其中t为参数。
则曲线C的长度为：L = ∫(C)ds = ∫(√(dx + dy + dz)dt)，其中ds = dxdt + dydt + dzdt。
四、应用实例1.求解曲面的面积假设一个曲面S由参数方程表示：x = x(u, v)，y = y(u, v)，z = z(u, v)。
第一类曲线积分的三种计算方式
第一类曲线积分的三种计算方式1.参数方程法参数方程法是最常用的计算第一类曲线积分的方法之一、它利用参数方程将曲线分成若干小段，然后计算每一小段上的积分，最后将所有小段上的积分相加得到整个曲线上的积分值。
具体步骤如下：1.将曲线的参数方程表示为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，其中t的取值范围为[a,b]。
2.求出曲线的切线向量T(t)和曲率向量K(t)。
3.将向量场F(x,y,z)表示为F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k。
4. 计算曲线段的长度ds=sqrt(dx^2+dy^2+dz^2)，其中dx=f'(t)dt，dy=g'(t)dt，dz=h'(t)dt。
5.将向量场在曲线上的投影F·T计算出来。
6. 将F·T乘以ds，再积分得到曲线上的积分。
参数方程法的优点是适用于任意形状的曲线，缺点是当曲线的参数方程比较复杂时，计算较为繁琐。
2.向量场法向量场法是计算第一类曲线积分的另一种常见方法。
它直接利用向量场在曲线上的投影与曲线段的长度相乘然后积分，而无需转化为参数方程。
具体步骤如下：1.将向量场F(x,y,z)表示为F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k。
2.将曲线表示为r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k，其中t的取值范围为[a,b]。
3. 计算向量场在曲线上的投影F·dr，其中dr=dx i+dy j+dz k，dx=x'(t)dt，dy=y'(t)dt，dz=z'(t)dt。
4. 将F·dr积分得到曲线上的积分。
向量场法的优点是计算较为简单直接，而无需转化为参数方程，缺点是不适用于复杂的曲线形状。
3.微积分基本定理法微积分基本定理法是计算第一类曲线积分的另一个重要方法。
它利用微积分基本定理将曲线积分转化为定积分，从而简化计算过程。
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其中 f（x，y，z）称为被积曲面积分的性质
①若在 S 上函数 f（x，y，z）≡1，则
为曲面 S 的面积．
②若曲面
，则函数 f（x，y）在 S 上的曲面积分即为二重积分
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2．第二型曲面积分的定义
设
是分片光滑双侧曲面，若它有边界，则其边界由有限条分段光滑曲线组成．给
定 S 的一侧，S 上每点处的单位法向量记为
,向量函数
在 S 上有定义．对 S 作任意分割 每块小曲面的面积，记
给出时，则有
2．第一型曲面积分的定义
（1）第一型曲面积分的定义
设
是光滑曲面，函数 f（x，y，z）在 S 上有定义，又设
是 S 的一个分割，记
在 △ Sk 上 任 取 一 点
，作和式
对于 S 的任意分割 T 及任取的 时，有
．若存在常数 I，使得对于 当
即
则称 f（x，y，z）在 S 上的第一型曲面积分存在，并称 I 为 f（x，y，z）在 S 上的第一型 曲面积分，记为
数．对于 的任一分割 T：
记
为弧段
的
弧长（即 介于
之间部分的长度）及
在
上任取一点
，作和式
若存在 I ∈R，使得对于
，当λ（T）＜σ时，有
对 的任意分割 T 及每个小弧段上任意选取的
即
则称 f（x，y，z）沿 的第一型曲线积分存在，并称 I 为 f（x，y，z）在 上的第一型曲
线积分，记为
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特别地，当 是一条简单闭曲线时，有
§6.4第一型曲线积分的计算
故 ( x2 y2 z2 )ds 9 ds 2 9 2dt 18 .
L
L2
02
例 4．设 L 为椭圆 x2 y2 1 ，其周长为 a， 43
求 (3x 2 4 y 2 2xy)ds 的值. L
解：∵ x2 y2 1 ，∴ 3 x2 4 y2 12 ， 43
∴ (3x 2 4 y 2 2xy)ds （代入L的方程） L
L
x2 y2 z2 9 与平面x z1 的交线. 2
解： L
：x2 y2Biblioteka x z1z29 2
(x 1)2 2
2 z1 x.
y2 4
1,
其参数方程为：
x 1 2cost, 2
y 2sint,
z
1 2
2 cos t .
(0t 2 ) ，
ds ( 2 sint)2 (2cos t)2 ( 2 sint)2 dt 2dt,
ds 1 y2 (x)dx R dx
R2 x2
R xR
xds
dx 0
L
R R2 x2
(法二)
:
L
:
x
y
R R
cos s in
,0
ds R 2 sin 2 R 2 cos2 d
xds R 2 cosd R 2 sin 0
L
0
0
例 2 L (x y)ds, L : 连接三点O(0,0), A(1,0), B(0,1)的折线.
而平面 x y z0 通过原点，
∴ L 为平面 x y z 0 上半径为 R 的圆，其周长为 2R .
∵曲线 L 的 方程对 x，y，z 具有轮换对称性，
∴ zds xds yds 1 ( x y z)ds 0 ，
第一型曲线积分公式
第一型曲线积分公式第一型曲线积分公式是一个在向量函数上定义的积分，用于计算曲线在给定向量场下的功。
这个公式是在微积分学中非常重要的概念之一，在数学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
在以下的讨论中，我们假设曲线是一个光滑的连续曲线，定义在有限实区间[ a,b ]上。
我们记曲线C = { r ( t ) | t∈ [ a,b ]}，其中r(t) = ( x(t), y(t), z(t) )是一个向量值函数。
向量函数r表示了曲线在三维空间中的路径，即在时间t处的曲线点。
我们记向量函数F = ( P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) )是一个连续向量场，P、Q、R分别是第一、第二、第三坐标上的方程。
在这个设定下，第一型曲线积分I可以表示为：I = ∫C F • dr其中，符号•表示点积，dr表示微小的弧长元素：dr = ( dx, dy, dz ) = ( dx/dt, dy/dt, dz/dt ) dt等价地，我们可以写出以下的积分形式：I = ∫a^b F ( r ( t ) ) . r'( t ) dt这里，r' (t)是r对t的导数，也就是t时刻曲线的切向量。
F是在曲线上的向量场，它根据r的每个点来确定曲线上的向量。
首先，我们可以将C分为多个局部线段。
每个线段都可以近似地看作直线，从而可以使用线性积分的概念。
然后，我们对每个局部线段进行积分，把它们的结果加起来。
因为线性积分的结果只依赖于曲线的起点和终点，所以我们可以把曲线C的长度定义为：L = ∫C || dr || = ∫ a^b || r'(t) || dt这里，|| . || 表示向量的模。
这个长度可以用来换算单位弧长元素。
具体来说，我们可以定义曲线C的弧长参数s，它满足：s' (t) = || r' (t) ||因此，我们可以把积分变换到弧长参数下：I = ∫ L F ( r(s) ) . T(s) ds这里，T(s) = r' (s) / || r'(s) || 是曲线在点s处的单位切向量。
第一型曲线积分计算公式
第一型曲线积分计算公式：第一型曲线积分也称为路径积分或弧长积分，用于计算向量场沿着曲线的积分。
其计算公式如下：∫C F · dr其中，C 是曲线，F 是向量场，dr 是曲线上的微元弧长向量。
以下是两个实例：实例1：考虑曲线C，由参数方程r(t) = (cos(t), sin(t))，其中0 ≤ t ≤ π/2。
向量场F(x, y) = (x, y)。
我们可以首先计算曲线的切向量r'(t) = (-sin(t), cos(t))。
然后计算F · dr：F · dr= (x, y) · (dx, dy) = (x, y) · (dx/dt, dy/dt) dt [使用链式法则将dr 转换为dt] = (cos(t), sin(t)) · (-sin(t), cos(t)) dt = -sin(t)cos(t) + sin(t)cos(t) dt = 0由于F · dr = 0，因此该曲线上的第一型曲线积分为0。
实例2：考虑曲线C，由参数方程r(t) = (t, t^2)，其中0 ≤ t ≤ 1。
向量场F(x, y) = (y, x)。
首先计算曲线的切向量r'(t) = (1, 2t)。
然后计算F · dr：F · dr = (y, x) · (dx, dy) = (y, x) · (dx/dt, dy/dt) dt = (t^2, t) · (1, 2t) dt = t^2 + 2t^2 dt = 3t^2 dt要计算第一型曲线积分，我们需要将积分限从参数t 转换为实际的曲线长度。
曲线长度由下式给出：s = ∫[a, b] ||r'(t)|| dt计算曲线长度：s = ∫[0, 1] ||r'(t)|| dt = ∫[0, 1] ||(1, 2t)|| dt = ∫[0, 1] sqrt(1^2 + (2t)^2) dt = ∫[0, 1] sqrt(1 + 4t^2) dt = ∫[0, 1] sqrt(4t^2 + 1) dt现在我们可以计算第一型曲线积分：∫C F · dr = ∫[0, 1] 3t^2 dt = 3∫[0, 1] t^2 dt = 3[t^3/3] [0, 1] = 1因此，该曲线上的第一型曲线积分为1。
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Li
L
k
也存在，且 f ( x, y)ds
f ( x, y)ds
L
i 1 Li
3 保号性若L f ( x, y)ds与L g( x, y)ds都存在，
且在 L上 f ( x, y) g( x, y)，
则L f ( x, y)ds L g( x, y)ds
4 积分绝对值 若L f ( x, y)ds存在，则 L f ( x, y)ds也存在，且| L f ( x, y)ds | L f ( x, y)ds
2(t) 2(t) 2(t)dt;
例1. 计算L yds. 其中 L 为y2=2x自点(0, 0)到点(2, 2)
的一段弧. 解1:
y 2
y2=2x
ds
1
dy dxyds 2 2x 1 1 dx
L
0
2x
0
2x
2 2x＋1dx 1 (5 5 1)
0
3
解2： L : x y2 , 0≤y≤2 2
f ( (t ), (t ))关于t 连续， 则
M>0, 使得 f ( (t ), (t )) M .
又 2(t) 2(t)在[, ]上一致连续
。
即 0, 0,使当t<时有
2( ) 2( ) 2( ) 2( ) ,
从而
n
M ti M (b a) 0. i 1
由定积分的定义
5 平均值公式 若L f ( x, y) d存s在，L的弧长为s，
则存在常数c，使得L f ( x, y)ds cs。
其中inf f ( x, y) c sup f ( x, y)
L
L
二 第一型曲线积分的计算
定理 20.1
设光滑曲线
L
:
x y
(t ), (t ),
t [ , ]，函数 f ( x, y)为定义在 L上的连
注意：
1. 若 L(或)是分段光滑的, (L L1 L2 )
f ( x, y)ds f ( x, y)ds f ( x, y)ds.
L1 L2
L1
L2
2. 函数f ( x, y)在闭曲线L上对弧长的
曲线积分记为L f ( x, y)ds.
第一型曲线积分的性质
1 线性性质 若 L fi ( x, y)ds(1 i k)存在，
第二十章 曲线积分
§1 第一型曲线积分 §2 第二型曲线积分
§1 第一型曲线积分
一 第一型曲线积分的定义 二 第一型曲线积分的计算
y
一 第一型曲线积分的定义
B
L Mn1
实例:曲线形构件的质量
匀质之质量 M s.
(i ,i ) Mi
M2
oA M1 Mi1
x
分割 T:M1 , M2 , , Mn1 , Mi-1Mi si ,
L f ( x, y, z)ds
2.存在条件：
当 f ( x, y)在光滑曲线弧L上连续时,
对弧长的曲线积分L f ( x, y)ds 存在.
3.推广
函数 f ( x, y, z)在空间曲线弧上对弧长的 曲线积分为
n
f ( x, y, z)ds
lim
T 0
i 1
f (i ,i , i ) si .
n
lim
t0 i1
f ( ( i), ( i))
( i) 2( i)ti
f ((t), (t))
2(t ) 2(t )dt
因此当在(4)式两边取极限后,即所得要证 的(3).
□
注1.当L:y= ( x), x [a, b]表示,则
f ( x, y)ds
b
f ( x, ( x))
1 2( x)dx;(5)
曲线L作分割T ，它把分成n个可求长度的小曲线段
Li(i 1,2,
,n)，Li的弧长记为si，分割T 的细度为 T
max
1in
si
，
在上任取一点(i ,i )(i 1,2, ,n)。若有极限
n
lim
T 0 i 1
f (i ,i )si
J
y
A o
B L Mn1
(i ,i ) Mi M2 M1 Mi1
x
且J 的值与分割T 与点(i,i )的无法无关，则称此 极限为 f (x, y)在L上的第一型曲线积分或第一类 曲线积分，记作
L f ( x, y)ds
设 L为空间上可求长的曲线段，f (x, y, z)为
定义在 L上的函数。则可类似地定义 f (x, y,z) 空间曲线上的第一型曲线积分，并且记作
取 (i ,i ) si , Mi (i ,i ) si .
n
求和 M (i ,i ) si .
近似值
i 1 n
精确值
取极限
M
lim
T 0
i 1
(i ,i ) si .
上述和式的极限就是该物体的质量。
1 定义 1
设L为平面上可求长度的曲线段，f (x, y)为定义在L上的函数。对
k
ci (1 i k )为常数，则 L ci fi ( x, y)ds也 i 1
存
在
，
且
k
k
L ci fi ( x, y)ds ci L fi ( x, y)ds
i 1
i 1
2 区间可加性 若线段 L由线段
Li (1 i k )首尾相接而成，且
f ( x, y)ds(1 i k)都存在，则 f ( x, y)ds
i1
i1
其中ti1 i, i ti.
令
n
f ( ( i), ( i))[ 2( i) 2( i)
i 1
2(i) 2(i)]ti
则有
n
n
f (i ,i )si f (( i), ( i)) 2( i) 2( i)ti . (4)
i 1
i 1
令 t max{t1 , t2 , , tn } 0. 当 T 0, 时 ， 必 有 t 0. 由 于 ，
L
a
2.当L:x= ( y), y [c, d ]表示,则
f ( x, y)ds
d
f (( y), y)
1 2( y)dy;(6)
L
c
3.当L:x= (t ), y (t ), z (t ), t [ , ]表示,则
L f ( x, y, z)dt
f ((t), (t),(t))
续函数，则
f ( x, y)ds
f ((t), (t))
(t)2 (t)2dt 。
L
证：在 L 上作一个划分 T：t0 , t1, tn。因此，
s ti
i
ti 1
2(t) 2(t)dt
2
(
i)
2
(
i
)ti
(ti1 i ti )
所以
n
n
f (i ,i )si f ((i), (i)) 2(i) 2( i)ti,