2第二讲：条件概率到独立性16
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0.60.01 3 0.60.0 10.40.027
第二讲 条件概率与独立性
例2-2-4 发报台分别以概率 0.6 及 0.4 发出信号“·”及“-”，由 于通信系统受到干扰，当发出信号“·”时，收报台以概率 0.8及 0.2 收到信号“·”及“-”；又当发出信号“-”时， 台收以报概率 0.9 及 0.1 收到信号“-”及 ·” ，求
分 析 ： 根 乘据 法 P (A 加 公 B ) 法 式 P (A ) 公 P ： (B ) 式 P (A)B 与 ,
而 P (A) B P (B )P (A /B )P (B )所 , P (A 以 B )P (A )故 , C选
二、全概率公式及其逆概率公式
全 概 率 公 式 B1,定 B2, 理 ,Bn是 ：互 设不 相 容， 的 一
个X 数 i,i1,2,3,4， 然 A为 后第 二 次 Y取 2,Y出 X,则 数：
4
由 全 概P率 (A)公P式 (Байду номын сангаасi)P(A/Bi)计 算 P(A 出 ) i1
解 P ( A ) ： P ( B 1 ) P ( A /B 1 ) P ( B 2 ) P ( A /B 2 ) P ( B 3 ) P ( A /B 3 )
例2-2-3 (96数学一）设工厂A和工厂B产品的次品率分别为1 ％和2％，现从由A和B的产品分别占60％与40％的一批产品中 随机抽取一件，发现是次品，则该次品属A生产的概率是—— 解 ——： 将 该 事 件 ：分 第成 一两 步步 抽 取 B1 产 ｛品 抽： 取设 的
是工A的 厂产品｝ B2 ， B1 则 ｛抽取的产B品 的是 产工 品厂 ｝ 第 二 步 在 抽 取 检的 查产 次品 品中 C， {抽 即取 令的 产 品 是
第二讲 条件概率与独立性
P A 1 A B 2 B A n B 加法定理 P A 1 P B A 2 B P A n B
乘法定理 PB 1PAB 1P B 2P A B 2 P B nP A B n
说 明 ： 全 概 用率 于公 分式 两多 个 阶 应 步 段骤 完或 成
事A 件 的 情 形 ， 第 段一 由个 互 B1,B 步 2 斥 , ,骤 B 的 n的 阶 和 组
A A (B B )= A B A B P A P A P B A B
PABPA PAB P A P (A )P (B )
P A 1 P B PAPB
则A与B相 互独;立 同理可证： B与A相互独立;
要证A与B独立，在概率公式P中(A找B) P ( A B ) P ( A B ) 1 P ( A B ) 1 P ( A ) P ( B ) P ( A )
1）当收报台收到信号“·”时，发报台确系发出信号“·”的概率； 2）当收报台收到信号“-”时，发报台确系发出信号“-”的概率。 解：完成该： 事第 件一 分步 两 "发 步 .""" 出 ，信 分号 别设 A1,A2,第二步收 "." 到 ""， 信分 号别 B,C 设 ,则为 本题要 P(A1/B),P(A2/C).
乘法公式限 容个 易事 推件 广的 到情 有形 P (A 1A 2 A n)P (A 1)P (A 2/A 1)P (A 3/A 1A 2) P (A n/A 1A 2 A n1)
(用归纳法自己证明)
如 当 n=3 时， P A 1 A 2 A 3 P A 1 P A 2 A 1 P A 3 A 1 A 2
（2）
0.600..8600..840.10.93.2
PA2|CP A 1P C P |A A 2 1P C P |A A 2 2 P C |A 2
0.600..24 00..940.90.75.
概括：全概两步要走好，首步互斥要全了，
责任推断贝叶斯，乘法全概都用了。
第二讲 条件概率与独立性
三、随机事件的独立性
10 100
90 99
0.00830.999. 3
第二讲 条件概率与独立性
例2-1-2 (06数学一，4分）
设 A 、 B 为 随 机 P (B 事 )0,P 件 (A /B ， )1,则 且必） 有 （ (A )P (A B )P (A ); (B )P (A B )P (B ); (C )P (A B )P (A ); (D )P (A B )P (B );
设 A 1表示发报台发出信号“·”，设 A表2 示发报台发出信号“-”。
B 表示收报台收到信号“·”， C 表示收报台收到信号“-”，
第二讲 条件概率与独立性
由已知：
P A 10.6, PA 20.4, PB|A1 0.8,
（1）
PB|A2 0.1, PC|A1 0.2, PC|A20.9.
PA1|BP A 1P B P |A A 1 1P B P |A A 2 1 P B |A 2
7
7
解 ： C ｛ m 设 X a ,Y ) 事 x 0 }( 则 ,件 ：
C ｛ mX a ,Y ) x 0 }( { X 0 } { Y 0 } A B
P{maxX(,Y) 0} P(C) P(AB) P(A)P(B)P(AB) P{X0}P{Y 0}P{X0,Y 0} 443 5.
P(AB)1P(AB)1-P(A)P(B)P(A)B
1P(A)P(B)P(AB)
P(A)P(B)1,P(B)1P(A)1p
第一讲 古典概型与加法公式
例题1-3-6（95数学一，3分） 设随 A :{ 机 X 0 }事 B ;:{Y 件 0 },
已 P (A 知 ) B 3;P (A )P (B )4,则P 求 {m X ： ,Y a) x 0 }(
P ( B 4 ) P ( A /B 4 )
P (x 1 )P (y 2 /x 1 ) P (x 2 )P (y 2 /x 2 )
P (x 3 )P (y 2 /x 3 ) P (x 4 )P (y 2 /x 4 )
1011111113 4 42 43 44 48
第二讲 条件概率与独立性
P ( A B ) P ( A ) [ P ( B ) P ( A ) P ( B ) P ] ( A ) P ( B ) 1 [ P ( A )]
例2-1-1
第二讲 条件概率与独立性
一批零件共100个,次品率为10％,每次从其中任取一个零
件,取出的零件不再放回去,
（1）求第三次才取得合格品的概率.
（2）如果取得一个合格品后,就不再继续取零件，
求三次内取得合格品的概率.
解 设 Ai “第i次取得合格品”i, 1,2,3
则 Ai “第 i 次取得次品”（i =1，2，3），
777 7
第二讲 条件概率与独立性
一、条件概率与乘法公式 1.条件概率定义
设A、B为随机事P(件 A/B， )P 称 (AB )为在 P(B)
已知事 B发件 生的条件A发 下生 ，的 事概 件率
（ 1）对 P(A 比 )P(A),实际 P(A 上 /B)是把样 压 本缩 空 P()
成 B时A 的 的概率，因 要此 B 在 中 ， 讨 分 论 A子 B ， 也 即
③ 第三次才取到合格品, A1 A2 A3,
A A1 A1 A2 A1 A2A3
P A P A 1 P A 1 A 2 P A 1 A 2 A 3
P A 1 P A 1 P A 2 A 1 P A 1 P A 2 A 1 P A 3 A 1 A 2
90 100
（ 2） 同 样 P(B/定 A)义 P(A)B P(A)
（3）由条件概率知 公： P式 (B/可 A)推 P(B/A)1
证 A A B ： B , P ( A A B ) B P ( A ) P ( A B B )
第二讲 条件概率与独立性
P (B /A ) P (B /A ) P (A B ) P (A ) B P [A (B B ) ] 1 P (A ) P (A ) P (A )
则称A与B是独立的，否则是不独立的。即 条 件 不 起 作 用
同理，若 PBPBA 则称B与A是独立的。
显然：两个定义可以互相推导，定义（2）说明独立即 互不影响
第二讲 条件概率与独立性
2.独立事件的性质
若事件 A 与 B 相互独立，则下列各对事件也相互独立:
A与B ; A 与 B ; A与B.
证： P(A 为 B)证 P(A )P(B)在 , 概率公 P(A式 )B 和 P(中 A B)
贝叶斯定理B： 1,B2设 ,,Bn是互不相容的一， 组事件
n
且Bi ，若已P知 (A/Bi)和P(Bi),则事A 件 发生 i1
条件B 下 i发生的概率为：
第二讲 条件概率与独立性
说明： （1）P(Bi | A)叫做试验后的假设概率，简称验后概率, （2）逆概率公式的 全条 概件 率和 公式的条件
（ 4） 在 加P法 (A公 B)式 P(A)P(B)P(AB )中 ,求 P(AB ) 是 一 难 点 ，出 条P 了 (件 AB )的 概一 率种 给求 法式 ，： 即
2.乘法公式：由条件概率定义可知：
P ( A ) P B ( B ) P ( A /B ) P ( A ) P ( B /A )
（1）所求事件为 A1 A2 A3,
所求概率为 PA 1A 2A 3P A 1 P A 2 A 1 P A 3 A 1 A 2
10 9 90 0.0083 100 99 98
第二讲 条件概率与独立性
⑵ 设A 表示事件“三次内取得合格品”则, A 有下列几种情况:
① 第一次取到合格品, A1 ; ② 第二次才取到合格品, A1 A2 ;
由 P ( B 1 已 ) 0 . 6 , P ( B 1 ) 知 0 . 4 , P ( C / B 1 ) ： 0 . 0 , P ( C 1 / B 1 ) 0 . 0 本 题P(即 B1/C 求 )且 , 由 逆 概 P(B 率 1/C)公 PP (B (式 C 1C )) ，
P (B 1/C )P (B 1)P (C P (/B B 1 1 ))P (C P (/B B 1 1 ))P (C /B 1)
P ( A ) P ( B 1 ) P ( A / B 1 ) P ( B 2 ) P ( A / B 2 )
1 0 2212(1 0 1)1 12 11 12 11 11 21 116
第二讲 条件概率与独立性
例2-2-2 (05数学一）从1，2，3，4中任取一个数记为
X,
分 再从析 1，…： ，X中完 任取成 一两 个这 数记步 为一 Y： ,试事 求首 PB (件 iY是 =先 2分 )1从 ， 2， 3， 4中 设取 一
1.独立性定义
（1）对任意两个事件A、B,若 P A B P A P B
则称事件 A 与事件 B 相互独立，简称独立 P(AB)P(A)P(B),P(A)P(AB) P(A/B),
P(B)
P(B)P(AB)P(B/ A)，由此推得独立定的义等价 P(A)
（2）若B的发生不影响A的概率,即P A P A B PB0
第一讲 古典概型与加法公式
例题1-3-5（94，3分） 已A 知 、 B 两个事件 P(A)满 B P(A 足 B )且 ,条 P(A )件 p,
试P 求 (B )
_________
解 ： 由 德 P(A 摩 B) 根 P(A 公 B)式 1P(AB)
且 P(A)B P(AB)
代 入 上 式 P(AB ， ) 求
n
且Bi ， 若P 已 (A/知 Bi)和 P(Bi)则 , 事 A发 件生 的 概
i1
P( A)
P(B1)PA /
B1
P ( B2
) P A
/
B2
P(Bn )PA /
Bn
n
n
证 B ： 1,B2, ,Bn两两 互 Bi斥 B ， i ,即
i1
i1
PAP(A ) P A B 1 B 2 B n
（ 3） 逆 概 率 是 利 P(A)用 来全 推概 断率 第B的 一可 步能 的性 i 因 此 事 件 的 分 率析 也和 一全 样概 ， 按 分照 析两 步 例2-2-1,(93数学一） 12个产品中有2个次品，，无放回连续取2次，求第二次 取到次品的概率 解： B1令 {第一次取到 B2正 {第品 一｝ 次， 取 } 到 A{第二次取到： 次品｝；则
第二讲 条件概率与独立性
例2-2-4 发报台分别以概率 0.6 及 0.4 发出信号“·”及“-”，由 于通信系统受到干扰，当发出信号“·”时，收报台以概率 0.8及 0.2 收到信号“·”及“-”；又当发出信号“-”时， 台收以报概率 0.9 及 0.1 收到信号“-”及 ·” ，求
分 析 ： 根 乘据 法 P (A 加 公 B ) 法 式 P (A ) 公 P ： (B ) 式 P (A)B 与 ,
而 P (A) B P (B )P (A /B )P (B )所 , P (A 以 B )P (A )故 , C选
二、全概率公式及其逆概率公式
全 概 率 公 式 B1,定 B2, 理 ,Bn是 ：互 设不 相 容， 的 一
个X 数 i,i1,2,3,4， 然 A为 后第 二 次 Y取 2,Y出 X,则 数：
4
由 全 概P率 (A)公P式 (Байду номын сангаасi)P(A/Bi)计 算 P(A 出 ) i1
解 P ( A ) ： P ( B 1 ) P ( A /B 1 ) P ( B 2 ) P ( A /B 2 ) P ( B 3 ) P ( A /B 3 )
例2-2-3 (96数学一）设工厂A和工厂B产品的次品率分别为1 ％和2％，现从由A和B的产品分别占60％与40％的一批产品中 随机抽取一件，发现是次品，则该次品属A生产的概率是—— 解 ——： 将 该 事 件 ：分 第成 一两 步步 抽 取 B1 产 ｛品 抽： 取设 的
是工A的 厂产品｝ B2 ， B1 则 ｛抽取的产B品 的是 产工 品厂 ｝ 第 二 步 在 抽 取 检的 查产 次品 品中 C， {抽 即取 令的 产 品 是
第二讲 条件概率与独立性
P A 1 A B 2 B A n B 加法定理 P A 1 P B A 2 B P A n B
乘法定理 PB 1PAB 1P B 2P A B 2 P B nP A B n
说 明 ： 全 概 用率 于公 分式 两多 个 阶 应 步 段骤 完或 成
事A 件 的 情 形 ， 第 段一 由个 互 B1,B 步 2 斥 , ,骤 B 的 n的 阶 和 组
A A (B B )= A B A B P A P A P B A B
PABPA PAB P A P (A )P (B )
P A 1 P B PAPB
则A与B相 互独;立 同理可证： B与A相互独立;
要证A与B独立，在概率公式P中(A找B) P ( A B ) P ( A B ) 1 P ( A B ) 1 P ( A ) P ( B ) P ( A )
1）当收报台收到信号“·”时，发报台确系发出信号“·”的概率； 2）当收报台收到信号“-”时，发报台确系发出信号“-”的概率。 解：完成该： 事第 件一 分步 两 "发 步 .""" 出 ，信 分号 别设 A1,A2,第二步收 "." 到 ""， 信分 号别 B,C 设 ,则为 本题要 P(A1/B),P(A2/C).
乘法公式限 容个 易事 推件 广的 到情 有形 P (A 1A 2 A n)P (A 1)P (A 2/A 1)P (A 3/A 1A 2) P (A n/A 1A 2 A n1)
(用归纳法自己证明)
如 当 n=3 时， P A 1 A 2 A 3 P A 1 P A 2 A 1 P A 3 A 1 A 2
（2）
0.600..8600..840.10.93.2
PA2|CP A 1P C P |A A 2 1P C P |A A 2 2 P C |A 2
0.600..24 00..940.90.75.
概括：全概两步要走好，首步互斥要全了，
责任推断贝叶斯，乘法全概都用了。
第二讲 条件概率与独立性
三、随机事件的独立性
10 100
90 99
0.00830.999. 3
第二讲 条件概率与独立性
例2-1-2 (06数学一，4分）
设 A 、 B 为 随 机 P (B 事 )0,P 件 (A /B ， )1,则 且必） 有 （ (A )P (A B )P (A ); (B )P (A B )P (B ); (C )P (A B )P (A ); (D )P (A B )P (B );
设 A 1表示发报台发出信号“·”，设 A表2 示发报台发出信号“-”。
B 表示收报台收到信号“·”， C 表示收报台收到信号“-”，
第二讲 条件概率与独立性
由已知：
P A 10.6, PA 20.4, PB|A1 0.8,
（1）
PB|A2 0.1, PC|A1 0.2, PC|A20.9.
PA1|BP A 1P B P |A A 1 1P B P |A A 2 1 P B |A 2
7
7
解 ： C ｛ m 设 X a ,Y ) 事 x 0 }( 则 ,件 ：
C ｛ mX a ,Y ) x 0 }( { X 0 } { Y 0 } A B
P{maxX(,Y) 0} P(C) P(AB) P(A)P(B)P(AB) P{X0}P{Y 0}P{X0,Y 0} 443 5.
P(AB)1P(AB)1-P(A)P(B)P(A)B
1P(A)P(B)P(AB)
P(A)P(B)1,P(B)1P(A)1p
第一讲 古典概型与加法公式
例题1-3-6（95数学一，3分） 设随 A :{ 机 X 0 }事 B ;:{Y 件 0 },
已 P (A 知 ) B 3;P (A )P (B )4,则P 求 {m X ： ,Y a) x 0 }(
P ( B 4 ) P ( A /B 4 )
P (x 1 )P (y 2 /x 1 ) P (x 2 )P (y 2 /x 2 )
P (x 3 )P (y 2 /x 3 ) P (x 4 )P (y 2 /x 4 )
1011111113 4 42 43 44 48
第二讲 条件概率与独立性
P ( A B ) P ( A ) [ P ( B ) P ( A ) P ( B ) P ] ( A ) P ( B ) 1 [ P ( A )]
例2-1-1
第二讲 条件概率与独立性
一批零件共100个,次品率为10％,每次从其中任取一个零
件,取出的零件不再放回去,
（1）求第三次才取得合格品的概率.
（2）如果取得一个合格品后,就不再继续取零件，
求三次内取得合格品的概率.
解 设 Ai “第i次取得合格品”i, 1,2,3
则 Ai “第 i 次取得次品”（i =1，2，3），
777 7
第二讲 条件概率与独立性
一、条件概率与乘法公式 1.条件概率定义
设A、B为随机事P(件 A/B， )P 称 (AB )为在 P(B)
已知事 B发件 生的条件A发 下生 ，的 事概 件率
（ 1）对 P(A 比 )P(A),实际 P(A 上 /B)是把样 压 本缩 空 P()
成 B时A 的 的概率，因 要此 B 在 中 ， 讨 分 论 A子 B ， 也 即
③ 第三次才取到合格品, A1 A2 A3,
A A1 A1 A2 A1 A2A3
P A P A 1 P A 1 A 2 P A 1 A 2 A 3
P A 1 P A 1 P A 2 A 1 P A 1 P A 2 A 1 P A 3 A 1 A 2
90 100
（ 2） 同 样 P(B/定 A)义 P(A)B P(A)
（3）由条件概率知 公： P式 (B/可 A)推 P(B/A)1
证 A A B ： B , P ( A A B ) B P ( A ) P ( A B B )
第二讲 条件概率与独立性
P (B /A ) P (B /A ) P (A B ) P (A ) B P [A (B B ) ] 1 P (A ) P (A ) P (A )
则称A与B是独立的，否则是不独立的。即 条 件 不 起 作 用
同理，若 PBPBA 则称B与A是独立的。
显然：两个定义可以互相推导，定义（2）说明独立即 互不影响
第二讲 条件概率与独立性
2.独立事件的性质
若事件 A 与 B 相互独立，则下列各对事件也相互独立:
A与B ; A 与 B ; A与B.
证： P(A 为 B)证 P(A )P(B)在 , 概率公 P(A式 )B 和 P(中 A B)
贝叶斯定理B： 1,B2设 ,,Bn是互不相容的一， 组事件
n
且Bi ，若已P知 (A/Bi)和P(Bi),则事A 件 发生 i1
条件B 下 i发生的概率为：
第二讲 条件概率与独立性
说明： （1）P(Bi | A)叫做试验后的假设概率，简称验后概率, （2）逆概率公式的 全条 概件 率和 公式的条件
（ 4） 在 加P法 (A公 B)式 P(A)P(B)P(AB )中 ,求 P(AB ) 是 一 难 点 ，出 条P 了 (件 AB )的 概一 率种 给求 法式 ，： 即
2.乘法公式：由条件概率定义可知：
P ( A ) P B ( B ) P ( A /B ) P ( A ) P ( B /A )
（1）所求事件为 A1 A2 A3,
所求概率为 PA 1A 2A 3P A 1 P A 2 A 1 P A 3 A 1 A 2
10 9 90 0.0083 100 99 98
第二讲 条件概率与独立性
⑵ 设A 表示事件“三次内取得合格品”则, A 有下列几种情况:
① 第一次取到合格品, A1 ; ② 第二次才取到合格品, A1 A2 ;
由 P ( B 1 已 ) 0 . 6 , P ( B 1 ) 知 0 . 4 , P ( C / B 1 ) ： 0 . 0 , P ( C 1 / B 1 ) 0 . 0 本 题P(即 B1/C 求 )且 , 由 逆 概 P(B 率 1/C)公 PP (B (式 C 1C )) ，
P (B 1/C )P (B 1)P (C P (/B B 1 1 ))P (C P (/B B 1 1 ))P (C /B 1)
P ( A ) P ( B 1 ) P ( A / B 1 ) P ( B 2 ) P ( A / B 2 )
1 0 2212(1 0 1)1 12 11 12 11 11 21 116
第二讲 条件概率与独立性
例2-2-2 (05数学一）从1，2，3，4中任取一个数记为
X,
分 再从析 1，…： ，X中完 任取成 一两 个这 数记步 为一 Y： ,试事 求首 PB (件 iY是 =先 2分 )1从 ， 2， 3， 4中 设取 一
1.独立性定义
（1）对任意两个事件A、B,若 P A B P A P B
则称事件 A 与事件 B 相互独立，简称独立 P(AB)P(A)P(B),P(A)P(AB) P(A/B),
P(B)
P(B)P(AB)P(B/ A)，由此推得独立定的义等价 P(A)
（2）若B的发生不影响A的概率,即P A P A B PB0
第一讲 古典概型与加法公式
例题1-3-5（94，3分） 已A 知 、 B 两个事件 P(A)满 B P(A 足 B )且 ,条 P(A )件 p,
试P 求 (B )
_________
解 ： 由 德 P(A 摩 B) 根 P(A 公 B)式 1P(AB)
且 P(A)B P(AB)
代 入 上 式 P(AB ， ) 求
n
且Bi ， 若P 已 (A/知 Bi)和 P(Bi)则 , 事 A发 件生 的 概
i1
P( A)
P(B1)PA /
B1
P ( B2
) P A
/
B2
P(Bn )PA /
Bn
n
n
证 B ： 1,B2, ,Bn两两 互 Bi斥 B ， i ,即
i1
i1
PAP(A ) P A B 1 B 2 B n
（ 3） 逆 概 率 是 利 P(A)用 来全 推概 断率 第B的 一可 步能 的性 i 因 此 事 件 的 分 率析 也和 一全 样概 ， 按 分照 析两 步 例2-2-1,(93数学一） 12个产品中有2个次品，，无放回连续取2次，求第二次 取到次品的概率 解： B1令 {第一次取到 B2正 {第品 一｝ 次， 取 } 到 A{第二次取到： 次品｝；则