专题07 立体几何初步(重难点突破)教师版

专题07 立体几何初步

【重难点知识点网络】：

一、空间几何体的有关概念

1．空间几何体

对于空间中的物体，如果我们只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的就叫做空间几何体.例如,一个正方体形包装箱,占有的空间部分就是一个几何体,这个几何体就是我们熟悉的正方体.

2．多面体

（1）多面体：一般地,我们把由若干个围成的几何体叫做多面体.

（2）多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,如图中面ABB′A′,面BCC ′B′等.

（3）多面体的棱：相邻两个面的公共边叫做多面体的棱, 如图中棱AA′,棱BB′等.

（4）多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点, 如图中顶点A,B,C等.

3．旋转体

（1）旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线所形成的封闭几何体.如图所示为一个旋转体，它可以看作由矩形OBB′O′绕其边OO′所在的直线旋转而形成.

（2）旋转体的轴：平面图形旋转时所围绕的定直线.如图中直线OO′是该旋转体的轴.

二、几种最基本的空间几何体

1．棱柱的结构特征

①用表示底面的各顶点字母来表示棱柱.如图所示的六棱柱可以表示为棱柱

ABCDEF−A′B′C′D′E′F′.

②用棱柱的对角线表示棱柱.如图,(1)可表示为四棱柱AC1或四棱柱BD1等;(2)可表示

为六棱柱AD1或六棱柱AE1等;(3)可表示为五棱柱AC1或五棱柱AD1等.这种记法要说明棱柱是几棱柱.

①棱柱的底面：棱柱中，两个互相的面叫做棱柱的底面，简称底.

③棱柱的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱.

①底面互相 .

②侧面都是 . 2．棱锥的结构特征

3．棱台的结构特征

4．圆柱的结构特征

5．圆锥的结构特征

6．圆台的结构特征

7．球的结构特征

8．简单组合体的结构特征

①由简单几何体拼接而成，如图(1)所示.

②由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图(2)所示.

①多面体与多面体的组合体

图(1)中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到,图(2)中几何体由一个四棱柱与一个四棱锥组合而成,图(3)中几何体由一个三棱柱与一个三棱台组合而成.

②多面体与旋转体的组合体

图(1)

中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到,图(2)中几何体由一个圆锥挖去一个四棱柱得到,图(3)中几何体由一个球挖去一个三棱锥得到.

③旋转体与旋转体的组合体

图(1)中几何体由一个球体和一个圆柱组合而成,图(2)中几何体由一个圆台和两个圆柱组合而成,图(3)中几何体由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成.

知识参考答案：

二、1．平行四边形平行；平行；平行平行四边形平行；斜棱柱正棱柱

2．多边形三角形；多边形三角形公共顶点；四面体

3．平行；平行相似一点梯形；正棱台

4．矩形旋转体；平行平行平行且相等矩形

5．直角三角形直角；圆面相等顶点等腰三角形

6．平行于；平行不等无数等长等腰梯形

7．直径；圆心半径直径

8．柱体锥体台体球体

【重难点题型突破】：

一、棱柱、棱锥、棱台的结构特征

例1．（1）某同学制作了一个对面图案均相同的正方形礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)()

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】

其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪个棱剪开，剪开的相邻面在展开在图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻，又相同的图案是盒子相对的面，展开后绝不能相邻．故选A.

（2）下面是关于四棱柱的四个命题：

①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱

②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱

③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱

④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱

其中，真命题的编号是(写出所有真命题的编号)．

【答案】②④

【解析】因为必须是相邻的两个侧面垂直于底面，则四棱柱为直四棱柱．因此1错误

3中，也不符合直四棱柱的定义，排除，只有2,4符合定义，成立

【变式训练1】．判断下列命题的真假.

（1）四棱柱一定是平行六面体；

（2）六个面都是矩形的六面体一定是长方体；

（3）直平行六面体一定是长方体；

（4）底面是矩形的四棱柱一定是长方体.

【答案】（1）假命题；（2）真命题；（3）假命题；（4）假命题.

【解析】

（1）四棱柱一定是平行六面体，当四棱柱底面是梯形时不是平行六面体，假命题；

（2）六个面都是矩形的六面体一定是长方体，根据长方体的结构特征知正确，真命题；

（3）直平行六面体一定是长方体，当底面为平行四边形时不是长方体，假命题；

（4）底面是矩形的四棱柱一定是长方体，当侧棱与底面不垂直时不是长方体，假命题；

【变式训练2】．在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱11C D ，11B C 的中点，过A ，E ，F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．【答案】D

【解析】

如图，

延长EF 与A 1B 1的延长线相交于M ，连接AM 交BB 1 于H ，

延长FE 与A 1D 1的延长线相交于N ，连接AN 交DD 1 于G ，可得截面五边形AHFEG ．

∵ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是边长为6的正方体，且E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，