第三章 平面力系的合成与平衡

R1=F1x+F2x+F3x
R2=F1y+F2y+F3y
合力R在两个坐标轴上的投影分别为
Rx=R1=F1x+F2x+F3x Ry=R2=F1y+F2y+F3y 如果平面汇交力系包含有n个力，则上面两式中 右边将各有n项，即 Rx=F1x+F2x+…+Fnx Ry=F1y+F2y+…+Fny 上式可简写为
F1y=-F1sin30°=-75N F2x=F2=130N F2y=0
F3x=-F3cos45°=-70.7N
F3y=F3sin45°=70.7N F4x=F4cos30°=43.3N F4y=-F4sin30°=-35N
表3.1 力的方向与其投影的正负号
图3.5
3.1.2 平面汇交力系的合成
研究力系的合成与平衡问题通常有两种方法， 即几何法和解析法。
图3.1
图3.2
图3.3
本章内容
3.1 平面汇交力系 3.2 平面一般力系 3.3 平面平行力系的平衡方程 3.4 物体系统的平衡
3.5 考虑摩擦时物体的平衡
3.1 平面汇交力系 3.1.1 力在坐标轴上的投影
设力F作用于物体的A点，如图3.4所示。
图3.6(a)所示为一平面汇交力系F1、F2、F3，各 力的作用线汇交于A点。为将该力系合成，可首先以 A点为坐标原点取直角坐标系Axy，然后将各力分别 沿x轴和y轴方向分解(图3.6(b))，得各分力的大小为
F1x=F1cosα1,F2x=F2cosα2,F3x=F3cosα3 F1y=F1sinα1,F2y=F2sinα2,F3y=F3sinα3 再将沿同一坐标轴的各个分力合成，分别得合 力R1、R2(图3.6(c))，其大小分别为
Rቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=∑Fx
Ry=∑Fy
由以上分析可知：平面汇交力系合成的结果是 一个合力R，合力R的作用线通过原力系的汇交点， 合力R的大小和方向可由下式确定
2 R Rx2 Ry ( Fx ) 2 ( Fy ) 2
tan
Ry Rx

F F
y
x
上式表明了合力在任一轴上的投影，等于各分 力在同一轴上投影的代数和。我们称之为合力投影 定理。
NB=100/0.766N=130.5N
由式（1）得 NA=NBcos(90°-40°)=NBsin40°
将NB的值代入，得
NA=130.5×0.643N=83.9N
【例3.4】一平面刚架在B点受一水平力P=30kN的作用， 尺寸及约束情况如图3.9（a）所示。刚架的自重不计，试 求A与D两处的约束反力。 【解】取刚架为研究对象 所示。 刚架的受力图如图3.9（b）
【解】取梯子为研究对象，它在重力W和光滑面的约束 反力NA、NB作用下处于平衡，由三力平衡汇交定理可知， 这三个力必汇交于一点D，梯子的受力图如图3.8（b）所 示。 选直角坐标系如图，列平衡方程

∑Fx=0,
NA-NBcos(90°-40°)=0
∑Fy=0,
NBsin(90°-40°)-W=0 得 NB=W/sin(90°-40°) =W/cos40° 将W的值代入，得
【例3.13】如图3.33(a)所示，在支承吊车梁的牛腿柱子的 A点受有吊车梁传来的荷载P=100kN，它的作用线偏离柱 子轴线的距离e=400mm(e称为偏心距）。因设计时计算的 需要，欲将力P向柱子轴线上B点平移，应如何进行移动？
【解】根据力的平移定理，将作用于A点的力P平移到轴 线上的B点得力P′，同时还必须附加一个力偶，如图3.33(b) 所示，它的力偶矩m等于原力P对B点之矩，即 m=mB(P)=-Pe=-100×0.4kN· m=-40kN· m 负号表示附加力偶的转向是顺时针方向。
图3.30
图3.31
图3.33
3.3 平面一般力系 3.3.1 平面一般力系向任一点简化
（1） 主矢和主矩
所以RD=-(-33.36)×1/√5kN=10kN
RD为正值，表示该力的实际指向与受力图中所假设 的指向相同。
【例3.5】如图3.10（a）所示，重物W=30kN,用钢丝绳挂 在支架的滑轮B上，钢丝绳的另一端缠绕在绞车D上。杆 AB与BC铰接，并用固定铰支座A、C与墙连接。如果两 杆和滑轮的自重不计，并忽略摩擦和滑轮的大小，试求 平衡时杆AB和杆BC所受的力。
3 平面力系的合成与平衡
本章提要
本章主要研究力的投影和合力投影定理、 合力矩定理、各种平面力系的平衡方程及应用、 考虑摩擦时物体的平衡。
所谓平面力系是指各力的作用线都在同一平面 内的力系。
在平面力系中，若各力的作用线交于一点，则 称为平面汇交力系(图3.1)； 若各力的作用线相互平行，则称为平面平行力 系(图3.2)； 若各力的作用线既不完全交于一点也不完全相 互平行，则称为平面一般力系(图3.3)。
图3.8
图3.9
图3.10
图3.11
3.2 力的平移定理
设在刚体上的A点作用着一个力F（图3.30（a）)， 现欲将其平移到刚体的任一点O。为此，在O点加上 一对平衡力F′和F″，并使其作用线与力F平行、大小 与力F的大小相等，即令F′=-F″=F，如图3.30（b)所 示。
若要把作用在A点的力F平移到O点而保持对刚体 的作用效应不变，就必须附加一个力偶（F，F″)，由 图3.30(b)可见，力偶（F,F″）的力偶矩等于原力F对O 点之矩，即 m=Fd=mO (F)
【例3.6】图3.11（a）所示为一拔桩装置。绳ABC的一端 系在桩的A点，一端固定在C点；绳BDE的一端系在B点， 一端固定在E点。在D点用力F向下拉，若F=400N, α=arctan0.1,绳BD段、AB段分别沿水平和铅垂方向，试 求绳AB作用在桩上的拉力。
【解】绳AB作用于桩上的拉力是由绳BD传来的。因此先 取结点D为研究对象求出绳BD的拉力。 作用在结点D上的力有已知力F、绳DE的拉力TDE和 绳BD的拉力TDB,这三个力组成一平面汇交力系。结点D 的受力图如图3.11(b)所示。
选直角坐标系如图，使y轴与TDE垂直。列平衡方程 求解，由
∑Fy=0,TDBsinα-Fcosα=0 得 TDB=Fcotα=4000N 再取结点B为研究对象。作用在结点B上的力有绳BC、 BD和BA的拉力TBC、TBD、TBA，绳BD给两结点D和B的 作用力应大小相等、方向相反，即有TBD=TDB=4000N。 力TBC、TBD、TBA组成一个平面汇交力系，结点B的受力 图如图3.11（c)所示。
故合力R的大小为
R=√Rx2+Ry2=3.755kN
合力的方向为

tanα=｜Ry/Rx｜=9.363，
α=83.8°=83°48′
因Rx为正，Ry为负，所以合力R指向右下方。如图 所示，合力R的作用线通过三个分力的汇交点O。
图3.6
图3.7
3.1.3 平面汇交力系的平衡
平面汇交力系合成的结果是一个合力，若合力 等于零，则物体处于平衡状态。反之，若物体在平 面汇交力系作用下处于平衡，则该力系的合力一定 为零。因此，平面汇交力系平衡的必要和充分条件 是力系的合力等于零。
由以上分析可得如下结论：作用在刚体上的力F， 可以平移到同一刚体上的任一点O，但必须同时附加 一个力偶，其力偶矩等于原力F对新作用点O之矩。 这就是力的平移定理。
为什么不允许用一只手扳动扳手呢（图3.31（a))? 因为作用在扳手AB上一端的力F与作用在O点的一个 力F′和一个力偶矩为m的力偶（图3.31(b)）等效。这 个力偶使丝锥转动，而这个力F′却将引起丝锥弯曲， 这就很容易将螺纹攻坏；如果用力过大，丝锥就可能 折断。因此，这样操作是不允许的。
选直角坐标系如图所示，列平衡方程求解RA和RD。 由 ∑Fx=0,P+RAcosα=0 得 因为 所以 RA=-P/cosα cosα=AD/AC=3/√5 RA=-30×√5/3kN=-33.36kN
再由
∑Fy=0, 得 而 RAsinα+RD=0 RD=-RAsinα sinα=CD/AC=1/√5
Fy
【例3.1】试分别求出图3.5中各力在x轴和y轴上的投影。 已知F1=150N，F2=130N，F3=100N，F4=50N,各力的方向 如图所示。 【解】力F3与x轴平行，与y轴垂直，其投影可直接得出； 其他各力的投影可由式(3.1)计算求得。故各力在x、y轴上 的投影为 F1x=-F1cos30°=-139.9N
如果已知力F在直角坐标轴上的投影Fx和Fy，则 力F的大小和方向可由下式确定
F Fx2 Fy2 Fx 力F的指向可由投影Fx和Fy的正负号来确定(见表 3.1)。
如果把力F沿x、y轴分解为两个分力F1、F2，投 影的绝对值等于分力的大小，投影的正负号指明了分 力是沿该轴的正向还是负向。
tan
图3.4
若已知力F的大小及其与x轴所夹的锐角α，则力 F在坐标轴上的投影Fx和Fy可按下式计算
Fx=±Fcosα Fy=±Fsinα 力在坐标轴上的投影有两种特殊情况：
(1) 当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影等 于零。
(2) 当力与坐标轴平行时，力在该轴上的投影的 绝对值等于力的大小。
通过以上各例的分析，现归纳求解平面汇交力 系平衡问题的一般步骤如下：
（1） 选取研究对象 弄清题意，明确已知力和未知力，选取能反映 出所要求的未知力和已知力关系的物体作为研究对 象。 （2） 画受力图 在研究对象上画出它所受到的全部主动力和约 束反力。
（3） 选取适当的坐标系。
最好使某一坐标轴与一个未知力垂直，以便简 化计算。 （4） 列平衡方程求解未知量。 列方程时注意各力投影的正负号。当求出未知 力是正值时，表示该力的实际指向与受力图上所假 设的指向相同；如果是负值，则表示该力的实际指 向与受力图上所假设的指向相反。
【例3.3】图3.7所示的吊环上作用有3个共面的拉力，各 力的大小分别是T1=3kN、T2=1kN、T3=1.5kN，方向如图 所示，试求其合力。 【解】建立直角坐标系Oxy如图3.7所示，根据式(3.3)计算 合力R在x轴和y轴上的投影为 Rx=∑Fx=T1x+T2x+T3x=0.403kN Ry=∑Fy=T1y+T2y+T3y=-3.733kN
选直角坐标系如图所示，使x轴与TBC垂直。列平衡 方程求解，由
∑Fx=0,TBAsinα-TBDcosα=0 得 TBA=TBDcotα=4000×10N=40000N=40kN 绳AB作用于桩上的拉力，应与它作用于结点B上的 力大小相等，方向相反。即绳AB作用于桩上的拉力的大 小为40kN，方向铅垂向上。
R ( Fx )2 ( Fy )2
可知：欲使R=0,必须且只需
∑Fx=0
∑Fy=0 (3.5)
于是得平面汇交力系平衡的必要和充分的解析 条件为：力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上 的投影的代数和都等于零。式(3.5)称为平面汇交力 系的平衡方程。
【例3.3】一梯子AB自重W=100N，重心假定在梯子长度 中点C。梯子的上端A靠在光滑的墙上，下端B放置在与 水平面成40°倾角的光滑斜坡(图3.8(a))。试求梯子在自 身重力作用下平衡时，两端的约束反力。
【解】杆AB和BC都是二力杆，假设杆AB受拉力、杆BC 受压力，如图3.10(b)所示。 滑轮的受力图如图3.10(c)所示。 为了避免解联立方程，选直角坐标系如图所示，使x、 y轴分别与反力NBC、NAB垂直。
列平衡方程求解，由
∑Fx=0,-NAB+Tcos60°-TBDcos30°=0 得 NAB=Tcos60°-TBDcos30°=-7.33kN NAB为负值，表示该力的实际指向与受力图中所假设 的指向相反。即杆AB受压力作用。再由 ∑Fy=0,NBC-Tcos30°-TBDcos60°=0 得 NBC=Tcos30°+TBDcos60°=37.33kN NBC为正值，表示该力的实际指向与受力图上所假设 的指向相同。即杆BC也受压力作用。