随机变量及其分布函数
随机变量的函数及其分布
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第二章 随机变量及其分布
§5 随机变量的函数的分布
例 1设离散型随机X变 的量 分布律为
X -2
0
3
P1
1
1
6
3
2
随机Y 变 X 量 1，试 Y的 求分布律．
解： 随机变 YX 量 1的取值 3,为 1,2.
这些取值两两互不相同 ．由此得随机变量 YX1
例 3（续）
Y=(X-1)2 同理,
X -1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4
P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+ 0.4=0.7,
P{Y=4}= P{X= -1}= 0.2,
所以，Y=(X-1)2 的分布律为：
Y0 1 4 pk 0.1 0.7 0.2
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第六章 随机变量的函数及其分布
FY(y)P{Yy}P{X2 y}
y
P{ yX y} y fX(x)dx.
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第六章 随机变量的函数及其分布
例 7（续）
y
FY(y) y fX(x)dx.
(2)利用 FY(y)fY(y)及变限定积分 得求 ：
fY(y) 21y[fX( y)fX( y), y0,
2x, 0x1, fX(X)0, 其它 .
试求 Y=X-4 的概率密度.
解：(1) 先求 Y =X-4 的分布函数 FY(y)：
F Y(y)P {Yy} P { X 4 y } P { X y 4 }
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第二章 随机变量及其分布
§5
例4 设离散型随机X变的量分布律为
第二章随机变量及其分布函数
28
例2.2.9 设在时间t分钟内通过某交叉路口的汽车 数服从参数与t成正比的泊松分布. 已知在一分钟内 没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内多于一辆 车通过的概率.
S={红色、白色} ?
将 S 数量化
非数量 可采用下列方法
X ()
红色 白色
S
1 0R
3
即有 X (红色)=1 , X (白色)=0.
1, 红色, X () 0, 白色.
这样便将非数量的 S={红色，白色} 数量化了.
4
实例2 抛掷骰子,观察出现的点数.
则有
S={1，2，3，4，5，6} 样本点本身就是数量 X () 恒等变换
20
泊松分布是一个非常常用的分布律，它常与 单位时间、单位面积等上的计数过程相联系. 例如一小时内来到某百货公司中顾客数、单位 时间内某电话交换机接到的呼唤次数和布匹 上单位面积的疵点数等随机现象都可以用泊
松分布来描述. 附表 2 给出了不同 值对应的
泊松分布函数的值.
21
泊松分布的取值规律
记 P(k; ) k e ，则
P
1 2
X
5
2
P(X
1 X
2)
P(X 1) P(X 2) 5
9
12
例 2.2.2 一只口袋中有 m 只白球， n m 只黑球.连 续无放回地从这口袋中取球，直到取出黑球为止．设 此时取出了 X 只白球，求 X 的分布律.
解 X 的可能取值为 0,1,2,, m ，且事件{X i}意 味着总共取了 i+1 次球，其中最后一次取的是黑球而 前面 i 次取得都是白球.
或 X ~ Bn, p.
二项分布的背景是伯努利试验：如果每次试验中事 件A发生的概率均为p，则在n重伯努利试验中A发生 的次数服从参数为n,p的二项分布。
第四章 随机变量及其分布
第一节 随机变量及其分布函数
一、 随机变量的概念
1、含义：用来表示随机现象结果的变量。 ①样本点本身是用数量表示的； T ②样本点本身不是用数量表示的。 H 总之，不管随机试验的结果是否具有数量的性 质，都可以建立一个样本空间和实数空间的对 应关系，使之与数值发生联系，用随机变量的 取值来表示事件。 2、定义：定义在样本空间Ω＝｛ω｝上的实值 函数X＝X(ω)称为随机变量，常用大写英文字 母或小写希腊字母来表示，相应地，用小写英 文字母表示其取值。
为了方便地表示随机事件的概率及其运算，我 们引入了分布函数的概念。
定义：设X 是一随机变量，对x R,
称F ( x ) P ( X x )为随机变量X的分布函数；
并称X 服从分布F ( x )，记为X ~ F ( x ).
注：（1）分布函数表示的是随机事件的概率。 （2）分布函数与微积分中的函数没有区别。
P ( X 0) F (0) F (0 0) 0.8 0.3 0.5 P ( X 1) F (1) F (1 0) 1 0.8 0.2
X P
1 0.3
0 0.5
1 0.2
思考：X还能取 到其他数值吗？
例4 一汽车沿一街道行驶，需要经过三个设有红绿信号 灯的路口，且信号灯的工作相互独立，以X表示汽车首 次遇到红灯已通过的路口数，求X的概率分布列。 解：记Ai—汽车在第i个路口遇到红灯，i＝1，2，3. 1 P ( Ai ) P ( Ai ) , 且A1 , A2 , A3相互独立. 2 X的可能取值为 0, 1, 2, 3.
共有10个不同的样本点
记X表示“空格个数”，则有
X ( ) 2
X ( ) 1 X ( ) 0
随机变量及其分布
• 则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称 概率密度或者密度函数.
• 下面给出概率密度函数f(x)的性质: • (1)f(x)≥0 • (2)由分布函数的性质易得
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• 二、离散型随机变量的分布函数
• 设离散型随机变量X的分布律为:
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2. 3随机变量的分布函数
• 其中 • 则随机变量X的分布函数仿照例1可得
• 如图2一1所示，F(x)为阶梯函数，分段区间为半闭半开区间，并且右 连续
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2. 4连续型随机变量及其概率密度
• 一、连续型随机变量及其概率分布
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2. 2离散型随机变量及其分布律
• 一、离散型随机变量
• 在某些试验中(例如 2. 1中的例1，例2，例3)，随机变量的取值是有 • 限个或者无穷可列个.这一类随机变量通常称为离散型随机变量，下
面我们给出离散型随机变量的精确定义: • 定义1若随机变量X的所有可能取值为x1，x2，…，xn…，并且其 • 对应的概率分别为p1, p2,…，p n，…，即
• 注:实值单值函数指的是每一个。仅存在唯一一个实数X (ω)与之对应， 其中X (ω)是一个关干样本点的函数，值域为实数集.
• 随机变量可以根据它的取值分为离散型随机变量与非离散型随机变量， • 其中非离散型随机变量又可以进一步分为连续型随机变量与混合型随
机变量.在本书中我们主要学习的是离散型与连续型随机变量.
• 则称X为离散型随机变量，并且式(2.均称为随机变量X的概率分布， 又称分布律或分布列.
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分布函数
F () lim F ( x) 1, F () lim F ( x) 0
x
x
(3) 右连续性：F(x)是右连续函数，即对任意的x0，有
lim
x
x
0F(x)F来自(x0)
➢这三个基本性质是判别分布函数的充要条件。
2
§ 2.1 随机变量及其分布函数
一、随机变量的分布函数
➢
例1
证明F ( x) 1 [arctan x ], x
2
➢是一个分布函数。
证 显然F(x)在整个数轴上是连续、单调严增函数，且
F () lim F ( x) 1, F () lim F ( x) 0
x
x
因此它满足分布函数的三条基本性质，故F(x)是一个分布 函数。
该函数称为柯西分布函数。
3
§2.1 随机变量及其分布函数
例2 设随机变量的分布函数为：
A Bex x 0 F(x)
0 x0
其中 0 是常数。 求 A, B。
解 因为分布函数右连续，故
又由F () 1得A 1, 从而B 1
§2.1 随机变量及其分布函数
二、用分布函数求事件的概率
随机变量X 的分布函数F(x)=P{Xx}本身就是事件的概率。
容易得到 P{X a} F (a) F (a 0) 前面已得到 P{a X b} F (b) F (a)
P{a X b}
F(b) F(a)
1
二、随机变量的分布函数
2、分布函数的性质
F(x) P{X x}
容易证明分布函数F(x)具有以下三条基本性质：
(1) 单调性：F(x)是定义在整个实数轴(–，+)上的单调 非减函数，即对任意的x1 < x2，有 F(x1) F(x2)；
第二章随机变量及其概率分布(概率论)
当 x ≥ 1 时,F ( x) = P( X ≤ x) =P( X = 0) + P( X = 1) =1 ⎧0 x < 0
所以 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1. ⎪⎩1 1 ≤ x
⎧0 x < 0 分布函数为 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1
⎪⎩1 1 ≤ x
分布函数图形如下
F(x) 1 0.3
x 01
3
例 设X的概率分布律如下,求X的分布函数. X012 P 0.4 0.35 0.25
解
⎧0
x<0
F
(
x)
=
⎪⎪ ⎨
⎪
0.4 0.75
0≤ x<1 1≤ x<2
⎪⎩ 1
x≥2
由此可见
(1)离散型随机变量的分布函数是分段函数,分 段区间是由X的取值点划分成的左闭右开区间; (2)函数值从0到1逐段递增,图形上表现为阶梯 形跳跃递增; (3)函数值跳跃高度是X取值区间中新增加点的 对应概率值.
z 泊松在数学方面贡献很多。最突出的是1837 年在提出泊松分布。
z 除泊松分布外，还有许多数学名词是以他的 名字命名的，如泊松积分、泊松求和公式、 泊松方程、泊松定理。
当一个随机事件,以固定的平均瞬时速率 λ随机独立地出现时,那么这个事件在单 位时间(面积或体积)内出现的次数或个数 就近似地服从泊松分布。
解: 依题意, X可取值 0, 1, 2, 3.
设 Ai ={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
路口3
路口2
P(X=0)= P(A1)=1/2,
路口1
X=该汽车首次停下时通过的路口的个数. 设 Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
随机变量及其分布
f ( x) lim
x 0
xLeabharlann x xlim P{x X x x} lim x
f (x)dx .
x 0
x
x 0
x
故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 X落在区间 (x,x+△x] 上的概率与区间长度 △x之比的极限. 这里，如果把概率理解为质 量， f (x)相当于线密度.
f (x)
a
ba
当x b时，
x
a
b
x
F (x) f (t)dt f (t)dt f (t)dt f (t)dt 1.
a
b
因此X ～ U(a, b)的分布函数为：
0
F ( x)
P( X
x)
x b
a
a 1
xa a xb
xb
例1 长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发
车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随
解: 设X表示400次独立射击中命中的次数，则
X～B(400, 0.02)，故 P{X2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1} ＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399) ＝0.9972
例5 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01, 且一台设备的故障只能 由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法,其一 是由4人维护,每人负责20台;其二是由3人共同维护 30台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及 时维修的概率大小.
称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.
(4) 若x是f(x)的连续点，则 dF(x) F(x) f (x)
dx
设随机变量X的分布函数
F
随机变量及其分布函数
随机变量及其分布函数随机变量是描述随机事件的数学工具，它将随机事件映射到实数上。
我们可以将随机变量理解为一个函数，它将样本空间上的随机事件转化为一个实数。
随机变量的取值通常用大写字母来表示，例如X、Y、Z等，并且随机变量的取值可以是有限个或无限个。
随机变量的分布函数一个随机变量有着不同取值的可能性，而这些可能性可以用概率来描述。
针对一个随机变量而言，其取值在不同的范围内所对应的概率，就被称为该随机变量的分布函数。
分布函数通常用F(x)来表示，其中F是函数符号，x是随机变量的取值。
对于一个随机变量X，其分布函数定义为：F(x) = P(X≤x)其中P(X≤x)指的是随机变量X小于或等于x的概率。
因此，对于小于或等于x的所有可能取值，X的分布函数F(x)均可以计算出来。
随机变量的类型随机变量可以分为两类：离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量离散随机变量是只能取某些特定离散值的随机变量，它们通常意味着某个事件只能发生某些确定的次数。
例如，抛掷一颗骰子的结果就是一个典型的离散随机变量，因为其可能取的值只有1、2、3、4、5、6六种可能。
对于某个离散随机变量而言，它的分布函数是一个阶梯函数，在每个离散值处有一个跳跃，即：F(x) = P(X≤x) = ΣP(X=i)，i≤x其中ΣP(X=i)表示随机变量取i的概率，i≤x表示X取i的所有取值小于或等于x。
例如，对于一个只能取0或1的离散随机变量X，其分布函数F(x)可以表示为：F(x) = P(X≤0) + P(X=1) = P(X=0) + P(X=1)其中P(X=0)和P(X=1)表示X取0和1的概率，因此：F(0) = P(X=0)F(1) = P(X=0)+P(X=1)连续随机变量连续随机变量是指可以取到任意实数值的随机变量，通常用于描述某个事件的结果可以连续变化的场景。
例如，衡量人的身高或体重就是一种典型的连续随机变量。
对于某个连续随机变量而言，由于它可以取到任意实数值，因此其分布函数也是一个连续函数。
概率论与数理统计-随机变量及其分布-随机变量与分布函数
7
01 随机变量
如何描述随机变量的统计规律呢 ？
无论是离散型随机变量，还是连续型随机变量以及其他类型 的随机变量，都需要一种统一的描述工具.
对一个样本空间，当建立了随机变量后，我们感兴趣的随机 变量落在某区间或等于某特定值的概率. 为此给出分布函数的概 念.
8
本讲内容
01 随机变量 02 分布函数
02 分布函数 定义 设 X 为随机变量，x 是任意实数，称函数 为 X 的分布函数.
x
如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x) 的
值就表示 X 落在区间
的概率.
10
02 分布函数
用分布函数计算 X 落在( a ,b ] 里的概率：
因此，只要知道了随机变量X的分布函数， 它的统计特性 就可以得到全面的描述.
分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用数 学分析的分布函数
分布函数的性质
(1) F ( x ) 单调不减，即
(3) F ( x ) 右连续，即 如果一个函数具有上述性质，则一定是某个随机变量X 的分 布函数. 也就是说，性质(1)--(3)是鉴别一个函数是否是某随机变 量的分布函数的充分必要条件.
01 随机变量
随机变量 ( random variable ) 定义 设 S 是试验E的样本空间, 若
按一定法则
ω.
X(ω)
R
4
01 随机变量
随机变量通常用
X,Y,Z或 , ,等表示
随机事件可以通过随机变 量的关系式表达出来 例如 某人每天使用移动支付的次数——随机变量X {某天至少使用1次移动支付} {某天1次也没有使用}
12
02 分布函数
例 解
高等数学3.3 随机变量及其函数分布
, ,
1 y 1 其它
例3.4 设二维随机变量(X , Y)具有密度函数
2e (2 x + y ) , f ( x, y ) = 0 , 求概率 P{Y ≤X} .
x 0, y 0 其它
解 将(X , Y)看作是平面上随机点的坐标 . 即有 {Y ≤X}= {(X , Y) G } , 其中G为xOy平面上 直线 y=x 及其下方的部分 , 如右图所示 . 于是
却未必服从二元正态分布 . 这是因为不同的
对应于不同的二维正态分布, 但它们的边缘 分布却可能一样 .
二、两个随机变量函数的分布:
1、Z = X + Y 的分布: 设(X , Y)的概率密度为 f (x , y) , 则Z = X + Y 的 分布函数为
FZ (z ) = P Z z
=
x yz
??????221211exp2121fxy????设二维随机变量xy的密度函数为???????????????????2211222212122xxyy??22121212其中为参数数且?????????????????????????2212120xy称服从参数为????????????????????二元正态分布的记作221212xyn??????????????????二元正态分布的边缘分布是一元注正态分布4它们的参数对应于二元正态分布的前前个参数
2 0 称 X Y 服从参数为 1 2 12 2
的二元正态分布, 记作
X Y N 1 2
2 1 2 2
注 二元正态分布的边缘分布是一元正态分布, 它们的参数对应于二元正态分布的前4个参数. 但两个边缘分布为正态分布的二维随机向量
随机变量及其分布
也可以是等式或是不等式。 X ∈ L 也可以是等式或是不等式。
如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数,则 如在掷骰子试验中， 表示出现的点数, A=“出现偶数点”可表示为： X=2} X=4} X=6} A=“出现偶数点”可表示为：{X=2}∪ {X=4} ∪{X=6} 出现偶数点 B=“出现的点数小于４ 可表示为： 4} {X≤ B=“出现的点数小于４”可表示为：{X< 4}或{X≤3} 出现的点数小于
F(x) = P( X ≤ x)
为随机变量X的分布函数 随机变量X
F(x)是一个 F(x)是一个 普通的函数！ 值域为 值域为 ［０，１］。
定义域为 定义域为
（－∞，＋ ）； （－ ，＋∞）； ，＋
分布函数的性质
单调不减性 右连续性 非负有界性 规范性
若x1 < x2 , 则F ( x1 ) ≤ F ( x2 )
2)
∑p
k =1
∞
k = 1, 2,
k
=1
设离散型随机变量X的分布律为 例3 设离散型随机变量 的分布律为 P（X= xi） = pi i = 1、2、… （ 、 、 其中 0 ＜ p ＜1 ，求 p 值。
解：
1= ∵ ∑ P ( X = xi )
i =1
+∞
p =∑p = 1 p i =1
i
一般地， 一般地，对离散型随机变量 X～P（X= xk）＝ k, k＝1, 2, … ～ （ ）＝p ＝ 其分布函数为
F ( x) = P ( X ≤ x ) =
k : xk ≤ x
∑
pk
分布律确定事件的概率 例2中，得到 的分布律为 中 得到X的分布律为
第二章 随机变量及其分布第一节 随机变量及其分布函数讲解
Copyright © 2006 NJUFE
正态分布的概率计算公式：设 ～N (， 2 )，
P( a) (
a
)； x2 ) ( x1 )；
P( x1 x2 ) (
c P( c) 1 ( )； c c P( c) 2 ( ) ( )； c c P( c) ( ) ( ) 1.
P ( a b) F (b) F ( a )
f ( x)dx；
a
b
若f(x)在x0处连续，则F ( x0 ) f ( x0 )。
连续型随机变量与离散型随机变量的区别： 1) 连续型随机变量没有分布律； 2) 连续型随机变量取个别值的概率为零，即
P( x0 ) 0，x0 (， )。
二、随机变量的分布函数及其基本性质
定义2.2 (教材 p 47)
设
是随机变量，x 是任意实数，称函数 F ( x) P( x)， x 为 的分布函数。
对于任意两实数
x1，x2， x1 x2，有
P( x1 x2 ) P( x2 ) P( x1 ) F ( x2 ) F ( x1 )
5. 几何分布 定义2.6( 若离散型随机变量
的分布律为
P( k ) p(1 p)k 1，k 1 ， 2， 0 p 1
则称 服从参数为p的几何分布。 第三节、连续型随机变量 一、连续型随机变量的概念 定义2.7(教材 51) 设F(x) 为随机变量 使对一切实数x，都有
pk P( xk )， k 1 ， 2，
为 的分布律(概率分布)。
第六章随机变量的函数及其分布
定理1 正态分布的线性函数仍服从正态分布
设X ~ N ( , ), Y aX b(a 0), 则
2
Y ~ N (a b, (a ) )
2
推论 正态分布的标准化方法 X 2 若X ~ N ( , ), 则 ~ N (0, 1)
定理2 若随机变量X及其函数Y = g(X)的密度函 数分别为fX (x), fY (y), 且g(x)是严格单调 函数，则： fY ( y) f X [(G( y)] G( y) 其中x = G(y)为y = g(x)的反函数.
例：设(X, Y)的联合分布律为： Y 0 1 2 X 1 1 3 1 12 12 12 1 1 2 0 2 12 12 2 2 3 0 12 12 请求出：(1) X+Y的分布律； (2) X-Y的分布律； (3) X2+Y-2的分布律.
解：由(X, Y)的联合分布律可得如下表格
1 1 ( , 2) ( , 1) (3, 2) ( X , Y ) ( 1, 2) ( 1, 1) ( 1, 0) 2 2
概率 1/12 1/12 3/12 2/12 1/12 2/12 2/12 X-Y 1 0 -1 5/2 3/2 5 3
概率 1/12 1/12 3/12 2/12 1/12 2/12 2/12
X2+Y-2
-3
-2
-1
-15/4 -11/4
5
7
概率
1/12 1/12 3/12 2/12 1/12
2/12 2/12
或
两个独立随机变量的和的分布 如果X与Y相互独立，则： X P (1 ) (1) X Y P (1 2 ) Y P ( 2 )
随机变量及其分布函数的基本性质
随机变量及其分布函数的基本性质随机变量是概率论中最基本的概念之一，是对随机事件的量化描述。
简单来说，随机变量就是在一个随机试验中可能出现的某个数值。
在数学上，随机变量可以看作是一个实数值函数，它将样本空间中的每个元素映射到实数轴上的某个点上。
分布函数是描述随机变量分布情况的工具，它定义为随机变量取某个值或小于等于某个值的概率。
换言之，分布函数描述了随机变量的累积分布情况。
本文将就随机变量及其分布函数的基本性质进行详细探讨。
一、随机变量的分类在概率论中，随机变量可以分为连续型和离散型两类。
离散型随机变量只取有限个或可数个值，比如掷骰子得到的点数；连续型随机变量可以取任意实数值，比如身高、体重等。
二、随机变量的基本性质1. 取值范围和概率随机变量的取值范围可以是有限或无限的，但概率和必须等于1。
如果随机变量取值范围是有限的，则每个可能的取值的概率都是非负的，且所有概率之和等于1。
如果随机变量取值范围是无限的（比如连续型随机变量），则需要借助于概率密度函数，将其转化为相应的概率。
2. 分布函数每个随机变量都对应一个分布函数，分布函数可以分为累积分布函数和概率质量函数。
累积分布函数是指随机变量小于等于某一值的概率，记为F(t)，可以表示为F(t) = P(X <= t)。
概率质量函数是指随机变量取某个值的概率，记为f(x)，可以表示为f(x) =P(X = x)。
两者的关系可以用以下公式表示：F(t) = sum[f(x), x <= t]。
3. 期望和方差期望是衡量随机变量平均水平的值，表示随机变量在多次试验中平均取值的大小。
方差则是用来度量一个随机变量取值的离散程度的量，表示随机变量的取值与其期望的离差平方之和的平均。
对于离散型随机变量，期望和方差可以表示为以下公式：E(X) = sum[x * f(x), x in X]Var(X) = E[(X - E(X))^2] = sum[(x - E(X))^2 * f(x), x in X]对于连续型随机变量，则需要对其概率密度函数进行积分求解。
随机变量的概念及分布函数
x 0
x 0
lim [ F (a) - F (a - x)] F (a) - F (a - 0)
P{a X b} P{X a} P{a X b} F (b) - F (a - 0)
第2章
§2.1 随机变量的概念及分布函数
第10页
例1 设随机变量X的分布函数：
x0 0 F ( x) x 1/ 3 0 x 1/ 2 1 x 1/ 2 计算 P( X 0)；P( X 1/ 4)；P( X 1/ 4)； P(0 X 1/ 3)；P(0 X 1/ 3)
解
P(0 X 1 / 3) F (1 / 3) - F (0) 1 / 3; P(0 X 1 / 3) P( X 0) P(0 X 1 / 3) 1 / 3 1 / 3 2 / 3.
第2章
§2.1 随机变量的概念及分布函数
第11页
例2 设X的分布函数为
F ( x) A B arctan x (- x ) 求(1)常数A, B；(2) P{ X 0}, P{ X 1}, P{0 X 1}
解 (1) 由分布函数的性质知 F (-) 0, F () 1, 故有 . A - B 2 0 1 1 解得 A , B 2 A B 1 2 1 1 1 (2) F ( x) arctan x, P{ X 0} F (0)
P( X 1 / 4) F (1 / 4) - F (1 / 4 - 0) 7 / 12 - 7 / 12 0 ;
P( X 1 / 4) P( X 1 / 4) P( X 1 / 4) P( X 1 / 4) 1 - F (1 / 4) 5 / 12 ;
随机变量及其分布函数
( 2)分布函数 F ( x ) 是 x 的一个普通实函数 .
五、分布函数的性质
(1) 0 ≤ F( x) ≤ 1, x ∈ (−∞, ∞);
(2) F( x1 ) ≤ F( x2 ), ( x1 < x2 );
证明
由 x1 < x 2 ⇒ { X ≤ x1 }⊂ { X ≤ x2 },
x < −1, 0, P { X = −1}, − 1 ≤ x < 2, 得 F ( x) = P { X = −1} + P{ X = 2}, 2 ≤ x < 3, 1, x ≥ 3.
0, 1 , 4 即 F ( x) = 3 , 4 1, x < 1, − 1 ≤ x < 2, 2 ≤ x < 3, x ≥ 3.
二、引入随机变量的意义 有了随机变量,随机试验中的各种事件， 有了随机变量 随机试验中的各种事件， 随机试验中的各种事件 就可以通过随机变量的关系式表达出来. 就可以通过随机变量的关系式表达出来 如：单位时间内某电话交换台收到的呼 叫次数用X表示 它是一个随机变量. 表示， 叫次数用 表示，它是一个随机变量 事件{收到不少于 次呼叫 事件 收到不少于1次呼叫 ⇔{ X 收到不少于 次呼叫} {没有收到呼叫 没有收到呼叫} 没有收到呼叫
≥ 1}
{X= ⇔ 0}
可见， 可见，随机事件这个概念实际上是包 容在随机变量这个更广的概念内. 容在随机变量这个更广的概念内 也可以 说，随机事件是从静态的观点来研究随机 现象，而随机变量则是一种动态的观点， 现象，而随机变量则是一种动态的观点， 就象数学分析中常量与变量的区别那样. 就象数学分析中常量与变量的区别那样
3-1-随机变量及分布函数
P ( a b ) F ( b ) F ( a 0)
概率论-第三章
0 x0 2010年考研题 1 设随机变量X的分布函数为F ( x ) 2 0 x 1 x 求P ( X 1) 1 e x1
解
P ( X 1) P ? ( X 1) P ( X 1)
( ) 称为是样本空间 上的(实值)随机变量，称
F ( x ) P ( ( ) x ) , x (, )
是随机变量 ( )的分布函数
注意： F(x)
是一个普通 概率论-第三章 的函数！
作业 186页 1,7
分布函数的性质
(1) 单调性 若x1 x2 , 则F ( x1 ) F ( x2 )
注意： 离散
型用分布列简 单
概率论-第三章
F ( x 0) F ( x ) P ( x )
事件的概率均可以用分 布函数F ( x )表示
必须记住， P ( b) F (b 0) 考研常考！ P ( b) 1 F (b 0) P ( b) P( b) P( b) F ( b ) F ( b 0) P (a b) F ( b ) F ( a )
1 1 1 1 e e 2 2
1
注意：随机变量为混合型
概率论-第三章
设F1 ( x )与F2 ( x ) 分别为任意两个随机变量分布函数，
B 中”这一事件为 B , 则上述等可能 无关”.如果记”落入
l d c B •104页意味着 P ( B ) 几何概 ba ba 率 如果投在 [a , b]中的点的坐标为 (a b) ,令 ( ) (a b) ( )为随机变量 显然它的可能取值充满整个区间 [a , b .] •不是离 如何描述 ( )的统计规律性？ 散型随
随机变量的函数及其分布
FY(y)=P{Y≤y}=P{g(x)≤y} =P{X≤h(y)}
hy
f X x dx
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
于是得Y的概率密度
fY
(
y)
于是Y分布函数为
y, 0 y 1 其他
0,
FY
(
y)
y,
1,
y0 0 y1
其他
因此
fY
(
y)
FY'
(
y)
1, 2y
y0
0, 其他
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
例：设随机变量X服从正态分布，X~N(0，1)，试求随机 变量函数Y=|X|的密度函数
可导，则Y=g(x)的概率密度为
fY
y
f
X
h
0
y
h y
其中x=h(y)为y=g(x)的反函数，
y
其他
min g , g , max g , g
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
证：我们只证g(x)>0的情况。此时g(x)在(-∞,+ ∞)严 格单调增加，它的反函数h(y)存在，且在(α，β)严格 单调增加，可导，现在先来求Y的分布函数FY(y)。 因为Y=g(X)在(α，β)取值，故当y≤α时，
2
因此
fY
(
y)
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随机变量及其分布函数
将随机事件以数量来标识，即用随机变量描述随机现象的研究方法，它是定义在样本空间上具有某种可预测性的实值函数。
分布函数则完整的表述了随机变量。
一、 随机变量与分布函数
(1) 随机变量：
取值依赖于某个随机试验的结果（样本空间），并随着试验结果不同而变化的变量，称之为随机变量。
分布函数：
[1] 定义：
设X 是一个随机变量，对任意实数x ，记作
(){}F x P X x ≤=，称()F x 为随机变量X 的分
布函数，又称随机变量X 服从分布()F x ，显然，函数
()F x 的定义域为(),-∞+∞，值域为[0,1]。
[2] 性质：
❶()F x 单调非降。
❷()0F -∞=、()1F +∞=。
❸()(0)F x F x =+，即()F x 一定是右连续的。
❹对于任意两个实数a b <，
{}()()P a X b F b F a <≤=-
❺对于任意实数0x ，
00
0{}()()P X x F x F x ==-- ❻000{}1{}1()P X x P X x F x >=-≤=- ❼000{}{)lim }(x x P X x P X x x F →-
=≤<=-
❽000{}1{}1()P X x P X x F x ≥=-<=-- 二、 离散型随机变量与连续型随机变量
(1) 离散型随机变量
[1] 概念：设X 是一个随机变量，如果X 的取值是有限个或者
无穷可列个，则称X 为离散型随机变量。
其相应的概率()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分布或分布律，表格表示形式如下：
[2] 性质：
❶0i p ≥
❷
1
1n
i
i p
==∑
❸分布函数()i i x x
F x p ==∑
❹1{}()()i i i P X
x F x F x -==-
(2) 连续型随机变量
[1] 概念：如果对于随机变量的分布函数()F x ，存在非
负的函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，均有：
()()x
F x f x d x
-∞
=
⎰
则称X 为连续型随机变量，()f x 称为概率密度函数或者密度函数。
[2]
连续型随机变量的密度函数的性质 ❶()0f x ≥
❷
()1f x dx +∞
-∞
=⎰
❸{}()()()P a X b F b F a f x dx +∞
-∞
<≤=-=
⎰
❹若()f x 在x 点连续，则()()F x f x '=
(3) 连续型随机变量和离散型随机变量的区别：
[1]
由连续型随机变量的定义，连续型随机变量的定义域是 (),-∞+∞，对于任何x ，0
{}()()0P X x F x F x ==--=；
而对于离散型随机变量的分布函数有有限个或可列个间断点，其图形呈阶梯形。
[2]
概率密度()f x 一定非负，但是可以大于1，而离散型随机变量的概率分布i p 不仅非负，而且一定不大于1.
[3]
连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此X 取任何给定值的概率都为0.
[4]
对任意两个实数a b <，连续型随机变量X 在a 与b 之间取值的概率与区间端点无关，即：
{}{}{}{}()()
()b
a
P a X b P a X b P a X b P a X b F b F a f x dx
<<=≤≤=<≤=≤<=-=
⎰。