椭圆及其标准方程练习题与详细答案

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《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案解析)

《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案解析)

《椭圆》方程典型例题20例典型例题一例1 椭圆的一个顶点为()02,A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程.分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置.解:(1)当()02,A 为长轴端点时,2=a ,1=b , 椭圆的标准方程为:11422=+y x ; (2)当()02,A 为短轴端点时,2=b ,4=a , 椭圆的标准方程为:116422=+y x ; 说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况.典型例题二例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率.解:31222⨯⨯=c a c ∴223a c =, ∴3331-=e . 说明:求椭圆的离心率问题,通常有两种处理方法,一是求a ,求c ,再求比.二是列含a 和c 的齐次方程,再化含e 的方程,解方程即可.典型例题三 例3 已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点,M 为AB 中点,OM 的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.解:由题意,设椭圆方程为1222=+y ax ,由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ,得()021222=-+x a x a , ∴222112a a x x x M +=+=,2111a x y M M +=-=,4112===ax y k M M OM ,∴42=a , ∴1422=+y x 为所求. 说明:(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;(2)直线与曲线的综合问题,经常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题.典型例题四例4椭圆192522=+y x 上不同三点()11y x A ,,⎪⎭⎫⎝⎛594,B ,()22y x C ,与焦点()04,F 的距离成等差数列.(1)求证821=+x x ;(2)若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ,求直线BT 的斜率k . 证明:(1)由椭圆方程知5=a ,3=b ,4=c . 由圆锥曲线的统一定义知:ac x ca AF =-12, ∴ 11545x ex a AF -=-=. 同理 2545x CF -=.∵ BF CF AF 2=+,且59=BF , ∴ 51854554521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ,即 821=+x x .(2)因为线段AC 的中点为⎪⎭⎫⎝⎛+2421y y ,,所以它的垂直平分线方程为()42212121---=+-x y y x x y y y . 又∵点T 在x 轴上,设其坐标为()00,x ,代入上式,得 ()212221024x x y y x --=-又∵点()11y x A ,,()22y x B ,都在椭圆上,∴ ()212125259x y -=()222225259x y -= ∴ ()()21212221259x x x x y y -+-=-.将此式代入①,并利用821=+x x 的结论得 253640-=-x ∴ 4540590=--=x k BT.典型例题五例5 已知椭圆13422=+yx ,1F 、2F 为两焦点,问能否在椭圆上找一点M ,使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项?若存在,则求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.解:假设M 存在,设()11y x M ,,由已知条件得2=a ,3=b ,∴1=c ,21=e . ∵左准线l 的方程是4-=x , ∴14x MN +=. 又由焦半径公式知:111212x ex a MF -=-=, 112212x ex a MF +=+=.∵212MF MF MN ⋅=,∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x .整理得048325121=++x x .解之得41-=x 或5121-=x . ① 另一方面221≤≤-x . ②则①与②矛盾,所以满足条件的点M 不存在. 说明:(1)利用焦半径公式解常可简化解题过程.(2)本例是存在性问题,解决存在性问题,一般用分析法,即假设存在,根据已知条件进行推理和运算.进而根据推理得到的结果,再作判断.(3)本例也可设()θθsin 3cos 2,M 存在,推出矛盾结论(读者自己完成).典型例题六例6 已知椭圆1222=+y x ,求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121,P 且被P 平分的弦所在的直线方程.分析一:已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为k ,利用条件求k . 解法一:设所求直线的斜率为k ,则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y .代入椭圆方程,并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k .由韦达定理得22212122k kk x x +-=+.∵P 是弦中点,∴121=+x x .故得21-=k .所以所求直线方程为0342=-+y x .分析二:设弦两端坐标为()11y x ,、()22y x ,,列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组,从而求斜率:2121x x y y --. 解法二:设过⎪⎭⎫⎝⎛2121,P 的直线与椭圆交于()11y x A ,、()22y x B ,,则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ,,, ①-②得0222212221=-+-y y x x . ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ,即直线的斜率为21-. 所求直线方程为0342=-+y x .说明:(1)有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行弦的中点轨迹;过定点的弦中点轨迹.(2)解法二是“点差法”,解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代斜率.(3)有关弦及弦中点问题常用的方法是:“韦达定理应用”及“点差法”.有关二次曲线问题也适用.典型例题七例7 求适合条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的2倍,且过点()62-,; (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直,且焦距为6.分析:当方程有两种形式时,应分别求解,如(1)题中由12222=+b y a x 求出1482=a ,372=b ,在得方程13714822=+y x 后,不能依此写出另一方程13714822=+x y . 解:(1)设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或12222=+bx a y .由已知b a 2=. ①又过点()62-,,因此有 ()1622222=-+b a 或()1262222=+-ba . ② 由①、②,得1482=a ,372=b 或522=a ,132=b .故所求的方程为13714822=+y x 或1135222=+x y . (2)设方程为12222=+b y a x .由已知,3=c ,3==c b ,所以182=a .故所求方程为191822=+y x . 说明:根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数”.关键在于焦点的位置是否确定,若不能确定,应设方程12222=+b y a x 或12222=+bx a y .典型例题八例8 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ,过点()31,A ,点M 在椭圆上,当MF AM 2+为最小值时,求点M 的坐标.分析:本题的关键是求出离心率21=e ,把MF 2转化为M 到右准线的距离,从而得最小值.一般地,求MF eAM 1+均可用此法. 解:由已知:4=a ,2=c .所以21=e ,右准线8=x l :.过A 作l AQ ⊥,垂足为Q ,交椭圆于M ,故MF MQ 2=.显然MF AM 2+的最小值为AQ ,即M 为所求点,因此3=M y ,且M 在椭圆上.故32=M x .所以()332,M .说明:本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理.事实上,如图,21=e ,即MF 是M 到右准线的距离的一半,即图中的MQ ,问题转化为求椭圆上一点M ,使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值.典型例题九 例9 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值.分析:先写出椭圆的参数方程,由点到直线的距离建立三角函数关系式,求出距离的最小值.解:椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ,设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3,,则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd . 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时,22=最小值d .说明:当直接设点的坐标不易解决问题时,可建立曲线的参数方程.典型例题十 例10设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x 轴上,离心率23=e ,已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛230,P 到这个椭圆上的点的最远距离是7,求这个椭圆的方程,并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标.分析:本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力,在求d 的最大值时,要注意讨论b 的取值范围.此题可以用椭圆的标准方程,也可用椭圆的参数方程,要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题,从而加强等价转换、形数结合的思想,提高逻辑推理能力.解法一:设所求椭圆的直角坐标方程是12222=+b y a x ,其中0>>b a 待定.由222222221ab a b a ac e -=-==可得 2143112=-=-=e a b ,即b a 2=. 设椭圆上的点()y x ,到点P 的距离是d ,则4931232222222+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y b y a y x d 34213493342222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=b y y y b其中b y b ≤≤-. 如果21<b ,则当b y -=时,2d (从而d )有最大值. 由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ,由此得21237>-=b ,与21<b 矛盾.因此必有21≥b 成立,于是当21-=y 时,2d (从而d )有最大值. 由题设得()34722+=b,可得1=b ,2=a .∴所求椭圆方程是11422=+y x . 由21-=y 及求得的椭圆方程可得,椭圆上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛--213,,点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213,到点⎪⎭⎫⎝⎛230,P 的距离是7.解法二:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ,其中0>>b a ,待定,πθ20≤≤,θ为参数.由22222221⎪⎭⎫⎝⎛-=-==a b a b a a c e 可得 2143112=-=-=e a b ,即b a 2=. 设椭圆上的点()y x ,到点⎪⎭⎫⎝⎛230,P 的距离为d ,则22222223sin cos 23⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θθb a y x d49sin 3sin 34222+--=θθb b b 3421sin 3222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b b θ如果121>b ,即21<b ,则当1sin -=θ时,2d (从而d )有最大值.由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ,由此得21237>-=b ,与21<b 矛盾,因此必有121≤b成立. 于是当b21sin -=θ时2d (从而d )有最大值. 由题设知()34722+=b,∴1=b ,2=a .∴所求椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x .由21sin -=θ,23cos ±=θ,可得椭圆上的是⎪⎭⎫ ⎝⎛--213,,⎪⎭⎫ ⎝⎛-213,.典型例题十一例11 设x ,R ∈y ,x y x 63222=+,求x y x 222++的最大值和最小值.分析:本题的关键是利用形数结合,观察方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致.设m x y x =++222,显然它表示一个圆,由此可以画出图形,考虑椭圆及圆的位置关系求得最值.解:由x y x 63222=+,得123492322=+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 可见它表示一个椭圆,其中心在⎪⎭⎫⎝⎛023,点,焦点在x 轴上,且过(0,0)点和(3,0)点.设m x y x =++222,则 ()1122+=++m y x它表示一个圆,其圆心为(-1,0)半径为()11->+m m .在同一坐标系中作出椭圆及圆,如图所示.观察图形可知,当圆过(0,0)点时,半径最小,即11=+m ,此时0=m ;当圆过(3,0)点时,半径最大,即41=+m ,∴15=m .∴x y x 222++的最小值为0,最大值为15.典型例题十二例12 已知椭圆()012222>>=+b a by a x C :,A 、B 是其长轴的两个端点.(1)过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P ',求证:不论a 、b 如何变化,120≠∠APB .(2)如果椭圆上存在一个点Q ,使 120=∠A Q B ,求C 的离心率e 的取值范围.分析:本题从已知条件出发,两问都应从APB ∠和AQB ∠的正切值出发做出估计,因此要从点的坐标、斜率入手.本题的第(2)问中,其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式,只能是椭圆的固有性质:a x ≤,b y ≤,根据120=∠AQB 得到32222-=-+a y x ay ,将22222y ba a x -=代入,消去x ,用a 、b 、c 表示y ,以便利用b y ≤列出不等式.这里要求思路清楚,计算准确,一气呵成.解:(1)设()0,c F ,()0,a A -,()0,a B . ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎩⎨⎧=+=a b c P b a y a x b c x 2222222, 于是()a c a b k AP+=2,()a c ab k BP -=2.∵APB ∠是AP 到BP 的角.∴()()()2222242221tan ca a c ab ac a b a c a b APB -=-++--=∠ ∵22c a > ∴2tan -<∠APB故3tan -≠∠APB ∴ 120≠∠APB . (2)设()y x Q ,,则a x y k QA +=,ax y k QB -=. 由于对称性,不妨设0>y ,于是AQB ∠是QA 到QB 的角.∴22222221tan a y x ay a x y a x ya x y AQB -+=-++--=∠∵ 120=∠AQB , ∴32222-=-+ay x ay整理得()023222=+-+ay a y x∵22222y ba a x -=∴0213222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ay y b a∵0≠y , ∴2232c ab y = ∵b y ≤, ∴b c ab ≤2232 232c ab ≤,()222234c c a a ≤-∴04444224≥-+a c a c ,044324≥-+e e ∴232≥e 或22-≤e (舍),∴136<≤e .典型例题十三例13 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ,求k 的值. 分析:分两种情况进行讨论.解:当椭圆的焦点在x 轴上时,82+=k a ,92=b ,得12-=k c .由21=e ,得4=k .当椭圆的焦点在y 轴上时,92=a ,82+=k b ,得k c -=12.由21=e ,得4191=-k ,即45-=k . ∴满足条件的4=k 或45-=k .说明:本题易出现漏解.排除错误的办法是:因为8+k 与9的大小关系不定,所以椭圆的焦点可能在x 轴上,也可能在y 轴上.故必须进行讨论.典型例题十四例14 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ,求P 到左准线的距离.分析:利用椭圆的两个定义,或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解.解法一:由142222=+by b x ,得b a 2=,b c 3=,23=e .由椭圆定义,b a PF PF 4221==+,得b b b PF b PF 34421=-=-=. 由椭圆第二定义,e d PF =11,1d 为P 到左准线的距离,∴b ePF d 3211==,即P 到左准线的距离为b 32. 解法二:∵e d PF =22,2d 为P 到右准线的距离,23==a c e , ∴b ePF d 33222==.又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅. ∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-. 说明:运用椭圆的第二定义时,要注意焦点和准线的同侧性.否则就会产生误解.椭圆有两个定义,是从不同的角度反映椭圆的特征,解题时要灵活选择,运用自如.一般地,如遇到动点到两个定点的问题,用椭圆第一定义;如果遇到动点到定直线的距离问题,则用椭圆的第二定义.典型例题十五例15 设椭圆⎩⎨⎧==.sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π=∠POx ,求P 点坐标.分析:利用参数α与POx ∠之间的关系求解.解:设)sin 32,cos 4(ααP ,由P 与x 轴正向所成角为3π, ∴ααπcos 4sin 323tan=,即2tan =α.而0sin >α,0cos >α,由此得到55cos =α,552sin =α, ∴P 点坐标为)5154,554(.典型例题十六例16 设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的一点,P 到左焦点1F 和右焦点2F 的距离分别为1r 和2r ,求证:01ex a r +=,02ex a r -=. 分析:本题考查椭圆的两个定义,利用椭圆第二定义,可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离.解:P 点到椭圆的左准线c a x l 2-=:的距离,ca x PQ 20+=,由椭圆第二定义,e PQPF =1,∴01ex a PQ e r +==,由椭圆第一定义,0122ex a r a r -=-=.说明:本题求证的是椭圆的焦半径公式,在解决与椭圆的焦半径(或焦点弦)的有关问题时,有着广泛的应用.请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式.典型例题十七例17 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ,1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点,点P 是椭圆上一点.(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标;(2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标. 分析:本题考查椭圆中的最值问题,通常探求变量的最值有两种方法:一是目标函数当,即代数方法.二是数形结合,即几何方法.本题若按先建立目标函数,再求最值,则不易解决;若抓住椭圆的定义,转化目标,运用数形结合,就能简捷求解.解:(1)如上图,62=a ,)0,2(2F ,22=AF ,设P 是椭圆上任一点,由6221==+a PF PF ,22AF PF PA -≥,∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ,等号仅当22AF PF PA -=时成立,此时P 、A 、2F 共线.由22AF PF PA +≤,∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ,等号仅当22AF PF PA +=时成立,此时P 、A 、2F 共线.建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ,解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P . 综上所述,P 点与1P 重合时,1PF PA +取最小值26-,P 点与2P 重合时,2PF PA +取最大值26+.(2)如下图,设P 是椭圆上任一点,作PQ 垂直椭圆右准线,Q 为垂足,由3=a ,2=c ,∴32=e .由椭圆第二定义知322==e PQ PF ,∴223PF PQ =,∴PQ PA PF PA +=+223,要使其和最小需有A 、P 、Q 共线,即求A 到右准线距离.右准线方程为29=x .∴A 到右准线距离为27.此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1,代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(. 说明:求21PF ePA +的最小值,就是用第二定义转化后,过A 向相应准线作垂线段.巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段.典型例题十八例18 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程; (2)求椭圆内接矩形的最大面积.分析:本题考查椭圆的参数方程及其应用.为简化运算和减少未知数的个数,常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标,所求问题便化归为三角问题.解:(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ.(2)设椭圆内接矩形面积为S ,由对称性知,矩形的邻边分别平行于x 轴和y轴,设)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的顶点,)20(π<θ<,则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS 故椭圆内接矩形的最大面积为12.说明:通过椭圆参数方程,转化为三角函数的最值问题,一般地,与圆锥曲线有关的最值问题,用参数方程形式较简便.典型例题十九 例19 已知1F ,2F 是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上一点,且︒=∠6021PF F .(1)求椭圆离心率的取值范围;(2)求证21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关. 分析:不失一般性,可以设椭圆方程为12222=+b y a x (0>>b a ),),(11y x P (01>y ). 思路一:根据题设容易想到两条直线的夹角公式,即3160tan 1212=+-=︒PF PF PF PF K K K K ,设),(11y x P ,)0,(1c F -,)0,(2c F ,化简可得03233212121=--+c cy y x .又1221221=+by a x ,两方程联立消去21x 得0323412212=-+b cy b y c ,由],0(1b y ∈,可以确定离心率的取值范围;解出1y 可以求出21F PF ∆的面积,但这一过程很繁.思路二:利用焦半径公式11ex a PF +=,12ex a PF -=,在21F PF ∆中运用余弦定理,求1x ,再利用],[1a a x -∈,可以确定离心率e 的取值范围,将1x 代入椭圆方程中求1y ,便可求出21F PF ∆的面积.思路三:利用正弦定理、余弦定理,结合a PF PF 221=+求解.解:(法1)设椭圆方程为12222=+b y a x (0>>b a ),),(11y x P ,)0,(1c F -,)0,(2c F ,0>c ,则11ex a PF +=,12ex a PF -=. 在21F PF ∆中,由余弦定理得))((24)()(2160cos 1122121ex a ex a c ex a ex a -+--++==︒, 解得2222134ea c x -=. (1)∵],0(221a x ∈,∴2222340a ea c <-≤,即0422≥-a c . ∴21≥=a c e . 故椭圆离心率的取范围是)1,21[∈e .(2)将2222134ea c x -=代入12222=+b y a x 得 24213c b y =,即cb y 321=.∴22213332212121b cb c y F F S F PF =⋅⋅=⋅=∆. 即21F PF ∆的面积只与椭圆的短轴长有关.(法2)设m PF =1,n PF =2,α=∠12FPF ,β=∠21F PF , 则︒=+120βα.(1)在21F PF ∆中,由正弦定理得︒==60sin 2sin sin cn m βα. ∴︒=++60sin 2sin sin cn m βα∵a n m 2=+, ∴︒=+60sin 2sin sin 2ca βα,∴2cos 2sin 260sin sin sin 60sin βαβαβα-+︒=+︒==a c e 212cos21≥-=βα.当且仅当βα=时等号成立.故椭圆离心率的取值范围是)1,21[∈e .(2)在21F PF ∆中,由余弦定理得:︒-+=60cos 2)2(222mn n m cmn n m -+=22 mn n m 3)(2-+=∵a n m 2=+,∴mn a c 34422-=,即22234)(34b c a mn =-=. ∴23360sin 2121b mn S F PF =︒=∆. 即21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关.说明:椭圆上的一点P 与两个焦点1F ,2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形,涉及有关焦点三角形问题,通常运用三角形的边角关系定理.解题中通过变形,使之出现21PF PF +的结构,这样就可以应用椭圆的定义,从而可得到有关a ,c 的关系式,使问题找到解决思路.典型例题二十例20 椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ,若这个椭圆上总存在点P ,使AP OP ⊥(O 为坐标原点),求其离心率e 的取值范围.分析:∵O 、A 为定点,P 为动点,可以P 点坐标作为参数,把AP OP ⊥,转化为P 点坐标的一个等量关系,再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式,转化为关于e 的不等式.为减少参数,易考虑运用椭圆参数方程.解:设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ,则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ,)0,(a A , ∵AP OP ⊥,∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ,即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ,解得1cos =θ或222cos b a b -=θ,∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ(舍去),11222<-<-ba b ,又222c a b -= ∴2022<<ca ,∴22>e ,又10<<e ,∴122<<e . 说明:若已知椭圆离心率范围)1,22(,求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥.如何证明?。

椭圆及其标准方程课后习题含解析

椭圆及其标准方程课后习题含解析

椭圆及其标准方程课时作业1.若椭圆x 216+y 2b 2=1过点(-2,3),则其焦距为 ( )A .25B .2 3C .4 5D .4 3答案 D解析 ∵椭圆过(-2,3),则有416+3b 2=1,b 2=4,c 2=16-4=12,c =23,2c =4 3.故选D.2.已知椭圆x 210-m +y 2m -2=1,长轴在y 轴上,若焦距为4,则m 等于( )A .4B .5C .7D .8 答案 D解析 椭圆焦点在y 轴上,∴a 2=m -2,b 2=10-m . 又c =2,∴m -2-(10-m )=c 2=4. ∴m =8.3.已知椭圆x 25+y 2m =1的离心率e =105,则m 的值为 ( )A .3B .3或253 C.15 D.15或5153答案 B解析若焦点在x 轴上,则有⎩⎨⎧5>m ,5-m5=105.∴m =3.若焦点在y 轴上,则有⎩⎨⎧m >5,m -5m =105.∴m =253.4.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点分别为F 1、F 2,b =4,离心率为35.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点,则△ABF 2的周长为( )A .10B .12C .16D .20答案 D解析 如图,由椭圆的定义知△ABF 2的周长为4a ,又 e =c a =35,即c =35a , ∴a 2-c 2=1625a 2=b 2=16. ∴a =5,△ABF 2的周长为20.5.椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上任一点到两焦点的距离分别为d 1,d 2,焦距为2c .若d 1,2c ,d 2成等差数列,则椭圆的离心率为( )A.12B.22C.32D.34答案 A解析 由d 1+d 2=2a =4c ,∴e =c a =12.6.已知椭圆x 24+y 2=1的左、右焦点分别为F 1、F 2,点M 在该椭圆上,且MF 1→·MF 2→=0,则点M 到y 轴的距离为( )A.233 B.263 C.33D. 3答案 B解析 由题意,得F 1(-3,0),F 2(3,0).设M (x ,y ),则MF 1→·MF 2→=(-3-x ,-y )·(3-x ,-y )=0,整理得x 2+y 2=3.①又因为点M 在椭圆上,故x 24+y 2=1, 即y 2=1-x 24.②将②代入①,得34x 2=2,解得x =±263. 故点M 到y 轴的距离为263.7.设e 是椭圆x 24+y 2k =1的离心率,且e ∈(12,1),则实数k 的取值范围是( ) A .(0,3)B .(3,163) C .(0,3)∪(163,+∞) D .(0,2)答案 C解析 当k >4时,c =k -4,由条件知14<k -4k <1,解得k >163; 当0<k <4时,c =4-k ,由条件知14<4-k4<1,解得0<k <3,综上知选C.8.(2013·温州五校)已知P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的一点,若PF 1→·PF 2→=0,tan ∠PF 1F 2=12,则此椭圆的离心率为( )A.12B.23C.13D.53答案 D解析 由PF 1→·PF 2→=0,得△PF 2F 2为直角三角形,由tan ∠PF 1F 2=12,设|PF 2|=s ,则|PF 1|=2s ,又|PF 2|2+|PF 1|2=4c 2(c =a 2-b 2),即4c 2=5s 2,c =52s ,而|PF 2|+|PF 1|=2a =3s ,∴a =3s 2.∴离心率e =c a =53,故选D.9.已知椭圆x 24+y 23=1的左顶点为A 1,右焦点为F 2,点P 为该椭圆上一动点,则当PF 2→·P A 1→取最小值时|P A 1→+PF 2→|的取值为( )A .0B .3C .4D .5答案 B解析 由已知得a =2,b =3,c =1,所以 F 2(1,0),A 1(-2,0),设P (x ,y ), 则PF 2→·P A 1→=(1-x ,-y )·(-2-x ,-y ) =(1-x )(-2-x )+y 2.又点P (x ,y )在椭圆上,所以y 2=3-34x 2,代入上式, 得PF 2→·P A 1→=14x 2+x +1=14(x +2)2. 又x ∈[-2,2],所以x =-2时,PF 2→·P A 1→取得最小值. 所以P (-2,0),求得|PF 2→+P A 1→|=3.10.设F 1,F 2为椭圆的两个焦点,以F 2为圆心作圆,已知圆F 2经过椭圆的中心,且与椭圆相交于点M ,若直线MF 1恰与圆F 2相切,则该椭圆的离心率为( )A.3-1 B .2- 3 C.22 D.32答案 A解析 由题意知∠F 1MF 2=π2,|MF 2|=c ,|F 1M |=2a -c ,则c 2+(2a -c )2=4c 2,e 2+2e -2=0,解得e =3-1.11.已知点M (3,0),椭圆x 24+y 2=1与直线y =k (x +3)交于点A 、B ,则△ABM 的周长为______________.答案 8解析 直线y =k (x +3)过定点N (-3,0),而M 、N 恰为椭圆x 24+y 2=1的两个焦点,由椭圆定义知△ABM 的周长为4a =4×2=8.12.已知点A (4,0)和B (2,2),M 是椭圆x 225+y 29=1上一动点,则|MA |+|MB |的最大值为________.答案 10+210 解析显然A 是椭圆的右焦点,如图所示,设椭圆的左焦点为A 1(-4,0),连BA 1并延长交椭圆于M 1,则M 1是使|MA |+|MB |取得最大值的点.事实上,对于椭圆上的任意点M 有:|MA |+|MB |=2a -|MA 1|+|MB |≤2a +|A 1B |(当M 1与M 重合时取等号),∴|MA |+|MB |的最大值为2a +|A 1B |=2×5+62+22=10+210.13.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),直线l 为圆O :x 2+y 2=b 2的一条切线,记椭圆C 的离心率为e .若直线l 的倾斜角为π3,且恰好经过椭圆的右顶点,则e 的大小为______.答案 12解析如图所示,设直线l 与圆O 相切于C 点,椭圆的右顶点为D ,则由题意,知△OCD 为直角三角形,且OC =b ,OD =a ,∠ODC =π3,∴CD =OD 2-OC 2=a 2-b 2=c (c 为椭圆的半焦距),∴椭圆的离心率e =c a =cos π3=12.14.F 1,F 2是椭圆E :x 2+y2b 2=1(0<b <1)的左,右焦点,过F 1的直线l 与E相交于A 、B 两点,且|AF 2|,|AB |,|BF 2|成等差数列,则|AB |的长为________.答案 23解析 由椭圆的定义可知|AF 1|+|AF 2|=2a =1,|BF 1|+|BF 2|=1,相加得 |AF 1|+|BF 1|+|AF 2|+|BF 2|=2.∴|AF 2|+|BF 2|=2-(|AF 1|+|BF 1|)=2-|AB |. ∵|AF 2|,|AB |,|BF 2|成等差数列, ∴2|AB |=|AF 2|+|BF 2|.于是2|AB |=2-|AB |,∴|AB |=23. 15.如右图,已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点,A 为椭圆的上顶点,直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB =90°,求椭圆的离心率;(2)若椭圆的焦距为2,且AF 2→=2F 2B →,求椭圆的方程.解析 (1)若∠F 1AB =90°,则△AOF 2为等腰直角三角形.所以有|OA |=|OF 2|,即b =c .所以a =2c ,e =c a =22.(2)由题知A (0,b ),F 2(1,0),设B (x ,y ), 由AF 2→=2F 2B →,解得x =32,y =-b 2. 代入x 2a 2+y 2b 2=1,得94a 2+b 24b 2=1. 即94a 2+14=1,解得a 2=3. 所以椭圆方程为x 23+y 22=1.16.(2013·沧州七校联考)已知椭圆C 的中心在原点,一个焦点为F (-2,0),且长轴长与短轴长的比是2∶ 3.(1)求椭圆C 的方程;(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上,点P 是椭圆上任意一点.当|MP →|最小时,点P 恰好落在椭圆的右顶点,求实数m 的取值范围.答案 (1)x 216+y 212=1 (2)1≤m ≤4解析(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c =2,a b =23,a 2=b 2+4,解之得⎩⎨⎧a 2=16,b 2=12.∴椭圆方程为x 216+y 212=1. (2)设P (x 0,y 0),且x 2016+y 2012=1, ∴|MP →|2=(x 0-m )2+y 20 =x 20-2mx 0+m 2+12(1-x 2016)=14x 20-2mx 0+m 2+12=14(x 0-4m )2-3m 2+12.∴|MP →|2为关于x 0的二次函数,开口向上,对称轴为4m . 由题意知,当x 0=4时,|MP →|2最小,∴4m ≥4,∴m ≥1. 又点M (m,0)在椭圆长轴上,∴1≤m ≤4.17.(2013·潍坊质检)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦距为4,且与椭圆x 2+y22=1有相同的离心率,斜率为k 的直线l 经过点M (0,1),与椭圆C 交于不同的两点A 、B .(1)求椭圆C 的标准方程;(2)当椭圆C 的右焦点F 在以AB 为直径的圆内时,求k 的取值范围. 解析 (1)∵椭圆C 的焦距为4,∴c =2. 又∵椭圆x 2+y 22=1的离心率为22,∴椭圆C 的离心率e =c a =2a =22,∴a =22,b =2. ∴椭圆C 的标准方程为x 28+y 24=1.(2)设直线l 的方程为y =kx +1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +1,x 28+y 24=1消去y ,得(1+2k 2)x 2+4kx -6=0.∴x 1+x 2=-4k 1+2k 2,x 1x 2=-61+2k 2.由(1)知椭圆C 的右焦点F 的坐标为(2,0), ∵右焦点F 在圆的内部,∴AF →·BF →<0. ∴(x 1-2)(x 2-2)+y 1y 2<0,即x 1x 2-2(x 1+x 2)+4+k 2x 1x 2+k (x 1+x 2)+1<0. ∴(1+k 2)x 1x 2+(k -2)(x 1+x 2)+5=(1+k 2)·-61+2k 2+(k -2)·-4k 1+2k 2+5=8k -11+2k 2<0,∴k <18.经检验,当k <18时,直线l 与椭圆C 相交. ∴直线l 的斜率k 的取值范围为(-∞,18).1.已知F 1、F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,点P (-2,1)在椭圆上,线段PF 2与y 轴的交点M 满足PM →+F 2M →=0.(1)求椭圆C 的方程;(2)椭圆C 上任一动点N (x 0,y 0)关于直线y =2x 的对称点为N 1(x 1,y 1),求3x 1-4y 1的取值范围.解析 (1)由已知,点P (-2,1)在椭圆上, ∴有2a 2+1b 2=1.①又∵PM →+F 2M →=0,M 在y 轴上, ∴M 为PF 2的中点. ∴-2+c =0,c = 2. ∴a 2-b 2=2,②解得①②,得b 2=2(b 2=-1舍去), ∴a 2=4.故所求椭圆C 的方程为x 24+y 22=1.(2)∵点N (x 0,y 0)关于直线y =2x 的对称点为N 1(x 1,y 1), ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0-y 1x 0-x 1×2=-1,y 0+y 12=2×x 0+x 12.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1=4y 0-3x 05,y 1=3y 0+4x 05.∴3x 1-4y 1=-5x 0.∵点N (x 0,y 0)在椭圆C :x 24+y 22=1上, ∴-2≤x 0≤2. ∴-10≤-5x 0≤10,即3x 1-4y 1的取值范围为[-10,10].2.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点F 及点A (0,b ),原点O 到直线F A 的距离为22b .(1)求椭圆C 的离心率e ;(2)若点F 关于直线l :2x +y =0的对称点P 在圆O :x 2+y 2=4上,求椭圆C 的方程及点P 的坐标.解析 (1)由点F (-ae,0),点A (0,b )及b =1-e 2a 得直线F A 的方程为x -ae+y 1-e 2a=1,即1-e 2x -ey + ae 1-e 2=0,∵原点O 到直线F A 的距离为22b =a 1-e 22,∴ae 1-e 21-e 2+e 2=a1-e 22,解得e =22.(2)∵F (-22a,0)关于直线l 的对称点P 在圆O 上,且直线l :2x +y =0经过圆O :x 2+y 2=4的圆心O (0,0),∴F (-22a,0)也在圆O 上.从而(-22a )2+02=4,得a 2=8,∴b 2=(1-e 2)a 2=4. ∴椭圆C 的方程为x 28+y 24=1.∵F (-2,0)与P (x 0,y 0)关于直线l 对称,∴⎩⎪⎨⎪⎧ y 0x 0+2=12,2·x 0-22+y 02=0.解得x 0=65,y 0=85.∴点P 的坐标为(65,85). 3.如图,从椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上一点M 向x 轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F 1,且它的长轴端点A 与短轴端点B 的连线AB ∥OM .(1)求椭圆的离心率e ;(2)设Q 是椭圆上任一点,F 2是右焦点,F 1是左焦点,求∠F 1QF 2的取值范围;(3)设Q 是椭圆上任一点,当QF 2⊥AB 时,延长QF 2与椭圆交于另一点P ,若△F 1PQ 的面积为203,求此时椭圆的方程.解析 (1)∵MF 1⊥x 轴,∴x M =-c .代入椭圆方程,得y M =b 2a ,∴k OM =-b 2ac .又∵k AB =-b a 且OM ∥AB ,∴-b 2ac =-b a .故b =c ,从而e =22.(2)设|QF 1|=r 1,|QF 2|=r 2,∠F 1QF 2=θ. ∵r 1+r 2=2a ,|F 1F 2|=2c ,∴cos θ=r 21+r 22-4c 22r 1r 2=(r 1+r 2)2-2r 1r 2-4c 22r 1r 2=4b 22r 1r 2-1=a 2r 1r 2-1≥a 2(r 1+r 22)2-1=0.(当且仅当r 1=r 2时,等号成立)∵0≤cos θ≤1,故θ∈[0,π2].(3)∵b =c ,a =2c ,∴设椭圆方程为x 22c 2+y 2c 2=1.∵PQ ⊥AB ,k AB =-22,k PQ =2,∴直线PQ 的方程为y =2(x -c ). 联立可得5x 2-8cx +2c 2=0. ∴|PQ |=[(8c 5)2-4×2c 25](1+2)=62c 5.又点F 1到PQ 的距离d =263c ,∴S △F 1PQ =12d |PQ |=12×263c ×625c =435c 2. 由435c 2=203,得c 2=25,故2c 2=50.∴所求椭圆方程为x 250+y 225=1.。

《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案解析]

《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案解析]

《椭圆》方程典型例题20例典型例题一例1 椭圆的一个顶点为()02,A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程. 分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置. 解:(1)当()02,A 为长轴端点时,2=a ,1=b ,椭圆的标准方程为:11422=+y x ; (2)当()02,A 为短轴端点时,2=b ,4=a ,椭圆的标准方程为:116422=+y x ; 说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况.典型例题二例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率.解:31222⨯⨯=c a c ∴223a c =, ∴3331-=e . 说明:求椭圆的离心率问题,通常有两种处理方法,一是求a ,求c ,再求比.二是列含a 和c 的齐次方程,再化含e 的方程,解方程即可.典型例题三 例3 已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点,M 为AB 中点,OM 的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.解:由题意,设椭圆方程为1222=+y ax ,由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ,得()021222=-+x a x a , ∴222112aa x x x M +=+=,2111a x y M M +=-=,4112===a x y k M M OM ,∴42=a , ∴1422=+y x 为所求. 说明:(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;(2)直线与曲线的综合问题,经常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题.典型例题四例4椭圆192522=+y x 上不同三点()11y x A ,,⎪⎭⎫⎝⎛594,B ,()22y x C ,与焦点()04,F 的距离成等差数列.(1)求证821=+x x ;(2)若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ,求直线BT 的斜率k . 证明:(1)由椭圆方程知5=a ,3=b ,4=c . 由圆锥曲线的统一定义知:ac x ca AF =-12, ∴ 11545x ex a AF -=-=. 同理 2545x CF -=. ∵ BF CF AF 2=+,且59=BF , ∴ 51854554521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ,即 821=+x x .(2)因为线段AC 的中点为⎪⎭⎫⎝⎛+2421y y ,,所以它的垂直平分线方程为()42212121---=+-x y y x x y y y . 又∵点T 在x 轴上,设其坐标为()00,x ,代入上式,得()212221024x x y y x --=-又∵点()11y x A ,,()22y x B ,都在椭圆上,∴ ()212125259x y -=()222225259x y -= ∴ ()()21212221259x x x x y y -+-=-. 将此式代入①,并利用821=+x x 的结论得 253640-=-x ∴ 4540590=--=x k BT.典型例题五例5 已知椭圆13422=+yx ,1F 、2F 为两焦点,问能否在椭圆上找一点M ,使M到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项?若存在,则求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.解:假设M 存在,设()11y x M ,,由已知条件得2=a ,3=b ,∴1=c ,21=e . ∵左准线l 的方程是4-=x , ∴14x MN +=. 又由焦半径公式知:111212x ex a MF -=-=,112212x ex a MF +=+=.∵212MF MF MN ⋅=,∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x .整理得048325121=++x x .解之得41-=x 或5121-=x . ① 另一方面221≤≤-x . ②则①与②矛盾,所以满足条件的点M 不存在. 说明:(1)利用焦半径公式解常可简化解题过程.(2)本例是存在性问题,解决存在性问题,一般用分析法,即假设存在,根据已知条件进行推理和运算.进而根据推理得到的结果,再作判断.(3)本例也可设()θθsin 3cos 2,M 存在,推出矛盾结论(读者自己完成).典型例题六例6 已知椭圆1222=+y x ,求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121,P 且被P 平分的弦所在的直线方程.分析一:已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为k ,利用条件求k . 解法一:设所求直线的斜率为k ,则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y .代入椭圆方程,并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k .由韦达定理得22212122k kk x x +-=+.∵P 是弦中点,∴121=+x x .故得21-=k .所以所求直线方程为0342=-+y x .分析二:设弦两端坐标为()11y x ,、()22y x ,,列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组,从而求斜率:2121x x y y --. 解法二:设过⎪⎭⎫⎝⎛2121,P 的直线与椭圆交于()11y x A ,、()22y x B ,,则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ,,, ①-②得0222212221=-+-y y x x . ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ,即直线的斜率为21-.所求直线方程为0342=-+y x .说明:(1)有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行弦的中点轨迹;过定点的弦中点轨迹.(2)解法二是“点差法”,解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代斜率.(3)有关弦及弦中点问题常用的方法是:“韦达定理应用”及“点差法”.有关二次曲线问题也适用.典型例题七例7 求适合条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的2倍,且过点()62-,;(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直,且焦距为6.分析:当方程有两种形式时,应分别求解,如(1)题中由12222=+b y a x 求出1482=a ,372=b ,在得方程13714822=+y x 后,不能依此写出另一方程13714822=+x y . 解:(1)设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或12222=+bx a y .由已知b a 2=. ①又过点()62-,,因此有 ()1622222=-+b a 或()1262222=+-ba . ② 由①、②,得1482=a ,372=b 或522=a ,132=b .故所求的方程为13714822=+y x 或1135222=+x y . (2)设方程为12222=+b y a x .由已知,3=c ,3==c b ,所以182=a .故所求方程为191822=+y x . 说明:根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数”.关键在于焦点的位置是否确定,若不能确定,应设方程12222=+b y a x 或12222=+bx a y .典型例题八例8 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ,过点()31,A ,点M 在椭圆上,当MF AM 2+为最小值时,求点M 的坐标.分析:本题的关键是求出离心率21=e ,把MF 2转化为M 到右准线的距离,从而得最小值.一般地,求MF eAM 1+均可用此法. 解:由已知:4=a ,2=c .所以21=e ,右准线8=x l :.过A 作l AQ ⊥,垂足为Q ,交椭圆于M ,故MF MQ 2=.显然MF AM 2+的最小值为AQ ,即M 为所求点,因此3=M y ,且M 在椭圆上.故32=M x .所以()332,M .说明:本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理.事实上,如图,21=e ,即MF 是M 到右准线的距离的一半,即图中的MQ ,问题转化为求椭圆上一点M ,使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值.典型例题九 例9 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值.分析:先写出椭圆的参数方程,由点到直线的距离建立三角函数关系式,求出距离的最小值.解:椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ,设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3,,则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd . 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时,22=最小值d .说明:当直接设点的坐标不易解决问题时,可建立曲线的参数方程.典型例题十 例10设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x 轴上,离心率23=e ,已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛230,P 到这个椭圆上的点的最远距离是7,求这个椭圆的方程,并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标.分析:本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力,在求d 的最大值时,要注意讨论b 的取值范围.此题可以用椭圆的标准方程,也可用椭圆的参数方程,要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题,从而加强等价转换、形数结合的思想,提高逻辑推理能力.解法一:设所求椭圆的直角坐标方程是12222=+b y a x ,其中0>>b a 待定.由222222221ab a b a ac e -=-==可得 2143112=-=-=e a b ,即b a 2=. 设椭圆上的点()y x ,到点P 的距离是d ,则4931232222222+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y b y a y x d 34213493342222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=b y y y b其中b y b ≤≤-. 如果21<b ,则当b y -=时,2d (从而d )有最大值. 由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ,由此得21237>-=b ,与21<b 矛盾.因此必有21≥b 成立,于是当21-=y 时,2d (从而d )有最大值. 由题设得()34722+=b ,可得1=b ,2=a .∴所求椭圆方程是11422=+y x . 由21-=y 及求得的椭圆方程可得,椭圆上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛--213,,点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213,到点⎪⎭⎫⎝⎛230,P 的距离是7.解法二:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ,其中0>>b a ,待定,πθ20≤≤,θ为参数.由22222221⎪⎭⎫⎝⎛-=-==a b a b a a c e 可得 2143112=-=-=e a b ,即b a 2=. 设椭圆上的点()y x ,到点⎪⎭⎫⎝⎛230,P 的距离为d ,则22222223sin cos 23⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θθb a y x d49sin 3sin 34222+--=θθb b b3421sin 3222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b b θ如果121>b ,即21<b ,则当1sin -=θ时,2d (从而d )有最大值.由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ,由此得21237>-=b ,与21<b 矛盾,因此必有121≤b成立. 于是当b21sin -=θ时2d (从而d )有最大值. 由题设知()34722+=b ,∴1=b ,2=a .∴所求椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x .由21sin -=θ,23cos ±=θ,可得椭圆上的是⎪⎭⎫ ⎝⎛--213,,⎪⎭⎫ ⎝⎛-213,.典型例题十一例11 设x ,R ∈y ,x y x 63222=+,求x y x 222++的最大值和最小值.分析:本题的关键是利用形数结合,观察方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致.设m x y x =++222,显然它表示一个圆,由此可以画出图形,考虑椭圆及圆的位置关系求得最值.解:由x y x 63222=+,得123492322=+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 可见它表示一个椭圆,其中心在⎪⎭⎫⎝⎛023,点,焦点在x 轴上,且过(0,0)点和(3,0)点.设m x y x =++222,则 ()1122+=++m y x它表示一个圆,其圆心为(-1,0)半径为()11->+m m .在同一坐标系中作出椭圆及圆,如图所示.观察图形可知,当圆过(0,0)点时,半径最小,即11=+m ,此时0=m ;当圆过(3,0)点时,半径最大,即41=+m ,∴15=m .∴x y x 222++的最小值为0,最大值为15.典型例题十二例12 已知椭圆()012222>>=+b a by a x C :,A 、B 是其长轴的两个端点.(1)过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P ',求证:不论a 、b 如何变化,120≠∠APB .(2)如果椭圆上存在一个点Q ,使 120=∠AQB ,求C 的离心率e 的取值范围.分析:本题从已知条件出发,两问都应从APB ∠和AQB ∠的正切值出发做出估计,因此要从点的坐标、斜率入手.本题的第(2)问中,其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式,只能是椭圆的固有性质:a x ≤,b y ≤,根据120=∠AQB 得到32222-=-+ay x ay ,将22222y b a a x -=代入,消去x ,用a 、b 、c 表示y ,以便利用b y ≤列出不等式.这里要求思路清楚,计算准确,一气呵成.解:(1)设()0,c F ,()0,a A -,()0,a B . ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎩⎨⎧=+=a b c P b a y a x b c x 2222222, 于是()a c a b k AP+=2,()a c ab k BP -=2.∵APB ∠是AP 到BP 的角.∴()()()2222242221tan ca a c ab ac a b a c a b APB -=-++--=∠ ∵22c a > ∴2tan -<∠APB故3tan -≠∠APB ∴ 120≠∠APB . (2)设()y x Q ,,则a x y k QA +=,ax y k QB -=. 由于对称性,不妨设0>y ,于是AQB ∠是QA 到QB 的角.∴22222221tan a y x ay a x y a x ya x y AQB -+=-++--=∠∵ 120=∠AQB , ∴32222-=-+ay x ay整理得()023222=+-+ay a y x∵22222y ba a x -=∴0213222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ay y b a∵0≠y , ∴2232c ab y = ∵b y ≤, ∴b cab ≤2232 232c ab ≤,()222234c c a a ≤-∴04444224≥-+a c a c ,044324≥-+e e ∴232≥e 或22-≤e (舍),∴136<≤e .典型例题十三例13 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ,求k 的值. 分析:分两种情况进行讨论.解:当椭圆的焦点在x 轴上时,82+=k a ,92=b ,得12-=k c .由21=e ,得4=k .当椭圆的焦点在y 轴上时,92=a ,82+=k b ,得k c -=12.由21=e ,得4191=-k ,即45-=k . ∴满足条件的4=k 或45-=k .说明:本题易出现漏解.排除错误的办法是:因为8+k 与9的大小关系不定,所以椭圆的焦点可能在x 轴上,也可能在y 轴上.故必须进行讨论.典型例题十四例14 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ,求P 到左准线的距离.分析:利用椭圆的两个定义,或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解.解法一:由142222=+by b x ,得b a 2=,b c 3=,23=e .由椭圆定义,b a PF PF 4221==+,得b b b PF b PF 34421=-=-=. 由椭圆第二定义,e d PF =11,1d 为P 到左准线的距离,∴b ePF d 3211==,即P 到左准线的距离为b 32. 解法二:∵e d PF =22,2d 为P 到右准线的距离,23==a c e , ∴b ePF d 33222==.又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅.∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-. 说明:运用椭圆的第二定义时,要注意焦点和准线的同侧性.否则就会产生误解.椭圆有两个定义,是从不同的角度反映椭圆的特征,解题时要灵活选择,运用自如.一般地,如遇到动点到两个定点的问题,用椭圆第一定义;如果遇到动点到定直线的距离问题,则用椭圆的第二定义.典型例题十五例15 设椭圆⎩⎨⎧==.sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π=∠POx ,求P 点坐标.分析:利用参数α与POx ∠之间的关系求解.解:设)sin 32,cos 4(ααP ,由P 与x 轴正向所成角为3π, ∴ααπcos 4sin 323tan=,即2tan =α.而0sin >α,0cos >α,由此得到55cos =α,552sin =α, ∴P 点坐标为)5154,554(.典型例题十六例16 设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的一点,P 到左焦点1F 和右焦点2F 的距离分别为1r 和2r ,求证:01ex a r +=,02ex a r -=. 分析:本题考查椭圆的两个定义,利用椭圆第二定义,可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离.解:P 点到椭圆的左准线c a x l 2-=:的距离,ca x PQ 20+=,由椭圆第二定义,e PQPF =1,∴01ex a PQ e r +==,由椭圆第一定义,0122ex a r a r -=-=.说明:本题求证的是椭圆的焦半径公式,在解决与椭圆的焦半径(或焦点弦)的有关问题时,有着广泛的应用.请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式.典型例题十七例17 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ,1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点,点P 是椭圆上一点.(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标; (2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标. 分析:本题考查椭圆中的最值问题,通常探求变量的最值有两种方法:一是目标函数当,即代数方法.二是数形结合,即几何方法.本题若按先建立目标函数,再求最值,则不易解决;若抓住椭圆的定义,转化目标,运用数形结合,就能简捷求解.解:(1)如上图,62=a ,)0,2(2F ,22=AF ,设P 是椭圆上任一点,由6221==+a PF PF ,22AF PF PA -≥,∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ,等号仅当22AF PF PA -=时成立,此时P 、A 、2F 共线.由22AF PF PA +≤,∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ,等号仅当22AF PF PA +=时成立,此时P 、A 、2F 共线.建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ,解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P . 综上所述,P 点与1P 重合时,1PF PA +取最小值26-,P 点与2P 重合时,2PF PA +取最大值26+.(2)如下图,设P 是椭圆上任一点,作PQ 垂直椭圆右准线,Q 为垂足,由3=a ,2=c ,∴32=e .由椭圆第二定义知322==e PQ PF ,∴223PF PQ =,∴PQ PA PF PA +=+223,要使其和最小需有A 、P 、Q 共线,即求A 到右准线距离.右准线方程为29=x .∴A 到右准线距离为27.此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1,代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(. 说明:求21PF ePA +的最小值,就是用第二定义转化后,过A 向相应准线作垂线段.巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段.典型例题十八例18 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程; (2)求椭圆内接矩形的最大面积.分析:本题考查椭圆的参数方程及其应用.为简化运算和减少未知数的个数,常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标,所求问题便化归为三角问题.解:(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ.(2)设椭圆内接矩形面积为S ,由对称性知,矩形的邻边分别平行于x 轴和y轴,设)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的顶点,)20(π<θ<,则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS 故椭圆内接矩形的最大面积为12.说明:通过椭圆参数方程,转化为三角函数的最值问题,一般地,与圆锥曲线有关的最值问题,用参数方程形式较简便.典型例题十九例19 已知1F ,2F 是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上一点,且︒=∠6021PF F .(1)求椭圆离心率的取值范围;(2)求证21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关. 分析:不失一般性,可以设椭圆方程为12222=+b y a x (0>>b a ),),(11y x P (01>y ). 思路一:根据题设容易想到两条直线的夹角公式,即3160tan 1212=+-=︒PF PF PF PF K K K K ,设),(11y x P ,)0,(1c F -,)0,(2c F ,化简可得03233212121=--+c cy y x .又1221221=+by a x ,两方程联立消去21x 得0323412212=-+b cy b y c ,由],0(1b y ∈,可以确定离心率的取值范围;解出1y 可以求出21F PF ∆的面积,但这一过程很繁.思路二:利用焦半径公式11ex a PF +=,12ex a PF -=,在21F PF∆中运用余弦定理,求1x ,再利用],[1a a x -∈,可以确定离心率e 的取值范围,将1x 代入椭圆方程中求1y ,便可求出21F PF ∆的面积.思路三:利用正弦定理、余弦定理,结合a PF PF 221=+求解.解:(法1)设椭圆方程为12222=+by a x (0>>b a ),),(11y x P ,)0,(1c F -,)0,(2c F ,0>c ,则11ex a PF +=,12ex a PF -=. 在21F PF ∆中,由余弦定理得))((24)()(2160cos 1122121ex a ex a c ex a ex a -+--++==︒, 解得2222134ea c x -=. (1)∵],0(221a x ∈,∴2222340a ea c <-≤,即0422≥-a c . ∴21≥=a c e . 故椭圆离心率的取范围是)1,21[∈e .(2)将2222134ea c x -=代入12222=+b y a x 得 24213c b y =,即cb y 321=.∴22213332212121b cb c y F F S F PF =⋅⋅=⋅=∆. 即21F PF ∆的面积只与椭圆的短轴长有关.(法2)设m PF =1,n PF =2,α=∠12F PF,β=∠21F PF , 则︒=+120βα.(1)在21F PF ∆中,由正弦定理得︒==60sin 2sin sin cn m βα. ∴︒=++60sin 2sin sin cn m βα ∵a n m 2=+, ∴︒=+60sin 2sin sin 2ca βα, ∴2cos 2sin 260sin sin sin 60sin βαβαβα-+︒=+︒==a c e 212cos21≥-=βα.当且仅当βα=时等号成立.故椭圆离心率的取值范围是)1,21[∈e .(2)在21F PF ∆中,由余弦定理得:︒-+=60cos 2)2(222mn n m cmn n m -+=22 mn n m 3)(2-+= ∵a n m 2=+,∴mn a c 34422-=,即22234)(34b c a mn =-=. ∴23360sin 2121b mn S F PF =︒=∆. 即21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关.说明:椭圆上的一点P 与两个焦点1F ,2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形,涉及有关焦点三角形问题,通常运用三角形的边角关系定理.解题中通过变形,使之出现21PF PF +的结构,这样就可以应用椭圆的定义,从而可得到有关a ,c 的关系式,使问题找到解决思路.典型例题二十例20 椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ,若这个椭圆上总存在点P ,使AP OP ⊥(O 为坐标原点),求其离心率e 的取值范围.分析:∵O 、A 为定点,P 为动点,可以P 点坐标作为参数,把AP OP ⊥,转化为P 点坐标的一个等量关系,再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式,转化为关于e 的不等式.为减少参数,易考虑运用椭圆参数方程.解:设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ,则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ,)0,(a A , ∵AP OP ⊥,∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ,即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ,解得1cos =θ或222cos b a b -=θ,∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ(舍去),11222<-<-ba b ,又222c a b -= ∴2022<<ca ,∴22>e ,又10<<e ,∴122<<e . 说明:若已知椭圆离心率范围)1,22(,求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥.如何证明?。

椭圆的定义和标准方程基础练习[含答案解析]

椭圆的定义和标准方程基础练习[含答案解析]

. WORD格式.资料.椭圆的定义与标准方程一.选择题(共19小题)或22223.椭圆上一点P到一个焦点的距离为5,则P 到另一个焦点的距离为()5.椭圆上一动点P到两焦点距离之和为()B7.已知F1、F2是椭圆=1的两焦点,经点F2的直线交椭圆于点A、B,若|AB|=5,则|AF1|+|BF1|等于()8.设集合A={1,2,3,4,5},a,b∈A,则方程表示焦点位于y轴上的椭圆()9.方程=10,化简的结果是()B(x≠0)(x≠0)(x≠0)(x≠0)13.已知P是椭圆上的一点,则P到一条准线的距离与P到相应焦点的距离之比为()B14.平面内有两定点A、B及动点P,设命题甲是:“|PA|+|PB|是定值”,命题乙是:“点P的轨迹是以A.B为焦15.如果方程表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是()2217.已知动点P(x、y)满足10=|3x+4y+2|,则动点P的轨迹是()18.已知A(﹣1,0),B(1,0),若点C(x,y)满足=()19.在椭圆中,F1,F2分别是其左右焦点,若|PF1|=2|PF2|,则该椭圆离心率的取值范围是()B二.填空题(共7小题)20.方程+=1表示椭圆,则k的取值范围是_________ .21.已知A(﹣1,0),B(1,0),点C(x,y)满足:,则|AC|+|BC|= _________ .22.设P是椭圆上的点.若F1、F2是椭圆的两个焦点,则PF1+PF2= _________ .23.若k∈Z,则椭圆的离心率是_________ .24.P为椭圆=1上一点,M、N分别是圆(x+3)2+y2=4和(x﹣3)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的取值范围是_________ .25.在椭圆+=1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P的横坐标是_________ .26.已知⊙Q:(x﹣1)2+y2=16,动⊙M过定点P(﹣1,0)且与⊙Q相切,则M点的轨迹方程是:_________ .三.解答题(共4小题)27.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足,且当x>1时f(x)<0.(1)求f(1)的值(2)判断f(x)的单调性(3)若f(3)=﹣1,解不等式f(|x|)<228.已知对任意x.y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)﹣t(t为常数)并且当x>0时,f(x)<t(1)求证:f(x)是R上的减函数;(2)若f(4)=﹣t﹣4,解关于m的不等式f(m2﹣m)+2>0.29.已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x、x′∈R均有f(x+x′)=f(x)+f(x′),且对任意x>0,都有f(x)<0,f(3)=﹣3.(1)试证明:函数y=f(x)是R上的单调减函数;(2)试证明:函数y=f(x)是奇函数;(3)试求函数y=f(x)在[m,n](m、n∈Z,且mn<0)上的值域.30.已知函数是奇函数.(1)求a的值;(2)求证f(x)是R上的增函数;(3)求证xf(x)≥0恒成立.参考答案与试题解析一.选择题(共19小题)或,,22223.椭圆上一点P到一个焦点的距离为5,则P 到另一个焦点的距离为(),∴a=5,5.椭圆上一动点P到两焦点距离之和为()B7.已知F1、F2是椭圆=1的两焦点,经点F2的直线交椭圆于点A、B,若|AB|=5,则|AF1|+|BF1|等于()8.设集合A={1,2,3,4,5},a,b∈A,则方程表示焦点位于y轴上的椭圆()9.方程=10,化简的结果是()B)的距离,所以椭圆的方程为:.(x≠0)(x≠0)(x≠0)(x≠0)13.已知P是椭圆上的一点,则P到一条准线的距离与P到相应焦点的距离之比为()Bc===14.平面内有两定点A、B及动点P,设命题甲是:“|PA|+|PB|是定值”,命题乙是:“点P的轨迹是以A.B为焦15.如果方程表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是().22可化为17.已知动点P(x、y)满足10=|3x+4y+2|,则动点P的轨迹是(),等式左边为点到定直线的距离的,由椭圆定义即可判断解:∵10的距离的18.已知A(﹣1,0),B(1,0),若点C(x,y)满足=(),整理得:.可知点)满足,.c=19.在椭圆中,F1,F2分别是其左右焦点,若|PF1|=2|PF2|,则该椭圆离心率的取值范围是B代入得,,即,即故该椭圆离心率的取值范围是二.填空题(共7小题)20.方程+=1表示椭圆,则k的取值范围是k>3 .+=1表示椭圆,则解:方程=121.已知A(﹣1,0),B(1,0),点C(x,y)满足:,则|AC|+|BC|= 4 .,按照椭圆的第二定义,=,∴a=2,22.设P是椭圆上的点.若F1、F2是椭圆的两个焦点,则PF1+PF2= 10 .解:椭圆是椭圆上的点,23.若k∈Z,则椭圆的离心率是.,=,=故答案为24.P为椭圆=1上一点,M、N分别是圆(x+3)2+y2=4和(x﹣3)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的取值范围是[7,13] .+解:依题意,椭圆25.在椭圆+=1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P的横坐标是.+=1解:由椭圆+,右准线方程为:=2﹣x=故答案为:26.已知⊙Q:(x﹣1)2+y2=16,动⊙M过定点P(﹣1,0)且与⊙Q相切,则M点的轨迹方程是:=1 .=故答案为:三.解答题(共4小题)27.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足,且当x>1时f(x)<0.(1)求f(1)的值(2)判断f(x)的单调性(3)若f(3)=﹣1,解不等式f(|x|)<2,(,,或28.已知对任意x.y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)﹣t(t为常数)并且当x>0时,f(x)<t(1)求证:f(x)是R上的减函数;(2)若f(4)=﹣t﹣4,解关于m的不等式f(m2﹣m)+2>0.29.已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x、x′∈R均有f(x+x′)=f(x)+f(x′),且对任意x>0,都有f(x)<0,f(3)=﹣3.(1)试证明:函数y=f(x)是R上的单调减函数;(2)试证明:函数y=f(x)是奇函数;(3)试求函数y=f(x)在[m,n](m、n∈Z,且mn<0)上的值域.30.已知函数是奇函数.(1)求a的值;(2)求证f(x)是R上的增函数;(3)求证xf(x)≥0恒成立.是奇函数,其定义域为)∵函数的定义域为)可得>>=﹣。

《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)

《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)

《椭圆》方程典型例题20例典型例题一例1 椭圆的一个顶点为()02,A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程.分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置.解:(1)当()02,A 为长轴端点时,2=a ,1=b , 椭圆的标准方程为:11422=+y x ; (2)当()02,A 为短轴端点时,2=b ,4=a , 椭圆的标准方程为:116422=+y x ; 说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况.典型例题二例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率.解:31222⨯⨯=c a c ∴223a c =, ∴3331-=e . 说明:求椭圆的离心率问题,通常有两种处理方法,一是求a ,求c ,再求比.二是列含a 和c 的齐次方程,再化含e 的方程,解方程即可.典型例题三 例3 已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点,M 为AB 中点,OM 的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.解:由题意,设椭圆方程为1222=+y ax ,由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ,得()021222=-+x a x a , ∴222112a a x x x M +=+=,2111a x y M M +=-=,4112===ax y k M M OM ,∴42=a , ∴1422=+y x 为所求. 说明:(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;(2)直线与曲线的综合问题,经常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题.典型例题四例4椭圆192522=+y x 上不同三点()11y x A ,,⎪⎭⎫⎝⎛594,B ,()22y x C ,与焦点()04,F 的距离成等差数列.(1)求证821=+x x ;(2)若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ,求直线BT 的斜率k . 证明:(1)由椭圆方程知5=a ,3=b ,4=c . 由圆锥曲线的统一定义知:ac x ca AF =-12, ∴ 11545x ex a AF -=-=. 同理 2545x CF -=.∵ BF CF AF 2=+,且59=BF , ∴ 51854554521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ,即 821=+x x .(2)因为线段AC 的中点为⎪⎭⎫⎝⎛+2421y y ,,所以它的垂直平分线方程为()42212121---=+-x y y x x y y y . 又∵点T 在x 轴上,设其坐标为()00,x ,代入上式,得 ()212221024x x y y x --=-又∵点()11y x A ,,()22y x B ,都在椭圆上,∴ ()212125259x y -=()222225259x y -= ∴ ()()21212221259x x x x y y -+-=-.将此式代入①,并利用821=+x x 的结论得 253640-=-x ∴ 4540590=--=x k BT.典型例题五例5 已知椭圆13422=+yx ,1F 、2F 为两焦点,问能否在椭圆上找一点M ,使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项?若存在,则求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.解:假设M 存在,设()11y x M ,,由已知条件得2=a ,3=b ,∴1=c ,21=e . ∵左准线l 的方程是4-=x , ∴14x MN +=. 又由焦半径公式知:111212x ex a MF -=-=, 112212x ex a MF +=+=.∵212MF MF MN ⋅=,∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x .整理得048325121=++x x .解之得41-=x 或5121-=x . ① 另一方面221≤≤-x . ②则①与②矛盾,所以满足条件的点M 不存在. 说明:(1)利用焦半径公式解常可简化解题过程.(2)本例是存在性问题,解决存在性问题,一般用分析法,即假设存在,根据已知条件进行推理和运算.进而根据推理得到的结果,再作判断.(3)本例也可设()θθsin 3cos 2,M 存在,推出矛盾结论(读者自己完成).典型例题六例6 已知椭圆1222=+y x ,求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121,P 且被P 平分的弦所在的直线方程.分析一:已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为k ,利用条件求k . 解法一:设所求直线的斜率为k ,则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y .代入椭圆方程,并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k .由韦达定理得22212122k kk x x +-=+.∵P 是弦中点,∴121=+x x .故得21-=k .所以所求直线方程为0342=-+y x .分析二:设弦两端坐标为()11y x ,、()22y x ,,列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组,从而求斜率:2121x x y y --. 解法二:设过⎪⎭⎫⎝⎛2121,P 的直线与椭圆交于()11y x A ,、()22y x B ,,则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ,,, ①-②得0222212221=-+-y y x x . ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ,即直线的斜率为21-. 所求直线方程为0342=-+y x .说明:(1)有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行弦的中点轨迹;过定点的弦中点轨迹.(2)解法二是“点差法”,解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代斜率.(3)有关弦及弦中点问题常用的方法是:“韦达定理应用”及“点差法”.有关二次曲线问题也适用.典型例题七例7 求适合条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的2倍,且过点()62-,; (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直,且焦距为6.分析:当方程有两种形式时,应分别求解,如(1)题中由12222=+b y a x 求出1482=a ,372=b ,在得方程13714822=+y x 后,不能依此写出另一方程13714822=+x y . 解:(1)设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或12222=+bx a y .由已知b a 2=. ①又过点()62-,,因此有 ()1622222=-+b a 或()1262222=+-ba . ② 由①、②,得1482=a ,372=b 或522=a ,132=b .故所求的方程为13714822=+y x 或1135222=+x y . (2)设方程为12222=+b y a x .由已知,3=c ,3==c b ,所以182=a .故所求方程为191822=+y x . 说明:根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数”.关键在于焦点的位置是否确定,若不能确定,应设方程12222=+b y a x 或12222=+bx a y .典型例题八例8 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ,过点()31,A ,点M 在椭圆上,当MF AM 2+为最小值时,求点M 的坐标.分析:本题的关键是求出离心率21=e ,把MF 2转化为M 到右准线的距离,从而得最小值.一般地,求MF eAM 1+均可用此法. 解:由已知:4=a ,2=c .所以21=e ,右准线8=x l :.过A 作l AQ ⊥,垂足为Q ,交椭圆于M ,故MF MQ 2=.显然MF AM 2+的最小值为AQ ,即M 为所求点,因此3=M y ,且M 在椭圆上.故32=M x .所以()332,M .说明:本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理.事实上,如图,21=e ,即MF 是M 到右准线的距离的一半,即图中的MQ ,问题转化为求椭圆上一点M ,使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值.典型例题九 例9 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值.分析:先写出椭圆的参数方程,由点到直线的距离建立三角函数关系式,求出距离的最小值.解:椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ,设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3,,则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd . 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时,22=最小值d .说明:当直接设点的坐标不易解决问题时,可建立曲线的参数方程.典型例题十 例10设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x 轴上,离心率23=e ,已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛230,P 到这个椭圆上的点的最远距离是7,求这个椭圆的方程,并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标.分析:本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力,在求d 的最大值时,要注意讨论b 的取值范围.此题可以用椭圆的标准方程,也可用椭圆的参数方程,要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题,从而加强等价转换、形数结合的思想,提高逻辑推理能力.解法一:设所求椭圆的直角坐标方程是12222=+b y a x ,其中0>>b a 待定.由222222221ab a b a ac e -=-==可得 2143112=-=-=e a b ,即b a 2=. 设椭圆上的点()y x ,到点P 的距离是d ,则4931232222222+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y b y a y x d 34213493342222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=b y y y b其中b y b ≤≤-. 如果21<b ,则当b y -=时,2d (从而d )有最大值. 由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ,由此得21237>-=b ,与21<b 矛盾.因此必有21≥b 成立,于是当21-=y 时,2d (从而d )有最大值. 由题设得()34722+=b,可得1=b ,2=a .∴所求椭圆方程是11422=+y x . 由21-=y 及求得的椭圆方程可得,椭圆上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛--213,,点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213,到点⎪⎭⎫⎝⎛230,P 的距离是7.解法二:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ,其中0>>b a ,待定,πθ20≤≤,θ为参数.由22222221⎪⎭⎫⎝⎛-=-==a b a b a a c e 可得 2143112=-=-=e a b ,即b a 2=. 设椭圆上的点()y x ,到点⎪⎭⎫⎝⎛230,P 的距离为d ,则22222223sin cos 23⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θθb a y x d49sin 3sin 34222+--=θθb b b 3421sin 3222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b b θ如果121>b ,即21<b ,则当1sin -=θ时,2d (从而d )有最大值.由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ,由此得21237>-=b ,与21<b 矛盾,因此必有121≤b成立. 于是当b21sin -=θ时2d (从而d )有最大值. 由题设知()34722+=b,∴1=b ,2=a .∴所求椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x .由21sin -=θ,23cos ±=θ,可得椭圆上的是⎪⎭⎫ ⎝⎛--213,,⎪⎭⎫ ⎝⎛-213,.典型例题十一例11 设x ,R ∈y ,x y x 63222=+,求x y x 222++的最大值和最小值.分析:本题的关键是利用形数结合,观察方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致.设m x y x =++222,显然它表示一个圆,由此可以画出图形,考虑椭圆及圆的位置关系求得最值.解:由x y x 63222=+,得123492322=+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 可见它表示一个椭圆,其中心在⎪⎭⎫⎝⎛023,点,焦点在x 轴上,且过(0,0)点和(3,0)点.设m x y x =++222,则 ()1122+=++m y x它表示一个圆,其圆心为(-1,0)半径为()11->+m m .在同一坐标系中作出椭圆及圆,如图所示.观察图形可知,当圆过(0,0)点时,半径最小,即11=+m ,此时0=m ;当圆过(3,0)点时,半径最大,即41=+m ,∴15=m .∴x y x 222++的最小值为0,最大值为15.典型例题十二例12 已知椭圆()012222>>=+b a by a x C :,A 、B 是其长轴的两个端点.(1)过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P ',求证:不论a 、b 如何变化,120≠∠APB .(2)如果椭圆上存在一个点Q ,使 120=∠AQB ,求C 的离心率e 的取值范围.分析:本题从已知条件出发,两问都应从APB ∠和AQB ∠的正切值出发做出估计,因此要从点的坐标、斜率入手.本题的第(2)问中,其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式,只能是椭圆的固有性质:a x ≤,b y ≤,根据120=∠AQB 得到32222-=-+a y x ay ,将22222y ba a x -=代入,消去x ,用a 、b 、c 表示y ,以便利用b y ≤列出不等式.这里要求思路清楚,计算准确,一气呵成.解:(1)设()0,c F ,()0,a A -,()0,a B . ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎩⎨⎧=+=a b c P b a y a x b c x 2222222, 于是()a c a b k AP+=2,()a c ab k BP -=2.∵APB ∠是AP 到BP 的角.∴()()()2222242221tan ca a c ab ac a b a c a b APB -=-++--=∠ ∵22c a > ∴2tan -<∠APB故3tan -≠∠APB ∴ 120≠∠APB . (2)设()y x Q ,,则a x y k QA +=,ax y k QB -=. 由于对称性,不妨设0>y ,于是AQB ∠是QA 到QB 的角.∴22222221tan a y x ay a x y a x ya x y AQB -+=-++--=∠∵ 120=∠AQB , ∴32222-=-+ay x ay整理得()023222=+-+ay a y x∵22222y ba a x -=∴0213222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ay y b a∵0≠y , ∴2232c ab y = ∵b y ≤, ∴b c ab ≤2232 232c ab ≤,()222234c c a a ≤-∴04444224≥-+a c a c ,044324≥-+e e ∴232≥e 或22-≤e (舍),∴136<≤e .典型例题十三例13 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ,求k 的值. 分析:分两种情况进行讨论.解:当椭圆的焦点在x 轴上时,82+=k a ,92=b ,得12-=k c .由21=e ,得4=k .当椭圆的焦点在y 轴上时,92=a ,82+=k b ,得k c -=12.由21=e ,得4191=-k ,即45-=k . ∴满足条件的4=k 或45-=k .说明:本题易出现漏解.排除错误的办法是:因为8+k 与9的大小关系不定,所以椭圆的焦点可能在x 轴上,也可能在y 轴上.故必须进行讨论.典型例题十四例14 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ,求P 到左准线的距离.分析:利用椭圆的两个定义,或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解.解法一:由142222=+by b x ,得b a 2=,b c 3=,23=e .由椭圆定义,b a PF PF 4221==+,得b b b PF b PF 34421=-=-=. 由椭圆第二定义,e d PF =11,1d 为P 到左准线的距离,∴b ePF d 3211==,即P 到左准线的距离为b 32. 解法二:∵e d PF =22,2d 为P 到右准线的距离,23==a c e , ∴b ePF d 33222==.又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅. ∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-. 说明:运用椭圆的第二定义时,要注意焦点和准线的同侧性.否则就会产生误解.椭圆有两个定义,是从不同的角度反映椭圆的特征,解题时要灵活选择,运用自如.一般地,如遇到动点到两个定点的问题,用椭圆第一定义;如果遇到动点到定直线的距离问题,则用椭圆的第二定义.典型例题十五例15 设椭圆⎩⎨⎧==.sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π=∠POx ,求P 点坐标.分析:利用参数α与POx ∠之间的关系求解.解:设)sin 32,cos 4(ααP ,由P 与x 轴正向所成角为3π, ∴ααπcos 4sin 323tan=,即2tan =α.而0sin >α,0cos >α,由此得到55cos =α,552sin =α, ∴P 点坐标为)5154,554(.典型例题十六例16 设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的一点,P 到左焦点1F 和右焦点2F 的距离分别为1r 和2r ,求证:01ex a r +=,02ex a r -=. 分析:本题考查椭圆的两个定义,利用椭圆第二定义,可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离.解:P 点到椭圆的左准线c a x l 2-=:的距离,ca x PQ 20+=,由椭圆第二定义,e PQPF =1,∴01ex a PQ e r +==,由椭圆第一定义,0122ex a r a r -=-=.说明:本题求证的是椭圆的焦半径公式,在解决与椭圆的焦半径(或焦点弦)的有关问题时,有着广泛的应用.请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式.典型例题十七例17 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ,1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点,点P 是椭圆上一点.(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标;(2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标. 分析:本题考查椭圆中的最值问题,通常探求变量的最值有两种方法:一是目标函数当,即代数方法.二是数形结合,即几何方法.本题若按先建立目标函数,再求最值,则不易解决;若抓住椭圆的定义,转化目标,运用数形结合,就能简捷求解.解:(1)如上图,62=a ,)0,2(2F ,22=AF ,设P 是椭圆上任一点,由6221==+a PF PF ,22AF PF PA -≥,∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ,等号仅当22AF PF PA -=时成立,此时P 、A 、2F 共线.由22AF PF PA +≤,∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ,等号仅当22AF PF PA +=时成立,此时P 、A 、2F 共线.建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ,解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P . 综上所述,P 点与1P 重合时,1PF PA +取最小值26-,P 点与2P 重合时,2PF PA +取最大值26+.(2)如下图,设P 是椭圆上任一点,作PQ 垂直椭圆右准线,Q 为垂足,由3=a ,2=c ,∴32=e .由椭圆第二定义知322==e PQ PF ,∴223PF PQ =,∴PQ PA PF PA +=+223,要使其和最小需有A 、P 、Q 共线,即求A 到右准线距离.右准线方程为29=x .∴A 到右准线距离为27.此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1,代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(. 说明:求21PF ePA +的最小值,就是用第二定义转化后,过A 向相应准线作垂线段.巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段.典型例题十八例18 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程; (2)求椭圆内接矩形的最大面积.分析:本题考查椭圆的参数方程及其应用.为简化运算和减少未知数的个数,常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标,所求问题便化归为三角问题.解:(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ.(2)设椭圆内接矩形面积为S ,由对称性知,矩形的邻边分别平行于x 轴和y轴,设)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的顶点,)20(π<θ<,则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS 故椭圆内接矩形的最大面积为12.说明:通过椭圆参数方程,转化为三角函数的最值问题,一般地,与圆锥曲线有关的最值问题,用参数方程形式较简便.典型例题十九 例19 已知1F ,2F 是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上一点,且︒=∠6021PF F .(1)求椭圆离心率的取值范围;(2)求证21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关. 分析:不失一般性,可以设椭圆方程为12222=+b y a x (0>>b a ),),(11y x P (01>y ). 思路一:根据题设容易想到两条直线的夹角公式,即3160tan 1212=+-=︒PF PF PF PF K K K K ,设),(11y x P ,)0,(1c F -,)0,(2c F ,化简可得03233212121=--+c cy y x .又1221221=+by a x ,两方程联立消去21x 得0323412212=-+b cy b y c ,由],0(1b y ∈,可以确定离心率的取值范围;解出1y 可以求出21F PF ∆的面积,但这一过程很繁.思路二:利用焦半径公式11ex a PF +=,12ex a PF -=,在21F PF ∆中运用余弦定理,求1x ,再利用],[1a a x -∈,可以确定离心率e 的取值范围,将1x 代入椭圆方程中求1y ,便可求出21F PF ∆的面积.思路三:利用正弦定理、余弦定理,结合a PF PF 221=+求解.解:(法1)设椭圆方程为12222=+by a x (0>>b a ),),(11y x P ,)0,(1c F -,)0,(2c F ,0>c ,则11ex a PF +=,12ex a PF -=. 在21F PF ∆中,由余弦定理得))((24)()(2160cos 1122121ex a ex a c ex a ex a -+--++==︒, 解得2222134ea c x -=. (1)∵],0(221a x ∈,∴2222340a ea c <-≤,即0422≥-a c . ∴21≥=a c e . 故椭圆离心率的取范围是)1,21[∈e .(2)将2222134ea c x -=代入12222=+b y a x 得 24213c b y =,即cb y 321=.∴22213332212121b cb c y F F S F PF =⋅⋅=⋅=∆. 即21F PF ∆的面积只与椭圆的短轴长有关.(法2)设m PF =1,n PF =2,α=∠12FPF ,β=∠21F PF , 则︒=+120βα.(1)在21F PF ∆中,由正弦定理得︒==60sin 2sin sin cn m βα. ∴︒=++60sin 2sin sin cn m βα∵a n m 2=+, ∴︒=+60sin 2sin sin 2ca βα,∴2cos 2sin 260sin sin sin 60sin βαβαβα-+︒=+︒==a c e 212cos21≥-=βα.当且仅当βα=时等号成立.故椭圆离心率的取值范围是)1,21[∈e .(2)在21F PF ∆中,由余弦定理得:︒-+=60cos 2)2(222mn n m cmn n m -+=22 mn n m 3)(2-+=∵a n m 2=+,∴mn a c 34422-=,即22234)(34b c a mn =-=. ∴23360sin 2121b mn S F PF =︒=∆. 即21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关.说明:椭圆上的一点P 与两个焦点1F ,2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形,涉及有关焦点三角形问题,通常运用三角形的边角关系定理.解题中通过变形,使之出现21PF PF +的结构,这样就可以应用椭圆的定义,从而可得到有关a ,c 的关系式,使问题找到解决思路.典型例题二十例20 椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ,若这个椭圆上总存在点P ,使AP OP ⊥(O 为坐标原点),求其离心率e 的取值范围.分析:∵O 、A 为定点,P 为动点,可以P 点坐标作为参数,把AP OP ⊥,转化为P 点坐标的一个等量关系,再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式,转化为关于e 的不等式.为减少参数,易考虑运用椭圆参数方程.解:设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ,则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ,)0,(a A , ∵AP OP ⊥,∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ,即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ,解得1cos =θ或222cos b a b -=θ,∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ(舍去),11222<-<-ba b ,又222c a b -= ∴2022<<ca ,∴22>e ,又10<<e ,∴122<<e . 说明:若已知椭圆离心率范围)1,22(,求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥.如何证明?。

《椭圆》方程典型例题20例(含实用标准问题详解)

《椭圆》方程典型例题20例(含实用标准问题详解)

《椭圆》方程典型例题20例典型例题一例1 椭圆的一个顶点为()02,A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程.分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置.解:(1)当()02,A 为长轴端点时,2=a ,1=b , 椭圆的标准方程为:11422=+y x ; (2)当()02,A 为短轴端点时,2=b ,4=a , 椭圆的标准方程为:116422=+y x ; 说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况.典型例题二例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率.解:31222⨯⨯=c a c ∴223a c =, ∴3331-=e . 说明:求椭圆的离心率问题,通常有两种处理方法,一是求a ,求c ,再求比.二是列含a 和c 的齐次方程,再化含e 的方程,解方程即可.典型例题三 例3 已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点,M 为AB 中点,OM 的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.解:由题意,设椭圆方程为1222=+y ax ,由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ,得()021222=-+x a x a , ∴222112a a x x x M +=+=,2111a x y M M +=-=,4112===ax y k M M OM ,∴42=a , ∴1422=+y x 为所求. 说明:(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;(2)直线与曲线的综合问题,经常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题.典型例题四例4椭圆192522=+y x 上不同三点()11y x A ,,⎪⎭⎫⎝⎛594,B ,()22y x C ,与焦点()04,F 的距离成等差数列.(1)求证821=+x x ;(2)若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ,求直线BT 的斜率k . 证明:(1)由椭圆方程知5=a ,3=b ,4=c . 由圆锥曲线的统一定义知:ac x ca AF =-12, ∴ 11545x ex a AF -=-=.同理 2545x CF -=.∵ BF CF AF 2=+,且59=BF , ∴ 51854554521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ,即 821=+x x .(2)因为线段AC 的中点为⎪⎭⎫⎝⎛+2421y y ,,所以它的垂直平分线方程为()42212121---=+-x y y x x y y y . 又∵点T 在x 轴上,设其坐标为()00,x ,代入上式,得 ()212221024x x y y x --=-又∵点()11y x A ,,()22y x B ,都在椭圆上,∴ ()212125259x y -=()222225259x y -= ∴ ()()21212221259x x x x y y -+-=-.将此式代入①,并利用821=+x x 的结论得 253640-=-x ∴ 4540590=--=x k BT.典型例题五例5 已知椭圆13422=+yx ,1F 、2F 为两焦点,问能否在椭圆上找一点M ,使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项?若存在,则求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.解:假设M 存在,设()11y x M ,,由已知条件得2=a ,3=b ,∴1=c ,21=e . ∵左准线l 的方程是4-=x , ∴14x MN +=. 又由焦半径公式知:111212x ex a MF -=-=, 112212x ex a MF +=+=.∵212MF MF MN ⋅=,∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x .整理得048325121=++x x .解之得41-=x 或5121-=x . ① 另一方面221≤≤-x . ②则①与②矛盾,所以满足条件的点M 不存在. 说明:(1)利用焦半径公式解常可简化解题过程.(2)本例是存在性问题,解决存在性问题,一般用分析法,即假设存在,根据已知条件进行推理和运算.进而根据推理得到的结果,再作判断.(3)本例也可设()θθsin 3cos 2,M 存在,推出矛盾结论(读者自己完成).典型例题六例6 已知椭圆1222=+y x ,求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121,P 且被P 平分的弦所在的直线方程.分析一:已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为k ,利用条件求k . 解法一:设所求直线的斜率为k ,则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y .代入椭圆方程,并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k .由韦达定理得22212122k kk x x +-=+.∵P 是弦中点,∴121=+x x .故得21-=k .所以所求直线方程为0342=-+y x .分析二:设弦两端坐标为()11y x ,、()22y x ,,列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组,从而求斜率:2121x x y y --. 解法二:设过⎪⎭⎫⎝⎛2121,P 的直线与椭圆交于()11y x A ,、()22y x B ,,则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ,,, ①-②得0222212221=-+-y y x x . ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ,即直线的斜率为21-. 所求直线方程为0342=-+y x .说明:(1)有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行弦的中点轨迹;过定点的弦中点轨迹.(2)解法二是“点差法”,解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代斜率.(3)有关弦及弦中点问题常用的方法是:“韦达定理应用”及“点差法”.有关二次曲线问题也适用.典型例题七例7 求适合条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的2倍,且过点()62-,; (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直,且焦距为6.分析:当方程有两种形式时,应分别求解,如(1)题中由12222=+b y a x 求出1482=a ,372=b ,在得方程13714822=+y x 后,不能依此写出另一方程13714822=+x y .解:(1)设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或12222=+bx a y .由已知b a 2=. ①又过点()62-,,因此有 ()1622222=-+b a 或()1262222=+-ba . ② 由①、②,得1482=a ,372=b 或522=a ,132=b .故所求的方程为13714822=+y x 或1135222=+x y .(2)设方程为12222=+b y a x .由已知,3=c ,3==c b ,所以182=a .故所求方程为191822=+y x . 说明:根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数”.关键在于焦点的位置是否确定,若不能确定,应设方程12222=+b y a x 或12222=+bx a y .典型例题八例8 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ,过点()31,A ,点M 在椭圆上,当MF AM 2+为最小值时,求点M 的坐标.分析:本题的关键是求出离心率21=e ,把MF 2转化为M 到右准线的距离,从而得最小值.一般地,求MF eAM 1+均可用此法. 解:由已知:4=a ,2=c .所以21=e ,右准线8=x l :.过A 作l AQ ⊥,垂足为Q ,交椭圆于M ,故MF MQ 2=.显然MF AM 2+的最小值为AQ ,即M 为所求点,因此3=M y ,且M 在椭圆上.故32=M x .所以()332,M .说明:本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理.事实上,如图,21=e ,即MF 是M 到右准线的距离的一半,即图中的MQ ,问题转化为求椭圆上一点M ,使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值.典型例题九 例9 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值.分析:先写出椭圆的参数方程,由点到直线的距离建立三角函数关系式,求出距离的最小值.解:椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ,设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3,,则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd . 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时,22=最小值d .说明:当直接设点的坐标不易解决问题时,可建立曲线的参数方程.典型例题十 例10设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x 轴上,离心率23=e ,已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛230,P 到这个椭圆上的点的最远距离是7,求这个椭圆的方程,并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标.分析:本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力,在求d 的最大值时,要注意讨论b 的取值范围.此题可以用椭圆的标准方程,也可用椭圆的参数方程,要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题,从而加强等价转换、形数结合的思想,提高逻辑推理能力.解法一:设所求椭圆的直角坐标方程是12222=+b y a x ,其中0>>b a 待定.由222222221ab a b a ac e -=-==可得 2143112=-=-=e a b ,即b a 2=. 设椭圆上的点()y x ,到点P 的距离是d ,则4931232222222+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y b y a y x d 34213493342222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=b y y y b其中b y b ≤≤-. 如果21<b ,则当b y -=时,2d (从而d )有最大值. 由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ,由此得21237>-=b ,与21<b 矛盾.因此必有21≥b 成立,于是当21-=y 时,2d (从而d )有最大值. 由题设得()34722+=b,可得1=b ,2=a .∴所求椭圆方程是11422=+y x . 由21-=y 及求得的椭圆方程可得,椭圆上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛--213,,点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213,到点⎪⎭⎫⎝⎛230,P 的距离是7.解法二:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ,其中0>>b a ,待定,πθ20≤≤,θ为参数.由22222221⎪⎭⎫⎝⎛-=-==a b a b a a c e 可得 2143112=-=-=e a b ,即b a 2=. 设椭圆上的点()y x ,到点⎪⎭⎫⎝⎛230,P 的距离为d ,则22222223sin cos 23⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θθb a y x d49sin 3sin 34222+--=θθb b b 3421sin 3222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b b θ如果121>b ,即21<b ,则当1sin -=θ时,2d (从而d )有最大值.由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ,由此得21237>-=b ,与21<b 矛盾,因此必有121≤b成立. 于是当b21sin -=θ时2d (从而d )有最大值. 由题设知()34722+=b,∴1=b ,2=a .∴所求椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x .由21sin -=θ,23cos ±=θ,可得椭圆上的是⎪⎭⎫ ⎝⎛--213,,⎪⎭⎫ ⎝⎛-213,.典型例题十一例11 设x ,R ∈y ,x y x 63222=+,求x y x 222++的最大值和最小值.分析:本题的关键是利用形数结合,观察方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致.设m x y x =++222,显然它表示一个圆,由此可以画出图形,考虑椭圆及圆的位置关系求得最值.解:由x y x 63222=+,得123492322=+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 可见它表示一个椭圆,其中心在⎪⎭⎫⎝⎛023,点,焦点在x 轴上,且过(0,0)点和(3,0)点.设m x y x =++222,则 ()1122+=++m y x它表示一个圆,其圆心为(-1,0)半径为()11->+m m .在同一坐标系中作出椭圆及圆,如图所示.观察图形可知,当圆过(0,0)点时,半径最小,即11=+m ,此时0=m ;当圆过(3,0)点时,半径最大,即41=+m ,∴15=m .∴x y x 222++的最小值为0,最大值为15.典型例题十二例12 已知椭圆()012222>>=+b a by a x C :,A 、B 是其长轴的两个端点.(1)过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P ',求证:不论a 、b 如何变化,120≠∠APB .(2)如果椭圆上存在一个点Q ,使 120=∠A Q B ,求C 的离心率e 的取值范围.分析:本题从已知条件出发,两问都应从APB ∠和AQB ∠的正切值出发做出估计,因此要从点的坐标、斜率入手.本题的第(2)问中,其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式,只能是椭圆的固有性质:a x ≤,b y ≤,根据120=∠AQB 得到32222-=-+a y x ay ,将22222y ba a x -=代入,消去x ,用a 、b 、c 表示y ,以便利用b y ≤列出不等式.这里要求思路清楚,计算准确,一气呵成.解:(1)设()0,c F ,()0,a A -,()0,a B . ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎩⎨⎧=+=a b c P b a y a x b c x 2222222, 于是()a c a b k AP+=2,()a c ab k BP -=2.∵APB ∠是AP 到BP 的角.∴()()()2222242221tan ca a c ab ac a b a c a b APB -=-++--=∠ ∵22c a > ∴2tan -<∠APB故3tan -≠∠APB ∴ 120≠∠APB . (2)设()y x Q ,,则a x y k QA +=,ax y k QB -=. 由于对称性,不妨设0>y ,于是AQB ∠是QA 到QB 的角.∴22222221tan a y x ay a x y a x ya x y AQB -+=-++--=∠∵ 120=∠AQB , ∴32222-=-+ay x ay整理得()023222=+-+ay a y x∵22222y ba a x -=∴0213222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ay y b a∵0≠y , ∴2232c ab y = ∵b y ≤, ∴b c ab ≤2232 232c ab ≤,()222234c c a a ≤-∴04444224≥-+a c a c ,044324≥-+e e ∴232≥e 或22-≤e (舍),∴136<≤e .典型例题十三例13 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ,求k 的值. 分析:分两种情况进行讨论.解:当椭圆的焦点在x 轴上时,82+=k a ,92=b ,得12-=k c .由21=e ,得4=k .当椭圆的焦点在y 轴上时,92=a ,82+=k b ,得k c -=12.由21=e ,得4191=-k ,即45-=k . ∴满足条件的4=k 或45-=k .说明:本题易出现漏解.排除错误的办法是:因为8+k 与9的大小关系不定,所以椭圆的焦点可能在x 轴上,也可能在y 轴上.故必须进行讨论.典型例题十四例14 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ,求P 到左准线的距离.分析:利用椭圆的两个定义,或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解.解法一:由142222=+by b x ,得b a 2=,b c 3=,23=e .由椭圆定义,b a PF PF 4221==+,得b b b PF b PF 34421=-=-=. 由椭圆第二定义,e d PF =11,1d 为P 到左准线的距离,∴b ePF d 3211==,即P 到左准线的距离为b 32. 解法二:∵e d PF =22,2d 为P 到右准线的距离,23==a c e , ∴b ePF d 33222==.又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅. ∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-. 说明:运用椭圆的第二定义时,要注意焦点和准线的同侧性.否则就会产生误解.椭圆有两个定义,是从不同的角度反映椭圆的特征,解题时要灵活选择,运用自如.一般地,如遇到动点到两个定点的问题,用椭圆第一定义;如果遇到动点到定直线的距离问题,则用椭圆的第二定义.典型例题十五例15 设椭圆⎩⎨⎧==.sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π=∠POx ,求P 点坐标.分析:利用参数α与POx ∠之间的关系求解.解:设)sin 32,cos 4(ααP ,由P 与x 轴正向所成角为3π, ∴ααπcos 4sin 323tan=,即2tan =α.而0sin >α,0cos >α,由此得到55cos =α,552sin =α, ∴P 点坐标为)5154,554(.典型例题十六例16 设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的一点,P 到左焦点1F 和右焦点2F 的距离分别为1r 和2r ,求证:01ex a r +=,02ex a r -=. 分析:本题考查椭圆的两个定义,利用椭圆第二定义,可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离.解:P 点到椭圆的左准线c a x l 2-=:的距离,ca x PQ 20+=,由椭圆第二定义,e PQPF =1,∴01ex a PQ e r +==,由椭圆第一定义,0122ex a r a r -=-=.说明:本题求证的是椭圆的焦半径公式,在解决与椭圆的焦半径(或焦点弦)的有关问题时,有着广泛的应用.请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式.典型例题十七例17 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ,1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点,点P 是椭圆上一点.(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标;(2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标. 分析:本题考查椭圆中的最值问题,通常探求变量的最值有两种方法:一是目标函数当,即代数方法.二是数形结合,即几何方法.本题若按先建立目标函数,再求最值,则不易解决;若抓住椭圆的定义,转化目标,运用数形结合,就能简捷求解.解:(1)如上图,62=a ,)0,2(2F ,22=AF ,设P 是椭圆上任一点,由6221==+a PF PF ,22AF PF PA -≥,∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ,等号仅当22AF PF PA -=时成立,此时P 、A 、2F 共线.由22AF PF PA +≤,∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ,等号仅当22AF PF PA +=时成立,此时P 、A 、2F 共线.建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ,解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P . 综上所述,P 点与1P 重合时,1PF PA +取最小值26-,P 点与2P 重合时,2PF PA +取最大值26+.(2)如下图,设P 是椭圆上任一点,作PQ 垂直椭圆右准线,Q 为垂足,由3=a ,2=c ,∴32=e .由椭圆第二定义知322==e PQ PF ,∴223PF PQ =,∴PQ PA PF PA +=+223,要使其和最小需有A 、P 、Q 共线,即求A 到右准线距离.右准线方程为29=x .∴A 到右准线距离为27.此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1,代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(. 说明:求21PF ePA +的最小值,就是用第二定义转化后,过A 向相应准线作垂线段.巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段.典型例题十八例18 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程; (2)求椭圆内接矩形的最大面积.分析:本题考查椭圆的参数方程及其应用.为简化运算和减少未知数的个数,常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标,所求问题便化归为三角问题.解:(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ.(2)设椭圆内接矩形面积为S ,由对称性知,矩形的邻边分别平行于x 轴和y轴,设)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的顶点,)20(π<θ<,则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS 故椭圆内接矩形的最大面积为12.说明:通过椭圆参数方程,转化为三角函数的最值问题,一般地,与圆锥曲线有关的最值问题,用参数方程形式较简便.典型例题十九 例19 已知1F ,2F 是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上一点,且︒=∠6021PF F .(1)求椭圆离心率的取值范围;(2)求证21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关. 分析:不失一般性,可以设椭圆方程为12222=+b y a x (0>>b a ),),(11y x P (01>y ). 思路一:根据题设容易想到两条直线的夹角公式,即3160tan 1212=+-=︒PF PF PF PF K K K K ,设),(11y x P ,)0,(1c F -,)0,(2c F ,化简可得03233212121=--+c cy y x .又1221221=+by a x ,两方程联立消去21x 得0323412212=-+b cy b y c ,由],0(1b y ∈,可以确定离心率的取值范围;解出1y 可以求出21F PF ∆的面积,但这一过程很繁.思路二:利用焦半径公式11ex a PF +=,12ex a PF -=,在21F PF ∆中运用余弦定理,求1x ,再利用],[1a a x -∈,可以确定离心率e 的取值范围,将1x 代入椭圆方程中求1y ,便可求出21F PF ∆的面积.思路三:利用正弦定理、余弦定理,结合a PF PF 221=+求解.解:(法1)设椭圆方程为12222=+by a x (0>>b a ),),(11y x P ,)0,(1c F -,)0,(2c F ,0>c ,则11ex a PF +=,12ex a PF -=. 在21F PF ∆中,由余弦定理得))((24)()(2160cos 1122121ex a ex a c ex a ex a -+--++==︒, 解得2222134ea c x -=. (1)∵],0(221a x ∈,∴2222340a ea c <-≤,即0422≥-a c . ∴21≥=a c e . 故椭圆离心率的取范围是)1,21[∈e .(2)将2222134ea c x -=代入12222=+b y a x 得 24213c b y =,即cb y 321=.∴22213332212121b cb c y F F S F PF =⋅⋅=⋅=∆. 即21F PF ∆的面积只与椭圆的短轴长有关.(法2)设m PF =1,n PF =2,α=∠12FPF ,β=∠21F PF , 则︒=+120βα.(1)在21F PF ∆中,由正弦定理得︒==60sin 2sin sin cn m βα. ∴︒=++60sin 2sin sin cn m βα∵a n m 2=+, ∴︒=+60sin 2sin sin 2ca βα,∴2cos 2sin 260sin sin sin 60sin βαβαβα-+︒=+︒==a c e 212cos21≥-=βα.当且仅当βα=时等号成立.故椭圆离心率的取值范围是)1,21[∈e .(2)在21F PF ∆中,由余弦定理得:︒-+=60cos 2)2(222mn n m cmn n m -+=22 mn n m 3)(2-+=∵a n m 2=+,∴mn a c 34422-=,即22234)(34b c a mn =-=.∴23360sin 2121b mn S F PF =︒=∆. 即21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关.说明:椭圆上的一点P 与两个焦点1F ,2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形,涉及有关焦点三角形问题,通常运用三角形的边角关系定理.解题中通过变形,使之出现21PF PF +的结构,这样就可以应用椭圆的定义,从而可得到有关a ,c 的关系式,使问题找到解决思路.典型例题二十例20 椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ,若这个椭圆上总存在点P ,使AP OP ⊥(O 为坐标原点),求其离心率e 的取值范围.分析:∵O 、A 为定点,P 为动点,可以P 点坐标作为参数,把AP OP ⊥,转化为P 点坐标的一个等量关系,再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式,转化为关于e 的不等式.为减少参数,易考虑运用椭圆参数方程.解:设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ,则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ,)0,(a A , ∵AP OP ⊥,∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ,即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ,解得1cos =θ或222cos b a b -=θ,∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ(舍去),11222<-<-b a b ,又222c a b -= ∴2022<<ca ,∴22>e ,又10<<e ,∴122<<e . 说明:若已知椭圆离心率范围)1,22(,求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥.如何证明?。

高中数学人教A版选择性必修第一册3.1.1椭圆及其标准方程 课时分层练习题含答案解析

高中数学人教A版选择性必修第一册3.1.1椭圆及其标准方程 课时分层练习题含答案解析

3.1.1 椭圆及其标准方程基础练习一、单选题1.已知P 是椭圆2212516x y +=上的一个点,1F 、2F 是椭圆的两个焦点,若13PF =,则2PF 等于( ) A .10 B .7 C .5 D .22.以()11,0F -,()21,0F 为焦点,且经过点1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的椭圆的标准方程为( )A .22132x y +=B .22143x y +=C .22134x y +=D .2214x y +=3.已知椭圆143x y +=的两个焦点为1F ,2F ,过2F 的直线交椭圆于M ,N 两点,若1F MN△的周长为( ) A .2 B .4C .6D .84.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12(2,0),(2,0)F F -,P 为椭圆上一点,若12||||6PF PF +=,则12PF F △的周长为( )A .10B .8C .6D .45.已知椭圆C :21y x k+=的一个焦点为(0,-2),则k 的值为( )A .5B .3C .9D .25标准方程是( )A .221168x y +=B .221168y x +=C .2212416x y +=D .221249x y +=7.已知椭圆C :()2210x y a b a b+=>>的右焦点为),右顶点为A ,O 为坐标原点,过OA的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于M ,N 两点,若四边形OMAN 是正方形,则C 的方程为( )A .2213x y +=B .22153x y +=C .22175x y +=D .22197x y +=【答案】A8.已知点12,F F分别是椭圆1259x y+=的左、右焦点,点P在此椭圆上,1260F PF∠=,则12PF F∆的面积等于A B.C.D.60及三角形面积公式即可求解【详解】椭圆225x+9.已知m为3与5的等差中项,n为4与16的等比中项,则下列对曲线22:1x yCm n+=描述正确的是()A.曲线C可表示为焦点在y轴的椭圆B.曲线C可表示为焦距是4的双曲线C.曲线C的椭圆D.曲线C可表示为渐近线方程是y=的双曲线A .M 到两定点()0,2,()0,2-的距离之和为4B .M 到两定点()0,2,()0,2-的距离之和为6C .M 到两定点()3,0,()3,0-的距离之和为6D .M 到两定点()3,0,()3,0-的距离之和为8 【答案】BD【分析】根据椭圆的定义进行逐一判断即可.【详解】因为两定点()0,2,()0,2-的距离为46<,所以选项A 不符合椭圆定义,选项B 符合椭圆定义;因为两定点()3,0,()3,0-的距离为68<,所以选项C 不符合椭圆定义,选项D 符合,11.在曲线()22:10,0C Ax By A B +=>>中,( )A .当AB >时,则曲线C 表示焦点在y 轴的椭圆 B .当A B ≠时,则曲线C 为椭圆 C .曲线C 关于直线y x =对称D .当A B ≠时,则曲线C 的焦距为【答案】ABD12.若椭圆221254x y +=上一点P 到焦点1F 的距离为3,则点P 到另一焦点2F 的距离为______.【详解】 又PF 13.过椭圆142x y +=的一个焦点1F 的弦AB 与另一个焦点2F 围成的2ABF 的周长是______.【答案】8,利用椭圆的定义可得出2ABF 的周长由题意可知,2ABF 的周长为12BF BF +14.椭圆22115x y m ++=的焦距为4,则m =______.1715.已知方程164x y m m +=+-表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数m 的取值范围是_______;16.椭圆194x y +=的短轴长为______.17.椭圆123x y +=1的一个焦点为F 1,点P 在椭圆上,若线段PF 1的中点M 在y 轴上,则点M 的纵坐标为_____.19.已知椭圆22110036x y+=上一点P到左焦点的距离为7,求点P到右焦点的距离.20.已知椭圆的两个焦点分别为1和2,再添加什么条件,可使得这个椭圆的方程为221 259x y+=?(1)22110064x y +=; (2)221916x y +=;(3)2222x y +=.49-,求点A 的轨迹方程..用圆规画一个圆,然后在圆内标记点,并把圆周上的点1折叠到点,连接1,标记出1OP 与折痕1l 的交点1M (如图),若不断在圆周上取新的点2P ,3P ,…进行折叠并得到标记点2M ,3M ,…,则点1M ,2M ,3M ,…形成的轨迹是什么?并说明理由.24.已知定点1、2和动点.(1)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求:动点M 的轨迹及其方程. 条件①:1212MF MF += 条件②:128MF MF +=(2)()1220MF MF a a +=>,求:动点M 的轨迹及其方程.一、单选题1.椭圆22110064x y+=的焦点为1F,2F,椭圆上的点P满足1260F PF∠=︒,则点P到x轴的距离为()A B C D.64 312PF F S=2.已知1F 、2F 是椭圆2:1163x y C +=的两个焦点,P 为椭圆上一点,则12PF PF ⋅( )A .有最大值,为16B .有最小值,为16C .有最大值,为4D .有最小值,为43.已知椭圆C :221259x y +=,1F ,2F 分别为它的左右焦点,A ,B 分别为它的左右顶点,点P是椭圆上的一个动点,下列结论中正确的有( ) A .存在P 使得122F PF π∠=B .12cos F PF ∠的最小值为725-C .12PF PF ⊥,则12F PF △的面积为9D .直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值925根据120D D F F ⋅<得,结合余弦定理与基本不等式求解判断进而计算面积判断选项,由于()(124,3,4,3F F D D =--=-,1216D D F F ⋅=-12F PF S=对于D 4.舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具,如图,O 是滑槽AB 的中点,短杆ON 可绕O 转动,长杆MN 通过N 处的铰链与ON 连接,MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动.当点D 在滑槽AB 内做往复移动时,带动点N 绕O 转动,点M 也随之而运动.记点N 的运动轨迹为1C ,点M 的运动轨迹为2C .若1O N D N ==,3MN =,过2C 上的点P 向1C 作切线,则切线长的最大值为______.依题意,2MD DN =,且1DN ON ==,)()00,2x y x t y -=-,且()0220x t x y ⎧-⎪⎨+⎪⎩5.如图,1,2分别是椭圆的左、右焦点,点P 是以12为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点,延长2PF 与椭圆交于点Q ,若124PF QF =,则直线2PF 的斜率为_______.在1PF Q 中,6.与椭圆22194x y +=有相同的焦点,且过点()3,2-的椭圆方程为______.【答案】2211510x y +=【分析】结合已知条件求出c ,然后利用7.已知直线y =与椭圆在第一象限内交于M 点,又MF 2⊥x 轴,F 2是椭圆的右焦点,另一个焦点为F 1,若122MF MF ⋅=,求椭圆的标准方程.,进而由122MF MF ⋅=求得.⎝又因为122MF MF ⋅=,所以122,MF MF c ⎛⋅=- ⎝()2,2M ,1F 矩形的最大面积.9.已知P 是椭圆221259x y +=上的一点,1F 、2F 为椭圆的两个焦点.(1)若1290F PF ∠=︒,求12PF F 的面积; (2)求12PF PF ⋅的最大值. 12Rt F PF 中,11002PF -⋅12F PF 的面积为(1)求曲线C 的方程;(2)曲线C 上是否存在点M 使12MF MF ⊥?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由.11.已知椭圆1C 与椭圆2:1305x y C +=具有共同的焦点1F ,2F ,点P 在椭圆1C 上,12PF PF ⊥,______.在下面三个条件中选择一个,补充在上面的横线上,并作答.①椭圆1C 过点();②椭圆1C 的短轴长为10;③椭圆1C 的离心率为2.(1)求椭圆1C 的标准方程; (2)求12PF F △的面积.12PF F S=12.已知椭圆()2210x y a b a b +=>>的长轴长为4,右焦点到直线4x =的距离为3.(1)求椭圆的方程;(2)若直线y x =M ,N 两点,椭圆上存在点P ,使得()()0OP OM ON λλ=+>,求实数λ的值.所以(0,OM =-,87ON ⎛= ⎝又()83,7OP OM ON λλ⎛=+= ⎝8363,77P λλ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,13.已知P 点坐标为(0,2)-,点,A B 分别为椭圆22:1(0)x yE a b a b+=>>的左、右顶点,ABP △是等腰直角三角形,长轴长是短轴长的2倍. (1)求椭圆E 的方程;(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于,M N 两点,当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时,求直线l 斜率的取值范围.所以0OM ON ⋅>,即12121x x y y x +=)(2122k x x k +-。

椭圆定义及标准方程专项练习含解析

椭圆定义及标准方程专项练习含解析

定义及标准方程一、单选题(共28题;共56分)1.已知椭圆+=1的两个焦点F1,F2,M是椭圆上一点,且|MF1|-|MF2|=1,则△MF1F2是( )A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形2.已知椭圆上的一点到左焦点的距离为6,则点到右焦点的距离为()A. 4B. 6C. 7D. 143.已知椭圆的两个焦点是,椭圆上任意一点与两焦点距离的和等于4,则椭圆C的离心率为()A. B. C. D. 24.如果方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是().A. B. C. D.5.已知椭圆的一点到椭圆的一个焦点的距离等于6,那么点到椭圆的另一个焦点的距离等于( )A. 2B. 4C. 6D. 86.椭圆的左右焦点分别为,,一条直线经过与椭圆交于,两点,则的周长为()A. B. 6 C. D. 127.已知椭圆的一个焦点坐标为,则k的值为()A. 1B. 3C. 9D. 818.已知椭圆的中点在原点,焦点在轴上,且长轴长为,离心率为,则椭圆的方程为().A. B. C. D.9.椭圆的焦距为8,且椭圆的长轴长为10,则该椭圆的标准方程是()A. B. 或C. D. 或10.方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是()A. B. C. D.11.若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的标准方程为()A. B. C. 或 D. 以上答案都不对12.已知椭圆C:中,,,则该椭圆标准方程为A. B. C. D.13.已知方程的曲线是焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围是()A. B. C. D. 且14.已知椭圆的两个焦点是,且点在椭圆上,则椭圆的标准方程是()A. B. C. D.15.P为椭圆上一点,、为左右焦点,若则△的面积为()A. B. C. 1 D. 316.已知椭圆:()的左、右焦点为,,离心率为,过的直线交于,两点.若的周长为,则的方程为()A. B. C. D.17.以双曲线的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( )A. B. C. D.18.椭圆的焦点在轴上,中心在原点,其短轴上的两个顶点和两个焦点恰好为边长为的正方形的顶点,则椭圆的标准方程为()A. B. C. D.19.椭圆的焦距为2,则m的值等于A. 5或3B. 8C. 5D. 或20.焦点坐标为,长轴长为10,则此椭圆的标准方程为()A. B. C. D.21.点A(a,1)在椭圆的内部,则a的取值范围是()A. -<a<B. a<-或a>C. -2<a<2D. -1<a<122.已知方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是()A. B. C. D.23.椭圆的一个焦点坐标是()A. B. C. D.24.已知F1F2为椭圆的两个焦点,过F2作椭圆的弦AB,若的周长为16,椭圆的离心率,则椭圆的方程为()A. B. C. D.25.“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件26.已知、为椭圆两个焦点,P为椭圆上一点且,则()A. 3B. 9C. 4D. 527.已知椭圆的焦点在轴上,离心率为,则的值为()A. B. C. D. 或28.方程2x2+ky2=1表示的是焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是( )A. (0,+∞)B. (2,+∞)C. (0,2)D. (0,1)二、填空题(共17题;共19分)29.已知椭圆中心在原点,一个焦点为,且长轴长是短轴长的2倍.则该椭圆的长轴长为________;其标准方程是________.30.已知椭圆的左、右两个焦点分别为,若经过的直线与椭圆相交于两点,则的周长等于________31.已知F1,F2为椭圆的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=________.32.已知两定点、,且是与的等差中项,则动点P的轨迹方程是________ .33.已知点,点B是圆F:(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交于点,则动点的轨迹方程为________.34.已知椭圆C:,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则________.35.已知椭圆:的左、右焦点分别为、,以为圆心作半经为1的圆,为椭圆上一点,为圆上一点,则的取值范围为________.36.焦点在x轴上,短轴长等于16,离心率等于的椭圆的标准方程为________.37.椭圆的焦点为,点P在椭圆上,若,则的大小为________.38.P是椭圆上的点,F1和F2是该椭圆的焦点,则k=|PF1|·|PF2|的最大值是________。

高中数学椭圆及其标准方程

高中数学椭圆及其标准方程

椭圆及其标准方程(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分,共30分)1.已知焦点坐标为(0,-4),(0,4),且a=6的椭圆方程是( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=12.(2013·重庆高二检测)椭圆+=1的一个焦点坐标为(3,0),那么m的值为( )A.-16B.-4C.16D.43.(2013·珠海高二检测)已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是( )A.2B.6C.4D.124.(2013·安阳高二检测)如图,椭圆+=1上的点M到焦点F1的距离为2,N为MF1的中点,则|ON|(O为坐标原点)的值为( )A.8B.2C.4D.5.设α∈(0,),方程x2sinα+y2cosα=1表示焦点在y轴上的椭圆,则α的取值范围是( )A.(0,)B.(0,]C.(,)D.[,)二、填空题(每小题8分,共24分)6.已知椭圆+=1的焦点在y轴上,且焦距为4,则m等于.7.(2013·汕头高二检测)已知F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点.若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|= .8.F1,F2分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2的值是.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.等腰直角三角形ABC中,斜边BC长为4,一个椭圆以C为其中一个焦点,另一个焦点在线段AB上,且椭圆经过A,B两点,求该椭圆的标准方程.10.已知椭圆的焦点在x轴上,且焦距为4,P为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项.(1)求椭圆的标准方程.(2)若△PF1F2的面积为2,求P点坐标.11.(能力挑战题)已知P是椭圆+y2=1上的任意一点,F1,F2为椭圆的两焦点.(1)求|PF1|·|PF2|的最大值.(2)求|PF1|2+|PF2|2的最小值.答案解析1.【解析】选B.由条件知,椭圆的焦点在y轴上,且c=4,a=6,∴b2=a2-c2=36-16=20,∴其标准方程为+=1.2.【解析】选C.由条件知,椭圆焦点在x轴上且c=3.∴由25-m=32,得m=16.【举一反三】若题中焦点坐标由“(3,0)”改为“(0,3)”,结果如何?【解析】∵焦点坐标为(0,3),∴焦点在y轴上且c=3.由m-25=9,得m=34.3.【解析】选C.设椭圆的另一焦点为F,则|BA|+|BF|=2a=2,|CA|+|CF|=2a=2,由条件可得,△ABC的周长是|AB|+|AC|+|BC|=|BA|+|BF|+ |CA|+|CF|=4a=4.4.【解题指南】结合平面图形的性质可知ON为△MF1F2的中位线,所以首先由定义求出|MF2|,进而求得ON.【解析】选C.∵O为F1F2的中点,N为MF1的中点,∴ON∥MF2且|ON|=|MF2|.∵|MF1|+|MF2|=2a=10,∴|MF2|=10-|MF1|=10-2=8,∴ON=4.5.【解析】选C.由题意可知<,∴sinα>cosα>0,又∵α∈(0,),解得<α<.【变式备选】(2013·邵阳高二检测)“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.m>n>0⇔0<<⇔mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆,故选C. 6.【解析】由条件可知,2c=4,即c=2,∴(m-2)-(10-m)=c2=4,解得m=8.答案:87.【解题指南】由椭圆的定义可以求出△ABF2的周长,从而结合已知求出|AB|.【解析】由椭圆的定义可知|AF1|+|AF2|=2a=10,|BF1|+|BF2|=2a=10,∴|AB|+|AF2|+|BF2|=20,又∵|F2A|+|F2B|=12,∴|AB|=8.答案:88.【解析】设|OF2|=c,∴c2=,即c=2.∴a2=b2+4,又点P的坐标为(1,±),点P在椭圆上,∴+=1.解得b2=2.答案:2【误区警示】解题过程中,往往不能将a,b,c的意义与△POF2的边长联系起来,从而很难列出方程组求解.9.【解题指南】建立适当的坐标系,设出椭圆标准方程,而后求解椭圆中的a,b,c 即可.【解析】如图,设椭圆的方程为+=1(a>b>0),有|AM|+|AC|=2a,|BM|+|BC|=2a,两式相加,得8+4=4a,∴a=2+,|AM|=2a-|AC|=4+2-4=2.在直角三角形AMC中,∵|MC|2=|AM|2+|AC|2=8+16=24,∴c2=6,b2=4.故所求椭圆的标准方程为+=1.10.【解题指南】(1)由条件“|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项”求出a,从而得b2后写出椭圆方程.(2)根据面积可以先确定出点P的纵坐标,再代入方程求横坐标.【解析】(1)由题意知,2c=4,c=2.且|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8,即2a=8,∴a=4.∴b2=a2-c2=16-4=12.又椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆的方程为+=1.(2)设P点坐标为(x0,y0),依题意知,|F1F2|·|y0|=2,∴|y0|=,y0=±,代入椭圆方程+=1得,x0=±2,∴P点坐标为(2,)或(2,-)或(-2,)或(-2,-).11.【解析】(1)∵椭圆方程为+y2=1,∴a=2,b=1,∴c=,即|F1F2|=2.又∵|PF1|+|PF2|=2a=4,∴|PF1|·|PF2|≤()2=()2=4,当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取“=”,此时点P是短轴顶点,∴|PF1|·|PF2|的最大值为4.(2)∵|PF1|2+|PF2|2≥2|PF1|·|PF2|,∴2(|PF1|2+|PF2|2)≥|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=(|PF1|+|PF2|)2,∴|PF1|2+|PF2|2≥(|PF1|+|PF2|)2=×16=8,当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取“=”.∴|PF1|2+|PF2|2的最小值为8.【拓展提升】揭秘焦点三角形椭圆中的焦点三角形问题由于涉及知识面广,探究性强,综合性高,成为椭圆和解三角形、三角函数以及不等式等知识交汇的命题点,是命题的“焦点”.在解决与椭圆有关的焦点三角形问题中,常用到以下结论:设F1,F2为椭圆焦点,M为椭圆上的点.(1)|MF1|+|MF2|=2a.(2)|MF1||MF2|≤=a2.(3)|MF1||MF2|=2a2-.(4)=b2tan(其中∠F1MF2=θ).关闭Word文档返回原板块高考数学:试卷答题攻略一、“六先六后”,因人因卷制宜。

椭圆方程典型例题20例含标准答案

椭圆方程典型例题20例含标准答案

《椭圆》方程典型例题20例典型例题一例1 椭圆的一个极点为()02,A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程.分析:题目没有指出核心的位置,要考虑两种位置. 解:(1)当()02,A 为长轴端点时,2=a ,1=b ,椭圆的标准方程为:11422=+y x ; (2)当()02,A 为短轴端点时,2=b ,4=a ,椭圆的标准方程为:116422=+y x ; 说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个极点的坐标和对称轴的位置,是不能确信椭圆的横竖的,因此要考虑两种情形.典型例题二例2 一个椭圆的核心将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率.解:31222⨯⨯=c a c ∴223a c =, ∴3331-=e . 说明:求椭圆的离心率问题,通常有两种处置方式,一是求a ,求c ,再求比.二是列含a 和c 的齐次方程,再化含e 的方程,解方程即可.典型例题三例3 已知中心在原点,核心在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点,M 为AB 中点,OM 的斜率为,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.解:由题意,设椭圆方程为1222=+y ax ,由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ,得()021222=-+x a x a , ∴222112aa x x x M +=+=,2111a x y M M +=-=, 4112===a x y k M M OM ,∴42=a , ∴1422=+y x 为所求. 说明:(1)此题求椭圆方程采纳的是待定系数法;(2)直线与曲线的综合问题,常常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题.典型例题四例4椭圆192522=+y x 上不同三点()11y x A ,,⎪⎭⎫⎝⎛594,B ,()22y x C ,与核心()04,F 的距离成等差数列.(1)求证821=+x x ;(2)假设线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ,求直线BT 的斜率k . 证明:(1)由椭圆方程知5=a ,3=b ,4=c . 由圆锥曲线的统一概念知:ac x ca AF =-12,∴ 11545x ex a AF -=-=. 同理 2545x CF -=. ∵ BF CF AF 2=+,且59=BF , ∴ 51854554521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ,即 821=+x x .(2)因为线段AC 的中点为⎪⎭⎫⎝⎛+2421y y ,,因此它的垂直平分线方程为()42212121---=+-x y y x x y y y . 又∵点T 在x 轴上,设其坐标为()00,x ,代入上式,得()212221024x x y y x --=-又∵点()11y x A ,,()22y x B ,都在椭圆上,∴ ()212125259x y -=()222225259x y -= ∴ ()()21212221259x x x x y y -+-=-. 将此式代入①,并利用821=+x x 的结论得 253640-=-x ∴ 4540590=--=x k BT.典型例题五例5 已知椭圆13422=+yx ,1F 、2F 为两核心,问可否在椭圆上找一点M ,使M到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项?假设存在,那么求出点M 的坐标;假设不存在,请说明理由.解:假设M 存在,设()11y x M ,,由已知条件得2=a ,3=b ,∴1=c ,21=e . ∵左准线l 的方程是4-=x , ∴14x MN +=. 又由焦半径公式知:111212x ex a MF -=-=,112212x ex a MF +=+=.∵212MF MF MN ⋅=,∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x .整理得048325121=++x x . 解之得41-=x 或5121-=x . ① 另一方面221≤≤-x . ②那么①与②矛盾,因此知足条件的点M 不存在. 说明:(1)利用焦半径公式解常可简化解题进程.(2)本例是存在性问题,解决存在性问题,一样用分析法,即假设存在,依照已知条件进行推理和运算.进而依照推理取得的结果,再作判定.(3)本例也可设()θθsin 3cos 2,M 存在,推出矛盾结论(读者自己完成).典型例题六例6 已知椭圆1222=+y x ,求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121,P 且被P 平分的弦所在的直线方程.分析一:已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为k ,利用条件求k . 解法一:设所求直线的斜率为k ,那么直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y .代入椭圆方程,并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k .由韦达定理得22212122k kk x x +-=+.∵P 是弦中点,∴121=+x x .故得21-=k .因此所求直线方程为0342=-+y x .分析二:设弦两头坐标为()11y x ,、()22y x ,,列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组,从而求斜率:2121x x y y --. 解法二:设过⎪⎭⎫⎝⎛2121,P 的直线与椭圆交于()11y x A ,、()22y x B ,,那么由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ,,, ①-②得0222212221=-+-y y x x . ⑤将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ,即直线的斜率为21-.所求直线方程为0342=-+y x .说明:(1)有关弦中点的问题,要紧有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行弦的中点轨迹;过定点的弦中点轨迹.(2)解法二是“点差法”,解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代斜率.(3)有关弦及弦中点问题经常使用的方式是:“韦达定理应用”及“点差法”.有关二次曲线问题也适用.典型例题七例7 求适合条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的2倍,且过点()62-,;(2)在x 轴上的一个核心与短轴两头点的联机相互垂直,且焦距为6.分析:当方程有两种形式时,应别离求解,如(1)题中由12222=+b y a x 求出1482=a ,372=b ,在得方程13714822=+y x 后,不能依此写出另一方程13714822=+x y . 解:(1)设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或12222=+bx a y .由已知b a 2=. ① 又过点()62-,,因此有()1622222=-+b a 或()1262222=+-ba . ②由①、②,得1482=a ,372=b 或522=a ,132=b .故所求的方程为13714822=+y x 或1135222=+x y . (2)设方程为12222=+b y a x .由已知,3=c ,3==c b ,因此182=a .故所求方程为191822=+y x . 说明:依照条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数”.关键在于核心的位置是不是确信,假设不能确信,应设方程12222=+b y a x 或12222=+bx a y .典型例题八例8 椭圆1121622=+y x 的右核心为F ,过点()31,A ,点M 在椭圆上,当MF AM 2+为最小值时,求点M 的坐标.分析:此题的关键是求出离心率21=e ,把MF 2转化为M 到右准线的距离,从而得最小值.一样地,求MF eAM 1+都可用此法. 解:由已知:4=a ,2=c .因此21=e ,右准线8=x l :.过A 作l AQ ⊥,垂足为Q ,交椭圆于M ,故MF MQ 2=.显然MF AM 2+的最小值为AQ ,即M 为所求点,因此3=M y ,且M 在椭圆上.故32=M x .因此()332,M .说明:此题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处置.事实上,如图,21=e ,即MF 是M 到右准线的距离的一半,即图中的MQ ,问题转化为求椭圆上一点M ,使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值.典型例题九例9 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值.分析:先写出椭圆的参数方程,由点到直线的距离成立三角函数关系式,求出距离的最小值.解:椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ,设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3,,那么点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd . 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时,22=最小值d .说明:当直接设点的坐标不易解决问题时,可成立曲线的参数方程.典型例题十 例10设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x 轴上,离心率23=e ,已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛230,P 到那个椭圆上的点的最远距离是7,求那个椭圆的方程,并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标.分析:此题考查椭圆的性质、距离公式、最大值和分析问题的能力,在求d的最大值时,要注意讨论b的取值范围.此题能够用椭圆的标准方程,也可用椭圆的参数方程,要擅长应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题,从而增强等价转换、形数结合的思想,提高逻辑推理能力.解法一:设所求椭圆的直角坐标方程是12222=+b y a x ,其中0>>b a 待定.由222222221ab a b a ac e -=-==可得 2143112=-=-=e a b ,即b a 2=. 设椭圆上的点()y x ,到点P 的距离是d ,那么4931232222222+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y b y a y x d 34213493342222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=b y y y b其中b y b ≤≤-. 若是21<b ,那么当b y -=时,2d (从而d )有最大值. 由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ,由此得21237>-=b ,与21<b 矛盾.因此必有21≥b 成立,于是当21-=y 时,2d (从而d )有最大值. 由题设得()34722+=b ,可得1=b ,2=a .∴所求椭圆方程是11422=+y x . 由21-=y 及求得的椭圆方程可得,椭圆上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛--213,,点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213,到点⎪⎭⎫⎝⎛230,P 的距离是7.解法二:依照题设条件,可取椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ,其中0>>b a ,待定,πθ20≤≤,θ为参数.由22222221⎪⎭⎫⎝⎛-=-==a b a b a a c e 可得 2143112=-=-=e a b ,即b a 2=. 设椭圆上的点()y x ,到点⎪⎭⎫⎝⎛230,P 的距离为d ,那么22222223sin cos 23⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θθb a y x d49sin 3sin 34222+--=θθb b b 3421sin 3222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b b θ若是121>b ,即21<b ,那么当1sin -=θ时,2d (从而d )有最大值. 由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ,由此得21237>-=b ,与21<b 矛盾,因此必有121≤b成立. 于是当b21sin -=θ时2d (从而d )有最大值. 由题设知()34722+=b ,∴1=b ,2=a .∴所求椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x .由21sin -=θ,23cos ±=θ,可得椭圆上的是⎪⎭⎫ ⎝⎛--213,,⎪⎭⎫ ⎝⎛-213,.典型例题十一例11 设x ,R ∈y ,x y x 63222=+,求x y x 222++的最大值和最小值.分析:此题的关键是利用形数结合,观看方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致.设mx y x =++222,显然它表示一个圆,由此能够画出图形,考虑椭圆及圆的位置关系求得最值.解:由x y x 63222=+,得123492322=+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 可见它表示一个椭圆,其中心在⎪⎭⎫⎝⎛023,点,核心在x 轴上,且过(0,0)点和(3,0)点.设m x y x =++222,那么 ()1122+=++m y x它表示一个圆,其圆心为(-1,0)半径为()11->+m m .在同一坐标系中作出椭圆及圆,如下图.观看图形可知,当圆过(0,0)点时,半径最小,即11=+m ,现在0=m ;当圆过(3,0)点时,半径最大,即41=+m ,∴15=m .∴x y x 222++的最小值为0,最大值为15.典型例题十二例12 已知椭圆()012222>>=+b a by a x C :,A 、B 是其长轴的两个端点.(1)过一个核心F 作垂直于长轴的弦P P ',求证:不论a 、b 如何转变,120≠∠APB .(2)若是椭圆上存在一个点Q ,使 120=∠AQB ,求C 的离心率e 的取值范围.分析:此题从已知条件动身,两问都应从APB ∠和AQB ∠的正切值动身做出估量,因此要从点的坐标、斜率入手.此题的第(2)问中,其关键是依照什么去列出离心率e 知足的不等式,只能是椭圆的固有性质:a x ≤,b y ≤,依照120=∠AQB 取得32222-=-+a y x ay ,将22222y b a a x -=代入,消去x ,用a 、b 、c 表示y ,以便利用b y ≤列出不等式.那个地址要求思路清楚,计算准确,一气呵成.解:(1)设()0,c F ,()0,a A -,()0,a B .⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎩⎨⎧=+=a b c P b a y a x b c x 2222222, 于是()a c a b k AP+=2,()a c ab k BP -=2. ∵APB ∠是AP 到BP 的角.∴()()()2222242221tan ca a c ab ac a b a c a b APB -=-++--=∠ ∵22c a > ∴2tan -<∠APB故3tan -≠∠APB ∴ 120≠∠APB . (2)设()y x Q ,,那么a x y k QA +=,ax y k QB -=.由于对称性,不妨设0>y ,于是AQB ∠是QA 到QB 的角.∴22222221tan a y x ay a x y a x y a x y AQB -+=-++--=∠∵ 120=∠AQB , ∴32222-=-+ay x ay整理得()023222=+-+ay a y x∵22222y ba a x -=∴0213222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ay y b a∵0≠y , ∴2232c ab y = ∵b y ≤, ∴b c ab ≤2232232c ab ≤,()222234c c a a ≤-∴04444224≥-+a c a c ,044324≥-+e e ∴232≥e 或22-≤e (舍),∴136<≤e .典型例题十三例13 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ,求k 的值. 分析:分两种情形进行讨论.解:当椭圆的核心在x 轴上时,82+=k a ,92=b ,得12-=k c .由21=e ,得4=k .当椭圆的核心在y 轴上时,92=a ,82+=k b ,得k c -=12.由21=e ,得4191=-k ,即45-=k . ∴知足条件的4=k 或45-=k .说明:此题易显现漏解.排除错误的方法是:因为8+k 与9的大小关系不定,因此椭圆的核心可能在x 轴上,也可能在y 轴上.故必需进行讨论.典型例题十四例14 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右核心2F 的距离为b )1(>b ,求P 到左准线的距离.分析:利用椭圆的两个概念,或利用第二概念和椭圆两准线的距离求解.解法一:由142222=+by b x ,得b a 2=,b c 3=,23=e .由椭圆概念,b a PF PF 4221==+,得b b b PF b PF 34421=-=-=. 由椭圆第二概念,e d PF =11,1d 为P 到左准线的距离,∴b ePF d 3211==,即P 到左准线的距离为b 32. 解法二:∵e d PF =22,2d 为P 到右准线的距离,23==a c e , ∴b ePF d 33222==. 又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅.∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-. 说明:运用椭圆的第二概念时,要注意核心和准线的同侧性.不然就会产生误解.椭圆有两个概念,是从不同的角度反映椭圆的特点,解题时要灵活选择,运用自如.一样地,如碰到动点到两个定点的问题,用椭圆第一概念;若是碰到动点到定直线的距离问题,那么用椭圆的第二概念.典型例题十五例15 设椭圆⎩⎨⎧==.sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π=∠POx ,求P 点坐标.分析:利用参数α与POx ∠之间的关系求解.解:设)sin 32,cos 4(ααP ,由P 与x 轴正向所成角为3π, ∴ααπcos 4sin 323tan=,即2tan =α.而0sin >α,0cos >α,由此取得55cos =α,552sin =α, ∴P 点坐标为)5154,554(.典型例题十六例16 设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的一点,P 到左核心1F 和右核心2F 的距离别离为1r 和2r ,求证:01ex a r +=,02ex a r -=.分析:此题考查椭圆的两个概念,利用椭圆第二概念,可将椭圆上点到核心的距离转化为点到相应准线距离.解:P 点到椭圆的左准线c a x l 2-=:的距离,ca x PQ 20+=,由椭圆第二概念,e PQPF =1,∴01ex a PQ e r +==,由椭圆第一概念,0122ex a r a r -=-=.说明:此题求证的是椭圆的焦半径公式,在解决与椭圆的焦半径(或核心弦)的有关问题时,有着普遍的应用.请写出椭圆核心在y 轴上的焦半径公式.典型例题十七例17 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ,1F 、2F 别离是椭圆的左、右核心,点P 是椭圆上一点.(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标; (2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标. 分析:此题考查椭圆中的最值问题,通常探求变量的最值有两种方式:一是目标函数当,即代数方式.二是数形结合,即几何方式.此题假设按先成立目标函数,再求最值,那么不易解决;假设抓住椭圆的概念,转化目标,运用数形结合,就能够简捷求解.解:(1)如上图,62=a ,)0,2(2F ,22=AF ,设P 是椭圆上任一点,由6221==+a PF PF ,22AF PF PA -≥,∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ,等号仅当22AF PF PA -=时成立,现在P 、A 、2F 共线.由22AF PF PA +≤,∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ,等号仅当22AF PF PA +=时成立,现在P 、A 、2F 共线.成立A 、2F 的直线方程02=-+y x ,解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P . 综上所述,P 点与1P 重合时,1PF PA +取最小值26-,P 点与2P 重合时,2PF PA +取最大值26+.(2)如以下图,设P 是椭圆上任一点,作PQ 垂直椭圆右准线,Q 为垂足,由3=a ,2=c ,∴32=e .由椭圆第二概念知322==e PQ PF ,∴223PF PQ =,∴PQ PA PF PA +=+223,要使其和最小需有A 、P 、Q 共线,即求A 到右准线距离.右准线方程为29=x .∴A 到右准线距离为27.现在P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1,代入椭圆得知足条件的点P 坐标)1,556(. 说明:求21PF ePA +的最小值,确实是用第二概念转化后,过A 向相应准线作垂线段.巧用核心半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手腕.典型例题十八例18 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程; (2)求椭圆内接矩形的最大面积.分析:此题考查椭圆的参数方程及其应用.为简化运算和减少未知数的个数,经常使用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标,所求问题便化归为三角问题.解:(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ. (2)设椭圆内接矩形面积为S ,由对称性知,矩形的邻边别离平行于x 轴和y轴,设)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的极点,)20(π<θ<,则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS 故椭圆内接矩形的最大面积为12. 说明:通过椭圆参数方程,转化为三角函数的最值问题,一样地,与圆锥曲线有关的最值问题,用参数方程形式较简便.典型例题十九 例19 已知1F ,2F 是椭圆的两个核心,P 是椭圆上一点,且︒=∠6021PF F .(1)求椭圆离心率的取值范围;(2)求证21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关. 分析:不失一样性,能够设椭圆方程为12222=+by a x (0>>b a ),),(11y x P (01>y ). 思路一:依照题设容易想到两条直线的夹角公式,即3160tan 1212=+-=︒PF PF PF PF K K K K ,设),(11y x P ,)0,(1c F -,)0,(2c F ,化简可得03233212121=--+c cy y x .又1221221=+by a x ,两方程联立消去21x 得0323412212=-+b cy b y c ,由],0(1b y ∈,能够确信离心率的取值范围;解出1y 能够求出21F PF ∆的面积,但这一进程很繁.思路二:利用焦半径公式11ex a PF +=,12ex a PF -=,在21F PF ∆中运用余弦定理,求1x ,再利用],[1a a x -∈,能够确信离心率e 的取值范围,将1x 代入椭圆方程中求1y ,即可求出21F PF ∆的面积.思路三:利用正弦定理、余弦定理,结合a PF PF 221=+求解.解:(法1)设椭圆方程为12222=+by a x (0>>b a ),),(11y x P ,)0,(1c F -,)0,(2c F ,0>c ,则11ex a PF +=,12ex a PF -=.在21F PF ∆中,由余弦定理得))((24)()(2160cos 1122121ex a ex a c ex a ex a -+--++==︒, 解得2222134ea c x -=. (1)∵],0(221a x ∈,∴2222340a ea c <-≤,即0422≥-a c . ∴21≥=a c e . 故椭圆离心率的取范围是)1,21[∈e .(2)将2222134e a c x -=代入12222=+by a x 得 24213c b y =,即cb y 321=.∴22213332212121b cb c y F F S F PF =⋅⋅=⋅=∆. 即21F PF ∆的面积只与椭圆的短轴长有关.(法2)设m PF =1,n PF =2,α=∠12F PF,β=∠21F PF , 则︒=+120βα.(1)在21F PF ∆中,由正弦定理得︒==60sin 2sin sin c n m βα. ∴︒=++60sin 2sin sin cn m βα∵a n m 2=+, ∴︒=+60sin 2sin sin 2ca βα,∴2cos 2sin 260sinsin sin 60sin βαβαβα-+︒=+︒==a c e212cos 21≥-=βα.当且仅当βα=时等号成立. 故椭圆离心率的取值范围是)1,21[∈e .(2)在21F PF ∆中,由余弦定理得:︒-+=60cos 2)2(222mn n m cmn n m -+=22mn n m 3)(2-+=∵a n m 2=+,∴mn a c 34422-=,即22234)(34b c a mn =-=. ∴23360sin 2121b mn S F PF =︒=∆.即21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关.说明:椭圆上的一点P 与两个核心1F ,2F 组成的三角形为椭圆的核心三角形,涉及有关核心三角形问题,通常运用三角形的边角关系定理.解题中通过变形,使之显现21PF PF +的结构,如此就能够够应用椭圆的概念,从而可取得有关a ,c 的关系式,使问题找到解决思路.典型例题二十例20 椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ,假设那个椭圆上总存在点P ,使AP OP ⊥(O 为坐标原点),求其离心率e 的取值范围.分析:∵O 、A 为定点,P 为动点,能够P 点坐标作为参数,把APOP ⊥,转化为P 点坐标的一个等量关系,再利用坐标的范围成立关于a 、b 、c 的一个不等式,转化为关于e 的不等式.为减少参数,易考虑运用椭圆参数方程.解:设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ,那么椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ,)0,(a A ,∵AP OP ⊥,∴1cos sin cos sin -=-⋅a a b a b θθθθ,即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ,解得1cos =θ或222cos b a b-=θ,∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ(舍去),11222<-<-b a b ,又222c a b -= ∴2022<<c a , ∴22>e ,又10<<e ,∴122<<e .说明:假设已知椭圆离心率范围)1,22(,求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥.如何证明?。

椭圆的标准方程(含答案)

椭圆的标准方程(含答案)

一 椭圆的标准方程习题一、选择题1.设定点F 1(0,-3),F 2(0,3),动点P (x ,y )满足条件|PF 1|+|PF 2|=a (a >0),则动点P 的轨迹是( )A .椭圆B .线段C .椭圆、线段或不存在D .不存在2.椭圆2x 2+3y 2=12的两焦点之间的距离是( )A .210 B.10 C. 2 D .2 23.椭圆5x 2+ky 2=5的一个焦点是(0,2),那么k 的值为( )A .-1B .1 C. 5 D .- 54.已知方程x 225-m +y 2m +9=1表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是( ) A .-9<m <25 B .8<m <25 C .16<m <25D .m >85.椭圆mx 2+ny 2+mn =0(m <n <0)的焦点坐标是( )A .(0,±m -n )B .(±m -n ,0)C .(0,±n -m )D .(±n -m ,0)6.若△ABC 的两个顶点坐标为A (-4,0)、B (4,0),△ABC 的周长为18,则顶点C 的轨迹方程为( ) A.x 225+y 29=1 B.y 225+x 29=1(y ≠0) C.x 216+y 29=1(y ≠0) D.x 225+y 29=1(y ≠0) 7.点P 为椭圆x 25+y 24=1上一点,以点P 以及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积为1, 则P 点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫±152,1B.⎝⎛⎭⎫152,±1C.⎝⎛⎭⎫152,1D.⎝⎛⎭⎫±152,±1 8.已知椭圆过点P ⎝⎛⎭⎫35,-4和点Q ⎝⎛⎭⎫-45,3,则此椭圆的标准方程是( ) A.y 225+x 2=1 B.x 225+y 2=1或x 2+y 225=1 C.x 225+y 2=1 D .以上都不对 9.AB 为过椭圆x 2a 2+y 2b2=1中心的弦,F (c,0)为椭圆的左焦点,则△AFB 的面积最大值是( ) A .b 2B .bcC .abD .ac二、填空题10.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆与x 轴的交点到两焦点的距离分别为3和1, 则椭圆的标准方程为________.11.过点(-3,2)且与x 29+y 24=1有相同焦点的椭圆方程是________. 三、解答题12.已知F 1、F 2是椭圆x 2100+y 264=1的两个焦点,P 是椭圆上任一点,若∠F 1PF 2=π3,求△F 1PF 2的面积.13.求以椭圆9x 2+5y 2=45的焦点为焦点,且经过点M (2,6)的椭圆的标准方程.二 椭圆的标准方程(答案)1、[答案] C [解析] 当a >|F 1F 2|=6时,动点P 的轨迹为椭圆;当a =|F 1F 2|=6时,动点P 的轨迹为线段;当a <|F 1F 2|=6时,动点P 的轨迹不存在2、[答案] D [解析] 椭圆方程2x 2+3y 2=12可化为:x 26+y 24=1,a 2=6,b 2=4,c 2=6-4=2,∴2c =2 2. 3、[答案] B [解析] 椭圆方程5x 2+ky 2=5可化为:x 2+y 25k =1, 又∵焦点是(0,2),∴a 2=5k ,b 2=1,c 2=5k-1=4,∴k =1. 4、[答案] B[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ m +9>025-m >0m +9>25-m ,解得8<m <25.5、[答案] C [解析] 椭圆方程mx 2+ny 2+mn =0可化为x 2-n +y 2-m =1, ∵m <n <0,∴-m >-n ,椭圆的焦点在y 轴上,排除B 、D ,又n >m ,∴m -n 无意义,排除A ,故选C.6、[答案] D[解析] |AB |=8,|AC |+|BC |=10>|AB |,故点C 轨迹为椭圆且两焦点为A 、B ,又因为C 点的纵坐标不能为零,所以选D.7、[答案] D [解析] S △PF 1F 2=12×|F 1F 2|·|y P |=12×2×|y P |=1, ∴|y P |=1,y P =±1,代入椭圆方程得,x P =±152. 8、[答案] A [解析] 设椭圆方程为:Ax 2+By 2=1(A >0,B >0)由题意得⎩⎨⎧ 925A +16B =11625A +9B =1,解得⎩⎪⎨⎪⎧A =1B =125. 9、[答案] B [解析] S △ABF =S △AOF +S △BOF =12|OF |·|y A -y B |, 当A 、B 为短轴两个端点时,|y A -y B |最大,最大值为2b .∴△ABF 面积的最大值为bc .10、[答案] x 24+y 23=1 [解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a +c =3a -c =1,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =2c =1,三 故b 2=a 2-c 2=3,所以椭圆方程为x 24+y 23=1. 11、[答案] x 215+y 210=1 [解析] 因为焦点坐标为(±5,0),设方程为x 2a 2+y 2a 2-5=1,将(-3,2)代入方程可得9a 2+4a2-5=1,解得a 2=15,故方程为x 215+y 210=1.12、[解析] 设|PF 1|=m ,|PF 2|=n . 根据椭圆定义有m +n =20,又c =100-64=6,∴在△F 1PF 2中, 由余弦定理得m 2+n 2-2mn cos π3=122,∴m 2+n 2-mn =144,∴(m +n )2-3mn =144, ∴mn =2563,∴S △F 1PF 2=12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2=12×2563×32=6433.13、[解析] 由9x 2+5y 2=45,得y 29+x 25=1.其焦点F 1(0,2)、F 2(0,-2).设所求椭圆方程为y 2a 2+x 2b 2=1.又∵点M (2,6)在椭圆上,∴6a 2+4b 2=1①又a 2-b 2=4②解①②得a 2=12,b 2=8.故所求椭圆方程为y 212+x 28=1.。

(完整版)椭圆及其标准方程简单练习题及答案

(完整版)椭圆及其标准方程简单练习题及答案

一、课前练习:1.判断下列各椭圆的焦点位置,并说出焦点坐标、焦距。

(1)14322=+y x (2)1422=+y x (3)1422=+y x 2.求适合下列条件的椭圆标准方程:两个焦点的坐标分别为)0,4(),0,4(-,椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10。

3.方程221||12x y m +=-表示焦点在y 轴的椭圆时,实数m 的取值范围是____________ 二、典例:例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-,()2,0,并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭,求它的标准方程.变式练习1:与椭圆x 2+4y 2=16有相同焦点,且过点()6,5-的椭圆方程是 . 例2 如图,在圆224x y +=上任取一点P ,过点P 作x 轴的垂线段PD ,D 为垂足.当点P 在圆上运动时,线段PD 的中点M 的轨迹是什么?例3如图,设A ,B 的坐标分别为()5,0-,()5,0.直线AM ,BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为49-,求点M 的轨迹方程.变式练习2:已知定圆x 2+y 2-6x -55=0,动圆M 和已知圆内切且过点P (-3,0),求圆心M 的轨迹及其方程.三、巩固练习:1.平面内有两定点A 、B 及动点P ,设命题甲是:“|PA|+|PB|是定值”,命题乙是:“点P 的轨迹是以A .B 为焦点的椭圆”,那么( B ) A .甲是乙成立的充分不必要条件B .甲是乙成立的必要不充分条件C .甲是乙成立的充要条件D .甲是乙成立的非充分非必要条件2.椭圆2255x ky -=的一个焦点是(0,2),那么k 等于( A )A. 1-B. 1C. 5D. 53.椭圆191622=+y x 的焦距是 ,焦点坐标为 ;若CD 为过左焦点1F 的弦,则CD F 2∆的周长为4.若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围为( D )A .(0,+∞)B .(0,2)C .(1,+∞)D .(0,1)。

2020高中数学 7 椭圆及其标准方程(含解析)2-1

2020高中数学 7 椭圆及其标准方程(含解析)2-1

课时分层作业(七)椭圆及其标准方程(建议用时:60分钟)[基础达标练]一、选择题1.椭圆错误!+错误!=1的焦点坐标为( )A.(5,0),(-5,0)B.(0,5),(0,-5)C.(0,12),(0,-12) D.(12,0),(-12,0)C[c2=169-25=144.c=12,故选C.]2.已知椭圆过点P错误!和点Q错误!,则此椭圆的标准方程是() A.x2+错误!=1 B。

错误!+y2=1或x2+错误!=1C。

错误!+y2=1 D.以上都不对A[设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n〉0,m≠n),则错误!∴错误!∴椭圆的方程为x2+错误!=1.]3.设F1,F2是椭圆错误!+错误!=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△F1PF2的面积等于()A.5 B.4C.3 D.1B[由椭圆方程,得a=3,b=2,c=5,∴|PF1|+|PF2|=2a =6,又|PF1|∶|PF2|=2∶1,∴|PF1|=4,|PF2|=2,由22+42=(2错误!)2,可知△F1PF2是直角三角形,故△F1PF2的面积为错误!|PF1|·|PF2|=错误!×4×2=4,故选B。

]4.已知椭圆错误!+错误!=1(a〉b〉0),M为椭圆上一动点,F1为椭圆的左焦点,则线段MF1的中点P的轨迹是()A.圆B.椭圆C.线段D.直线B[|PF1|+|PO|=错误!|MF1|+错误!|MF2|=错误!(|MF1|+|MF2|)=a>|F1O|,因此点P的轨迹是椭圆.]5.如果方程错误!+错误!=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是( )A.(3,+∞)B.(-∞,-2)C.(3,+∞)∪(-∞,-2)D.(3,+∞)∪(-6,-2)D[由于椭圆的焦点在x轴上,所以错误!即错误!解得a>3或-6<a<-2,故选D.]二、填空题6.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程为____________.x2+错误!=1 [由题意知错误!解得错误!则b2=a2-c2=3,4故椭圆的标准方程为错误!+错误!=1.]7.已知F1,F2是椭圆C:错误!+错误!=1(a〉b>0)的两个焦点,P 为椭圆C上一点,且错误!⊥错误!.若△PF1F2的面积为9,则b=________.3 [依题意,有错误!可得4c2+36=4a2,即a2-c2=9,故有b=3。

椭圆及其标准方程练习题与详细答案

椭圆及其标准方程练习题与详细答案
椭圆及其标准方程练习题 一、
x2 1.椭圆

y2
1上一点 P 到一个焦点的距离为 5,则 P 到另一个焦点的距离
25 9
为( )
A.5
B.6
C.4
D.10
2.椭圆 x 2 y 2 1 的焦点坐标是( ) 25 169
A.(±5,0) B.(0,±5) C.(0,±12) D.(±12,0)
⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭圆上一点 P 到两焦点的距离
之和等于 10;
⑵两个焦点坐标分别是(0,-2)和(0,2)且过( 3 , 5 )奎奎 奎奎奎 奎奎 22
参考答案: 1.A 2.A 3.A 4.B 5. C 6.D
7. y 2 x 2 1 36 35
8.答案: 2c 2
x2 3.已知椭圆的方程为

y2
1,焦点在 x 轴上,则其焦距为(
A)
8 m2
A.2 8 m2
B.2 2 2 m
C.2 m2 8
D. 2 m 2 2
4.方程
x2 3

y2 sin(2

)
1 表示椭圆,则
的取值范围是(

4
A. 3
8
c=64, b=36
6.已知 F1, F2 是定点,| F1 F2|=8, 动点 M 满足|M F1|+|M F2|=8,则点 M 的轨迹是
(A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段
二、
7. a 6, c 1,焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程是
奎奎 奎奎奎
奎奎
8.椭圆 x 2 y 2 1的焦距是 16 9

《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)

《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)

《椭圆》方程典型例题20例典型例题一例1椭圆的一个顶点为02,A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程.分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置.解:(1)当02,A 为长轴端点时,2a ,1b ,椭圆的标准方程为:11422yx;(2)当02,A 为短轴端点时,2b ,4a,椭圆的标准方程为:116422yx;说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况.典型例题二例2一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率.解:31222cac∴223a c,∴3331e.说明:求椭圆的离心率问题,通常有两种处理方法,一是求a ,求c ,再求比.二是列含a和c 的齐次方程,再化含e 的方程,解方程即可.典型例题三例3 已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线01y x交于A 、B 两点,M 为AB 中点,OM 的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.解:由题意,设椭圆方程为1222yax ,由101222yaxy x ,得021222xa x a ,∴222112a a x x x M,2111ax y MM ,4112ax y k MM OM,∴42a,∴1422yx为所求.说明:(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;(2)直线与曲线的综合问题,经常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题.典型例题四例4椭圆192522y x上不同三点11y x A ,,594,B ,22y x C ,与焦点04,F 的距离成等差数列.(1)求证821x x ;(2)若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ,求直线BT 的斜率k .证明:(1)由椭圆方程知5a ,3b ,4c .由圆锥曲线的统一定义知:ac x caAF 12,∴ 11545x ex a AF .同理2545x CF .∵ BF CFAF2,且59BF,∴ 51854554521x x ,即821x x .(2)因为线段AC 的中点为2421y y ,,所以它的垂直平分线方程为42212121xy y x x y y y.又∵点T 在x 轴上,设其坐标为00,x ,代入上式,得21222124x x y y x 又∵点11y x A ,,22y x B ,都在椭圆上,∴ 212125259x y 222225259x y ∴ 21212221259x x x x y y.将此式代入①,并利用821x x 的结论得25364x ∴ 454059x k BT.典型例题五例5已知椭圆13422y x,1F 、2F 为两焦点,问能否在椭圆上找一点M ,使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项?若存在,则求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.解:假设M 存在,设11y x M ,,由已知条件得2a,3b,∴1c,21e .∵左准线l 的方程是4x,∴14x MN.又由焦半径公式知:111212x ex a MF ,112212x ex a MF .∵212MF MF MN ,∴11212122124x x x .整理得048325121x x .解之得41x 或5121x .①另一方面221x .②则①与②矛盾,所以满足条件的点M 不存在.说明:(1)利用焦半径公式解常可简化解题过程.(2)本例是存在性问题,解决存在性问题,一般用分析法,即假设存在,根据已知条件进行推理和运算.进而根据推理得到的结果,再作判断.(3)本例也可设sin3cos 2,M 存在,推出矛盾结论(读者自己完成).典型例题六例6 已知椭圆1222yx,求过点2121,P且被P 平分的弦所在的直线方程.分析一:已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为k ,利用条件求k .解法一:设所求直线的斜率为k ,则直线方程为2121xk y .代入椭圆方程,并整理得0232122212222kkxk kxk .由韦达定理得22212122kkkx x .∵P 是弦中点,∴121x x .故得21k .所以所求直线方程为0342y x .分析二:设弦两端坐标为11y x ,、22y x ,,列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组,从而求斜率:2121x x y y .解法二:设过2121,P 的直线与椭圆交于11y x A ,、22y x B ,,则由题意得④1.③1②12①12212122222121y y x x y x yx ,,,①-②得0222212221yyxx.⑤将③、④代入⑤得212121x x y y ,即直线的斜率为21.所求直线方程为0342y x .说明:(1)有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行弦的中点轨迹;过定点的弦中点轨迹.(2)解法二是“点差法”,解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代斜率.(3)有关弦及弦中点问题常用的方法是:“韦达定理应用”及“点差法”.有关二次曲线问题也适用.典型例题七例7求适合条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的2倍,且过点62,;(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直,且焦距为6.分析:当方程有两种形式时,应分别求解,如(1)题中由12222by ax 求出1482a ,372b ,在得方程13714822yx 后,不能依此写出另一方程13714822xy .解:(1)设椭圆的标准方程为12222by ax 或12222bx ay .由已知b a2.①又过点62,,因此有1622222ba或1262222ba.②由①、②,得1482a,372b或522a,132b.故所求的方程为13714822yx或1135222xy .(2)设方程为12222by ax .由已知,3c ,3c b ,所以182a.故所求方程为191822yx .说明:根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数”.关键在于焦点的位置是否确定,若不能确定,应设方程12222by ax 或12222bx ay .典型例题八例8椭圆1121622yx的右焦点为F ,过点31,A ,点M 在椭圆上,当MF AM 2为最小值时,求点M 的坐标.分析:本题的关键是求出离心率21e ,把MF 2转化为M 到右准线的距离,从而得最小值.一般地,求MF eAM1均可用此法.解:由已知:4a,2c.所以21e,右准线8xl :.过A 作l AQ ,垂足为Q ,交椭圆于M ,故MF MQ 2.显然MF AM 2的最小值为AQ ,即M 为所求点,因此3My ,且M 在椭圆上.故32M x .所以332,M .说明:本题关键在于未知式MF AM 2中的“2”的处理.事实上,如图,21e,即MF 是M 到右准线的距离的一半,即图中的MQ ,问题转化为求椭圆上一点M ,使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值.典型例题九例9 求椭圆1322yx上的点到直线06yx的距离的最小值.分析:先写出椭圆的参数方程,由点到直线的距离建立三角函数关系式,求出距离的最小值.解:椭圆的参数方程为.sin cos 3yx ,设椭圆上的点的坐标为sincos 3,,则点到直线的距离为263sin226sin cos3d.当13sin时,22最小值d .说明:当直接设点的坐标不易解决问题时,可建立曲线的参数方程.典型例题十例10设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x 轴上,离心率23e,已知点230,P 到这个椭圆上的点的最远距离是7,求这个椭圆的方程,并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标.分析:本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力,在求d 的最大值时,要注意讨论b 的取值范围.此题可以用椭圆的标准方程,也可用椭圆的参数方程,要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题,从而加强等价转换、形数结合的思想,提高逻辑推理能力.解法一:设所求椭圆的直角坐标方程是12222by ax ,其中0b a 待定.由222222221ab ab a ac e 可得2143112eab ,即b a 2.设椭圆上的点y x ,到点P 的距离是d ,则4931232222222yyby a yxd34213493342222byyyb其中b yb.如果21b,则当b y 时,2d (从而d )有最大值.由题设得22237b,由此得21237b,与21b矛盾.因此必有21b 成立,于是当21y 时,2d (从而d )有最大值.由题设得34722b ,可得1b ,2a.∴所求椭圆方程是11422yx.由21y及求得的椭圆方程可得,椭圆上的点213,,点213,到点230,P 的距离是7.解法二:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是sincos b ya x ,其中0b a ,待定,20,为参数.由22222221ab ab aac e可得2143112eab ,即b a 2.设椭圆上的点y x ,到点230,P 的距离为d ,则22222223sin cos23b a yxd49sin3sin34222b b b 3421sin3222bbb 如果121b ,即21b,则当1sin 时,2d (从而d )有最大值.由题设得22237b,由此得21237b ,与21b矛盾,因此必有121b成立.于是当b 21sin 时2d (从而d )有最大值.由题设知34722b,∴1b ,2a.∴所求椭圆的参数方程是sincos 2yx .由21sin,23cos ,可得椭圆上的是213,,213,.典型例题十一例11设x ,R y,x y x 63222,求x yx 222的最大值和最小值.分析:本题的关键是利用形数结合,观察方程x y x 63222与椭圆方程的结构一致.设m xyx222,显然它表示一个圆,由此可以画出图形,考虑椭圆及圆的位置关系求得最值.解:由x y x 63222,得123492322y x可见它表示一个椭圆,其中心在023,点,焦点在x 轴上,且过(0,0)点和(3,0)点.设m x y x 222,则1122m yx 它表示一个圆,其圆心为(-1,0)半径为11mm .在同一坐标系中作出椭圆及圆,如图所示.观察图形可知,当圆过(0,0)点时,半径最小,即11m ,此时0m ;当圆过(3,0)点时,半径最大,即41m ,∴15m .∴x yx222的最小值为0,最大值为15.典型例题十二例12已知椭圆012222baby axC :,A 、B 是其长轴的两个端点.(1)过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P ,求证:不论a 、b 如何变化,120APB .(2)如果椭圆上存在一个点Q ,使120AQB,求C 的离心率e 的取值范围.分析:本题从已知条件出发,两问都应从APB 和AQB 的正切值出发做出估计,因此要从点的坐标、斜率入手.本题的第(2)问中,其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式,只能是椭圆的固有性质:a x,b y,根据120AQB得到32222ayxay ,将22222y ba ax代入,消去x ,用a 、b 、c 表示y ,以便利用b y列出不等式.这里要求思路清楚,计算准确,一气呵成.解:(1)设0,c F ,0,a A ,0,a B .abc P b a ya xb cx 2222222,于是a c a bk AP 2,aca b k BP2.∵APB 是AP 到BP 的角.∴2222242221tan ca ac a ba c ab ac a bAPB∵22ca∴2tan APB 故3tanAPB∴120APB .(2)设y x Q ,,则ax y k QA ,ax y k QB.由于对称性,不妨设0y,于是AQB 是QA 到QB 的角.∴22222221tan ayxay ax y a x yax yAQB∵120AQB ,∴32222ayxay 整理得023222ay ayx∵22222yba ax∴0213222ay yba ∵0y ,∴2232caby∵b y ,∴bcab 2232232c ab,222234cca a ∴04444224a c a c,044324e e ∴232e或22e (舍),∴136e .典型例题十三例13已知椭圆19822y kx 的离心率21e,求k 的值.分析:分两种情况进行讨论.解:当椭圆的焦点在x 轴上时,82ka,92b ,得12k c.由21e,得4k .当椭圆的焦点在y 轴上时,92a ,82kb ,得k c12.由21e,得4191k,即45k .∴满足条件的4k 或45k .说明:本题易出现漏解.排除错误的办法是:因为8k 与9的大小关系不定,所以椭圆的焦点可能在x 轴上,也可能在y 轴上.故必须进行讨论.典型例题十四例14 已知椭圆142222by bx上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(b,求P 到左准线的距离.分析:利用椭圆的两个定义,或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解.解法一:由142222by bx,得b a 2,b c 3,23e.由椭圆定义,b a PF PF 4221,得b b b PF bPF 34421.由椭圆第二定义,e d PF 11,1d 为P 到左准线的距离,∴b ePF d 3211,即P 到左准线的距离为b 32.解法二:∵e d PF 22,2d 为P 到右准线的距离,23ac e,∴b ePF d 33222.又椭圆两准线的距离为b c a 33822.∴P 到左准线的距离为b bb32332338.说明:运用椭圆的第二定义时,要注意焦点和准线的同侧性.否则就会产生误解.椭圆有两个定义,是从不同的角度反映椭圆的特征,解题时要灵活选择,运用自如.一般地,如遇到动点到两个定点的问题,用椭圆第一定义;如果遇到动点到定直线的距离问题,则用椭圆的第二定义.典型例题十五例15 设椭圆.sin 32,cos 4yx (为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3POx,求P 点坐标.分析:利用参数与POx 之间的关系求解.解:设)sin 32,cos 4(P ,由P 与x 轴正向所成角为3,∴cos4sin 323tan,即2tan .而0sin ,0cos,由此得到55cos,552sin ,∴P 点坐标为)5154,554(.典型例题十六例16设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆12222by a x )0(ba 上的一点,P 到左焦点1F 和右焦点2F 的距离分别为1r 和2r ,求证:01ex ar ,02ex ar .分析:本题考查椭圆的两个定义,利用椭圆第二定义,可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离.解:P 点到椭圆的左准线caxl 2:的距离,cax PQ 2,由椭圆第二定义,e PQPF 1,∴01ex a PQe r ,由椭圆第一定义,0122ex ar ar .说明:本题求证的是椭圆的焦半径公式,在解决与椭圆的焦半径(或焦点弦)的有关问题时,有着广泛的应用.请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式.典型例题十七例17已知椭圆15922yx内有一点)1,1(A ,1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点,点P 是椭圆上一点.(1) 求1PF PA 的最大值、最小值及对应的点P 坐标;(2)求223PF PA的最小值及对应的点P 的坐标.分析:本题考查椭圆中的最值问题,通常探求变量的最值有两种方法:一是目标函数当,即代数方法.二是数形结合,即几何方法.本题若按先建立目标函数,再求最值,则不易解决;若抓住椭圆的定义,转化目标,运用数形结合,就能简捷求解.解:(1)如上图,62a ,)0,2(2F ,22AF ,设P 是椭圆上任一点,由6221aPF PF ,22AF PF PA ,∴26222211AF aAF PF PF PF PA,等号仅当22AF PF PA时成立,此时P 、A 、2F 共线.由22AF PF PA ,∴26222211AF aAF PF PF PF PA,等号仅当22AF PF PA时成立,此时P 、A 、2F 共线.建立A 、2F 的直线方程02y x,解方程组4595,0222yxy x 得两交点)2141575,2141579(1P 、)2141575,2141579(2P .综上所述,P 点与1P 重合时,1PF PA取最小值26,P 点与2P 重合时,2PF PA取最大值26.(2)如下图,设P 是椭圆上任一点,作PQ 垂直椭圆右准线,Q 为垂足,由3a,2c ,∴32e.由椭圆第二定义知322ePQPF ,∴223PF PQ,∴PQ PAPF PA223,要使其和最小需有A 、P 、Q 共线,即求A 到右准线距离.右准线方程为29x.∴A 到右准线距离为27.此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1,代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(.说明:求21PF ePA的最小值,就是用第二定义转化后,过A 向相应准线作垂线段.巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段.典型例题十八例18(1)写出椭圆14922yx的参数方程;(2)求椭圆内接矩形的最大面积.分析:本题考查椭圆的参数方程及其应用.为简化运算和减少未知数的个数,常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标,所求问题便化归为三角问题.解:(1)sin2cos 3y x )(R .(2)设椭圆内接矩形面积为S ,由对称性知,矩形的邻边分别平行于x 轴和y 轴,设)sin 2,cos 3(为矩形在第一象限的顶点,)2(,则122sin 12sin 2cos 34S 故椭圆内接矩形的最大面积为12.说明:通过椭圆参数方程,转化为三角函数的最值问题,一般地,与圆锥曲线有关的最值问题,用参数方程形式较简便.典型例题十九例19已知1F ,2F 是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上一点,且6021PF F .(1)求椭圆离心率的取值范围;(2)求证21F PF 的面积与椭圆短轴长有关.分析:不失一般性,可以设椭圆方程为12222by ax (0ba ),),(11y x P (01y ).思路一:根据题设容易想到两条直线的夹角公式,即3160tan 1212PFPF PFPFK K K K ,设),(11y x P ,)0,(1c F ,)0,(2c F ,化简可得03233212121ccy y x .又1221221by ax ,两方程联立消去21x 得0323412212bcy b y c ,由],0(1b y ,可以确定离心率的取值范围;解出1y 可以求出21F PF 的面积,但这一过程很繁.思路二:利用焦半径公式11ex a PF ,12ex a PF ,在21F PF 中运用余弦定理,求1x ,再利用],[1a a x ,可以确定离心率e 的取值范围,将1x 代入椭圆方程中求1y ,便可求出21F PF 的面积.思路三:利用正弦定理、余弦定理,结合a PF PF 221求解.解:(法1)设椭圆方程为12222by ax (0ba),),(11y x P ,)0,(1c F ,)0,(2c F ,0c,则11ex a PF ,12ex a PF .在21F PF 中,由余弦定理得))((24)()(2160cos 1122121ex a ex a cex a ex a ,解得2222134eacx.(1)∵],0(221a x ,∴2222340a eac ,即0422ac.∴21a c e.故椭圆离心率的取范围是)1,21[e .(2)将2222134eacx 代入12222by ax 得24213cby ,即cby 321.∴22213332212121b cbcy F F S FPF .即21F PF 的面积只与椭圆的短轴长有关.(法2)设m PF 1,n PF 2,12F PF ,21F PF ,则120.(1)在21F PF 中,由正弦定理得60sin 2sin sinc n m .∴60sin 2sinsinc n m ∵a n m 2,∴60sin 2sinsin2c a ,∴2cos2sin260sin sinsin 60sin a c e212cos 21.当且仅当时等号成立.故椭圆离心率的取值范围是)1,21[e .(2)在21F PF 中,由余弦定理得:60cos 2)2(222mn n m c mnnm22mnn m 3)(2∵a nm 2,∴mn a c 34422,即22234)(34b c a mn.∴23360sin 2121b mn SF PF .即21F PF 的面积与椭圆短轴长有关.说明:椭圆上的一点P 与两个焦点1F ,2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形,涉及有关焦点三角形问题,通常运用三角形的边角关系定理.解题中通过变形,使之出现21PF PF 的结构,这样就可以应用椭圆的定义,从而可得到有关a ,c 的关系式,使问题找到解决思路.典型例题二十例20椭圆12222by ax )0(ba与x 轴正向交于点A ,若这个椭圆上总存在点P ,使AP OP(O 为坐标原点),求其离心率e 的取值范围.分析:∵O 、A 为定点,P 为动点,可以P 点坐标作为参数,把AP OP ,转化为P 点坐标的一个等量关系,再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式,转化为关于e 的不等式.为减少参数,易考虑运用椭圆参数方程.解:设椭圆的参数方程是sincos b ya x )0(ba,则椭圆上的点)sin ,cos (b a P ,)0,(a A ,∵AP OP,∴1cossin cossin aa b a b ,即0coscos)(22222ba b a,解得1cos或222cosb ab ,∵1cos1∴1cos (舍去),11222bab,又222cab∴2022ca ,∴22e,又10e ,∴122e .说明:若已知椭圆离心率范围)1,22(,求证在椭圆上总存在点P 使AP OP.如何证明?。

椭圆的定义与标准方程 基础练习(含答案)

椭圆的定义与标准方程  基础练习(含答案)

椭圆的定义与标准方程一.选择题(共19小题)1.若F1(3,0),F2(﹣3,0),点P到F1,F2距离之和为10,则P点的轨迹方程是()A.B.C.D.或2.一动圆与圆x2+y2+6x+5=0及圆x2+y2﹣6x﹣91=0都内切,则动圆圆心的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆3.椭圆上一点P到一个焦点的距离为5,则P 到另一个焦点的距离为()A.4B.5C.6D.104.已知坐标平面上的两点A(﹣1,0)和B(1,0),动点P到A、B两点距离之和为常数2,则动点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.线段5.椭圆上一动点P到两焦点距离之和为()A.10B.8C.6D.不确定6.已知两点F1(﹣1,0)、F2(1,0),且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点P的轨迹方程是()A.B.C.D.7.已知F1、F2是椭圆=1的两焦点,经点F2的直线交椭圆于点A、B,若|AB|=5,则|AF1|+|BF1|等于()A.16B.11C.8D.38.设集合A={1,2,3,4,5},a,b∈A,则方程表示焦点位于y轴上的椭圆()A.5个B.10个C.20个D.25个9.方程=10,化简的结果是()A.B.C.D.10.平面内有一长度为2的线段AB和一动点P,若满足|PA|+|PB|=8,则|PA|的取值范围是()A.[1,4]B.[2,6]C.[3,5]D.[3,6]11.设定点F1(0,﹣3),F2(0,3),满足条件|PF1|+|PF2|=6,则动点P的轨迹是()A.椭圆B.线段C.椭圆或线段或不存在D.不存在12.已知△ABC的周长为20,且顶点B (0,﹣4),C (0,4),则顶点A的轨迹方程是()A.(x≠0)B.(x≠0)C.(x≠0)D.(x≠0)13.已知P是椭圆上的一点,则P到一条准线的距离与P到相应焦点的距离之比为()A.B.C.D.14.平面内有两定点A、B及动点P,设命题甲是:“|PA|+|PB|是定值”,命题乙是:“点P的轨迹是以A.B为焦点的椭圆”,那么()A.甲是乙成立的充分不必要条件B.甲是乙成立的必要不充分条件C.甲是乙成立的充要条件D.甲是乙成立的非充分非必要条件15.如果方程表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是()A.3<m<4B.C.D.16.“mn>0”是“mx2+ny2=mn为椭圆”的()条件.A.必要不充分B.充分不必要C.充要D.既不充分又不必要17.已知动点P(x、y)满足10=|3x+4y+2|,则动点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.无法确定18.已知A(﹣1,0),B(1,0),若点C(x,y)满足=()A.6B.4C.2D.与x,y取值有关19.在椭圆中,F1,F2分别是其左右焦点,若|PF1|=2|PF2|,则该椭圆离心率的取值范围是()A.B.C.D.二.填空题(共7小题)20.方程+=1表示椭圆,则k的取值范围是_________ .21.已知A(﹣1,0),B(1,0),点C(x,y)满足:,则|AC|+|BC|= _________ .22.设P是椭圆上的点.若F1、F2是椭圆的两个焦点,则PF1+PF2= _________ .23.若k∈Z,则椭圆的离心率是_________ .24.P为椭圆=1上一点,M、N分别是圆(x+3)2+y2=4和(x﹣3)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的取值范围是_________ .25.在椭圆+=1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P的横坐标是_________ .26.已知⊙Q:(x﹣1)2+y2=16,动⊙M过定点P(﹣1,0)且与⊙Q相切,则M点的轨迹方程是:_________ .三.解答题(共4小题)27.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足,且当x>1时f(x)<0.(1)求f(1)的值(2)判断f(x)的单调性(3)若f(3)=﹣1,解不等式f(|x|)<228.已知对任意x.y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)﹣t(t为常数)并且当x>0时,f(x)<t(1)求证:f(x)是R上的减函数;(2)若f(4)=﹣t﹣4,解关于m的不等式f(m2﹣m)+2>0.29.已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x、x′∈R均有f(x+x′)=f(x)+f(x′),且对任意x>0,都有f(x)<0,f(3)=﹣3.(1)试证明:函数y=f(x)是R上的单调减函数;(2)试证明:函数y=f(x)是奇函数;(3)试求函数y=f(x)在[m,n](m、n∈Z,且mn<0)上的值域.30.已知函数是奇函数.(1)求a的值;(2)求证f(x)是R上的增函数;(3)求证xf(x)≥0恒成立.参考答案与试题解析一.选择题(共19小题)1.若F1(3,0),F2(﹣3,0),点P到F1,F2距离之和为10,则P点的轨迹方程是()A.B.C.D.或考点:椭圆的定义。

椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)

椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)

椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)典型例题一已知椭圆的一个顶点为A(2.0),其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程。

分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置。

解:(1)当A(2.0)为长轴端点时,a=2,b=1,椭圆的标准方程为:x^2/4+y^2/1=1;(2)当A(2.0)为短轴端点时,b=2,a=4,椭圆的标准方程为:x^2/16+y^2/4=1.说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况。

典型例题二一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率。

解:设椭圆长轴长为2a,焦点到准线的距离为c,则2c/3=a,即c=3a/2.由椭圆定义可得c^2=a^2-b^2,代入c=3a/2中得到9a^2/4=a^2-b^2,化简得b^2=3a^2/4.再由离心率的定义e=c/a得到e=√(1-b^2/a^2)=√(1-3/4)=√(1/4)=1/2.说明:求椭圆的离心率问题,通常有两种处理方法,一是求a,求c,再求比。

二是列含a和c的齐次方程,再化含e的方程,解方程即可。

典型例题三已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆与直线x+y-1=0交于A、B两点,M为AB中点,OM的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程。

解:由题意,设椭圆方程为x^2/4+y^2/a^2=1,直线方程为y=1-x。

将直线方程代入椭圆方程得到x^2/4+(1-x)^2/a^2=1,化简得到(4+a^2)x^2-8ax+(4-a^2)=0.设AB的中点为M(x1.y1),则M的坐标为[(x1+x2)/2.(y1+y2)/2],其中x2为方程(4+a^2)x^2-8ax+(4-a^2)=0的另一个解。

由OM的斜率为0.25可得到y1=0.25x1.又因为M在直线x+y-1=0上,所以有y1=1-x1.解以上两个方程可得到M的坐标为(4/5.1/5)。

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创作编号:
GB8878185555334563BT9125XW
创作者: 凤呜大王*
椭圆及其标准方程练习题
一、
1.椭圆
19
252
2=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5,则P 到另一个焦点的距离为( ) A.5
B.6
C.4
D.10
2.椭圆
1169
252
2=+y x 的焦点坐标是( ) A.(±5,0) B.(0,±5) C.(0,±12) D.(±12,0)
3.已知椭圆的方程为
1822
2=+m
y x ,焦点在x 轴上,则其焦距为( A ) A.228m - B.2m -22 C.28
2-m D.222-m
4.方程1)
4
2sin(3
2
2
=+

αy x 表示椭圆,则α的取值范围是( ) A.838παπ

≤-
B.k k k (838ππαππ+<<-∈Z)
C.
838παπ<<- D. k k k (83282π
παππ+<<-∈Z)
5.在方程
22110064
x y +=中,下列a , b , c 全部正确的一项是 (A )a =100, b =64, c =36 (B )a =10, b =6, c =8 (C )a =10, b =8, c =6 (D )a =100, c =64, b =36
6.已知F 1, F 2是定点,| F 1 F 2|=8, 动点M 满足|M F 1|+|M F 2|=8,则点M 的轨迹是
(A )椭圆 (B )直线 (C )圆 (D )线段
二、
7.1,6==c a ,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是
8.椭圆19
162
2=+y x 的焦距是 ,焦点坐标为 ;若CD 为过左焦点1F 的弦,则CD F 2∆的周长为
9.椭圆以坐标轴为对称轴,长、短半轴之和为10,焦距为45,则椭圆方程为 .
10.P 点在椭圆452x +20
2
y =1上,F 1,F 2是椭圆的焦点,若PF 1⊥PF 2,则P 点的坐标
是 .
三、
11.椭圆22a x +22
b
y =1(a >b >0)的两个焦点及其与坐标轴的一个交点正好是一个
等边三角形的三个顶点,且椭圆上的点到焦点距离的最小值为3,求椭圆的方程.
12.已知椭圆92x +4
2
y =1上的点P 到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距
离的等差中项,求P 点坐标.
13.写出适合下列条件的椭圆的标准方程:
⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭圆上一点P 到两焦点的距离 之和等于10;
⑵两个焦点坐标分别是(0,-2)和(0,2)且过(23-,2
5

参考答案:
1.A 2.A 3.A 4.B 5. C 6.D
7.
135
362
2=+x y 8.答案:164);0,7(),0,7(;72221=-=a F F c
9. 362x +162
y =1或362y +16
2x =1
10.(3,4),(3,-4),(-3,4),(-3,-4)
11. 122x +9
2y =1 12.(0,2)或(0,-2)
13.解:(1)因为椭圆的焦点在x 轴上,所以设它的标准方程为
122
22=+b
y a x )0(>>b a
9
454
,58
2,10222222=-=-=∴==∴==c a b c a c a
所以所求椭圆标准方程为
9
252
2=+y x ⑵ 因为椭圆的焦点在y 轴上,所以设它的标准方程为
创作编号:
GB8878185555334563BT9125XW
创作者: 凤呜大王*
122
22=+b x a y )0(>>b a
由椭圆的定义知,
22)225()23(2++-=a +22)22
5
()23(-+-
102
11023+=
102= 10=∴a 又2=c 6410222=-=-=∴c a b
所以所求标准方程为6
102
2=+x y 另法:∵ 42
222-=-=a c a b
∴可设所求方程142
222=-+a x a y ,后将点(23-,2
5
)的坐标代入可求出a ,从而求出椭圆方程
创作编号:
GB8878185555334563BT9125XW
创作者: 凤呜大王*。

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