二次根式的加减(基础)知识讲解
二次根式知识点的相关概念及对应的公式
二次根式知识点的相关概念及对应的公式一、引言二次根式作为数学中的重要概念，它涉及到了数学运算、代数式简化等方面，对于学习数学的人来说是一个基础而又重要的概念。
在学习二次根式的过程中，我们需要了解相关的概念和对应的公式，并且能够灵活运用于实际问题中。
本文将会从深度和广度的角度，全面评估二次根式的相关概念及对应的公式，并给出一个有价值的文章。
二、二次根式的概念1. 二次根式的定义二次根式是形如$\sqrt{a}$（其中$a\geq 0$）的式子，其中$a$称为被开方数。
我们称$\sqrt{a}$为二次根式，通常可以将$\sqrt{a}$理解为一个数，这个数的平方等于$a$。
$\sqrt{4}$就是一个二次根式，它的值为2，因为$2^2=4$。
2. 二次根式的简化在进行数学运算时，我们经常需要对二次根式进行简化。
当被开方数$a$为某个整数的平方时，二次根式$\sqrt{a}$可以进行化简，即$\sqrt{a}=\pm\sqrt{b}$，其中$b$为$a$的正平方根。
$\sqrt{25}=5$。
3. 二次根式的运算二次根式可以进行加减乘除运算，其中需要特别注意的是，二次根式在进行加减运算时，要求根指数相同才能进行运算。
在进行乘法和除法运算时，我们可以利用二次根式的性质进行化简。
三、二次根式的公式1. 二次根式的乘法公式当两个二次根式相乘时，可以利用乘法分配律进行化简，即$(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}) = \sqrt{ab}$。
这个公式在化简乘法运算时非常有用。
2. 二次根式的除法公式当两个二次根式相除时，可以通过有理化的方法，将分母有理化为整数，从而进行化简。
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\cdot\frac{\sqrt{ b}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}$。
3. 二次根式的加法和减法公式二次根式的加法和减法需要根指数相同才能进行运算。
二次根式的加减(基础)知识讲解
3、二次根式的加减--知识讲解（基础）【学习目标】1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.【要点梳理】要点一、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.要点二、二次根式的加减1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 要点诠释：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.（2）二次根式加减运算的步骤：1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；3)合并同类二次根式.要点三、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 要点诠释：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.【典型例题】类型一、同类二次根式1.下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【思路点拨】直接利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案．【答案】B．【解析】A、=3，与不是同类二次根式，故此选项错误；B、=，与，是同类二次根式，故此选项正确；C、=2，与不是同类二次根式，故此选项错误；D、==，与不是同类二次根式，故此选项错误【总结升华】此题主要考查了同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键．举一反三：【变式】如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a、b的值是( )A.a=2，b=1B.a=1，b=2C. a=1，b=-1D. a=1，b=1 【答案】D.根据题意，得解之，得，故选D.类型二、二次根式的加减运算2.计算（1）4﹣+．（2）．【答案与解析】解：(1)原式=4×﹣3+2=2﹣3+2=．（2）原式=2+3﹣2 =3x ． 【总结升华】一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并. 举一反三： 【变式】计算:011(1)()527232π--++-- 【答案】011(1)()527232π--++-- 125332333352332=++--=+--=-类型三、二次根式的混合运算3.计算:(1) (+)×；(2) 22)3223()3223(--+【思路点拨】二次根式的混合运算要注意公式的灵活运用.【答案与解析】(1)(+)×=×+×=+=3226+;(2)=(32233223)(32233223)++-+-+原式=6243246⨯=.【总结升华】二次根式仍然满足整式的运算规律,•所以直接可用整式的运算规律．4、计算： 已知625,625-=+=b a ，则ab =_______,a b +=________.【答案】1；10.【解析】225+26526,5(26)1a b ab ==-∴=-=Q ，10a b +=【总结升华】数学运算包含着很多技巧性的东西，技巧运用得好计算就很简便而且准确.举一反三：【变式】已知x y ==求22x xy y -+的值。
二次根式的加减(基础)知识讲解
二次根式的加减--知识讲解（基础）撰稿：赵炜审稿：杜少波【学习目标】1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.【要点梳理】要点一、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.要点二、二次根式的加减1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.要点诠释：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.（2）二次根式加减运算的步骤：1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；3)合并同类二次根式.要点三、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.要点诠释：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.【典型例题】类型一、同类二次根式1.下列根式中，能够与合并的是( )A. B. C. D.【思路点拨】只有同类二次根式才能合并.【答案】B.【解析】合并，故选B.【总结升华】同类二次根式的判断，关键是能够熟练准确地化二次根式为最简二次根式. 举一反三： 【变式】如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a 、b 的值是( )A.a =2，b =1B.a =1，b =2C. a =1，b =-1D. a =1，b =1【答案】D. 根据题意，得 解之，得，故选D.类型二、二次根式的加减运算2.计算 (1)+ (2) 311932a a a a a+- 【答案与解析】(1)+=2232(222=+=31111(2)9332321117(3)326a a a a a a a a a a ==+-= 【总结升华】一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并.举一反三：【变式】计算:011(1)()527232π--++-【答案】011(1)()527232π--++-- 125332333352332=++--=+--=- 类型三、二次根式的混合运算3.计算:(1) (+)×；【高清课堂：高清ID 号： 388064关联的位置名称（播放点名称）：二次根式的混合运算】(2) 22)3223()3223(--+【思路点拨】二次根式的混合运算要注意公式的灵活运用.【答案与解析】(1)(+)×=×+×=+=3226+; (2)=(32233223)(32233223)++-+-+原式=6243246⨯=.【总结升华】二次根式仍然满足整式的运算规律,•所以直接可用整式的运算规律．【高清课堂：高清ID 号： 388064关联的位置名称（播放点名称）：巩固练习4-5】4、计算： 已知625,625-=+=b a ，则ab =_______,a b +=________.【答案】1；10.【解析】225+26526,5(26)1a b ab ==-=-=Q ，10a b +=【总结升华】数学运算包含着很多技巧性的东西，技巧运用得好计算就很简便而且准确.举一反三：【变式】已知32,32,x y ==求22x xy y -+的值。
二次根式的运算知识点总结
二次根式的运算知识点总结二次根式是指具有形如√a的表达式，其中a是非负实数。
在数学中，二次根式的运算是一个重要的知识点，掌握了这个知识点，我们可以更好地理解和利用二次根式。
下面将总结二次根式运算的基本规则和常见的运算方法。
一、二次根式的基本规则1. 二次根式的化简：当被开方数存在平方因子时，可以进行化简。
例如√4×3 = √(4×3) = 2√3。
2. 二次根式的乘法运算：对于两个二次根式的乘法运算，可以将两个二次根式的根号内的数相乘，根号外的数相乘，并进行化简。
例如：√2 × √3 = √(2 × 3) = √6。
3. 二次根式的除法运算：对于两个二次根式的除法运算，可以将两个二次根式的根号内的数相除，根号外的数相除，并进行化简。
例如：√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √3。
4. 二次根式的加减运算：对于两个二次根式的加减运算，只能进行同类项相加减，并进行化简。
例如：√2 + √3 无法进行化简，可以写成2√2 + 3√5。
二、二次根式的运算方法1. 二次根式与整数的运算：当二次根式与整数进行运算时，可以将整数视为二次根式的特殊形式。
例如：√2 + 4 = √2 + √(4×4) = √2 + 2√2 = 3√2。
2. 二次根式的有理化：有时候需要将二次根式的分母变为有理数，这个过程称为有理化。
有理化的方法有两种：(1) 乘以共轭根式：对于分母中含有二次根式的情况，可以通过乘以分母的共轭根式来进行有理化。
例如：(3 + √2)/(1 + √2) = [(3 + √2)/(1 + √2)] * [(1 - √2)/(1 - √2)] = (3 - 3√2 + √2 - 2)/(1 - 2)= (1 - 2√2)/(-1)= 2√2 - 1(2) 分离根号：对于分母中含有二次根式的情况，可以通过将二次根式的根号部分与非根号部分分离，并进行化简，从而实现有理化。
二次根式 基础知识详解+基本典型例题解析
【基本典型例题】(2) 类型一、二次根式的乘除
1. 计算：（1）（2014 秋•闵行区校级期中） ×（﹣2 ）÷
．
（2）（2014 春·高安市期中） a 8a 2 a 2 1 2a 2a a
【答案与解析】 解：（1） ×（﹣2 ）÷
举一反三： 【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）.
（1）
1 ；（2） 3
3 ；（3）
x2 1 ；（4）3 8 ；（5）
( 1)2 ；（6） 1 x（ x 1 ） 3
A．2 B.3 C.4 D.5 【答案】B.
2. （2016•贵港）式子
在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）
= ×（﹣2 ）×
=﹣
=﹣
=﹣ ．
(2)原式= a 8a2 a2 1 2a 2a a
2 2a2 a2 2 2a 2a 2a a
2
2a2
2a a2
2a a
4 2.
【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算，注意最终结果要化简.
举一反三：
【变式】 2
a2 b2 6x2
即原式= a b c a c b b c a = a b c
【总结升华】重点考查二次根式的性质：
的同时，复习了
三角形三边的性质.
二、二次根式的乘除基础知识讲解+基本典型例题解析
【学习目标】 1、 掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的 乘除运算. 2、 了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.
．
二次根式的混合运算 (1)
解题方法
本题解题的关键是先利用乘法分配律进行计算，再乘除，后将同类
二次根式进行加减。
乘法分配律： + = + .
加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再
将被开方数相同的二次根式进行合并。
乘除运算法则：乘法法则： × = ≥ 0, ≥ 0
应用练习
3.3 化简：2
−2
−
3−2
2
−
7−1
0
1
+
.
2− 3
应用练习
3.4 化简： 12 +
1 −2
3
− −2
0
+ − 2
2
−
3−3 .
应用练习
3.5 计算：
2012 − 1
0
+
1 −1
−
3
−
2−2 −
1
.
2+1
应用练习
3.6 化简：
3−2
2015
∙
3+2
2016
− − 2
0
+ −
1 −1
①加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再
将被开方数相同的二次根式进行合并。
②乘除运算法则：乘法法则： × = ≥ 0, ≥ 0
除法法则： ÷ =
≥ 0, > 0
知识讲解
三、相关知识点
①二次根式的性质:(1)
②分母有理化： (1)
1
(或先去掉括号).与整式的混合运算顺序相同.
易错点：
例题讲解
2.计算：
初三数学《二次根式加减》说课稿
初三数学《二次根式加减》说课稿本次课程是初三数学中的二次根式加减，本节课程主要针对二次根式进行深入讲解和练习，加强学生对此重点内容的掌握。
一、引入我们先来回顾一下二次根式的基本概念：如果x≥0，那么√x就叫做正的二次根式；如果 x<0，那么√x就是虚的二次根式。
不同的二次根式在运算中可能会发生加减运算，本节课程中我们就来深入探讨二次根式的加减。
二、授课重点本节课程的重点就是二次根式的加减，我们将从以下3个方面进行教学。
1.同类项相加减的细节问题。
2.二次根式的有理化。
3.铺垫解析-构造一个二次根式加减的例题。
三、授课内容1.同类项相加减的细节问题同类项的加减其实并不难，就和我们小学时学到的一样，只需要将同类项的系数相加即可。
但是在运算中有时我们会遇到一些细节问题：①二次根式之间无法直接相加、相减，需要先化简为同类项。
如何化简二次根式呢？我们可以通过有理化的方法将二次根式中的分母部分去掉。
②二次根式中含有不同的根式符号。
这时我们就需要将其转化为同类项，规定一个符号作为相减运算的符号，并将不同符号的根式化为同一符号。
这时我们需要将相同的数字进行合并，再进行系数相加的操作。
同类项相加减既然清楚了，我们接下来就来探讨如何实现二次根式的有理化。
2.二次根式的有理化二次根式的有理化，即通过去除根号中分母中的根号，化为分母不含根号的分式。
*基本法则：$\frac{\sqrt a+\sqrt b}{c}=\frac{\sqrt a\times\sqrt c+\sqrtb\times\sqrt c}{c\times\sqrt c}$方法一：有理化分母①如果根号后面的数字是一个整数，只需要将分母乘以这个数字即可。
②如果根号后面的数字不是一个整数，我们就需要将分母化为一个完全平方数，然后再将分母提出这个完全平方数的根号，并乘以有理化后的分母。
①一个二次根式加上一个整数，分子分母同时乘以（分子分母）共轭。
3.铺垫解析-构造一个二次根式加减的例题让我们通过一个二次根式的加减例题来更好地理解前面学过的基础知识。
15.3 二次根式的加减运算课件(共19张PPT)
二次根式的加减法： 二次根式的加减运算，其实就是将被开方数相同的项进行合并.为此，首先应将每个二次根式化为最并.
一化简二找相同的被开方数三合并.
例2 计算下列各式：
二次根式的加减法运算的步骤：(1)将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数中含有带分数，则要先化成假分数；若含有小数，则要化成分数，进而化为最简二次根式；(2)原式中若有括号，要先去括号，再应用加法交换律、结合律将被开方数相同的最简二次根式进行合并．
15.3 二次根式的加减运算
第十五章 二次根式
学习目标
1.掌握二次根式加减法法则.2.熟练进行二次根式的加减混合运算.
学习重难点
掌握二次根式加减法法则.
难点
重点
熟练进行二次根式的加减混合运算.
复习巩固
最简二次根式需要满足的条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
归纳总结：
随堂练习
C
.
6
拓展提升
D
D
归纳小结
1.二次根式的加减运算步骤：一化简二找相同的被开方数三合并.
2.二次根式加减法 首先应将每个二次根式化为最简二次根式，然后将被开方数相同的最简二次根式的项进行合并.
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
新知引入
知识点 二次根式的加减运算
做一做
1.计算下列各式：2.请将你的做法和大家进行交流.
含相同二次根式
合并
就像整式合并同类项那样，被开方数相同的最简二次根式也可以合并.
归纳：
可合并的二次根式的条件：（1）最简二次根式；（2）被开方数相同.
例题解析
例1 计算下列各式：
(完整版)二次根式的加减说课稿
二次根式的加减说课稿今天我说课的内容是义务教育教科书八年级数学下册第十六章《二次根式》第三节《二次根式的加减》第一课时。
下面我将从教材分析、教学方法、学法指导、教学程序等四个方面进行陈述。
一、说教材1、在二次根式性质和乘除运算的基础上,本课进一步学习二次根式的加减运算．二次根式的加减法是把二次根化为最简二次根式后，合并被开方数相同的二次根式就可以了，所以本课内容与整式的加减法类似，在教学中可以让学生体会类比思想的实质,通过具体例子，引导学生探索发现二次根式加减运算的核心是合并被开方数相同的二次根式，基本依据是二次根式的性质和分配律．基于以上分析，可以确定本课的教学重点是应用分配律进行二次根式的加减运算．2,教学目标知识与能力1、了解同类二次根式的概念掌握判断同类二次根式的方法.2、使学生能正确合并同类二次根式进行二次根式的加减运算过程与方法正确掌握合并同类二次根式的方法情感、态度与价值观在探究合并同类二次根式的方法过程中发展合作意识和合情推理能力.教学准备制作课件提高学生的学习兴趣教学重点：二次根式加减法则及其应用。
教学难点：法则的探索与理解。
二、教法与学法由于初二学生的数学思维特征有具体逻辑思维逐步过渡到抽象逻辑思维但仍有很大程度的经验性而二次根式需要有一定的抽象思维能力。
因此本节课运用引导探究法在教师引导下学生进行自主探究的教学方法.三、教学构思本节课是在二次根式的化简的基础上的进一步学习重点是探索二次根式的加减运算法则。
在设计本课时教案时先复习二次根式的化简并由此引出同类二次根式的定义注意引导学生对同类二次根式和同类项、二次根式的加减的合并同类项进行比较学习。
在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中逐步渗透类比、概括等数学思想提高学生用数学方法 16 解决实际问题的能力。
在学习过程中采用小组学习方式组间竞争按各组表现评出最优小组激发学生学习积极性和兴趣。
四、说教学过程教师准备：制作课件、精选习题、学生分成十组教学过程（一）温故知新1、什么最简二次根式2、化简下列各数（1) (2） (3)学生活动以小组为单位抢答。
二次根式的知识点的总结
二次根式的知识点的总结二次根式是高中数学中重要的一个内容，也是学习代数的基础。
在学习二次根式时，需要了解其定义、性质、运算法则等知识点。
下面是对二次根式知识的总结：一、二次根式的定义和性质：1. 定义：对于非负实数a，b，如果存在非负实数x使得$x^2=a$，则称x为a的平方根，记作$x=\sqrt{a}$。
简记作$\sqrt{a}$，a称为二次根式的被开方数。
2.性质：（1）非负实数的平方根是唯一的。
即对于非负实数a，其平方根也是非负实数且唯一（2）非负实数a的平方根如果记作±$\sqrt{a}$，则规定非负实数a的平方根仅指称为非负实数$\sqrt{a}$。
（3）非负实数a的平方根的平方等于a。
即$(\sqrt{a})^2=a$。
（4）非负实数的平方根存在且非负。
即对于非负实数a，总是存在非负实数x使得$x^2=a$，且x唯一（5）相等的二次根式具有相等的平方根。
即如果$\sqrt{a}=\sqrt{b}$，则有a=b。
（6）平方根的运算：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$、$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$。
二、二次根式的化简：1. 因式分解法：将二次根式的被开方数进行因式分解，然后利用性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$和$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$对二次根式进行简化，最后利用性质$\sqrt{a^2}=，a，$化简。
2. 合并同类项法：对于同根号的二次根式，可以合并同类项进行简化。
如$\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2}=\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{3}=2\sqrt{2}+\sqrt{3}$。
3.有理化法：对于含有分母的二次根式，可以通过有理化的方法将其化简为一个无理数。
三、二次根式的比大小：1. 利用性质$\sqrt{a^2}=，a，$，我们可以对二次根式的大小进行比较。
二次根式加减运算法则公式
二次根式加减运算法则公式1. 什么是二次根式？二次根式是指某个数的平方根，其中这个数可以是整数、分数或者解析式的形式。
例如√16、√(4/9)、√(x+1) 都是二次根式。
2. 二次根式加减法则对于二次根式的加减运算，需要遵循一定的法则，以下是二次根式加减法则：1. 对于同类项的二次根式，即根号里面的数相同的根式，可以直接合并，例如√2+√2=2√2。
2. 对于不同类项的二次根式，则不能直接合并，需要进行化简，即将其转化为同类项的形式后再合并。
3. 化简的方法一般有提公因式、有理化分母等，但需要保证等式两边的值相等。
3. 实例分析为了更好地了解二次根式加减法则，下面举几个例子进行分析：1. 化简√10+2√5-√80将√10 和√5 提取公因式得到√10+2√5-√80=√2(5+10-40)=√2(-25)=-5√2。
因此，√10+2√5-√80=-5√2。
2. 化简√(2/5)+√(3/20)先将分母提出来，即√(2/5)+√(3/20)=√(2)/√(5)+√(3)/√(20)。
然后将分母有理化，即分别用√(5) 和√(20) 乘以相应分子分母。
化简后的结果是：√(2)/√(5)+√(3)/√(20)=√(40)/5+√(15)/10。
3. 化简√3-√7+√12将√3和√12提取公因式，得到√3-√7+√12=√3+2√3-√7-2√3+√12=(√3+2√3+√12)-(2√3+√7)因此，√3-√7+√12=3√3-√7-2√3+√12=√3-√7+√12。
4. 总结二次根式是基础数学中的重要概念，对于二次根式的加减运算，也有一定的规则和方法。
只有掌握了二次根式的加减法则，才能更好地处理涉及到二次根式的问题。
八年级数学二次根式知识点
八年级数学二次根式知识点在八年级数学中，二次根式是比较基础的一个知识点，也是初学者需要特别掌握的内容之一。
本文将详细介绍二次根式的定义、性质、运算方法和解题技巧，希望能够帮助大家更好地掌握这个知识点。
1. 二次根式的定义二次根式是指如下形式的算式：$\sqrt{a}$其中，a是一个非负实数，$\sqrt{a}$表示a的平方根。
例如，$\sqrt{4}$等于2，$\sqrt{9}$等于3。
2. 二次根式的性质（1）二次根式的值不超过其被开方数的值。
即，对于任意非负实数a和b，当a≥b时，有$\sqrt{a}≥\sqrt{b}$。
这是因为，平方根函数$\sqrt{x}$在x≥0的范围内是单调递增的。
（2）二次根式的值域为非负实数。
即，对于任意非负实数a，有$\sqrt{a}≥0$。
这是因为，平方根函数$\sqrt{x}$在x≥0的范围内是非负的。
（3）二次根式可以转化为分数形式。
即，对于任意非负实数a和正整数b，有$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$。
这是因为，分子、分母分别乘以$\sqrt{b}$，可以得到等式右边的形式。
3. 二次根式的运算方法（1）二次根式的加减法对于相同根式$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$，有：$\sqrt{a}±\sqrt{b}=\sqrt{a±b}$例如，$\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。
（2）二次根式的乘法对于非负实数a和b，有：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$例如，$\sqrt{2}·\sqrt{8}=\sqrt{16}=4$。
（3）二次根式的除法对于非负实数a和b（b≠0），有：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$例如，$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt{4}=2$。
二次根式的加减
2
（3）10 2 + (3 8 − 7 2) =9_______；
4 3−6 2
（4）5 12 − 3 8 + 2 27 = __________.
随堂训练
8.若最简根式
2+1
3 − 2 与 3 可以合并，求 的值.
2 + 1 = 2,
解：积为（2+3） 2=5 2（2 ）.
2 2+3 2= （2+3） 2
也可由分配律得出：
2 2+3 2= （2+3） 2= 5 2.
新课导入
议一议
问题2：如果两个正方形的面积分别是18和8，那么大正
方形的边长比小正方形的边长大多少？
此问题需要计算 18 − 8，但由于 18， 8不是最简二次根式，先把它们
上面提到的3 2与2 2， 18与 8都是同类二次根式.
同类二次根式可以像同类项那样进行合并.
知识讲解
思考： 观察新课导入两个问题的计算过程，你能总结出二次根式
加减计算的过程吗？
二次根式的加减
一般地，二次根式相加减，先把各个二次根式分别化成最简二次根
式，然后再将同类二次根式分别合并.有括号时，要先去括号.
1
1
＝ 48 − 4
−3
+ 4 0.5
8
3
＝2 11 − 3 11 − 11 2
2
3
2
＝4 3 − 4 ×
−3×
+4×
4
3
2
＝ − 11 − 11 2.
＝4 3 − 2 − 3 + 2 2
＝3 3 + 2.
随堂训练
初中数学二次根式知识点总结
初中数学二次根式知识点总结一、二次根式的定义和性质1.二次根式：形如√a（其中a≥0）的数叫做二次根式，其中a叫做被开方数。
2.平方数：一些数的平方的结果叫做平方数，如1、4、9等。
平方数的平方根是有理数。
3.二次根式化简：将二次根式中含有相同因式的项合并，并将二次根式的指数化简为最简整数。
4.二次根式的乘除法：二次根式的乘除法可以通过对被开方数和指数进行运算和化简来进行。
二、二次根式的运算1.二次根式的加减法：a)加法：将两个二次根式的被开方数相加，并将其指数化简。
b)减法：将两个二次根式的被开方数相减，并将其指数化简。
2.二次根式的乘法：a)二次根式的乘法使用分配律，将被开方数和指数分别相乘，并将结果进行化简。
b)若二次根式与实数相乘，则可将实数与二次根式的被开方数相乘，并将指数进行化简。
3.二次根式的除法：a)二次根式的除法可以通过将分子和分母的被开方数相除，并将指数进行化简来进行。
b)若二次根式除以实数，可以将实数除以二次根式的被开方数，并将指数进行化简。
三、二次根式的化简1.二次根式化简的基本方法：a)将被开方数分解成素数的乘积。
b)将二次根式的指数约分为最简整数。
c)将二次根式的含有相同因式的项合并。
2.平方根的化简：a)平方根下的分数：将分子和分母分别进行开方，然后化简。
b)分数的平方根：将分子和分母分别进行开方，然后化简。
c)同解式的平方根：可以适用平方根的基本性质将二次根式进行化简。
四、二次根式的应用1.几何意义：二次根式可以表示一些图形的边长或斜边的长度。
a)两点间的距离：利用两点间的距离公式可以将二次根式化简为实数。
b)直角三角形的斜边：利用勾股定理可以将二次根式化简为实数。
2.分数的运算：在分数运算中，往往会出现二次根式，需要将二次根式进行化简并进行运算。
3.实际问题的应用：解决实际问题时，需利用已知条件建立方程，通过方程的求解，将二次根式进行化简。
综上所述，初中数学二次根式是重要的基础知识点，掌握二次根式的运算和化简方法，了解二次根式的几何意义和实际应用，在解决问题中能熟练运用二次根式的相关知识，将有助于提高数学解题能力。
初中数学二次根式基础知识点
初中数学二次根式基础知识点
初中数学二次根式的基础知识点包括以下内容：
1. 二次根式的定义：二次根式是指形如√a（a≥0）的数，其中a被称为根式的被开方数。
2. 二次根式的化简：化简二次根式的方法为把根号内的被开方数分解成互素的因子，然后把每个因子的二次根式提取出来。
3. 二次根式的运算：二次根式之间可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
运算法则如下：
- 加减法：只有当二次根式内的被开方数完全相同时，才可以进行加减法运算。
- 乘法：将二次根式的因子分别相乘，然后化简。
- 除法：将二次根式的被除数与除数进行有理化，即将分母有理化为整数，然后进行除法运算。
4. 二次根式的合并：合并二次根式是把其中相同根号内的被开方数合并在一起。
- 合并加减法：只有相同根号内的被开方数相同，才能进行合并加减法运算。
- 合并乘法：将二次根式的因子合并后再进行乘法运算。
5. 二次根式的定义域：二次根式的定义域是指使得根式有意义的实数集合。
对于二次根式来说，被开方数必须为非负实数，即定义域是非负实数集合[0,+∞)。
6. 二次根式的性质：二次根式具有以下性质：
- 非负性：二次根式的值大于等于0。
- 单调性：二次根式的值随着被开方数的增大而增大。
- 零点：当被开方数为0时，二次根式的值为0。
- 消去：二次根式的分子分母同时乘以相同的数，二次根式的值不变。
以上是初中数学二次根式的基础知识点，掌握了这些知识，可以进行二次根式的化简、运算和合并等操作。
二次根式基本运算(根式加减)分母有理化讲义
二次根式基本运算、分母有理化中考要求内容基本要求略高要求较高要求二次根式的理解二次根式的加、减、乘、除运算法则会进行二次根式的化简，会进行二次根化简和运算式的混合运算（不要求分母有理化）例题精讲板块一二次根式的乘除最简二次根式：二次根式 a （ a 0 ）中的 a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式：⑴ 被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）⑵ 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式⑶ 分母中不含二次根式二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．二次根式的乘法法则： a bab （ a 0 ， b 0 ）二次根式的除法法则： a a（ a 0 ，b 0 ）b b利用这两个法则时注意a 、 b 的取值范围，对于aba b ， a 、 b 都非负，否则不成立，如 (7)(5)(7) ( 5)一、二次根式的加减1.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．合并同类二次根式： a x b x (a b) x ．同类二次根式才可加减合并．【例 1】若最简二次根式3a 5 与 a 3 是可以合并的二次根式，则 a ____ 。
【例 2】下列二次根式中，与 a 是可以合并的是（）A ．2a B．3a 2C．a3D． a 4【巩固】判断下列各组二次根式是不是同类二次根式：⑴2x3 y和 2x3 yz ⑵2b和aa 2b⑶27 x和 3xy ⑷ 4 a3 b2 和 a2 b34 y85 5【例 3】下列二次根式中，哪些是同类二次根式？（字母均为正数）127 ；48 ；20；1125；1y； y x ．5 2 x x y【例 4】若最简二次根式 a b 2a b与 a 2b 是同类根式，求a2b的值．【巩固】若 a ，b 为非负数， a b 4b 与3a b 是可以合并的二次根式，则 a ，b 的值是（）A ． a 0 ，b 2 B． a 1，b 1 C． a 0，b 2 或 a 1，b 1 D． a 2 ，b 0【例 5】已知最简根式 a2a b与a b 7 是同类二次根式，则满足条件的a ,b 的值（）A ．不存在B．有一组C．有二组D．多于二组【巩固】若a b4与最简二次根式3a b 为同类二次根式，其中a，b为整数，则a ______，b________；b【例 6】方程x y 1998 的整数解有组 .【巩固】在 1 ， 2 ， 3 ，⋯，1999 这 1999 个式子中，与2000 是同类二次根式的共有多少个？2.二次根式的加减【例 7】化简：a26a 9a210a 25【例 8】计算：48 1 2 17527 81 1【巩固】 (3 0.5 4 1.5)( 0.24 4 )2 2【例 9】3x y y x x3 yxy3x y【例 10】计算： 5 2 8 7 18【巩固】计算：1 1 2 12315348 3 3【巩固】计算：2 1 240.5 2 63 8【例 11】计算：8 2 0.251150 2 728 31 1【巩固】(27) (12 45)3 5【例 12】先化简后求值。
二次根式的加减说课稿5篇
二次根式的加减说课稿5篇二次根式的加减说课稿5篇教学教案是教师教学的重要工具，它能够帮助教师有条不紊地组织和实施教学活动，提高教学效果。
下面是小编为大家整理的二次根式的加减说课稿，如果大家喜欢可以分享给身边的朋友。
二次根式的加减说课稿精选篇1一、素质教育目标（一）知识教学点1．使学生了解最简二次根式的概念和同类二次根式的概念．2．能判断二次根式中的同类二次根式．3．会用同类二次根式进行二次根式的加减．（二）能力训练点通过本节的学习，培养学生的思维能力并提高学生的运算能力．（三）德育渗透点从简单的同类二次根式的合并，层层深入，从解题的过程中，让学生体会转化的思维，渗透辩证唯物主义思想．（四）美育渗透点通过二次根式的加减，渗透二次根式化简合并后的形式简单美．二、学法引导1．教师教法引导法、比较法、剖析法，在比较和剖析中，不断纠正错误，从而树立牢固的计算方法．2．学生学法通过不断的练习，从中体会、比较、二次根式加减法中，正确的方法使用，并注重小结出二次根式加减法的法则．三、重点·难点·疑点及解决办法1．教学重点二次根式的加减法运算．2．教学难点二次根式的化简．3．疑点及解决办法二次根式的加减法的关键在于二次根式的化简，在适当复习二次根的化简后进行一步引入几个整式加减法的，以引起学生的求知欲与兴趣，从而最后引入同类二次根式的加减法，可进行阶梯式教学，由浅到深、由简单到复杂的教学方法，以利于学生的理解、掌握和运用，通过具体例题的计算，可由教师引导，由学生总结出计算的步骤和注意的问题，还可以通过反例，让学生去伪存真，这种比较法的教学可使学生对概念的理解、法则的运用更加准确和熟练，并能提高学生的学习兴趣，以达到更好的学习效果．四、课时安排2课时五、教具学具准备投影片六、师生互动活动设计1．复习最简二根式整式及的加减运算，引入二次根式的加减运算，尽量让学生回答问题．2．教师通过例题的示范让学生了解什么是二次根式的加减法，并引入同类的二次根式的定义．3．再通过较复杂的二次根式的加减法计算，引导学生小结归纳出二次根式的加减法的法则．4．通过学生的反复训练，发现问题及时纠正，并引导学生从解题过程中体会理解二次根式加减法的实质及解决的方法．七、教学步骤（一）明确目标学习二次根式化简的目的是为了能将一些最终能化为同类二次根式项相合并，从而达到化繁为简的目的，本节课就是研究二次根式的加减法．（二）整体感知同类二次根式的概念应分二层含义去理解（1）化简后（2）被开方数还相同．通过正确理解二次根式加减法的法则来准确地实施二次根式加减法的运算，应特别注意合并同类二次根式时仅将它们的系数相加减，根式一定要保持不变，并可对比整式的加减法则以增加对合并同类二次根式的理解，增强综合运算的能力．二次根式的加减说课稿精选篇2教材分析:本节内容出自九年级数学上册第二十一章第三节的第一课时，本节在研究最简二次根式和二次根式的乘除的基础上，来学习二次根式的加减运算法则和进一步完善二次根式的化简。
(完整版)二次根式的加减法
二次根式的加减法一、知识概述1、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．同类二次根式与整式中的同类项类似．2、二次根式的加减法法则二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．注意：(1)二次根式的加减常分为两大步骤进行，第一步化简；第二步合并；(2)在合并前应注意要先判断清楚它们中哪些二次根式的被开方数是相同的；在合并时类似于以前学过的合并同类项，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变．3、二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．注意：(1)在运算过程中，每一个根式可以看作是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和可以看作“多项式”；(2)有理数(或整式)中的运算律、运算法则及所有的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式的运算结果必须是最简二次根式．二、重难点知识1、二次根式的加减法运算实质上是合并同类二次根式，在进行二次根式的加减法时，注意先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类项合并，合并同类二次根式的方法与合并同类项类似．2、二次根式的混合运算中可以与有理数的混合运算及整式的混合运算及分式的运算作比较，使二次根式的混合运算易于理解和掌握，并能合理应用运算律及技巧进行计算．二次根式的除法运算转化为分母有理化的问题，同时可避免错误地使用运算律．三、典型例题讲解例1、计算：．分析：本组题中各个加数都不是最简二次根式，因此需先进行化简，然后再把被开方数相同的根式进行合并．解：．例2、计算：分析：先根据去括号的法则，去掉括号，再进行二次根式的加减运算．总结：解此类问题分为三个步骤：一是去括号，二是化简，三是合并，但在去括号时应注意符号的处置．例3、计算下列各题：．思路：(1)题可仿照单项式乘以多项式的方法进行计算；(2)、(3)题可仿用多项式乘法法则进行计算；(4)题可套用完全平方公式计算．例4、计算下列各题．解：例5、化简：总结：在计算过程中要注意各个式子的特点，能否约分或消项(第2小题)达到化简的目的，又要善于在规则允许的情况下可交换相邻项的位置，如，结果为－1，继续运算易出现符号上的差错，而把变为，这样则为1，继续运算可避免错误．例6、已知x、y都为正整数，且．求x＋y的值．分析：因为只有化简后被开方数相同的二次根式才能合并，而，易知化简后的被开方数必为222，故可设．由此求出正整数a、b即可求出x、y．解：，于是即a＋b=3∴a=2，b=1或a=1，b=2，故x=222，y=888或x=888，y=222．∴x＋y=1110，总结：几个二次根式化简后被开方数相同，则它们可以合并，本题则是逆用该结论，即几个二次根式能合并成一个二次根式，则它们化简后的被开方数必相同．课外拓展：例、已知a、b是实数，且，问a、b之间有怎样的关系？请推导．思路分析：由特殊探求一般，在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化．解：原等式两边分别乘以，得两式相加得，所以．A 卷一、选择题1、下列计算结果正确的是( )A．B．C．D．2、下列计算正确的是( )A．B．C．D．3、下列各式化简结果不正确的是（）A．B．C．D．4、下列计算正确的是（）A．B．C．D．5、计算等于（）A．·1 B．3C．D．6、在数轴上点A表示实数，点B表示，那么离原点较远的点是（）A．A B．BC．A、B的中点D．不能确定B 卷二、填空题7、△ABC的三边长为a、b、c，且a、b满足则△ABC的周长的取值范围是______．8、若成立，则xy的值为______．9、若，则______．10、已知正数a、b，有下列结论：(1)若a=1，b=1，则；(2)若，则；(3)若a=2，b=3，则；(4)若a=1，b=5，则．根据以上几个命题提供的信息，请猜想：若a=6，b=7，则______．三、解答题11、计算或化简下列各题：12、计算：13、已知，求代数式的值．14、计算．[15、先观察下列等式，再回答问题：（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证；（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出n（n为正整数）表示的等式，并加以验证．一．选择题DDCBDB二．填空题7、△ABC的周长大于6且小于10．8、由题意有x=2，y=3，∴x y=8．9、．10、=13．三．解答题11.12.13..14. 解：（1）配方法：本题中的根式不符合型，我们可根据分式的基本性质，分子、分母都乘以2，将原式变形为（2）换元法：设，两边同时平方得，所以x2=10，又因为x＞0，所以，即．15.。
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结二次根式是数学中常见的一种表达式形式，它涉及到根号以及平方的运算。
在学习二次根式的过程中，需要掌握它的性质、化简方法、解题技巧等知识点。
本文将对二次根式的相关知识进行总结和介绍。
一、二次根式的定义和性质1. 定义：二次根式是指具有形如√a（其中a≥0）的表达式。
2. 性质：a) √a * √b = √(a * b)：两个二次根式相乘时，可将根号下的因子相乘并开平方。
b) √(a / b) = √a / √b：两个二次根式相除时，可将根号下的因子相除并开平方。
c) √(a + b)≠√a + √b：两个二次根式相加时，一般不能直接合并，需要进行特殊处理。
d) 当a>b时，√a±√b=√a±√(a-b)；当a<b时，√a±√b=√a±i√(b-a)（其中i为虚数单位）。
二、二次根式的化简方法化简是指将一个较为复杂的二次根式写成最简形式的过程。
常见的化简方法有以下几种：1. 合并同类项法：将根号下的因子合并，并进行运算。
例如：√3 + √12 = √3 + 2√3 = 3√32. 有理化分母法：将二次根式的分母有理化，即将分母中的根号去掉。
例如：1 / (√2 + √3) = (√2 - √3) / ((√2 + √3) * (√2 - √3)) = (√2 - √3) / (-1) = -√2 +√33. 平方差公式法：利用平方差公式将二次根式的平方进行变换，使得表达式更简单。
例如：(2 + √5)(2 - √5) = 4 - 5 = -14. 有理化分子法：将二次根式的分子有理化，即将分子中的根号去掉。
例如：(1 + √3) / (√2 - 1) = ((1 + √3) * (√2 + 1)) / ((√2 - 1) * (√2 + 1)) = (√2 + √6 + √2√3 + √3) / (2 - 1) = √2 + √6 + √6 + √3三、二次根式的运算在解题过程中，经常需要进行二次根式的运算。
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二次根式的加减--知识讲解（基础）
【学习目标】
1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根
式，进行简单的二次根式加减运算；
2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.
【要点梳理】
要点一、同类二次根式
1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根
式就叫做同类二次根式.
要点诠释：
(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根
式，再看被开方数是否相同；
(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外
的因式无关.
2.合并同类二次根式
合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)
要点诠释：
(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；
(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.
要点二、二次根式的加减
1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简
二次根式，再把其
中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.
要点诠释：
（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.
（2）二次根式加减运算的步骤：
1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；
2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；
3)合并同类二次根式.
要点三、二次根式的混合运算
二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.
要点诠释：
(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算
加减，有括号要先算括号里面的；
(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；
(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.
【典型例题】
类型一、同类二次根式
1.（2015•浦东新区二模）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x 的值是（）
A.-1
B.0
C.1
D.2
【思路点拨】根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解即可．
【答案】C.
【解析】
解：由最简二次根式与是同类二次根式，
得x+2=3x，
解得x=1．故选：C．
【总结升华】同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
举一反三：
【变式】如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a、b 的值是( )
A.a=2，b=1
B.a=1，b=2
C. a=1，b=-1
D. a=1，b=1
【答案】D.
根据题意，得
解之，得，故选D.
类型二、二次根式的加减运算
2.计算
（1）（2015春•建湖县期末）4﹣+．
（2）（2015春•文安县期末）．
【答案与解析】解：(1)原式=4×﹣3+2
=2﹣3+2
=．
（2）原式=2+3﹣2
=
【总结升华】一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并.
举一反三：
【变式】计算:011(1)()52π--++-
【答案】01
1(1)()52π--++-
125352=++--=+-= 类型三、二次根式的混合运算
3.计算: (1) (+)×； (2) 22)3223()3223(--+
【思路点拨】二次根式的混合运算要注意公式的灵活运用.
【答案与解析】
(1)(+)×=×+×=+=+
(2)原式
==.
【总结升华】二次根式仍然满足整式的运算规律,•所以直接可用整式的运算规律．
4、计算： 已知625,625-=+=b a ，则ab =_______,a b +=________.
【答案】1；10.
【解析】22551a b ab ==-∴=-=
10a b +=
【总结升华】数学运算包含着很多技巧性的东西，技巧运用得好计算就很简便而且准确. 举一反三：
【变式】已知x y 求22x xy y -+的值。
【答案与解析】22x xy y -+222-2xy+y ()x xy x y xy =+=-+
1x y x y xy ==∴-==
所以原式=219+=。