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2020届高三数学小题狂练二十二含答案

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2020年全国版高考数学必刷题：第二十二单元 选考模块

2020年全国版高考数学必刷题：第二十二单元 选考模块

第二十二单元选考模块考点一极坐标与参数方程1.(2017年全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为-(t为参数).(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.【解析】(1)曲线C的普通方程为+y2=1.当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.-由-解得或从而C与l的交点坐标为(3,0),-,.(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos θ,sin θ)到l的距离d=.当a≥-4时,d的最大值为.由题设得=,所以a=8;当a<-4时,d的最大值为-.由题设得=,所以a=-16.综上,a=8或a=-16.2.(2017年全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.【解析】(1)设点P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),点M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ>0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB的面积S=|OA|·ρB·sin∠AOB=4cos α·-=2--≤2+.当α=-时,S取得最大值2+.所以△OAB面积的最大值为2+.3.(2017年全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为-(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos θ+sin θ)-=0,M为l3与C的交点,求M的极径.【解析】(1)消去参数t得l1的普通方程为y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程为y=(x+2).设P(x,y),由题设得-消去k得x2-y2=4(y≠0),所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π),联立-得-cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ).故tan θ=-,从而cos2θ=,sin2θ=.代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,所以交点M的极径为.4.(2016年全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.【解析】(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2+(y-1)2=a2,则C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.当a=1时,极点也为C1,C2的公共点,且在C3上.所以a=1.5.(2016年全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.【解析】(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+11=0.(2)(法一)由直线l的参数方程(t为参数),消去参数得y=x·tan α.设直线l的斜率为k,则直线l的方程为kx-y=0.由圆C的方程为(x+6)2+y2=25知,圆心坐标为(-6,0),半径为5.又∣AB∣=,由垂径定理及点到直线的距离公式得-=-,即=,整理得k2=,解得k=±,即l的斜率为±.(法二)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0,于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.|AB|=|ρ1-ρ2|=-=-.由|AB|=得cos2α=,可得tan α=±.所以l的斜率为±.考点二不等式选讲6.(2017年全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,解得-1≤x≤1;当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,解得1<x≤-.所以f(x)≥g(x)的解集为x-1≤x≤-.(2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2,所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]等价于当x∈[-1,1]时,f(x)≥2.又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)≥2且f(1)≥2,解得-1≤a≤1.所以a的取值范围为[-1,1].7.(2017年全国Ⅱ卷)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4;(2)a+b≤2.【解析】(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+(a+b)=2+,所以(a+b)3≤8,所以a+b≤2.8.(2017年全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集;(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.【解析】(1)f(x)=----当x<-1时,f(x)≥1无解;当-1≤x≤2时,由f(x)≥1,得2x-1≥1,解得1≤x≤2;当x>2时,由f(x)≥1,解得x>2.所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.(2)由f(x)≥x2-x+m,得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x.而|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|=--+≤,且当x=时,|x+1|-|x-2|-x2+x=,故m的取值范围为-.9.(2016年全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)求不等式|f(x)|>1的解集.【解析】(1)由题意得f(x)=-----故y=f(x)的图象如图所示.(2)由f(x)的函数表达式及图象可知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=或x=5.故f(x)>1的解集为{x|1<x<3},f(x)<-1的解集为或.所以|f(x)|>1的解集为或或.10.(2016年全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=x-+x+,M为不等式f(x)<2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.【解析】(1)f(x)=---当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得-1<x≤-;当-<x<时,f(x)<2;当x≥时,由f(x)<2得2x<2,解得≤x<1.综上,f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.(2)由(1)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.高频考点:参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和普通方程的互化、直线的参数方程中t的几何意义的应用、利用圆锥曲线的参数方程求最值、ρ的几何意义、平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化,绝对值三角不等式的应用,均值不等式的应用,不等式的证明以及柯西不等式的简单应用.命题特点:1.考查极坐标方程及其应用、参数方程及其应用、参数方程和极坐标方程与普通方程的转化.2.直线的参数方程中t的几何意义的应用,注意定点在曲线两交点之间还是在两交点同侧.3.直线与曲线相交,求两点之间的距离经常考查ρ的几何意义.4.图形的伸缩变换,以及求轨迹方程.5.利用圆锥曲线的参数方程中三角函数的有界性求最值.6.零点分段法是解决绝对值不等式问题常用的方法,也可以将绝对值函数转化为分段函数,借助图象解题.7.利用分析法,综合法,比较法,反证法对不等式进行证明.8.根据绝对值三角不等式的恒成立问题求最值,进而求解参数的取值范围.§22.1坐标系与参数方程一极坐标系1.极坐标的概念(1)极坐标系:如图,在平面内取一个定点O,叫作,由O点引一条射线Ox,叫作,选定一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向),这样就确定了一个平面极坐标系,简称为.(2)极坐标:对于平面内任意一点M,用ρ表示线段OM的长,θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度,ρ叫作点M的,θ叫作点M的,有序实数对(ρ,θ)叫作点M的极坐标,记作M(ρ,θ).2.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把平面直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,建立极坐标系,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图.(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ)(ρ>0,θ∈[0,2π)),则极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M所在的象限取最小正角.二参数方程1.曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变量t的函数,即并且对于t 的每一个允许值,上式所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么称上式为该曲线的,其中变量t称为.2.一些常见曲线的参数方程(1)过点P0(x0,y0),且倾斜角为α的直线的参数方程为.(2)圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程为.(3)椭圆+=1(a>b>0)的参数方程为.3.直线的参数方程的标准形式的应用(1)已知直线的参数方程为(t为参数),M1,M2是直线上的两点,其对应的参数分别为t1,t2,则M1M2=|t1-t2|.(2)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t,则t=,中点M到定点M0(x0,y0)的距离MM0=|t|=.(3)若M0(x0,y0)为线段M1M2的中点,则t1+t2=.☞左学右考写出下列曲线的极坐标方程半径直角坐标方程x2+y2-8y=0的极坐标方程为.极坐标方程ρ=6cos-的直角坐标方程为.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,已知射线θ=与曲线-(t 为参数)相交于A,B两点,则线段AB的中点的直角坐标为.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(参数t∈R),圆C的参数方程为(参数θ∈[0,2π)),则圆心C到直线l的距离是.知识清单一、1.(1)极点极轴极坐标系(2)极径极角2.(2)ρcos θρsin θx2+y2二、1.参数方程参数2.(1)(t为参数)(2)(θ为参数)(3)(θ为参数)3.(2)(3)0基础训练1.ρ=r(0≤θ<2π)ρ=2r sin θ(0≤θ<π)ρsin θ=a(0<θ<π)ρsin(α-θ)=a sin α(α-π<θ<α)2.【解析】因为x2+y2=ρ2,y=ρsin θ,所以原方程可化为ρ2-8ρsin θ=0.所以ρ=0或ρ=8sin θ.经检验,得所求的极坐标方程为ρ=8sin θ.【答案】ρ=8sin θ3.【解析】原方程可化为ρ=6cos θcos +6sin θsin ,方程两边同乘ρ,得ρ2=3ρcos θ+3ρsin θ,由ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,ρsin θ=y,得所求的直角坐标方程为x2+y2-3x-3y=0.【答案】x2+y2-3x-3y=04.【解析】记A(x1,y1),B(x2,y2),将射线θ=转化为直角坐标方程为y=x(x≥0),曲线为y=(x-2)2,联立上述两个方程得x2-5x+4=0,所以x1+x2=5,故线段AB的中点坐标为.【答案】5.【解析】直线方程可化为x-y+1=0,圆的方程可化为(x-1)2+y2=1.由点到直线的距离公式可得,圆心C(1,0)到直线l的距离为=.-【答案】题型一平面直角坐标系中的伸缩变换【例1】将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(1)求曲线C的标准方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.【解析】(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为曲线C上的点(x,y),依题意得由+=1得x2+=1,故曲线C的标准方程为x2+=1.(2)由解得或-不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,则所求直线的斜率为k=,于是所求直线的方程为y-1=-,化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3,故所求直线的极坐标方程为ρ=.-【变式训练1】在平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ:(1)求点A-经过φ变换所得点A'的坐标;(2)求直线l:y=6x经过φ变换后所得直线l'的方程.【解析】(1)设点A'(x',y'),由伸缩变换φ:得∴x'=×3=1,y'=-=-1.∴点A'的坐标为(1,-1).(2)设P'(x',y')是直线l'上任意一点.由伸缩变换φ:得代入y=6x,得2y'=6·=2x',即y'=x'.∴直线l'的方程为y=x.题型二直角坐标方程和极坐标方程的互化【例2】在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ2=,以极点O为直角坐标原点,极轴为x轴的正半轴,取相同长度单位建立平面直角坐标系.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)设曲线C与x轴,y轴的正半轴分别交于点A,B,P是曲线C上一点,求△ABP面积的最大值.【解析】(1)因为曲线C的极坐标方程为ρ2=,所以9ρ2+7ρ2sin2θ=144.由ρ2=x2+y2,y=ρsin θ,可得曲线C的直角坐标方程为9x2+9y2+7y2=144,即曲线C的直角坐标方程为+=1.(2)因为曲线C与x轴,y轴的正半轴分别交于点A,B,所以A(4,0),B(0,3).所以直线AB的方程为3x+4y-12=0.设P(4cos θ,3sin θ),则P到直线AB的距离d=-=-.当θ=时,d max=.故△ABP面积的最大值为×|AB|×=6(+1).(1)直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式x=ρcos θ及y=ρsin θ直接代入化简即可.【变式训练2】(1)在平面直角坐标系xOy中,圆C1:(x-3)2+y2=9,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,圆C2的圆心的极坐标为,半径为1.①求圆C1的极坐标方程;②设圆C1与圆C2交于A,B两点,求|AB|.(2)在极坐标系下,已知圆O:ρ=cos θ+sin θ和直线l:ρsin-=,以极点为直角坐标原点,极轴为x轴的正半轴,取相同长度单位建立平面直角坐标系.①求圆O和直线l的直角坐标方程;②当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标.【解析】(1)①圆C1:(x-3)2+y2=9,展开可得x2+y2-6x=0,可得极坐标方程为ρ2-6ρcos θ=0,即ρ=6cos θ.②圆C2的圆心的极坐标为,化为直角坐标为(1,1),可得圆C2的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=1.由圆C1与圆C2的方程相减可得公共弦所在的直线方程为4x-2y+1=0.圆心(1,1)到直线4x-2y+1=0的距离d=--=,故弦长|AB|=2-=.(2)①圆O:ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρcos θ+ρsin θ,则圆O的直角坐标方程为x2+y2=x+y,即x2+y2-x-y=0.直线l:ρsin-=,即ρsin θ-ρcos θ=1,则直线l的直角坐标方程为y-x=1,即x-y+1=0.②由---得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.题型三参数方程与普通方程的互化【例3】已知椭圆C:+=1,直线l:-(t为参数).(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程;(2)设A(1,0),若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等,求点P的坐标.【解析】(1)椭圆C的参数方程为(θ为参数),直线l的普通方程为x-y+9=0.(2)设P(2cos θ,sin θ),则|AP|=-=2-cos θ,点P到直线l的距离d=-=-.由|AP|=d得3sin θ-4cos θ=5,又sin2θ+cos2θ=1,解得sin θ=,cos θ=-,故点P的坐标为-.(1)参数方程化为普通方程的基本方法就是消参法,常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等.对于与角【变式训练3】已知曲线C的参数方程为(α为参数),直线l的参数方程为(t为参数).(1)求曲线C与直线l的普通方程;(2)若直线l与曲线C相交于P,Q两点,且|PQ|=,求实数m的值.【解析】(1)由得-①的平方加②的平方,得曲线C的普通方程为x2+(y-m)2=1.由x=1+t,得t=x-1,代入y=4+t得y=4+2(x-1),所以直线l的普通方程为y=2x+2.(2)圆心(0,m)到直线l的距离d=,所以由勾股定理,得-+=1,解得m=3或m=1.题型四极坐标与参数方程的综合问题【例4】在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l上两点M,N的极坐标分别为(2,0),,圆C的参数方程为(θ为参数).-(1)设P为线段MN的中点,求直线OP的直角坐标方程;(2)判断直线l与圆C的位置关系.【解析】(1)因为M,N的极坐标分别为(2,0),,所以M,N的直角坐标分别为(2,0),.又因为P为线段MN的中点,所以点P的直角坐标为,所以直线OP的直角坐标方程为y=x.(θ为参数),(2)因为圆C的参数方程为-所以圆C的直角坐标方程为(x-2)2+(y+3)2=4,可知圆C的圆心坐标为(2,-3),半径为2.由直线l上两点M,N的直角坐标分别为(2,0),,可知直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.所以圆心C到直线l的距离为--=>2.所以直线l与圆C相离.求解参数方程与极坐标方程的综合问题的一般思路:分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.转化后可使问题变得更加直【变式训练4】在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知圆C的参数方程为(α为参数),直线l的极坐标方程为ρcos-=3.(1)求直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程;(2)求圆C上的点P到直线l距离的最小值和最大值.【解析】(1)∵直线l的极坐标方程为ρcos-=3,∴ρcos θ+ρsin θ=3,即直线l的直角坐标方程为x+y-3=0.∵圆C的参数方程为(α为参数),消去参数得(x-1)2+y2=1,即圆C的普通方程为(x-1)2+y2=1.(2)由圆C的普通方程为(x-1)2+y2=1,可知圆心C(1,0),半径r=1.则圆心C到直线l的距离d===>1,故直线l与圆C相离,故圆C上的点P到直线l距离的最小值是-1,最大值是+1.方法一直线参数方程中参数t的几何意义过定点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数).①通常称①为直线l的参数方程的“标准式”.参数t的几何意义:|t|是直线上任一点M(x,y)到点M0(x0,y0)的距离,即|M0M|=|t|.若t>0,则的方向向上;若t<0,则的方向向下;若t=0,则点M与点M0重合.即当点M在M0上方时,有t=||;当点M 在M0下方时,有t=-||.该参数t经常用在直线截圆锥曲线的距离问题中,解题时通常过某定点作一直线与圆锥曲线相交于A,B两点,所求问题与定点到A,B两点的距离有关.解题时主要应用定点在直线AB上,利用参数t的几何意义,结合根与系数的关系进行处理,巧妙求出问题的解.【突破训练1】在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度.已知曲线C:ρsin2θ=2a cos θ(a>0),过点P(-2,-4)的直线l的参数方程为--(t为参数).直线l与曲线C分别交于M,N两点.(1)求实数a的取值范围;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求实数a的值.【解析】(1)由题意,可得曲线C的直角坐标方程为y2=2ax(a>0),将直线l的参数方程--(t为参数)代入曲线C的直角坐标方程,得t2-(4+a)t+16+4a=0,因为直线l与曲线C交于M,N两点,所以Δ>0,解得a>0或a<-4.又a>0,所以实数a的取值范围为(0,+∞).(2)设交点M,N对应的参数分别为t1,t2.则由(1)知,t1+t2=2(4+a),t1t2=2(16+4a),若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,则|t1-t2|2=|t1t2|.解得a=1或a=-4(舍去),所以实数a的值为1.方法二ρ的几何意义的应用在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,或用极坐标解决较麻烦,可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.同时,注意数形结合的应用,即充分利用参数方程中参数的几何意义,或者利用ρ和θ的几何意义,直接求解,达到化繁为简的目的.【突破训练2】在直角坐标系xOy中,半圆C的参数方程为(φ为参数,0≤φ≤π).以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C的极坐标方程;(2)直线l的极坐标方程是ρ(sin θ+cos θ)=5,射线OM:θ=与半圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.【解析】(1)半圆C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1),又x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以半圆C的极坐标方程是ρ=2cos θ,θ∈.(2)设(ρ1,θ1)为点P的极坐标,则有解得设(ρ2,θ2)为点Q的极坐标,则有解得因为θ1=θ2,所以|PQ|=|ρ1-ρ2|=4,所以线段PQ的长为4.方法三圆锥曲线参数方程的应用椭圆的参数方程的实质是三角代换,有关椭圆上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题,通常利用椭圆的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解.【突破训练3】在平面直角坐标系xOy中,动圆x2+y2-4x cos θ-4y sin θ+7cos2θ-8=0(θ为参数)的圆心轨迹为曲线C,点P在曲线C上运动.以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若直线l的极坐标方程为2ρcos=3,求点P到直线l的最大距离.【解析】将动圆的方程配方,得(x-2cos θ)2+(y-2sin θ)2=9+3sin2θ,设圆心(x,y),则(θ为参数),即曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的直角坐标方程为x-y-3=0.设点P(x1,y1),则点P到直线l的距离d=--=-,其中tan φ=-.∴当sin(θ1+φ)=-1时,点P到直线l的距离d取得最大值.【答案】1.(2017长沙模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρsin-=.(1)求C的普通方程和l的倾斜角;(2)设点P(0,2),l和C交于A,B两点,求|PA|+|PB|的值.【解析】(1)由(α为参数),消去参数α,得+y2=1,即C的普通方程为+y2=1.由ρsin-=,得ρsin θ-ρcos θ=2,(*)将代入(*),化简得y=x+2,所以直线l的倾斜角为.(2)由(1)知,点P(0,2)在直线l上,可设直线l的参数方程为(t为参数),即(t为参数),代入+y2=1并化简,得5t2+18t+27=0,Δ=(18)2-4×5×27=108>0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-<0,t1t2=>0,所以t1<0,t2<0,所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=-(t1+t2)=.2.(2017合肥调研)在直角坐标系xOy中,曲线C:(α为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l:ρsin θ+ρcos θ=m.(1)若m=0,判断直线l与曲线C的位置关系;(2)若曲线C上存在点P到直线l的距离为,求实数m的取值范围.【解析】(1)曲线C的普通方程为(x-1)2+(y-1)2=2,其表示圆心为(1,1),半径为的圆;直线l的直角坐标方程为x+y=0,圆心C到直线l的距离d===r,所以直线l与圆C相切.(2)直线l的直角坐标方程为x+y-m=0,由已知可得,圆心C到直线l的距离d=≤,解得-1≤m≤5.所以实数m的取值范围为[-1,5].3.(2017石家庄质检)在平面直角坐标系xOy中,曲线C:(x-1)2+y2=1.直线l经过点P(m,0),且倾斜角为.(1)求圆C和直线l的参数方程;(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|PA|·|PB|=1,求实数m的值.【解析】(1)由曲线C:(x-1)2+y2=1,得参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).(2)设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,将直线l的参数方程代入x2+y2=2x中,得t2+(m-)t+m2-2m=0,所以t1t2=m2-2m,由题意得Δ>0,|m2-2m|=1,得m=1,m=1+或m=1-.4.(2017唐山质检)已知曲线C1:x+y=和C2:(φ为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且两种坐标系中取相同的长度单位.(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程;(2)设C1与x轴,y轴交于M,N两点,且线段MN的中点为P.若射线OP与C2交于点Q,求P,Q两点间的距离.【解析】(1)曲线C1化为ρcos θ+ρsin θ=.即ρsin=.曲线C2化为+=1,(*)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入(*)式,得cos2θ+sin2θ=1,即ρ2(cos2θ+3sin2θ)=6.∴曲线C2的极坐标方程为ρ2=.(2)∵M(,0),N(0,1),∴P,∴OP的极坐标方程为θ=,把θ=代入ρsin=,得ρ1=1,P.把θ=代入ρ2=,得ρ2=2,Q.∴|PQ|=|ρ2-ρ1|=1,即P,Q两点间的距离为1.5.(2017贵阳调研)以直角坐标系中的原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,已知曲线的极坐标方程为ρ=-.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)过极点O作直线l交曲线于P,Q两点,若|OP|=3|OQ|,求直线l的极坐标方程.【解析】(1)∵ρ=,ρsin θ=y,ρ=-化为ρ-ρsin θ=2,∴曲线的直角坐标方程为x2=4y+4.(2)设直线l的极坐标方程为θ=θ0(ρ∈R),根据题意-=3×-,解得θ0=或θ0=,∴直线l的极坐标方程为θ=(ρ∈R)或θ=(ρ∈R).6.(2017赤峰模拟)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,与直角坐标系xOy取相同的长度单位,建立极坐标系,设曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的极坐标方程为ρsin-=2.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;(2)求曲线C上的点到直线l的最大距离.【解析】(1)由ρsin-=2得ρ(sin θ-cos θ)=4,所以直线l的直角坐标方程为x-y+4=0,由得曲线C的普通方程为x2+=1.(2)在C上任取一点P(cos θ,sin θ),则点P到直线l的距离d=-=,其中cos φ=,φ=,所以当cos(θ+φ)=1时,d max=2+.7.(2017铁岭模拟)在极坐标系Ox中,曲线C1的极坐标方程为ρsin θ=2,M是C1上任意一点,点P在射线OM上,且满足|OP|·|OM|=4,记点P的轨迹为C2.(1)求曲线C2的极坐标方程;(2)求曲线C2上的点到直线ρcos=距离的最大值.【解析】(1)设P(ρ1,θ),M(ρ2,θ),由|OP|·|OM|=4,得ρ1ρ2=4,(*)因为M是C1上任意一点,所以ρ2sin θ=2,代入(*)得ρ1=2sin θ.所以曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(2)由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ,即x2+y2-2y=0,化为标准方程为x2+(y-1)2=1,则圆C2的圆心坐标为(0,1),半径为1,由直线ρcos=,得ρcos θcos-ρsin θsin =,即x-y=2,圆心(0,1)到直线x-y=2的距离d==,所以曲线C2上的点到直线ρcos=距离的最大值为1+.8.(2017南京、盐城、徐州、连云港四市模拟)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线l的极坐标方程为ρsin-=,椭圆C的参数方程为(t为参数).(1)求直线l的直角坐标方程与椭圆C的普通方程;(2)若直线l与椭圆C交于A,B两点,求线段AB的长.【解析】(1)由ρsin-=得ρ-=,所以直线l的直角坐标方程为x-y=,化简得y=x-,即直线l的直角坐标方程为y=x-.由+=cos2t+sin2t=1得椭圆C的普通方程为+=1.-(2)联立直线方程与椭圆方程得消去y并整理得5x2-8x=0,解得x1=0,x2=,所以A(0,-),B或A,B(0,-).所以AB==.9.(2017邯郸调研)在极坐标系中,已知直线l过点A(1,0),且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为,求:(1)直线的极坐标方程;(2)极点到该直线的距离.【解析】(1)如图,由正弦定理得.=-即ρsin-=sin =,∴所求直线的极坐标方程为ρsin-=.(2)作OH⊥l,垂足为H,在△OHA中,OA=1,∠OHA=,∠OAH=,则OH=OA sin =,即极点到该直线的距离等于.10.(2017黑龙江大庆二模)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为-(t为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=a sin θ.(1)若a=2,求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程;(2)设直线l截圆C所得弦的长等于圆C的半径长的倍,求a的值.【解析】(1)当a=2时,ρ=a sin θ即为ρ=2sin θ,化为直角坐标方程为x2+(y-1)2=1,直线-(t为参数)化为普通方程为4x+3y-8=0.(2)圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为x2+-=,因为直线l截圆C所得弦的长等于圆C的半径长的倍,所以圆心C到直线l的距离d=-=·,即2|3a-16|=5|a|,解得a=32或a=.11.(2017宁夏银川九中二模)在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为-(θ为参数).(1)以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C的极坐标方程;(2)已知A(-2,0),B(0,2),圆C上任意一点M(x,y),求△ABM面积的最大值.【解析】(1)圆C的参数方程为-(θ为参数).所以圆C的普通方程为(x-3)2+(y+4)2=4.由x=ρcos θ,y=ρsin θ,可得(ρcos θ-3)2+(ρsin θ+4)2=4,化简可得圆C的极坐标方程为ρ2-6ρcos θ+8ρsin θ+21=0.(θ为参数),点M(x,y)到直线AB:x-y+2=0的距离d=,(2)因为x,y满足-△ABM的面积S=×|AB|×d=|2cos θ-2sin θ+9|=-,所以△ABM面积的最大值为9+2.12.(2017辽宁抚顺二模)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C1的极坐标方程为ρ(ρ-4sin θ)=12,定点A(6,0),点P是曲线C1上的动点,Q为AP的中点.(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C2交于M,N两点,且|MN|≥2,求实数a的取值范围.【解析】(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ,x2+y2=ρ2,曲线C1的极坐标方程为ρ(ρ-4sin θ)=12,可得曲线C1的直角坐标方程为x2+y2-4y=12.设点P(x',y'),Q(x,y),由中点坐标公式,得-将其代入x2+y2-4y=12,得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为(x-3)2+(y-1)2=4.(2)直线l的普通方程为y=ax,设圆心C2到直线l的距离为d,由弦长公式可得,|MN|=2-≥2,即d≤1.可得圆心(3,1)到直线l的距离d=-≤1,即4a2-3a≤0,解得0≤a≤,故实数a的取值范围为.§22.2不等式选讲一绝对值三角不等式1.定理1如果a,b是实数,那么,对于|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当时,等号成立.2.定理2如果a,b,c是实数,那么,当且仅当时,等号成立.二绝对值不等式的解法1.含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集2.|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法:(1)数形结合法;(2)零点分段法;(3)构造函数法.三不等式证明的方法1.比较法.(1)作差比较法;(2)作商比较法.2.综合法和分析法.3.反证法和放缩法.四几个常用的不等式1.柯西不等式柯西不等式的代数形式:设a1,a2,b1,b2均为实数,则(当且仅当a1b2=a2b1时,等号成立).2.平均值不等式定理:如果a,b,c为正数,那么,当且仅当a=b=c时,等号成立.我们称为正数a,b,c的算术平均值,为正数a,b,c的几何平均值,定理中的不等式为三个正数的算术—几何平均值不等式,简称为平均值不等式.一般形式的算术—几何平均值不等式:如果a1,a2,…,a n为正数,那么,当且仅当a1=a2=…=a n时,等号成立.☞左学右考设ab<0,a,b∈R,那么正确的是().A.|a+b|>|a-b|B.|a-b|<|a|+|b|C.|a+b|<|a-b|D.|a-b|<||a|-|b||不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是.|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:(1);(2)|ax+b|≥c⇔ax+b≤-c或.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ac≤;(2)++≥1.知识清单一、1.||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|ab≥02.|a-c|≤|a-b|+|b-c|(a-b)(b-c)≥0二、1.(-a,a)(-∞,-a)∪(a,+∞)四、1.(+)(+)≥(a1b1+a2b2)22.≥≥基础训练1.【解析】由ab<0得a,b异号,易知|a+b|<|a-b|,|a-b|=|a|+|b|,|a-b|>||a|-|b||,∴A、B、D均不成立.故选C.【答案】C2.【解析】f(x)=|x-1|-|x-5|=--当x≤1时,f(x)=-4<2,满足题意,当1<x<5时,由f(x)=2x-6<2,解得1<x<4,当x≥5时,f(x)=4>2,无解.所以所求不等式的解集为{x|x<4}.【答案】{x|x<4}3.【答案】(1)|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c(2)ax+b≥c4.【解析】(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac得a2+b2+c2≥ab+bc+ac.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1.所以3(ab+bc+ac)≤1,即ab+bc+ac≤. (2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,所以+++(a+b+c)≥2(a+b+c),即++≥a+b+c.所以++≥1.题型一绝对值不等式的解法【例1】已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.(1)证明:-3≤f(x)≤3;(2)求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集.【解析】(1)f(x)=|x-2|-|x-5|=--当2<x<5时,-3<2x-7<3,所以-3≤f(x)≤3.(2)由(1)可知,当x≤2时,f(x)≥x2-8x+15即为x2-8x+18≤0,解集为空集;当2<x<5时,f(x)≥x2-8x+15即为x2-10x+22≤0,解集为{x|5-≤x<5};当x≥5时,f(x)≥x2-8x+15即为x2-8x+12≤0,解集为{x|5≤x≤6}.综上,不等式f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5-≤x≤6}.。

高三下学期高考数学试卷附答案 (22)

高三下学期高考数学试卷附答案 (22)

2019-2020学年度第二学期第*次考试试卷高考数学模拟测试学校：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=（ ）A ．120B ．105C ．90D ．75(2006全国1理)2．在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是（ ）A ．)45,()2,4(ππππYB ．),4(ππC ．)45,4(ππD ．)23,45(),4(ππππY （2002山东理4）3．若a 是1+2b 与1-2b 的等比中项，则||2||2b a ab +的最大值为（ ） A ．1552 B ．42 C ．55 D ．22（2007重庆理7）4．下列各数中，是无理数的是 【 ▲ 】A.23B.16 C ． 0.3 D ．2π 5．若1、6之间插入2个数，使它们构成等差数列，则该数列的公差d ＝_____________ 关键字：等差数列；新数列；双重身份；求公差第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明评卷人得分 二、填空题6． 曲线C 是平面内到定点(0,1)F 和定直线:1l y =-的距离之和等于4的点的轨迹，给出下列三个结论：① 曲线C 关于y 轴对称；② 若点(,)P x y 在曲线C 上，则||2y ≤；③ 若点P 在曲线C 上，则1||4PF ≤≤.其中，所有正确结论的序号是________．【解析】设点(,)P x y 在曲线C 上，则有2222(1)14,(1)4-1,x y y x y y +-+=+-=+两边平方化简得：222(1)42(1)12x y y x y ⎧-≥-⎪⎪=⎨⎪-+<-⎪⎩。

2020高考高三数学小题专项训练

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2020年高考虽然延期一个月，但是练习一定要跟上，加油！班级 学号 姓名 得分 1．sin600︒ = ( ) (A) –23 (B)–21. (C)23. (D) 21.2．设A = { x| x ≥ 2}, B = { x | |x – 1|< 3}, 则A ∩B= ( )(A)[2，4] (B)（–∞，–2] (C)[–2，4] (D)[–2，+∞）3．若|a |=2sin150，|b |=4cos150，a 与b 的夹角为300，则a ·b 的值为 ( )(A)23. (B)3. (C)32. (D)21. 4．△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则a cos C+c cos A 的值为 ( )(A)b. (B)2cb +. (C)2cosB. (D)2sinB. 5．当x ∈ R 时，令f (x )为sinx 与cosx 中的较大或相等者，设a ≤ f ( x ) ≤ b, 则a + b 等于 ( )(A)0 (B) 1 +22. (C)1–22. (D)22–1.6、函数1232)(3+-=x x x f 在区间[0,1]上是（ ）（A ）单调递增的函数. （B ）单调递减的函数. （C ）先减后增的函数 . （D ）先增后减的函数. 7．对于x ∈[0，1]的一切值，a +2b > 0是使ax + b > 0恒成立的（ ）(A)充要条件 (B)充分不必要条件(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件8．设{a n }是等差数列，从{a 1，a 2，a 3，··· ，a 20}中任取3个不同的数，使这三个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列最多有（ ）(A)90个 . (B)120个. (C)180个. (D)200个.9．已知函数y = f ( x )（x ∈R ）满足f (x +1) = f ( x – 1)，且x ∈[–1，1]时，f (x) = x 2，则y = f ( x ) 与y = log 5x 的图象的交点个数为 ( )(A)1. (B)2 . (C)3 . (D)4.10．给出下列命题：(1) 若0< x <2π, 则sinx < x < tanx . (2) 若–2π < x< 0,则sin x < x < tanx.(3) 设A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，若A > B > C, 则sinA > sinB > sinC.(4) 设A ，B 是钝角△ABC 的两个锐角，若sinA > sinB > sinC 则A > B > C..其中，正确命题的个数是（ ）(A) 4. （B ）3. （C ）2. （D ）1.11. 某客运公司定客票的方法是：如果行程不超过100km ，票价是0.5元/km ， 如果超过100km ， 超过100km 部分按0.4元/km 定价，则客运票价y 元与行程公里数x km 之间的函数关系式是 .12. 设P 是曲线y = x 2 – 1上的动点，O 为坐标原点，当|→--OP |2取得最小值时，点P 的坐标为 .11、 . 12.高三数学小题专项训练（1）11.⎩⎨⎧>+≤≤100104.010005.0x x x x. 12. (–22, –21）或 (22，–21）1.如果向量 =(k ，1)，与 = (4，k )共线且方向相反，则k =A ．±2B ．-2C ．2D ．0 2．函数f (x)=( )x (1<x≤2)的反函数f -1(x )等于21A.log x (1<x ≤2)B. log x (2<x ≤4)C.-log2x (≤x ＜ ﹞ D. -log2x ( ≤x ＜1〕3.已知P=｛x ︱x ≤0｝,Q=｛x ︱x ＜ ｝,则Q ∩C R P 等于A.｛x ︱x ≤0｝B.｛x ︱0≤x ＜ }C. {x |0<x < }D. {x |x >0}4．已知α、β都是第二象限角，且cos >cosβ，则A ． <β B．sin >sinβ C．tan >tanβ D．cot <cotβ5．已知奇函数f (x )的定义域为：{x ｜x +2-a ｜＜a ，a >0}，则a 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4 6．方程Ax +By +C =0表示倾斜角为锐角的直线，则必有：A. A ﹒B>0 B ．A ﹒B<0 C ．A>0且B<0 D ．A>0或B<07．已知f (x )=a x (a >0且a ≠1),f -1(2)<0，则f -1(x +1)的图象是2121214121414141ααααα8．如果方程 表示双曲线，则下列椭圆中，与该双曲线共焦点的是A. B.C. D.9．把正整数按下图所示的规律排序，则从2003到2005的箭头方向依次为10.已知函数f(x )=2sin(ωx + )图象与直线y =1的交点中，距离最近两点间的距离为 ， 么此函数的周期是 A . B ． C ．2πD ．4π11．点p 到点A ( ，0)，B(a ，2)及到直线x =- 的距离都相等，122=+-qy P x 1222=++qy p q x 1222-=++py p q x 1222=++qy q p x 1222-=++py q p x ϕ3π3ππ2121如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是 A. B. C. 或 D.- 或12.设 P (x ,y )是曲线 上的点，F 1(-4,0),F 2(4,0),则A.｜F 1P ︳+ ︱F 2P ︳<10 B ．｜F 1P ｜+｜F 2P ｜>10C.｜F 1P ︳+｜F 2P ︳≤10 D．｜F 1P ｜+｜F 2P ｜≥1013．若函数 y =2x 2+4x +3的图象按向量 平移后，得到函数y=2x 2的图象，则： =.14．已知(x ，y )在映射f 下的象是(x +Y ，-x )，则(1，2)在f 下原象是 .15．圆x 2+y 2+x -6y +3=0上两点P 、Q 关于直线kx -y +4=0对称，则k = .16.在△ABC 中，B （-2，0），C （2，0），A （x,y ）,给出△ABC 满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程，下面给出了一些条件及方程，请你用线把左边满足的条件及相应的右边A 点的轨迹方程连起来：212321232121192522=+y x（错一条连线得0分）高三数学小题专项训练（4）一、1．B 2．C 3．C 4．B 5．B 6．B 7．A 8．D 9．B 10．B 11．D 12．C二、13．(1，-1) 14．(-2，3) 15．2 16. (①→○c②→○a③→○b)。

2020届高三数学小题狂练二十含答案

2020届高三数学小题狂练二十含答案

2020届高三数学小题狂练二十姓名 得分1．已知集合2{|log 1}M x x =<，{|1}N x x =<，则M N I = .2．双曲线2213x y -=的两条渐近线的夹角大小为 .3．设a 为常数，若函数1()2ax f x x +=+在(2,2)-上为增函数，则a 的取值范围是 . 4．函数)2(log log 2x x y x +=的值域是 .5．若函数()23f x ax a =++在区间)1,1(-上有零点，则a 的取值范围是 .6．若1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 .7．已知函数12||4)(-+=x x f 的定义域是[,]a b （a ，b 为整数），值域是[0,1]，则满足条件的整数数对),(b a 共有 个.8．设P ，Q 为ABC ∆内的两点，且2155AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，AQ uuu r 23AB =u u u r 14+AC u u ur ，则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积之比为 . 9．在等差数列{}n a 中，59750a a +=，且95a a >，则使数列前n 项和n S 取得最小值的n 等于 . 10．设x ，y ∈R +，312121=+++y x ，则xy 11．在正三棱锥A BCD -中，E ，F 分别是AB ，BC EF DE ⊥，1BC =，则正三棱锥A BCD -的体积是 .12．设()f x 是定义在R 上的偶函数，满足(1)()1f x f x ++=，且当[1,2]x ∈时，()2f x x =-，则(2016.5)f -=_________.DCQ BAP答案1．(0,1) 2．60︒ 3．),21(+∞4．),3[]1,(+∞--∞Y 5．(3,1)-- 6．)23,2[- 7．5（||[0,2]x ∈） 8．459．610．16（8xy x y =++，8xy ≥+16xy ≥）11．242（EF DE ⊥，EF ∥AC ，∴AC DE ⊥．又AC BD ⊥，∴AC ⊥平面ABD ．∵1BC =，∴2AB AC AD ===，3162V =24=）12．0.5（2T =，(0.5)(0.5)(1.5)0.5f f f =-==）。

2020届高三数学小题狂练十二含答案

2020届高三数学小题狂练十二含答案

2020届高三数学小题狂练十二姓名 得分1．若复数z 满足方程1-=⋅i i z ，则z = .2．A ，B ，C 三种不同型号的产品的数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样的方法抽出样本容量为n 的样本，样本中A 型产品有16件，那么样本容量n 为 .3．底面边长为2的正四棱锥的体积为 .4．若点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点，则点P 到直线2-=x y 的最小距离为 .5．袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是 .6．数列{}n a 中，12a =，21a =，11112-++=n n n a a a （2n ≥，n ∈N ），则其通项公式为n a = .7．已知双曲线C 与椭圆221925y x +=有相同的焦点，它们离心率之和为145，则C 的标准方程是 .8．已知二次函数f x ()满足f x f x ()()11+=-，且f f ()()0011==，，若f x ()在区间[,]m n 上的值域是[,]m n ，则m n +的值等于 .9．已知函数()cos f x x ω=（0ω>）在区间π[0]4, 上是单调函数，且3π()08f =，则ω= .10．已知PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且△PAB ，△PAC ，△PBC 的面积分别为1.5cm 2，2cm 2，6cm 2，则过P ，A ，B ，C 四点的外接球的表面积为 cm2.11．设椭圆22221y x a b+=（0a b >>）的两个焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，且120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，12tan 2PF F ∠=，则该椭圆的离心率等于 .12．在ABC ∆中，已知4AB =，3AC =，P 是边BC 的垂直平分线上的一点，则BC AP ⋅u u u r u u u r = .答案1．1i-2．803．4 345．1 96．2 n7．221 412y x-=8．1（1n≤）9．43或410．26π（补形）1112．7 2 -。

2020届高三数学(理)“小题精练”22

2020届高三数学(理)“小题精练”22

2020届高三数学（理）“小题速练”22题号123456789101112答案13. 14. 15. 16.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝4}，B ＝{(x ，y )|x －2y ＋2＝0}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3 B.2 C ．1 D.02．已知复数z ＝2＋a i1＋2i ，其中a 为整数，且z 在复平面内对应的点在第四象限，则a 的最大值为( )A ．4 B.3 C ．2 D.13．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y －x ≥0，x －1≥0，则目标函数z ＝x 2＋y 2的最大值为( )A. 6B.10 C ．22 D.74．已知命题p ：对任意x >0，总有sin x <x ；命题q ：直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋(a －1)y －1＝0，若l 1∥l 2，则a ＝2或a ＝－1.则下列命题中是真命题的是( )A ．p ∧qB ．(非p )∧(非q )C ．(非p )∨qD ．p ∨q5．陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国著名的道教胜迹，古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言．景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系来建造的，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为( )A.23B.12C.15D.256．如图是计算12＋14＋16＋18＋110的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．k ≥5?B ．k <5?C ．k >5?D ．k ≤6?7．有甲、乙、丙、丁四位同学竞选班长，其中只有一位当选．有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙当选”，乙说：“甲、丙都未当选”，丙说：“我当选了”，丁说：“是乙当选了”，若四位同学有两人说真话，有两人说假话，则当选的同学是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．已知点(2，8)在幂函数f (x )＝x n的图象上，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫450.3，b ＝f ⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫540.2，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 1254，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b >a >c B.a >b >c C ．c >b >a D.b >c >a9.如图，点A 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点，点P 为双曲线上一点，作PB ⊥x 轴，垂足为B .若A 为线段OB 的中点，且以A 为圆心，AP 为半径的圆与双曲线C 恰有三个公共点，则C 的离心率为( )A. 2B.3 C ．2 D.510．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a cos B －b cos A ＝c 2则a cos A ＋b cos Ba cos B 的最小值为( )A. 3B.433C.33D.23311．如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边AB ＝2，D 为直角边BC 上的一点，将△ACD 沿直线AD 折叠至△AC 1D 的位置，使得点C 1在平面ABD 外，且点C 1在平面ABD 上的射影H 在线段AB 上．设AH ＝x ，则x 的取值范围是( )A. (1，2)B.⎝⎛⎭⎫22，1C.⎝⎛⎭⎫12，2 D.(0，1)12．设M ，N 是抛物线y 2＝x 上的两个不同的点，O 是坐标原点．若直线OM 与ON 的斜率之积为－12，则( )A ．|OM |＋|ON |≥42B ．以MN 为直径的圆的面积大于4πC ．直线MN 过抛物线y 2＝x 的焦点D ．点O 到直线MN 的距离不大于2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 2a 12＝16，则log 2a 15＝________．14．圆x 2＋y 2＝1的任意一条切线与圆x 2＋y 2＝4相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，O 为坐标原点，则x 1x 2＋y 1y 2＝________．15．《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S ＝14⎣⎡⎦⎤c 2a 2－⎝⎛⎭⎫c 2＋a 2－b 222.已知△ABC 满足(sin A －sin B )(sin A ＋sin B )＝sin A sin C －sin 2C ，且AB ＝2BC ＝22，则用以上给出的公式可求得△ABC 的面积为________．16．设函数f (x )＝ax 22e－ln|ax |(a >0)，若函数f (x )有4个零点，则a 的取值范围为________．2020届高三数学（理）“小题速练”22（答案解析）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝4}，B ＝{(x ，y )|x －2y ＋2＝0}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3 B.2 C ．1D.0解析：选B 由已知得，集合A ∩B 中元素的个数是直线x －2y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝4的交点的个数．由图知直线与圆有2个交点，则A ∩B 中元素的个数为2.故选B.2．已知复数z ＝2＋a i 1＋2i ，其中a 为整数，且z 在复平面内对应的点在第四象限，则a 的最大值为( )A ．4 B.3 C ．2D.1解析：选B 因为复数z ＝2＋a i 1＋2i ＝（2＋a i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝2＋2a ＋（a －4）i5，所以z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫2＋2a 5，a －45.因为此点位于第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋2a >0，a －4<0，解得－1<a <4.因为a 为整数，所以a 的最大值为3.故选B.3．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y －x ≥0，x －1≥0，则目标函数z ＝x 2＋y 2的最大值为( )A. 6B.10 C ．22D.7解析：选B 由约束条件作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．目标函数z ＝ x 2＋y 2的几何意义是指原点到可行域内的点(x ，y )的距离．由图可知，点A 到原点距离最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以A (1，3)．所以z 的最大值为 12＋32＝10.故选B.4．已知命题p ：对任意x >0，总有sin x <x ；命题q ：直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋(a －1)y －1＝0，若l 1∥l 2，则a ＝2或a ＝－1.则下列命题中是真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧(綈q )C ．(綈p )∨qD ．p ∨q解析：选D 设f (x )＝sin x －x ，则f ′(x )＝cos x －1≤0，则当x >0时，函数f (x )为减函数，f (x )<f (0)＝0，即sin x <x 恒成立，命题p 是真命题．若两直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋(a －1)y －1＝0平行，则a (a －1)＝2，解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，l 1：2x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，满足两直线平行；当a ＝－1时，l 1：x －2y －1＝0，l 2：x －2y －1＝0，两直线重合，舍去．故命题q 是假命题．则p ∨q 是真命题，其余为假命题．故选D.5．陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国著名的道教胜迹，古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言．景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系来建造的，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为( )A.23B.12C.15D.25解析：选B 从五种不同属性的物质中任取两种，所有可能的取法共有C 25＝10种，取出两种物质恰好是相克关系的基本事件有C 15＝5种，则取出两种物质恰好是相克关系的概率P ＝510＝12.故选B.6．如图是计算12＋14＋16＋18＋110的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．k ≥5?B ．k <5?C ．k >5?D ．k ≤6?解析：选C 因为该程序框图是计算12＋14＋16＋18＋110的值，所以共循环了5次，所以输出S 的值时，n 的值为12，k 的值为6，即判断框内应填入的条件是“k ≥6？”或“k >5？”．故选C.7．有甲、乙、丙、丁四位同学竞选班长，其中只有一位当选．有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙当选”，乙说：“甲、丙都未当选”，丙说：“我当选了”，丁说：“是乙当选了”，若四位同学有两人说真话，有两人说假话，则当选的同学是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：选C 若甲当选，则都说假话，不符合题意(两人说真话两人说假话)：若乙当选，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意；若丙当选，则甲、丙都说真话，乙、丁都说假话，符合题意；若丁当选，则甲、丙、丁都说假话，乙说真话，不符合题意．综上，当选的同学是丙．故选C.8．已知点(2，8)在幂函数f (x )＝x n的图象上，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫450.3，b ＝f ⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫540.2，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 1254，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b >a >c B.a >b >c C ．c >b >aD.b >c >a解析：选A ∵点(2，8)在幂函数f (x )＝x n 的图象上，∴f (2)＝2n ＝8，解得n ＝3，∴f (x )＝x 3，∴f (x )为R 上的单调递增函数．又∵log 1254<0<⎝⎛⎭⎫450.3<1<⎝⎛⎭⎫540.2，∴f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫log 1254<f⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫450.3<f ⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫540.2，即c <a <b .故选A. 9.如图，点A 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点，点P 为双曲线上一点，作PB ⊥x 轴，垂足为B .若A 为线段OB 的中点，且以A 为圆心，AP 为半径的圆与双曲线C 恰有三个公共点，则C 的离心率为( )A. 2B.3 C ．2D.5解析：选A 由题意知圆A 的半径为2|OA |＝2a ，|AB |＝a ，|AP |＝2a ，所以|BP |＝3a ，所以点P 的坐标为(2a ，－3a )．又P 为双曲线上一点，所以（2a ）2a 2－（－ 3a ）2b 2＝1，即b 2a 2＝1，所以该双曲线的离心率e ＝ca＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 2.故选A.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a cos B －b cos A ＝c 2则a cos A ＋b cos Ba cos B 的最小值为( )A. 3B.433 C.33D.233解析：选D 在△ABC 中，sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，结合正弦定理可知a cos B ＋b cos A ＝c ，联立a cos B －b cos A ＝c 2，解得cos A ＝c 4b ，cos B ＝3c 4a ，所以a cos A ＋b cos Ba cos B ＝a ·c 4b ＋b ·3c4a a ·3c 4a ＝13⎝⎛⎭⎫a b ＋3b a ≥13×2×a b ·3b a ＝233，当且仅当a b ＝3ba时，等号成立．故选D.11．如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边AB ＝2，D 为直角边BC 上的一点，将△ACD 沿直线AD 折叠至△AC 1D 的位置，使得点C 1在平面ABD 外，且点C 1在平面ABD 上的射影H 在线段AB 上．设AH ＝x ，则x 的取值范围是( )A. (1，2)B.⎝⎛⎭⎫22，1C.⎝⎛⎭⎫12，2D.(0，1)解析：选B 当AD 为∠BAC 的平分线时，△ACD 沿直线AD 翻折180°后，点C 落在线段AB 上，且AC ＝1，因此要使△ACD 沿直线AD 折叠至△AC 1D 的位置，使得点C 1在平面ABD 外，且使点C 1在平面ABD 上的射影H 在线段AB 上，则必有π8＝12∠BAC <∠CAD <∠BAC ＝π4，即π8<∠CAD <π4.设∠CAD ＝θ，则π8<θ<π4，∴2－1<tan θ<1.连接DH (图略)，则AD ＝1cos θ，CD ＝tan θ，C 1H ＝ 1－x 2，DH 2＝C 1D 2－C 1H 2＝tan 2θ＋x 2－1，则在△ADH 中，由余弦定理，得tan 2θ＋x 2－1＝x 2＋1cos 2θ－2xcos θ·cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ，化简得tanθ＝2x －1，则2－1<2x －1<1，解得22<x <1.故选B.12．设M ，N 是抛物线y 2＝x 上的两个不同的点，O 是坐标原点．若直线OM 与ON 的斜率之积为－12，则( )A ．|OM |＋|ON |≥42B ．以MN 为直径的圆的面积大于4πC ．直线MN 过抛物线y 2＝x 的焦点D ．点O 到直线MN 的距离不大于2解析：选D 不妨设M 为第一象限内的点．当直线MN ⊥x 轴时，k OM ＝－k ON ，由k OM ·k ON＝－12，得k OM ＝22，k ON ＝－22，所以直线OM ，ON 的方程分别为y ＝22x ，y ＝－22x .与抛物线方程联立，得M (2，2)，N (2，－2)，所以直线MN 的方程为x ＝2，此时|OM |＋|ON |＝2 6，以MN 为直径的圆的面积S ＝2π，故A 、B 错．当直线MN 与x 轴不垂直时，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，与抛物线方程联立消去x ，得ky 2－y ＋m ＝0，则Δ＝1－4km >0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1y 2＝m k .因为k OM ·k ON ＝－12，所以y 1x 1·y 2x 2＝－12，则2y 2y 1＝－x 2x 1＝－y 21y 22，则y 1y 2＝－2，所以m k ＝－2，即m ＝－2k ，所以直线MN 的方程为y ＝kx －2k ，即y ＝k (x －2)．综上可知，直线MN 为恒过定点Q (2，0)的动直线，故C 错．易知当OQ ⊥MN 时，原点O 到直线MN 的距离最大，最大距离为2，即原点O 到直线MN 的距离不大于2.故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 2a 12＝16，则log 2a 15＝________．解析：因为a 2a 12＝16＝a 27，数列各项为正数，所以a 7＝4，所以a 15＝a 7q 8＝4×( 2)8＝26，则log 2a 15＝log 226＝6.答案：614．圆x 2＋y 2＝1的任意一条切线与圆x 2＋y 2＝4相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，O 为坐标原点，则x 1x 2＋y 1y 2＝________．解析：根据题意，设直线 AB 与圆x 2＋y 2＝1相切于点P ，可得|OP |＝1，|OA |＝|OB |＝2.又OP ⊥AB ，所以∠BOP ＝60°，则∠AOB ＝120°.又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝|OA ||OB |·cos 120°＝－2，则x 1x 2＋y 1y 2＝－2.答案：－215．《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S ＝14⎣⎡⎦⎤c 2a 2－⎝⎛⎭⎫c 2＋a 2－b 222.已知△ABC 满足(sin A －sin B )(sin A ＋sin B )＝sin A sin C －sin 2C ，且AB ＝2BC ＝22，则用以上给出的公式可求得△ABC 的面积为________．解析：设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .由(sin A －sin B )(sin A ＋sin B )＝sin A sin C －sin 2C ，根据正弦定理得(a －b )·(a ＋b )＝ac －c 2，整理可得c 2＋a 2－b 2＝ac .由已知得a ＝2，c ＝22，代入c 2＋a 2－b 2＝ac 得b ＝ 6.则由提供的公式可得△ABC 的面积S ＝14⎣⎡⎦⎤a 2c 2－⎝⎛⎭⎫ac 22＝34ac ＝34×2×22＝ 3. 答案：316．设函数f (x )＝ax 22e－ln|ax |(a >0)，若函数f (x )有4个零点，则a 的取值范围为________． 解析：因为函数f (x )的定义域为x ≠0，且f (x )＝ax 22e－ln|ax |＝f (－x )，所以f (x )是偶函数．又f (x )有4个零点，考虑 x >0的情况，即f (x )＝ax 22e －ln ax (a >0，x >0)有2个零点．f ′(x )＝ax e －1x，由f ′(x )<0可得0<x <e a ，由f ′(x )>0可得x >e a ，可知f (x )在x ＝ e a时取极小值，且x →0时，f (x )→＋∞，x →＋∞时，f (x )→＋∞，所以只要f (x )min ＝12－ln a e<0即满足题意，解得a >1.答案：(1，＋∞)。

江苏省—高三数学小练习及答案22

江苏省—高三数学小练习及答案22

高三数学小练（22）1、已知集合{}{}1,0,2,2a A B =-=，若B A ⊆,则实数a 的值为 。

2、若1524z z z i ⋅+=+（i 为虚数单位），则复数z = 。

3、已知双曲线2221(0)9x y b b -=>的一条渐近线的倾斜角为3π，则b 的值为 。

4、用分层抽样的方法从某高中学校学生中抽取一个容量为55的样本参加问卷调查，其中高一年级、高二年级分别抽取10人、25人。

若该校高三年级共有学生400人，则该校高一和高二年级的学生总数为 人。

5、用3种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形中有且仅有两个矩形颜色相同的概率是 。

6、函数()cos()cos()26f x x x ππ=+⋅+的最小正周期为 。

7、在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，M 为线段AB 的中点，若30oMOA ∠=，则该椭圆的离心率的值为 。

8、已知等比数列{}n a 的各均为正数，且21243723,4a a a a a +==，则数列{}n a 的通项公式为 。

9、设m R ∈，已知函数22()2(12)32f x x mx m x m =--+-+-，若曲线()y f x =在0x =处的切线恒过定点P ，则点P 的坐标为 。

10、对于函数()()y f x x R =∈，给出下列命题：（1）在同一直角坐标系中，函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图象关于直线0x =对称； （2）若(1)(1)f x f x -=-，则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称； （3）若(1)(1)f x f x +=-，则函数()y f x =是周期函数；（4）若(1)(1)f x f x -=--，则函数()y f x =的图象关于点（0,0）对称。

2020届高三数学小题狂练二十一含答案

2020届高三数学小题狂练二十一含答案

2020届高三数学小题狂练二十一姓名 得分1．已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a = . 2．抛物线24y x =上一点M 到其焦点的距离为3，则点M 的横坐标x = . 3．已知函数)(x f y =（x ∈R ）满足)()2(x f x f =+，且]1,1[-∈x 时，2)(x x f =，则5()()log F x f x x =-的零点的个数为 .4．若(2,1)a =-v与(,2)b t =-v 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为 .5．函数2()lg(21)f x x ax a =-++在区间(1)-∞，上单调递减，则实数a 的取值范围是 . 6．设α为锐角，54)6sin(=+πα，则)32sin(πα+的值等于 . 7．已知0a >，且1a ≠，函数,0,()(14)2,0x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有1212()[()()]0x x f x f x --<成立，则a 的取值范围是 .8．已知a b >，1a b ⋅=，则22a b a b+-的最小值是 .9．已知数列{}n a ，{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a ，1b ，且115a b +=，1a ，1b ∈N *，则数列{}nb a （n ∈N *）前10项的和等于 .10．设椭圆1C 和双曲线2C 具有公共焦点1F ，2F ，其离心率分别为1e ，2e ，P 为1C 和2C 的一个公共点，且满足021=⋅PF PF ，则2212221)(e e e e +的值为 . 11．设22log 1()log 1x f x x -=+，12()(2)1f x f x +=（12x >），则12()f x x 的最小值为_______.12．对于一切实数x ，令[]x 为不大于x 的最大整数，则函数()[]f x x =称为高斯函数或取整函数．若()3n na f =（n ∈N *），n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3n S =________.答案 1．134()2n -⋅2．2 3．44．(1,4)(4,)-+∞U 5．[1,2]6．2524（若3cos()65πα+=-，cos [cos()]066ππαα=+-<；或45<3πα<）7．11(,]428．222()2a b a b +=-+）9．85（11n a a n =+-，11n b b n =+-，113n b n a a b n =+-=+）10．2（2224m n c +=，12m n a +=，2||2m n a -=，后二式平方相加得22122e e --+=）11．23（21222122log 1log (2)11log 1log (2)1x x x x --+=++，化简得22214log log 1x x =-．于是212212221214log ()log log log 5log 1x x x x x x =+=+≥-，所以21212212212log ()122()1log ()1log ()13x x f x x x x x x -==-≥++（12x >））12．232n n -（33(1)(1)(1)n n S S n n n --=-+-+，311S ⨯=，3n S =232n n-）。

冲刺2020年高考数学小题狂刷卷(解析版)

冲刺2020年高考数学小题狂刷卷(解析版)

冲刺2020年高考数学小题狂刷卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合2{|20}A x x x =--≥，则R C A =（ ）A ．(1,2)-B ．[1,2]-C ．(2,1)-D ．[2,1]-【答案】A 【解析】 由题意2{|20}{|2A x x x x x =--≥=≥或1}x ≤-，所以{|12}R C A x x =-<<，故选A ．2．双曲线222=2x y -的焦点坐标为（ ）A ．(1,0)±B．(0) C ．(0,1)± D．(0,【答案】B 【解析】由2222x y -=可得22a 2,1b ==，焦点在x 轴上，所以222a 3c b =+=，因此c =所以焦点坐标为()；故选B ． 3．设实数x ，y 满足约束条件330200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】由实数x ，y 满足约束条件330200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩画出可行域如图阴影部分所示，可知当目标函数z x y =+经过点()3,0A 时取得最大值，则max 30 3.z =+= 故选D. 4．已知,,a b R ∈则“221a b +≤”是“1a b +≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】22221||1a b a b +≤⇔+≤，其表示的是如图阴影圆弧AB 部分，1a b +≤其表示的是如图阴影OAB ∆部分，所以 “221a b +≤”是“1a b +≤”的必要不充分条件.故答案选B.5．如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．20【答案】C 【解析】由三视图知，该几何体是一个四棱锥，且其底面为一个矩形，底面积6212S =⨯=，高为4，故该几何体的体积111241633V Sh ==⨯⨯=，故选C. 6．函数()()22ln x x f x x -=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】()f x Q 定义域为{}0x x ≠，且()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+= ()f x ∴为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当()0,1x ∈时，220x x -+>，ln 0x <，可知()0f x <，排除,A C .故选B ．7．设66016(1),x a a x a x +=+++L 则246a a a ++=（ ）A ．31-B ．32-C ．31D ．32【答案】C 【解析】二项式展开式的通项公式为6r r C x ，故2462466661515131a a a C C C ++=++=++=,故选C ．8．如图，半径为1的扇形AOB 中，23AOB π∠=，P 是弧AB 上的一点，且满足OP OB ⊥，,M N 分别是线段,OA OB 上的动点，则•PM PN u u u u v u u u v的最大值为（ ）A ．2BC ．1 D【答案】C【解析】•PM PN u u u u v u u u v 2()()PO OM PO ON PO OM PO OM ON =+⋅+=+⋅+⋅u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u u v u u u v0011cos150cos12010()0()122OM OM ON =++⋅≤+⨯-+⨯-=u u u u v u u u u v u u u v ，选C ．9．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为( )A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】D【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c,由AP斜率为6得，222tan sin cos PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=， 由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠,所以22214,54sin()3c a c e a c PAF =∴==+-∠，故选D ．10．已知数列{}n a 满足()*11112n n n na a n a a +++=+∈N ，则（ ） A ．当()*01n a n <<∈N 时，则1n n a a +> B ．当()*1n a n >∈N 时，则1n n a a +<C ．当112a =时，则111n n a a +++> D ．当12a =时，则111n n a a +++>【答案】C 【解析】111111112n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++++=+∴-+-=即111()(1)n n n n na a a a a ++--=． 当01n a <<时，1110n n a a +-<，故1n n a a +<，A 错误．当1n a >时，1110n n a a +->，故1n n a a +>，B 错误．对于D 选项，当1n =时，12a =，212111922a a a a +=+=<D 错误．用数学归纳法证明选项C.易知0n a >恒成立,当1n =时，21211123a a a a +=+=> 假设当n k =时成立，111k k a a +++>2121122k k a k a +++>+,当1n k =+时,222222111122211111112443426k k k k k k k k k a a a a a k a a a a +++++++++⎛⎫⎛⎫+=+=++=+++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即221k k a a +++> 成立,故111n n a a +++>恒成立，得证,故答案选C ． 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2020届高考冲刺数学(文)“小题精练”含详细解答(共30份)

2020届高考冲刺数学(文)“小题精练”含详细解答(共30份)

2020届高三数学（文）“小题速练”113. 14. 15. 16.1. 已知集合(){},|24A x y x y =+=，(){},|10B x y x y =-+=，则A B =IA ．∅B ．{}2,1C ．(){}2,1D ．(){}1,22. 已知复数z 满足6,25z z z z +=⋅=，则z =A ．34i ±B ．34i ±+C ．43i ±D ．43i ±+3. 已知12,e e 均为单位向量，若12-=e e ，则1e 与2e 的夹角为A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒4. 函数()335x f x x =+-的零点所在的区间为A ．()0,1B ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭5. 班主任要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中随机抽取3个人参加活动，则甲、乙同时被抽到的概率为 A ．110 B ．15C ．310D ．256. 若()tan 2sin αα=-π，则cos2α=A ．14-B ．1C ．12-或0D ．12-或1 7. 已知平面α⊥平面β，直线,l m ααβ⊂=I ，则“m l ⊥”是“m β⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8. 已知过点()0,1的直线与抛物线24x y =交于()()1122,,,A x y B x y 两点，若1294y y +=，则AB =A ．254B ．174C ．134D ．949. 某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课程．已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同课程．则以下说法错误．．的是 A ．丙有可能没有选素描 B ．丁有可能没有选素描C ．乙丁可能两门课都相同D ．这四个人里恰有2个人选素描10. 定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，且当10x -≤＜时，()21x f x =-，则()2log 20f =A ．14 B ．15C ．15-D ．14-11. 已知函数()sin cos f x x x =+，将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数()y g x =的图象．若()()122g x g x =-，则12||x x -的最小值为 A ．π2B ．πC ．2πD ．4π12. 已知双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b ＞＞）的一条渐近线方程为20x y -=，,A B 分别是C 的左、右顶点，M 是C 上异于,A B 的动点，直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，若112k ≤≤，则2k 的取值范围为 A ．11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13. 若实数x ，y 满足约束条件2,220,10,y x y x y -⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≥≤则2z x y =+的最大值为 ．14. ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos 2a B b A ac +=，则a = ． 15. 勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为______．16. 在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =．三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，则所得截面圆的面积的最小值为 ．2020届高三数学（文）“小题速练”1（答案解析）1.已知集合(){},|24A x y x y =+=，(){},|10B x y x y =-+=，则A B =I A ．∅ B ．{}2,1 C ．(){}2,1 D ．(){}1,2【答案】D ．【解析】由24,10x y x y +=⎧⎨-+=⎩得1,2,x y =⎧⎨=⎩所以A B =I (){}1,2．2.已知复数z 满足6,25z z z z +=⋅=，则z = A ．34i ± B ．34i ±+ C ．43i ± D ．43i ±+【答案】A ．【解析】设i z a b =+（,a b ∈R ），依题意得，2226,25a a b =+=，解得3,4a b ==±，所以z =34i ±．3.已知12,e e均为单位向量，若12-=e e 1e 与2e 的夹角为 A ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒【答案】C ．【解析】依题意，121==e e ，2123-=e e ，所以12223-⋅=e e ，即1212⋅=-e e ，所以1212121cos ,2⋅==-e e e e e e ，所以12,120=︒e e ． 4.函数()335x f x x =+-的零点所在的区间为 A ．()0,1 B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B ．【解析】依题意，()f x 为增函数，()13150,f =+-＜()2323250,f =+-＞32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭2758-=1308-＞，所以()f x 的零点所在的区间为31,2⎛⎫⎪⎝⎭．5.班主任要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中随机抽取3个人参加活动，则甲、乙同时被抽到的概率为 A ．110 B ．15C ．310D ．25【答案】C ．【解析】从5个人中随机抽取3人，所有的情况为{甲,乙,丙}，{甲,乙,丁}，{甲,乙,戊}，{甲,丙,丁}，{甲,丙,戊}，{甲,丁,戊}，{乙,丙,丁}，{乙,丙,戊}，{乙,丁,戊}，{丙,丁,戊}，共10种结果．记“甲、乙同时被抽到”为事件A ，则A 包含基本事件{甲,乙,丙}，{甲,乙,丁}，{甲,乙,戊}，共3个，故()310P A =． 6.若()tan 2sin αα=-π，则cos2α=A ．14-B ．1C ．12-或0D ．12-或1 【答案】D ． 【解析】由题设得，sin 2sin cos ααα=-，所以sin 0α=，或1cos 2α=-． 所以cos2α=1-22sin 1α=，或21cos22cos 12αα=-=-．7.已知平面α⊥平面β，直线,l m ααβ⊂=I ，则“m l ⊥”是“m β⊥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C ．【解析】若m l ⊥，则根据面面垂直的性质定理可得m β⊥；若m β⊥，则由l β⊂，可得m l ⊥．故选C ．8.已知过点()0,1的直线与抛物线24x y =交于()()1122,,,A x y B x y 两点，若1294y y +=，则AB =A ．254B ．174C ．134D ．94【答案】B ．【解析】依题意，点()0,1为抛物线的焦点，则由抛物线的定义可得 AB =122y y ++=917244+=．9.某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课程．已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同课程．则以下说法错误．．的是 A ．丙有可能没有选素描 B ．丁有可能没有选素描 C ．乙丁可能两门课都相同 D ．这四个人里恰有2个人选素描【答案】C ．【解析】因为甲选择了素描，所以乙必定没选素描．那么假设丙选择了素描，则丁一定没选素描；若丙没选素描，则丁必定选择了素描．综上，必定有且只有2人选择素描，选项A ，B ，D 判断正确．不妨设甲另一门选修为摄影，则乙素描与摄影均不选修，则对于素描与摄影可能出现如下两种情况：由上表可知，乙与丁必有一门课程不相同，因此C 不正确．10.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，且当10x -≤＜时，()21x f x =-，则()2log 20f =A ．14 B ．15C ．15-D ．14-【答案】B ．【解析】依题意，()()()2f x f x f x +=-=-，所以()()4f x f x +=，所以()f x 为周期函数，周期为4．又22log 53＜＜，所以212log 50--＜＜，所以()2log 20f =()22log 5f +=()()22log 522log 5f f -=--=()22log 521---=415⎛⎫--= ⎪⎝⎭15．11.已知函数()sin cos f x x x =+，将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数()y g x =的图象．若()()122g x g x =-，则12||x x -的最小值为 A ．π2B ．πC ．2πD ．4π【答案】A ．【解析】()π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故()g x 的周期为π，且()max g x ()min g x =．因为()()122g x g x ⋅=-，所以()()12g x g x =-=，或()()12g x g x =-=12ππ,2x x k k -=+∈N ，所以12min π||2x x -=． 12.已知双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b ＞＞）的一条渐近线方程为20x y -=，,A B 分别是C的左、右顶点，M 是C 上异于,A B 的动点，直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，若112k ≤≤，则2k 的取值范围为 A ．11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】A ．【解析】依题意，12b a =，则双曲线的方程为：222214x y b b -=，则()()2,0,2,0A b B b -，设()00,M x y ，则22002214x y b b-=，所以22022********2000014122444x b b y y y k k x b x b x b x b ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅===+---，因为1[1,2]k ∈，所以1211,8414k k ⎡=⎤∈⎢⎥⎣⎦． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13.若实数x ，y 满足约束条件2,220,10,y x y x y -⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≥≤则2z x y =+的最大值为 ． 【答案】4．【解析】作出可行域如图所示，则当直线2z x y =+过点(3,2)A -时z 取最大值4． 14.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos 2a B b A ac +=，则a = ． 【答案】12． 【解析】由题设及正弦定理得sin cos sin cos 2sin A B B A a C +=，所以()sin A B +=2sin a C ．又πA B C ++=，所以sin 2sin C a C =，所以12a =． 15.勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为______．【答案】19．【解析】设图中的小的勒洛三角形所对应的等边三角形的边长为a ，则小勒洛三角形的面积1S =()222343262a a a π-3π⨯-⨯=，因为大小两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，所以大勒洛三角形的面积2S =()()232a π-3=()292a π-3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率12S P S ==19．16.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =．三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，则所得截面圆的面积的最小值为 ． 【答案】12π．【解析】将三棱锥P ABC -补成直三棱柱，则三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球O ，记三角形ABC 的外心为1O ，设球的半径为R ，2PA x =，则球心O 到平面ABC 的距离为x ，即1OO x =，连接1O A ，则1152O A BC ==，所以2225R x =+．在ABC △中，取AC 的中点为E ，连接11,O D O E ，则1132O E AB ==，124DE AC ==，所以1O D =在1Rt OO D △中，OD =，由题意得到当截面与直线OD 垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为r ，则()22222251312r R OD x x =-=+-+=，所以最小截面圆的面积为12π．ABC1OO EDP2020届高三数学（文）“小题速练”2题号123456789101112答案13. 14. 15. 16.一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={x|x2=-x}，N={x|lg x=0}，则M∪N=（）A. {−1,0}B. {−1,0，1}C. {0,1}D. {−1,1}2.已知i为虚数单位，若复数z=(1+i)21−i，则|z|=（）A. 2B. 1C. √2D. √33.已知曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为3x+y=0，则曲线的离心率为（）A. 2B. 2√3C. 3D. √104.下列函数中是偶函数，且在区间（0，+∞）上为单调增函数的是（）A. y=lnx2B. y=e x−e−xC. y=cosxD. y=x3+x5.已知在一次射击预选赛中，甲、乙两人各射击10次，两人成绩的条形统计图如图所示，则下列四个选项中判断不正确的是（）A. 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B. 甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数C. 甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差D. 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差6.已知向量a⃗=(1，2)，b⃗ =(1，x)，若|a⃗−b⃗ |=a⃗⋅b⃗ ，则x=（）A. −3B. 13C. 3 D. 13或−37.从0，1，4，7这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，这个两位数是奇数的概率为（）A. 49B. 12C. 59D. 138.如图，小正方形方格边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 2π3B. 3π2C. π2D. 2π9.执行如图所示的程序框图，则输出的S为（）A. 36B. −36C. 45D. −4510.已知函数f（x）=A cos（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，ω＞0，A＜0）的部分图象如图所示，则A=（）A. −2B. −3C. −2√2D. −√6)，11.定义域为R的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（-x），且在区间[0，1]上单调递减．设a=f(152 b=f（2+√2），c=f（8），则a，b，c的大小关系是（）A. a>b>cB. c>b>aC. b>c>aD. c>a>b12.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形ABC是边长为2的等边三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1=3，M，N分别是BC，AB的中点，点P在棱CC1上，且CP=2PC1．设平面AMP与平面BNC1的交线为l，则直线C1N与l的位置关系是（）A. 相交B. 平行C. 异面D. 垂直二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f（x）=x2+ln x在点（1，f（1））处的切线方程为______．14.已知实数x，y满足{x+y≤3x−y≤0x−1≥0，则z=yx−1的最小值是______．15.已知抛物线y2=2px（p＞0），直线y=x-2与抛物线交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过点P（2，-2），则p=______．16.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2+b2=√3ab+c2，AB=1，则AC+√3BC的最大值是______．2020届高三数学（文）“小题速练”2（答案解析）1.【答案】B【解析】∵集合M={x|x2=-x}={0，-1}，N={x|lgx=0}={1}，∴M∪N={-1，0，1}．2.【答案】C【解析】解：复数z====i-1，则|z|==．3.【答案】D【解析】∵曲线的一条渐近线方程为3x+y=0，∴b=3a，∴c==a，∴e==．故选：D．4.【答案】A【解析】A．函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），f（-x）=ln（-x）2=lnx2=f（x），则f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=2lnx为增函数，满足条件．B．f（-x）=e-x-e x=-（e x-e-x）=-f（x），则函数为奇函数，不满足条件．C．y=cosx在（0，+∞）上不是单调函数，不满足条件．D．f（-x）=-x3-x=-（x3+x）=-f（x），函数为奇函数，不满足条件．5.【答案】D【解析】在一次射击预选赛中，甲、乙两人各射击10次，两人成绩的条形统计图如图所示，在A中，甲的成绩的平均数为：=（5+6×2+7×2+8×2+9×2+10）=7.5，乙的成绩的平均数为：=（6+7×3+8×2+9×3+10×1）=8，∴甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数，故A正确；在B中，甲的成绩的中位数为：，乙的成绩的中位数为：=8.5，∴甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数，故B正确；在C中，由条形统计图得甲的成绩相对分散，乙的成绩相对分散，∴甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差，故B正确．在D中，甲的成绩的极差为：10-5=5，乙的成绩的极差为：10-6=4，∴甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差，故D不正确．6.【答案】B【解析】向量，若，可得：，（x）．，解得x=-3（舍去）或x=．故选：B．7.【答案】A【解析】从0，1，4，7这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，基本事件总数n=3×3=9，这个两位数是奇数包含的基本事件个数m=2×2=4，∴这个两位数是奇数的概率为p=．8.【答案】D【解析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱截去圆柱的一半，如图：V=π•12×4=2π，故选：D．由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱截去圆柱的一半，即可求出几何体的体积．9.【答案】A【解析】模拟程序的运行，可得S=0，n=1执行循环体，S=-1，n=2满足条件4n2≥2n，执行循环体，S=3，n=3满足条件4n2≥2n，执行循环体，S=-6，n=4满足条件4n2≥2n，执行循环体，S=10，n=5满足条件4n2≥2n，执行循环体，S=-15，n=6满足条件4n2≥2n，执行循环体，S=21，n=7满足条件4n2≥2n，执行循环体，S=-28，n=8满足条件4n2≥2n，执行循环体，S=36，n=9此时，不满足条件4n2≥2n，退出循环，输出S的值为36．10.【答案】C【解析】由图象可得T=-==•，解得ω=3．可得：f（x）=Acos（3x+φ），由于点（，0）在函数图象上，可得Acos（3×+φ）=0，解得：3×+φ=kπ+，即：φ=kπ-，k∈Z，又由于点（，-2）在函数图象上，可得Acos（3×+kπ-）=-2，k∈Z，可得：Acos（+kπ）=-2，k∈Z，解得：A=-2，或2（舍去）．11.【答案】D【解析】∵偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（-x），∴f（x+1）=-f（-x）=-f（x），即f（x+2）=-f（x+1）=f（x），则f（x）为周期为2的周期函数，则c=f（8）=f（0），b=f（2+）=f（）=f（-）=f（2-），=f（8-）=f（-）=f（），∵0＜＜2-，且f（x）在区间[0，1]上单调递减．∴f（0）＞f（）＞f（2-），即c＞a＞b12.【答案】B【解析】∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形ABC是边长为2的等边三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1=3，M，N分别是BC，AB的中点，点P在棱CC1上，且CP=2PC1．设平面AMP与平面BNC1的交线为l，设AM∩CN=O，连结OP，∴C1N∥OP，∵OP⊂平面AMP，C1N⊄平面AMP，∴C1N∥平面APM，∵平面AMP与平面BNC1的交线为l，∴直线C1N与l的位置是平行．故选：B．13.【答案】3x-y-2=0【解析】f′（x）=2x+；故f′（1）=2+1=3；故函数f（x）=x2+lnx的图象在点A （1，1）处的切线方程为：y-1=3（x-1）；即3x-y-2=0；14.【答案】3【解析】作出实数x，y满足对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到定点D（1，0）的斜率，由图象知AD的斜率最小，由得（，），则AD的斜率k==3，即的最小值为：3，故答案为：3．15.【答案】1【解析】y2=2px（p＞0）和直线y=x-2联立，可得x2-（4+2p）x+4=0，△=（4+2p）2-16＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有x1+x2=4+2p，x1x2=4，线段AB为直径的圆过点P（2，-2），可得AP⊥BP，即有•=-1，即为=-1，可得x1x2=-[x1x2+4-2（x1+x2）]，化为-4=8-2（4+2p），解得p=1．检验判别式大于0成立．16.【答案】2√7【解析】由a2+b2=ab+c2可得=，得cosC=，又0＜C＜π，∴C=，根据正弦定理可得==，∴AC=2sinB，BC=2sinA，∴AC+BC=2sinB+2sinA=2sin（-A）+2sinA=cosA+3sinA=2sin （A+φ）≤=2．2020届高三数学（文）“小题速练”313. 14. 15. 16. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

2020届高三数学小题狂练二含答案

2020届高三数学小题狂练二含答案

2020届高三数学小题狂练二姓名 得分1．已知复数z 满足(2－i)z =5，则z = .2．已知向量24()，a =，11()，b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是 .3．若连续投掷两枚骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标(,)m n ，则点P 落在圆1622=+y x 内的概率为_________.4．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()log f x x =，则方程()1f x =的解集是 .5．已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M m -= .6．若三条直线320x y -+=，230x y ++=，0mx y +=不能构成三角形，则m 的值构成的集合是 .7．由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 .8．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则||x y -的值为 .9．已知(1)(1)()sin33x x f x ππ++=，则(1)(2)(2015)f f f +++=L .10．数列{}n a 中，11a =，1411++=+n n n a a a = . 11．已知点G 是ABC ∆的重心，若120A ∠=︒，2AB AC =-u u u r u u u r g ，则||AG u u u r 的最小值是 .12．双曲线221x y n-=（1n >）的两焦点为1F ，2F ，点P 在双曲线上，且满足12PF PF +=，则12PF F ∆的面积为 .答案1．2＋i2．3-3．294．{2,－12} 5．326．{3-，1-，2} 7．78．49．010．12764 11．23：1()3AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r12．1：12PF PF +=1212S PF PF =g ，平方减。

2020届高三数学小题狂练二

2020届高三数学小题狂练二

2020届高三数学小题狂练二姓名 得分1．已知复数z 满足(2－i)z =5，则z = .2．已知向量24()，a =，11()，b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是 .3．若连续投掷两枚骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标(,)m n ，则点P 落在圆1622=+y x 内的概率为_________.4．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()log f x x =，则方程()1f x =的解集是 .5．已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M m -= .6．若三条直线320x y -+=，230x y ++=，0mx y +=不能构成三角形，则m 的值构成的集合是 .7．由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 .8．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则||x y -的值为 .9．已知(1)(1)()sin33x x f x ππ++=，则(1)(2)(2015)f f f +++=L .10．数列{}n a 中，11a =，1411++=+n n n a a a = . 11．已知点G 是ABC ∆的重心，若120A ∠=︒，2AB AC =-u u u r u u u r g ，则||AG u u u r 的最小值是 .12．双曲线221x y n-=（1n >）的两焦点为1F ，2F ，点P 在双曲线上，且满足12PF PF +=，则12PF F ∆的面积为 .答案1．2＋i2．3-3．294．{2,－12} 5．326．{3-，1-，2} 7．78．49．010．12764 11．23：1()3AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r12．1：12PF PF +=1212S PF PF =g ，平方减。

2020年高考冲刺数学小题狂刷卷(浙江专用)(解析版)

2020年高考冲刺数学小题狂刷卷(浙江专用)(解析版)

2020年高考冲刺数学小题狂刷卷（浙江专用）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知a R ∈,复数122,12z ai z i =+=-，若12z z 为纯虚数，则a 的值为（ ） A ．0B ．1C ．3D ．5 【答案】B 【解析】 由()()122(12)222(4)2241212(12)555ai i z ai a a i a a i z i i i +++-++-+====+--+， 因为复数是纯虚数，所以1a =满足题意，故选B.2．函数()233sin 32f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是（ ） A ．周期为3π的偶函数 B ．周期为2π的偶函数C ．周期为3π的奇函数D ．周期为43π的偶函数 【答案】A 【解析】()2323sin 3cos 323f x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，3T π=，为偶函数.故选A. 3．已知集合{1A x x ≤=-或}1x ≥，集合{}01B x x =<<，则（ ）A ．{}1AB ⋂=B ．R A B A ⋂=ðC ．()(]R 0,1A B ⋂=ð D ．A B =R U 【答案】B【解析】1B ∉ 故A 错；{}R 01B x x x =≤≥或ð 故B 正确； ()(]R 0,1A B ⋂≠ð ；R A B ⋃≠；故选B.4．点()1,1M 到抛物线22y ax =准线的距离为2，则a 的值为（ ） A ．1 B ．1或3 C ．18或124- D ．14-或112【答案】C 【解析】依题意可知0a ≠，抛物线的标准方程为212x y a= 当0a <时，抛物线的准线方程为18y a =-，点()1,1M 到18y a =-的距离为1111288a a ⎛⎫--=+= ⎪⎝⎭，解得124a =-.当0a >时，抛物线的准线方程为18y a =-，点()1,1M 到18y a =-的距离为1111288a a ⎛⎫--=+= ⎪⎝⎭，解得18a =.所以a 的值为18或124-.故选C. 5．若x y ，满足约束条件0300x y x y x m +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩,且2z x y =-的最大值为9．则实数m 的值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】画出可域如下图，其中x=m 是一条动直线，由于已知max 2x-9y =（），所以当29x y -=经过可行域某个顶点（或边界）时取到最大值，此时点A(3,-3)，所以m=3,选D.6．电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法的种数为（ ）A ．40B ．36C ．32D ．20 【答案】A【解析】除甲、乙、丙三人的座位外，还有7个座位，共可形成六个空，三人从6个空中选三位置坐上去有36C 种坐法，又甲坐在中间，所以乙、丙有22A 种方法，所以他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有36C 2240A ⋅=种.故答案为A. 7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112,0,3(2)m m m S S S m -+=-==≥，则n nS 的最小值为（ ） A ．-3B ．-5C ．-6D ．-9【答案】D【解析】由112,0,3(2)m m m S S S m -+=-==≥可知12,3m m a a +==， 设等差数列{}n a 的公差为d ，则1d =，∵0m S =，∴12m a a =-=-，则3n a n =-，(5)2n n n S -=，2(5)2n n n nS -=,设2(5)(),02x x f x x -=>，23'()5,02f x x x x =->，∴()f x 的极小值点为103x =，∵n Z ∈，且(3)9f =-，(4)8f =-，∴min ()9f n =-，故选D.8．已知随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-，(1)P p ξ==，其中01p <<.令随机变量|()|E ηξξ=-，则（ ）A ．()()E E ηξ>B ．()()E E ηξ<C ．()()D D ηξ>D ．()()D D ηξ<【答案】D【解析】随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-,(1)P p ξ==,其中01p <<. 则随机变量ξ的分布列为:所以()()(),1E p D p p ξξ==-,随机变量|()|E ηξξ=-,所以当0ξ=时,()E p ηξξ=-=,当1ξ=时,()1E p ηξξ=-=-,所以随机变量|()|E ηξξ=-的分布列如下表所示(当0.5p =时,η只有一个情况,概率为1):则()()()()1121E p p p p p p η=-+-=-,()()()()22211121D p p p p p p p p η=--⋅-+---⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2121p p p =--, 当()()E E ξη=即()21p p p =-,解得12p =.所以A 、B 错误.()()D D ξη-()()()21121p p p p p =----()22410p p =->恒成立.所以C 错误,D 正确,故选D.9．在平行四边形ABCD 中，点P 在对角线AC 上（包含端点），且2AC =，则()PB PD PA +⋅u u u v u u u v u u u v 有（ ） A ．最大值为12，没有最小值 B ．最小值为12-，没有最大值 C ．最小值为12-，最大值为4 D ．最小值为4-，最大值为12 【答案】C 【解析】如图：2PB PD PO +=u u u r u u u r u u u r 所以2PB PD PA PO PA +⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （）,（1）当点P 在AO 上,设||[0,1]PO a =∈u u u r ,()22(1)PB PD PA PO PA a a +⋅=⋅=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,当12a =时,有最小值12-;（2）当点P 在CO 上,设||[0,1]PO a =∈u u u r ,()22(1)PB PD PA PO PA a a +⋅=⋅=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,当1a =时,有最大值4;综上()PB PD PA +⋅u u u r u u u r u u u r 有最小值为12-,最大值为4.故选C. 10．已知1F ，2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，若存在过1F 的直线分别交双曲线C 的左、右支于A ，B 两点，使得221∠=∠BAF BF F ，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．(1,23]+B ．(1,25]+C ．(3,23]+D ．(3,25]+【答案】D 【解析】在2BAF V 和21BF F V 中，由221221,BAF BF F ABF F BF ∠=∠∠=∠,可得221BAF BF F V V ∽, 即有221212BF F A BA k BF BF F F ===,即为112212,2AB BF AF kBF BF kBF AF k c =-=⎧⎪=⎨⎪=⋅⎩ 121111222(1)21a BF BF a BF kBF a k BF a BF k-=-=∴-=∴=-Q ，， . 2112112211,,2BF AF kBF AF BF kBF AF a BF k BF -=∴=-∴-=-Q ,()222211a k c a k k ∴⋅-=--21,3a k e c a∴=<∴>-.1122()12,,253a a c a BF a BF c a e c a c a -⎛⎫-==≥+∴≤+ ⎪--⎝⎭故选D. 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2020届高三数学小题狂练试题含答案(共40份)

2020届高三数学小题狂练试题含答案(共40份)

2020届高三数学小题狂练一姓名 得分1．已知2{230}A x x x =--≤，{}B x x a =<，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 .2．已知2()|log |f x x =，则=+)23()43(f f .3．若平面向量b 与向量a =(1,2)-的夹角是180o，且|b |=b = .4．已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出下列四个命题： ①若αβ⊥，l β⊥，则l ∥α； ②若l α⊥，l ∥β，则βα⊥； ③若l 上有两个点到α的距离相等，则α//l ； ④若αβ⊥，α∥γ，则βγ⊥. 其中正确命题的序号是 .5．设函数()24xf x x =--，0x 是()f x 的一个正数零点，且0(,1)x a a ∈+，其中a ∈N ，则a = .6．已知α为第二象限的角，且53sin =α，则=+)4cos(πα . 7．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3A π=，3=a ，1=b ，则=c .8．已知函数()cos f x x x =，则'()3f π=_________.9．已知等差数列{n a }中，0n a ≠，若m ∈N ，1m >，2110m m m a a a -+-+=，2138m S -=，则m = .10．若关于x 的方程10kx +=有两个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是 .11．设周期函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若)(x f 的最小正周期为3，且2)1(->f ，mm f 3)2(-=，则m 的取值范围是 . 12．分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数，依次记为m 和n ，则m n >的概率为 .答案 1．(3,)+∞ 2．1 3．(3,6)- 4．②④ 5．26． 7．28．12 9．10 10．1[,0)2-11．)3,0()1,(⋃--∞ 12．352020届高三数学小题狂练二姓名 得分1．已知复数z 满足(2－i)z =5，则z = .2．已知向量24()，a =，11()，b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是 . 3．若连续投掷两枚骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标(,)m n ，则点P 落在圆1622=+y x 内的概率为_________.4．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()log f x x =，则方程()1f x =的解集是 .5．已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M m -= .6．若三条直线320x y -+=，230x y ++=，0mx y +=不能构成三角形，则m 的值构成的集合是 .7．由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 . 8．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则||x y -的值为 .9．已知(1)(1)()sin 33x x f x ππ++=，则(1)(2)(2015)f f f +++=L .10．数列{}n a 中，11a =，1411++=+n n n a a a = .11．已知点G 是ABC ∆的重心，若120A ∠=︒，2AB AC =-u u u r u u u rg ，则||AG u u u r 的最小值是 .12．双曲线221x y n-=（1n >）的两焦点为1F ，2F ，点P 在双曲线上，且满足12PF PF +=，则12PF F ∆的面积为 .答案1．2＋i 2．3- 3．294．{2,－12}5．326．{3-，1-，2} 7．7 8．4 9．010．1276411．23：1()3AG AB AC =+u u ur u u u r u u u r12．1：12PF PF +=1212S PF PF =g ，平方减2020届高三数学小题狂练三姓名 得分1．若12z a i =+，234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值是 . 2．抛物线2y ax =（a 为非零常数）的准线方程为 .3．设函数()log a f x x =（0a >，1a ≠）满足(9)2f =，则(9)af 的值是 . 4．曲线C ：()sin xf x x e =+在0x =处的切线方程为 .5．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若3S ，9S ，6S 成等差数列，则数列{}n a 的公比q 为 .6．若a ，b≤m 的最小值是 .7．椭圆22143x y +=的右焦点为F ，点(1,1)A ，点M 是椭圆上的任意一点，则2MA MF +的最小值为 . 8．设x ，y 均为正实数，且312121=+++y x ，则xy 的最小值为 . 9．若直线l 与圆224x y +=相交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，且12122x x y y +=，则AB = .10．小张、小李、小王三位同学在足球场上做传球训练，规定：持球的任何一人必须将球传给另两位同学中的一人．开始时球在小王脚下，传球4次后，则球仍然回到小王脚下的概率为 .11．已知()f x =||2x x a x -+，若()f x 在R 上恒为增函数，则a 的取值范围是 .12．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在准线上，且12PF PF ⊥，124PF PF ab =g ，则该双曲线的离心率等于 .答案 1．38 2．14y a=- 3．64．210x y -+=5．2-67．38． 16（去分母）9．2（2OA OB ⋅=u u u r u u u r ，3AOB π∠=）10．38（树状图，616）11．[2,2]-（x a ≥：0x a ≤；x a <：0x a ≥）12（由射影公式得222()a m c c c =+2222c a =+，222()a n c c c=-22b =，代入222216m n a b =）或（2ab h c=，中线PO c =，2222()a h c c =-）2020届高三数学小题狂练四姓名 得分1．若集合2{5,log (3)}A a =+，集合{,}B a b =，{2}A B =I ，则A B U = . 2．若复数2(56)(3)i z m m m =-++-是纯虚数，则实数m = . 3．若10≤≤x ，且21y x -≥，则2z x y =+的最小值为 .4．若函数32()f x ax x x =-+在R 上单调递增，则a 的取值范围是 . 5．在等差数列{}n a 中，638a a a =+，则前9项之和9S = . 6．已知ABC ∆中，2a =，b =45A =︒，则B 等于 .7．曲线sin cos y t x x =+在0=x 处的切线方程为1+=x y ，则=t . 8．曲线C1+=上的点到原点的距离的最小值为_________.9．已知直线l 的倾斜角为︒120，与圆M ：0222=-+y y x 交于P ，Q 两点，若0OP OQ ⋅=u u u r u u u r（O 为原点），则l 在x 轴上的截距为 .10．如图，在ABC ∆中，1tan 22C =，0AH BC ⋅=u u u r u u ur ，0)(=+⋅CB CA AB ，则过点C 以A ，H 为两焦点的双曲线的离心率为 .11．在由正整数构成的无穷数列{}n a 中，对任意的正整数n ，都有1n n a a +≤，且对任意的正整数k ，该数列中恰有21k -个k ，则2015a 的值等于 .12．已知函数()f x 满足(2016)1f =，)1(-x f 为奇函数，)1(+x f 为偶函数，则(4)f 的值等于 .BACH答案1．{1，2，5} 2．2 3．1 4．1[,)3+∞ 5．0 6．60°或120° 7．1 8．429y b =+ 10．2 11．4512．1-：(1)(1)f x f x -=---，(1)(1)f x f x -=+，于是()(2)f x f x =---，(2)()f x f x -=，所以(2)(2)f x f x -=---，进而得周期为82020届高三数学小题狂练五姓名 得分1．已知向量(1,3)m →=，(2,1)n a a →=-，若→→⊥n m ，则a = .2．已知7-，1a ，2a ，1-四个实数成等差数列，4-，1b ，2b ，3b ，1-五个实数成等比数列，则212b a a -= . 3．正方体的内切球与其外接球的体积之比为 .4．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线5x y +=下方的概率是 .5．若直线10x my ++=与线段AB 有公共点，其中(2,3)A -，(3,2)B ，则实数m 的取值范围是 .6．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，则双曲线22221y x a b-=的离心率为 .7．设x ，y 为实数，且511213x y i i i+=---，则x y += .8．已知向量a r 与b r 的夹角为120o，||3a =r ，||a b +=r r ||b r = .9．在ABC ∆中，3sin 4cos 6A B +=，3cos 4sin 1A B +=，则C ∠等于 . 10．与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是 .11．函数()f x 对于任意x 满足()(2)1f x f x +=，且(1)5f =-，则((5))f f = . 12．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，定义在R 上的奇函数()g x 的图象过点(1,1)-且()(1)g x f x =-，则(2015)(2016)f f +=__________.答案 1．3 2．1-3．1∶ 4．165．1[2,]3-6 7．4 8．4 9．6π（若6A B π+=，1sin 2A <，4cos 4B ≤）10．22(2)(2)2x y -+-= 11．15-：1(1)5f -=-12．1-（由()(1)g x f x -=--得()(1)g x f x -=+，故(1)(1)f x f x --=+，于是(4)()f x f x +=，所以(1)(0)(0)(1)f f g g -+=+）2020届高三数学小题狂练六姓名 得分1．设集合{0,1,2}M =，{2,}N x x a a M ==∈，则集合=N M I . 2．已知∈x R ，[]x 表示不大于x 的最大整数，如[]π=3，[]-=-121，[]120=，则使[]x -=13成立的x 的取值范围是 .3．定义在R 上的奇函数)(x f 满足1)2(=f ，且)2()()2(f x f x f +=+，则(1)f = .4．已知ααcos sin 2=，则ααα2cos 12sin 2cos ++的值等于 . 5．若关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集为(1,)m ，则实数m = .6．若向量a v ，b v满足||a =v ||1b =v ，()1a a b +=v v vg ，则向量a v ，b v 夹角大小为 .7．若cos 2sin()4απα=-，则cos sin αα+的值为 . 8．化简tan 70cos10tan 702cos 40-oo o o o= . 9．已知0a >且1a ≠，2()xf x x a =-，若当x ∈[1,1]-时均有1()2f x <，则实数a 的范围是 .10．已知正项数列{}n a 的首项11a =，前n 和为n S ，若以(,)n n a S 为坐标的点在曲线1(1)2y x x =+上，则数列{}n a 的通项公式为 . 11．已知02x π<<，且t 是大于0的常数，1()sin 1sin tf x x x=+-的最小值为9，则t = . 12．设()f x 是定义在R 上的函数，且满足(2)(1)()f x f x f x +=+-，如果3(1)lg2f =，(2)lg15f =，则(15)f = .答案 1．}2,0{ 2．[4,5) 3．21 4．3 5．2 6．135︒ 7．128．29．1(,1)(1,2)2U 讨论最大值 10．n a n = 11．412．1（(3)()f x f x +=-）2020届高三数学小题狂练七姓名 得分1．若集合{1,1}M =-，11{|242x N x x +=<<∈Z}，，则M N =I . 2．已知cos ,0,()(1)1,0,x x f x f x x π≤⎧=⎨-+>⎩则41()()33f f +-的值为 .3．已知()(1)(21)(31)(1)f x x x x x nx =+++⋅⋅⋅+，求=')0(f .4．设O 是ABC ∆内部一点，且2OA OC OB +=-u u u r u u u r u u u r，则AOB ∆与AOC ∆的面积之比为 .5．已知函数2()log 3f x x x =⋅+，直线l 与函数()f x 图象相切于点(1,)A m ，则直线l 的方程的一般式为 .6．扇形OAB 半径为2，圆心角60AOB ∠=︒，点D 是弧AB 的中点，点C 在线段OA 上，且3=OC ．则OB CD ⋅的值为 .7．已知0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是 .8．已知ABC ∆的面积等于3，1BC =，3π=∠B ，则tan C 的值为 .9．如果圆2244100x y x y +---=上至少有三个点到直线l ：0ax by +=的距离为l 的倾斜角的取值范围是 .10．若函数)(x f 是定义在（0,+∞）上的增函数，且对一切0x >，0y >满足)()()(y f x f xy f +=，则不等式)4(2)()6(f x f x f <++的解集为 .11．若直线6x π=是函数sin cos y a x b x =+图像的一条对称轴，则直线0ax by c ++=的倾斜角为 . 12．已知正实数x ，y 满足111x y +=，则9411y xx y +--的最小值为 .答案 1．{1}- 2．2 3．1 4．1∶25．(ln 2)3ln 210x y -+-=6．3（CD CO OD =+u u u r u u u r u u u r）7．(4,2)-8．- 9．5[,]1212ππ10．(0,2)11．150°（(0)()3f f π=）12．25：令10m x=>，10n y =>，则1m n +=，于是9411y x x y +--49449911m n m nm n n m++=+=+--25≥2020届高三数学小题狂练八姓名 得分1．复数z 满足方程(2)z z i =+，则z = .2．设集合{|}M x x m =≤，{|2}xN y y -==，若M N ⋂≠∅，则实数m 的取值范围是 .3．若函数2()2x x af x a+=-是奇函数，则a = .4．抛物线24x y =上一点A 的横坐标为2，则点A 与抛物线焦点的距离为 . 5．掷一个骰子的试验，事件A 表示“大于2的点数出现”，事件B 表示“大于2的奇数点出现”，则一次试验中，事件A B +发生概率为 .6．过点(1,4)A -作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ，则l 的方程为 . 7．若ABC ∆的三条边长2a =，3b =，4c =，则C ab B ca A bc cos 2cos 2cos 2++的值为 .8．已知函数)(x f 的导数()(1)()f x a x x a '=+-，若()f x 在x a =处取到极大值，则常数a 的取值范围是 .9．已知二次函数2()f x ax bx c =++，且不等式()0f x <的解集为(,1)(3,)-∞+∞U ，若)(x f 的最大值小于2，则a 的取值范围是 .10．在OAB ∆中，M 为OB 的中点，N 为AB 的中点，ON ，AM 交于点P ，若AP mOA nOB =+u u u v u u u v u u u v（m ，n ∈R ），则n m -= .11．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项的和，n T 为等差数列{}n b 的前n 项的和，若n m S T =2(1)n m m +，则510a b =_________.12．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，它的图象关于直线2x =对称，当[02]x ∈,时，tan [01),()(1)[12],x x f x f x x ∈⎧=⎨-∈⎩,,,,则(5)6f π--=__________.答案 1．1i -+ 2．(0,)+∞ 3．1± 4．2 5．326．4y =或34130x y +-= 7．29 8．(1,0)- 9．(2,0)-10．1：连MN ，相似 11．920（59101921929a Sb T =） 12．3（()()f x f x -=，(2)(2)f x f x +=-+，∴()(4)f x f x =-+((4))f x =--+，周期为4，(5)(1)(1)()tan 66666f f f f πππππ--=--=+===）2020届高三数学小题狂练九姓名 得分1．函数()sin(2)f x x π=+的最小正周期是 .2．若直线210x ay +-=与01)1(=+--ay x a 平行，则a 的值为 . 3．抛物线22y x =-的焦点坐标是 .4．函数20.5()log (65)f x x x =-+的单调减区间是 .5．已知3sin 5α=，(,)2παπ∈，则tan()4πα+值为 . 6．某人有甲、乙两只电子密码箱，欲存放三份不同的重要文件，则此人使用同一密码箱存放这三份重要文件的概率是 . 7．函数sin()cos()66y x x ππ=++的图象离原点最近的对称轴方程为 .8．在等比数列{}n a 中，0n a >，且211a a =-，439a a =-，则45a a += .9．若3213()32f x x x ax =-+在[1,4]-上是减函数，则实数a 的取值范围是 .10．已知向量a r ，b r 满足||1a =r ，||b =r a b +=r r，则||a b -=r r .11．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为 .12．对于任意两个实数a ，b ，定义运算“⊗”如下：,,,.a a b a b b a b ≤⎧⊗=⎨>⎩则函数2()[(6)(215)]f x x x x =⊗-⊗+的最大值为_________.答案 1．22．123．1(0,)8-4．),5(+∞5．17 6．147．12x π=8．27 9．(,4]-∞- 10．2 11．36π 12．92020届高三数学小题狂练十姓名 得分1．方程2lg(1)1lg(1)x x ++=-的解是 . 2．已知复数i z24-=（i 为虚数单位），且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，则实数a 的取值范围为 .3．曲线x x f ln )(=在e x =处的切线方程为 .4．随机向一个正三角形内丢一粒豆子，则豆子落在此三角形内切圆内的概率为 . 5．若双曲线122=-y x 右支上一点(,)A m n 到直线x y =的距离为2，则m n += .6．函数5x y x a+=-在(1,)-+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是 . 7．ABC ∆中，AP 为BC 边上的中线，||3AB =u u u r ，2-=⋅，则||AC =u u u r.8．直线AB 过抛物线2y x =的焦点F ，与抛物线相交于A ，B 两点，且|AB |=3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 .9．设数列{}n a 的通项为210n a n =-（n ∈N *），则=+++||...||||1521a a a . 10．已知函数()cos f x x =（(,3)2x ππ∈），若方程a x f =)(有三个不同的实根，且三根从小到大依次构成等比数列，则a 的值为 .11．若函数()f x 满足(2)()1f x f x +=-+，且(1)2007f =-，则(2015)f = . 12．对于任意实数x ，符号[]x 表示x 的整数部分，即[]x 是不超过x 的最大整数．那么]1024[log ]4[log ]3[log ]2[log ]1[log 22222+++++Λ= .答案1．11x = 2．(2,6) 3．0x ey -=4 5．126．(5,1]--7 8．549．130 10．21-（三根：α，2πα-，2πα+） 11．2008：(2)()1f x f x +=-+，(4)(2)1f x f x +=-++，4T =，(3)(1)1f f =-+ 12．8204：1+1+2(23-22)+3(24-23)+…+9(210-29)+10=1*21+2*22+3*23+…+9*29+102020届高三数学小题狂练十一姓名 得分1．设集合1{|0}2M x x =-<，{}210N x x =+>，则M N =I . 2．幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8--，则满足()27f x =的x 的值是 .3．过点(1,0)且倾斜角是直线210x y --=的倾斜角的两倍的直线方程是 . 4．若椭圆221x my +=（01m <<，则它的长轴长为 . 5．从分别写有1，2，3，4，5的五张卡片中任取两张，则这两张卡片上的数字和为偶数的概率为 .6．已知复数11z i =-，2||3z =，那么||21z z -的最大值是 . 7．若函数213ln1xy x x+=+-的最大值与最小值分别为M ，m ，则M m += . 8．设1232,2,()log (1),3,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩则不等式()2f x >的解集为 . 9．若()sin()1f x A x ωϕ=++（0ω>，||<πϕ）对任意实数t ，都有ππ()()33f t f t +=-+．记()cos()1g x A x ωϕ=+-，则π()3g = .10．已知在同一平面上的三个单位向量a r ，b r ，c r，它们两两之间的夹角均为120o ，且 |1ka b c ++>r r r｜，则实数k 的取值范围是 .11．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，交准线于点C ．若2CB BF =uu r uu u r，则直线AB 的斜率为 .12．已知ABC ∆三边a ，b ，c 的长都是整数，且a b c ≤≤，如果b m =（m ∈N *），则这样的三角形共有 个（用m 表示）．答案1．11{|}22x x -<<2．133．4340x y --= 4．4 5．526．3+ 7．68．),10()2,1(+∞Y 9．1-10．{|0k k <或2}k >11．BH l ⊥，抛物线定义得sin 0.5BCH =，故倾斜角为60︒或120︒） 12．(1)2m m +（a m c ≤≤，则m c a m ≤<+，1a =时1个，…，a m =时m 个）2020届高三数学小题狂练十二姓名 得分1．若复数z 满足方程1-=⋅i i z ，则z = .2．A ，B ，C 三种不同型号的产品的数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样的方法抽出样本容量为n 的样本，样本中A 型产品有16件，那么样本容量n 为 .3．底面边长为2的正四棱锥的体积为 .4．若点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点，则点P 到直线2-=x y 的最小距离为 .5．袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是 .6．数列{}n a 中，12a =，21a =，11112-++=n n n a a a （2n ≥，n ∈N ），则其通项公式为n a = .7．已知双曲线C 与椭圆221925y x +=有相同的焦点，它们离心率之和为145，则C 的标准方程是 .8．已知二次函数f x ()满足f x f x ()()11+=-，且f f ()()0011==，，若f x ()在区间[,]m n 上的值域是[,]m n ，则m n +的值等于 .9．已知函数()cos f x x ω=（0ω>）在区间π[0]4, 上是单调函数，且3π()08f =，则ω= . 10．已知PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且△PAB ，△PAC ，△PBC 的面积分别为1.5cm 2，2cm 2，6cm 2，则过P ，A ，B ，C 四点的外接球的表面积为 cm2.11．设椭圆22221y x a b+=（0a b >>）的两个焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，且120PF PF ⋅=u u u r u u u u r，12tan 2PF F ∠=，则该椭圆的离心率等于 .12．在ABC ∆中，已知4AB =，3AC =，P 是边BC 的垂直平分线上的一点，则BC AP ⋅u u u r u u u r= .答案1．1i-2．803．4 345．1 96．2 n7．221 412y x-=8．1（1n≤）9．43或410．26π（补形）1112．7 2 -2020届高三数学小题狂练十三姓名 得分1．函数2()12sin f x x =-的最小正周期为 .2．若函数()log (01)a f x x a =<<在闭区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3倍，则a = .3．函数x y sin =的定义域为],[b a ，值域为21,1[-]，则a b -的最大值和最小值之和为 .4．函数32()267f x x x =-+的单调减区间是 . 5．若2(3),6,()log ,6,f x x f x x x +<⎧=⎨≥⎩则(1)f -的值为 .6．设等差数列{}n a 的公差0d ≠，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = .7．在直角坐标系xOy 中，i r ，j r分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角ABC ∆中，AB i j =+u u u r r r ，2AC i m j =+u u u r r r，则实数m = .8．若函数2()x f x x a=+（0a >）在[1,)+∞上的最大值为3，则a 的值为 . 9．若不等式1,0ax x a >-⎧⎨+>⎩的解集是空集，则实数a 的取值范围是 .10．已知两圆1C ：22210240x y x y +-+-=，2C ：222280x y x y +++-=，则以两圆公共弦为直径的圆的方程是 .11．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交其准线于点C ，且2BC FB =u u u r u u u r，12AF =，则p 的值为 .12．从椭圆上一点A 看椭圆的两焦点1F ，2F 的视角为直角，1AF 的延长线交椭圆于B ，且2AF AB =，则椭圆的离心率为__________.答案 1．π2．43．2π 4．[0,2]5．3 6．4 7．0或2-81-讨论a 9．(,1]-∞-10．5)1()2(22=-++y x （圆心在公共弦上，3λ=-）11．6：作AH Ox ⊥，30AFH ∠=︒，12sin 30622A p px =+︒=+，12cos 30A y =︒=12269-不扣分）：2AF m =，2BF =，24m a +=，故(4m a =-，12AF a m =-，22212(2)AF AF c +=2020届高三数学小题狂练十四姓名 得分1．设集合{0,}P m =，2{|250,}Q x x x x Z =-<∈，若P Q ≠∅I ，则m 的值等于 .2．若函数sin3xy π=（0x t ≤≤）的值域为[1,1]-，则正整数t 的最小值是 .3．若函数23xy t =⨯+的图象不经过第二象限，则t 的取值范围是 .4．已知()y f x =是奇函数，当0x <时，2()f x x ax =+，且(2)6f =，则a = . 5．A 是圆O 上一定点，在圆O 上其它位置任取一点B ，连接AB ，则AB 的长度不小于圆O 半径长度的概率为 .6．若数列}{n a 满足12,01,1,1,n n n n n a a a a a +≤≤⎧=⎨->⎩且167a =，则2015a = .7．已知两点(2,0)A -，(0,2)B ，点C 是圆0222=-+x y x 上任意一点，则ABC ∆面积的最小值是 .8．已知1F ，2F 分别是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若︒=∠9021PF F ，且21PF F ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是 .9．已知函数()f x ，()g x 满足(5)5f =，3)5('=f ，(5)4g =，1)5('=g ，则函数()2()f x yg x +=的图象在5x =处的切线方程为 .10．若存在[1,3]a ∈，使得不等式2(2)20ax a x +-->成立，则实数x 的取值范围是 .11．若实数a ，b 满足410ab a b --+=（1a >），则(1)(2)a b ++的最小值为 . 12．已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且1⋅=c a ，1⋅=c b，||=c 正实数t ，1||t t++c a b 的最小值为 .答案1．1或2 2．53．(,2]-∞- 4．55．23 6．377．3-8．59．51630x y -+= 10．{|x 1x <-或23x >}补 11．27（消a ）12．2020届高三数学小题狂练十五姓名 得分1．复数13i z =+，21i z =+，则复数12z z 在复平面内对应的点位于第___ ___象限. 2．函数224x x y -=的值域是 .3．等差数列{}n a 中，若18153120a a a ++=，则9102a a -= . 4．若不等式1420xx a +-->在[2,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为 .5．函数3sin(2)([0,])6y x x ππ=+∈的单调减区间是 .6．若经过点(1,0)P -的直线与圆224230x y x y ++-+=相切，则这条直线在y 轴上的截距是 .7．若3()2f x x ax =--在区间(1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 . 8．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且sin cos cos A B Ca b c==，则A ∠= .9．实数x ，y 满足350x y --=，[1,3]x ∈，则2yx -的取值范围是 . 10．若33,0,()0,xx a x f x x a -+-<⎧=⎨≥⎩（0a >且1a ≠）是),(+∞-∞上的减函数，则a 的取值范围是 . 11．已知函数||sin 1()||1x x f x x -+=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m += .12．已知点O 在ABC ∆内部，且有24OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r，则OAB ∆与OBC ∆的面积之比为 .答案1．四 2．(0,4] 3．24 4．(,8)-∞ 5．2[,]63ππ6．1 7．(,3]-∞ 8．90o9．(,2][4,)-∞+∞U 10．2(0,]311．212．4∶1（OA OB BA =+u u u r u u u r u u u r ，1477OC OB BC BO BA BC =+⇒=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，平行四边形，相似三角形）2020届高三数学小题狂练十六姓名 得分1．设复数112z i =-，2x x i =+（x ∈R ），若12z z 为实数，则x = . 2．双曲线过点P，且渐近线方程为y x =，则此双曲线的方程为 . 3．已知212cos2sin=+θθ，则cos 2θ= . 4．若关于x 的方程3sin 4cos 21x x m +=-有解，则实数m 的取值范围是 . 5．与圆22(3)(1)2x y -++=相切，且在两坐标轴上有相等截距的切线共有________条.6．已知向量a r ，b r ，c r 满足0a b c ++=r r r r，||1a =r ，||2b =r ，且a r ⊥c r ，则a r 与b r 的夹角大小是 .7．在数列}{n a 中，21=a ，其前n 项和为n S ，若数列{}nS n是公差为2的等差数列，则}{n a 的通项公式为 .8．若函数2()lg 22f x x a x =⋅-+在区间(1,2)内有且只有一个零点，那么实数a 的取值范围是 .9．已知()f x 是以2为周期的偶函数，且当[0,1]x ∈时，()f x x =．若在区间[1,3]-内，方程()1f x kx k =++有4个实数解，则实数k 的取值范围是 .10．已知(,)P x y 满足约束条件30,10,10,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩O 为坐标原点，(3,4)A ，则||cos OP AOP ⋅∠u u u r的最大值是 .11．抛物线C ：2y x =上两点M ，N 满足12MN MP =u u u u r u u u r，若(0,2)OP =-u u u r ，则||MN u u u u r = . 12．若0x y >>323xy y +-的最小值为 .答案 1．12-2．2212x y -=3．81-4．[2,3]- 5．3 6．120o7．42n a n =-8． 9．1(,0)3- 10．115：1(34)5x y +11(,)N m n ，(2,22)M m n +）12．10（4)(22x y x y y xy ≤-=-，3212()f x x≥+，再求导）2020届高三数学小题狂练十七姓名 得分1．集合{3,2}aA =，{,}B a b =，若{2}A B =I ，则A B =U .2．已知函数)1(log )(+=x x f a 的定义域和值域都是[0,1]，则实数a 的值是 . 3．若(1,1)a ∈-，则方程20x x a -+=有实根的概率等于 . 4．若函数m y x +=-|1|)21(的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是 .5．若方程02)1(22=-+++a x a x 有一根比1大，另一根比1-小，则a 的取值范围是 .6．若函数()sin()f x x ωφ=+对任意的实数x 都有)3()3(x f x f -=+ππ，则)3(πf 的值等于 .7．若锐角α，β满足4)tan 31)(tan 31(=++βα，则βα+= . 8．设曲线3233+-=x x y 上任一点处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是 .9．已知1F ，2F 为椭圆2212x y +=的两个焦点，过1F 作倾斜角为4π的弦AB ，则2F AB ∆的面积为 .10．已知()f x 为奇函数，且(31)f x +是周期为3的周期函数，(3)2f =，则(60)f 的值等于 .11．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，若此双曲线的离心率为e ，且12||||PF e PF =，则e 的最大值为 . 12．已知数列{}n a 满足1111n n n n a a n a a +++-=-+（n 为正整数），且26a =，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________.答案1．{1，2，3} 2．2 3．584．)0,1[- 5．)0,1(- 6．1±7．3π 8．),32[)2,0[πππY9．4310．()f x 周期为9，(60)(3)f f =- 11．21+（2em m a -=，2em m c +≥，相除得11e e e +≥-） 12．22n n -（由1111n n n n a a n a a +++-=-+得)2(11111≥---=++n n n a n a n n ，令na b n n =，则)2(1111≥---=+n n b n n b n n ，故)1(111---=+n n n b n b n n ，…，1211223⨯-=b b ，累加得)1)(12(1++=+n n a n ，)3(22≥-=n n n a n ．又11a =，26a =也满足n n a n -=22，故对n ∈N *都有n n a n -=22）2020届高三数学小题狂练十八姓名 得分1．已知全集2{2,4,1}U a a =-+，集合{1,2}A a =+，若}7{=A C U ，则实数a 的值等于 .2．已知双曲线2221x y a-=（0a >）的一条渐近线与直线032=+-y x 垂直，则该双曲线的准线方程是 .3．在数列{}n a 中，已知17a =-，25a =，且满足22n n a a +=+（n ∈N *），则12318a a a a ++++L = .4．已知θ是第三象限角，且95cos sin 44=+θθ，那么θ2sin = . 5．将3OM OA OB OC =--u u u u r u u u r u u u r u u u r写成AM xAB y AC =+u u u u r u u u r u u u r 时，x y += .6．当228x x -<时，函数252x x y x --=+的最小值是 .7．若直角三角形的三边成等比数列，则较小内角的正弦值是 .8．已知函数()y f x =满足(3)(3)f x f x -=+，且有n 个零点1x ，2x ，…，n x （n ∈N *），则12n x x x +++L = .9．过抛物线24y x =的焦点F 作斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），若AF FB λ=u u u r u u u r (1)λ>，则λ= .10．若{|2}xx kx >=R ，则实数k 的取值范围是 .11．已知函数2()1f x x =-，()g x x =-，令{}()max (),()F x f x g x =（max 表示最大值），则()F x 的最小值是 .12．已知00(,)x y 是直线2x y a +=-与圆2222x y a a +=++的公共点，则00x y 的取值范围是 .答案 1．32．x = 3．1264 5．2- 6．3-7．12- 8．3n9．3+21y y -） 10．[0,ln 2)e （21log ln 2e =）1112．(,1][16,)-∞+∞U （自编：由d r ≤得a 的取值范围是6a ≤-或0a ≥，再用222000000()2x y x y x y +=++得00252ax y -=）2020届高三数学小题狂练十九姓名 得分1．设a 是实数，且211ii a +++是纯虚数，则=a . 2．已知0a >，0b <，),(a b m ∈且0≠m ，则m1的取值范围是 .3．直线2(1)(3)750m x m y m ++-+-=与直线(3)250m x y -+-=垂直的充要条件是 .4．有一棱长为a 的正方体框架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地膨胀（气球保持为球的形状），则气球表面积的最大值为 . 5．若函数1)(2++=mx mx x f 的定义域是R ，则m 的取值范围是 .6．已知α，β均为锐角，且cos()sin()αβαβ+=-，则tan α的值等于 . 7．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，13n n a S +=（n =1，2，3，…），则410log S = .8．已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+，则)6(f 的值为 .9．设双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右顶点为E ，左准线与两渐近线的交点分别为A ，B 两点，若60AEB ∠=︒，则双曲线C 的离心率e 等于 . 10．函数)sin()(θ+=x x f （||2πθ<）满足对任意x ∈R 都有)6()6(x f x f --=+ππ，则θ= .11．在△ABC 中，AB =2BC =，CA =BC a =u u u r r ，CA b =u u u r r ，AB c =u u u r r，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=r r r r r r .12．过抛物线214y x =准线上任一点作该抛物线的两条切线，切点分别为M ，N ，则直线MN 过定点__________.答案 1．1-2．),1()1,(+∞⋃-∞ab 3．3m =或2m =-4．22a π 5．[0,4] 6．1 7．9 8．0 9．210．6π-11．6-12．(0,1)（解法1：(,1)a -，2240i i x ax --=，122x x a +=，2222121212()248x x x x x x a +=+-=+，于是MN中点为22(,)2a a +，21122122MN y y x x a k x x -+===-，直线MN ：12ay x =+，过定点(0,1)．解法2：(,1)a -，1111()2y y x x x -=-，1111122y x a y --=-，11220ax y -+=．同理可得22220ax y -+=．故直线MN 方程为220ax y -+=，过(0,1)）2020届高三数学小题狂练二十姓名 得分1．已知集合2{|log 1}M x x =<，{|1}N x x =<，则M N I = .2．双曲线2213x y -=的两条渐近线的夹角大小为 .3．设a 为常数，若函数1()2ax f x x +=+在(2,2)-上为增函数，则a 的取值范围是 . 4．函数)2(log log 2x x y x +=的值域是 .5．若函数()23f x ax a =++在区间)1,1(-上有零点，则a 的取值范围是 .6．若1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 .7．已知函数12||4)(-+=x x f 的定义域是[,]a b （a ，b 为整数），值域是[0,1]，则满足条件的整数数对),(b a 共有 个.8．设P ，Q 为ABC ∆内的两点，且2155AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，AQ uuu r 23AB =u u u r 14+AC u u ur ，则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积之比为 . 9．在等差数列{}n a 中，59750a a +=，且95a a >，则使数列前n 项和n S 取得最小值的n 等于 . 10．设x ，y ∈R +，312121=+++y x ，则xy 11．在正三棱锥A BCD -中，E ，F 分别是AB ，BC EF DE ⊥，1BC =，则正三棱锥A BCD -的体积是 .12．设()f x 是定义在R 上的偶函数，满足(1)()1f x f x ++=，且当[1,2]x ∈时，()2f x x =-，则(2016.5)f -=_________.DCQ BAP答案1．(0,1) 2．60︒ 3．),21(+∞4．),3[]1,(+∞--∞Y 5．(3,1)-- 6．)23,2[- 7．5（||[0,2]x ∈） 8．459．610．16（8xy x y =++，8xy ≥+16xy ≥）11．242（EF DE ⊥，EF ∥AC ，∴AC DE ⊥．又AC BD ⊥，∴AC ⊥平面ABD ．∵1BC =，∴2AB AC AD ===，3162V =24=）12．0.5（2T =，(0.5)(0.5)(1.5)0.5f f f =-==）2020届高三数学小题狂练二十一姓名 得分1．已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a = . 2．抛物线24y x =上一点M 到其焦点的距离为3，则点M 的横坐标x = . 3．已知函数)(x f y =（x ∈R ）满足)()2(x f x f =+，且]1,1[-∈x 时，2)(x x f =，则5()()log F x f x x =-的零点的个数为 .4．若(2,1)a =-v与(,2)b t =-v 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为 .5．函数2()lg(21)f x x ax a =-++在区间(1)-∞，上单调递减，则实数a 的取值范围是 . 6．设α为锐角，54)6sin(=+πα，则)32sin(πα+的值等于 . 7．已知0a >，且1a ≠，函数,0,()(14)2,0x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有1212()[()()]0x x f x f x --<成立，则a 的取值范围是 .8．已知a b >，1a b ⋅=，则22a b a b+-的最小值是 .9．已知数列{}n a ，{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a ，1b ，且115a b +=，1a ，1b ∈N *，则数列{}nb a （n ∈N *）前10项的和等于 .10．设椭圆1C 和双曲线2C 具有公共焦点1F ，2F ，其离心率分别为1e ，2e ，P 为1C 和2C 的一个公共点，且满足021=⋅PF PF ，则2212221)(e e e e +的值为 . 11．设22log 1()log 1x f x x -=+，12()(2)1f x f x +=（12x >），则12()f x x 的最小值为_______.12．对于一切实数x ，令[]x 为不大于x 的最大整数，则函数()[]f x x =称为高斯函数或取整函数．若()3n na f =（n ∈N *），n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3n S =________.答案 1．134()2n -⋅2．2 3．44．(1,4)(4,)-+∞U 5．[1,2]6．2524（若3cos()65πα+=-，cos [cos()]066ππαα=+-<；或45<3πα<）7．11(,]428．222()2a b a b +=-+）9．85（11n a a n =+-，11n b b n =+-，113n b n a a b n =+-=+）10．2（2224m n c +=，12m n a +=，2||2m n a -=，后二式平方相加得22122e e --+=）11．23（21222122log 1log (2)11log 1log (2)1x x x x --+=++，化简得22214log log 1x x =-．于是212212221214log ()log log log 5log 1x x x x x x =+=+≥-，所以21212212212log ()122()1log ()1log ()13x x f x x x x x x -==-≥++（12x >））12．232n n -（33(1)(1)(1)n n S S n n n --=-+-+，311S ⨯=，3n S =232n n-）2020届高三数学小题狂练二十二姓名 得分1．函数20.5log (2)y x x =-的单调减区间是 .2．已知函数()sin cos f x a x x =+，且()4f x π-()4f x π=+，则a 的值为 .3．设O 为坐标原点，F 为抛物线x y 42=的焦点，A 为抛物线上的一点，若4-=⋅，则点A 的坐标为 .4．从原点向圆0271222=+-+y y x 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 .5．若函数32()26f x x x m =-+（m 为常数）在[2,2]-上有最大值3，则()f x 在[2,2]-上的最小值为 .6．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的和为n S ，若1n S +，n S ，2n S +成等差数列，则公比q 等于 . 7．规定一种运算：,,,,a a b a b b a b ≤⎧⊗=⎨>⎩则函数x x x f cos sin )(⊗=的值域为 .8．已知当x ∈R 时，函数)(x f y =满足1(2.1)(1.1)3f x f x +=++，且1)1(=f ，则)100(f 的值为 .9．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，1(1)2f =，)2()()2(f x f x f +=+，则=)5(f .10．双曲线222015x y -=的左、右顶点分别为1A ，2A ，P 为其右支上一点，且12124A PA PA A ∠=∠，则12PA A ∠的大小为 .11．已知3450a b c ++=r r r r ，且||||||1a b c ===r r r，则()a b c ⋅+=r r r .12．已知α，β均为锐角，且sin cos()sin ααββ+=，则tan α的最大值是 .答案1．(2,)+∞ 2．1（取4x π=）3．(1,2)± 4．2π 5．37- 6．2- 7．]22,1[- 8．349．2.5（(12)(1)(2)f f f -+=-+，故(2)1f =，(3) 1.5f =，(5)(3)1f f =+）10．12π（tan y x a α=+，tan 5y x a α=-，由222015x y -=得tan tan51αα=，于是得cos60α=）11．35-（534c a b -=+r r r ，435b a c -=+r r r ，两式分别平方得0a b =r r g，35a c =-r r g ）12αβ+也为锐角，tan()αβ+存在．由cos()sin sin[()]αββαββ+=+-展开得tan()2tan αββ+=．从而有tan tan[()]ααββ=+-2tan 41tan ββ=≤+）2020届高三数学小题狂练二十三姓名 得分1．若直线30x ay ++=的倾斜角为120︒，则a 的值是 .2．已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3(,0)4-对称，且(1)1f -=，则1()2f -的值等于 .3．不等式02||2<--x x 的解集是 .4．在一个水平放置的底面半径为3的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为R 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升R ，则R = . 5．函数xx y tan 31tan 3+-=的单调减区间是 .6．在坐标平面内，已知由不等式组|2|,||y x y x a≥-⎧⎨≤-+⎩所确定的区域的面积为52，则a 的值等于 .7．若函数3()log ()(0a f x x ax a =->且1)a ≠在区间1(,0)3-内单调递增，则实数a 的取值范围是 .8．已知数列{}n a 中，12a =，前n 项和n S ，若n n a n S 2=，则n a = .9．已知函数1,1,|1|()11,x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩， 若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有3个不同的实数解1x ，2x ，3x ，则222123x x x ++的值等于 .10．已知函数()f x 在[2,)+∞单调递增，且对任意实数x 恒有(2)(2)f x f x +=-，若22(12)(12)f x f x x -<+-，则x 的取值范围是 .11．设非零向量a r ，b r 满足||1b =r ，a r 与b a -r r 的夹角为120︒，则||a r的最大值为 .12．已知)(x f y =是定义在R 上的函数，且对任意x ∈R ，都有1()(2)1()f x f x f x -+=+，又1(1)2f =，1(2)4f =，则(2015)(2016)f f += .答案1．32．1-3．(2,2)- 4．325．5(,)66k k ππππ-+（k ∈R ） 6．37．1[,1)38．)1(4+n n9．510．(2,0)-（12|2||2|X X -<-）11ABC ∆中，CA b =u u u r r ，CB a =u u u r r ，BA b a =-u u u r r r ，60ABC ∠=︒，||sin 601a ︒≤r ，||a ≤r ）12．1415（令1=x ，则1(1)1(3)1(1)3f f f -==+，令2=x ，则1(2)3(4)1(2)5f f f -==+，)(n f 以4为周期，所以1314(3)(4)3515f f +=+=）2020届高三数学小题狂练二十四姓名 得分1．设230.0310x y -==，则11xy ---的值为 .2．已知函数()f x 对任意的x ∈R 都有11()()222f x f x ++-=成立，则127()()()888f f f +++L 的值为 . 3．设直线0=++C By Ax 与圆422=+y x 相交于M ，N 两点，若222A B C +=，0C ≠，则OM ·ON （O 为坐标原点）的值等于 . 4．若222xy ax y ≤+对任意[1,2]x ∈及[2,3]y ∈恒成立，则实数a 的范围是 .5．设数列{}n a 的通项公式为3n a n n λ=+（n ∈N *），若123n a a a a <<<<<L L ，则实数λ的取值范围是 . 6．若()2sin()f x ax =在区间[,]34ππ-上的最小值为2-，则实数a 的范围是 .7．若等比数列{}n a 满足354321=++++a a a a a ，且122524232221=++++a a a a a ，则54321a a a a a +-+-的值等于 .8．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，若a ，b ，c 成等差数列，4sin 5B =，且ABC ∆的面积为32，则b = . 9．已知函数21,0,()(1),0,x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 .10．已知1F ，2F 分别为双曲线C ：12222=-by a x 的左、右焦点，P 是C 左支上的一点，若2218||PF a PF =，则C 的离心率的取值范围是 .11．已知1()41()xf x f x +=-，正实数1x ，2x 满足12()()1f x f x +=，则12()f x x +的最小值为 .12．已知实数x ，y 满足x y ，则x y +的最大值为 .。

2020高三高考数学二轮复习专题训练+22+Word版含答案

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（2）设直线的方程：，据题意有，即。

h kx y +=212ak h=+212k ah +=由，得，因为直线与椭圆有公共点，所以，又把代入上式得：。

⎪⎩⎪⎨⎧=++=222499a y x h kx y 04929)41(92222=-+++a h khx x k 1l 222499a y x =+,081)4(9222≥-+=∆h a k 212k ah +=535535,572≤≤-∴≤k k 2、已知椭圆经过点，两个焦点为。

C A（1）求椭圆的方程； C（2）是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值。

F E , 解：（1）由题意，可设椭圆方程为，∵在椭圆上，∴，解得，（舍）A∴椭圆的方程为。

C（2）设的方程为：，代入得：AE，设，，EF∵点在椭圆上，∴，A又直线的斜率与的斜率互为相反数，在上式以代，AF AE可得∴直线的斜率，EF即直线的斜率为定值。

3、设、分别是椭圆的左、右焦点。

1422=+y x（1）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；P 12PF PF ⋅u u u r u u u u r（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。

)2,0(M l B A ,AOB ∠O l k解：（1）依题易知，所以，设，2,1,3a b c ===()()123,0,3,0F F -(),P x y则()()22123,,3,3PF PF x y x y x y ⋅=-----=+-u u u r u u u u r()2221133844x x x =+--=-因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值—2[]2,2x ∈-0=x P12PF PF ⋅u u u r u u u u r当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值1。

2±=x P 12PF PF ⋅u u u r u u u u r5、已知椭圆方程为，斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点。

解三角形小题大做-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)

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解三角形小题大做一、单选题1．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A ．19B ．13C ．12D ．23【答案】A 【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅，即可求得答案.【详解】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC = 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅ 2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB = 由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 2．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）在ABC 中，已知120B =︒，19AC 2AB =，则BC =（ ） A ．1 B 2C 5D ．3【答案】D 【分析】利用余弦定理得到关于BC 长度的方程，解方程即可求得边长. 【详解】设,,AB c AC b BC a ===，结合余弦定理：2222cos b a c ac B =+-可得：21942cos120a a =+-⨯⨯， 即：22150a a +-=，解得：3a =（5a =-舍去）， 故3BC =.故选：D. 【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型： (1)已知三角形的三条边求三个角；(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角； (3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．3．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC 的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2B ．π3C ．π4 D ．π6【答案】C 【详解】分析：利用面积公式12ABCS absinC =和余弦定理2222a b c abcosC +-=进行计算可得． 详解：由题可知222124ABCa b c SabsinC +-==所以2222absinC a b c +-= 由余弦定理2222a b c abcosC +-= 所以sinC cosC =()C 0,π∈C 4π∴=故选C.点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．4．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A 【分析】利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 【详解】详解：由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得22222141313cos ,,,464224242b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ．【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．5．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷））在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A =【答案】A 【详解】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.6．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45ACB ∠'''=︒，60A BC ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''-约为（3 1.732≈）（ ）A ．346B ．373C ．446D ．473【答案】B 【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得''A B ，进而得到答案． 【详解】过C 作'CH BB ⊥，过B 作'BD AA ⊥，故()''''''100100AA CC AA BB BH AA BB AD -=--=-+=+， 由题，易知ADB △为等腰直角三角形，所以AD DB =． 所以''100''100AA CC DB A B -=+=+． 因为15BCH ∠=︒，所以100''tan15CH C B ==︒在'''A B C 中，由正弦定理得：''''100100sin 45sin 75tan15cos15sin15A B C B ===︒︒︒︒︒，而62sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30-︒=︒-︒=︒︒-︒︒=所以210042''100(31)27362A B ⨯==≈-，所以''''100373AA CC A B -=+≈． 故选：B ． 【点睛】本题关键点在于如何正确将''AA CC -的长度通过作辅助线的方式转化为''100A B +．7．（2021·四川达州·一模（理））ABC 中，1cos 4A =，2AB =，4BC =，则BC 边上的高为（ ） A 15B 15C 15D 15 【答案】C 【分析】先根据余弦定理求出4b =，然后利用等面积法即可求出BC 边上的高.【详解】在ABC 中，设AB c =，BC a =，AC b =，则2c =，4a =，1cos 4A =，且222cos 2b c a A bc +-=，21416422b b +-∴=⨯，2120b b ∴--=，()()430b b ∴-+=，4b ∴=，1cos 4A =,2115sin 14BAC ⎛⎫∴∠=-= ⎪⎝⎭设BC 边上的高为h ，在ABC 中利用等面积法，则11sin 22ABCSBC h AB AC BAC =⨯=⨯∠, 111542422h ∴⨯⨯=⨯⨯,15h ∴=故选:C8．（2021·重庆·模拟预测）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足11tan tan 3sin B C C+=b =（ ） A 3B 3C 3D ．3【答案】C 【分析】 由11tan tan 3sin B C C +=，得cos cos sin sin 3sin B C B C C+=然后化简结合正弦定理可求得结果 【详解】 由11tan tan 3sin B C C +=，得cos cos sin sin 3sin B C B C C+= 所以cos sin cos sin sin sin 3sin B C C B B C C+=，sin()sin sin 3sin B C B C C+=所以sin()sin sin 3sin A B C C π-=, sin sin sin 3sin A B C C=所以sin sin 3sin a B C C A =， 因为sin 0C ≠，所以sin 3a B A =， 由正弦定理得3ab a =，解得3b = 故选：C9．（2021·福建·模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“cos cos a B b A=”是“ABC 是等腰三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【分析】利用余弦定理角化边，由cos cos a B b A=探求出ABC 的形状，再结合充分条件、必要条件的定义直接判断即可. 【详解】在ABC 中，由cos cos a B b A =结合余弦定理得：22222222b c a a c b a b bc ac+-+-⋅=⋅，整理得： 224224a c a b c b -=-，即22222()()0a b a b c -+-=，则a b =或222+=a b c ，ABC 为等腰三角形或直角三角形， 即“cos cos a B b A=”不能推出“ABC 是等腰三角形”，而ABC 为等腰三角形，不能确定哪两条边相等，不能保证有cos cos a B b A=成立， 所以“cos cos a B b A=”是“ABC 是等腰三角形”的既不充分也不必要条件. 故选：D10．（2021·广西柳州·一模（理））在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()(sin sin )=()sinC a b A B b c +-+，a ＝7，c ＝5．则该三角形的内切圆半径与外接圆半径之比为( ) A ．314B ．14C ．27D ．56【答案】A 【分析】利用正弦定理和余弦定理求出∠A ，根据余弦求出边b ，根据正弦定理求出外接圆半径，根据三角形面积公式求出内切圆半径﹒ 【详解】 由正弦正理可知：()()()()()()sin sin sin a b A B b c C a b a b b c c -⇒-＋＝＋＋＝＋222b c a bc ⇒--＋＝，根据余弦定理得，2221cos 222b c a bc A bc bc ---＋＝＝＝，()203A A ππ∈∴，，＝； 由余弦定理得，222222cos 492555240a b c bc A b b b b -⇒⇒-＝＋＝＋＋＋＝()()8303b b b ⇒-⇒＋＝＝ 或 8b -＝(舍)，设△ABC 内切圆半径、外接圆半径，三角形周长分别为：15ABCr R C，，＝，根据正弦定理得，2sin 332aR R A⇒⨯＝，又33511si n 32sin 2215ABCABCABCbc ASbc A r C r C ⨯⋅⇒＝＝＝＝＝ ∴3327143r R ＝＝﹒其中与内切圆半径有关的三角形面积公式证明如下：△ABC 内切圆圆心为O ，半径为r ，OA 、OB 、OC 将△ABC 分为三部分，∴11112222ABC OAB OBC OAC ABCSS S S AB r BC r AC r r C ⋅⋅⋅⋅＝＋＋＝＋＋＝，其中ABCCa b c ＝＋＋为三角形周长﹒故选：A ﹒11．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB =（ ）A ．⨯+表高表距表目距的差表高B ．⨯-表高表距表目距的差表高C ．⨯+表高表距表目距的差表距D ．⨯表高表距-表目距的差表距【答案】A 【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出． 【详解】 如图所示：由平面相似可知，,DE EH FG CGAB AH AB AC==，而 DE FG =，所以 DE EH CG CG EH CG EHAB AH AC AC AH CH--====-，而 CH CE EH CG EH EG =-=-+，即CG EH EG EG DE AB DE DE CG EH CG EH-+⨯=⨯=+--＝+⨯表高表距表高表目距的差． 故选：A. 【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．12．（2021·黑龙江·佳木斯市第二中学高三阶段练习（理））在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，其中2a =，sin sin sin sin sin sin A B A C B C +=，则4b c +的最小值为（ ） A ．9 B ．12 C ．18 D ．20【答案】C 【分析】根据正弦定理再结合基本不等式即可求出答案. 【详解】由题意知sin sin sin sin sin sin A B A C B C +=， 根据正弦定理，可得ab ac bc +=， 因为2a =，所以22b c bc +=，即221c b+=，则2282824(4)()1010218b c b cb c b c c b c b c b +=++=++≥+⋅， 当且仅当26c b ==时等号成立，即4b c +的最小值为18． 故选：C ．二、填空题13．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 360B =︒，223a c ac +=，则b =________． 【答案】22【分析】由三角形面积公式可得4ac =，再结合余弦定理即可得解. 【详解】 由题意，13sin 32ABCSac B == 所以224,12ac a c =+=，所以22212cos 122482b ac ac B =+-=-⨯⨯=，解得22b =.故答案为：2214．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC 的面积为__________.【答案】【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =解得c c ==-所以2a c ==11sin 22ABC S ac B ∆==⨯= 【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．15．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC P 到平面ABC 的距离为___________．【分析】本题考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到P 在底面上的射影，使用线面垂直定理，得到垂直关系，勾股定理解决． 【详解】作,PD PE 分别垂直于,AC BC ，PO ⊥平面ABC ，连CO ， 知,CD PD CD PO ⊥⊥，=PD OD P ，CD 平面PDO ，OD ⊂平面PDO ，CD OD ∴⊥113PD PE ==∵，2PC =．3sin sin 2PCE PCD ∴∠=∠=， 60PCB PCA ︒∴∠=∠=， PO CO ∴⊥，CO 为ACB ∠平分线，451,2OCD OD CD OC ︒∴∠=∴===，又2PC =，422PO ∴=-=．【点睛】画图视角选择不当，线面垂直定理使用不够灵活，难以发现垂直关系，问题即很难解决，将几何体摆放成正常视角，是立体几何问题解决的有效手段，几何关系利于观察，解题事半功倍．16．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，3AB AD ==，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.【答案】14-试卷第12页，共12页【分析】在ACE 中，利用余弦定理可求得CE ，可得出CF ，利用勾股定理计算出BC 、BD ，可得出BF ，然后在BCF △中利用余弦定理可求得cos FCB ∠的值.【详解】AB AC ⊥，AB =1AC =，由勾股定理得2BC =，同理得BDBF BD ∴==在ACE 中，1AC =，AE AD ==30CAE ∠=，由余弦定理得2222cos3013211CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯=， 1CF CE ∴==， 在BCF △中，2BC =，BF =1CF =， 由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯. 故答案为：14-. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.13。

2020版高考数学(理)刷题小卷练： 22 Word版含解析

2020版高考数学(理)刷题小卷练： 22 Word版含解析
答案：5
解析：由等比数列的性质知a1am＝a2am－1＝16，又a1＋am＝17，q>1，所以a1＝1，am＝16，Sm＝ ＝ ＝ ＝31，解得q＝2，am＝a1qm－1＝2m－1＝16，所以m＝5.
12．[2019·内蒙古包钢一中调研]在 和 之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________．
5．[2019·黑龙江齐齐哈尔模拟]已知Sn是公比为4的等比数列{an}的前n项和，若man－3Sn＝8，则m＝()
A．3B．4
C．5D．6
答案：B
解析：∵man－3Sn＝8，∴man＋1－3Sn＋1＝8，两式相减得man＋1－man－3an＋1＝0，(m－3)an＋1＝man.由条件知m≠3，则an＋1＝ an.由已知可得 ＝4，∴m＝4.故选B.
二、非选择题
9．[2019·石家庄模拟]在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝ ，a8a9＝－ ，则 ＋ ＋ ＋ ＝________.
答案：－
解析：因为 ＋ ＝ ， ＋ ＝ ，由等比数列的性质知a7a10＝a8a9，
所以 ＋ ＋ ＋ ＝ ＝ ÷ ＝－ .
10．已知数列{cn}，其中cn＝2n＋3n，且数列{cn＋1－pcn}为等比数列，则常数p＝________.
解析：显然数列{an}的公比不等于1，所以Sn＝ ＝ ·qn－ ＝4n＋b，
∴b＝－1.
3．[2019·湖北重点中学联考]《九章算术》中：今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等．意思是蒲第一天长3尺，以后逐日减半；莞第一天长1尺，以后逐日增加一倍，则()天后，蒲、莞长度相等？参考数据：lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1，结果精确到0.1()

2020年高3理科数学(新课标)复习专题整合高频突破习题：专题84系列专题能力22版含答案

2020年高3理科数学(新课标)复习专题整合高频突破习题：专题84系列专题能力22版含答案

本资源的初衷,是希望通过网络分享,能够为广阔读者提供更好的效劳,为您水平的提高提供坚强的动力和保证 .内容由一线名师原创,立意新,图片精,是非常强的一手资料 .专题能力训练22坐标系与参数方程(选修4-4)能力突破训练1.在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,直线l的方程为ρsin=m(m∈R).(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程;(2)设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.2.(2021江苏,21C)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C 的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最||小值.3.在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x +6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB| =,求l的斜率.4.曲线C:=1,直线l:(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|P A|的最||大值与最||小值.5.在极坐标系中,曲线C:ρ=2a cos θ(a>0),l:ρcos,C与l有且只有一个公共点.(1)求a;(2)O为极点,A,B为C上的两点,且∠AOB =,求|OA| +|OB|的最||大值.6.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,假设曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.7.在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-cos θ=0,点M.以极点O为原点,以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系.斜率为-1的直线l过点M,且与曲线C交于A,B两点.(1)求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程;(2)求点M到A,B两点的距离之积.思维提升训练8.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)写出☉C的直角坐标方程;(2)P为直线l上一动点,当点P到圆心C的距离最||小时,求P的直角坐标.9.直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是ρ=.(1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程;(2)假设点P是曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最||小值,并求出点P的坐标.10.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=4.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;(2)设P为曲线C1上的动点,求点P到C2上点的距离的最||小值,并求此时点P的坐标.参考答案专题能力训练22坐标系与参数方程(选修4-4)能力突破训练1.解(1)消去参数t,得到圆C的普通方程为(x -1)2+(y +2)2=9.由sin=m,得ρsinθ-ρcosθ-m =0.所以直线l的直角坐标方程为x -y +m =0.(2)依题意,圆心C到直线l的距离等于2,即=2,解得m = -3±22.解直线l的普通方程为x -2y +8=0.因为点P在曲线C上,设P(2s2,2s),从而点P到直线l的距离d =当s =时,d min=因此当点P的坐标为(4,4)时,曲线C上点P到直线l的距离取到最||小值3.解(1)由x =ρcosθ,y =ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2+12ρcosθ+11=0.(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+11=0.于是ρ1+ρ2= -12cosα,ρ1ρ2=11.|AB| =|ρ1-ρ2| ==由|AB| =得cos2α=,tanα=±所以l的斜率为或-4.解(1)曲线C的参数方程为(θ为参数).直线l的普通方程为2x +y -6=0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ)到l的距离为d =|4cosθ+3sinθ-6|,那么|P A| =|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tanα=当sin(θ+α)= -1时,|P A|取得最||大值,最||大值为当sin(θ+α)=1时,|P A|取得最||小值,最||小值为5.解(1)曲线C是以(a,0)为圆心,以a为半径的圆,l的直角坐标方程为x +y -3=0.由直线l与圆C相切可得=a,解得a =1.(2)不妨设A的极角为θ,B的极角为θ+,那么|OA| +|OB| =2cosθ+2cos=3cosθ-sinθ=2cos,当θ= -时,|OA| +|OB|取得最||大值26.解(1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y -1)2=a2,C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.将x =ρcosθ,y =ρsinθ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsinθ+1 -a2=0.(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组假设ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sinθcosθ+1-a2=0,由tanθ=2,可得16cos2θ-8sinθcosθ=0,从而1-a2=0,解得a = -1(舍去),a =1.a =1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上,所以a =1.7.解(1)x =ρcosθ,y =ρsinθ,由ρsin2θ-cosθ=0,得ρ2sin2θ=ρcosθ.所以y2=x即为曲线C的直角坐标方程.点M的直角坐标为(0,1),直线l的倾斜角为,故直线l的参数方程为(t为参数),即(t为参数).(2)把直线l的参数方程(t为参数)代入曲线C的方程得= -t,即t2+3t +2=0,Δ=(3)2-4×2=10>0.设A,B对应的参数分别为t1,t2,那么又直线l经过点M,故由t的几何意义得点M到A,B两点的距离之积|MA|·|MB| =|t1||t2| =|t1·t2| =2.思维提升训练8.解(1)由ρ=2sinθ,得ρ2=2sinθ,从而有x2+y2=2y,所以x2+(y -)2=3.(2)设P,又C(0,),那么|PC| =,故当t =0时,|PC|取得最||小值,此时,点P的直角坐标为(3,0).9.解(1)由得x -y =1,故直线的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ=1,即=1,即cos=1.∵ρ=,∴ρ=,∴ρcos2θ=sinθ,∴(ρcosθ)2=ρsinθ,即曲线C的直角坐标方程为y =x2.(2)设P(x0,y0),y0=,那么P到直线l的距离 d =∴当x0=时,d min=,此时P∴当点P的坐标为时,P到直线l的距离最||小,最||小值为10.解(1)由曲线C1:(α为参数),得(α为参数),两式两边平方相加,得+y2=1,即曲线C1的普通方程为+y2=1.由曲线C2:ρsin=4,得(sinθ+cosθ)=4,即ρsinθ+ρcosθ=8,所以x +y -8=0,即曲线C2的直角坐标方程为x +y -8=0.(2)由(1)知,椭圆C1与直线C2无公共点,椭圆上的点P(cosα,sinα)到直线x +y -8=0的距离d =,所以当sin=1时,d的最||小值为3,此时点P的坐标为。

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2020届高三数学小题狂练二十二
姓名 得分
1．函数20.5log (2)y x x =-的单调减区间是 .
2．已知函数()sin cos f x a x x =+，且(
)4f x π-()4f x π=+，则a 的值为 . 3．设O 为坐标原点，F 为抛物线x y 42=的焦点，A 为抛物线上的一点，若
4-=⋅，则点A 的坐标为 .
4．从原点向圆0271222=+-+y y x 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 .
5．若函数32()26f x x x m =-+（m 为常数）在[2,2]-上有最大值3，则()f x 在[2,2]-上的最小值为 .
6．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的和为n S ，若1n S +，n S ，2n S +成等差数列，则公比q 等于 .
7．规定一种运算：,,,,a a b a b b a b ≤⎧⊗=⎨>⎩
则函数x x x f cos sin )(⊗=的值域为 . 8．已知当x ∈R 时，函数)(x f y =满足1(2.1)(1.1)3f x f x +=++
，且1)1(=f ，则)100(f 的值为 .
9．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，1(1)2
f =，)2()()2(f x f x f +=+，则=)5(f .
10．双曲线222015x y -=的左、右顶点分别为1A ，2A ，P 为其右支上一点，且
12124A PA PA A ∠=∠，则12PA A ∠的大小为 .
11．已知3450a b c ++=r r r r ，且||||||1a b c ===r r r ，则()a b c ⋅+=r r r .
12．已知α，β均为锐角，且sin cos()sin ααββ
+=，则tan α的最大值是 .
答案
1．(2,)+∞
2．1（取4x π
=）
3．(1,2)±
4．2π
5．37-
6．2-
7．]2
2,1[- 8．34
9．2.5（(12)(1)(2)f f f -+=-+，故(2)1f =，(3) 1.5f =，(5)(3)1f f =+）
10．12π（tan y x a α=+，tan 5y x a
α=-，由222015x y -=得tan tan51αα=，于是得cos60α=） 11．35
-（534c a b -=+r r r ，435b a c -=+r r r ，两式分别平方得0a b =r r g ，35a c =-r r g ）
12αβ+也为锐角，tan()αβ+存在．由cos()sin sin[()]αββαββ+=+-
展开得tan()2tan αββ+=．从而有tan tan[()]ααββ=+-2tan 41tan ββ=≤+）。

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