复数复习与小结
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是复数加法的几何意义
深入探究 2、复数的减法
思考？ 复数是否有减法？如何理解复数的减法？
复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足
（c+di）+（x+yi）= a+bi 的复数x+yi 叫做复数 a+bi减去复数c+di的差，记作 （a+bi） － （c+di）
请同两个学复们数推相导减复就数是把的实减部法与法实则部。、虚部与虚部分别相减，
z=a+bi
坐标系来表示复数的
Z(a,b)
b 平面 ------复数平面
(简称复平面)
a
o x x轴------实轴
y轴------虚轴
结论：实轴上的点都表示实数；虚轴上点除
原点外都表示纯虚数。
二：复数的几何意义（二）
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
一一对应
平面向量 OZ
（1）i21；
（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运
算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结 合率和分配率)仍然成立。
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .
2.复数的代数形式：通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R,b R)
三、学习目标
1、在问题情境中了解熟悉的扩充过程，体会实际需 求与数学内部的矛盾在数系扩充中的作用，感受人 类理性思维的作用以及属于现实世界的联系. 2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件. 3、了解复数的代数表示法及其几何意义. 4、能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数 形式的加、减运算的集合意义.
《数系的扩充与复数的引入》 复习课
一、本章知识结构
知识体系
虚数的引入 复数
复数的表示
复数的运算
代数表示 几何表示 代数运算 几何意义
二、《标准》与《大纲》的比较
（1）删去了复数的三角形式，以及三角形式的运算等内容。
（2）突出了数系的扩充过程，复数的代数表示法及代数形 式的加减运算的几何意义。
（3）人教A版教材弱化了： ① i的正整数次幂的周期性（隐含于本章复习参考题B组 第2题中） ② 共轭复数的概念（在§3.2.2例3（1）中给出） ③ 关于复数的模的几何意义（隐含于§3.1.2练习4中） ④ 实系数一元二次方程求解（见习题3.2 A组第6题） ⑤ 删减的内容不必再补。那些弱化的部分，建议也只是 在其出现的地方作适当延伸，不必重点讲解。
设 OZ1 及 OZ2 分别与复数 a bi
及复数 c di对应，则 OZ1, (a,b)
Z Z2 (c, d )
OZ2 (c, d )
OZ OZ1 OZ2
(a,b) (c, d )
O
Z1 (a, b) x
(a c,b d )
∴向量 OZ 就是与复数 (a c) (b d )i 对应的向量.
复数的加法可按照向量的加法来进行，这就
即
事实上，由复数相等的定义，有： c+x=a， d+y=b
由此(a ，b得i) (cx=adi－) c，(a cy)=b(b－ dd )i
所以 x+yi=(a － c)+(b － d)i
即：（a+bi） － （c+di）= (a － c)+(b － d)i
点评：根据复数相等的定义，我们可以得出复数的
我们常把复数 y z=a+bi说成点Z
z=a+bi
或说成向量 OZ
Z(a,b)
b 规定：相等的
向量表示同一
a
o x 个复数
三：复数模的几何意义：
对应平面向量 OZ 的模|OZ |，即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的 距离。
y z=a+bi
Z (a,b)
O
x
向量OZ 的模r 叫做复数 z a bi
i 其中 称为虚数单位。
实部 虚部
3.复数的分类：
0(a 0，b 0)
实数 b 0 非0实数(a 0，b 0)
复数z a bi (a,b R)
虚数
纯虚数 a 0，b 0
b
0
非纯虚数
a 0，b 0
NZ QRC
4.规定：如果两个复数的实部和虚部分别相等， 那么我们就ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ这两个复数相等．
Z1(a,b)
x
|z1-z2|表示什么? 表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离
1.复数的乘法法则：
(a bi)(c di) ac adi bci bdi2
（ac bd) (bc ad)i
说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数；
减法法则，且知两个复数的差是唯一确定的复数。
类比复数加法的几何意义，请指出复数减法的几何意义？
复数减法运算的几何意义?
复数z2－z1y
复数减法的几何意义：
OZ1 OZ2 Z2Z1
结论：复数的差Z2 －Z 1 与连接两 个向量终点并指
向被减数的向量 对应.
o
向量Z1Z2
Z2(c,d)
符合向量 减法的三 角形法则.
四、重点和难点
◆重点:复数的概念（代数形式、向量表示）以及代数 形式的加、减、乘、除的运算法则，加减的几何意义.
◆难点:复数相等的条件、向量表示，减法、除法的运 算法则.
复习过程 数系的扩充
复数的四则运算 复数的几何意义
1.复数的概念： 现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，
并且规定：
若a,b, c, d R,
a c
a bi c di b d
注：1) a bi 0 a 0 且 b 0
2) 一般来说，两个复数只能说相等或不相
等，而不能比较大小了.
一：复数的几何意义（一）
有一序一实对数应对(a,b)
复数z=a+bi （数）
直角坐标系中的点Z(a,b)
y
（形）
建立了平面直角
（1）复数的加法运算法则是一种规定。当b=0，d=0 时与实数加法法则保持一致
（2）很明显，两个复数的和仍然是一个 复数 。
对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。
(3)实数加法运算的交换律、结合律在复数 集C中依然成立。
探究？复数与复平面内的向量有一一的对应关系。我们讨论过
向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数y 加法的几何意义吗？
的模,记作 z 或 a bi . | z | = |OZ | a2 b2
复数的模其实是实数绝对值概念的推广
1、复数的加法法则： 设Z1=a+bi，Z2=c+di (a、b、c、d∈R)是任意两 个复数，那么它们的和：
（a+bi)+(c+di)= ？(a+c)+(b+d)i
即实部与实部 虚部与虚部分别相加
深入探究 2、复数的减法
思考？ 复数是否有减法？如何理解复数的减法？
复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足
（c+di）+（x+yi）= a+bi 的复数x+yi 叫做复数 a+bi减去复数c+di的差，记作 （a+bi） － （c+di）
请同两个学复们数推相导减复就数是把的实减部法与法实则部。、虚部与虚部分别相减，
z=a+bi
坐标系来表示复数的
Z(a,b)
b 平面 ------复数平面
(简称复平面)
a
o x x轴------实轴
y轴------虚轴
结论：实轴上的点都表示实数；虚轴上点除
原点外都表示纯虚数。
二：复数的几何意义（二）
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
一一对应
平面向量 OZ
（1）i21；
（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运
算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结 合率和分配率)仍然成立。
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .
2.复数的代数形式：通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R,b R)
三、学习目标
1、在问题情境中了解熟悉的扩充过程，体会实际需 求与数学内部的矛盾在数系扩充中的作用，感受人 类理性思维的作用以及属于现实世界的联系. 2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件. 3、了解复数的代数表示法及其几何意义. 4、能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数 形式的加、减运算的集合意义.
《数系的扩充与复数的引入》 复习课
一、本章知识结构
知识体系
虚数的引入 复数
复数的表示
复数的运算
代数表示 几何表示 代数运算 几何意义
二、《标准》与《大纲》的比较
（1）删去了复数的三角形式，以及三角形式的运算等内容。
（2）突出了数系的扩充过程，复数的代数表示法及代数形 式的加减运算的几何意义。
（3）人教A版教材弱化了： ① i的正整数次幂的周期性（隐含于本章复习参考题B组 第2题中） ② 共轭复数的概念（在§3.2.2例3（1）中给出） ③ 关于复数的模的几何意义（隐含于§3.1.2练习4中） ④ 实系数一元二次方程求解（见习题3.2 A组第6题） ⑤ 删减的内容不必再补。那些弱化的部分，建议也只是 在其出现的地方作适当延伸，不必重点讲解。
设 OZ1 及 OZ2 分别与复数 a bi
及复数 c di对应，则 OZ1, (a,b)
Z Z2 (c, d )
OZ2 (c, d )
OZ OZ1 OZ2
(a,b) (c, d )
O
Z1 (a, b) x
(a c,b d )
∴向量 OZ 就是与复数 (a c) (b d )i 对应的向量.
复数的加法可按照向量的加法来进行，这就
即
事实上，由复数相等的定义，有： c+x=a， d+y=b
由此(a ，b得i) (cx=adi－) c，(a cy)=b(b－ dd )i
所以 x+yi=(a － c)+(b － d)i
即：（a+bi） － （c+di）= (a － c)+(b － d)i
点评：根据复数相等的定义，我们可以得出复数的
我们常把复数 y z=a+bi说成点Z
z=a+bi
或说成向量 OZ
Z(a,b)
b 规定：相等的
向量表示同一
a
o x 个复数
三：复数模的几何意义：
对应平面向量 OZ 的模|OZ |，即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的 距离。
y z=a+bi
Z (a,b)
O
x
向量OZ 的模r 叫做复数 z a bi
i 其中 称为虚数单位。
实部 虚部
3.复数的分类：
0(a 0，b 0)
实数 b 0 非0实数(a 0，b 0)
复数z a bi (a,b R)
虚数
纯虚数 a 0，b 0
b
0
非纯虚数
a 0，b 0
NZ QRC
4.规定：如果两个复数的实部和虚部分别相等， 那么我们就ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ这两个复数相等．
Z1(a,b)
x
|z1-z2|表示什么? 表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离
1.复数的乘法法则：
(a bi)(c di) ac adi bci bdi2
（ac bd) (bc ad)i
说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数；
减法法则，且知两个复数的差是唯一确定的复数。
类比复数加法的几何意义，请指出复数减法的几何意义？
复数减法运算的几何意义?
复数z2－z1y
复数减法的几何意义：
OZ1 OZ2 Z2Z1
结论：复数的差Z2 －Z 1 与连接两 个向量终点并指
向被减数的向量 对应.
o
向量Z1Z2
Z2(c,d)
符合向量 减法的三 角形法则.
四、重点和难点
◆重点:复数的概念（代数形式、向量表示）以及代数 形式的加、减、乘、除的运算法则，加减的几何意义.
◆难点:复数相等的条件、向量表示，减法、除法的运 算法则.
复习过程 数系的扩充
复数的四则运算 复数的几何意义
1.复数的概念： 现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，
并且规定：
若a,b, c, d R,
a c
a bi c di b d
注：1) a bi 0 a 0 且 b 0
2) 一般来说，两个复数只能说相等或不相
等，而不能比较大小了.
一：复数的几何意义（一）
有一序一实对数应对(a,b)
复数z=a+bi （数）
直角坐标系中的点Z(a,b)
y
（形）
建立了平面直角
（1）复数的加法运算法则是一种规定。当b=0，d=0 时与实数加法法则保持一致
（2）很明显，两个复数的和仍然是一个 复数 。
对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。
(3)实数加法运算的交换律、结合律在复数 集C中依然成立。
探究？复数与复平面内的向量有一一的对应关系。我们讨论过
向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数y 加法的几何意义吗？
的模,记作 z 或 a bi . | z | = |OZ | a2 b2
复数的模其实是实数绝对值概念的推广
1、复数的加法法则： 设Z1=a+bi，Z2=c+di (a、b、c、d∈R)是任意两 个复数，那么它们的和：
（a+bi)+(c+di)= ？(a+c)+(b+d)i
即实部与实部 虚部与虚部分别相加