4用椭圆和圆的参数方程解题
如何用参数方程解答解析几何问题
考点透视解析几何问题通常较为复杂，且解题过程中的计算量大，出错率高.利用参数方程解答解析几何问题，不仅可以使方程中的变量减少，还能够减小计算量，达到化繁为简的效果.参数方程是曲线或直线的一种重要表示形式.一般地，过定点A()x0,y0，倾斜角为θ的直线的参数方程可以表示为{x=x0+t cosθ,y=y0+t sinθ,其中t为参数，||AB=t；若⊙O的圆心O为()m,n，半径为r，则⊙O的参数方程可表示为{x=m+r cosα,y=n+r sinα,α为参数，表示任意点与圆心O连线段的旋转角度；若椭圆C的中心位于坐标原点O，长轴与短轴分别为a与b，焦点位于x轴，则椭圆的参数方程可表示为{x=a cosα,y=b sinα,α为参数，表示动点T()x,y的离心角.在解答解析几何问题时，我们可根据题意设出或写出直线或曲线的参数方程，并将直线或曲线上的点用参数表示出来，便可将其看作为定点或已知的点，将其坐标代入点到直线的距离公式、弦长公式、两点间的距离公式、韦达定理、直线的斜率公式、直线的方程、圆锥曲线的方程中进行运算，从而将问题转化为三角函数求值、最值问题来求解.最后根据三角函数的性质、公式、图象即可求得问题的答案.例1.（2021全国新高考卷一，第21题）已知点F1()-17,0，F2()17,0，点M满足||MF1-||MF2=2.记点M的轨迹为C.（1）求C的方程；（2）设点T在直线x=12上，过T的两条直线分别交C于A,B，P,Q，且||TA∙||TB=||TP∙||TQ，求直线AB与PQ的斜率之和.解：（1）C的方程为x2-y216=1()x>0；（2）设Tæèöø12,m，直线AB的倾斜角为θ1，直线PQ的倾斜角为θ2，且θ1,θ2∈[0,π)，则直线AB的参数方程为ìíîïïx=12+t cosθ1,y=m+t sinθ2,t为参数.将其代入x2-y216=1()x>0中，得()16cos2θ1-sin2θ1t2+()16cosθ1-2m sinθ1t-()m2+12=0.由题意知16cos2θ1-sin2θ1≠0，则||TA·||TB=-()m2+1216cos2θ1-sin2θ1，同理可得||TP∙||TQ=-()m2+1216cos2θ2-sin2θ2，又||TA∙||TB=||TP∙||TQ，所以-()m2+1216cos2θ1-sin2θ1=-()m2+1216cos2θ2-sin2θ2，则16cos2θ1-sin2θ1=16cos2θ2-sin2θ2，化简得cos2θ1=cos2θ2.因为直线AB与PQ为不同的直线，则cosθ1=-cosθ2，于是θ1+θ2=π，则k AB+k PQ=0.本题若采用常规方法，需将直线的方程与双曲线的方程联立，根据弦长公式和韦达定理求解，解题过程中的计算量大，不易求出正确答案.而运用直线的参数方程，就能将直线上的点A、B、P、Q用倾斜角表示出来，直接利用直线参数方程的几何意义即可求得||TA∙||TB、||TP∙||TQ的表达式，进而通过三角恒等变换，建立直线AB和PQ倾斜角之间的关系，快速求得问题38的答案.例2.在矩形ABCD 中，AB =1,AD =2，点P 在以C为圆心的圆上，该圆与BD 相切.若 AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为（）.A.3B.225解：以A 为原点，DA 、BA 为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，由AB =1,AD =2可得A ()0,0,B ()1,0,C ()1,2,D ()0,2,则以C 为圆心的圆的方程为()x -12+(y -22=45,设P æèçöø÷1+θ,2θ，由 AP =λ AB +μ AD ，得ìíîïïïïλ=1θ,2μ=2+θ,则λ+μ=1+θ+1θ=2+sin (θ+ϕ)≤3,其中tan ϕ=2，当θ+ϕ=π2时，λ+μ取得最大值3.先根据题目条件画出相应的图形，并建立平面直角坐标系，便可通过数形结合的方式，将题目中的几何关系以直观的形式表示出来；然后根据圆的参数方程设出圆上的动点P ，并建立关于参数θ的关系式，即将问题转化为三角函数最值问题；再利用三角函数的辅助角公式和正弦函数的有界性进行求解，这样可使得解题中的计算量大大减小，轻松获得问题的答案.例3.已知A ,B 是椭圆x 2a 2+y2b2=1()a >b >0的左、右顶点，P ,Q 是该椭圆上异于顶点的两点，直线AP 与QB ，PB 与AQ 分别交于点M ,N .（1）求证：MN ⊥AB .（2）若弦PQ 过椭圆的右焦点F 2，求直线MN 的方程.（1）证明：由椭圆的参数方程{x =a cos α，y =b sin α，可设P ()a cos α,b sin α,Q ()a cos β,b sin β，则AP ：y =b sin αa +a cos α(x +a )，AQ ：y =b sin βa +a cos β（x +a )，BP ：y =b sin α-a +a cos α(x -a )，BQ ：y =b sin β-a +a cos β(x -a )，联立直线AP 与BQ 的方程，得x M +a a +a cos αb sin α=x M -a-a +a cos βb sin β，解得x M =sin ()α+β-sin α+sin βsin α+sin β+sin ()β-αa =cos α+β2cos α-β2a ，同理可得，x N =sin ()α+β+sin α-sin βsin α+sin β+sin ()α-βa =cos α+β2cos α-β2a ，故x M =x N ，则MN ⊥AB .（2）解:由（1）得PQ :y -b sin αb sin α-b sin β=x -a cos αa cos α-a cos β,设直线PQ 经过()c ,0，则c a =cos α+sin α()cos α-cos βsin β-sin α=sin ()α-βsin α-sin β=cosα-β2cosα+β2，可得x M =x N =a 2c，故直线MN 的方程为x =a 2c.解答本题，需根据椭圆的参数方程，将椭圆上的点用参数形式表示出来，列出四条直线的方程，通过联立方程求得到点M 、N 的横坐标，进而根据直线的斜率公式建立关系式，从而求得MN 的方程.利用椭圆的参数方程，不仅可使题目中的变量统一，还可以使最终的直线形式简洁、美观，便于计算.可见，在解答解析几何问题时，巧妙利用直线或曲线的参数方程，能使问题中的几何关系以更加简洁的形式呈现，还能简化运算过程，能大大提高解题的效率.但在运用直线或曲线的参数方程解题时，要多关注参数的取值范围和几何意义，这是获得正确答案的有力依据，能为我们解题带来很大的便利.基金项目：基于核心素养下的南充市高中课堂教学研究——以数学学科为例，西华师范大学纵向科研项目，项目编号468020.（作者单位：西华师范大学数学与信息学院）考点透视39。
圆和椭圆的参数方程
圆和椭圆的参数方程知识点：1.圆的参数方程圆222r y x =+参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数）说明：（1）参数θ的几何意义是OM 与x 轴正方向的夹角，如下图：（2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。
（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。
（2）圆222()()x a y b r -+-=的常用参数方程为：cos ,[0,2π)sin x a r y b r θθθ=+⎧∈⎨=+⎩为参数.2.椭圆的参数方程（1）设点M 的坐标(x,y)，ϕ是以Ox 为始边，OA 为终边的正角，取ϕ为参数，那么 x=ON=|OA|cos ϕ， y=NM=|OB|sin ϕ 即⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x ①，引为点M 的轨迹参数方程，ϕ为参数。
（2）椭圆的参数方程也可由12222=+b y a x （a>b>0）三角换元直接得出，即令ϕcos =a x，ϕsin =by。
（3）椭圆参数方程⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （ϕ为参数），参数有明显几何意义，但是离心角ϕ与∠MOX 一般不同。
一、圆的参数方程的应用①距离和最值问题（22）（2017广州一测理）在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数.在以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 (Ⅰ) 求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程; (Ⅱ) 求曲线上的点到直线的距离的最大值.解： (Ⅰ) 由消去得,所以直线的普通方程为. 由,得.将代入上式,得曲线的直角坐标方程为, 即.(Ⅱ) 法1:设曲线上的点为,则点到直线的距离为xOy l 3,(1,=-⎧⎨=+⎩x t t y t )x :.4⎛⎫=- ⎪⎝⎭πρθC l C C l 3,1,=-⎧⎨=+⎩x t y t t 40+-=x y l 40+-=x y 4⎛⎫=-⎪⎝⎭πρθcos cos sin sin 2cos 2sin 44⎫=+=+⎪⎭ππθθθθ22cos 2sin =+ρρθρθ222,cos ,sin =+==ρρθρθx y x y C 2222+=+x y x y ()()22112-+-=x y C ()1,1ααP P l =d =当时, , 所以曲线上的点到直线的距离的最大值为法2: 设与直线平行的直线为, 当直线与圆相切时,解得或(舍去),所以直线的方程为. 所以直线与直线的距离为所以曲线上的点到直线的距离的最大值为2/.圆()()22124x y -++=上的点到直线210x y -+=的最短距离是_______.4．若实数,x y 满足22240x y x y +-+=，则2x y -的最大值为 .22222.(1,0),(1,0)(3)(4)4.A B x y P PA PB P --+-=+（三星）平面上两点，在圆上取一点，求使取得最小值时点的坐标备注：注意P 点的坐标的求法，三角函数问题=sin 14⎛⎫+=- ⎪⎝⎭παmax =d C l l :0l x y b '++=l 'C =0b =4b =-l '0x y +=l l 'd ==C l2223.5,4,3.ABC AB BC AC P ABC PA PB PC ∆===∆++（三星）已知的三边长，点是内切圆上一点，求的最小值与最大值备注：也可以用三角函数来做②参数的几何意义2. （二星）（2014年高考新课标Ⅱ）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标. 备注：参数方程的应用解：（1）C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤可得C 的参数方程为1cos sin x ty t =+⎧⎨=⎩（t 为参数，0t π≤≤）（2）设(1c o s ,s i n )D t t+由（Ⅰ）知C 是以(1,0)G 为圆心，1为半径的上半圆，因为C在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l的斜率相同。
圆和椭圆的参数方程的应用课件-2021-2022学年高二下学期数学人教A版选修4-4
问题2. 椭圆的参数方程与普通方程
椭圆的参数方程
椭圆的普通方程
x a cos y bsin
x
sin
1 典型例题
➢题型一：利用圆和椭圆的参数方程求轨迹
例1
已知点P(2，0)，点Q是圆xy
cos，（为参数）上一动点， s in
例3 已知椭圆 x2 y2 1有一内接矩形 ABCD，求矩形 ABCD的最大面积 . 100 64
【点金训练P42 例2】
变式
已知椭圆 x 2 4
y2
1上任一点M（除短轴端点外）与短轴两端点B1，B2
的连线分别交x轴于P，Q两点，O为坐标原点，求证：OP OQ 为定值.
(5)求点P到直线l： cos 4 sin 1 0的距离的最大值 .
变式 将已知条件改为“已知 点P是椭圆 x2 y2 1 4
上的动点.”呢？
➢题型二：利用参数方程求最值
➢题型二：利用参数方程求最值
➢题型二：利用参数方程求最值
➢题型二：利用参数方程求最值
➢题型三：参数方程的综合应用
求线段PQ中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.【点金训练P37 例2】
变式 已知圆的方程为x2 y2 2axcos 2aysin （0 其中a为常数， 且a 0，为参数），求圆心的轨迹方程. 【点金训练P37 训练得分点】
➢题型一：利用圆和椭圆的参数方程求轨迹
例2 以过原点的直线的倾斜角为参数，则圆x2 y2 x 0
人教版数学选修4-4 坐标系与参数方程
第二讲 参数方程 二 圆锥曲线的参数方程
2.2.1 椭圆的参数方程
一 提出问题
核心问题
探究椭圆的参数方程
圆的参数方程与椭圆的参数方程
y
b
r
sin
0,2
圆的参数方程
1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:
x
y
r r
cos sin
(为参数）
2.圆心为(a,b),半径为r的圆的参数方程:
x
y
a b
r r
cos sin
(为参数）
0,2
例1. 如图,已知点P是圆x2+y2=4上的一个动点,
例2 把下列普通方程化为参数方程
（3）x2 y2 1 49
（4）x 2
y2
16
1
例3
已知椭圆
x2 100
y2 64
1
有一内接矩形ABCD，
求矩形ABCD的最大面积
D
y B2 A
A1 F1
O F2 A2 X
C
B
B1
例4 在椭圆 x2 y2 1 上, 到直线 l : 3x 2y 16 0
点A是x轴上的定点,坐标为(6,0).当点P在圆
上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?
y
解:设M的坐标为(x,y), 圆x2+y2=4
P
的参数方程为 x =2cosθ y =2sinθ
M
O
Ax
∴可设点P坐标为(2cosθ,2sinθ)
由中点公式得:点M的轨迹方程为
x =3+cosθ y =sinθ
∴点M的轨迹是以(3,0)为圆心、1为半径的圆。
P M
O
Ax
例:如图，已知点P是圆x²+y²=16上的一个动点，点A 是x轴上的定点，坐标是（12，0）。当点P在圆上运 动时，线段PA的中点M的轨迹是什么y ？
高中数学 同步学案 圆的参数方程 椭圆的参数方程 双曲线的参数方程
2.2 圆的参数方程2.3 椭圆的参数方程 2.4 双曲线的参数方程学习目标：1.了解圆锥曲线参数方程的推导过程.2.掌握圆和圆锥曲线的参数方程．(易错易混点)3.能用圆、椭圆参数方程解决有关问题．(难点)教材整理1 圆的参数方程 1．标准圆的参数方程已知一个圆的圆心在原点,半径为r,设点P(x,y)是圆周上任意一点,连结OP,令OP 与x 轴正方向的夹角为α,则α唯一地确定了点P 在圆周上的位置．作PM⊥Ox ,垂足为M,显然,∠POM＝α(如图)．则在Rt△POM 中有OM ＝OPcos α,MP ＝OPsin α,即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos α，y ＝rsin α(α为参数)．这就是圆心在原点,半径为r 的圆的参数方程．参数α的几何意义是OP 与x 轴正方向的夹角．2．一般圆的参数方程以(a,b)为圆心,r 为半径的圆,普通方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2,它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋rcos α，y ＝b ＋rsin α(α为参数,a,b 是常数)．填空：(1)圆心为(2,1),半径为2的圆的参数方程是________．(2)在圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos αy ＝sin α(α为参数)中,圆的圆心是________,半径是________．(3)圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)上的点到O(0,0)的距离的最大值是________,最小值是________．[解析] (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数)．(2)由圆的参数方程知圆心为(－1,0),半径为1. (3)由圆的参数方程知圆心为(1,1),半径为1. ∵圆心到原点的距离为2,∴最大值为2＋1, 最小值为2－1.[答案] (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数)(2)(－1,0) 1 (3)2＋1 2－1教材整理2 椭圆与双曲线的参数方程 1．椭圆的参数方程 (1)椭圆的中心在原点标准方程为x 2a 2＋y2b 2＝1,其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos φ，y ＝bsin φ(φ为参数)．参数φ的几何意义是以a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与x 轴正半轴的夹角． (2)椭圆方程不是标准形式其方程也可表示为参数方程的形式,如(x －x 0)2a 2＋(y －y 0)2b2＝1(a ＞b ＞0),参数方程可表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋acos φ，y ＝y 0＋bsin φ(φ为参数)．2．双曲线的参数方程当以F 1,F 2所在的直线为x 轴,以线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,双曲线的普通方程为x2a 2－y2b2＝1(a ＞0,b ＞0)． 此时参数方程为(φ为参数)．其中φ∈[0,2π)且φ≠π2,φ≠3π2.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)椭圆参数方程中,参数φ的几何意义是椭圆上任一点的离心角．( ) (2)在椭圆上任一点处,离心角和旋转角数值都相等．( ) (3)在双曲线参数方程中,参数φ的范围为[0,2π)．( ) [解析] (1)√ 椭圆中,参数φ的几何意义就是离心角．(2)× 在四个顶点处是相同的,在其他任一点处,离心角和旋转角在数值上都不相等． (3)× 双曲线中,参数φ的范围是φ∈[0,2π)且φ≠π2,φ≠3π2.[答案] (1)√ (2)× (3)×求圆的参数方程【例1】 圆(x －r)2＋y 2＝r 2(r>0),点M 在圆上,O 为原点,以∠MOx＝φ为参数,求圆的参数方程． [精彩点拨] 根据圆的特点,结合参数方程概念求解． [尝试解答] 如图所示,设圆心为O′,连结O′M ,∵O′为圆心, ∴∠MO′x＝2φ,∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋rcos 2φ，y ＝rsin 2φ.1．确定圆的参数方程,必须根据题目所给条件,否则,就会出现错误,如本题容易把参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋rcos φ，y ＝rsin φ.2．由于选取的参数不同,圆有不同的参数方程．1．已知点P(2,0),点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ上一动点,求PQ 中点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线．[解] 设中点M(x,y)．则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ2，y ＝0＋sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数),这就是所求的轨迹方程．它是以(1,0)为圆心,以12为半径的圆.椭圆的参数方程及其应用【例2】 如图所示,已知点M 是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)上在第一象限的点,A(a,0)和B(0,b)是椭圆的两个顶点,O 为原点,求四边形MAOB 的面积的最大值．[精彩点拨] 本题可利用椭圆的参数方程,把面积的最大值问题转化为三角函数的最值问题求解． [尝试解答] M 是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)上在第一象限的点,由椭圆x 2a 2＋y2b2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos φ，y ＝bsin φ(φ为参数),故可设M(acos φ,bsin φ),其中0＜φ＜π2,因此,S 四边形MAOB ＝S △MAO ＋S △MOB＝12OA·y M ＋12OB·x M ＝12ab(sin φ＋cos φ)＝22absin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4.所以,当φ＝π4时,四边形MAOB 面积的最大值为22ab ．本题将不规则四边形的面积转化为两个三角形的面积之和,这是解题的突破口和关键,用椭圆的参数方程,将面积表示为参数的三角函数求最大值,思路顺畅,解法简捷,充分体现了椭圆的参数方程在解决与椭圆上点有关最值问题时的优越性．2．(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝4t1＋t2(t 为参数)．以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋3ρsin θ＋11＝0.(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值．[解] (1)因为－1＜1－t 21＋t 2≤1,且x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 2(1＋t 2)2＝1,所以C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1(x≠－1)．l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.(2)由(1)可设C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos αy ＝2sin α(α为参数,－π＜α＜π)．C 上的点到l 的距离为|2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋117.当α＝－2π3时,4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋11取得最小值7,故C 上的点到l 距离的最小值为7.双曲线的参数方程及其应用【例3】 如图所示,设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点,F 1,F 2是两个焦点,证明：|PF 1|·|PF 2|＝|OP|2.[精彩点拨] 将双曲线方程化为参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1cos φ，y ＝tan φ，再利用三角运算进行证明．[尝试解答] 因为双曲线的方程为x 2－y 2＝1, 所以设P ⎝⎛⎭⎪⎫1cos φ，tan φ.∵F 1(－2,0),F 2(2,0), ∴|PF 1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ＋22＋tan 2φ＝2cos 2φ＋22cos φ＋1, |PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1cosφ－22＋tan 2φ＝2cos 2φ－22cos φ＋1, ∴|PF 1|·|PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2φ＋12－8cos 2φ＝2cos 2φ－1. ∵|OP|2＝1cos 2φ＋tan 2φ＝2cos 2φ－1,∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP|2.1．与双曲线上点有关的问题,常利用其参数方程转化为三角的计算与证明问题． 2．对由参数方程给出的双曲线确定其几何性质问题,常将其化为普通方程后,再求解．3．求证：双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0,b>0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．[证明] 由双曲线x 2a 2－y2b2＝1,得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0,bx －ay ＝0, 设双曲线上任一点的坐标为(asec φ,btan φ), 它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2,则d 1·d 2＝|absec φ＋abtan φ|b 2＋a 2·|absec φ－abtan φ|b 2＋(－a )2＝|a 2b 2(sec 2φ－tan 2φ)|a 2＋b 2＝a 2b2a 2＋b2(定值).圆的参数方程的应用[探究问题]1．给定参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋rcos α，y ＝b ＋rsin α，其中a,b 是常数．(1)如果r 是常数,α是参数,那么参数方程表示的曲线是什么？ (2)如果α是常数,r 是参数,那么参数方程表示的曲线是什么？[提示] (1)参数方程表示的曲线是以(a,b)为圆心,r 为半径的圆(r≠0)． (2)参数方程表示的曲线是过(a,b)点,且倾斜角为α的直线． 2．圆的参数方程中,参数有什么实际意义？[提示] 在圆的参数方程中,设点M 绕点O 转动的角速度为ω(ω为常数),转动的某一时刻为t,因此取时刻t 为参数可得圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos ωt，y ＝rsin ωt (t 为参数),此时参数t 表示时间．若以OM 转过的角度θ(∠M 0OM ＝θ)为参数,可得圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos θ，y ＝rsin θ(θ为参数),此时θ具有明显的几何意义．3．利用圆的参数方程表示其上任意点坐标时有什么优越性？[提示] 将其横纵坐标只用一个参数(角)来表示,可将与点的坐标有关的问题转化为三角问题求解．【例4】 设方程⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝3＋sin θ(θ为参数)表示的曲线为C.(1)判断C 与直线x ＋3y －2＝0的位置关系； (2)求曲线C 上的动点到原点O 的距离的最小值；(3)点P 为曲线C 上的动点,当|OP|最小时(O 为坐标原点),求点P 的坐标； (4)点M 是曲线C 上的动点,求其与点Q(－1,－3)连线中点的轨迹． [精彩点拨] 本题考查圆的参数方程的应用,以及运算和转化与化归能力． (1)利用圆心到直线的距离与半径的关系判断． (2)设P 的坐标表示出|OP|,利用三角函数知识求最值． (3)利用(2)取最小值的条件即可．(4)设出点M 的坐标,进而表示出MQ 中点坐标,即得轨迹的参数方程．[尝试解答] (1)曲线C 是以(1,3)为圆心,半径为1的圆,则圆心(1,3)到直线x ＋3y －2＝0的距离为|1＋3×3－2|12＋(3)2＝1,故直线和圆相切． (2)设圆上的点P(1＋cos θ,3＋sin θ)(0≤θ<2π)． |OP|＝(1＋cos θ)2＋(3＋sin θ)2＝5＋4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3, 当θ＝4π3时,|OP|min ＝1.(3)由(2)知,θ＝4π3,∴x＝1＋cos 4π3＝12,y ＝3＋sin 4π3＝32,P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.(4)设MQ 的中点为(x,y)．∵M(1＋cos θ,3＋sin θ),Q(－1,－3),∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ－12＝12cos θ，y ＝－3＋3＋sin θ2＝12sin θ(θ为参数)．所以中点轨迹是以原点为圆心,12为半径的圆．1．与圆的参数方程有关的问题求解时,可直接利用参数方程求解,也可转化为普通方程问题求解． 2．与圆上点有关的距离最值问题,需建立目标函数求解时,常利用圆的参数方程,将圆上的点用角表示,从而将待求最值,转化为三角函数的最值问题求解,但要注意参数θ的取值范围．4．如图,设矩形ABCD 的顶点C 的坐标为(4,4),点A 在圆x 2＋y 2＝9(x≥0,y≥0)上移动,且AB,AD 两边分别平行于x 轴,y 轴．求矩形ABCD 面积的最小值及对应点A 的坐标．[解] 设A(3cos θ,3sin θ)(0＜θ＜90°),则|AB|＝4－3cos θ,|AD|＝4－3sin θ, ∴S＝|AB|·|AD|＝(4－3cos θ)(4－3sin θ) ＝16－12(cos θ＋sin θ)＋9cos θsin θ.令t ＝cos θ＋sin θ(1＜t≤2),则2cos θsin θ＝t 2－1.∴S＝16－12t ＋92(t 2－1)＝92t 2－12t ＋232＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫t －432＋72,∴t＝43时,矩形ABCD 的面积S 取得最小值72.此时⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＋sin θ＝43，cos θsin θ＝718，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝4±26，sin θ＝4∓26.∴对应点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22，2－22或 ⎝⎛⎭⎪⎫2－22，2＋22.1．圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数),则圆的圆心坐标为( )A ．(0,2)B ．(0,－2)C ．(－2,0)D ．(2,0)[解析] 由圆的参数方程知,圆心为(2,0)． [答案] D2．圆心在点(－1,2),半径为5的圆的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－cos θ，y ＝5＋2sin θ(0≤θ<2π)B ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋5cos θ，y ＝－1＋5sin θ(0≤θ<2π)C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<π)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π)[解析] 圆心在点C(a,b),半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋rcos θ，y ＝b ＋rsin θ(θ∈[0,2π))．故圆心在点(－1,2),半径为5的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π)．[答案] D3．曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为________．[解析] 由曲线C 的参数方程可以看出a ＝3,b ＝5,得a 2＝9,b 2＝5,⇒c 2＝4,所以e ＝c a ＝23.[答案] 234．双曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sec φ，y ＝4tan φ(φ为参数)的焦点坐标为________．[解析] 曲线C 的普通方程为x 29－y216＝1,得焦点坐标为F 1(－5,0),F 2(5,0)．[答案] (－5,0),(5,0)5．能否在椭圆x 216＋y212＝1上找一点,使这一点到直线x －2y －12＝0的距离最小．[解] 设椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos φ，y ＝23sin φ(φ是参数,0≤φ＜2π)．则d ＝|4cos φ－43sin φ－12|5＝455⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3－3,当cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π3＝1时, 即φ＝53π时,d min ＝455,此时对应的点为(2,－3)．。
巧用圆的参数方程解题
堕
即
ｉ 一
２ ＋ｘ ／３ Ｃ Ｏ Ｓ Ｏ ／
ｓ ｉ ｎ （ ａ ＋ ｑ ￣ ） ＝ ２ ｔ ， 其 中 满 足Ｃ Ｏ Ｓ ￣ － －
—
、
求 与 圆 有 关 的 最 值 问题
—
例 １ 若实数 ， ｙ 满足 （ 一 ２ ） ２ ＋ ｙ ＝ ３ ． 求：
堂解 法 探 究
巧用圆的参数方程解题
⑩湖 南 省 隆 回县 第 二 中学 彭 利 波
２ ０ １ ５ 年 ９ 月
高 中数学重视 数学知识 的发 生 、发 展和应 用 的过 程． 圆的参数 方程这 一 内容 ， 在 高 中数 学作 为选 修部分 出现 ， 在高考 中 的直接 分量不 多 ， 故在 平时教 学 中要求 较低． 但 在高 三复 习“ 解 决与 圆相关 的某些 问题 ” 时， 若 巧用圆的参数方程 ， 常能化 繁为简 ， 化难为易 ， 收到事半 功倍的效果． 下 面举例说 明．
ｒ １
小方块上， 故ｄ ∈ｆ ０ ， ÷ｆ ． 而要使铜板完整地落人方块，
度比， 还是弧长比 等， 从而 正确解决问题． 口
十。 ７ Байду номын сангаас・ ７高 中 版
２ ０ １ ５ 年 ９月
解法探究
教 学 参 谋
以 的最 大值 为、 ／ 了， 的最小值 为一 、 ／ 了．
（ ２ ） ｙ － ｘ ＝ ｓ ｉ ｎ 一 Ｃ ０ ５ ￣－ － ２ ＝ ｓ ｉ ｎ
４
图８
０ Ⅳ 超过 的概率． 此时基本事件构件 区域为 ［ ０ ， 叮 Ｔ ］ ，
ｊ
２ 叮 Ｔ
而 事 件 Ａ 构 成 的 区 域 为 ｆ 孕， 丌 ） ， 故 Ｐ （ ４ ） ： — — 三 一 ： ．
慎用椭圆参数方程解题
十。擞－ （１－ 期・ 中 ） ？ ７ ２０ｆ ８ 高 版 ０￣ － ｇ
． 解题研究 ．
慎 用 椭 圆参 数方 程 解题
４ １０ 湖北省枣阳市第二中学 龚 ４２０
“ 引参 ， 消参 ， 元法” 换 是数 学解题 的一种 重要方法 及技 巧． 借用参 数可 以架起未 知变量之 间的桥 梁 ， 减少 运算量 ， 达到化繁为简 ， 化难 为易的 目的． 在运 用时一方
（） １ 求椭 圆 ｒ的方程 ； （ ） Ｍ， ２若 Ｎ是椭 圆 ｒ上两点 ， 满足 Ｉ ＭＮＩ 的最小值．
离心角 ０看成是直线 Ｏ 的倾斜 角 ， 出点 Ⅳ的坐标是 Ｍ 得
．
错 的．
・ ＝ ， Ｄ ０ 求
正解 由Ｍ， Ｎ是椭圆 ｒ ＋２ Ｉ ： ）＝ 上的点且 Ｏ Ｉ ， Ｍ＿ ．
即 ｇ ，＝ 时，删 Ｉ ：订 ０ － Ｉ 取最小值为
直线 ｚ ＋ ３ － ＝ ： √ ｙ ０与 ｒ交于 Ａ Ｂ两点，Ａ ＝ 且 ， Ｉ Ｉ ２
剖 该 法 错 参 方 ｆ？？ 点 的 析 解 中 将 数 程 ‘’ 肘 Ｉ ？中
ｙ： Ｏｓｎ０ ｉ
／Ｏ＝ ． ＿ Ｂ詈 ． Ａ
错 将 ＝ Ｍ子 接 人 圆 参 方 解 Ｏ＝ 直 代 椭 的 数 程
Ｏ 故 可 设 Ｎ．
Ⅳｆ，ｓ ０， ｏ ０ ， 一 ｉ ， ｃ ｓ ）’ ｎ ２
、
．
ｆ＋／ｙ √ ＝ ， ｘ ， － ３ ０ ３
分 第（） 通 联 程【 ： 析 １问 过 立方 ｛ ｙ １ 利用 ２． ＋
＇
Ｍ ｌ ０ ｌ ｎ ） ｒｃｃｓ ，ｓ ０ ｒｉ
／
弦长公式及 ・ 百＝ ， 用设而不 求的方 法很容易 求 Ｄ ０运
优质课一等奖选修44参数方程圆锥曲线的参数方程
以发现什么结论?
A
M
O
x
B
解 双曲线的渐近线方程为y b x.
a
不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为
a
y
sec
,
b
tan
,
则直线MA的方程为y b tan b ( x a sec )
A
a
把y b x代 入 a
xA
同 理B点 横 坐
解得点A的横坐标为
a (sec tan )
2
标xB
a 2
(sec
tan )
M
O
x
B
设AOx a tan
S平 行 四 边 形MAOB | OA
|
b
a
| OB
平行四边形MAOB的面积为 | sin2 xA xB sin2
cos cos
a2 sec2 tan 2
4cos 2
sin2
a2 tan a2 b ab .
2
2a 2
形OAPB的面积最大.
x2 y2
例4 求椭圆 a2 b2 1(a b 0) 的内接 矩形的面积及周长的最大值。
解:设椭圆内接矩形在第一象限的顶点是
A(a cos，bsin )(0 ) 矩形面积和周长分别是S、L
2
S 4 | FA | | EA | 4a cos bsin 2absin2 2ab
b
x a sec ,
y b tan. 为参数
因为 1 cos 2
sin2 cos 2
1,
即sec2 tan 2 1,
所以, 从③消去参数 后得到点M的轨迹的普通方程为②,
这是中心在原点, 焦点在x轴上的双曲线.
圆的参赛方程
讲解这个方程
圆的参数方程是指以椭圆（圆）上任意点为圆心出发，通过任意给定的角度和圆上唯一点组成。
因此，圆的参数方程实际上是以极坐标形式表示的，即以比值(r)来表示点到圆心的距离，以弧度θ来表示点沿圆上的角位置。
参数方程可以用以下的格式来表示：
x=rcosθ
y=rsinθ
其中 r 代表的是圆的半径，c 和 s 是代表复数的余弦和正弦函数，
$\theta$ 是表示点沿圆上的角位置的角度，用角度值来表示。
比如，如果我们要表示一个圆的参数方程，其半径为4，它的圆心位于(3,4)，我们可以定义参数方程为：
x=3+4cosθ
y=4+4sinθ
这就表示了我们要求的该圆的参数方程，从而可以在我们需要的角度上表示圆上的每个点的坐标了。
可见，圆的参数方程是一种非常有用的绘制圆的方法，可以让我们快速的绘制出一个圆的形状。
normal
另外，圆的参数方程也可以被用来表示其他复杂图形如椭圆形、圆角矩形等。
只需将 r 改为下面所示表达式即可：
r=a*sqrt(1-b*tanθ²))
其中 a 和 b 是椭圆的参数。
从上面可以看出，圆的参数方程可以被用于表示椭圆、圆角矩形等复杂形状。
知道它们的参数方程，那么绘制这些图形都会成为一件简单又容易的事情。
用圆的几何性质解决椭圆问题
椭圆是高中数学中的重点和难点，原因在于它不像圆。圆上每一点到原点的距离都相等， 并由此产生许多特别的性质，如垂径定理、切线长定理、圆周角定理等。而圆的这些定理就 很难应用到椭圆上。如垂径定理、切线长定理，只能适用于椭圆的两个对称轴，而圆周角定 理更是完全不适用。于是很多求线段长度、斜率大小、角度大小的题目，都只能通过复杂的 数学运算来解决。如果能把椭圆变成圆，用圆的几何特性来解决椭圆的问题，将能使计算量 大幅减少，不仅能节约大量宝贵的时间，还能提高解题的正确率。
�������������������������
= =
acos������������ ������������sin������������
而圆的参数方程为：
�������������������������
= =
rcos rsin
������������ ������������
可见，当椭圆长短轴相等时，就是一个圆了。
������������ ������������
������������′�
=
0
如果在变换后的坐标中，通过圆的性质求得某线段长度������������’，根据：
������������’
=
��������������1′
−
������������2′�2
+
�������������1′
−
������������2′�2
椭圆的方程
接着，我们来看椭圆的方程（假设长轴在 x 轴上）。
椭圆的标准方程为：
而圆的标准方程为： 两边同时除以������������2得：
我们再看椭圆的参数方程：
������������2 ������������2 ������������2 + ������������2 = 1 ������������2 + ������������2 = ������������2 ������������2 ������������2 ������������2 + ������������2 = 1
椭圆的参数方程
x a cos O N x 由已知: (为参数) y b sin 即为点M的轨迹参数方程. x2 y2 消去参数得: 2 2 1, 即为点M的轨迹普通方程. a b
1 .参数方程 数方程. 2 .在椭圆的参数方程中，常数a、b分 别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b
(3)
x 9
2
1 (4)
y 25
2
x 64
2
y 100
2
1
x 2cos 练习2：已知椭圆的参数方程为 ( 是 y sin
参数) ，则此椭圆的长轴长为（ 4 ），短轴长为
（ 2 ），焦点坐标是（( 3 , 0)），离心率是 （
3 2
）。
例2、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线
A
B O N
M
设∠XOA=φ
x
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过 点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M， 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. y 解： 设∠XOA=φ, M(x, y), 则 A A: (acosφ, a sinφ), B B: (bcosφ, bsinφ), M
x 线AB的方程为 3 y 2
1 2x 3y 6 0
6 13
d
| 6 cos 6 sin 6 | 22 32
2 sin( ) 4
所以当 =
4 这时点P的坐标为( 3 2 2 , 2)
时, d 有最大值, 面积最大
x2 y2 1、动点P(x,y)在曲线 1上变化 ，求2x+3y的最 9 4 大值和最小值
椭圆的参数方程及其应用
在航空航天工 程中，椭圆的 参数方程用于 描述飞行器的 轨迹和姿态控
制。
在土木工程中， 椭圆的参数方 程用于描述桥 梁、建筑等结 构的振动和稳
定性分析。
在电力系统工 程中，椭圆的 参数方程用于 描述交流电的 波形和稳定性。
参数方程在日常生活中的应用
卫星轨道计算： 椭圆的参数方程 在卫星轨道计算 中有着广泛的应 用，可以精确地 描述卫星的运行 轨迹。
物理实验：椭圆 的参数方程在物 理实验中也有着 重要的应用，例 如在研究抛物线 运动、行星运动 等实验中都需要 用到椭圆的参数 方程。
机械制造：椭圆 的参数方程在机 械制造领域也有 着广泛的应用， 例如在制造汽车、 飞机等机械时需 要用到椭圆的参 数方程来描述零 件的形状和尺寸。
经济学：椭圆的 参数方程在经济 学中也有着重要 的应用，例如在 研究股票价格、 供需关系等经济 问题时需要用到 椭圆的参数方程 来描述数据的变 化趋势。
参数方程在解决几何问题、物理问题等领域中有着广泛的应用，可以帮助 我们更方便地描述和分析曲线。
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程定义 参数方程中各参数的意义 参数方程与直角坐标方程的转换 参数方程在几何学中的应用
参数方程的推导
椭圆参数方程的推导过程 参数方程与直角坐标方程的转换关系 参数方程的应用场景和优势 参数方程在解决实际问题中的应用案例
描述电子云分布： 在量子力学中，椭 圆的参数方程可以 用来描述电子云的 分布。
描述电磁波的传播 ：椭圆的参数方程 可以用来描述电磁 波在介质中的传播 路径。
描述振动和波动： 椭圆的参数方程可 以用来描述某些振 动和波动现象，如 弹簧振荡和波动传 播。
参数方程在工程学中的应用
椭圆参数方程 在机械工程中 的应用，例如 用于描述旋转 机械的振动特
第二讲 二 1.圆与椭圆的参数方程
第二章 参数方程
椭圆的参数方程
Байду номын сангаас
第二章 参数方程 椭圆的参数方程
x = a cos ϕ x y 1 .参数方程 y = b sin ϕ 是椭圆 2 + 2 = 1 a b 的参数方程. 的参数方程.
2 2
2 .在椭圆的参数方程中，常数a、b分别 在椭圆的参数方程中， 是椭圆的长半轴长和短半轴长. 是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b
y
x2 y2 椭圆的标准方程: 椭圆的标准方程: 2 + 2 =1 a b x = acosφ 椭圆的参数方程: (φ为参数 ) 椭圆的参数方程: y = bsinφ
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 不是∠ 是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ. 不是 圆的标准方程: 圆的标准方程: x2+y2=r2
故 x = 2 2 cos ϕ = −
8 1 8 1 y = sin ϕ = ，点 P (− , ) 即为所求. 即为所求. ， 3 3 3 3
第二章 参数方程 参数方程与普通方程的互化
x + y =r
2 2
2
2
x = r cos θ y = r sin θ
2 2
(x − a) + (y −b) = r
x = a +r cosθ y = b+r sinθ
注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、 参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、 纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、 纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标 与参数之间的关系。 与参数之间的关系。 参数方程的应用往往是在x 2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难 或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。 或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。
圆和椭圆的参数方程
圆和椭圆的参数方程圆和椭圆是数学中常见的几何图形，它们可以用参数方程来表示。
在本文中，我将详细介绍圆和椭圆的参数方程，并且按照分层次的优美排版方式进行分段分标题输出。
一、圆的参数方程1. 圆的定义圆是平面上所有到一个固定点（圆心）距离相等的点的集合。
2. 圆的参数方程假设圆心坐标为（h，k），半径为r，则可以使用以下参数方程来表示一个圆：x = h + r * cos(θ)y = k + r * sin(θ)其中，θ是从0到2π范围内变化的角度。
3. 参数方程解释- x = h + r * cos(θ) 表示x坐标值随着角度θ变化而变化，通过cos函数来确定具体位置。
- y = k + r * sin(θ) 表示y坐标值随着角度θ变化而变化，通过sin 函数来确定具体位置。
- h 和 k 是圆心的坐标，r 是半径。
二、椭圆的参数方程1. 椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和等于常数（长轴）的点的集合。
2. 椭圆的参数方程假设焦点坐标分别为（h，k±c），长轴为2a，短轴为2b，则可以使用以下参数方程来表示一个椭圆：x = h + a * cos(θ)y = k + b * sin(θ)其中，θ是从0到2π范围内变化的角度。
3. 参数方程解释- x = h + a * cos(θ) 表示x坐标值随着角度θ变化而变化，通过cos函数来确定具体位置。
- y = k + b * sin(θ) 表示y坐标值随着角度θ变化而变化，通过sin 函数来确定具体位置。
- h 和 k 是椭圆中心的坐标，a 是长半轴长度的一半，b 是短半轴长度的一半。
三、圆和椭圆参数方程的应用1. 绘制图形使用参数方程可以方便地绘制出圆和椭圆的图形。
通过给定不同的参数值，可以绘制出不同大小、位置和形状的圆和椭圆。
2. 计算点坐标通过给定角度θ，可以计算出对应于该角度的点在圆或椭圆上的坐标。
这在进行数学计算和几何分析时非常有用。
人教版选修4-4椭圆的参数方程
O
A x
【练习1】把下列普通方程化为参数方程.
2 x y y 2 1 x 1 (2) (1) 4 9 16 x 2 cos x cos (1) (2) y 3sin y 4sin
2
2
把下列参数方程化为普通方程 x 3cos x 8cos (3) (4) y 10sin y 5sin
练习： 1、已知点P(x,y)满足 求x+y的最值。 2、已知点P(x,y)满足 ， ，
求x2+y2的最值。
练习3:已知A,B两点是椭圆 x 1 9 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
2
y2 4
解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos ,2sin ) S ABC 面积一定, 需求 S ABP 最大即可 即求点P到线AB的距离最大值
x a cos , 焦点在X 轴 y b sin .
1 .参数方程 数方程. 2 .在椭圆的参数方程中，常数a、b分 别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b
x a cos y b sin 是椭圆的参
x b cos , 焦点在Y 轴 y a sin .
求x2+y2的最值。
引伸 ：点P在椭圆
2 2
3 1 在圆 x y 2 4 上运动，求PQ的最大值
y
x y 2 1 上运动，点Q 4
2
Q A P O
1 PQ PA AQ PA 2
所以只要求 PA 的最大值
x
应用：课课练P100第9题 x2 y2 椭圆 2 2 1(a b 0)的长轴二端点为A'、A a b 若椭圆上存在一点M，使∠A'MA＝120 ，试求 椭圆离心率的取值范围.
圆和椭圆的参数方程
圆和椭圆的参数方程概述圆和椭圆是数学中常见的几何图形，它们都可以通过参数方程来表示。
本文将详细探讨圆和椭圆的参数方程，包括如何推导参数方程、参数的含义以及参数方程的应用。
圆的参数方程推导圆是一个具有等距离的点构成的闭合曲线，可以通过一个参数方程来表示。
假设圆心为(0, 0)，半径为r，则圆上任意一点的坐标可以表示为(x, y)。
根据勾股定理，有： 1.为了求解参数方程，我们引入一个参数θ（取值范围为0到2π），并使用三角函数来表示x和y。
具体推导过程如下： 1. x = r * cosθ 2. y = r * sinθ给定不同的θ，就可以得到对应的圆上的点坐标。
圆的参数方程的含义圆的参数方程中，参数θ表示角度。
通过不同的θ取值，可以得到圆上不同位置的点坐标。
当θ等于0时，点坐标为(1, 0)，即圆上最右边的点；当θ等于π/2时，点坐标为(0, 1)，即圆上最上边的点；当θ等于π时，点坐标为(-1, 0)，即圆上最左边的点；当θ等于3π/2时，点坐标为(0, -1)，即圆上最下边的点。
圆的参数方程的应用圆的参数方程在几何学和物理学中有广泛的应用。
下面列举了一些常见的应用场景：1. 编程中的绘图：通过参数方程，可以在计算机屏幕上绘制出一个圆。
2. 物理运动的描述：例如，一个物体以圆形轨道运动，可以通过参数方程描述物体在不同时间的位置。
3. 数学建模：通过参数方程，可以将圆形曲线用于解决一些数学问题，如曲线的长度计算、曲线与其他曲线的交点等。
椭圆的参数方程推导椭圆是一个具有两个焦点的闭合曲线，可以通过一个参数方程来表示。
假设椭圆的两个焦点为F1和F2，焦点之间的距离为2a，离心率为e，则椭圆上任意一点的坐标可以表示为(x, y)。
根据焦点定义，有： 1.其中P为椭圆上的任意一点。
为求解参数方程，我们引入一个参数θ（取值范围为0到2π），并使用三角函数来表示x和y。
具体推导过程如下： 1. x = a * cosθ 2. y = b * sinθ其中b为椭圆的短半轴长度，根据离心率计算公式e = √(1 - (b2/a2))可求得短半轴b的值。
2.1 椭圆的参数方程 课件 (北师大选修4-4)
B O N
M
设∠XOA=φ
x
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过 点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M， 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. y 解： 设∠XOA=φ, M(x, y), 则 A A: (acosφ, a sinφ), B B: (bcosφ, bsinφ), M
练习4
最大值6 2 , 最小值 6 2 .
2、θ取一切实数时，连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,
6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 B .
A. 圆
B. 椭圆
设中点M (x, y)
C. 直线 x=2sinθ-2cosθ
y=3cosθ+3sinθ
D. 线段
x y 2 4 9
x 线AB的方程为 3 y 2
2
2
1
1 2x 3y 6 0
6 13
d
| 6 cos 6 sin 6 | 22 32
2 sin( ) 4
所以当 =
4 这时点P的坐标为( 3 2 2 , 2)
时, d 有最大值, 面积最大
x2 y2 1、动点P(x,y)在曲线 1上变化 ，求2x+3y的最 9 4 大值和最小值
点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。
x2 y2 1有一内接矩形ABCD， 例3、已知椭圆 100 64
求矩形ABCD的最大面积。
Y y D
解 : 设A 10cos ,8sin
AD 20cos , AB 16sin S 20 16sin cos 160sin 2
参数方程的建立
y x B
运算过程，平方式的变形以适应应用韦达定理，
(2) P0是弦AB的中点， t1， t2的绝对值相等， 符号相反，有t1+ t2=0， 设直线AB的参数方程 代入x2+y2=8， x=-1+tcos y=2+tsin
(-1+tcos)2+ (2+tsin )2=8
t2+(4sin -2cos)t-3=0
(2)所求的t值的对应点就是B，把它代入参数
2 7 2 10 ，方程 B点的坐标是 x 1 2 3 3 10 1` x 2 2 7 2 1 ( , ) 2 3 3 3 3
7 2 AB t 3
例 2、 圆x2+y2=8内有一点P0(-1，2)，AB 为过P0且倾斜角为 的弦， 时，求|AB|； (1)当 = 3 — 4 (2)当AB弦被P0 平分时，写出直线AB方程。
说明：参数方程的本质是将曲线上任意一点P（x,y)的坐标表 示成参数的函数，而定义域是函数的要素之一，定义域对函数 的值域有重要的制约作用。
因此，（1）题说明了要重视参数方程中对参数的限制条件； （2）题说明如果消去参数后得到的普通方程形式相同，且方程 中x,y的取值范围也相同，那么这两个参数方程表示的是同一 曲线。
P（x，y） θ P0
x R cos y R sin
(0 2 )
圆的参数方程
如果点P在圆上作匀角速度ω的运动，由 匀角速度公式θ= ωt可得：
x R cos y R sin
x R cos t (0 2 ) y R sin t
分析解答：L1参数方程直接写出
2 t x=1+tcos45o=1+ — 2 2t y=-2+tsin45o=-2+ — 2
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用椭圆和圆的参数方程解题
题1 (2004年全国高中数学联赛四川省初赛第16题)已知椭圆
)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 和动圆)(:222a r b r y x T <<=+.若点A 在椭圆C 上，点B 在
动圆T 上，且使直线AB 与椭圆C 、动圆T 均相切，求点A ,B 的距离AB 的最大值.
解 如图1所示，可不妨设点A ,B 均在第一象限.
图1
由点A 在椭圆C 上，可设⎪⎭
⎫
⎝
⎛
<<20)sin ,cos (παααb a A ，得椭圆C 在点A 处的切线方程为
1sin cos =+y b
x a α
α ①
由点B 在动圆T 上，可设⎪⎭
⎫
⎝
⎛
<<20)sin ,cos (πβββr r B ，得圆T 在点B 处的切线方程为
r y x =+ββsin cos ②
因为①②表示同一条直线，所以
r b a 1
sin sin cos cos ==βαβα
αβαβsin sin ,cos cos b
r
a r ==
222221
sin cos r
b a =+αα )
()(cos 2222222
b a r b r a --=α
所以
22222222222
22cos )(sin cos r b b a r b a OB OA AB -+-=-+=-=ααα
2
2222222
2
)(2)()(b a ab b a r b a r b a -=-+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-+= 进而可得AB 的最大值是b a -.
题2 (2015年浙江省高中数学竞赛第17题)已知椭圆)0(1:22
221>>=+b a b
y a x C 的离
心率为
2
3
，右焦点为圆7)3(:222=+-y x C 的圆心. (1)求椭圆1C 的方程；
(2)若直线l 与曲线21,C C 都只有一个公共点，记直线l 与圆2C 的公共点为A ，求点A 的坐标.
解法1 (1)(过程略)14
22
=+y x . (2)如图2所示，可设直线l 与椭圆1C 相切于点)sin ,cos 2(ααB ，得椭圆1C 在点B 处的切线方程为
2sin 2cos =+ααy x ③
图2
还可设直线l 与圆2C 相切于点)sin 7,3cos 7(ββ+A ，得圆2C 在点A 处的切线方程为
7cos 3sin cos +=+βββy x ④
由③④表示同一条直线，可得
7
cos 32
sin sin 2cos cos +==ββαβα 所以
7
cos 3sin sin ,7cos 3cos 2cos +=+=
ββ
αββα
222)7cos 3()(sin )cos 2(+=+βββ
7
2
sin ,73cos ±
=-
=ββ 进而可求得点A 的坐标是)2,0(±.
解法2 (1)(过程略)14
22
=+y x . (2)如图2所示，可设直线l 与椭圆1C 相切于点)sin ,cos 2(ααB ，同解法1可得直线l 的方程为①.
由直线③圆2C 相切，可得
7sin 4cos cos 322
2
=+-α
αα
2
1sin ,23cos ±=-
=α 得直线l 的方程为223+=
x y 或22
3
--=x y . 再让线l 与圆2C 的方程联立后，可求得切点A 的坐标是)2,0(±.。