4用椭圆和圆的参数方程解题

用椭圆和圆的参数方程解题

题1 (2004年全国高中数学联赛四川省初赛第16题)已知椭圆

)0(1:22

22>>=+b a b

y a x C 和动圆)(:222a r b r y x T <<=+.若点A 在椭圆C 上，点B 在

动圆T 上，且使直线AB 与椭圆C 、动圆T 均相切，求点A ,B 的距离AB 的最大值.

解 如图1所示，可不妨设点A ,B 均在第一象限.

图1

由点A 在椭圆C 上，可设⎪⎭

⎫

⎝

⎛

<<20)sin ,cos (παααb a A ，得椭圆C 在点A 处的切线方程为

1sin cos =+y b

x a α

α ①

由点B 在动圆T 上，可设⎪⎭

⎫

⎝

⎛

<<20)sin ,cos (πβββr r B ，得圆T 在点B 处的切线方程为

r y x =+ββsin cos ②

因为①②表示同一条直线，所以

r b a 1

sin sin cos cos ==βαβα

αβαβsin sin ,cos cos b

r

a r ==

222221

sin cos r

b a =+αα )

()(cos 2222222

b a r b r a --=α

所以

22222222222

22cos )(sin cos r b b a r b a OB OA AB -+-=-+=-=ααα

2

2222222

2

)(2)()(b a ab b a r b a r b a -=-+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+-+= 进而可得AB 的最大值是b a -.

题2 (2015年浙江省高中数学竞赛第17题)已知椭圆)0(1:22

221>>=+b a b

y a x C 的离

心率为

2

3

，右焦点为圆7)3(:222=+-y x C 的圆心. (1)求椭圆1C 的方程；

(2)若直线l 与曲线21,C C 都只有一个公共点，记直线l 与圆2C 的公共点为A ，求点A 的坐标.

解法1 (1)(过程略)14

22

=+y x . (2)如图2所示，可设直线l 与椭圆1C 相切于点)sin ,cos 2(ααB ，得椭圆1C 在点B 处的切线方程为

2sin 2cos =+ααy x ③

图2

还可设直线l 与圆2C 相切于点)sin 7,3cos 7(ββ+A ，得圆2C 在点A 处的切线方程为

7cos 3sin cos +=+βββy x ④

由③④表示同一条直线，可得

7

cos 32

sin sin 2cos cos +==ββαβα 所以

7

cos 3sin sin ,7cos 3cos 2cos +=+=

ββ

αββα

222)7cos 3()(sin )cos 2(+=+βββ

7

2

sin ,73cos ±

=-

=ββ 进而可求得点A 的坐标是)2,0(±.

解法2 (1)(过程略)14

22

=+y x . (2)如图2所示，可设直线l 与椭圆1C 相切于点)sin ,cos 2(ααB ，同解法1可得直线l 的方程为①.

由直线③圆2C 相切，可得

7sin 4cos cos 322

2

=+-α

αα

2

1sin ,23cos ±=-

=α 得直线l 的方程为223+=

x y 或22

3

--=x y . 再让线l 与圆2C 的方程联立后，可求得切点A 的坐标是)2,0(±.