电路与电子学第三章

5V
+
3KΩ
2KΩ t=0+
15 5 uC (0-) 3 ( ) 5 11(V) 23 3 -50t t iC (t) - e (mA) 2 f ( t ) f ( ) [ f ( 0 ) f ( )] e
t=0-
UA + Ux 8A 2Ω
UA=?V
0
相量表示法例题
i3
i1
I 2 100150 0 86.6 j 50( mA ) 0 I 3 I 1 I 2 43.3 j 25 86.8 j 50 43.3 j 25 50150 ( mA ) 根据KCL得：
解： I 1 50 30 43.3 j 25( mA )
uO(t)
uS(t)
uO(0+)=9+5=14（V） 电感 t=0 +
-
uO(∞)=9（V） t=∞
A=m∠
+1
这种方法表示的复数便于进行乘除运算
复数相乘除就是将它们的模相乘除，幅角相加减。
7∠350× 3∠200= 7 × 3 ∠（ 350 +200 ）= 21 ∠550 15∠600÷ 3∠150= 15÷ 3 ∠（ 600 - 150 ）= 5 ∠450
极坐标与直角坐标形式的关系 P70 式 3-11 ~ 式 3-16 a = m cos b = m sin A= m cos + j m sin m= √a 2+ b2 = arctg b a
i2
2f 正弦电流瞬时表达式为： i3=50√2sin(2π×50t+1500)= 50√2sin(314t+1500) mA 相量图为： . +j I2 . I3 1500
+1
300 . I1
例2
如图所示电路中， 已知各元件上的电压分别为 相量表示法例题 . . U 1 5 30 0 V U U + 1 - + 2 0
复数
+j
b a 运算法则 A
A称为复数
A= a + jb +1 这种方法表示的复数便于进行加减运算
n个复数相加或相减就是将它们的实部和虚部分别相加或相减。
(3+j8)+(4-j2) =(3+4)+j(8-2)=7+j6 (3+j8)-(4-j2)=(3- 4)+j(8+2)= -1+j10
复数 ● 3、复数的极坐标形式及乘除运算 +j b m a 运算法则 A m称为复数A的模 称为复数A的幅 角
u 20 2 sin( t 30 0 )V 求其相量表达式。 0 0 0 解： 其相量为：U 20(cos 30 j sin 30 ) 20 30 V
注意：相量只是用来表示正弦量，它实质上是一个复数 它与正弦函数之间只存在对应关系而决不是相等关系。
相量表示法
U m U m U U
原来的 问题
变换 变换域中较 容易的问题
u1 10 cos( t 60 0 )V u2 5 sin( t )V u u1 u2
较困难 直接求解
复习
原来问题 的解答
反变换
求解
变换域中问 题的解答
较困难 直接求解
u 6.2 cos( t 36.2 0 )V ？
变换
U 1 m 10 60 0 V U 2 m 5 90 0 V U U U
m 1m 2m
反变换 求解
U m 6.2 36.2 0 V
☆ 交作业 ☆ 今日作业 3-8, 3-10, 3-11, 3-15, 3-18
作业2-11 零状态响应： 电容 t=0+
uO ( t ) 9 5e 0.25t
+
Req=2Ω
t=∞
作业问题
+
uS(t) N
+
N
+
uO(t)
u( t ) 2U sin( t )
例：电流波形如图所示，(1)计算两个正 弦电流iA和iB的频率、有效值及iA和iB之间 的相位差；(2)写出iA和iB的瞬时值表达式。 解： (1) T 1 ( s ) 50 1 f A fB 50( HZ ) T
例题
i
i=Im sin (t+ i )
n
幅值相量
有效值相量
●四、基尔霍夫定律的相量形式
KCL
KVL
k 1
U k 0
k 1 n
Ik 0
注意：正弦电流电 压的有效值一般不 满足基尔霍夫定律
例1
已知图中节点电流的工作频率为50Hz，i1的 有效值为50mA,初相角为 - 300， i2的有效值为 100mA,初相角为1500，求i3的瞬时表达式，并画 相量图。
U 2 460 V U 3 2 45 0 V
+
电源频率为50 Hz，求总电压u表达式。 解: 取顺时针方向为回路绕行方 向，列写KVL的相量形式:
. U
-
. U3 +
U U1 U2 U3 a = m cos 0 0 0 5 30 460 2 45 b = m sin 4.92 j 4.55 U 6.7 42.76 0 有效值直接相加 是不正确的！ 0 2f u 6.7 2 sin( 314 t 42.76 )V
i=Im sin (t+ i)
●正弦交流电的三要素(Um、 、 u)： 1、幅值（峰值、振幅、最大值）Um Im 表示正弦量所能达到的最大值。
2、角频率 单位：弧度/秒
正弦交流电三要素 表示正弦量在单位时间内变化的弧度数。
当时间由t=0变化到T时，相角相当于变化2个弧度。 2= T 2 2f 2f T 3、初相角（初相位） 表示正弦量计时起点(t=0)时的相位。 4、相位差 表示同频率正弦量的相位角之差。 = （t+ 1）-（ t+ 2）= 1- 2 u Um 相位差等于其初相角之差
u U m sin( t u )
2 1
0
π
2π
t
T
u
正弦交流电三要素
Um
u U m sin( t u )
2 1
0
π
2π
t
T 2f 2、角频率 表示正弦量在单位时间内变化的弧度数。 当时间由t=0变化到T时，相角相当于变化2个弧度。 2 单位：弧度/秒 2= T 2f T 3、初相角（初相位） 表示正弦量计时起点(t=0)时的相位。 4、相位差 表示同频率正弦量的相位角之差。 相位差等于其初相角之差 = （t+ 1）-（ t+ 2）= 1- 2
●一、周期电流 周期 频率
正弦交流电
某一个量完成一个循环变化所需要的时间称为周期T （s）。 单位时间内某量重复变化的次数 称为频率 f （Hz）。
周期电流、周期电压、周期电动势、周期磁通量等 ●二、正弦交流电 演示
f
1 T
正弦交流电的特点：大小和方向都随时间变化，是时间的sin函数。 正弦交流电的表达式：u=Um sin (t+ u)
W1 i Rdt
T 2 0
直流电流I通过电阻R时在一个T周期内所消耗的电能。
W2 RI 2T
如果W1=W2，我们规定这个直流电流I为周期电流 i 的有效值
RI 2T i 2 Rdt
0
T
交流电的有效值
I
1 T 2 0 i dt T
有效值也称为均方根值。
1 T 2 2 I 0 I m sin ( t )dt T
0
7.07
0
t/S
1/300
1/600
1/50
第二节 正弦量的相量表示法
●一、旋转矢量表示法 由于正弦量具有幅值、角频率、及初始角的特点，因此可以 采用旋转矢量来表示。 +j Im O i A +1
相量
t
矢量在数学中可以用复数Байду номын сангаас示
●二、复数 ●1、复数定义 一个数包含有实数和虚数两部分 ● 2、复数的直角坐标形式及加减运算 复数 a称为复数的实部 b称为复数的虚部
t/S
1/600
1/50
(2)瞬时值表达式：
i=Im sin (t+ i)
i iA
例题
i A 14.1 sin( 314t 600 ) A
i B 7.07 sin( 314t 30 0 ) A
i A 10 2 sin( 314 t 60 ) A
0
14.1
iB
i B 5 2 sin( 314 t 30 ) A
例：已知
A 2.78 j 9.2 B 13112.6 0
0
求：A+B、A-B、A×B、A÷B
m a 2 b2 b arctg a
a = m cos
复数运算例题
解：
A 2.78 j 9.2 9.6 73.2 b = m sin B 13112.6 0 5 j 12 A B 2.78 j 9.2 5 j 12 2.22 j 21.2
A B 2.78 j 9.2 5 j 12 7.78 j 2.8
A B 9.6 73.2 0 13112.6 0 124.8185.8 0 9.6 73.2 0 A B 0.738 39.4 0 13112.6 0
●三、正弦量的相量表示法 相量法的指导思想 用复数的模表示正弦量幅值，复 数的幅角表示正弦量的初相位。 相量 . . U I
相量表示法
这种表征正弦时间函数的复数
相量的表示形式 正弦交流电压 相量形式 正弦交流电流 相量形式 例：某正弦电压
大写字母上加 “ .”
u =Umsin (ωt + ψ)
U m U m (cos j sin )
U m U m
i 2 I (sin t ) I m 2 I (cos j sin ) I m 2 I
相位差的五种情况 (1) 超前 (2) 滞后 (3) 同相 (4) 反相
设：1为u1的初相角2为u2的初相角
相位差 u u1
1> 2 ，则称 u1 超前u2 1< 2 ，则称 u1滞后u2 1=2 ，则称 u1和u2同相 1- 2 =±π，则称 u1与u2反相 u u1 u2 10
u2
t
2 u u1
(5) 正交 1- 2 =±π/2，则称 u1与u2正交
u u1 u2 t 0 1 2 t u u1
u2 t 10
t
u2
2 0 1
0 1 2
2
i ●三、交流电的有效值
交流电的有效值 t
I
R R
i I m sin( t )
I
t
周期电流i通过电阻R时在一个T周期内所消耗的电能。 计算通过电阻R的电能
Im 1 T 1 cos 2( t ) dt I m 0 T 2
Im I 2
1 T T 2
Im I 2
结论
交流电的有效值
有效值的大小与正弦交流电的频率和相角无关。通常所说交 流电流、电压大小都是指有效值而言。
例如：照明用电220V电压，是指最大值为311V的正弦电压的有效值。 引入有效值后：电压的正弦函数可表示为：
UA + 3V + U -
U A 16V U A 16 U X
UA=?V
UA 3 U
第
3章
第3章
交流电路
第一节 正弦交流电的基本概念 一、周期电流 二、正弦交流电 三、交流电的有效值 第二节 正弦量的相量表示法 一、旋转矢量表示
二、复数
三、正弦量的相量表示法
第一节 正弦交流电的基本概念
iA
2f 100 314( rad / s )
14.1
iB
7.07
0
I Am 14.1 IA 10( A ) 2 2 I Bm 7.07 IB 5( A ) 2 2 1/300 1 A 100 60 0 300 3 1 B 100 30 0 600 6 A B 90 0
☆ 交作业 ☆ 今日作业 2-11, 2-15, 3-3，3-4
测验：图中所示电路原已达到稳态，t = 0时开关K打开，用三要素法求ic(t)。 + 1KΩ iC 5μF 5V 3KΩ S 2KΩ + + 15V
1KΩ +
1KΩ iC uC(0-) 5V 3KΩ + 15V t=0 iC 11V -