正弦函数图像与性质
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T 2
例6：不通过求值，指出下列各式大于0还是
小于0, (1)sin(－
18
)－sin(－
10
17 4
)；
(2)sin(－
23 5
)－sin(－
)．
解：(1) ∵
2
10
18
2
且函数y＝sinx，x∈［－ ， ］是增函数
即sin(－
18
)－sin(－10 )＞0
由此解得2≤t≤4.
例4： 求使下列函数取得最大值的自变量x的
集合，并说出最大值是什么. (1) y＝sin2x，x∈R; (2) y=sin(3x+
4
) －1
解：(1) 令w＝2x，那么x∈R得Z∈R，且使函 数y＝sinw，w∈R，取得最大值的集合是 ｛w｜w＝ ＋2kπ，k∈Z｝
由2x＝w＝ 2 ＋2kπ，
得x＝ 4 ＋kπ.
2
即 使函数y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的
集合是｛x｜x＝ 4 ＋kπ，k∈Z｝
函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1. (2) 当3x+ =2k+
4
2
即 x=
2 k 3
12
(kZ)时,
y的最大值为0.
例5：求下列三角函数的周期：
(1)y=sin(x+
，则
f (x)=3sinz=3sin(z+2) =3sin( =3sin(
x
+2)
2 5 x 4
5
2
)
=f (x+4) ∴函数的周期T=4 .
(3) y=|sinx|
解：f(x+π)=|sin(x+π)|=|sinx|,
所以函数的周期是T=π.
一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ) （其中 A 0, 0, x R ）的周期是
正弦函数y=sinx，x∈R，的图象叫做正弦曲线．
例1 用五点法作下列函数的简图 (1) y=sinx，x∈[0，2π]， (2) y=1+sinx，x∈[0，2π]，
(1)
(2) y=1+sinx (x∈[0, 2 π])
例2 利用正弦函数的图象，求满足下列条 件的x的集合：sin
x 1 2
若T>0，则定义域无上界；T<0则定义域无下界；
(2) “每一个值”，只要有一个反例，则f (x)就不为
周期函数（如f (x0+T)f (x0)）； (3) T往往是多值的（如y=sinx, T=2k都是周 期,最小正周期是2π.）
(4) 奇偶性: 由sin(－x)＝－sinx,可知：y＝sinx为奇函数,
使得定义域内任意x，都有f(x＋T)＝f(x)，那么
函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个
函数的周期。
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期 中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫
做f(x)的最小正周期。（有些周期函数没有最小正
周期）.
注意：
(1) 周期函数中，x定义域M，则必有x+TM, 且
正弦函数图像与性质
正弦函数图像的作出
以上我们作出了y=sinx，x∈[0，2π]的图 象，因为sin(2kπ+x)=sinx (k∈Z)，所以正弦函 数y=sinx在x∈[－2π，0]，x∈[2π，4π]， x∈[4π，6π]时的图象与x∈[0，2π]时的形状 完全一样，只是位置不同。 现在把上述图象沿着x轴平移±2π， ±4π，……就得到y=sinx，x∈R的图象。 叫做正弦曲线．
2
＋2kπ，k∈Z时，正弦函数
2
取得最大值1；
②当且仅当x＝－ 数取得最小值－1 ＋2kπ，k∈Z时，正弦函
正弦函数y=sinx性质
(3) 周期性: 由sin(x＋2kπ)＝sinx (k∈Z)知： 正弦函数值是按照一定规律不断重复地取 得的这种性质称为三角函数的周期性。
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，
因此正弦曲线关于原点O对称. (5)单调性
闭区间［－ ＋2kπ， ＋2kπ］(k∈Z)上都是增
2
2
函数，其值从－1增大到1； 闭区间［
2
＋2kπ，
3 2
＋2kπ］(k∈Z)上都是减
函数，其值从1减小到－1
例3：设sinx=t－3，x∈R，求t的取值范围。
解：因为－1≤sinx≤1,
所以－1≤t－3≤1,
3
)；
3
(2) y=3sin(
x 2
+
5
)
(3) y=|sinx|
解： (1) 令z= x+
3
而 sin(2+z)=sinz
3
即：f (2+z)=f (z) , f [(x+2)+ ]=f (x+ )
∴函数的周期T=2 .
(2) y=3sin(
x 2
5
5
)
解：令z=
x 2
2
2
(2)sin(－
sin(－
0
23 5
)＝－sin
)＝－sin
2 5
17 4
2 5
4
4
2
0,
函数y=sinx在区间( ∴sin(－
23 5
源自文库
2
)内为增函数,
17 4
)－sin(－
)＜0.
解：在y轴上取点(0, 0.5)，过该点作x轴的平行线, 与正弦函数图象相交于点 不等式的解集是 { x | 2 k
(
1
6
, ) , ) ( 6 2 6 2
5
1
等，所以
5 6 ,k Z}
x 2k
正弦函数y=sinx性质
(1)定义域：y=sinx的定义域是实数集R (2)值域:正弦函数的值域是［－1，1］. ①当且仅当x＝
例6：不通过求值，指出下列各式大于0还是
小于0, (1)sin(－
18
)－sin(－
10
17 4
)；
(2)sin(－
23 5
)－sin(－
)．
解：(1) ∵
2
10
18
2
且函数y＝sinx，x∈［－ ， ］是增函数
即sin(－
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)－sin(－10 )＞0
由此解得2≤t≤4.
例4： 求使下列函数取得最大值的自变量x的
集合，并说出最大值是什么. (1) y＝sin2x，x∈R; (2) y=sin(3x+
4
) －1
解：(1) 令w＝2x，那么x∈R得Z∈R，且使函 数y＝sinw，w∈R，取得最大值的集合是 ｛w｜w＝ ＋2kπ，k∈Z｝
由2x＝w＝ 2 ＋2kπ，
得x＝ 4 ＋kπ.
2
即 使函数y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的
集合是｛x｜x＝ 4 ＋kπ，k∈Z｝
函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1. (2) 当3x+ =2k+
4
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即 x=
2 k 3
12
(kZ)时,
y的最大值为0.
例5：求下列三角函数的周期：
(1)y=sin(x+
，则
f (x)=3sinz=3sin(z+2) =3sin( =3sin(
x
+2)
2 5 x 4
5
2
)
=f (x+4) ∴函数的周期T=4 .
(3) y=|sinx|
解：f(x+π)=|sin(x+π)|=|sinx|,
所以函数的周期是T=π.
一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ) （其中 A 0, 0, x R ）的周期是
正弦函数y=sinx，x∈R，的图象叫做正弦曲线．
例1 用五点法作下列函数的简图 (1) y=sinx，x∈[0，2π]， (2) y=1+sinx，x∈[0，2π]，
(1)
(2) y=1+sinx (x∈[0, 2 π])
例2 利用正弦函数的图象，求满足下列条 件的x的集合：sin
x 1 2
若T>0，则定义域无上界；T<0则定义域无下界；
(2) “每一个值”，只要有一个反例，则f (x)就不为
周期函数（如f (x0+T)f (x0)）； (3) T往往是多值的（如y=sinx, T=2k都是周 期,最小正周期是2π.）
(4) 奇偶性: 由sin(－x)＝－sinx,可知：y＝sinx为奇函数,
使得定义域内任意x，都有f(x＋T)＝f(x)，那么
函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个
函数的周期。
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期 中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫
做f(x)的最小正周期。（有些周期函数没有最小正
周期）.
注意：
(1) 周期函数中，x定义域M，则必有x+TM, 且
正弦函数图像与性质
正弦函数图像的作出
以上我们作出了y=sinx，x∈[0，2π]的图 象，因为sin(2kπ+x)=sinx (k∈Z)，所以正弦函 数y=sinx在x∈[－2π，0]，x∈[2π，4π]， x∈[4π，6π]时的图象与x∈[0，2π]时的形状 完全一样，只是位置不同。 现在把上述图象沿着x轴平移±2π， ±4π，……就得到y=sinx，x∈R的图象。 叫做正弦曲线．
2
＋2kπ，k∈Z时，正弦函数
2
取得最大值1；
②当且仅当x＝－ 数取得最小值－1 ＋2kπ，k∈Z时，正弦函
正弦函数y=sinx性质
(3) 周期性: 由sin(x＋2kπ)＝sinx (k∈Z)知： 正弦函数值是按照一定规律不断重复地取 得的这种性质称为三角函数的周期性。
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，
因此正弦曲线关于原点O对称. (5)单调性
闭区间［－ ＋2kπ， ＋2kπ］(k∈Z)上都是增
2
2
函数，其值从－1增大到1； 闭区间［
2
＋2kπ，
3 2
＋2kπ］(k∈Z)上都是减
函数，其值从1减小到－1
例3：设sinx=t－3，x∈R，求t的取值范围。
解：因为－1≤sinx≤1,
所以－1≤t－3≤1,
3
)；
3
(2) y=3sin(
x 2
+
5
)
(3) y=|sinx|
解： (1) 令z= x+
3
而 sin(2+z)=sinz
3
即：f (2+z)=f (z) , f [(x+2)+ ]=f (x+ )
∴函数的周期T=2 .
(2) y=3sin(
x 2
5
5
)
解：令z=
x 2
2
2
(2)sin(－
sin(－
0
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)＝－sin
)＝－sin
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2 5
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0,
函数y=sinx在区间( ∴sin(－
23 5
源自文库
2
)内为增函数,
17 4
)－sin(－
)＜0.
解：在y轴上取点(0, 0.5)，过该点作x轴的平行线, 与正弦函数图象相交于点 不等式的解集是 { x | 2 k
(
1
6
, ) , ) ( 6 2 6 2
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等，所以
5 6 ,k Z}
x 2k
正弦函数y=sinx性质
(1)定义域：y=sinx的定义域是实数集R (2)值域:正弦函数的值域是［－1，1］. ①当且仅当x＝