2012年高考数学广东卷(理科答案)
2012年广东高考试题(理数,word解析版)
2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)参考公式:柱体的体积公式V Sh =,其中S 为柱体的底面积,h 为柱体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 设i 为虚数单位,则复数56ii-=( )()A 65i + ()B 65i - ()C i -6+5()D i -6-5【解析】选D 依题意:256(56)65i i ii i i--==--,故选D . 2.设集合{1,2,3,4,5,6},{1,2,4}U M ==;则U C M =( )()A U ()B {1,3,5} ()C {,,}356 ()D {,,}246【解析】选C U C M ={,,}3563. 若向量(2,3),(4,7)BA CA ==;则BC =( )()A (2,4)-- ()B (2,4) ()C (,)610 ()D (,)-6-10【解析】选A (2,4)B C B A C A =-=-- 4. 下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是( )()A ln(2)y x =+ ()B y = ()C ()x y 1=2 ()D y x x1=+【解析】选A ln(2)y x =+区间(0,)+∞上为增函数,y =(0,)+∞上为减函数 ()xy 1=2区间(0,)+∞上为减函数,y x x1=+区间(1,)+∞上为增函数5. 已知变量,x y 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则3z x y =+的最大值为( )()A 12 ()B 11 ()C 3 ()D -1【解析】选B 约束条件对应ABC ∆边际及内的区域:53(2,2),(3,2),(,)22A B C则3[8,11]z x y =+∈6. 某几何体的三视图如图1所示,它的体积为( )()A 12π ()B 45π ()C π57 ()D π81 【解析】选C 几何体是圆柱与圆锥叠加而成它的体积为221353573V πππ=⨯⨯+⨯=7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个, 其个位数为0的概率是( )()A 49 ()B 13 ()C 29()D 19【解析】选D①个位数为1,3,5,7,9时,十位数为2,4,6,8,个位数为0,2,4,6,8时,十位数为1,3,5,7,9,共45个 ②个位数为0时,十位数为1,3,5,7,9,共5个别个位数为0的概率是51459=8. .对任意两个非零的平面向量α和β,定义αβαβββ=;若平面向量,a b 满足0a b ≥>, a 与b 的夹角(0,)4πθ∈,且,a b b a 都在集合}2nn Z ⎧∈⎨⎩中,则a b =( )()A 12 ()B 1 ()C 32()D 52【解析】选C21cos 0,cos 0()()cos (,1)2a ba b b a a b b a baθθθ=>=>⇒⨯=∈,a b b a 都在集合}2nn Z ⎧∈⎨⎩中得:*12123()()(,)42n n a b b a n n N a b ⨯=∈⇒=二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分。
2012年高考数学广东卷含参考答案(理科)
2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科A 卷)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位,则复数56ii-= A .65i +B .65i -C .65i -+D .65i --2.设集合U {1,23,4,5,6}=,,M {1,2,4}=则M U =ðA .UB .{1,3,5}C .{3,5,6}D .{2,4,6}3.若向量(2,3)BA = ,(4,7)CA = ,则BC =A .(2,4)--B .(3,4)C .(6,10)D .(6,10)--4.下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是A . ln(2)y x =+B y =C . 1()2xy =D . 1y x x=+5.已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则3z x y =+的最大值为A .12B .11C .3D .-16.某几何体的三视图如图1所示,它的体积为 A .12π B .45π C .57π D .81π7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其中个位数为0的概率是 A .49 B .13 C .29 D .198.对任意两个非零的平面向量,αβ,定义αβαβββ⋅=⋅ .若平面向量,a b 满足0a b ≥> ,a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且αβ 和βα 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则a b =A .12 B .1 C .32 D .52二、填空题:本大题共7小题.考生作答6小题.每小题5分,满分30分. (一)必做题(9~13题)9.不等式|2|||1x x +-≤的解集为___________. 10.261()x x+的展开式中3x 的系数为__________.(用数字作答) 11.已知递增的等差数列{}n a 满足11a =,2324a a =-,则n a =________. 12.曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为__________.13.执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为8,则输出s 的值为_______.(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中xoy 中,曲线1C 和曲线2C 的 参数方程分别为⎩⎨⎧==ty t x (t 为参数)和⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin 2cos 2y x (θ为参数),则曲线1C 和曲线2C 的交点坐标为 .15.(几何证明选讲选做题)如图3,圆O 的半径为1,A ,B ,C 是圆上三点,且满足︒=∠30ABC ,过点A 做圆O 的切线与OC 的延长线交与点P ,则PA= .图3三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知函数)6cos(2)(πω+=x x f (其中R x ∈>,0ω)的最小正周期为π10.(1) 求ω的值;(2) 设,56)355(,2,0,-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈παπβαf 1716)655(=-πβf ,求)cos(βα+的值. 17.(本小题满分13分)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是: [40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100], (1)求图中x 的值;(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ,求ξ的数学期望.18.(本小题满分13分)如图5所示,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD ,点E 在线段PC 上,PC ⊥平面BDE .(1)证明:BD ⊥平面PAC ;(2)若1PA =,2AD =,求二面角B PC A --的正切值.19.(本小题满分14分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足11221n n n S a ++=-+,*n N ∈,且123,5,a a a +成等差数列. (1)求1a 的值;(2)求数列{}n a 的通项公式; (3)证明:对一切正整数n ,有1211132n a a a ++⋅⋅⋅+<.20.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3. (1) 求椭圆C 的方程(2) 在椭圆C 上,是否存在点(,)M m n ,使得直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于不同的两点A 、B ,且OAB ∆的面积最大?若存在,求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积;若不存在,请说明理由.)21.(本小题满分14分)设1a <,集合2{0},{23(1)60}A x R x B x R x a x a =∈>=∈-++>,D A B = . (1) 求集合D (用区间表示);(2) 求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点.2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)理科数学A 卷参考答案一、选择题:1. D2. C3. A4. A5. B6. C7. D8. C 二、填空题:9.12x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭ 10. 20 11. 2n-1 12. y=2x+1 13. 814. (1,1) 15.三、解答题:16. 解:(1)由f(x)得: 其最小正周期(2)由(1)得:同理由:又17. 解:(1)由图得:(2)由图得:由题知:21105T w w ππ==⇒=15w ∴=0,w >又1()2cos()56f x x π=+515(5)2cos 53536f παπαπ⎡⎤⎛⎫∴+=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦62cos 25πα⎛⎫=+=-⎪⎝⎭3sin 5α⇒=5168(5)cos 61717f βπβ-==得:,0,παβ⎡⎤∈⎢⎥4cos 5α∴==15sin 17β=cos()cos cos sin sin αβαβαβ∴+=-483151351751785=⨯-⨯=-()0.0060.0060.010.0540.006101x +++++⨯=0.018x ⇒=()()8090100.18901000.006100.06P X x P X ≤<==≤<=⨯=[)8090∴⨯在,的学生人数为:0.1850=9[)90100⨯在,的学生人数为:0.0650=30,1,2ξ=()()()2122993322212121212910,1,2222222C C C C P P P C C C ξξξ=========18. 解: (1)证明:(2)由(1)得:在矩形ABCD 中,如图所示建立直角坐标系,由(1)知,所以,二面角B-PC-A 的正切值为:3。
2012年广东高考理科数学卷(试题和答案)
(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中 xoy 中,曲线 C1 和曲线 C 2 的 参数方程分别为 ⎨ 为 .
⎧x = t ⎩y = t
( t 为参数)和 ⎨
⎧ ⎪ x = 2 cosθ ( θ 为参数) ,则曲线 C1 和曲线 C 2 的交点坐标 ⎪ ⎩ y = 2 sin θ
β=
α ⋅β .若平面向量 a , b 满足 a ≥ b > 0 , a 与 b 的夹 β
⎧n ⎫ ⎟ ,且 a b 和 b a 都在集合 ⎨ | n ∈ Z ⎬ 中,则 a b = 4⎠ ⎩2 ⎭
B. 1 C.
1 2
3 2
D.
5 2
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二、填空题:本大题共 7 小题.考生 作答 6 小题.每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.不等式 | x + 2 | − | x |≤ 1 的解集为___________. 10. ( x + ) 的展开式中 x 3 的系数为__________. (用数字作答)
8. 选 C. 【提示】 a b =
a b
⋅ cos θ =
b n1 n nn ⋅ cos θ = 2 , 两 式 相 乘 , 得 cos 2 θ = 1 2 , ,b a= 2 2 4 a
nn 1 1 nn 1 3 ∵ < cos 2 θ < 1 ,∴ < 1 2 < 1 ,由于 n ∈ Z ,故 1 2 = × . 2 2 4 4 2 2
2012 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(理科 A 卷)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.设 i 为虚数单位,则复数 A. 6 + 5i
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(广东卷)(解析版)
2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)A数学(理科)本试卷共21题,满分150分。
考试用时120分钟。
参考公式:主体的体积公式V=Sh ,其中S 为柱体的底面积,h 为柱体的高。
锥体的体积公式为13V sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高。
一 、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设i 为虚数单位,则复数56ii-= A . 65i + B .65i - C .65i -+ D .65i -- 2.设集合U ={1,2,3,4,5,6}, M ={1,2,4 } 则U C M =A .UB .{1,3,5}C .{3,5,6}D .{2,4,6}3.若向量BA=(2,3),CA =(4,7),则BC =A .(-2,-4)B .(2,4)C .(6,10)D .(-6,-10) 4.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是A .ln(2)y x =+ B.y =.y=12x⎛⎫⎪⎝⎭D .1y x x =+5.已知变量x ,y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则z =3x +y 的最大值为A .12B .11C .3D .1-6.某几何体的三视图如图1所示,它的体积为 A .12π B.45π C.57π D.81π7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是A.49 B. 13 C. 29 D. 198.对任意两个非零的平面向量α 和β ,定义αβαβββ⋅=⋅.若平面向量,a b 满足0a b ≥> ,a 与b 的夹角(0,)4πθ∈,且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则a b =A .12 B.1 C. 32 D. 52二、填空题:本大题共7小题,考生答6小题,每小题5分,满分30分。
(一)必做题(9-13题)9.不等式21x x +-≤的解集为_____。
2012年高考数学广东卷(理科)附答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)【详解人】佛山市南海区石门中学 黄伟亮参考公式:柱体的体积公式V Sh =,其中S 为柱体的底面积,h 为柱体的高. 圆锥的体积公式13V Sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高. 一、选择题01. 设i 为虚数单位,则复数56ii-=( ) A .65i +B .65i -C .65i -+D .65i --解析:D .56i65i i-=--. 02. 设集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,2,4M =,则U C M =( )A .UB .{}1,3,5C .{}3,5,6D .{}2,4,6解析:C .{}3,5,6U C M =.3.(向量)若向量()2,3BA = ,()4,7CA =,则BC = ( )A .()2,4--B .()2,4C .()6,10D .()6,10--解析:A .()2,4BC BA CA =-=--.4.(函数)下列函数中,在区间()0,+∞上为增函数的是( ) A .()ln 2y x =+B.y =C .12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D .1y x x=+解析:A .()ln 2y x =+在()2,-+∞上是增函数.5.已知变量x 、y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则3z x y =+的最大值为( )A .12B .11C .3D .1-解析:B .画出可行域,可知当代表直线过点A 时,取到最大值.联立21y y x =⎧⎨=-⎩,解得32x y =⎧⎨=⎩,所以3z x y =+的最大值为11. 6.(立体几何)某几何体的三视图如图1所示,它的体积为( )A .12πB .45πC .57πD .81π解析:C .该几何体下部分是半径为3,高为5的圆柱,体积为23545V ππ=⨯⨯=,上部分是半径为3,高为4的圆锥,体积为2134123V ππ=⨯⨯⨯=,所以体积为57π.7.(概率)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是( )A .49B .13C .29D .19解析:D .两位数共有90个,其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个,个位数为0的有5个,所以概率为51459=. 8.对任意两个非零的平面向量α和β,定义⋅=⋅ αβαβββ,若平面向量a 、b 满足0≥>a b ,a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且 a b 和 b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则= a b ( )A .12B .1C .32D .52解析:C .⋅==⋅ a a b a b b b b 1cos 2k θ=,= b b a a 2cos 2k θ=,两式相乘,可得212cos 4k kθ=.因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以1k 、2k 都是正整数,于是2121cos 124k k θ<=<,即1224k k <<,所以123k k =.而0≥>a b ,所以13k =,21k =,于是32= a b . 二、填空题(一)必做题(9—13题)9.(不等式)不等式21x x +-≤的解集为__________________.解析:1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.2x x +-的几何意义是x 到2-的距离与x 到0的距离的差,画出数轴,先找出临界“21x x +-=的解为12x =-”,然后可得解集为1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.10.(二项式定理)621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为_________.(用数字作答)解析:20.621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()621231661kk k k kk T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭,令1233k -=,解得3k =,所以621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为3620C =.11.(数列)已知递增的等差数列{}n a 满足11a =,2324a a =-,则n a =______________.解析:21n -.设公差为d (0d >),则有()21214d d +=+-,解得2d =,所以21n a n =-. 12.曲线33y x x =-+在点()1,3处的切线方程为___________________.解析:210x y -+=.21|3112x y ='=⨯-=,所以切线方程为()321y x -=-,即210x y -+=.13.(算法)执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为8,则输出s 的值为______.解析:8.第一次循环,()11221s =⨯⨯=,4i =,2k =;第二次循环,()12442s =⨯⨯=,6i =,3k =;第三次循环,()14683s =⨯⨯=,8i =,4k =.此时退出循环,输出s 的值为8.(二)选做题(14—15题)线1C 和14.(坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中,曲2C 的参数方程分别为x ty =⎧⎪⎨⎪⎩t 为参数)和x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数),则曲线1C 与2C 的交点坐标为________.解析:()1,1.法1:曲线1C 的普通方程是2y x =(0y ≥),曲线2C 的普通方程是222x y +=,联立解得11x y =⎧⎨=⎩,所以交点坐标为()1,1.法2:联立t θθ⎧=⎪22sin θθ=,即22cos 20θθ-=,解得cos θ=cos θ=(舍去),所以11t =⎧⎪,交点坐标为()1,1.15.(几何证明选讲)如图3,圆O 的半径为1,A 、B 、C 是圆周上的三点,满足30ABC ∠=︒,过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ,则PA =__________.连接OA ,则60AOC ∠=︒,90OAP ∠=︒,因为1OA =,所以PA =三、解答题16.(三角函数)(本小题满分12分)已知函数()2cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(其中0ω>x ∈R )的最小正周期为10π.(Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,56535f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,5165617f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,求()cos αβ+的值.解析:(Ⅰ)210T ππω==,所以15ω=.(Ⅱ)515652cos 52cos 2sin 353625f ππαπαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以3sin 5α=.5151652cos 52cos 656617f πβπβπβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以8cos 17β=.因为α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以4c 1s 5α,15sin 17β=,所以()4831513co s co s c o s s in s i51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-.17.(概率统计)(本小题满分13分)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:[)40,50、[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100.(Ⅰ)求图中x 的值;(Ⅱ)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中数学期望.成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ,求ξ的解析:(Ⅰ)由()0.00630.010.054101x ⨯+++⨯=,解得0.018x =.(Ⅱ)分数在[)80,90、[]90,100的人数分别是500.018109⨯⨯=人、500.006103⨯⨯=人.所以ξ的取值为0、1、2.()023921236606611C C P C ξ====,()113921227916622C C P C ξ====,()20392123126622C C P C ξ====,所以ξ的数学期望是691111012112222222E ξ=⨯+⨯+⨯==.18.(立体几何)(本小题满分13分)如图5所示,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD ,点E 在线段PC 上,PC ⊥平面BDE .(Ⅰ)证明:BD ⊥平面PAC ;(Ⅱ)若1PA =,2AD =,求二面角B PC A --的正切值.解析:(Ⅰ)因为PC ⊥平面BDE ,BD ⊂平面BDE ,所以PC BD ⊥.又因为PA ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以PA BD ⊥.而PC PA P = ,PC ⊂平面PAC ,PA ⊂平面PAC ,所以BD ⊥平面PAC .(Ⅱ)由(Ⅰ)可知BD ⊥平面PAC ,而AC ⊂平面PAC ,所以BD AC ⊥,而ABCD 为矩形,所以ABCD 为正方形,于是2AB AD ==.z 轴,建立法1:以A 点为原点,AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、空间直角坐标系A BDP -.则()0,0,1P 、()2,2,0C 、()2,0,0B 、()0,2,0D ,于是()0,2,0BC = ,()2,0,1PB =-.设平面PBC 的一个法向量为=1n (),,x y z ,则0BC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11n n ,从而2020y x z =⎧⎨-=⎩,令1x =,得()1,0,2=1n .而平面PAC 的一个法向量为=2n ()2,2,0BD =- .所以二面角B PC A--的余弦值为cos ,⋅<>==121212n n n n n n ,于是二面角B P C --的正切值为3.法2:设AC 与BD 交于点O ,连接OE .因为PC ⊥平面BDE ,OE ⊂平面BDE ,BE ⊂平面BDE ,所以PC OE ⊥,PC BE ⊥,于是O E ∠就是二面角B PC A --的平面角.又因为BD ⊥平面PAC ,OE ⊂平面PAC ,所以OEB ∆是直角三角形.由OEC ∆∽PAC ∆可得OE PAOC PC=,而2A B A D ==,所以AC =OC =1PA =,所以3PC =,于是13PA OE OC PC =⨯=而OB =于是二面角B PC A --的正切值为3OB OE=.19.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足11221n n n S a ++=-+,n ∈*N ,且1a 、25a +、3a 成等差数列. (Ⅰ)求1a 的值;(Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅲ)证明:对一切正整数n ,有1211132n a a a +++< . 解析:(Ⅰ)由()()12123213232725a a a a a a a a ⎧=-⎪+=-⎨⎪+=+⎩,解得11a =.(Ⅱ)由11221n n n S a ++=-+可得1221n n n S a -=-+(2n ≥),两式相减,可得122n n n n a a a +=--,即132n n n a a +=+,即()11232n n n n a a +++=+,所以数列{}2n n a +(2n ≥)是一个以24a +为首项,3为公比的等比数列.由1223a a =-可得,25a =,所以2293n n n a -+=⨯,即32n n n a =-(2n ≥),当1n =时,11a =,也满足该式子,所以数列{}n a 的通项公式是32n n n a =-.(Ⅲ)因为1113323222n n n n n ----=⋅≥⋅=,所以1323n n n --≥,所以1113n n a -≤,于是112111111131331113323213nnn n a a a -⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭+++≤+++==-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- .点评:上述证法实质上是证明了一个加强命题1211131123nn a a a ⎡⎤⎛⎫+++≤-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ,该加强命题的思考过程如下.考虑构造一个公比为q 的等比数列{}n b ,其前n 项和为()111n n b q T q-=-,希望能得到()1121111312nn b q a a a q -+++≤<- ,考虑到()11111n b q b q q-<--,所以令1312b q =-即可.由n a 的通项公式的形式可大胆尝试令13q =,则11b =,于是113n n b -=,此时只需证明1113n n n b a -≤=就可以了.当然,q 的选取并不唯一,也可令12q =,此时134b =,132n n b +=,与选取13q =不同的地方在于,当1n =时,1n nb a >,当2n ≥时,1n n b a <,所以此时我们不能从第一项就开始放缩,应该保留前几项,之后的再放缩,下面给出其证法.当1n =时,11312a =<;当2n =时,121113152a a +=+<;当3n =时,12311111315192a a a ++=++<. 当4n ≥时,1n nb a <,所以 31231132211111113311151951916212n n a a a -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+++<+++<+++<- . 综上所述,命题获证.下面再给出1211132n a a a +++< 的两个证法. 法1:(数学归纳法) ①当1n =时,左边111a ==,右边32=,命题成立. ②假设当n k =(2k ≥,k ∈N )时成立,即113322ki ii =<-∑成立.为了证明当1n k =+时命题也成立,我们首先证明不等式:1111132332i i i i++<⋅--(1i ≥,i ∈N ). 要证1111132332i i i i++<⋅--,只需证1111132332i i i i +++<--⋅,只需证11132332i i i i +++->-⋅,只需证1232i i +->-⋅,只需证23->-,该式子明显成立,所以1111132332i i i i++<⋅--. 于是当1n k =+时,111211111113311323232332322k k ki ii i i i i i i ++====+<+<+⨯=----∑∑∑,所以命题在1n k =+时也成立.综合①②,由数学归纳法可得,对一切正整数n ,有1211132n a a a +++< . 备注:不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归纳法的,其实这是一个错误的认识. 法2:(裂项相消法)(南海中学钱耀周提供) 当1n =时,11312a =<显然成立.当2n =时,121113152a a +=+<显然成立. 当3n ≥时,()32122nn n n n a =-=+-12211122222n n n n n n n C C C --=+⋅+⋅++⋅+-()12211221222221n n n n n n C C C C n n --=+⋅+⋅++⋅>⋅=- ,又因为()252221a =>⨯⨯-,所以()21n a n n >-(2n ≥),所以()111112121n a n n n n ⎛⎫<=- ⎪--⎝⎭(2n ≥),所以 123111111111111311112234122n a a a a n n n ⎛⎫⎛⎫++++<+-+-++-=+-< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ . 综上所述,命题获证.20.(解析几何)(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>)的离心率e =C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)在椭圆C 上,是否存在点(),M m n ,使得直线l :1mx ny +=与圆O :221x y +=相交于不同的两点A 、B ,且OAB ∆的面积最大?若存在,求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积;若不存在,请说明理由.解析:(Ⅰ)因为e =,所以2223c a =,于是223a b =.设椭圆C 上任一点(),P x y ,则()()2222222222122443y PQ x y a y y y b b ⎛⎫=+-=-+-=--++ ⎪⎝⎭(b y b -≤≤).当01b <<时,2PQ 在y b =-时取到最大值,且最大值为244b b ++,由2449b b ++=解得1b =,与假设01b <<不符合,舍去.当1b ≥时,2PQ 在1y =-时取到最大值,且最大值为236b +,由2369b +=解得21b =.于是23a =,椭圆C 的方程是2213x y +=. (Ⅱ)圆心到直线l 的距离为d =,弦长AB =,所以O A B ∆的面积为12S A B d =⋅=,于是()2222211124S d d d ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭.而(),M m n 是椭圆上的点,所以2213m n +=,即2233m n =-,于是22221132d m n n==+-,而11n -≤≤,所以201n ≤≤,21323n ≤-≤,所以2113d ≤≤,于是当212d =时,2S 取到最大值14,此时S 取到最大值12,此时212n =,232m =.综上所述,椭圆上存在四个点⎝⎭、⎛ ⎝⎭、⎝⎭、⎛ ⎝⎭,使得直线与圆相交于不同的两点A 、B ,且OAB ∆的面积最大,且最大值为12. 点评:此题与2012年南海区高三8月摸底考试的试题相似度极高.(2012年南海区高三8月摸底考试)已知椭圆C 的两焦点为()11,0F -、()21,0F ,并且经过点31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)已知圆O :221x y +=,直线l :1mx ny +=,证明:当点(),P m n 在椭圆C 上运动时,直线l 与圆O 恒相交;并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围.21.(不等式、导数)(本小题满分14分)设1a <,集合{}0A x R x =∈>,(){}223160B x R x a x a =∈-++>,D A B = . (Ⅰ)求集合D (用区间表示);(Ⅱ)求函数()()322316f x x a x ax =-++在D 内的极值点. 解析:(Ⅰ)考虑不等式()223160x a x a -++>的解.因为()()()2314263331a a a a ∆=⎡-+⎤-⨯⨯=--⎣⎦,且1a <,所以可分以下三种情况: ①当113a <<时,0∆<,此时B =R ,()0,D A ==+∞.②当13a =时,0∆=,此时{}1B x x =≠,()()0,11,D =+∞ . ③当13a <时,0∆>,此时()223160x a x a -++=有两根,设为1x 、2x ,且12x x <,则1x =2x ={}12B x x x x x =<>或.当103a <<时,()123102x x a +=+>,1230x x a =>,所以210x x >>,此时()()120,,D x x =+∞ ;当0a ≤时,1230x x a =≤,所以10x ≤,20x >,此时()2,D x =+∞.综上所述,当113a <<时,()0,D A ==+∞;当13a =时,()()0,11,D =+∞ ;当103a <<时,()()120,,D x x =+∞ ;当0a ≤时,()2,D x =+∞.其中11x -,2x =(Ⅱ)()()26616f x x a x a '=-++,令()0f x '=可得()()10x a x --=.因为1a <,所以()0f x '=有两根1m a =和21m =,且12m m <.①当11a <<时,()0,D A ==+∞,此时()0f x '=在D 内有两根1m a =和21m =,列表可得所以()f x 在D 内有极大值点1,极小值点a . ②当1a =时,()()0,11,D =+∞ ,此时()0f x '=在D 内只有一根11m a ==,列表可得所以()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点. ③当103a <<时,()()120,,D x x =+∞ ,此时1201a x x <<<<(可用分析法证明),于是()0f x '=在D 内只有一根1m a =,列表可得所以()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点.④当0a ≤时,()2,D x =+∞,此时21x >,于是()f x '在D 内恒大于0,()f x 在D 内没有极值点. 综上所述,当113a <<时,()f x 在D 内有极大值点1,极小值点a ;当103a <≤时,()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点.当0a ≤时,()f x 在D 内没有极值点.。
2012高考理科数学(广东版)试卷真题及答案
绝密★使用前试卷类型:A20##普通高等学校招生全国统一考试〔##卷〕数学〔理科〕本试卷共4页,21题,满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的##和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型〔B〕填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角"条形码粘贴处〞。
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔盒涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。
漏涂、错涂、多涂的,答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
参考公式:柱体的体积公式V=Sh,其中S为柱体的底面积,h为柱体的高。
锥体的体积公式为V=1/3Sh其中S为锥体的底面积,h为锥体的高。
第I卷选择题〔共40分〕一、选择题:本大题共8小题,满分40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设i为虚数单位,则复数56i i-=〔〕A.65i+B.65i-C.65i-+D.65i--2.设集合{1,2,3,4,5,6}U=,{1,2,4}M=,则UM =〔〕A.U B.{1,3,5}C.{3,5,6}D.{2,4,6}3.若向量(2,3)BA =,(4,7)CA =,则BC =〔〕A.(2,4)--B.(2,4)C.(6,10)D.(6,10)-4.下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是〔〕A.ln(2)y x=+B.y=.12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭D.1y xx=+5.已知变量x,y满足约束条件211yx yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩;则3z x y=+的最大值为〔〕A.12B.11C.3D.1-6.某几何体的三视图如图1所示,它的体积为〔 〕A .12πB .45πC .57πD .81π7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其中个位数为0的概率是 〔 〕A .49B .13C .29D .198.对任意两个非零的平面向量α和β,定义αβαβ=ββ。
2012年高考理科数学广东卷(含详细答案)
数学试卷 第1页(共42页)数学试卷 第2页(共42页)数学试卷 第3页(共42页)绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共6页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式:柱体的体积公式V Sh =,其中S 为柱体的底面积,h 为柱体的高.锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 设i 为虚数单位,则复数56ii-= ( )A .65i +B .65i -C .65i -+D .65i -- 2. 设集合{1,2,3,4,5,6}U =,{1,2,4}M =,则U M =ð( )A .UB .{1,3,5}C .{3,5,6}D .{2,4,6}3. 若向量(2,3)BA =,(4,7)CA =,则BC = ( ) A .(2,4)-- B .(2,4) C .(6,10)D .(6,10)--4. 下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是( )A .ln(2)y x =+ B.y =C .1()2x y =D .1y x x=+5. 已知变量x ,y 满足约束条件211 y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≥≤,则3z x y =+的最大值为( )A .12B .11C .3D .1- 6. 某几何体的三视图如图1所示,它的体积为( )A .12πB .45πC .57πD .81π7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个 位数为0的概率是( )A .49 B .13C .29D .198. 对任意两个非零的平面向量α和β,定义=αβαβββ.若平面向量a ,b 满足||||0a b ≥>,a 与b 的夹角π(0,)4θ∈,且a b 和b a 都在集合{|}2nn ∈Z 中,则=a b ( )A .12B .1C .32D .52二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题(9~13题)9.不等式|2||1|x x +-≤的解集为_______.10.261()x x+的展开式中3x 的系数为_______.(用数字作答)11.已知递增的等差数列{}n a 满足11a =,2324a a =-,则n a =_______.12.曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为________.13.执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为8,则输出s 的值为________.(二)选做题(14—15题,考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 和2C 的参数方程分别为x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩(t为参数)和x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数),则曲线1C 与2C 的交点坐标为________.15.(几何证明选讲选做题)如图3,圆O 的半径为1,A 、B 、C 是圆周上的三点,满足30ABC ∠=,过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ,则PA =_______.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)已知函数π()2cos()6f x xω=+(其中0ω>,x∈R)的最小正周期为10π.(Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)设π[0,]2αβ,∈,56(5π)35fα+=-,516(5π)617fβ-=,求cos()αβ+的值.17.(本小题满分13分)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].(Ⅰ)求图中x的值;(Ⅱ)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ,求ξ的数学期望.18.(本小题满分13分)如图5所示,在四棱锥P ABCD-中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上,PC⊥平面BDE.(Ⅰ)证明:BD⊥平面PAC;(Ⅱ)若1PA=,2AD=,求二面角B PC A--的正切值.19.(本小题满分14分)设数列{}na的前n项和为nS,满足11221nn nS a++=-+,*n∈N,且1a,25a+,3a成等差数列.(Ⅰ)求1a的值;(Ⅱ)求数列{}n a的通项公式;(Ⅲ)证明:对一切正整数n,有1211132na a a+++<.20.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:22221x ya b+=(a b>>)的离心率e=且椭圆C上的点到点(0,2)Q的距离的最大值为3.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)在椭圆C上,是否存在点(,)M m n,使得直线l:1mx ny+=与圆O:221x y+=相交于不同的两点A、B,且OAB△的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的OAB△的面积;若不存在,请说明理由.21.(本小题满分14分)设1a<,集合{|0}A x x=∈>R,2{|23(1)60}B x x a x a=∈-++>R,D A B=.(Ⅰ)求集合D(用区间表示);(Ⅱ)求函数32()23(1)6f x x a xax=-++在D内的极值点.数学试卷第4页(共42页)数学试卷第5页(共42页)数学试卷第6页(共42页)3 / 142012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)答案解析【答案】A【解析】(2,BC BA AC BA CA =+=-=-【提示】由向量(2,3)BA =,向量(4,7)CA =,知(2,AB =-,(4,7)AC =--,再由BC AC AB =-能求数学试卷 第10页(共42页) 数学试卷 第11页(共42页)数学试卷 第12页(共42页)||cos ||a b θ,||cos ||y b a θ,x ,,所以24cos ,所以cos θ5 / 143||||a b ,3||||b a ∈Z , ||||0a b ≥>,所以||1||a b ≥,所以只能取||3||a b =,||1||3a b =, 则||cos 333||a ab b θ==⨯=.【提示】定义两向量间的新运算,根据数量积运算与新运算间的关系进行化简,再运用集合的知识求解即数学试卷 第16页(共42页) 数学试卷 第17页(共42页)数学试卷 第18页(共42页)60,所以60,因为直线是直角三角形,最后利用三角函数在直角三角形中的定义,结合题tan603=7 / 14(Ⅰ)10T =π=65f ⎛-= ⎝3sin 5α∴=16517f ⎛= ⎝cos β∴=110(0.054x f =-0.018x ∴=(Ⅱ)成绩不低于数学试卷 第22页(共42页) 数学试卷 第23页(共42页)数学试卷 第24页(共42页)PAPC P =,PAC ; ACBD O =,连结,OE ,BE ⊥BE ,所以(2,DB=-的一个法向量,(0,2,0)BC=,(2,0,1)BP=-设平面PBC的法向量为(,,)n x y z=202n BC yn BP x⎧==⎪⎨=-⎪⎩2,取(1,0,2)n=,的平面角为θ,2||||8510DB nDB n==所以二面角B PC A--的正切值为3.9 / 14数学试卷 第28页(共42页) 数学试卷 第29页(共42页)数学试卷 第30页(共42页)(Ⅰ)2n n S a +=17a a =⎧⎪-⇒⎨133n -,所以时,111a =1221122222n n n n n n n C C --++⋯++-122-1-1222222n n n n n n C C C +++>1)-数学试卷 第34页(共42页) 数学1||||sin 2OA OB AOB ∠的距离2d =,即12)(,)x +∞,2x <,所以2(,Ax B +∞=2)(,)x +∞,30a =>,所以2212339309339309(0,)(,)0,,44a a AB a a a a x x ⎛⎫⎛+--+++-++∞=+∞ ⎪⎪ ⎝⎝⎭=1<时,0∆<,则()0g x >恒成立,A B =(0,+∞综上所述,当0a ≤时,33a ⎫⎛++⎪⎪ ⎭⎝2)(,)x +∞的变化情况如下表:a极值即可.【考点】导数的运算,利用导数求函数的极值,解含参的一元二次不等式,集合的基本运算数学试卷第40页(共42页)数学。
2012年广东高考理科数学试题及答案(含答案)
2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试题共4页,21小题,满分150分,考试用时120分钟。
参考公式:柱体的体积公式 V=Sh 其中S 为柱体的底面积,h 为柱体的高线性回归方程$$y bx a =+$中系数计算公式 其中,x y 表示样本均值。
N 是正整数,则()n n a b a b -=-12(n n a a b --++…21n n ab b --+) 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.把复数的共轭复数记作z ,设(1+2i )z =4+3i ,其中i 为虚数单位,则z i = A . 2- i B. 2+ i C.1+2 i D.-1+2i 2.已知集合A={x ∣f(x)=3+x +21+x },B={x ∣3x-7≤8-2x},则A B ⋂为 A.[3,-3] B.[3,-2)U (-2,-3] C.[3,-2) D.[-2,-3] 3. 函数y=f(a+x)与函数y=f(a-x)的图像关于A.直线x=a 对称 B.点(a ,0)对称 C.原点对称 D.Y 轴对称4.已知{}n a 是等比数列,且,20252,0645342=++>a a a a a a a n 那么,53a a +的值为A.45 B.35 C.25 D.155. 在平行四边形ABCD 中,O 是对角线AC 与BD 的交点,E 是BC 边的中点,连接DE 交AC 于点F 。
已知→→→→==b AD a AB ,,则=→OFA .→→+b a 6131B .)(41→→+b aC .)(61→→+b aD .→→+b a 41616. 对于命题p 、q ,有p ∧q 是假命题,下面说法正确的是 A .p ∨q 是真命题 B .p ⌝是真命题 C .q p ⌝⌝∧是真命题 D. q p ⌝⌝∨是真命题7. 如图是某几何体三视图的斜二测画法,正视图(主视图)是等腰三角形,侧视图(左视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为 A.316B.16C.8D. 48.设集合X={-1,0,1},Y={-2,-1,0,1,2},从X 到Y 的映射f 满足条件:对于每个x ∈X ,恒有x+f(x)是奇函数,这样的映射一共有A.12个B.6个C.18个D.24个16. 填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分。
广东高考数学理科试题及答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)一、选择题:(本大题共8小题,每小题5分,满分40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 设i 为虚数单位,则复数56ii-= A .65i + B .65i - C .65i -+ D .65i --2. 设集合{}{}1,2,3,4,5,6,1,2,4U M ==,则U C M =A .UB .{}1,3,5C .{}3,5,6D .{}2,4,6 3. 若向量(2,3),(4,7)BA CA ==,则BC =A .(2,4)--B .(2,4)C .(6,10)D .(6,10)-- 4. 下列函数中,在区间(0, )+∞上为增函数的是A .ln(2)y x =+ B.y =.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭ D .1y x x =+5. 已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则3z x y =+的最大值为A .12B .11C .3D .1- 6. 某几何体的三视图如图1所示,它的体积为A .12πB .45πC .57πD .81π7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是A .49 B .13 C .29 D .198. 对任意两个非零向量α,β,定义⋅⋅αβαβ=ββ,若向量a,b 满足||||0≥>a b ,a,b 的夹角(0,)4πθ∈,且a b 和b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则a b =A .12 B .1 C .32 D .52二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分。
(一)必做题(9~13题) 9. 不等式|2|x x +-≤的解集为 。
10. 261()x x+的展开式中3x 的系数为 。
(用数字作答)11. 已知递增的等差数列{}n a 满足21321,4a a a ==-,则n a = 。
2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学试题 (理科)解析版
绝密★启用前 试卷类型:A2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数 学(理 科)本试卷共4页,21小题,满分150分,考试用时120分钟。
注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。
漏涂、错涂、多涂的,答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
参考公式:柱体的体积公式V Sh =,其中S 为柱体的底面积,h 为柱体的高.锥体的体积公式Sh V 31=,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2012广东理)设i 为虚数单位,则复数ii65-=( ) A .i 56+ B .i 56- C .i 56+- D .i 56--答:(D ). 解析: i i i ii i i i 5665)65(6522--=+-=---=-2.(2012广东理)设集合}6,5,4,3,2,1{=U ,}4,2,1{=M ,则M C U =( ) A .U B .}5,3,1{ C .}6,5,3{ D .}6,4,2{ 解析:(C ).3.(2012广东理)若向量)3,2(=BA , )7,4(=CA ,则BC =( )A.)4,2(--B. )4,2( C .)10,6( D .)10,6(--解析:(A ).依题意得BC =)4,2()7,4()3,2(--=-=-=+CA BC AC BA4.(2012广东理)下列函数中,在区间),0(+∞上为增函数的是( )A .)2ln(+=x yB .1+-=x yC .xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21 D .x x y 1+=解析:(A ).5.(2012广东理)已知变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤112y x y x y ,则y x z +=3的最大值为( )A .12B .11C .3D .1-解析:(B ).y x z +=3,即z x y +-=3,画出不等式组表示的平面区域,易知当直线z x y +-=3经过点(3, 2)时,z 取得最大值11。
2012年高考理科数学广东卷-答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)答案解析的元素即得{3,5,6UM =【提示】给出全集和子集,根据集合的基本运算求解子集的补集【答案】A【解析】(2,BC BA AC BA CA =+=-=-由向量(2,3)BA =向量(4,7)CA =知(2,AB =-,(4,7)AC =--再由BC AC AB =-能求出【考点】向量的线性运算,向量的坐标运算||cos ||a b θ,||cos ||y b a θ,x ,,所以4cos Z ,所以cos3||||a b ,3||||b a ∈Z , ||||0a b ≥>,所以||1||a b ≥,所以只能取||3||a b =,||1||3a b =,则||cos 33322||a ab b θ==⨯=.【提示】定义两向量间的新运算,根据数量积运算与新运算间的关系进行化简,再运用集合的知识求解即可.1x 解得x 无解;1x 解得2x ≤1,解得2x ≤-12x ⎫≤-⎬⎭.可先将不等式左边变形为分段函数的形式,60,所以根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,60,因为直线是直角三角形,最后利用三角函数在直角三角形中的定义,结合题中=tan603【解析】(Ⅰ)10T =π=(Ⅱ)由(Ⅰ)得()f x =65f ⎛-= ⎝3sin 5α∴=16517f ⎛= ⎝cos β∴=110(0.054x f =-0.018x ∴=(Ⅱ)成绩不低于PA PC P=,PAC;=,连结AC BD O BDE,OE,BE⊥BE,--B PC A所以(0,0,1)P ,(0,2,0),所以(2,DB =-的一个法向量,(0,2,0)BC =,(2,0,1)BP =-的法向量为(,,)n x y z =22n BC y n BP x z ⎧==⎪⎨=-+⎪⎩,取(1,0,2)n =, PC A -的平面角为21||||8510DB n DB n ==,sin 所以二面角B PC A --的正切值为3.【答案】(Ⅰ)2n n S a +=12337a a a a =⎧⎪⇒=⎨⎪=⎩133n -,所以1a 1221122222n n n n n n n C C --++⋯++-122-1-1222222n n n n n n C C C +++>522(21)=>⨯⨯-,1||||sin 2OA OB AOB ∠的距离22d =,即21m 2)(,)x +∞,2x <,所以2(,A x B +∞=2)(,)x +∞,30a =>,所以2212339309339309(0,)(,)0,,44a a A B a a a a x x ⎛⎫⎛+--+++-++∞=+∞ ⎪⎪ ⎝⎝⎭=A B =(0,+∞综上所述,当0a ≤时,33a ⎛⎫⎛++⎪ ⎪ ⎭⎝1),令(f '2)(,)x +∞的变化情况如下表:a。
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(广东卷)(解析版)
1 2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)A数学(理科)本试卷共21题,满分150分。
考试用时120分钟。
参考公式:主体的体积公式V=Sh ,其中S 为柱体的底面积,h 为柱体的高。
锥体的体积公式为13V sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高。
一 、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设i 为虚数单位,则复数56i i-= A . 65i + B .65i - C .65i -+ D .65i --2.设集合U ={1,2,3,4,5,6}, M ={1,2,4 } 则U C M = A .U B .{1,3,5} C .{3,5,6} D .{2,4,6}3.若向量BA =(2,3),CA =(4,7),则BC = A .(-2,-4) B .(2,4) C .(6,10) D .(-6,-10)4.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是A .ln(2)y x =+ B.y =.y=12x⎛⎫ ⎪⎝⎭D .1y x x =+ 5.已知变量x ,y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则z =3x +y 的最大值为A .12B .11C .3D .1-6.某几何体的三视图如图1所示,它的体积为A .12π B.45π C.57π D.81π7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是 A.49 B. 13 C. 29 D. 19 8.对任意两个非零的平面向量α 和β ,定义αβαβββ⋅=⋅ .若平面向量,a b 满足0a b ≥> ,a 与b 的夹角(0,)4πθ∈,且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则a b = A .12 B.1 C. 32 D. 52 二、填空题:本大题共7小题,考生答6小题,每小题5分,满分30分。
12年高考真题——理科数学(广东卷)
2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)参考公式:台体的体积公式(123h V S S =+,其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高。
一.选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设i 为虚数单位,则复数56i i-=( ) (A )65i + (B )65i - (C )65i -+ (D )65i -- 2.设集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,2,4M =,则U M =ð( )(A )U (B ){}1,3,5 (C ){}3,5,6 (D ){}2,4,63.若向量()2,3BA =,()4,7CA =,则BC =( )(A )()2,4-- (B )()3,4 (C )()6,10 (D )()6,10--4.下列函数中,在区间()0,+∞上为增函数的是( )(A )()ln 2y x =+ (B)y = (C )()12x y = (D )1y x x=+ 5.已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则3z x y =+的最大值为( )(A )12 (B )11 (C )3 (D )1-6.某几何体的三视图如图1所示,它的体积为( )(A )12π (B )45π (C )57π (D )81π7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是( )(A )49 (B )13 (C )29 (D )198.对任意两个非零的平面向量α和β,定义αβαβββ⋅=⋅。
若平面向量,a b 满足||||0a b ≥>,a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且a b 和b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则a b =( ) (A )12 (B )1 (C )32(D )52二.填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分。
2012年高考数学理(广东卷)及答案!!!!
2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)A数学(理科)本试卷共4页,21题,满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔盒涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。
漏涂、错涂、多涂的,答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
参考公式:主体的体积公式V=Sh ,其中S 为柱体的底面积,h 为柱体的高。
锥体的体积公式为13V sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高。
一 、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.设i 为虚数单位,则复数56ii-= A . 65i + B .65i - C .65i -+ D .65i -- 2.设集合U={1,2,3,4,5,6}, M={1,2,4 } 则U C M =A .UB .{1,3,5}C .{3,5,6}D .{2,4,6}3.若向量BA=(2,3),CA =(4,7),则BC =A .(-2,-4)B .(2,4)C .(6,10)D .(-6,-10) 4.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是A .ln(2)y x =+B .y =C .y=12x⎛⎫⎪⎝⎭D .1y x x =+5.已知变量x ,y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则z=3x+y 的最大值为A .12B .11C .3D .1- 6.某几何体的三视图如图1所示,它的体积为 A .12π B.45π C.57π D.81π7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个, 其个位数为0的概率是 A.49 B. 13 C. 29 D. 198.对任意两个非零的平面向量α和β,定义αβαβββ⋅=⋅.若平面向量,a b 满足0a b ≥> ,a 与b 的夹角(0,)4πθ∈,且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则a b =A .12 B.1 C. 32 D. 52二、填空题:本大题共7小题,考生答6小题,每小题5分,满分30分。
2012广东高考理数含答案
正视图侧视图.2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位,则复数56ii-=( ) A.65i +B .65i -C .65i -+D .65i --【解析】D ;()5656566511i i i i i i --+===----,故选D . 2.设集合{1,23,4,5,6}U =,,{1,2,4}M =,则M U =ð( )A .UB .{1,3,5}C .{3,5,6}D .{2,4,6}【解析】C ;送分题,直接考察补集的概念,{}M 3,5,6U =ð,故选C .3.若向量(2,3)BA = ,(4,7)CA = ,则BC =( )A .(2,4)--B .(3,4)C .(6,10)D .(6,10)--【解析】A ;考察向量的运算法则,()()()2,34,72,4BC BA AC =+=+--=--,故选A .4.下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是( )A .ln(2)y x =+B .y =C .1()2xy =D .1y x x=+【解析】A ;函数ln(2)y x =+的图像可由函数ln y x =的图像向左平移2个单位得到,显然满足题意.5.已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则3z x y =+的最大值为( ) A .12 B .11 C .3 D .1- 【解析】B ;画出可行域如图所示,将“三角”区域的角点代入比较可知, 当3,2x y ==时,3z x y =+取得最大值为11. 6.某几何体的三视图如图所示,它的体积为( )A .12πB .45πC .57πD .81π 【解析】C ;三视图对应的实物图为“上部分为圆锥,下部分为圆柱”的几何体,易得圆锥的高为4,所以2213435573V πππ=⋅⋅⋅+⋅⋅=.7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其中个位数为0的概率是( ) A .49 B .13 C .29 D .19【解析】D ;首先求“个位数与十位数之和为奇数的两位数”的个数,利用“奇数+偶数=奇数”分两种情况求:①即十位数字分别为1,3,5,7,9时,个位数字可以为:0,2,4,6,8,此时有5525⨯=个;②十位数字为2,4,6,8时,个位数字可以为:1,3,5,7,9,此时有4520⨯=个;故“个位数与十位数之和为奇数的两位数”的个数有252045+=个,从中任取一个,个位数为0的数有5个,故所求概率为51459=,选D . 8.对任意两个非零的平面向量,αβ,定义αβαβββ⋅=⋅ .若平面向量,a b 满足0a b ≥> ,a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且a b 和b a都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则a b =( )A .12B .1C .32D .52【解析】C ;因为||cos cos 1||b a b b a a a a θθ⋅==≤<⋅ ,且a b 和b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,所以12b a = ,||12cos ||b a θ= ,所以2||cos 2cos 2||a ab b θθ==<,且22cos 1a b θ=> ,所以12a b << ,故有32a b = ,选C .【另解】C ;1||cos 2||k a a b b θ== ,2||cos 2||k b b a a θ==,两式相乘得212cos 4k k θ=,因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,12,k k 均为正整数,于是cos 1θ<=<,所以1224k k <<,所以123k k =,而0a b ≥> ,所以123,1k k ==,于是32a b = ,选C .二、填空题:本题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,共30分(一)必做题(9~13题)9.不等式|2|||1x x +-≤的解集为___________.【解析】1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦;“|2|||x x +-”的几何意义为“点x 到2-和0的距离之差”,画出数轴,先找出临界“|2|||1x x +-=的解为12x =-”,然后可得解集为10.261()x x+的展开式中3x 的系数为__________.(用数字作答)B.第15题图AC PO【解析】20;通项()621231661rrr r rr T C x C xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭,令1233r -=得 3r =,此时对应系数为3620C =.11.已知递增的等差数列{}n a 满足11a =,2324a a =-,则n a =________. 【解析】21n -;设公差为()0d d >,依题意可得()21214d d +=+-,解得2d =(2-舍去),所以21n a n =-.12.曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为__________. 【解析】21y x =+;求导得231y x '=-,1|2x y ='=,由直线的点斜式 方程得()321y x -=-,整理得21y x =+.13.执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为8,则输出s 的值为____.【解析】8;第一次循环得2,4,2s i k ===;第二次循环得4s =,6,3i k ==;第三次循环得8,8,4s i k ===,此时不满足8i <,输出8s =.(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分)14. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中xOy 中,曲线1C 和曲线2C 的参数方程分别为⎩⎨⎧==t y t x (t 为参数)和⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin 2cos 2y x (θ为参数),则曲线1C 和曲线2C 的交点坐标为 .【解析】()1,1;对应的普通方程分别为y =和222x y +=,联立得交点坐标为()1,1.15. (几何证明选做题)如图,圆O 的半径为1,,,A B C 是圆上三点,且满足︒=∠30ABC ,过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交 于点P ,则PA = .,OA AC ,易得60,30AOC CAP ∠=︒∠=︒,在 直角三角形OAP 中,根据题中的数量关系易得PA =三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)已知函数()2cos(6f x x πω=+(其中R x ∈>,0ω)的最小正周期为π10.(Ⅰ) 求ω的值;(Ⅱ) 设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,56(5)35f πα+=-,516(5)617f πβ-=,求cos()αβ+的值. 【解析】(Ⅰ)由210ππω=得15ω=. (Ⅱ)由(Ⅰ)知1()2cos()56f x x π=+,由56516(5),(5)35617f f ππαβ+=--=得第17题图P ABCDE第18题图3sin 5α=,8cos 17β=.又,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以4cos 5α=,15sin 17β=, 所以324513cos()cos cos sin sin 858585αβαβαβ+=-=-=-17.(本小题满分13分)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所 示,其中成绩分组区间是:[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100](Ⅰ) 求图中x 的值;(Ⅱ) 从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ,求ξ的数学期望. 【解析】(Ⅰ) 由()0.00630.010.054101x ⨯+++⨯= 解得0.018x =.(Ⅱ)成绩不低于80分的学生人数有()500.0180.0061012⨯+⨯=人. 成绩在90分以上(含90分)的人数有500.006103⨯⨯=人. 随机变量ξ的可能取值为0,1,2,且()292126011C P C ξ===,()11392129122C C P C ξ===,()232121222C P C ξ===, 所以ξ的分布列为ξ的数学期望0121122222E ξ=⨯+⨯+⨯=.18.(本小题满分13分)如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD ,点 E 在线段PC 上,PC ⊥平面BDE 。
2012年高考广东省理科数学试题
2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔讲试卷类型(A )填涂在答题卡相应的位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点,再作答。
漏涂、错涂、多涂的,答案无效。
一、选择题:本大题共8小题,满分40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设i 为虚数单位,则复数56ii-=( ) A .65i + B .65i - C .65i -+D .65i -- 2.设集合{1,2,3,4,5,6}U =,{1,2,4}M =,则U M =ð( ) A .U B .{1,3,5}C .{3,5,6}D .{2,4,6} 3.若向量(2,3)BA = ,(4,7)CA =,则BC =( ) A .(2,4)-- B .(2,4) C .(6,10)D .(6,10)-4.下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是( )A .ln(2)y x =+B.y =C .12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D .1y x x=+5.已知变量x ,y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩;则3z x y =+的最大值为( )A .12B .11C .3D .1-6.某几何体的三视图如图1所示,它的体积为 ( )A .12πB .45πC .57πD .81π7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其中个位数为0的概率是 ( )A .49 B .13C .29D .198.对任意两个非零的平面向量α和β,定义 αβαβ=ββ。
2012高考试题—数学理(广东卷)解析版
功,对于平时只重难、偏、怪题的学生来说,并不是好事,虽然题难度不大,但要把分数拿到也非易事,对于数学复习来说,无疑释放了一个重要信息——就是基本功扎实是非常重要的。
也就是不管高考题千变万变,我们的复习要以不变应万变,“考点和知识考查是不变的”。
5. 中间层面高兴,尖优生欲哭无泪。
整卷由于只顾考生的得分率和平均分,迎合社会的好评,因而少了区分度较高的题,中间学生来说是该大欢喜,但对于高层学生来说就毫无优势。
2012年广东省理科数学详细答案一 、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1 设i 为虚数单位,则复数56ii-= A 6+5i B 6-5i C -6+5i D -6-5i解:22565665i i i i i i--=-=-+,故选C 2 设集合U={1,2,3,4,5,6}, M={1,2,4 } 则C M = A .U B {1,3,5} C {3,5,6} D {2,4,6}选C3 若向量BA =(2,3),CA =(4,7),则BC = A (-2,-4) B (3,4) C (6,10 D (-6,-10)解:(2,3)(4,7)(2,4)BC BA AC =+=-=--,故选 A 4.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是 A.y=ln (x+2) C.y=(12)x D.y=x+1x解:A5.已知变量x ,y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则z=3x+y的最大值为 A.12 B.11 C.3 D.-1解:画约束区域如右,令z=0得3y x =-,化目标函数为斜截式方程:3y x z =-+得,当3,2x y ==时max 11z =,故选B【评】1-5题是送分题,确是宽和仁厚的题。
6,某几何体的三视图如图1所示,它的体积为x11z =,故选B【评】1-5题是送分题,确是宽和仁厚的题。
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b a
⋅ cos θ < cos θ
∴a b > b a = 二、填空题
3 2
故a b =
3 2
9.答案: ⎨ x x ≤ − ⎬ . 【提示】 | x + 2 | − | x |≤ 1 ⇔ ⎨
⎧ ⎩
1⎫ 2⎭
⎧x ≥ 0 ⎧− 2 < x < 0 ⎧ x ≤ −2 或⎨ 或⎨ ⎩ x + 2 − x ≤ 1 ⎩ x + 2 + x ≤ 1 ⎩− x − 2 + x ≤ 1
2012 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(理科 A 卷)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.设 i 为虚数单位,则复数 A. 6 + 5i
1 ⇔ x ∈ ∅ 或 −2 < x ≤ − 或 x ≤ −2 . 2
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10.答案:20. 【提示】 Tr +1 = C 6 ⋅ x
r
12 −3 r
3 (r ∈ N ,0 ≤ r ≤ 6) ,令 12-3r=3,得 r=3,则 x3 的系数为 C 6 .
11.答案:2n-1. 【提示】由 1 + 2d = (1 + d ) 2 − 4 ,得 d 2 = 4 ,由 d > 0 得 d = 2 ,则 a n = 1 + 2(n − 1) . 12.答案:2x-y+1=0. 【提示】 k = ( x − x + 3) ′
(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中 xoy 中,曲线 C1 和曲线 C 2 的 参数方程分别为 ⎨ 为 .
⎧x = t ⎩y = t
( t 为参数)和 ⎨
⎧ ⎪ x = 2 cosθ ( θ 为参数) ,则曲线 C1 和曲线 C 2 的交点坐标 ⎪ ⎩ y = 2 sin θ
8. 选 C. 【提示】 a b =
a b
⋅ cos θ =
b n1 n nn ⋅ cos θ = 2 , 两 式 相 乘 , 得 cos 2 θ = 1 2 , ,b a= 2 2 4 a
nn 1 1 nn 1 3 ∵ < cos 2 θ < 1 ,∴ < 1 2 < 1 ,由于 n ∈ Z ,故 1 2 = × . 2 2 4 4 2 2
2 6
1 x
2 11.已知递增的等差数列 {an } 满足 a1 = 1 , a3 = a2 − 4 ,则 an = ________.
12.曲线 y = x 3 − x + 3 在点 (1,3) 处的切线方程为__________. 13.执行如图 2 所示的程序框图,若输入 n 的值为 8,则输出 s 的值为_______.
数学期望.
18. (本小题满分 13 分)
如图 5 所示, 在四棱锥 P − ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形,PA ⊥ 平面 ABCD , 点 E 在线段 PC 上,PC ⊥ 平面 BDE . (1)证明: BD ⊥ 平面 PAC ; (2)若 PA = 1 , AD = 2 ,求二面角 B − PC − A 的正切值.
6. 选 C. 【提示】该几何体由母线为 5、底面半径为 3 的圆锥和母线为 5、底面半径为 3 的圆柱组成,
1 V = × 5 2 − 3 2 × (π × 3 2 ) + 5 × (π × 3 2 ) = 57π . 3
1 1 C5 ⋅ C1 1 = . 7. 选 D. 【提示】 P = 1 1 1 1 C5 ⋅ C5 + C 4 ⋅ C5 9
三、解答题
16. 解: (1) ω =
2π 1 = . 10π 5
(2)由(1)得 f ( x) = 2 cos(
x π + ) , 则: 5 6
5π 5α + 5π 3 + π ) = 2 cos(α + π ) = −2sin α = − 6 , f (5α + ) = 2 cos( 3 5 6 2 5 3 得 sin α = ,又由: 5 5π 5β − 5π 6 + π ) = 2 cos β = 16 , f (5β − ) = 2 cos( 6 5 6 17
(1) 求集合 D(用区间表示) ; (2) 求函数 f ( x) = 2 x 3 − 3(1 + a) x 2 + 6ax 在 D 内的极值点.
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2012 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)答案
数学(理科 A 卷)
答案制作:广州市第二中学 邓军民 本答案为个人仓促所做,不一定完全正确,仅供大家参考. 感谢:广州三中刘老师、深圳辉煌赵老师的帮助! 一、选择题
1. 选 D. 【提示】 2. 选 C.
5 − 6i 5 5(−i ) = −6 = − 6 = −6 − 5i . i i − i2
3. 选 A. 【提示】 BC = AC − AB = −CA + BA = ( −4,−7) + ( 2,3) = (−2,−4) . 4. 选 A. 【提示】 y = ln( x + 2) 在 ( −2,+∞) 上单调递增; y = − x + 1 在 ( −1,+∞) 上单调递减;
17. 解: (1)依题意,得: 006×(50-40)+0. 006×(60-50)+0. 01×(70-60)+0. 054×(80-70)+ (90-80)x+0. 006×(100-90)=1 0.
即 0.82+10x=1,解得 x=0.018. (2)成绩在区间[80,90)上的人数有 50×(90-80)x=9, 成绩在区间[90,100]上的人数有 50×(100-90)×0.006=3, ∴成绩不低于 80 分的学生有 9+3=12 人,
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ξ可取 0、1、2, 且 P (ξ = 0) =
1 1 C 92 ⋅ C 30 C9 ⋅ C3 6 9 ( 1 ) = P ξ = = = , , 2 2 11 22 C12 C12
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19. (本小题满分 14 分)
设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,满足 2 S n = an +1 − 2 (1)求 a1 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n ,有
n +1
+ 1 , n ∈ N * ,且 a1 , a2 + 5, a3 成等差数列.
5 − 6i = i
C. −6 + 5i D. −6 − 5i
B. 6 − 5i
3, 4,5,6} , M = {1, 2, 4} 则 U M = 2.设集合 U = {1, 2,
A. U B. {1,3,5} C. {3,5, 6} D. {2, 4, 6}
3.若向量 BA = (2,3) , CA = (4, 7) ,则 BC = A. ( −2, −4) B. (3, 4) C. (6,10) D. ( −6, −10)
2 x2 y 2 ,且椭圆 C 上的点到点 + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率 e = 2 a b 3
)
21. (本小题满分 14 分)
2 设 a < 1 ,集合 A = {x ∈ R x > 0}, B = {x ∈ R 2 x − 3(1 + a ) x + 6a > 0} , D = A ∩ B .
1 1 1 3 + + ⋅⋅⋅ + < . a1 a2 an 2
20. (本小题满分 14 分)
在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: Q(0,2)的距离的最大值为 3. (1) 求椭圆 C 的方程 (2) 在椭圆 C 上, 是否存在点 M (m, n) , 使得直线 l : mx + ny = 1 与圆 O : x 2 + y 2 = 1 相交于不同的两点 A、 B,且 ΔOAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及对应的 ΔOAB 的面积;若不存在,请说明 理由.
β=
α ⋅β .若平面向量 a , b 满足 a ≥ b > 0 , a 与 b 的夹 β ⋅β
角 θ ∈ ⎜ 0, A.
⎛ ⎝
π⎞
⎧n ⎫ ⎟ ,且 a b 和 b a 都在集合 ⎨ | n ∈ Z ⎬ 中,则 a b = 4⎠ ⎩2 ⎭
B. 1 C.
1 2
3 2
D.
5 2
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二、填空题:本大题共 7 小题.考生 作答 6 小题.每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.不等式 | x + 2 | − | x |≤ 1 的解集为___________. 10. ( x + ) 的展开式中 x 3 的系数为__________. (用数字作答)
3 x =1
= (3 x 2 − 1)
x =1
= 2 ,则切线方程为 y-3=2(x-1).
13.答案:8.
【提示】n=8 i< n i< n i< n s=1 s=2 s=4 s=8 i=2 i=4 i=6 i=8 k=1 k=2 k=3 k=4
14.答案:(1,1). 【提示】联立 C1 : y 2 = x( y ≥ 0) 和 C 2 : x 2 + y 2 = 2 方程,得x=-2(舍)或x=1. 15. 答案: 3 . 【提示】连AO,在Rt△AOP中∠AOP = 60°且AO =1,则AP =AO·tan60°.