第43讲机械振动简谐运动的基本概念

第43讲：机械振动

简谐运动的基本概念

内容：§ 14- 1,§ 14-2

1 .简谐运动

要求:

1 •掌握描述简谐运动的特征量 一一振幅、周期、频率、相位的物理意义, 并能熟

练地确定振动系统的特征量，从而建立简谐运动方程；

2.

掌握描述简谐运动的旋转矢量方法与图示法的特点，

并会应用于简谐

运动规律的讨论与分析。

重点与难点：

1 •简谐运动的动力学方程和运动学方程；

2 .振幅与初相位的确定；

作业:

（50分

钟）

2 •描述简谐运动的物理量

问题习题预习P35: 1, 2,

P37: 2, 5,

§ 14-3,§

,7, 8

,8, 11

§ 14-4, § 14-5

第十四章机械振动

引言：

1什么是振动(Vibration)

振动是自然界和工程技术领域常见的一种运动，广泛存在于机械运动、电磁运动、热运动、原子运动等运动形式之中。从狭义上说，通常把具有时间周期性的运动称为振动。如钟摆、发声体、开动的机器、行驶中的交通工具都有机械振动。广义地说，任何一个物理量在某一数值附近作周期性的变化，都称为振动。变化的物理量称为振动量，它可以是力学量，电学量或其它物理量。例如：交流电压、电流的变化、无线电波电磁场的变化等等。

2. 什么是机械振动(Mecha nical Vibrati on)

机械振动是最直观的振动，它是物体在一定位置附近的来回往复的运动，如活塞的运动，钟摆的摆动等都是机械振动。

3. 研究机械振动的意义

不同类型的振动虽然有本质的区别，但是仅就振动过程而言，振动量随时间的

变化关系，往往遵循相同的数学规律，从而使得不同本质的振动具有相同的描

述方法。

振动是自然界及人类生产实践中经常发生的一种普遍运动形式，研究机械振动

的规律也是学习和研究其它形式的振动以及波动、无线电技术、波动光学的基

础。

4. 机械振动的特点

(1)有平衡点。

(2)且具有重复性，即具有周期性。

5. 机械振动的分类

(1)按振动规律分：简谐、非简谐、随机振动。

(2)按产生振动原因分：自由、受迫、自激、参变振动。

(3)按自由度分：单自由度系统、多自由度系统振动。

(4 )按振动位移分：角振动、线振动。

(5)按系统参数特征分：线性、非线性振动。

简谐振动是最基本的振动，存在于许多物理现象中。本章主要研究简谐振动的规律，也简单介绍阻尼振动、受迫振动、共振等。

本早内容有：

§ 14- 1简谐运动

§ 14-2简谐运动的振幅、周期(频率)与相位

§ 14-3旋转矢量

§ 14-4单摆与复摆

§ 14-5简谐运动的能量

§ 14—6简谐运动的合成

§ 14—7阻尼振动、受迫振动、共振

§14 — 1简谐运动

Simple Harm on ic Vibrati on

在一切振动中，最简单和最基本的振动称为简谐运动，其运动量按正弦函 数或余弦函数的规律随时间变化。任何复杂的运动都可以看成是若干简谐运动 的合成。本节以弹簧振子为例讨论简谐运动的特征及其运动规律。 一、简谐运动的基本概念：

1 •弹簧振子：

轻质弹簧（质量不计）一端固定，

另一端系一质量为 m 的物体，置于光 肿 滑的水平面上。物体所受的阻力忽略 '

不计。设在 0点弹簧没有形变，此处 物体所受的合

力为零，称

0点为平衡

位置。系统一经触发，就绕平衡位置 作来回往复的周期性运动。这样的运 动系统叫做弹簧振子（harm on

ic Oscillator

2 •弹簧振子运动的定性分析：

考虑物体的惯性和作用在物体上的弹性力: B T

O 弹性力向左，加速度向左，加速， O T C:弹性力向右，加速度向右，减速， C T O 弹性力向右，加速度向右，加速， O T B ：弹性力向左，

加速度向左，减速，

物体在B 、C 之间来回往复运动。

结论：物体作简谐运动的条件:

物体的惯性

一一阻止系统停留在平衡位置

作用在物体上的弹性力一一驱使系统回复到平衡位置

取平衡位置O 点为坐标原点，水平向右为X 轴

物体m （可视为质点）在坐标为x （即相对于O 点的

k/VvWW

IAW/W ——

尸

的方向相反，它是始终指向平衡位置的。离平衡位置越远，力越大；在平衡位 置力为零，物体由于惯性继续运动。这种始终指向平衡位置的力称为回复力。

2 •动力学方程及其解

根据牛顿第二定律，

O 点，加速度为零，速度最大; C 点，加速度最大，速度为零; O 点，加速度为零，速度最大; B 点，加

速度最大，速度为零。

二、弹簧振子的动力学特征：

1 •线性回复力

分析弹簧振子的受力情况。

的正方向。由胡克定律可知，

位移）的位置时所受弹簧的作用力 为 f=-kx

式中的比例系数 k 为弹簧的劲度 系数（Stiffness ）,它反映弹簧的固 有性质，负号表示力的方向与位移

）,它是一个理想化的模型。

f=ma

可得物体的加速度为

d 2x dt 2

这就是简谐运动的微分方程。 三、简谐运动的运动学特征：

1简谐振动的表达式（运动学方程）

简谐运动的微分方程的解具有正弦、余弦函数或指数形式。我们采用余弦 函数形式，即

x Acos （ t ）

这就是简谐运动的运动学方程，式中 A 和$是积分常数。

说明：

1）简谐运动不仅是周期性的， 而且是有界的,

它们的组合才具有这种性质，这里我们采用余弦函数。

2）考虑三角函数与复数的关系

e i

cos 复数表示简谐运动，其优点是运算比较简单。

物体在简谐运动时，其位移、速度、加速度都是周期性变化的。

简谐运动不仅是周期性的，而且是有界的 一一只有正弦函数、余弦函数或

它们的组合才具有这种性质一一采用余弦函数。

二、简谐运动的特点：

1 .从受力角度来看——动力学特征

合外力f=-kx 与物体相对于平衡位置的位移成正比，方向与位移的方向相 反，并且总是指向平衡位置的。此合外力又称为线形回复力或准弹性力。

2. 从加速度角度来看一一运动学特征

加速度a

2

x 与物体相对于平衡位置的位移成正比，方向与位移的方

向相反，并且总是指向平衡位置的。

对于给定的弹簧振子,

2

_

则上式可以改写为 a

m 和k 均为正值常量，令

2

x

亡+

2 1

dt 2

2

x = 0

只有正弦函数、余弦函数或

i sin ，则 x Ae

i （

七）。用

2 •简谐振动物体的速度和加速度 将简

谐运动的运动学方程分别对 时间求一阶和二阶导数，可得简谐运 动的速度和加速度为

a

说明： dx dt d 2x dt 2

Asi n( t )

2

A cos( t )

加速

减速 减速 加速