中考数学图形初步认识

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2023中考九年级数学分类讲解 - 第七讲图形初步认识(含答案)(全国通用版)

第七讲图形初步认识专项一点、线、面、角知识清单1. 两个基本事实：（1）两点确定一条直线；（2）两点之间，线段最短.2. 线段的中点：如图1，B 是线段AC 的中点，则AB=BC= .图1 图23. 线段的和与差：如图2，在线段AC 上取一点B ，则AB+BC= ；AB=AC- ；BC= .4. 角的定义：具有的两条射线组成的几何图形叫做角，角也可以看作是一条射线绕其端点旋转而形成的几何图形.5. 1周角= º，1平角= º，1直角= º；1º= ′，1′= ″.6. 如果两个角之和等于，那么这两个角互为余角（互余）；如果两个角之和等于，那么这两个角互为补角（互补）.同角（或等角）的余角；同角（或等角）的补角 . 考点例析例1 互不重合的A ，B ，C 三点在同一直线上，已知AC =2a +1，BC =a +4，AB =3a ，这三点的位置关系是（） A. 点A 在B ，C 两点之间 B. 点B 在A ，C 两点之间 C. 点C 在A ，B 两点之间D. 无法确定分析：分三种情况讨论：①点A 在B ，C 之间；②点B 在A ，C 之间；③点C 在A ，B 之间.再根据a>0判断. 例2 已知∠α=25°30′，则它的余角为（） A. 25°30′B. 64°30′C. 74°30′D. 154°30′分析：根据“互为余角的两个角之和为90 º”直接计算即可. 跟踪训练1. 如图，已知四条线段a ，b ，c ，d 中的一条与挡板另一侧的线段m 在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（） A. aB. bC. cD. d① ②第1题图第2题图第4题图2. 小光准备从A 地去往B 地，打开导航、显示两地距离为37.7 km ，但导航提供的三条可选路线长分别为45 km ，50 km ，51 km （如图）.能解释这一现象的数学知识是（） A. 两点之间，线段最短B. 垂线段最短C. 三角形两边之和大于第三边D. 两点确定一条直线3. 已知线段AB =4，在直线AB 上作线段BC ，使得BC =2.若D 是线段AC 的中点，则线段AD 的长为（） A. 1B. 3C. 1或3D. 2或34.七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，如图①所ABC ABC示.19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），图②是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中抬起的“腿”（即阴影部分）的面积为（）A. 3B. 72C. 2D.525.74°19′30″=°.6.若∠A=34°，则∠A的补角的度数是.专项二相交线知识清单1. 对顶角定义：两角有一个公共顶点，且两角的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角.举例：如图，∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与，∠6与∠8.性质：对顶角.2. 三线八角（如图）同位角：∠1与∠5，∠2与，∠3与∠7，∠4与.内错角：∠2与∠8，∠3与.同旁内角：∠2与∠5，∠3与.3. 垂线定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，它们的交点叫做.性质：①在同一平面内，过一点有且只有直线与已知直线垂直；②垂线段最短.考点例析例 1 如图1，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，且OC恰好平分∠EOB，则∠AOD的度数是.图1 图2分析：根据角平分线的定义得出∠AOE=∠COE，∠COE=∠BOC，利用∠AOE+∠COE+∠BOC=180°求得∠BOC的度数，再由对顶角相等求得∠AOD的度数.例2 如图2，设P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为Q，T是直线l上的一个动点，连接PT，则（）A. PT≥2PQB. PT≤2PQC. PT≥PQD. PT≤PQ分析：根据垂线段最短即可得到结论.跟踪训练1. 如图，与∠1是内错角的是（）A. ∠2B. ∠3C. ∠4D. ∠5第1题图第2题图第3题图第4题图 2. 如图，直线a ，b 相交于点O ，∠1=110°，则∠2的度数是（） A. 70°B. 90°C. 110°D. 130°3. 如图，下列两个角是同旁内角的是（） A. ∠1与∠2B. ∠1与∠3C. ∠1与∠4D. ∠2与∠44. 如图，点O 在直线AB 上，OC ⊥OD .若∠AOC =120°，则∠BOD 的度数为（） A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°专项三平行线知识清单1. 定义：在同一平面内，的两条直线叫做平行线．2. 公理：经过直线外一点，有且只有直线与这条直线平行. 推论：如果a ∥b ，c ∥a ，那么 .3. 性质与判定：考点例析例1 如图1，直线l 1∥l 2，直线l 3交l 1于点A ，交l 2于点B ，过点B 的直线l 4交l 1于点C .若∠3=50°，∠1+∠2+∠3=240°，则∠4的度数是（） A. 80°B. 70°C. 60°D. 50°图1 图2分析：根据“两直线平行，同旁内角互补”得∠1+∠3=180°，从而得到∠2的度数，再求得∠3+∠2的度数.利用“两直线平行，同旁内角互补”得到∠4对顶角的度数，从而得到∠4的度数.例2 （鞍山）如图2，直线a ∥b ，将一个含30°角的三角尺按图中所示的位置放置.若∠1=24°，则∠2的度数为（） A. 120°B. 136°C. 144°D. 156°分析：过60°角的顶点作c ∥a ，如图所示.根据平行线的性质，先求出∠4的度数，进而求得∠3的度数.再由“两直线平行，同旁内角互补”求得∠2的度数.归纳：将三角尺放在平行线中，三角尺中各内角的度数是隐含条件，结合平行线的性质，把所求角度转化为已知角同旁内角__________ 两直线平行判定性质内错角____________ 两直线平行判定性质同位角____________ 两直线平行判定性质度或隐含角度的和或差.跟踪训练1. 某同学的作业如下框：如图，已知直线l1，l2，l3，l4.若∠1=∠2，则∠3=∠4.请完成下面的说理过程.解：已知∠1=∠2，根据（内错角相等，两直线平行），得l1∥l2.再根据（※），得∠3=∠4.第1题图其中※处填的依据是（）A. 两直线平行，内错角相等B. 内错角相等，两直线平行C. 两直线平行，同位角相等D. 两直线平行，同旁内角互补2. 如图，AM∥BN，∠ACB=90°，∠MAC=35°，则∠CBN的度数是（）A. 35°B. 45°C. 55°D. 65°第2题图第3题图第4题图3. 如图，AB∥CD，∠1=45°，∠2=35°，则∠3的度数为（）A. 55°B. 75°C. 80°D. 105°4. 一块含30°角的直角三角尺和直尺如图放置.若∠1=146°33′，则∠2的度数为（）A. 64°27′B. 63°27′C. 64°33′D. 63°33′5. 将一副三角尺如图所示摆放，则∥，理由是.第5题图6. 如图，AB∥CD，∠B=∠D，直线EF与AD，BC的延长线分别交于点E，F，求证：∠DEF=∠F.第6题图专项四线段垂直平分线与角平分线知识清单1. 线段的垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的相等.判定：到线段两端点距离相等的点在该线段的上.2. 角平分线定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个的角，这条射线叫做这个角的平分线.性质：角平分线上的点到角两边的距离.判定：角内部到角两边距离相等的点在上.考点例析例1如图1，在△ABC中，AC=4，∠A=60°，∠B=45°，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接CD，则AB的长为.图1 图2分析：根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC，进而可得∠DCB=∠B.利用三角形的外角性质得到∠ADC=90°.由含30°角的直角三角形的性质求出AD，再利用勾股定理求出DC，进而求得AB.归纳：有线段垂直平分线就有等腰三角形，这样不仅有两组相等线段，还有两组相等的角，一组垂直关系.例2 如图2，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（）A. 8 B. 7.5 C. 15 D. 无法确定分析：过点D作DE⊥BC于点E，如图2所示.根据角平分线的性质得到DE=DA=3，然后利用三角形的面积公式计算.跟踪训练1.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接AE.若AE=4，EC=2，则BC的长是（）A. 2B. 4C. 6D. 8第1题图第2题图2.如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，分别交边AB，BC于点D，E，且AB=9，AC=6，则△ACD的周长是（）A. 10.5B. 12C. 15D. 183.如图，在□ABCD中，AD=4，对角线BD=8，分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF，交对角线BD于点G，连接GA，GA恰好垂直于边AD，则GA的长是（）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5第3题图第4题图第5题图第6题图4. 如图，AD是△ABC的角平分线.若∠B=90°，BD D到AC的距离是.5. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E.若BC=4，DE=1.6，则BD的长为.6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E.若CD=3，BD=5，则BE的长为.专项五命题、定理与反证法知识清单1. 命题：判断的语句，叫做命题；命题由和两部分组成，可写成“”的形式.命题分为真命题和命题.判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可.2. 定理：经过推理论证，可以作为推理依据的命题叫做定理.3. 互逆命题和互逆定理：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的，而第一个命题的结论是第二个命题的，那么这两个命题叫做互逆命题.如果一个定理的逆命题能被证明是命题，那么就叫它是原定理的逆定理.4. 反证法：在证明一个命题时，人们有时先假设命题，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件，或者与定义、基本事实、定理等，从而得出假设命题不成立，即所求证的命题正确. 这种证明方法叫做反证法.考点例析例1 下列命题是真命题的是（）A. 正六边形的外角和大于正五边形的外角和B. 正六边形的每一个内角为120°C. 有一个角是60°的三角形是等边三角形D. 对角线相等的四边形是矩形分析：由多边形的外角和都是360º对选项A作出判断；根据多边形的内角和公式及正多边形各内角度数相等对选项B作出判断；利用等边三角形的判定、矩形的判定对选项C，D作出判断.例2 能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（）A. -1B. x+1C. x=D. x分析：当x2是有理数时，就是反例，所以应求出各选项中x2的值，再判断.归纳：要判断一个命题是真命题，必须经过推理论证；要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可.跟踪训练1.下列命题中，假命题是（）A. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半B. 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合C. 若AB=BC，则B是线段AC的中点D. 三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心2. 下列命题中，假命题是（）A. 两组对边平行的四边形是平行四边形B. 三个角是直角的四边形是矩形C. 四条边相等的四边形是菱形D. 有一个角是直角的平行四边形是正方形3.下列命题：的算术平方根是2；②菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；③天气预报明天的降水概率是95%，则明天一定会下雨；④若一个多边形的各内角都等于108°，则它是正五边形.其中真命题的个数是（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 34. 用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”时，应先假设（）A. ∠A=60°B. ∠A＜60°C. ∠A≠60°D. ∠A≤60°5.下列命题中，真命题的个数为.①所有的正方形都相似；②所有的菱形都相似；③边长相等的两个菱形相似；④对角线相等的两个矩形相似.6. 写出命题“全等三角形对应边相等”的逆命题：.专项六尺规作图知识清单1. 在几何中，把只能使用和这两种工具作图的方法称为尺规作图．2. 五种基本尺规作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作角的平分线；④作线段的垂直平分线；⑤过一个点（这个点在直线上或直线外）作已知直线的垂线.考点例析例1 如图1，已知直线l1∥l2，直线l3分别与l1，l2交于点A，B.请用尺规作图法，在线段AB上求作一点P，使点P到l1，l2的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法）图1 图2分析：作线段AB的垂直平分线得到线段AB的中点，则该中点即为所求作的点P.解：例2 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.已知：如图2，∠O及其一边上的两点A，B，求作：Rt△ABC，使∠C=90°，且点C在∠O内部，∠BAC=∠O.分析：先在∠O的内部作∠DAB=∠O，再过点B作AD的垂线，垂足为C.解：跟踪训练1. 如图，已知直线AB和AB上一点C，过点C作直线AB的垂线，步骤如下：第一步：以点C为圆心，以任意长为半径作弧，交直线AB于点D，E；第二步：分别以点D，E为圆心，以a为半径画弧，两弧交于点F；第三步：作直线CF，直线CF即为所求.下列关于a的说法正确的是（）A. a≥12DE的长 B. a≤12DE的长 C. a>12DE的长 D. a<12DE的长第1题图第2题图2. 如图，在△ABC中，∠BAC=70°，∠C=40°，分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB上一点，且AC=AD.（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接DE，求证：DE⊥AB.①②第3题图第4题图4.已知△ABC和△CDE都为正三角形，点B，C，D在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹.（1）如图①，当BC=CD时，作△ABC的中线BF；（2）如图②，当BC≠CD时，作△ABC的中线BG.专项七平行线中的转化思想知识清单转化思想就是把陌生的问题转化为熟悉的问题，把复杂的问题转化为简单的问题.利用转化思想可以解决平行线中的“折线问题”，转化方法为过折点作平行线，把折角转化为两角的和或者差，图形转化为两条直线平行，利用平行线的性质解答.考点例析例如图，AB∥CD，EF⊥CD于点F.若∠BEF=150°，则∠ABE的度数为（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°分析：过点E作EG∥AB，如图所示.由垂直的定义，得∠EFD=90°，利用平行线的性质得∠GEF的度数，结合∠BEF=150°得到∠BEG的度数，再根据平行线的性质得∠ABE的度数.跟踪训练1. 如图，将一块含有60°角的直角三角尺放置在两条平行线上.若∠1=45°，则∠2的度数为（）A. 15°B. 25°C. 35°D. 45°第1题图第2题图第3题图第4题图2. 一把直尺与一块直角三角尺按图中方式摆放.若∠1=47°，则∠2的度数为（）A. 40°B. 43°C. 45°D. 47°3. 一副三角尺如图所示放置，两三角尺的斜边互相平行，每个三角尺的直角顶点都在另一个三角尺的斜边上，则图中∠α的度数为（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 85°4. 如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上.若∠1=19°，则∠2的度数为（）A. 41°B. 51°C. 42°D. 49°参考答案专项一点、线、面、角例1 A 例2 B1. A2. A3. C4. A5. 74.3256. 146°专项二相交线例1 60 例2 C1. C2. C3. B4. A专项三平行线例1 B 例2 C1. C2. C3. C4. B5. BC ED 内错角相等，两直线平行6. 证明：因为AB∥CD，所以∠DCF=∠B.因为∠B=∠D，所以∠DCF=∠D.所以AD∥BC.所以∠DEF=∠F.专项四线段垂直平分线与角平分线例1 2+例2 B1. C2. C3. B4.5. 2.46. 4专项五命题、定理与反证法例1 B 例2 C1. C2. D3. B4. D5. 16. 三组对应边相等的两个三角形全等专项六尺规作图例1 如图1，点P即为所求作．图1 图2例2 如图2，Rt△ABC即为所求作．1. C2. A3. （1）解：如图，AE即为所求作.①②第3题图第4题图（2）证明：因为AE平分∠BAC，所以∠CAE=∠DAE.在△ACE和△ADE中，AC=AD，∠CAE=∠DAE，AE=AE，所以△ACE≌△ADE（SAS）. 所以∠ADE=∠C=90°.所以DE⊥AB.4. 解：（1）如图①，线段BF即为所求作.（2）如图②，线段BG即为所求作.专项七平行线中的转化思想例 D1. A2. B3. C4. A。

全国2020年中考数学试题精选50题图形的初步认识与三角形含解析

2020年全国中考数学试题精选50题：图形的初步认识与三角形一、单选题1.（2020·玉林）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西55°方向，则A，B，C三岛组成一个（）A. 等腰直角三角形B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形2.（2020·玉林）一个三角形木架三边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm和120cm的两根木条.要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（）A. 一种B. 两种 C. 三种 D. 四种3.（2020·玉林）已知：点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，如图所示.求证：DE∥BC，且DE＝BC.证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，又AE＝EC，则四边形ADCF是平行四边形，接着以下是排序错误的证明过程：①∴DF BC；②∴CF AD.即CF BD；③∴四边形DBCF是平行四边形；④∴DE∥BC，且DE＝BC.则正确的证明顺序应是（）A. ②→③→①→④B. ②→①→③→④C . ①→③→④→② D. ①→③→②→④4.（2020·河池）如图，在中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA=3，EB=5，ED=4.则CE的长是（）A. 5B. 6C. 4D. 55.（2020·河池）观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是（）A. B. C.D.6.（2020·河池）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，则sinB的值是（）A. B.C.D.7.（2020·河池）如图，AB是O的直径，CD是弦，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F.若BF=FE=2，DC=1，则AC的长是（）A. B.C.D.8.（2020·铁岭）一个零件的形状如图所示，，则的度数是（）A. 70°B. 80°C. 90°D. 100°9.（2020·铁岭）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点和点在边上，，连接轴，则的值为（）A. B.3 C. 4D.10.（2020·盘锦）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题.原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺.根据题意，可列方程为（）A. B. C.D.11.（2020·盘锦）如图，在中，，，以为直径的⊙O交于点，点为线段上的一点，，连接并延长交的延长线于点，连接交⊙O于点，若，则的长是（）A. B.C.D.12.（2020·锦州）如图，在菱形中，P是对角线上一动点，过点P作于点E.于点F.若菱形的周长为20，面积为24，则的值为（）A. 4B.C.6 D.13.（2020·锦州）如图，在中，，，平分，则的度数是（）A. B.C.D.14.（2020·丹东）如图，在四边形中，，，，，分别以和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，直线与延长线交于点，连接，则的内切圆半径是（）A. 4B.C. 2D.15.（2020·丹东）如图，是的角平分线，过点作交延长线于点，若，，则的度数为（）C. 125°D. 135°16.（2020·朝阳）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形，且点C在反比例函数的图象上，则k的值为（）A. -12B. -42 C. 42D. -2117.（2020·朝阳）如图，四边形是矩形，点D是BC边上的动点（点D与点B、点C不重合），则的值为（）A. 1B.C. 2D. 无法确定18.（2020·雅安）如图，内接于圆，，过点C的切线交的延长线于点．则（）A. B.C.D.19.（2020·雅安）如图，在中，，若，则的长为（）C.D.20.（2020·绵阳）下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（）A. B. C.D.21.（2020·绵阳）在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（）A. 16°B. 28°C. 44°D. 45°22.（2020·绵阳）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DF∥BC，∠ABC的平分线BE交DF于点G，GH⊥DF，点E恰好为DH的中点，若AE＝3，CD＝2，则GH＝（）A. 1B. 2C. 3D. 423.（2020·眉山）如图，四边形的外接圆为⊙O，，，，则的度数为（）A. B.C.D.24.（2020·眉山）一副三角板如图所示摆放，则与的数量关系为（）A. B. C.D.25.（2020·凉山州）如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于，则（）A. B.C.D.26.（2020·凉山州）点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段，则线段BD的长为（）A. 10cmB. 8cmC. 8cm或10cm D. 2cm或4cm27.（2020·淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）A. AC＝DEB. ∠BAD＝∠CAE C. AB＝AE D. ∠ABC＝∠AED28.（2020·淄博）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（）A. 12B.24 C. 36 D. 48 29.（2020·淄博）如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（）A. 36B.48 C.49 D. 64 30.（2020·淄博）如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于（）A. 30°B.35° C. 40°D. 45°二、填空题31.（2020·徐州）在中，若，，则的面积的最大值为________.32.（2020·徐州）如图，在中，，，.若以所在直线为轴，把旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于________.33.（2020·徐州）如图，在中，，、、分别为、、的中点，若，则________.34.（2020·徐州）如图，，在上截取.过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；按此规律，所得线段的长等于________.35.（2020·河池）如图，菱形ABCD的周长为16，AC，BD交于点O，点E在BC上，OE∥AB，则OE的长是________.36.（2020·铁岭）如图，以为边，在的同侧分别作正五边形和等边，连接，则的度数是________.37.（2020·铁岭）如图，在中，，以为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点，交于点，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，点在边上，，连接，则的周长为________.38.（2020·铁岭）一张菱形纸片的边长为，高等于边长的一半，将菱形纸片沿直线折叠，使点与点重合，直线交直线于点，则的长为________ .39.（2020·盘锦）如图，直线，的顶点和分别落在直线和上，若，，则的度数是________.40.（2020·盘锦）如图，菱形的边长为4，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，直线交于点，连接，则的长为________.三、综合题41.（2020·徐州）如图，，，. ，与交于点.（1）求证：；（2）求的度数.42.（2020·玉林）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD＝AB.（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）若H是边AB上一点（H与A，B不重合），连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，过点E分别作BC及AB延长线的垂线，垂足分别为F，G.设四边形BGEF的面积为s1，以HB，BC为邻边的矩形的面积为s2，且s1＝s2.当AB＝2时，求AH的长.43.（2020·玉林）如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC.（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长.44.（2020·河池）如图（1）如图（1），已知CE与AB交于点E，AC=BC，∠1=∠2.求证：.（2）如图（2），已知CD的延长线与AB交于点E，AD=BC，∠3=∠4.探究AE与BE的数量关系，并说明理由.45.（2020·铁岭）在等腰和等腰中，，，将绕点逆时针旋转，连接，点为线段的中点，连接.（1）如图1，当点旋转到边上时，请直接写出线段与的位置关系和数量关系；（2）如图2，当点旋转到边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由.（3）若，在绕点逆时针旋转的过程中，当时，请直接写出线段的长.46.（2020·铁岭）如图，四边形内接于是直径，，连接，过点的直线与的延长线相交于点，且.（1）求证：直线是的切线；（2）若，，求的长.47.（2020·盘锦）如图，是的直径，是的弦，交于点，连接，过点作，垂足为，.（1）求证：；（2）点在的延长线上，连接.①求证：与相切；②当时，直接写出的长.48.（2020·盘锦）如图，两点的坐标分别为，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，过点作，垂足为，反比例函数的图象经过点.（1）直接写出点的坐标，并求反比例函数的解析式；（2）点在反比例函数的图象上，当的面积为3时，求点的坐标.49.（2020·锦州）已知和都是等腰直角三角形，.（1）如图1：连，求证：；（2）若将绕点O顺时针旋转，①如图2，当点N恰好在边上时，求证：；②当点在同一条直线上时，若，请直接写出线段的长.50.（2020·阜新）如图，正方形和正方形（其中），的延长线与直线交于点H.（1）如图1，当点G在上时，求证：，；（2）将正方形绕点C旋转一周.①如图2，当点E在直线右侧时，求证：；②当时，若，，请直接写出线段的长答案解析部分一、单选题1.【答案】 C【解析】【解答】解：如图，过点C作CD∥AE交AB于点D，∴∠DCA＝∠EAC＝35°，∵AE∥BF，∴CD∥BF，∴∠BCD＝∠CBF＝55°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝35°+55°＝90°，∴△ABC是直角三角形.故答案为：C.【分析】如图，过点C作CD∥AE交AB于点D，可得∠DCA＝∠EAC＝35°，根据AE∥BF，可得CD∥BF，可得∠BCD＝∠CBF＝55°，进而得△ABC是直角三角形.2.【答案】 B【解析】【解答】解：长120cm的木条与三角形木架的最长边相等，则长120cm的木条不能作为一边，设从120cm的木条上截下两段长分别为xcm，ycm（x+y≤120），由于长60cm的木条不能与75cm的一边对应，否则x、y有大于120cm，当长60cm的木条与100cm的一边对应，则，解得：x＝45，y＝72；当长60cm的木条与120cm的一边对应，则，解得：x＝37.5，y＝50.答：有两种不同的截法：把120cm的木条截成45cm、72cm两段或把120cm的木条截成37.5cm、50cm两段. 故答案为：B.【分析】分类讨论：长120cm的木条与三角形木架的最长边相等，则长120cm的木条不能作为一边，设从120cm的一根上截下的两段长分别为xcm，ycm（x+y≤120），易得长60cm的木条不能与75cm的一边对应，所以当长60cm的木条与100cm的一边对应时有；当长60cm的木条与120cm的一边对应时有，然后分别利用比例的性质计算出两种情况下得x和y的值.3.【答案】 A【解析】【解答】证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∴AD＝BD，AE＝EC，∴四边形ADCF是平行四边形，∴CF AD.即CF BD，∴四边形DBCF是平行四边形，∴DF BC，∴DE∥BC，且DE＝BC.∴正确的证明顺序是②→③→①→④，故答案为：A.【分析】证出四边形ADCF是平行四边形，得出CF AD.即CF BD，则四边形DBCF是平行四边形，得出DF BC，即可得出结论.4.【答案】 C【解析】【解答】解：∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=∠DCE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，∴∠BEC=∠DCE，∴∠BEC=∠BCE，∴BC=BE=5，∴AD=5，∵EA=3，ED=4，在△AED中，，即，∴∠AED=90°，∴CD=AB=3+5=8，∠EDC=90°，在Rt△EDC中，.故答案为：C.【分析】利用平行四边形的性质，可证得AB=CD，AD=BC，AB∥CD，再利用角平分线的定义及平行线的性质可以推出∠BEC=∠BCE，利用等角对等边，就可求出BC的长，即可得到AD的长；再利用勾股定理的逆定理证明△ADE是直角三角形，由此可证△DEC是直角三角形，利用勾股定理求出CE的长。

2022数学中考试题汇编图形认识初步-自定义类型

2022数学中考试题汇编图形认识初步一、选择题1.(2022·四川省自贡市)九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案，最佳方案是( )A. 方案1B. 方案2C. 方案3D. 方案1或方案22.(2022·北京市)下面几何体中，是圆锥的为( )A. B. C. D.3.(2022·河北省)①～④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小正方体构成的长方体，则应选择( )A. ①③B. ②③C. ③④D. ①④4.(2022·四川省自贡市)如图，将矩形纸片ABCD绕边CD所在直线旋转一周，得到的立体图形是( )A.B.C.D.5.(2022·江苏省常州市)下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是( )A. B.C. D.6.(2022·山东省临沂市)如图所示的三棱柱的展开图不可能是( )A.B.C.D.7.(2022·黑龙江省大庆市)已知圆锥的底面半径为5，高为12，则它的侧面展开图的面积是( )A. 60πB. 65πC. 90πD. 120π8.(2022·黑龙江省绥化市)下列图形中，正方体展开图错误的是( )A.B.C.D.9.(2022·台湾)如图为一个长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，求此长方体的体积为何？( )A. 144B. 224C. 264D. 30010.(2022·四川省广元市)如图是某几何体的展开图，该几何体是( )A. 长方体B. 圆柱C. 圆锥D. 三棱柱11.(2022·四川省内江市)如图是正方体的表面展开图，则与“话”字相对的字是( )A. 跟B. 党C. 走D. 听12.(2022·湖北省恩施土家族苗族自治州)如图是一个正方体纸盒的展开图，将其折叠成一个正方体后，有“振”字一面的相对面上的字是( )A. “恩”B. “乡”C. “村”D. “兴”13.(2022·四川省遂宁市)如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中与“我”字所在面相对的面上的汉字是( )A. 大B. 美C. 遂D. 宁14.(2022·山东省烟台市)如图，是一个正方体截去一个角后得到的几何体，则该几何体的左视图是( )A.B.C.D.15.(2022·山东省聊城市)如图，该几何图形是沿着圆锥体的轴切割后得到的“半个”圆锥体，它的左视图是( )A.B.C.D.16.(2022·贵州省贵阳市)如图，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是( )A. B. C. D.17.(2022·台湾省)缓降机是火灾发生时避难的逃生设备，如图是厂商提供的缓降机安装示意图，图中呈现在三楼安装缓降机时，使用此缓降机直接缓降到一楼地面的所需绳长(不计安全带).若某栋建筑的每个楼层高度皆为3公尺，则根据如图的安装方式在该建筑八楼安装缓降机时，使用此缓降机直接缓降到一楼地面的所需绳长(不计安全带)为多少公尺？( )A. 21.7B. 22.6C. 24.7D. 25.618.(2022·江苏省)下列说法：①过两点有且只有一条直线；②射线比直线少一半；③单项式32πx2y的系数是32；④绝对值不大于3的整数有7个；⑤若a+b=1，且a≠0，则x=1一定是方程ax+b=1的解．其中正确的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 419.(2022·山东省)下列说法，正确的是( )A. 若ac=bc，则a=bB. 两点之间的所有连线中，线段最短C. 相等的角是对顶角D. 若AC=BC，则C是线段AB的中点20.(2022·山东省威海市)图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ=∠POK.图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是( )A. A点B. B点C. C点D. D点21.(2022·甘肃省临夏回族自治州)若∠A=40°，则∠A的余角的大小是( )A. 50°B. 60°C. 140°D. 160°22.(2022·湖北省潜江)如图，AB//CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F.∠BEF的平分线交CD于点G.若∠EFG=52°，则∠EGF=( )A. 128°B. 64°C. 52°D. 26°二、填空题ab2，则高为______．23.(2022·山东省)已知长方体的体积为3a3b5，若长为ab，宽为3224.(2022·湖南省常德市)如图是一个正方体的展开图，将它拼成正方体后，“神”字对面的字是______．25.(2022·广西壮族自治区桂林市)如图，点C是线段AB的中点，若AC=2cm，则AB=______cm．26.(2022·广西壮族自治区百色市)如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC的大小为______°.27.(2022·广西壮族自治区玉林市)已知：α=60°，则α的余角是______°.28.(2022·江苏省连云港市)已知∠A的补角为60°，则∠A=______°.29.(2022·体验省)在同一平面内，已知∠AOB=30°，∠BOC与∠AOB互余，且OE平分∠AOC，则∠AOE=______度．三、解答题30.(2022·山东省)如图，圆柱的高是3cm，当圆柱的底面半径rcm由小到大变化时，圆柱的体积Vcm3也随之发生了变化．(1)在这个变化中，自变量是______，因变量是______；(2)写出体积V与半径r的关系式；(3)当底面半径由1cm到10cm变化时，通过计算说明圆柱的体积增加了多少cm3．31.(2022·山东省)如图所示，已知线段AB，点P是线段AB外一点．按要求画图，保留作图痕迹；(1)作射线PA，作直线PB；(2)延长线段AB至点C，使得AC=2AB．32.(2022·江苏省)已知数轴上两点A、B对应的数分别为−2，4，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．(1)若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；(2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为7？若存在，请直接写出x的值．若不存在，请说明理由？(3)若点P以1个单位/s的速度从点O向右运动，同时点A以5个单位/s的速度向左运动，点B以20个单位/s的速度向右运动，在运动过程中，M、N分别是AP、OB的中的值是否发生变化？请说明理由．点，问：AB−OPMN33.(2022江苏省)阅读材料并回答问题：数学课上，老师给出了如下问题：如图1，∠AOB=90°，OC平分∠AOB.若∠COD=65°，请你补全图形，并求∠BOD的度数．同学一：以下是我的解答过程(部分空缺)解：如图2，∵∠AOB=90°，OC平分∠AOB，∴∠BOC=∠AOC=______ °.∵∠COD=65°，∴∠BOD=∠BOC+∠______ =______ °.同学二：“符合题目要求的图形还有一种情况．”请你完成以下问题：(1)将同学一的解答过程空缺部分补充完整，能正确求出图2中∠BOD的度数．(2)判断同学二的说法是否正确，若不正确，请说明理由；若正确，请你在图1中画出另一种情况对应的图形，并求∠BOD的度数．1.【答案】C【解析】解：方案1：设AD=x米，则AB=(8−2x)米，则菜园面积=x(8−2x)=−2x2+8x=−2(x−2)2+8，当x=2时，此时菜园最大面积为8米 2；方案2：当∠BAC=90°时，菜园最大面积=12×4×4=8米 2；方案3：半圆的半径=8π，∴此时菜园最大面积=π×(8π)22=32π米 2>8米 2；故选：C．2.【答案】B【解析】解：A是圆柱；B是圆锥；C是三棱锥，也叫四面体；D是球体，简称球；故选：B．3.【答案】D【解析】解：由题意知，组合后的几何体是长方体且由6个小正方体构成，∴①④符合要求，故选：D．4.【答案】A【解析】解：根据“点动成线，线动成面，面动成体”，将矩形纸片ABCD绕边CD所在直线旋转一周，所得到的立体图形是圆体．故选：A．5.【答案】D【解析】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上，得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形；又有母线垂直于上下底面，故可得是长方形．故选：D．6.【答案】D【解析】解：如图所示的三棱柱的展开图不可能是，故选：D．7.【答案】B【解析】解：圆锥侧面展开图扇形的半径为：√52+122=13，其弧长为：2×π×5=10π，×10π×13=65π．∴圆锥侧面展开图的面积为：12故选：B．8.【答案】D【解析】解：由展开图的知识可知，四个小正方形绝对不可能展开成田字形，故D选项都不符合题意．故选：D．9.【答案】B【解析】解：设展开图的长方形的长为a，宽为b，12=3b，2b+a=22，解得a=14，b=4，∴长方体的体积为：4×4×14=224，故选：B．10.【答案】B【解析】解：由两个圆和一个长方形可以围成圆柱，故选：B．11.【答案】C【解析】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“话”与“走”是对面，故答案为：C．12.【答案】D【解析】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“振”与“兴”是对面，故选：D．13.【答案】B【解析】解：由图可知，我和美相对，爱和宁相对，大和遂相对，故选：B．14.【答案】A【解析】解：从左边看，可得如下图形：故选：A．15.【答案】B【解析】解：从左边看该几何体它是一个斜边在左侧的三角形，故选：B．16.【答案】B【解析】解：用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是圆，故选：B．17.【答案】A【解析】解：该建筑八楼安装缓降机时，使用此缓降机直接缓降到一楼地面的所需绳长=3×7−(1,6−0.4−0,5)=21.7(公尺)，故选：A．18.【答案】C【解析】解：①过两点有且只有一条直线，正确；②射线比直线少一半，两种图形都没有长度，故错误；③单项式32πx2y的系数是32π，故此选项错误；④绝对值不大于3的整数有7个，正确；⑤若a+b=1，且a≠0，则x=1一定是方程ax+b=1的解，正确．故选：C．19.【答案】B【解析】解：A、若ac=bc(c≠0)，则a=b，故此选项错误；B、两点之间的所有连线中，线段最短，说法正确，故此选项正确；C、相等的角是对顶角，说法错误，应是对顶角相等，故此选项错误；AB，则点C是D、若AC=BC，则点C是线段AB的中点，说法错误，应是若AC=BC=12线段AB的中点，故此选项错误；故选：B．20.【答案】B【解析】解：根据直线的性质补全图2并作出法线OK，如下图所示：根据图形可以看出OB是反射光线，故选：B．21.【答案】A【解析】解：∵∠A=40°，∴∠A的余角为：90°−40°=50°，故选：A．22.【答案】B【解析】解：∵AB//CD，∴∠FEB=180°−∠EFG=128°，∵EG平分∠BEF，∠BEF=64°，∴∠BEG=12∵AB//CD，∴∠EGF=∠BEG=64°．故答案选：B．23.【答案】2ab2【解析】解：根据题意得：3a3b5÷ab÷32ab2=3a2b4÷32ab2=2ab2．答：这个长方体的高是2ab2．故答案为：2ab2．24.【答案】月【解析】解：由图可得，“神”字对面的字是“月”，故答案为：月．25.【答案】4【解析】解：根据中点的定义可得：AB=2AC=2×2=4cm，故答案为：4．26.【答案】135【解析】解：根据题意可得，∠BAC=90°+45°=135°．故答案为：135．27.【答案】30【解析】解：90°−60°=30°，故答案为：30．28.【答案】120【解析】解：∵∠A的补角为60°，∴∠A=180°−60°=120°，故答案为：120．29.【答案】15°或30°【解析】解：∵∠AOB=30°，∠BOC与∠AOB互余，∴∠BOC=60°．如图1所示：∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°，∵OE平分∠AOC，∴∠AOE=45°．如图2所示：∠AOC=∠BOC−∠AOB=30°，∵OE平分∠AOC，∴∠AOE=15°．故答案为：15°或30°．30.【答案】r V【解析】解：(1)在这个变化过程中，自变量是r，因变量是V．故答案为：r，V；31.【答案】解：(1)如图，射线PA，PB即为所求；(2)图形如图所示．【解析】本题考查作图−复杂作图，直线，射线，线段的定义等知识，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，属于中考常考题型．(1)根据射线的定义画出图形即可；(2)根据要求画出图形即可．=1；32.【答案】解：(1)若点P到点A，点B的距离相等，则x=−2+42∴点P对应的数是1；(2)存在满足条件的P点．若点P到点A、点B的距离之和为7，则有|x+2|+|x−4|=7，解得：x=4.5或−2.5；(3)AB−OP的值不发生变化．MN理由：设运动时间为t分钟．则OP=t，OA=5t+2，OB=20t+4，AB=OA+OB=25t+6，AP=OA+OP=6t+2，AM=12AP=1+3t，OM=OA−AM=5t+2−(1+3t)=2t+1，ON=12OB=10t+2，∴MN=OM+ON=12t+3，∴AB−OPMN =25t+6−t12t+3=2，∴在运动过程中，M、N分别是AP、OB的中点，AB−OPMN的值不发生变化．33.【答案】45COD110【解析】解：(1)如图2，∠AOB=90°，OC平分∠AOB．∴∠BOC=∠AOC=45°．∵∠COD=65°．∴∠BOD=∠BOC+∠COD=110°．故答案为：45，COD，110°．(2)正确，∵∠AOB=90°，OC平分∠AOB．∴∠BOC=∠AOC=45°．∵∠COD=65°．∴∠BOD=∠BOC−∠COD=20°．。

初中数学图与图形的变换精讲

图形与图形的变换1．图形的初步认识①掌握画基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图，会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型．②了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断立体模型．③了解几何体与其三视图、展开图(球除外)之间的关系．④掌握比较角的大小，估计一个角的大小，计算角度的和与差，进行度、分、秒简单换算．⑤了解角平分线及其性质，了解补角、余角、对顶角；理解等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等．⑥了解两点之间，线段最短；了解经过两点有一条直线，并且只有一条直线．⑦了解垂线、垂线段等概念，垂线段最短的性质，点到直线距离的意义；了解过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线．⑧掌握用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线；了解线段垂直平分线及其性质．⑨理解平行线的特征和平行线的识别；了解过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线；掌握用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线．⑩理解平行线之间距离的意义；掌握度量两条平行线之间的距离的方法．2．轴对称①认识轴对称．②理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质．③掌握能按要求作简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形．④掌握简单图形之间的轴对称关系，并指出对称轴．⑤掌握基本图形(等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆)的轴对称性质及相关性质．⑥掌握利用轴对称进行图案的设计．3．平移和旋转①认识平移，理解对应点连线平行且相等的性质；掌握按要求作简单平面图形平移后的图形；掌握选用平移进行图案设计．②认识旋转(含中心对称)；理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质．③了解平行四边形、圆是中心对称图形．④掌握按要求作简单平面图形旋转后的图形．⑤掌握图形之间的轴对称、平移、旋转及其组合四种关系形式．⑥掌握运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．⑦在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，培养学生的数学说理的习惯与能力．【课时分布】图形与图形的变换在第一轮复习时大约需要3个课时，下表为内容及课时安排(仅供参考)课时数内容1基本图形的认识1轴对称与轴对称图形1平移与旋转1图形与图形的变换单元测试与评析【知识回顾】1．知识脉络图形的初步认识立体图形平面图形视图平面展开图点和线角相交线平行线图形之间的变换关系轴对称平移旋转旋转对称中心对称2．基础知识(1)两点之间线段最短；连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．(2)视图有正视图、俯视图、侧视图(左视图、右视图)．(3)平行线间的距离处处相等．(4)平移是由移动的方向和距离决定的．(5)平移的特征：①对应线段平行(或共线)且相等；连结对应的线段平行(或共线)且相等；②对应角分别相等；③平移后的图形与原图形全等．(6)图形的旋转由旋转中心、旋转角度和旋转方向决定．(7)旋转的特征：①对应点与旋转中心的距离相等；对应线段相等，对应角相等；②每一点都绕旋转中心旋转了相同的角度；③旋转后的图形与原图形全等．3、能力要求例1选择、填空题(1)如图6-1，小军将一个直角三角板绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成一个几何体，将这个几何体的侧面展开得到的大致图形是·····································Ａ．B．C ．D ．【分析】图形的旋转与展开．【解】D ．(2)如图6-2，已知□ABCD 的对角线BD =4cm ，将□ABCD 绕其对称中心O 旋转180°，则点D 所转过的路径长为（）A ．4πcmB ．3πcmC ．2πcmD ．πcm【分析】图形的旋转与圆弧问题结合．【解】C ．(3)有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O 按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45 ，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②……，则第10次旋转后得到的图形与图①～图④中相同的是（）A ．图①B ．图②C ．图③D ．图④【分析】图形的旋转与操作．【解】B ．(4)如图6-3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，ABCD 图6-3C’图①图②图③图④图6-2ABCDO图6-1(5)按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在边AB 上的点C ′处，则折痕BD的长为__________．【分析】图形的折叠与勾股定理应用．【解】35．(5)如图6-4，在68⨯的网格图（每个小正方形的边长均为1个单位长度）中，⊙A 的半径为2个单位长度，⊙B 的半径为1个单位长度，要使运动的⊙B 与静止的⊙A 内切，应将⊙B 由图示位置向左平移个单位长度．【分析】图形平移、圆的位置关系与发散思维结合【解】4或6(6)如图6-5所示，在折纸活动中，小明制作了一张ABC △纸片，点D E 、分别是边AB 、AC 上，将ABC△沿着DE 折叠压平，A 与'A 重合，若=70A ︒∠，则1+2∠∠=（）A.140︒B.130︒C.110︒D.70︒【分析】图形折叠、三角形内角和与平角的结合【解】A(7)如图6-6-1和6-6-2，四边形ABCD 是边长为1的正方形，四边形EFGH 是边长为2的正方形，点D 与点F 重合，点B ，D （F ），H 在同一条直线上，将正方形ABCD 沿F →H 方向平移至点B 与点H 重合时停止，设点D 、F 之间的距离为x ，正方形ABCD 与正方形EFGH 重叠部分的面积为y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（）图6-4图6-5图图【分析】图形的平移、动点问题及函数图像【解】B【说明】由于概念、性质比较多，复习时可以通过基本练习题的训练，使学生熟练掌握图形与图形变换的基本知识、基本方法和基本技能．重视平移、旋转、折叠、展开过程中学生思维的训练，重视平移、旋转、折叠、展开的操作过程，提高学生的分解、组合图形的能力和动手能力。

中考数学复习第四章图形的初步认识与三角形第17讲等腰三角形与直角三角形

12
【思路点拨】本题考查等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
第一部分教材同步复习
13
1.(2017海南)已知△ABC的三边长分别为4,4,6，在△ABC所在平面
内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样
的直线最多可画__________条． A．3
第一部分教材同步复习
6
(2)在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，则 AB 边上的中线长为
A．1
B．2
(A )
C．1.5
D． 3
(3)已知直角三角形中 30°角所对的直角边为 2 cm，则斜边的长为
(B )
A．2 cm
B．4 cm
C．6 cm
D．8 cm
第一部分教材同步复习
周长：c＝a＋b＋c；
周长、面积
面积：SRt△ABC＝12ab＝12ch(其中
a，b
为两个直角边，c
为斜边，h
为斜边上
的高)
第一部分教材同步复习
知识点四等腰直角三角形的判定与性质
【回顾】
(1)等腰直角三角形的直角边为 2，则斜边的长为
A． 2
B．2 2
C．1
D．2
1 (2)等腰直角三角形的斜边长 2，则它的面积为___2_______.
第一部分教材同步复习
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(1)有一个角为⑤___9_0_°_____的三角形是直角三角形；
判 (2)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2＋b2＝c2，那么定这个三角形是直角三角形；
(3)一条边的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；

河北省中考数学系统复习第四单元图形的初步认识与三角形方法技巧训练(一)与角平分线有关的基本模型

如图5，BO是∠ABC的平分线，过点O作OE⊥AB于点E，过点O作OF⊥BC于点F，则OE＝OF，△BEO≌△BFO.
②角平分线的两端过角的顶点取相等的两条线段构造全等三角形
如图6，BO是∠ABC的平分线，在BA，BC上取线段BE＝BF，则△BEO≌△BFO.
解题通法：遇到角平分线时，我们通常过角平分线上的一点向两边作垂线或在角平分线的两端取相等的线段构造全等三角形．
与角平分线有关的图形与辅助线
1．角平分线＋平行线→等腰三角形
如图4，BD是∠ABC的平分线，点O是BD上一点，OE∥BC交AB于点E，则△BOE是等腰三角形．
解题通法：遇到角平分线及平行线，除了可以得到角度的关系，还可以得到一个等腰三角形．
图4 图5 图6 图7
2．与角平分线有关的辅助线
①过角平分线上的点作角两边的垂线
方法技巧训练(一) 与角平分线有关的基本模型
三角形中角平分线的夹角的计算
类型1 两个内角平分线的夹角
如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CF相交于点G，则∠BGC＝90°＋ ∠A.
图1 图2 图3
解题通法：三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的和．
类型2 一个内角平分线和一个外角平分线的夹角
A．10 cmB．28 cmC．20 cmD．18 cm
3.如图，矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积(B)
A．8 cm2B．10 cm2C．15 cm2D．20 cm2
4．(2018·某某)如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝(B)
A．30° B．35° C．45° D．60°

中考数学复习----《图形初步认识之角》知识点总结与练习题(含答案解析)

中考数学复习----《图形初步认识之角》知识点总结与练习题（含答案解析）知识点总结1.方向角：方向角的表示方法为角度＋距离。

在表达时将北或南放在前，然后加上偏离方向与角度。

如北偏东50°。

2.角的计算：即角的度数的计算。

3.余角和补角：若∠A＋∠B＝90°，则∠A与∠B互余，其中一个角是另一个的余角；若∠A＋∠B＝180°，则∠A与∠B互补，其中一个角是另一个的补角；练习题1、（2022•烟台）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（）A．北偏东70°B．北偏东75°C．南偏西70°D．南偏西20°【分析】根据题意可得∠ABC＝75°，AD∥BE，AB＝AC，再根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠C＝75°，从而求出∠BAC的度数，然后利用平行线的性质可得∠DAB＝∠ABE＝40°，从而求出∠DAC的度数，即可解答．【解答】解：如图：由题意得：∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝40°+35°＝75°，AD∥BE，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝75°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝30°，∵AD∥BE，∴∠DAB＝∠ABE＝40°，∴∠DAC＝∠DAB+∠BAC＝40°+30°＝70°，∴小岛C相对于小岛A的方向是北偏东70°，故选：A．2、（2022•益阳）如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB 的走向是南偏东56°，则这两条公路的夹角∠APB＝°．【分析】根据题意可得∠APC＝34°，∠BPC＝56°，然后进行计算即可解答．【解答】解：如图：由题意得：∠APC＝34°，∠BPC＝56°，∴∠APB＝∠APC+∠BPC＝90°，故答案为：90．3、（2022•百色）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC的大小为°．【分析】根据三角形外角定理进行计算即可得出答案．【解答】解：根据题意可得，∠BAC＝90°+45°＝135°．故答案为：135．4、（2022•湘潭）如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB ＝120°，∠CDB＝20°，则∠AEF＝．【分析】根据平面镜反射的规律得到∠EDO＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠OED，在△ODE中，根据三角形内角和定理求出∠OED的度数，即可得到∠AEF＝∠OED的度数．【解答】解：∵一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，∴∠EDO＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠OED，在△ODE中，∠OED＝180°﹣∠AOB﹣∠EDO＝180°﹣120°﹣20°＝40°，∴∠AEF＝∠OED＝40°．故答案为：40°．5、（2022•甘肃）若∠A＝40°，则∠A的余角的大小是（）A．50°B．60°C．140°D．160°【分析】根据互余两角之和为90°计算即可．【解答】解：∵∠A＝40°，∴∠A的余角为：90°﹣40°＝50°，故选：A．6、（2022•玉林）已知：α＝60°，则α的余角是°．【分析】根据如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角即可得出答案．【解答】解：90°﹣60°＝30°，故答案为：30．7、（2022•连云港）已知∠A的补角为60°，则∠A＝°．【分析】根据补角的定义即可得出答案．【解答】解：∵∠A的补角为60°，∴∠A＝180°﹣60°＝120°，故答案为：120．。

初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解15 图形的初步认识(解析版)

初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解专题15 图形的基本认识【知识要点】考点知识一立体图形⏹立体图形概念：有些几何图形的各部分不都在同一个平面内。

常见的立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。

⏹平面图形概念：有些几何图形的各部分不都在同一个平面内。

常见的平面图形：线段、角、三角形、长方形、圆等【立体图形和平面的区别】1、所含平面数量不同。

平面图形是存在于一个平面上的图形。

立体图形是由一个或者多个平面形成的图形，各部分不在同一平面内，且不同的立体图形所含的平面数量不一定相同。

2、性质不同。

根据“点动成线，线动成面，面动成体”的原理可知，平面图形是由不同的点组成的，而立体图形是由不同的平面图形构成的。

由构成原理可知平面图形是构成立体图形的基础。

3、观察角度不同。

平面图形只能从一个角度观察，而立体图形可从不同的角度观察，如左视图，正视图、俯视图等，且观察结果不同。

4、具有属性不同。

平面图形只有长宽属性，没有高度；而立体图形具有长宽高的属性。

立方体图形平面展开图三视图及展开图三视图：从正面，左面，上面观察立体图形，并画出观察界面。

考察点：（1）会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图。

（2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型。

展开图：正方体展开图（难点）。

正方体展开图口诀（共计11种）：“一四一”“一三二”，“一”在同层可任意,“三个二”成阶梯,“二个三”“日”相连,异层必有“日”，“凹”“田”不能有，掌握此规律，运用定自如。

⏹点、线、面、体几何图形的组成：点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形。

线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。

面：包围着体的是面，分为平面和曲面。

体：几何体也简称体。

组成几何图形元素的关系：点动成线，线动成面，面动成体。

考点知识二直线、射线、线段⏹直线、射线、线段的区别与联系：【射线的表示方法】表示射线时端点一定在左边，而且不能度量。

经过若干点画直线数量：1.经过两点有一条直线，并且只有一条直线（直线公理）。

2021届中考数学总复习：图形的认识初步-精练精析(1)及答案解析

图形的性质——图形认识初步1一．选择题（共9小题）1．下面四个图形每个都是由六个相同的正方形组成，将其折叠后能围成正方体的是（）A．B．C．D．2．如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（）A．五棱柱B．六棱柱C．七棱柱D．八棱柱3．过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其正确展开图正确的为（）A．B．C．D．4．如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形顶点A，B围成的正方体上的距离是（）A．0 B．1 C．D．5．如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“你”字一面相对面上的字是（）A．我B．中C．国D．梦6．一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“预祝中考成功”，把它折成正方体后，与“成”相对的字是（）A．中B．功C．考D．祝7．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（）A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．垂线段最短D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直8．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC等于（）A．3 B．2 C．3或5 D．2或69．把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程．用几何知识解释其道理正确的是（）A．两点确定一条直线 B．垂线段最短C．两点之间线段最短 D．三角形两边之和大于第三边二．填空题（共7小题）10．一个圆柱的底面直径为6cm，高为10cm，则这个圆柱的侧面积是_________ cm2（结果保留π）．11．有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2014次后，骰子朝下一面的点数是_________ ．12．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF= _________ °．13．计算：50°﹣15°30′=_________ ．14．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图的图形．已知∠CEB′=50°，则∠AEB′=_________ °．15．如图，将一幅三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，绕点O任意转动其中一个三角尺，则与∠AOD始终相等的角是_________ ．16．已知∠A=43°，则∠A的补角等于_________ 度．三．解答题（共8小题）17．一个几何体的三视图如图所示，它的俯视图为菱形．请写出该几何体的形状，并根据图中所给的数据求出它的侧面积和体积．18．如图，已知M是线段AB的中点，P是线段MB的中点，如果MP=3cm，求AP的长．19．如图是一个正方体的展开图，标注了字母“a”的面是正方体的正面，如果正方体相对两个面上的代数式的值相等，求x、y的值．20．已知：点A、B、C在同一直线上，BC=AB，D为AC的中点，DC=14cm，求线段AB的长．21．如图，延长线段AB到C，使BC=2AB，若AC=6cm，且AD=DB，BE：EF：FC=1：1：3，求DE、DF的长．22．已知，如图，∠AOB+∠BOC=180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC．求证：OE⊥OF．23．如图所示，OE是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，∠AOB=100°，∠EOD=80°，求∠BOC的度数．24．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．（1）当∠AOB=80°时，∠MON=_________ ；（2）猜想∠MON与∠AOB有怎样的数量关系，写出结论并说明理由．图形的性质——图形认识初步1参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．下面四个图形每个都是由六个相同的正方形组成，将其折叠后能围成正方体的是（）A．B．C．D．考点：展开图折叠成几何体．分析：由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．解答：解：选项A，B，D折叠后都有一行两个面无法折起来，而且缺少一个面，所以不能折成正方体．故选：C．点评：只要有“田”和“凹”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．2．如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（）A．五棱柱B．六棱柱C．七棱柱D．八棱柱考点：认识立体图形．专题：几何图形问题．分析：根据棱锥的特点可得九棱锥侧面有9条棱，底面是九边形，也有9条棱，共9+9=18条棱，然后分析四个选项中的棱柱棱的条数可得答案．解答：解：九棱锥侧面有9条棱，底面是九边形，也有9条棱，共9+9=18条棱，A、五棱柱共15条棱，故A误；B、六棱柱共18条棱，故B正确；C、七棱柱共21条棱，故C错误；D、八棱柱共24条棱，故D错误；故选：B．点评：此题主要考查了认识立体图形，关键是掌握棱柱和棱锥的形状．3．过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其正确展开图正确的为（）A．B．C．D．考点：几何体的展开图；截一个几何体．分析：由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．解答：解：选项A、C、D折叠后都不符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形交于一个顶点，•与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合．故选：B．点评：考查了截一个几何体和几何体的展开图．解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置．4．如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形顶点A，B围成的正方体上的距离是（）A．0 B．1 C．D．考点：展开图折叠成几何体．分析：根据展开图折叠成几何体，可得正方体，A，B是同一棱的两个顶点，可得答案．解答：解；AB是正方体的边长，AB=1，故选：B．点评：本题考查了展开图折叠成几何体，正确将展开图折叠成几何体是解题关键，难度不大．5．如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“你”字一面相对面上的字是（）A．我B．中C．国D．梦考点：专题：正方体相对两个面上的文字．分析：利用正方体及其表面展开图的特点解题．解答：解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“我”与面“中”相对，面“的”与面“国”相对，“你”与面“梦”相对．故选：D．点评：本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．6．一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“预祝中考成功”，把它折成正方体后，与“成”相对的字是（）A．中B．功 C 考D．祝考点：专题：正方体相对两个面上的文字．分析：利用正方体及其表面展开图的特点解题．解答：解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“成”与面“功”相对，面“预”与面“祝”相对，“中”与面“考”相对．故选：B．点评：本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．7．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（）A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．垂线段最短D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直考点：直线的性质：两点确定一条直线．专题：应用题．分析：根据公理“两点确定一条直线”来解答即可．解答：解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是两点确定一条直线．故选：A．点评：此题考查的是直线的性质在实际生活中的运用，此类题目有利于培养学生生活联系实际的能力．8．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC等于（）A． 3 B．2 C．3或5 D．2或6考点：两点间的距离；数轴．专题：压轴题．分析：要求学生分情况讨论A，B，C三点的位置关系，即点C在线段AB内，点C 在线段AB外．解答：解：此题画图时会出现两种情况，即点C在线段AB内，点C在线段AB外，所以要分两种情况计算．点A、B表示的数分别为﹣3、1，AB=4．第一种情况：在AB外，AC=4+2=6；第二种情况：在AB内，AC=4﹣2=2．故选：D．点评：在未画图类问题中，正确画图很重要．本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．9．把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程．用几何知识解释其道理正确的是（）A．两点确定一条直线 B．垂线段最短C．两点之间线段最短 D．三角形两边之和大于第三边考点：线段的性质：两点之间线段最短．专题：应用题．分析：此题为数学知识的应用，由题意把一条弯曲的公路改成直道，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．解答：解：要想缩短两地之间的里程，就尽量是两地在一条直线上，因为两点间线段最短．故选：C．点评：本题考查了线段的性质，牢记线段的性质是解题关键．二．填空题（共7小题）10．一个圆柱的底面直径为6cm，高为10cm，则这个圆柱的侧面积是60πcm2（结果保留π）．考点：几何体的表面积．分析：直接利用圆柱体侧面积公式求出即可．解答：解：∵一个圆柱的底面直径为6cm，高为10cm，∴这个圆柱的侧面积是：πd×10=60π（cm2）．故答案为：60π．点评：此题主要考查了圆柱体侧面积求法，正确根据圆柱体侧面积公式是解题关键．11．有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2014次后，骰子朝下一面的点数是 3 ．考点：专题：正方体相对两个面上的文字；规律型：图形的变化类．专题：规律型．分析：观察图象知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，从而确定答案．解答：解：观察图象知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，∵2014÷4=503…2，∴滚动第2014次后与第二次相同，∴朝下的点数为3，故答案为：3．点评：本题考查了正方体相对两个面上的文字及图形的变化类问题，解题的关键是发现规律．12．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF= 45 °．考点：角的计算；翻折变换（折叠问题）．分析：根据四边形ABCD是矩形，得出∠ABE=∠EBD=∠ABD，∠DBF=∠FBC=∠DBC，再根据∠ABE+∠EBD+∠DBF+∠FBC=∠ABC=90°，得出∠EBD+∠DBF=45°，从而求出答案．解答：解：∵四边形ABCD是矩形，根据折叠可得∠ABE=∠EBD=∠ABD，∠DBF=∠FBC=∠DBC，∵∠ABE+∠EBD+∠DBF+∠FBC=∠ABC=90°，∴∠EBD+∠DBF=45°，即∠EBF=45°，故答案为：45°．点评：此题考查了角的计算和翻折变换，解题的关键是找准图形翻折后，哪些角是相等的，再进行计算，是一道基础题．13．计算：50°﹣15°30′=34°30′．考点：度分秒的换算．专题：计算题．分析：根据度化成分乘以60，可得度分的表示方法，根据同单位的相减，可得答案．解答：解：原式=49°60′﹣15°30′=34°30′．故答案为：34°30′．点评：此类题是进行度、分、秒的加法计算，相对比较简单，注意以60为进制即可．14．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图的图形．已知∠CEB′=50°，则∠AEB′=65 °．考点：角的计算；翻折变换（折叠问题）．分析：根据折叠前后对应部分相等得∠AEB′=∠AEB，再由已知求解．解答：解：∵∠AEB′是△AEB沿AE折叠而得，∴∠AEB′=∠AEB．又∵∠BEC=180°，即∠AEB′+∠AEB+∠CEB′=180°，又∵∠CEB′=50°，∴∠AEB′==65°，故答案为：65．点评：本题考查了角的计算以及折叠问题．图形的折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称，所以折叠前后的两个图形是全等三角形，重合的部分就是对应量．15．如图，将一幅三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，绕点O任意转动其中一个三角尺，则与∠AOD始终相等的角是∠BOC．考点：余角和补角．分析：因为是一幅三角尺，所以∠AOB=∠COD=90°，再利用∠AOD=∠AOB﹣∠BOD=90°﹣∠BOD，∠BOC=∠COD﹣∠BOD=90°﹣∠BOD，同角的余角相等，可知与∠AOD 始终相等的角是∠BOC．解答：解：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOD=∠AOB﹣∠BOD=90°﹣∠BOD，∠BOC=∠COD﹣∠BOD=90°﹣∠BOD，∴∠AOD=∠BOC．故答案为：∠BOC．点评：本题主要考查了余角和补角．用到同角的余角相等．16．已知∠A=43°，则∠A的补角等于137 度．考点：余角和补角．分析：根据补角的和等于180°计算即可．解答：解：∵∠A=43°，∴它的补角=180°﹣43°=137°．故答案为：137．点评：本题考查了补角的知识，熟记互为补角的两个角的和等于180°是解题的关键．三．解答题（共8小题）17．一个几何体的三视图如图所示，它的俯视图为菱形．请写出该几何体的形状，并根据图中所给的数据求出它的侧面积和体积．考点：几何体的表面积；由三视图判断几何体．专题：几何综合题．分析：由已知三视图可以确定为四棱柱，首先得到棱柱底面菱形的对角线长，则求出菱形的边长，从而求出它的侧面积和体积．解答：解：该几何体的形状是直四棱柱，由三视图知，棱柱底面菱形的对角线长分别为4cm，3cm．∴菱形的边长为cm，棱柱的侧面积=×4×8=80（cm2）．棱柱的体积=×3×4×8=48（cm3）．点评：此题考查的是几何体的表面积及由三视图判断几何体，关键是先判断几何体的形状，然后求其侧面积和体积．18．如图，已知M是线段AB的中点，P是线段MB的中点，如果MP=3cm，求AP的长．考点：比较线段的长短．分析：点M的线段AB中点，AM=MB，点P是线段MB的中点，所以MP=PB，由此可得：AM=2MP，所以AP=3MP．解答：解：∵P是MB中点∴MB=2MP=6cm又AM=MB=6cm∴AP=AM+MP=6+3=9cm．点评：本题考点：线段中点的性质，线段的中点将线段分成两个相等的线段，根据题意和图形得出各线段之间的关系，AP=AM+MP得出，然后结合已知条件求出AM和MP的长度，从而求出线段AP的长度．19如图是一个正方体的展开图，标注了字母“a”的面是正方体的正面，如果正方体相对两个面上的代数式的值相等，求x、y的值．考点：专题：正方体相对两个面上的文字；二元一次方程的解．分析：由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．3与a是相对，5﹣x与y+1相对，y与2x﹣5相对．解答：解：根据题意，得（4分）解方程组，得x=3，y=1．（6分）点评：注意运用空间想象能力，找出正方体的每个面相对的面20．已知：点A、B、C在同一直线上，BC=AB，D为AC的中点，DC=14cm，求线段AB的长．考点：两点间的距离．分析：先根据D为AC的中点，DC=14cm求出AC的长，再根据BC=AB得出AB=AC，由此可得出结论．解答：解：∵D为AC的中点，DC=14cm，∴AC=2CD=28cm．∵BC=AB，∴AB=AC=×28=cm．点评：本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．21．如图，延长线段AB到C，使BC=2AB，若AC=6cm，且AD=DB，BE：EF：FC=1：1：3，求DE、DF的长．考点：两点间的距离．分析：根据BC=2AB，AC=6cm，得出AB，BC的长，再由AD=DB，BE：EF：FC=1：1：3，得出BD，DE，EF的长，即可得出答案．解答：解：∵BC=2AB，AC=6cm，∴AB=2cm，BC=4cm，∵AD=DB，∴AD=BD=1cm，∵BE：EF：FC=1：1：3，∴BE=EF=BC=×4=cm，∴DE=BD+BE=1+=cm，DF=BD+BE+EF=1++=cm．点评：本题考查了两点之间的距离，注意各线段之间的联系是解题的关键．22．已知，如图，∠AOB+∠BOC=180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC．求证：OE⊥OF．考点：角平分线的定义．专题：证明题．分析：利用∠AOB+∠BOC=180°，由OE、OF分别是∠AOB和∠BOC的平分线，求出∠EOB+∠BOF=90°，即可得出结论．解答：解：∵∠AOB+∠BOC=180°，∵OE、OF分别是∠AOB和∠BOC的平分线，∴∠AOE=∠EOB，∠BOF=∠FOC，∵∠AOE+∠EOB+∠BOF+∠FOC=180°，∴∠EOB+∠BOF=90°，∴OE⊥OE．点评：本题主要考查了角平分线及垂线，解题的关键是利用角平分线求解．23．如图所示，OE是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，∠AOB=100°，∠EOD=80°，求∠BOC的度数．考点：角平分线的定义．分析：根据角平分线的性质，可得∠BOE的大小，根据角的和差，可得∠BOD的大小，根据角平分线的性质，可得答案．解答：解：∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=100°，∴∠BOE=∠AOB=50°．∵∠BOE+∠BOD=∠EOD=80°，∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=80°﹣50°=30°．∵OD是∠BOC的平分线，∴∠BOC=2∠BOD=60°．点评：本题考查了角平分线的定义，利用了角平分线的性质，角的和差．24．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．（1）当∠AOB=80°时，∠MON=40°；（2）猜想∠MON与∠AOB有怎样的数量关系，写出结论并说明理由．考点：角平分线的定义．分析：（1）设∠CON=∠BON=x°，∠MOC=y°，则∠MOC=∠MOB+∠BOC=2x°+y°，由∴∠AOB=∠AOM+∠MOB=2x°+y°+y=2（x+y）°=80，可得∠MON=∠MOB+∠NOB，即可求解．（2）由∠AOB=∠AOM+∠MOB=∠MOC+∠MOB=∠MOB+2∠BON+∠MOB=2（∠BON+∠MOB）=2∠MON 可得结论．解答：解：（1）∵ON平分∠BOC，∴∠CON=∠BON，设∠CON=∠BON=x°，∠MOB=y°，则∠MOC=∠MOB+∠BOC=2x°+y°，又∵OM平分∠AOC∴∠AOM=∠COM=2x°+y°，∴∠AOB=∠AOM+∠MOB=2x°+y°+y=2（x+y）°∵∠AOB=80°∴2（x+y）°=80°，∴x°+y°=40°∴∠MON=∠MOB+∠NOB=x°+y°=40°故答案为：40°．（2）2∠MON=∠AOB．理由如下：∠AOB=∠AOM+∠MOB=∠MOC+∠MOB=∠MOB+2∠BON+∠MOB=2（∠BON+∠MOB）=2∠MON．点评：本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键是利用了角平分线的定义和图中各角之间的和差关系，难度中等．。

7.1图形认识初步(分类精讲)·数学中考分类精粹

何体是 ( )．
A．三棱柱
B．三棱锥
C．四棱柱
D．四棱锥
A．２ C．４
(１)
(第６题 ) B．３ D．５
(２)
７．(２０１２��黑龙江鸡西 )小亮为今年参加中考的好友小杰制作了一个正方体礼品盒 (如图),六个面上各有一个字,连起来就是 “预祝中考成功 ”,其中 “预 ”的对面是 “中 ”, “成”的对面是 “功 ”,则它的平面展开图可 (第７题) 能是 ( )．
(第１１题 )
A．南偏西６０°
B．南偏西３０°
C．北偏东６０°
D．北偏东３０°
１２．(２０１２�� 山东济宁)如图,B 处在 A 处的南偏西４５°方向,
(第２０题 )
２１．(２０１２��广东广州)已知∠ABC＝３０°,BD 是 ∠ABC 的平分线 ,则 ∠ABD＝度．
C 处在A处的南偏东１５°方向,C 处在B 处的北偏东８０° 方向,则∠ACB 等于( )．
８．(２０１２��四川广安)如图是一个正方体的表面展开图,则原正方
体中与“建”字所在的面相对的面上标的字是( )．
A．美
B．丽
C．广
D．安
(第１２题 )
第七章相交线与平行线
§７．１图形认识初步
１．认识点、线、面、体 ;能识别线段、角等基本图形．２．会比较、估计角的大小,能进行度、分、秒及角度

中考数学命题研究第一编教材知识梳理篇第四章图形的初步认识与三角形、四边形第六节矩形、菱形、正方形精试

第六节矩形、菱形、正方形,贵阳五年中考命题规律)年份题型题号考察点考察内容分值总分2021解答18正方形的性质以正方形为背景考察全等三角形的判定，直角三角形的判定10解答22菱形的性质在直角坐标系中，以菱形为背景考察反比例函数、一次函数的有关知识10202021 解答18菱形菱形的性质及判定10102021解答18菱形菱形的性质及判定10102021解答20菱形利用菱形的性质：(1)1010定．命题预测预计2021年中考，特殊的平行四边形内容仍为重点考察内容，且以解答题形式出现，平时训练要加大对性质及判定的训练力度.,贵阳五年中考真题及模拟)菱形的性质及判定(4次)1．(2021贵阳22题10分)如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB 在x轴上，反比例函数y＝x k(x＞0)的图象经过菱形对角线的交点A，且及边BC交于点F，点A的坐标为(4，2)．(1)求反比例函数的表达式；(2)求点F的坐标．解：(1)∵反比例函数y＝x k的图象经过点A，A点的坐标为(4，2)，∴2＝4k，∴k ＝8.∴反比例函数的表达式为y＝x8；(2)过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN ⊥x轴于点N，由题意可知，CN＝2AM＝4，ON＝2OM＝8，∴点C的坐标为C(8，4)，设OB＝x，那么BC＝x，BN＝8－x，在Rt△CNB中，x2－(8－x)2＝42，解得x＝5，∴点B的坐标为B(5，0)，设直线BC的函数表达式为y＝k1x＋b，直线BC过点B(5，0)，C(8，4)，∴8k1＋b＝4，5k1＋b＝0，解得：，20∴直线BC的表达式为yx2＝－1，∵点F在第一象限，∴点F ＝34x－320，根据题意得方程组，8解此方程组得：，4y2＝－8，的坐标为F(6，34)．2．(2021 贵阳18题10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB 的中点，且AE∥CD，CE∥AB.(1)证明：四边形ADCE是菱形；(2)假设∠B＝60°，BC＝6，求菱形ADCE的高．(计算结果保存根号)解：(1)∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝BD＝AD，∴平行四边形ADCE是菱形；(2)如图，过点D作DF⊥CE，垂足为点F，那么DF即为菱形ADCE的高，∵∠B＝60°，CD＝BD，∴△BCD是等边三角形．∵CE∥AB，∴∠BCE＝120°，∴∠DCE＝60°，又∵CD＝BC＝6，∴在Rt△CDF中，DF＝3.3．(2021贵阳18题10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF.(1)求证：四边形ADCF是菱形；(2)假设BC＝8，AC＝6，求四边形ABCF的周长．解：(1)∵将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE.∴AE＝CE，DE＝FE，∴四边形ADCF为平行四边形．∵点D，E是AB及AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∵∠ACB＝90°即BC⊥AC，∴DF⊥AC，∴平行四边形ADCF为菱形；(2)∵在Rt△ABC中，BC＝8，AC＝6，∴AB＝10.∵点D是AB 边上的中点，∴AD＝5.∵四边形ADCF为菱形，∴AF＝FC＝AD＝5，∴C四边形＝8＋10＋5＋5＝28.ABCF4．(2021贵阳20题10分)：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.(1)求证：AE＝EC；(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．解：(1)连接AC，∵四边形ABCD为菱形，∴BD垂直平分AC，∴AE＝EC；(2)点F是线段BC的中点，理由如下：易得△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AE＝EC，∠CEF＝60°，∴∠EAC＝21∠BAC＝30°，∴AF是△ABC 的角平分线，∵AF交BC于点F，∴AF是△ABC边BC上的中线，∴点F是线段BC的中点．正方形的性质(2次)5．(2021贵阳模拟卷②15题)如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y＝x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(8，4)，阴影三角形局部的面积从左向右依次记为S1，S2，S3，……，S n，那么S n的值为__24n－5__．(用含n的代数式表示，n为正整数) 6．(2021贵阳21题10分)如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC与CD上．(1)求证：CE＝CF；(2)假设等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长．解：(1)易证△ABE≌△ADF，∴BE＝DF，又BC＝DC，∴BC－BE＝DC－DF，∴CE＝CF；(2)连接AC，交EF于G点，易得AC⊥EF，EC＝，设BE＝x，那么AB＝x＋，在Rt△ABE中，(x＋)2＋x2＝4，∴x＝26，∴AB＝26＋＝26，∴正方形的周长为2＋2.7．(2021 贵阳适应性考试)如图，E，F是菱形ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF.(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)假设∠DAB＝60°，AD＝6，AE＝DE，求菱形BEDF的周长．解：(1)∵菱形ABCD，∴AB＝AD，对角线AC平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，又∵AE＝AE，∴△ABE≌△ADE，∴BE＝ED.连接BD交AC于点O，那么OD＝OB，OA＝OC，∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，∴OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形，∴▱BEDF为菱形；(2)在菱形ABCD中，连接BD交于AC于O点，∴DB⊥AC，又∵∠DAB＝60°，∴∠DAE＝30°，∠ADB＝60°，∵AD＝6，∴在Rt△ADO中，DO＝21AD＝3，∵AE＝ED，∴∠DAE＝∠ADE，∠ADE＝∠EDO＝30°，在Rt△DEO中，可求得DE＝2，∴菱形BEDF 的周长为8.,中考考点清单)矩形的性质及判定1．定义：把有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．如图(1)．2．性质文字描述字母表示[参考图(1)](1)对边平行且相等AD綊BC，AB綊CD(2)四个内角都是直角__∠DAB__＝∠ABC＝∠BCD ＝∠CDA＝90°(3)两条对角线相等且互相平分AC＝__BD__，OA＝OC＝OB＝OD(4)矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形3.判定文字描述字母表示[参考图(1)](1)有一个角是直角的平行四边形是矩形假设四边形ABCD是平行四边形，且∠BAD＝90°，那么四边形ABCD是矩形(2)有三个角是直角的四边形是矩形假设∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，那么四边形ABCD是矩形(3)对角线相等的平行四边形是矩形假设AC＝__BD__，且四边形ABCD是平行四边形，那么四边形ABCD是矩形菱形的性质及判定(高频考点)4．定义：把有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．如图(2) 5．性质文字描述字母表示[参考图(2)](1)菱形的四条边都相等AB＝__BC__＝CD＝DA(2)对角相等∠DAB＝∠DCB，∠ADC＝__∠ABC__(3)两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角__AC__⊥BD，∠DAC＝∠CAB ＝∠DCA＝∠ACB，∠ADB＝∠BDC＝∠ABD＝∠DBC(4)菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形6．判定文字描述字母表示[参考图(2)](1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形假设四边形ABCD是平行四边形，且AD＝AB，那么四边形ABCD是菱形(2)四条边相等的四边形是菱形假设AB＝BC＝CD＝DA，那么四边形ABCD是菱形(3)两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形假设AC⊥BD，且四边形ABCD 是平行四边形，那么四边形ABCD是菱形正方形的性质及判定7．定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．如图(3)8．性质文字描述字母表示[参考图(3)](1)四条边都相等即AB＝BC＝CD＝DA(2)四个角都是90°即∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝∠BAD＝90°(3)对角线互相垂直平分且相等即AC⊥__BD__，OA＝OC＝OD＝OB(4)对角线平分一组对角∠DAC＝∠CAB＝∠DCA＝∠ACB＝∠ADB＝∠BDC＝∠ABD＝∠DBC＝45°(5)正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形9.判定文字描述字母表示[参考图(3)](1)一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形假设四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∠ADC＝90°，那么四边形ABCD是正方形(2)有一个角是直角的__菱形__是正方形假设∠ABC＝90°且四边形ABCD是菱形，那么四边形ABCD是正方形(3)有一组邻边相等的矩形是正方形假设AB＝BC，且四边形ABCD 是矩形，那么四边形ABCD是正方形(4)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形假设四边形ABCD中，AC⊥BD，AC平分BD，BD平分AC，AC＝BD，那么四边形ABCD是正方形,中考重难点突破)矩形的有关计算【例1】(2021天津中考)如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′，DC相交于点E，那么以下结论一定正确的选项是( ) A．∠DAB′＝∠CAB′B．∠ACD＝∠B′CDC．AD＝AED．AE＝CE【解析】由折叠的性质得：∠CAB′＝∠∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB＝∠CAB′，∴AE＝CE.【学生解答】D1．(2021海南中考)如图，矩形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且a ∥b，∠1＝60°，那么∠2的度数为( C )A．30°B．45°C．60°D．75°,(第1题图)) ,(第2题图))2．(2021南充中考)如图，对折矩形纸片ABCD，使AB及DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展开纸片后∠DAG的大小为( C )A．30°B．45°C．60°D．75°3．(2021巴中中考)如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，那么∠E＝__15__°.菱形的性质及判定【例2】(2021南充中考)如图，菱形ABCD的周长是8 cm，AB的长是________cm.【解析】菱形的四边形相等，故AB＝8÷4＝2(cm)．【学生解答】24．(2021无锡中考)以下性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是( C )A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．邻边互相垂直5．(2021雅安中考)如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC＝24 cm，那么四边形ABCD的周长为( A )A．52 cm B．40 cmC．39 cm D．26 cm6．(2021遵义中考)在▱ABCD中，，使▱ABCD成为菱形，以下给出的条件不正确的选项是( C )A．AB＝AD B．AC⊥BDC．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC7．(2021苏州中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.(1)证明：四边形ACDE是平行四边形；(2)AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴AE∥CD，∠AOB ＝90°.又∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°，∴∠AOB＝∠EDB，∴DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形；(2)∵∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8，∴△ADE的周长为AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18.正方形的性质及判定【例3】(2021广东中考)如图，正方形ABCD的面积为1，那么以相邻两边中点的连线EF为边的正方形EFGH的周长为( )A. B．2C.＋1 D．2＋1【解析】由题意可知，正方形ABCD的边长为1，那么CE＝CF＝21.由勾股定理，得EF＝＝）21＝22，故正方形EFGH的周长为2.【学生解答】B8．(2021益阳中考)以下判断错误的选项是( D )A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．四个内角都相等的四边形是矩形C．四条边都相等的四边形是菱形D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形9．(2021陕西中考)如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，假设M，N是AD上的两点，连接MO，NO，并分别延长交边BC于M′，N′两点，那么图中全等三角形共有( C )A．2对B．3对C．4对D．5对,(第9题图)) ,(第10题图))10．(2021西宁中考)如图，正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC 边上的点，且∠EDF＝45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.假设AE＝1，那么FM的长为__25__．。

(沪科版)中考数学总复习课件【第15讲】图形的初步认识

第15讲┃图形的初步认识
3.三线八角
名称关键点回顾
直线a，b被直线l所截，构成八个角(如图)：
图形
同位角内错角
∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角 ∠2和∠8，∠3和∠5是内错角
同旁内角
∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角
第15讲┃图形的初步认识
经典示例
例2 [2014·河南] 如图 15 －8，直线 AB ， CD 相交于点 O，
第15讲
图形的初步认识
┃考点梳理与跟踪练习 ┃ 核心考点一相关知识 1．直线、线段的性质一条直线，并且只有______ 一条直线； (1)经过两点有________ 两直线相交，有且只有________ 个交点．一线段最短． (2)两点之间的所有连线中，________ 2．线段的中点线段、角的相关概念和性质
第15讲┃图形的初步认识
9． [2014·厦门] 已知直线 AB ， CB， l 在同一平面内，若 AB⊥l，垂足为 B，CB⊥l，垂足也为 B，则符合题意的图形可以是( C )
图 15 －10
第15讲┃图形的初步认识
10． [2014·贺州] 如图 15－11，OA⊥OB，若∠1＝55 °，则∠2 的度数是( A )
第15讲┃图形的初步认识
核心练习
11． [2014·合肥四模] 如图 15－13，直线 a∥b，a， b 被 AB ， AC 所截，∠1＝70 °，∠2＝40 °，则∠BAC＝ ( D )
A．40° B．50° C．60° D．70°
图 15 －13
第15讲┃图形的初步认识
12． [2013·桐城区二模] 如图 15－14，把一块含有 30 °角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠1＝ 20°，那么∠2 的度数为( D )

中考数学【图形知识初步】考点专项复习教案(含例题、习题、答案)

第四章图形认识初步本章小结小结1 本章内容概览本章的主要内容是多姿多彩的图形，直线、射线、线段以及角等有关的概念及其性质．其课标要求是：(1)理解线段、直线和射线的区别与联系，会比较线段的大小，并进行计算．(2)理解角的概念，会比较角的大小，会进行角的度数的计算．(3)了解互余、互补的概念，理解它们的性质．小结2 本章重点、难点：本章的重点是线段和角的概念及其相关的性质；难点是对平面图形的概念及其相关性质的理解．小结3 本章学法点津1．要通过直观感知，具体操作、确认等实践活动，区分图形，探索出图形的特征和性质，培养空间想象能力．2．要注意多观察、多分析实物，勤动手操作、勤动脑联想，同时又要注意对图形语言的理解和符号语言的运用．3．要淡化概念识记、不能机械地套用公式模式，达到“在做中学，在学中做”．4．要注重“简单说理”推理能力的培养，养成言之有据的良好习惯．知识网络结构图重点题型总结及应用题型一计算几何图形的数量1．数直线条数例1 已知n(n≥2)个点P1，P2，P3，…，P n在同一平面上，且其中没有任何三点在同一直线上．设S n表示过这n个点中的任意2个点所作的所有直线的条数，显然，S2=1，S3＝3，S4＝6，S6＝10，…，由此推断，S n＝.n n答案：(1)2点拨经过第一个点可以引出(n－1)条直线，经过第二个点可以新引出(n －2)条直线，经过第三个点可以新引出(n－3)条直线，…，所以n个点一共可以引出S n ＝ (n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋ (1)(1)2n n -条直线．2．数线段条数例2 如图4—4—1所示，C 、D 为线段AB 上的任意两点，那么图中共有多少条线段?；)．6 握手次数 1 2＋1=33＋2＋1=6 4＋3＋2＋1=10 … 请你根据上面图表归纳出参加人数与握手次数之间关系的一般结论．分析：本题研究的是握手次数问题，但可以将此问题转化成研究平面上的点构成线段的条数问题．这里把每个人看作一个点，根据图表中的信息，通过探究推理可得到问题的答案．解：若有6人参加，则共握手15次．结论：若有n(n≥2，且n为整数)人参加，则共握手(n－1)＋(n－点拨在截一个几何体之前应充分想象截面可能的形状，然后实际操作，在比较想象结果与实际结果的差异的过程中，可以丰富我们的几何直觉，积累数学活动经验，同时培养我们的空间观察能力．题型二两角互补、互余定义及其性质的应用例5 一个角的补角是这个角的4倍，求这个角的度数．解：设这个角是x°，则它的补角是(180－x)°．由题意，得180－x＝4 x，解得x＝36．所以这个角是36°．点拨本题主要考查补角定义的应用，数学中利用方程、转化思想，可将“形”的问题转化为“数”的问题研究，从而简捷解决问题．例6 如果一个角的补角是120°，那么这个角的余角是( ) A．30°B．60°C．90°D．150°解析：本题是对余角、补角的综合考查，先根据这个角的补角是120°，求出这个角是60°，再求出它的余角是30°．答案：A 例7 根据补角的定义和余角的定义可知，10°的角的补角是170°，余角是80°；15°的角的补角是165°，余角是75°；32°的角的补角是148°，余角是58°．…. 观察以上各组数据，你能得出怎样的结论?请用任意角α代替题中的10°、15°、32°的角来说明你的结论．解：结论为：一个角的补角比这个角的余角大90°．说明：设任意角是α(0＜α＜90°)，α的补角是180°－α，α的余角是90°－α，则(180°－α)－(90°－α)＝90°.题型三角的有关运算例8 如图4—4—3所示，AB和CD都是直线，∠AOE＝90°，∠3°=∠FOD，∠1＝27°20′，求∠2、∠3的度数．解：因为∠AOE＝90°，所以∠2＝90°－∠1＝90°－27°20′＝62°40′．(2)32°44′24″等于多少度?(3)计算：133°22′43″÷3．解：(1)因为0．12°＝60′×0．12=7．2′，0.2′=60″×0．2=12″，所以54．12°=54°7′12″．(2)因为24″=(160)′×24＝0．4′，44．4′=(160)°×44．4=0．74°，所以32°44′24″=32.74°．(3)133°22′43″÷3＝(132°＋82′)÷3＋43″÷3=44°＋82′÷3＋43″÷3＝44°＋(81′＋1′)÷3＋43″÷3=44°＋27′＋1′÷3＋43″÷3=44°＋27′＋103″÷3≈44°＋27′＋3″=44°27′3″.方法总结角的有关运算是指角的单位换算和角的加、减、乘、除运算．角度制的单位是60进制的，和计量时间的时、分、秒一样．加减时，要将度、分、秒分别相加、相减，分、秒逢60要进位，而相减不够时要借1作60；度、分、秒形式乘一个数时，要将度、分、秒分别乘这个数，分、秒逢60进位；度、分、秒形式除以一个数时，也是将度、分、秒分别除以这个数，不过要将高位的余数转化成低位，与原位上的数相加后再除以这个数．题型四钟表的时针与分针夹角问题例1115：25时钟面上时针和分针所构成的角是度．解析：起始时刻定为15：00(下午3点整时，时针和分针构成的角是90°)，终止时刻为15：25，从图4—4—5中可以看出分针从12转到5用了25分钟，转了6°×25＝150°，时针转了0．5°×25＝12．5°，所以15：25时钟面上时针和分针所构成的角为150°－90°－ 12．5°＝47．5°．答案：47．5点拨解决此类问题时要选择恰当的起始时刻，注意时针和分针同时在运动，并牢记时针每分钟转＝o ．53060︒=0.5，分针每分钟转36060︒＝6°．题型五图形的转化例12 下列图形中不是正方体的平面展开图的是( )解析：通过折叠验证四个选项，可得正确答案．答案：C 点拨立体图形的平面展开图是沿着立体图形的一些棱将它剪开，把立体图形展开成一个平面图形．一个正方体的平面展开图中，在同一直线上相邻的三个正方形中，首尾两个正方形是正方体中相对的两个面．例13 如图4—4—6所示，将标号为A 、B 、C 、D 的正方形沿图中虚线剪开后，得到标号为P 、Q 、M 、N 的四组图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪组图形”的对应关系填空：A 与对应；B 与对应；C 与对应；D 与对应．解析：按照剪开的形状，找出对应的图形．答案：M，P，Q，N题型六方位角例14如图4—4—7所示，我海军的两艘军舰(分别在A、B两处)同时发现了一艘敌舰，其中A舰发现它在北偏东15°的方向上，B舰发现它在东北方向上，试画出这艘敌舰的位置(用字母C表示)．解：如图4—4—8所示，分别以点A、点B为中心建立方位图，表示东北方向的射线BE与表示北偏东15°方向的射线AD的交点C 即为这艘敌舰的位置．点拨利用角度来描述方位，以正北、正南的方向为基准，先确定是北还是南，然后确定东、西方向，最后确定偏东(或西)的角度，注意东北方向是北偏东45°．思想方法归纳1．分类讨论思想分类讨论，就是对问题所给对象的条件、结论、图形等不能进行统一研究时，就需要将研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．注意分类时要做到按同一标准且不重不漏．例1 已知线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，求线段AC的长．解：本题分两种情况：如图4—4—9所示，当点C在线段AB的延长线上时，AC＝AB＋BC＝8＋3＝11(crn)；如图4—4—10所示，当点C在线段AB上时，AC=AB－BC＝8—3＝5(cm)．所以线段AC的长为11 cm或5cm.例2 经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是( )A．1或3 B．3 C．2 D．1解析：这道题要分两种情况考虑：一是这三点都在一条直线上时，就只能画出一条直线；二是这三点不在同一条直线上时，此时共可以画出三条直线．答案：A2．数形结合思想数形结合思想就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的，线段、直线、角的重要性质也都是通过数形结合的思想体现的．例3 如图4—4—11所示放置的三角板，把三角板较长的直角边从水平状态开始，在平面上沿着直线BC滚动一周，求B点转动的角度．解：三角板转动的路线如图4—4—12所示．由图可知第一次转动90°，第二次转动120°，第三次没动，所以B点转动了210°．点拨解决本题的关键是明确角的变化情况，因此，可根据题意画出从起点到终点转动一圈的示意图，然后根据图形就很容易确定出B点转动的角度了．3．转化思想解决一个问题，往往是由未知向已知转化，由陌生向熟悉转化，由复杂向简单转化，转化思想贯穿整个数学学习的始终．例4 将下列选项中的平面图形绕直线l旋转一周，可以得到如图4—4—13所示立体图形的是( )解析：分析立体图形可知，直线l应为初始旋转的直角梯形垂直于两底的腰所在直线．答案：B点拨本题主要考查了同学们识别图形的能力．对于类似的图形识别问题我们要能从所给立体图形入手，分析形成它的基本图形，把复杂的立体图形转化为平面图形去认识、解决．中考热点聚焦考点1 线段考点突破：线段问题在中考题中一般难度不大，解题时要结合图形，认真分析，问题便会迎刃而解．例1 （2011广东佛山，12，3分）已知线段AB=6，若C为AB 中点，则AC=3．考点两点间的距离分析由题意可知，线段AB=6，C为AB中点，所以，AC=BC，即AC=3；解答解：如图，线段AB=6，C为AB中点，∴AC=BC，∴AC=3．故答案为：3．点评本题考查了两点间的距离，牢记两点间的中点到两端点的距离相等．（2011广西崇左，5，2分）在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是．考点：线段的性质：两点之间线段最短．分析：根据线段的性质：两点之间线段最短解答．解答：解：在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是：两点之间线段最短．故答案为：两点之间线段最短．点评：本题考查了两点之间线段最短的性质，是基础题，比较简单．如图4—4—14所示，点A、B、C是直线l上的三个点，图中共有线段的条数是( )A．1 B．2 C．3解析：图中有线段AB、BC、AC．答案：C考点2 余角和补角考点突破：此类题在中考中的考查为基础性题目，一般为选择题或填空题，只要牢记余角和补角的定义，便能准确求解．例2 （2011清远，6，3分）已知∠α＝35°，则∠α的余角是（）A.35°B.55°C.65°D.145°考点：余角和补角.专题：计算题.分析：根据互为余角的两个角的和为90度作答．解答：解：根据定义∠α的余角度数是90°﹣35°＝55°．故选．点评：本题考查角互余的概念：和为90度的两个角互为余角．属于基础题，较简单．（2011•南通）已知∠α=20°，则∠α的余角等于70°．考点：余角和补角。

2022年中考数学一轮复习培优训练：《图形认识初步》

2022年中考数学一轮复习培优训练：《图形认识初步》1．已知点O是直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF是∠AOE的平分线．（1）当点C，E，F在直线AB的同侧（如图1所示）时．∠AOC＝38°时，求∠BOE和∠COF的度数，∠BOE和∠COF有什么数量关系？（2）当点C与点E，F在直线AB的两旁（如图2所示）时，∠AOC＝38°，（1）中∠BOE 和∠COF的数量关系的结论是否成立？请给出你的结论并说明理由；2．如图，O是直线AB上的一点，∠AOC＝45°，OE是∠BOC内部的一条射线，且OF平分∠AOE．（1）如图1，若∠COF＝35°，求∠EOB的度数；（2）如图2，若∠EOB＝40°，求∠COF的度数；（3）如图3，∠COF与∠EOB有怎样的数量关系？请说明理由．3．如图，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．（1）若∠DCE＝35°，∠ACB＝；若∠ACB＝140°，则∠DCE＝；（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；（3）若保持三角尺BCE不动，三角尺ACD的CD边与CB边重合，然后将三角尺ACD绕点C按逆时针方向任意转动一个角度∠BCD．设∠BCD＝α（0°＜α＜90°）①∠ACB能否是∠DCE的4倍？若能求出α的值；若不能说明理由．②三角尺ACD转动中，∠BCD每秒转动3°，当∠DCE＝21°时，转动了多少秒？4．点O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，射线OE平分∠BOC．（1）如图1，如果∠AOC＝50°，依题意补全图形，写出求∠DO E度数的思路（不需要写出完整的推理过程）；（2）将OD绕点O顺时针旋转一定的角度得到图2，使得OC在直线AB的上方，若∠AOC ＝α，其他条件不变，依题意补全图形，并求∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；（3）将OD绕点O继续顺时针旋转一周，回到图1的位置．在旋转过程中，你发现∠AOC 与∠DOE（0°≤∠AOC≤180°，0°≤∠DOE≤180°）之间有怎样的数量关系？请直接写出你的发现．5．点O为直线AB上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得∠COD＝90°．（1）如图1，过点O作射线OE，当OE恰好为∠AOC的角平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠BOD，则∠EOF的度数是（度）．（2）如图2，过点O作射线OE，当OE恰好为∠AOD的角平分线时，求出∠BOD与∠COE 的数量关系；（3）过点O作射线OE，当OC恰好为∠AOE的角平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠COD，若∠EOC＝3∠EOF，直接写出∠AOE的度数．6．已知∠AOB＝100°，作射线OC，再分别∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE．（1）如图①，当∠BOC＝60°时，则∠DOE＝度；（2）如图②，若射线OC在∠AOB内部绕O点旋转，当∠BOC＝α时，则∠DOE＝；（3）若∠AOB＝m，当射线OC在∠AOB外绕O点旋转时，画出图形，判断∠DOE的大小否发生变化若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数．（用含m的代数式表示）7．已知：∠AOB＝140°，OC， OM，ON是∠AOB内的射线．（1）如图1所示，若OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，求∠MON的度数：（2）如图2所示，OD也是∠AOB内的射线，∠COD＝15°，ON平分∠AOD，OM平分∠BOC．当∠COD绕点O在∠AOB内旋转时，∠MON的位置也会变化但大小保持不变，请求出∠MON 的大小；（3）在（2）的条件下，以∠AOC＝20°为起始位置（如图3），当∠COD在∠AOB内绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转t秒，若∠AON：∠BOM＝19：12，求t的值．8．已知O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，OE平分∠BOC．（1）如图①，若∠AOC＝36°，求∠DOE的度数；（2）在图①中，若∠AOC＝α，直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；（3）将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图②的位置探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．9．已知∠AOB＝160°，∠COE＝80°，OF平分∠AOE．（1）如图1，若∠COF＝14°，求∠BOE的度数．（2）当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，探究∠BOE与∠COF的数量关系，并说明理由．（3）在（2）的条件下，如图3，在∠BOE的内部是否存在一条射线OD，使得∠BOD＝90°，且∠DOF＝3∠DOE？若存在，请求出∠COF的度数；若不存在，请说明理由．10．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角的直角顶点放在点O处，即∠MON，反向延长射线ON，得到射线OD．（1）当∠MON的位置如图（1）所示时，使∠NOB＝20°，若∠BOC＝120°，求∠COD的度数．（2）当∠MON的位置如图（2）所示时，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：射线ON的反向延长线OD是否平分∠AOC？请说明理由；注意：不能用问题（1）中的条件（3）当∠MON的位置如图（3）所示时，射线ON在∠AOC的内部，若∠BOC＝120°．试探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，不需要证明，直接写出结论．11．如图①，已知∠AOB＝80°，OC是∠AOB内的一条射线，OD，OE分别平分∠BOC和∠COA．（1）求∠DOE的度数；（2）当射线OC绕点O旋转到OB的左侧时如图②（或旋转到OA的右侧时如图③），OD，OE仍是∠BOC和∠COA的平分线，此时∠DOE的大小是否和（1）中的答案相同？若相同，请选取一种情况写出你的求解过程；若不相同，请说明理由．12．已知A，O， B三点在同一条直线上，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．（1）若∠AOC＝90°，如图1，则∠DOE＝°；（2）若∠AOC＝50°，如图2，求∠DOE的度数；（3）由上面的计算，你认为∠DOE＝°；（4）若∠AOC＝α，（0°＜α＜180°）如图3，求∠DOE的度数．13．根据阅读材料，回答问题．材料：如图所示，有公共端点（O）的两条射线组成的图形叫做角（∠AOB）．如果一条射线（OC）把一个角（∠AOB）分成两个相等的角（∠AOC和∠B OC），这条射线（OC）叫做这个角的平分线．这时，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB（或2∠AOC＝2∠BOC＝∠AOB）．问题：平面内一定点A在直线MN的上方，点O为直线MN上一动点，作射线OA，OP，OA′．当点O在直线MN上运动时，始终保持∠MOP＝90°，∠AOP＝∠A′OP，将射线OA绕点O 顺时针旋转60°得到射线OB．（1）如图1，当点O运动到使点A在射线OP的左侧时，若OB平分∠A′OP，求∠AOP 的度数；（2）当点O运动到使点A在射线OP的左侧，∠AOM＝3∠A′OB时，求∠AOP的值；（3）当点O运动到某一时刻时，∠A′OB＝150°，直接写出此时∠BOP的度数．14．如图，已知∠AOC＝∠BOD＝120°，∠BOC＝∠AOD．（1）求∠AOD的度数；（2）若射线OB绕点O以每秒旋转20°的速度顺时针旋转，同时射线OC以每秒旋转15°的速度逆时针旋转，设旋转的时间为t秒（0＜t＜6），试求当∠BOC＝20°时t的值；（3）若∠AOB绕点O以每秒旋转5°的速度逆时针旋转，同时∠COD绕点O以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，设旋转的时间为t秒（0＜t＜18），OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，在旋转的过程中，∠MON的度数是否发生改变？若不变，求出其值：若改变，说明理由．15．已知∠AOD＝160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当OB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON 的大小；（2）如图2，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．当∠BOC绕点O在∠AOD 内旋转时，求∠MON的大小；（3）在（2）的条件下，若∠AOB＝10°，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2度/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM＝∠DON．求t的值．参考答案1．（1）解：∵∠COE＝90°，∠AOC＝38°，∴∠BOE＝180°﹣90°﹣38°＝52°，∠AOE＝90°+38°＝128°，…（2分）∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝64°，…（4分）∴∠COF＝64°﹣38°＝26°；…（6分）∴∠BOE＝2∠COF…（7分）（2）成立；∠BOE＝2∠COF，理由如下：∵∠COE＝90°，∠AOC＝38°，∴∠AOE＝90°﹣38°＝52°，…（8分）∴∠BOE＝180°﹣52°＝128°，…（10分）∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠AOE＝26°，…（12分）．∴∠COF＝38°+26°＝64°；∴∠BOE＝2∠COF…（13分）2．（1）∵∠AOC＝45°，∠COF＝35°∴∠AOF＝∠AOC+∠COF＝80°∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠AOF＝160°∵∠AOB是平角∴∠AOB＝180°∴∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝20°答：∠EOB的度数是20°．（ 2）∠AOE＝180°﹣40°＝140°∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠AOE＝70°∴∠COF＝∠AOF﹣∠AOC＝70°﹣45°＝25°答：∠COF的度数是25°．（ 3）∠EOB+2∠COF＝90°，理由如下：设∠COF＝α，∠BOE＝β∵∠AOB是平角，∴∠AOE＝180°﹣β∵OF平分∠AOE，∴2∠AOF＝∠AOE＝180°﹣β∴2α＝2∠COF＝2（∠AOF﹣∠AOC）＝2∠AOF﹣2∠AOC＝180°﹣β﹣2×45°＝90°﹣β∴2α+β＝90°即∠EOB+2∠COF＝90°3．解：（1）∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∠DCE＝35°，∴∠ACB＝180°﹣35°＝145°．∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∠ACB＝140°，∴∠DCE＝180°﹣140°＝40°．故答案为：145°，40°；（2）∠ACB+∠DCE＝180°或互补，理由：∵∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD＝180．∵∠ACE+∠ECD+∠DCB＝∠ACB，∴∠ACB+∠DCE＝180°，即∠ACB与∠DCE互补．（3）①当∠ACB是∠DCE的4倍，∴设∠ACB＝4x，∠DCE＝x，∵∠ACB+∠DCE＝180°，∴4x+x＝180°解得：x＝36°，∴α＝90°﹣36°＝54°；②设当∠DCE＝21°时，转动了t秒，∵∠BCD+∠DCE＝90°，∴3t+21＝90，t＝23°，答：当∠DCE＝21°时，转动了23秒．4．解：（1）补全图形如图1所示；解题思路如下：①由∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝50°，得∠BOC＝130°；②由OE平分∠BOC，得∠COE＝65°；③由OD⊥OC，得∠COD＝90°；④由∠COD＝90°，∠COE＝65°，得∠DOE＝25°；（2）补全图形如图2所示；∵∠AOC＝α，∴∠BOC＝180°﹣α，∵射线OE平分∠BOC，∴∠COE＝BOC＝90°﹣，∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝90°﹣∠COE＝；（3）如图1，∠DOE＝∠AOC，如图2∠DOE＝180°∠AOC，故∠AOC与∠DOE之间的数量关系为∠DOE＝∠AOC或∠DOE＝180°∠AOC．5．解：（1）∵∠COD＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝90°，∵OE为∠AOC的角平分线，OF平分∠BOD，∴∠EOC＝∠AOC，∠DOF＝∠BOD，∴∠EOF＝∠COD+∠EOC+∠DOF＝90°+（∠AOC+∠BOD）＝90°+×90°＝135°，故答案为：135；（2）∵∠COD＝90°，∴∠COE+∠EOD＝90°，∴∠EOD＝90°﹣∠COE，∵OE为∠AOD的角平分线，∴∠AOD＝2∠EOD＝2（90°﹣∠COE）＝180°﹣2∠COE，∵∠BOD+∠AOD＝180°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣180°+2∠COE＝2∠COE；（3）①如图3所示时，∵∠COD＝90°，OF平分∠COD，∴∠COF＝∠EOC+∠EOF＝45°，∵∠EOC＝3∠EOF，∴4∠EOF＝45°，∴∠EOF＝11.25°，∴∠EOC＝33.75°，∵OC为∠AOE的角平分线，∴∠AOE＝2∠EOC＝67.5°；②如图4所示时，∵∠COD＝90°，OF平分∠COD，∴∠COF＝45°，∵∠EOC＝3∠EOF，∴∠COF＝2∠EOF＝45°，∴∠EOF＝22.5°，∴∠COE＝45°+22.5°＝67.5°，∵OC为∠AOE的角平分线，∴∠AOE＝2∠COE＝135°；综上所述，∠AOE的度数为67.5°或135°．6．解：（1）∵∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝40°∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COE＝∠COB＝30°，∠COD＝∠AOC＝20°，∴∠DOE＝50°；故答案是：50；（2）∵当∠BOC＝α时，理由：∠DOE＝∠DOC+∠COE＝∠COB+∠AOC＝（∠COB+∠AOC）＝∠AOB＝50°；故答案是：50°；（3）∠DOE的大小发生变化，∠DOE＝m或180°﹣m．如图①，∠DOE＝m；理由：∠DOE＝∠DOC﹣∠COE＝∠AOC﹣∠COB＝（∠AOC﹣∠COB）＝∠AOB＝m；如图②，∠DOE＝180°﹣m．理由：∠DOE＝∠DOC+∠COE＝∠AOC+∠COB＝（∠AOC+∠COB）＝（360°﹣∠AOB）＝180°﹣m．7．解：（1）∵ON平分∠AOC，OM平分∠BOC，∴∠CON＝∠AOC，∠COM＝∠BOC∠MON＝∠CON+∠COM＝（∠AOC+∠BOC）＝∠AOB又∠AOB＝140°∴∠MON＝70°答：∠MON的度数为70°．（2）∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，∴∠COM＝∠BOC，∠DON＝∠AOD即∠MON＝∠COM+∠DON﹣∠COD＝∠BOC+∠AOD﹣∠COD＝（∠BOC+∠AOD）﹣∠COD．＝（∠BOC+∠AOC+∠COD）﹣∠COD＝（∠AOB+∠COD）﹣∠COD＝（140°+15°）﹣15°＝62.5°答：∠MON的度数为62.5°．（3）∠AON＝（20°+3t+15°），∠BOM＝（140°﹣20°﹣3t）又∠AON：∠BOM＝19：12，12（35°+3t）＝19（120°﹣3t）得t＝20答：t的值为20．8．解：（1）由题意得：∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣36°＝144°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝∠BOC＝×144°＝72°，∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣72°＝18°；（2）由题意得：∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣α，∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝∠BOC＝×（180°﹣α）＝90°﹣α，∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣（90°﹣α）＝α；（3）∠AOC＝2∠DOE，理由如下：∵∠COD＝90°，∴∠COE＝90°﹣∠DOE，∵OE平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠COE＝2（90°﹣∠DOE），∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣2（90°﹣∠DOE）＝2∠DOE．9．解：（1）∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠EOF，∵∠AOE＝∠AOB﹣∠BOE，∴2∠EOF＝∠AOB﹣∠BOE，∴2（∠COE﹣∠COF）＝∠AOB﹣∠BOE，∵∠AOB＝160°，∠COE＝80°，∴160°﹣2∠COF＝160°﹣∠BOE，∴∠BOE＝2∠COF，若∠COF＝14°时，∠BOE＝28°；（2）∠BOE＝2∠COF，理由如下：∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠EOF，∵∠AOE＝∠AOB﹣∠BOE，∴2∠EOF＝∠AOB﹣∠BOE，∴2（∠COE﹣∠COF）＝∠AOB﹣∠BOE，∵∠AOB＝160°，∠COE＝80°，∴160°﹣2∠COF＝160°﹣∠BOE，∴∠BOE＝2∠COF，（3）存在，理由如下：设∠AOF＝∠EOF＝2x，∵∠DOF＝3∠DOE，∴∠DOE＝x，∵∠BOD＝90°，∴2x+2x+x+90°＝160°，解得：x＝14°，∴∠BOE＝90°+x＝104°，∴∠COF＝×104°＝52°，∴在∠BOE的内部存在一条射线OD，使得∠BOD＝90°，且∠DOF＝3∠DOE．10．解：（1）∵∠AOB＝180°，∠NOB＝20°，∠BOC＝120°，∴∠COD＝∠AOB﹣∠NOB﹣∠BOC＝180°﹣20°﹣120°＝40°，∴∠COD为40°；（2）OD平分∠AOC，理由如下：∵∠MON＝90°，∴∠DOM＝180°﹣∠MON＝180°﹣90°＝90°，∴∠DOC+∠MOC＝∠MOB+∠BON＝90°，∵OM平分∠BOC，∴∠MOC＝∠MOB，∴∠DOC＝∠BON，∵∠BON+∠AON＝∠AON+∠AOD＝180°∴∠BON＝∠AOD，又∵∠BON＝∠COD，∴∠COD＝∠AOD，∴OD平分∠AOC；（3）∵∠BOC＝120°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝60°，∵∠MON＝90°，∴∠MON﹣∠AOC＝30°，∴（∠MON﹣∠AON）﹣（∠AOC﹣∠AON）＝30°，即∠AOM﹣∠NOC＝30°．11．解：（1）∵OD，OE分别是∠BOC和∠COA的平分线，∴∠COD＝∠BOC，∠COE＝∠COA，∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝∠BOC+∠AOC＝∠AOB＝40°；（2）∠DOE的大小与（1）中答案相同，仍为40°，选图②说明，理由如下：∠DOE＝∠COE﹣∠COD＝∠AOC﹣∠BOC＝（∠AOC﹣∠BOC）＝∠AOB＝40°．12．解：（1）∵A，O，B三点在同一条直线上，∴∠AOB＝180°，∵∠AOC＝90°，∴∠BOC＝90°，∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，∴∠DOC＝∠AOC＝45°，∠COE＝∠BOC＝45°，∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝45°+45°＝90°，故答案为：90；（2）∵∠AOC＝50°，∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°，同（1）得：∠DOC＝∠AOC＝25°，∠COE＝∠BOC＝65°，∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝25°+65°＝90°；（3）由上面的计算，∠DOE＝90°，故答案为：90；（4）∵∠AOB＝180，∴∠BOC＝180°﹣α，同（1）得：∠DOC＝∠AOC＝α，∠COE＝∠BOC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝α+90°﹣α＝90°．13．解：（1）设∠AOP的度数为x，由题意可知：∠A′OP＝x，∠POB＝60°﹣x因为OB平分∠A′OP，所以2∠POB＝∠A′OP，所以2（60°﹣x）＝x解得，x＝40．答：∠AOP的度数为40°．（2）①如图2，当射线OB在∠A′OP内部时，设∠AOP的度数为y，由题意可知：∠A′OP＝y，∠POB＝60°﹣y，∵∠MOP＝90°，∴∠AOM＝90°﹣y，∵∠AOM＝3∠A′OB，∴∠A′OB＝（90°﹣y），∵∠A′OB+∠POB＝∠A′OP，∴（90°﹣y）+（60°﹣y）＝y，解得，y＝；②如图3，当射线OB在∠A′OP外部时，设∠AOP的度数为y，由题意可知：∠A′OP＝y，∠POB＝60°﹣y，∵∠MOP＝90°，∴∠AOM＝90°﹣y，∵∠AOM＝3∠A′OB，∴∠A′OB＝（90°﹣y），∵∠AOP+∠A′OP+∠A′OB＝60°，∴y+y+（90°﹣y）＝60°，解得，y＝18°．答；∠AOP的值为或18°．（3）如图4，当∠A′OB＝150°时，由图可得：∠A′OA＝∠A′OB﹣∠AOB＝150°﹣60°＝90°，又∵∠AOP＝∠A′OP，∴∠AOP＝45°，∴∠BOP＝60°+45°＝105°；如图5，当∠A′OB＝150°时，由图可得：∠A′OA＝360°﹣150°﹣60°＝150°，又∵∠AOP＝∠A′OP，∴∠AOP＝75°，∴∠BOP＝60°+75°＝135°；当射线OP在MN下面时，∠BOP＝75°或45°．综上所述：∠BOP的度数为105°或135°或75°或45°．14．解：如图所示：（1）设∠AOD＝5x°，∵∠BOC＝∠AOD∴∠BOC＝•5x°＝3x°又∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠BOD＝∠DOC+∠BOC，∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠DOC，∴∠AOC+∠BOD＝∠AOD+∠BOC，又∵∠AOC＝∠BOD＝120°，∴5x+3x＝240解得：x＝30°∴∠AOD＝150°；（2）∵∠AOD＝150°，∠BOC＝∠AOD，∴∠BOC＝90°，①若线段OB、OC重合前相差20°，则有：20t+15t+20＝90，解得：t＝2，②若线段OB、OC重合后相差20°，则有：20t+15t﹣90＝20解得：，又∵0＜t＜6，∴t＝2或t＝；（3）∠MON的度数不会发生改变，∠MON＝30°，理由如下：∵旋转t秒后，∠AOD＝150°﹣5t°，∠AOC＝120°﹣5t°，∠BOD＝120°﹣5t°∵OM、ON分别平分∠AOC、∠BOD∴∠AOM＝∠AOC＝，∠DON＝＝∴∠MON＝∠AOD﹣∠AOM﹣∠DON＝150°﹣5t°﹣﹣＝30°．15．解：（1）因为∠AOD＝160°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，所以∠MOB＝∠AOB，∠BON＝∠BOD，即∠MON＝∠MOB+∠BON＝∠AOB∠BOD＝（∠AOB+∠BOD）＝∠AOD＝80°，答：∠MON的度数为80°；（2）因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，所以∠MOC＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，①射线OC在OB左侧时，如图：∠MON＝∠MOC+∠BON﹣∠BOC＝∠AOC∠BOD﹣∠BOC＝（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC＝（∠AOD+∠BOC）﹣∠BOC＝×180°﹣20°＝70°；②射线OC在OB右侧时，如图：∠MON＝∠MOC+∠BON+∠BOC＝∠AOC∠BOD+∠BOC＝（∠AOC+∠BOD）+∠BOC＝（∠AOD﹣∠BOC）+∠BOC＝×140°+20°＝90°；答：∠MON的度数为70°或90°．（3）∵射线OB从OA逆时针以2°每秒的速度旋转t秒，∠COB＝20°，∴根据（2）中的第一种情况，得∠AOC＝∠AOB+∠COB＝2t°+10°+20°＝2t°+30°．∵射线OM平分∠AOC，∴∠AOM＝∠AOC＝t°+15°．∵∠BOD＝∠AOD﹣∠BOA，∠AOD＝160°，∴∠BOD＝150°﹣2t°．∵射线ON平分∠BOD，∴∠DON＝∠BOD＝75°﹣t°．又∵∠AOM：∠DON＝2：3，∴（t+15）：（75﹣t）＝2：3，解得t＝21．根据（2）中的第二种情况，观察图形可知：这种情况不可能存在∠AOB＝10°．答：t的值为21秒．。

山西省太原市中考数学知识点聚焦第十三章图形的初步认识

专题五空间图形与几何初步⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩立体图形点动成线，线动成面，面动成体两点确定一条直线直线、射线、线段，基本事实两点之间，线段最短定义及表示方法角的大小及运算互余：同角或等角的余角相等余角和补角互补：同角或等角的补角相等邻补角与对顶角：对顶角相等图经过一点有且办有一条直线与已知直线垂直形垂线的性质几相交线垂直连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短的何初点到直线的距离：直线外一点到这平图步面形认图角识形()⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎩⎧⎨⎩⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭条直线的垂线段的长度三线八角同位角、内错角、同旁内角定义：在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线定义及基本事实基本事实：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行两直线平行，同位角相等性质两直线平行，内错角相等平行线性质的应用，平行线之间的距离两直线平行，同旁内角互补平行线同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行判定同旁内角互补，两直线⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎪⎩⎩平行平行于同一条直线的两条直线平行第28讲几何图形知识能力解读知能解读（一）几何图形长方体、圆柱、球、长（正）方形、圆、线段、点等，以及小学学习过的三角形、四边形等，都是从形形色色的物体外形中得出的，它们都是几何图形.几何图形是数学研究的主要对象之一. 点拨（1）几何图形只关注物体的形状、大小和位置.（2）几何图形都是从实际物体中抽象出来的，与实物有一定的差距，只是形式而已. 知能解读（二）立体图形（1）定义：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形.（2）常见的立体图形：()⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎩棱柱：三棱柱，四棱柱长方体、正方体都是四棱柱柱体圆柱棱锥：三棱锥、四棱锥立体图形锥体圆锥球知能解读（三）平面图形有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们都是平面图形.点拨虽然立体图形和平面图形是两类不同的几何图形，但它们是互相联系的.立体图形中某些部分是平面图形，例如长方体的侧面是长方形.知能解读（四）立体图形的展开图有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形.这样的平面图形称为相应立体图形的展开图.（1）不是所有的立体图形都可以展开，如球体就不能展开.（2）对于同一个立体图形，按不同的方式展开，可以得到不同的平面图形.知能解读（五）点、线、面、体（1）体：几何体液简称体.面：包围着体的是面.面有平的面和曲的面两种.线：面和面相交的地方形成线.线有直线和曲线之分.点：线与线相交的地方是点.（2）点动成线，线动成面，面动成体.点拨几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素.方法技巧归纳方法技巧（一）根据立体图形的概念识别立体图形要准确地识别立体图形，首先应对照基本图形把握其根本特征.点拨首先区分是柱体还是椎体，然后再看底面是圆还是多边形.方法技巧（二）立体图形展开的识别由立体图形的展开图可以识别出立体图形的形状，具体方法是：展开图中有圆，一般考虑圆柱或圆锥；展开图中有三角形，一般考虑圆柱或圆锥；展开图中有三角形，一般考虑棱柱或棱锥；展开图中只有长方形或正方形，一般考虑棱柱.点拨（1）对简单立体图形的展开图进行识记；（2）对柱体和椎体的展开图的特征进行比较. 方法技巧（三）由平面图形旋转成立图形的识别识别由平面图形旋转成的立体图形时，首先要弄清楚旋转轴.同一个平面图形，旋转轴不同，得到的立体图形也不同，可以实际操作一下，然后想象图形. 方法技巧（四）整体表面展开图的应用正方体的表面展开图有多种，正方体中相对面的确定等知识是常考内容，正方体表面展开图，正方体表面展开图有以下几个特点：（1）正方体的表面展开图中，一条直线上的小正方形不会超过四个；（2）正方体的表面展开图中不会有“田”与“凹”字型；（3）相间的两个小正方形（中间隔着一个小正方形）是正方体的两个对面“ ”型两端处的小正方形是正方体的对面；（4）中间隔着两个小正方形或拐角型的三个面的正方体的邻面.正方体的表面展开图共有11种，如图所示.⑩⑨⑧⑦⑥⑤④③②①点拨在正方体的展开图中，相邻的两个正方形是正方体中相邻的两个，当正方体相对的两个面在展开图中的同行或同列时，中间隔一个正方形.易混易错辨析易混易错辨析1.对正方体表面展开图掌握不好致错.2.棱柱与棱锥.区别：棱柱属于柱体，它的上下两个底面是两个相同的多边形；而凌锥属于椎体，它只有一个底面，且是多边形.3.圆柱和棱柱区别：圆柱和棱柱都属于柱体，但圆柱的地面是圆，侧面是曲面；而棱柱的底面是多边形，侧面是平面.4.圆锥和棱锥区别：圆锥和棱锥都属于椎体，但圆锥的底面是圆，侧面是曲面；而棱锥的地面是多边形，侧面是平面.易混易错（一）对例题图形的分类没有理清而致错易混易错（二）对几何体的表面展开图只注意到面的个数，忽视能否还原为原来的几何体致错中考试题研究中考命题规律本将内容在中考中主要考查立体图形的识别及其平面展开图，通常以选择题和填空题的形式出现，有利于考查空间想象能力和动手操作能力.中考试题（一）识别几何体的表面展开图中考试题（二）识别正方体相对面上的文字⑪中考试题（三）识别正方体的表面展开图第29讲直线、射线与线段知识能力解读知能解读（1）基本事实：经过两点有一条直线，并且知能有一条直线.简单说成：两点确定一条直线.（2）直线的表示方法：①可以用一个小写资本来表示，如图所示的直线可记作“直线l ”；②也可以用这条直线上的两个点来表示，如图所示的直线也可以记作“直线AB ”或“直线BA ”，其中,A B 为直线上的任意两个点.l（3）点与直线的关系：点A 在直线a 上，也可以说成直线a 经过点A （如图所示）；点B 不在直线b 上，也可以说成直线b 不过经点B ，或点B 在直线b 外（如图所示）.bOba（4）交点：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点.如直线a 与直线b 相交于点O ，如图所示. 点拨（1）直线无粗细、没有端点、向两方无限延伸，不能度量. （2）直线基本事实中的“有且只有”有两层含义，“有”说明存在一条直线，即确定有一条；“只有”说明这条直线是“唯一”的.（3）两条不重合的直线最多有一个交点n 条直线相交最多有()12n n -个交点.（4）平面上的两条直线，有相交和不相交两种位置关系. 知能解读（二）射线与线段射线和线段都是直线的一部分.类似于直线的表示，我们可以用图所示的方式来表示线段AB （或线段BA ），其中A 、点B 是线段的端点.用图所示的方式来表示射线OA ，其中点O 是射线的端点.线段OA 或射线l线段AB 或线段alA O AB a点拨（1）线段有长短（可以度量），但线段没有方向，表示线段的两个大写字母没有顺序. （2）表示射线时，一定要把表示端点的字母写在前面.（3）端点不同，所表示的射线不同；端点相同，延伸方向不同，所表示的射线也不同；只有端点相同，并且延伸方向也相同时，才是同一条射线. 知能解读（三）直线、射线、线段的区别与联系两点的所有连线中，线段最短.简单说成：两点之间，线段最短. 知能解读（五）两个重要概念（1）两点的距离：连接两点间的线段的长度，叫作这两点的距离. 注意：距离线段的长度，不能仅说成线段，线段是一个几何图形.（2）线段的中点：如图所示，点M 把线段AB 分成相等的两条线段AM 与BM ，点M 叫作线段AB 的中点.ABM点拨常用以下式子表示点M 是线段AB 的中点：①AM BM =；②1122AM AB BM AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭或；③()22AB AM AB BM ==或.知能解读（六）线段的画法及线段长短的比较（1）线段的画线：①用刻度尺测量后再画图；②借助直尺和圆规作图. 例：如图所示，作一条线段，使其等于已知线段a .a作法：①先做一条射线AB ；②用圆规量取已知线段a ；③在射线AB 上以A 为圆心截取AC a =，则线段AC 为所求线段，如图所示.这是第一个基本作图，应熟练掌握. （2）线段长短的比较.①叠合法：先把两条线段放在同一条直线上，让其一端重合，再看另一端的位置，从而确定两条线段的长短，这是从“形”的方面来进行比较.②度量法：利用刻度尺，量出，每条线段的长度，再根据度量的结果确定两条线段的长短，这是从“数”的方面来进行比较，线段的长短关系和它们的长度大小关系是一致的.方法技巧归纳方法技巧（一）直线、射线、线段的识别及表示方法识别时应根据它们各自的特征，“无始无终”的是直线，“有始有终”的是线段，“有始无终”的是射线.表示时注意射线端点必须在前. 注意数射线的关键是找准端点，表示时端点要写在前面. 方法技巧（二）关于直线和线段基本事实的应用关于直线的基本事实：两点确定的一条直线；关于直线的基本事实；两点之间，线段最短.这两条基本事实在实际生活中有广泛的应用，应注意识别.点拨本题是两个基本事实在生活中的应用，要注意学会将生活中的问题转化成数学问题，利用数学原理来解释.方法技巧（三）规律探究技巧在识别平面内直线分平面部分数，直线的交点个数，探究线段、射线或直线条数时，一般先从较简单的情形入手，通过发现其中的规律，然后加以总结.点拨（1）事实上，直线之间的交点个数越多，直线将平面分成部分就越多.（2）从简单情形入手，探索、发现、总结规律是常用的数学方法.方法技巧（四）线段的有关计算技巧求线段长度时，如果直接求解有困难，可采取设未知数建立方程的方法进行.点拨列方程进行机损是常用的方法，应注意掌握.点拨依据线段中点的定义和所分的两条线段相等，再根据线段和、差、倍、分关系求线段AD 的长.在解答此类问题时，既要结合图形分析已知线段和所求线段的位置关系，又要体会比较简捷的解题方法.易混易错辨析易混易错知识1.直线、射线、线段的表示法.区别：直线、射线和线段都可以用两个大写字母表示，但是它们的要求是不一样的，表示直线和线段的两个大写字母没有先后顺序，但表示射线的两个大写字母中端字母必须在前面.2.线段外一点和直线外一点易混淆.区别：线段外一点有两种情况，一是点在线段所在的直线上但在线段的两个端点的外部；二是点在线段所在直线的外部.而直线外一点只有一种情况，就是点在直线外.易混易错（一）不能把握直线、射线、线段的根本特征而致误易混易错（二）点的位置不确定，造成漏解易混易错（三）出现数重或漏数错误中考试题研究中考命题规律本讲内容在中考中主要考查两点确定一条直线及两点之间，线段最短的性质，线段的和、差级线段的中点等概念，对两点之间的距离也常涉及，常以填空题、选择题的形式出现，有时也计算题或探究题的形式出现.中考试题（一）运用之前的基本事实中考试题（二）运用线段的基本事实中考试题（三）利用线段的中点计算第30 讲角知识能力解读知识解读（一）角的概念及表示方法1角的概念（1）有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.（2）角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.（3）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面其余部分称为角的外部.注意角的大小只与开口大小有关，而与角的边的长短无关，因为角的两边是射线.2角的表示方法角可用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有四种表示方法：（1）用数字表示单独的一个角，如图所示的1,2,34,5,6,7∠∠∠∠∠∠∠等；EDA B7123456（2）用小写的希腊字母表示单独的一个角，如图所示的,,,αβθγ∠∠∠∠等；（3）用一个大写英文字母表示一个独立的角（在一个顶点处只有一个角），如图1-30-1所示的,B C ∠∠等；γβαθO（4）用三个大写英文字母能表示出任一个角，如图所示的,,,,,BAD BAE BAC CAE CAD ABC ∠∠∠∠∠∠等，注意顶点字母必须写在中间. 知能解读（二）角的比较（1）度量法：如图所示，用量角器量得40,30COD AOB ∠=︒∠=︒，所以COD AOB ∠<∠.D CO AB（2）叠合法：如图所示，把一个角放到另一个角上，使它们的顶点重合，器重的一边也重合，并使这两个角的另一边都在重合的同侧，其大小关系就明显了，由图可知，COD AOB ∠<∠.CB (D )OA注意（1）角可以度量，可以比较大小，也可以参与运算.（2）用叠合法比较角的大小注意三点；①角的顶点重合；②角的一边重合；③另一边落在重合边的同侧. :知能解读（三）角的画法方法1：画一个角等于已知角，可用量角器先测定已知角的度数，再用量角器画与已知角相等的角.方法2：用圆规和直尺画一个角等于已知角. 例如：如图所示，已知AOB ∠.求作：A O B '''∠，使A O B AOB '''∠=∠. 作法：（1）以O 为圆心，以任意长为半径作弧，交,OA OB 于点MN ;（2）作射线O A ''，以O '为圆心，OM 长为半径作弧M C '，交O A ''于点M '；（3）以M '为圆心，MN 长为半径作弧，交弧M C ''于点N '；（4）过N '点作射线O B ''，则A O B '''∠即为所求. 注意方法2用圆规、直尺画角是基本作图，也在中考命题范围之内. 知能解读（四）角的和、差、倍、分（1）角的和、差如图①所示，如图将1∠与2∠的顶点重合，再将1∠的一边与2∠的一边重合，并使两个角的另一边分别在重合边的两侧，它们不重合的两边组成AOB ∠，这时就说AOB ∠是1∠与2∠的和，记作12AOB ∠=∠+∠.此时1∠是AOB ∠与2∠的差，记作12AOB ∠=∠-∠；2∠是AOB ∠与1∠的差，记作21AOB ∠=∠-∠.12ABO①（2）角的倍、分如图②所示，用上述方法将两个1∠拼在一起得到AOB ∠，这时就说AOB ∠是1∠的2倍，记作21AOB ∠=∠或1∠是AOB ∠的12，记作112AOB ∠=∠.类似地，将三个1∠拼在一起得到AOB ∠时，131,13AOB AOB ∠=∠∠=∠.11②知能解读（五）角平分线一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线.常用以下三类数学式子表示角的平分线：如图所示，①12∠=∠；②111222AOB AOB ⎛⎫∠=∠∠=∠ ⎪⎝⎭或；③()2122AOB AOB ∠=∠∠=∠或.O21C B A注意角平分线是一条射线，而不是一条直线或线段.角平分线把一个角分成两个相等的角. 知能解读（六）角的度量单位及换算我们常用量角器度量角，度、分、秒是常用的角的度量单位.把一个周角360等分，每一份就是1度的角，把1度的角60等分，每一份就是1分的角，把1分的角60等分，每一份就是1秒的角.1度记作1︒，1分记作1'，1秒记作1''.160,160''''︒==，1360,1180=︒=︒周角平角.即：1160,160⎛⎫''︒==︒⎪⎝⎭；1160,160'⎛⎫'''''== ⎪⎝⎭.1180,1360=︒=︒平角周角.124==周角平角直角.点拨（1）度、分、秒之间是60进制，这和计量时间的单位时、分、秒是一样的.（2）使用量角器时，注意量角器的零刻度的读数的旋转方向，即选择内刻度、外刻度的读数.（3）以、度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制.此外，还有其他度量角的单位制，如以弧度为基本度量单位的弧度制. 知能解读（七）互为余角和互为补角（1）如图两个角的和是90︒，那么这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余数.锐角α的余角为90α︒-.（2）如果两个角的和是180︒，那么这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角.角α的补角是180α︒-.（3）互余、互补的性质；同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等. 注意（1）余角和补角是关于两个角的关系的概念，不能单独说哪一个角是余角或补角. （2）两个角互余或互补只是两个角的和为90︒或180︒，与位置无关.（3）两个角互余，则这两个角一定都是锐角.两个角互补，这两个角可能都是直角.也可能一个角是锐角，另一个角为钝角. 知能解读（八）用角度表示方向方位角是从正北或正南方向到目标方向所成的小于九十度的角.例：如图所示，OA 方向可表示为北偏西60︒南东方法技巧归纳方法技巧（一）角的识别和表示法角的识别关键是找角的顶点，再找角的两边，在表示角时，注意一个大写字母只能表示一个独立角，三个大写字母可以表示任意的角，而且要把表示顶点的字母写在中间. 点拨（3）中关键词是“只能”（即不能用另外的表示方法）二字，因此在找角时要按照要求去做.方法技巧（二）利用角平分线的定义求角的度数的方法角的平分线提供了角的相等或倍分关系，把这些关系与已知角联系起来，可以求出相关角的度数.在有关角的度数的计算题中，有些题目设有给出图形，当画出符合题意的图形不唯一时，要注意分情况进行讨论. 点拨根据解题的需要，角平分线的定义既可以写作两角相等的形式，也可以写作一个角是另一个角2倍的形式，还可以写作一个角是另外一个半的形式，应灵活选择.同时在计算中应注意“整体代入思想”的运用. 方法技巧（三）度、分、秒的换算把度换算成度、分、秒时要乘进率，而把度、分、秒转化为度时，要除以进率，换算时要逐级进行，不可越级转化.点拨将的形式化为度、分、秒的形式时，先取度整数后的剩余部分成60，再取乘积整数后的剩余部分乘60，最后以度、分、秒的形式写出来；将度、分、秒的形式化成度的形式的方法是60 3 600b c a b c a ⎛⎫'''︒=++︒ ⎪⎝⎭. 方法技巧（四）余角和补角的有关计算根据余角和补角的定义，锐角α的90,180αα=︒-=︒=余角补角.个别复杂些的问题，可列方程求解. 点拨本题求角度可以利用方程求解，可以直接设未知数，也可以间接设未知数. 点拨在计算有关余角、补角或与角度有关的问题时，多数用列方程的方法求解. 方法技巧（五）钟表上的角度问题我们知道，时钟（如图所示）是测量时间的工具，时间的长与短、多与少都可以通过指针的指向来判断.在几何中，机械时钟的指针还给了我们角的直观形象.在时钟的表盘上，分针每分钟转6︒，时针每小时转30︒，每分钟转0.5︒.知道这些关系，就可轻松解决时钟问题了. 点拨钟表中时针与分针的夹角问题可转化为行程与角的应用题，采用方程的思想来解决，使复杂的问题变得直观，易于解决.易混易错辨析易混易错只是1.互余、互补概念混淆.互余、互补是指两个角之间的一种关系，若三个角的和等于90︒（或180︒），不能说这三个角互余（或互补）.2.角的换算单位与数的换算单位混淆.区别：角的换算单位之间的进率是60，而数的换算单位之间的进率是10. 易混易错（一）对角的概念理解不清而致错易混易错（二）考虑问题不全面致错中考试题研究中考命题规律本讲知识在中考中重点考查角的分类，角的大小比较及有关计算，互余、互补等知识，利用角平分线以及角的和差进行角的计算，常以填空题、选择题的形式出现，今年来又出现了对角的个数的规律探究方面的考查. 中考试题（一）角的运算中考试题（二）余角、补角的识别中考试题（三）余角、补角的有关计算中考试题（四）方位角的识别第31讲相交线、平行线知识能力解读知能解读（一）邻补角、对顶角的概念1邻补角如图所示，1∠和2∠有一条公共边OB ，它们的另一边互为反向延长线（1∠与2∠互补），具有这种关系的两个角，互为邻补角.O1432DCBA2对顶角定义：如图所示，1∠和3∠有一个公共顶点O ，并且1∠的两边分别是3∠的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.性质：对顶角相等. 注意对顶角的特征：①对顶角由两条直线相交形成，同时形成两对对顶角；②成对顶角的两个角有公共的顶点；③一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线. 知能解读（二）垂线的定义、性质如图所示，直线AB 与CD 相交于点O ，当90BOC ∠=︒时，我们说直线AB 与直线CD 互相垂直，记作AB CD ⊥.垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂直线.它们的交点叫作垂足.O DCBA2垂线的性质（1）基本事实：在同一平面内，过一点有且只有条直线与已知直线垂直. 注意（1）应用以上性质必须强调“在同一平面内”，否则，在空间里，经过直线上一点与已知直线垂直的直线有无数条；（2）“过一点”中的一点可以是直线外一点，也可以是直线上一点；（3）“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性.（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中的垂线段最短.简单说成：垂线段最短. 注意垂线与垂线段都具有垂直已知直线的特征，但垂线是一条直线，不能度量，而垂线段是一条线段，可以度量，它是垂线的一部分. 知能解读（三）点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作到直线的距离. 注意距离是一个数量，而不是一个线段，所以点到直线的距离强调的是垂线段的长度.如图所示，直线AB CD 、被第三条直线EF 所截，构成八个角，简称“三线八角”.FEDCBA87654321（1）同位角：1∠与5∠，2∠与6∠，3∠与7∠，4∠与8∠，它们分别在直线,AB CD 的同一方，且在直线EF 的同侧，具有这种位置关系的一对角叫作同位角.（2）内错角：3∠与5∠，4∠与6∠，它们都在直线,AB CD 之间，并且分别在直线EF 两侧，具有这种位置关系的一对角叫作内错角.（3）同旁内角：4∠与5∠，3∠与6∠，它们都在直线,AB CD 之间，又在直线EF 的同一旁，具有这种位置关系的一对角叫作同旁内角. 注意（1）这三类角指的都是位置关系，而不是大小关系. （2）这三类角没有公共顶点，都是成对出现的. 知能解读（五）平行线的概念及平行公理在同一平面内，直线a 与b 不相交时，我们说线a 与b 互相平行，记作a b . 注意（1）平行线无论怎样延伸也不相交.（2）今后遇到线段、射线平行时，指线段、射线所在的直线平行. （3）在同一平面内两条直线的位置关系只有两种：相交和平行. 2平行公理及推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 注意（1）以上结论所的是经过“直线外一点”，若经过直线上的一点作已知直线的平行线，就与已知直线重合了.（2）“有且只有”指出了过直线外一点作这条直线的平行线的“存在性”和“唯一性”.推论：如图两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.也就是说：如果,b a c a ，那么b c （如图所示）.ab c知能解读（六）平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行.知能解读（七）平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等；（2）两直线平行，内错角相等；（3）两直线平行，同旁内角互补.知能解读（八）平行线间的距离（1）如果两条直线平行，那么其中一条直线上每个点到另一条直线的距离都相等.这个距离，叫作这两条平行线之间的距离. 注意（1）对于平面内角的两条直线，只有平行线才有距离，两条相交直线不存在距离. （2）求两条平行线之间距离的方法：在两条平行线中的任意一条上取任意一点作另一条直线的垂线段，垂线段的长度是这两条平行线之间的距离，实际上是把求两条平行线间的距离转化为求一点到一条直线的距离.（3）区分“垂线段”与“距离”，前者是形，后者是量，垂线段的长度是距离.方法技巧归纳方法技巧（一）对顶角的识别方法识别对顶角应把握两个条件：一是有公共顶点；二是角的两边互为反向延长线.一般来说，两条直线相交，一定有对顶角产生. 点拨对顶角的定义应注意四点：（1）对顶角由两条直线相交而成；（2）同时形成的有两对对顶角；（3）成对顶角的两个角有公共顶点；（4）一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线.方法技巧（二）垂直的定义及性质的应用进行有关角的计算时，一遇到垂直就应联想到相交所成的四个角都是90 . 点拨解决与垂直有关的问题时，通常利用互余、互补关系，对顶角及同等角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等等条件来求解.方法技巧（三）同位角、内错角、同旁内角的识别要准确地识别这三类角，首先应对照基本图形，根据定义把握其位置特点，在遇到实际问题时要找出哪两条直线被哪一条直线所截，对于一些复杂图形有时还需要把图形分开来识别.。

湖南省2019年、2020年数学中考试题分类(9)——图形初步认识与三角形(含解析)

湖南省2019年、2020年数学中考试题分类（9）——图形初步认识与三角形一．选择题（共17小题）1．（2020•衡阳）下列不是三棱柱展开图的是( )A ．B ．C ．D ．2．（2019•益阳）下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是( )A ．B ．C ．D ．3．（2020•娄底）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果128∠=︒，那么2∠的度数为( )A ．62︒B ．56︒C ．28︒D ．72︒4．（2020•邵阳）将一张矩形纸片ABCD 按如图所示操作：（1）将DA 沿DP 向内折叠，使点A 落在点1A 处，（2）将DP 沿1DA 向内继续折叠，使点P 落在点1P 处，折痕与边AB 交于点M ．若1PM AB ⊥，则1DPM ∠的大小是( )A ．135︒B ．120︒C ．112.5︒D ．115︒5．（2020•郴州）如图，直线a ，b 被直线c ，d 所截．下列条件能判定//a b 的是( )A ．13∠=∠B ．24180∠+∠=︒C ．45∠=∠D ．12∠=∠6．（2020•岳阳）如图，DA AB ⊥，CD DA ⊥，56B ∠=︒，则C ∠的度数是( )A ．154︒B ．144︒C ．134︒D ．124︒7．（2020•怀化）如图，已知直线a ，b 被直线c 所截，且//a b ，若40α∠=︒，则β∠的度数为( )A ．140︒B ．50︒C ．60︒D ．40︒8．（2020•常德）如图，已知//AB DE ，130∠=︒，235∠=︒，则BCE ∠的度数为( )A ．70︒B ．65︒C ．35︒D ．5︒9．（2019•岳阳）如图，已知BE 平分ABC ∠，且//BE DC ，若50ABC ∠=︒，则C ∠的度数是( )A ．20︒B ．25︒C ．30︒D ．50︒10．（2019•衡阳）如图，已知//AB CD ，AF 交CD 于点E ，且BE AF ⊥，40BED ∠=︒，则A ∠的度数是( )A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．90︒11．（2019•长沙）如图，平行线AB ，CD 被直线AE 所截，180∠=︒，则2∠的度数是( )A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．110︒12．（2020•永州）如图，已知AB DC =，ABC DCB ∠=∠，能直接判断ABC DCB ∆≅∆的方法是( )A ．SASB ．AASC ．SSSD ．ASA13．（2020•益阳）如图，在ABC ∆中，AC 的垂直平分线交AB 于点D ，CD 平分ACB ∠，若50A ∠=︒，则B ∠的度数为( )A ．25︒B ．30︒C ．35︒D ．40︒14．（2020•怀化）在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若3BD =，则DE 的长为( )A ．3B ．32C ．2D ．6 15．如图，ACD ∠是ABC ∆的外角，若110ACD ∠=︒，50B ∠=︒，则(A ∠= )A ．40︒B ．50︒C ．55︒D ．60︒16．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于( )A ．4B ．3C ．2D ．117．（2019•益阳）已知M 、N 是线段AB 上的两点，2AM MN ==，1NB =，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC ，BC ，则ABC ∆一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形二．填空题（共20小题）18．（2020•永州）已知直线//a b ，用一块含30︒角的直角三角板按图中所示的方式放置，若125∠=︒，则2∠= ．19．（2020•益阳）如图，//AB CD ，AB AE ⊥，42CAE ∠=︒，则ACD ∠的度数为．20．（2020•湘西州）如图，直线//AE BC ，BA AC ⊥，若54ABC ∠=︒，则EAC ∠= 度．21．（2020•衡阳）一副三角板如图摆放，且//AB CD ，则1∠的度数为．22．（2019•娄底）如图，//AB CD ，//AC BD ，128∠=︒，则2∠的度数为．23．（2019•益阳）如图，直线//AB CD ，OA OB ⊥，若1142∠=︒，则2∠= 度．24．（2019•张家界）已知直线//a b ，将一块含30︒角的直角三角板ABC 按如图所示方式放置(30)BAC ∠=︒，并且顶点A ，C 分别落在直线a ，b 上，若118∠=︒，则2∠的度数是．25．（2020•娄底）由4个直角边长分别为a ，b 的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积2c 等于小正方形的面积2()a b -与4个直角三角形的面积2ab 的和证明了勾股定理222a b c +=，还可以用来证明结论：若0a >、0b >且22a b +为定值，则当a b 时，ab 取得最大值．26．（2020•岳阳）如图，在Rt ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的中线，20A ∠=︒，则BCD ∠= ︒．27．（2020•株洲）如图所示，点D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的中点，连接BE ，过点C 作//CF BE ，交DE 的延长线于点F ，若3EF =，则DE 的长为．28．（2020•湘潭）如图，点P 是AOC ∠的角平分线上一点，PD OA ⊥，垂足为点D ，且3PD =，点M 是射线OC 上一动点，则PM 的最小值为．29．（2020•怀化）如图，在ABC ∆和ADC ∆中，AB AD =，BC DC =，130B ∠=︒，则D ∠= ︒．30．（2019•永州）已知60AOB ∠=︒，OC 是AOB ∠的平分线，点D 为OC 上一点，过D 作直线DE OA ⊥，垂足为点E ，且直线DE 交OB 于点F ，如图所示．若2DE =，则DF = ．31．（2019•永州）如图，已知点F 是ABC ∆的重心，连接BF 并延长，交AC 于点E ，连接CF 并延长，交AB于点D ，过点F 作//FG BC ，交AC 于点G ．设三角形EFG ，四边形FBCG 的面积分别为1S ，2S ，则12:S S = ．32．（2019•邵阳）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾6a =，弦10c =，则小正方形ABCD 的面积是．33．（2019•邵阳）如图，已知AD AE =，请你添加一个条件，使得ADC AEB ∆≅∆，你添加的条件是．（不添加任何字母和辅助线）34．（2019•株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，在直线1x =处放置反光镜Ⅰ，在y 轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段AB ，其中点(0,1)A ，点B 在点A 上方，且1AB =，在直线1x =-处放置一个挡板Ⅲ，从点O 发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口AB 照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为．35．（2019•株洲）如图所示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CM 是斜边AB 上的中线，E 、F 分别为MB 、BC 的中点，若1EF =，则AB = ．36．（2019•怀化）若等腰三角形的一个底角为72︒，则这个等腰三角形的顶角为．37．（2019•长沙）如图，要测量池塘两岸相对的A ，B 两点间的距离，可以在池塘外选一点C ，连接AC ，BC ，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，测得50DE m =，则AB 的长是 m ．三．解答题（共3小题）38．（2020•衡阳）如图，在ABC ∆中，B C ∠=∠，过BC 的中点D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点E 、F ．（1）求证：DE DF =；（2）若40BDE ∠=︒，求BAC ∠的度数．39．（2020•常德）已知D 是Rt ABC ∆斜边AB 的中点，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，过点D 作Rt DEF ∆使90DEF ∠=︒，30DFE ∠=︒，连接CE 并延长CE 到P ，使EP CE =，连接BE ，FP ，BP ，设BC 与DE 交于M ，PB 与EF 交于N ．（1）如图1，当D ，B ，F 共线时，求证：①EB EP =；②30EFP ∠=︒；（2）如图2，当D ，B ，F 不共线时，连接BF ，求证：30BFD EFP ∠+∠=︒．40．（2019•益阳）已知，如图，AB AE=，//∠=︒，求证：ABC EADD∆≅∆．ECBAB DE，70∠=︒，110湖南省2019年、2020年数学中考试题分类（9）——图形初步认识与三角形一．选择题（共17小题）1．（2020•衡阳）下列不是三棱柱展开图的是()A．B．C．D．【解答】解：A、C、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．B围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故B不能围成三棱柱．故选：B．2．（2019•益阳）下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是()A．B．C．D．【解答】解：A、圆柱的侧面展开图是矩形，故A错误；B、三棱柱的侧面展开图是矩形，故B错误；C、圆锥的侧面展开图是扇形，故C正确；D、三棱锥的侧面展开图是三个三角形组成的图形，故D错误．故选：C．3．（2020•娄底）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果128∠的度数为()∠=︒，那么2A．62︒B．56︒C．28︒D．72︒【解答】解：如图，标注字母，由题意可得：90BAC ∠=︒，162DAC BAC ∠=∠-∠=︒，//EF AD ，262DAC ∴∠=∠=︒，故选：A ．4．（2020•邵阳）将一张矩形纸片ABCD 按如图所示操作：（1）将DA 沿DP 向内折叠，使点A 落在点1A 处，（2）将DP 沿1DA 向内继续折叠，使点P 落在点1P 处，折痕与边AB 交于点M ．若1PM AB ⊥，则1DPM ∠的大小是( )A ．135︒B ．120︒C ．112.5︒D ．115︒【解答】解：折叠，且190PMA ∠=︒， 145DMP DMA ∴∠=∠=︒，即45ADM ∠=︒，折叠，1122.52MDP ADP PDM ADM ∴∠=∠=∠=∠=︒， ∴在△1DPM 中，11804522.5112.5DPM ∠=︒-︒-︒=︒，故选：C ．5．（2020•郴州）如图，直线a ，b 被直线c ，d 所截．下列条件能判定//a b 的是( )A ．13∠=∠B ．24180∠+∠=︒C ．45∠=∠D ．12∠=∠ 【解答】解：A 、当13∠=∠时，//c d ，故此选项不合题意； B 、当24180∠+∠=︒时，//c d ，故此选项不合题意； C 、当45∠=∠时，//c d ，故此选项不合题意； D 、当12∠=∠时，//a b ，故此选项符合题意；故选：D ． 6．（2020•岳阳）如图，DA AB ⊥，CD DA ⊥，56B ∠=︒，则C ∠的度数是( )A ．154︒B ．144︒C ．134︒D ．124︒ 【解答】解：DA AB ⊥，CD DA ⊥， 90A D ∴∠=∠=︒， 180A D ∴∠+∠=︒， //AB CD ∴，180B C ∴∠+∠=︒， 56B ∠=︒，180124C B ∴∠=︒-∠=︒，故选：D ． 7．（2020•怀化）如图，已知直线a ，b 被直线c 所截，且//a b ，若40α∠=︒，则β∠的度数为( )A ．140︒B ．50︒C ．60︒D ．40︒【解答】解：40α∠=︒， 140α∴∠=∠=︒， //a b ，140β∴∠=∠=︒．故选：D ．8．（2020•常德）如图，已知//AB DE ，130∠=︒，235∠=︒，则BCE ∠的度数为( )A ．70︒B ．65︒C ．35︒D ．5︒【解答】解：作//CF AB ， //AB DE ， //CF DE ∴，////AB DE CF ∴，1BCF ∴∠=∠，2FCE ∠=∠， 130∠=︒，235∠=︒，30BCF ∴∠=︒，35FCE ∠=︒， 65BCE ∴∠=︒，故选：B ．9．（2019•岳阳）如图，已知BE 平分ABC ∠，且//BE DC ，若50ABC ∠=︒，则C ∠的度数是( )A ．20︒B ．25︒C ．30︒D ．50︒ 【解答】解：BE 平分ABC ∠，50ABC ∠=︒， 25ABE EBC ∴∠=∠=︒， //BE DC ，25EBC C ∴∠=∠=︒．故选：B ． 10．（2019•衡阳）如图，已知//AB CD ，AF 交CD 于点E ，且BE AF ⊥，40BED ∠=︒，则A ∠的度数是( )A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．90︒ 【解答】解：BE AF ⊥，40BED ∠=︒， 9050FED BED ∴∠=︒-∠=︒， //AB CD ，50A FED ∴∠=∠=︒．故选：B ． 11．（2019•长沙）如图，平行线AB ，CD 被直线AE 所截，180∠=︒，则2∠的度数是( )A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．110︒【解答】解：180∠=︒， 3100∴∠=︒，//AB CD，23100∴∠=∠=︒．故选：C．12．（2020•永州）如图，已知AB DC=，ABC DCB∠=∠，能直接判断ABC DCB∆≅∆的方法是()A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA【解答】解：AB DC=，ABC DCB∠=∠，BC CB=，()ABC DCB SAS∴∆≅∆，故选：A．13．（2020•益阳）如图，在ABC∆中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分ACB∠，若50A∠=︒，则B∠的度数为()A．25︒B．30︒C．35︒D．40︒【解答】解：DE垂直平分AC，AD CD∴=，A ACD∴∠=∠又CD平分ACB∠，2100ACB ACD∴∠=∠=︒，1801805010030B A ACB∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选：B．14．（2020•怀化）在Rt ABC∆中，90B∠=︒，AD平分BAC∠，交BC于点D，DE AC⊥，垂足为点E，若3BD=，则DE的长为()A．3B．32C．2D．6【解答】解：90B∠=︒，DB AB∴⊥，又AD平分BAC∠，DE AC⊥，3DE BD∴==，故选：A．15．如图，ACD ∠是ABC ∆的外角，若110ACD ∠=︒，50B ∠=︒，则(A ∠= )A ．40︒B ．50︒C ．55︒D ．60︒【解答】解：ACD ∠是ABC ∆的外角， ACD B A ∴∠=∠+∠， A ACD B ∴∠=∠-∠，110ACD ∠=︒，50B ∠=︒， 60A ∴∠=︒，故选：D ．16．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】解：如图，过点D 作DE AB ⊥于E ，8AC =，13DC AD =，18213CD ∴=⨯=+，90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠， 2DE CD ∴==，即点D 到AB 的距离为2．故选：C ．17．（2019•益阳）已知M 、N 是线段AB 上的两点，2AM MN ==，1NB =，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC ，BC ，则ABC ∆一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形【解答】解：如图所示，4AC AN ==，3BC BM ==，2215AB =++=， 222AC BC AB ∴+=，ABC ∴∆是直角三角形，且90ACB ∠=︒，故选：B ．二．填空题（共20小题） 18．（2020•永州）已知直线//a b ，用一块含30︒角的直角三角板按图中所示的方式放置，若125∠=︒，则2∠= 35︒ ．【解答】解：过点B 作//EF a ． //a b ，////EF a b ∴．1ABF ∴∠=∠，2FBC ∠=∠．ABC ∆是含30︒角的直角三角形， 60ABC ∴∠=︒．60ABF CBF ∠+∠=︒， 2602535∴∠=︒-=︒．故答案为：35︒．19．（2020•益阳）如图，//AB CD ，AB AE ⊥，42CAE ∠=︒，则ACD ∠的度数为 132︒ ．【解答】解：AB AE ⊥，42CAE ∠=︒， 904248BAC ∴∠=︒-︒=︒， //AB CD ，180BAC ACD ∴∠+∠=︒， 132ACD ∴∠=︒．故答案为：132︒． 20．（2020•湘西州）如图，直线//AE BC ，BA AC ⊥，若54ABC ∠=︒，则EAC ∠= 36 度．【解答】解：BA AC ⊥， 90BAC ∴∠=︒， 54ABC ∠=︒，905436C ∴∠=︒-︒=︒， //AE BC ，36EAC C ∴∠=∠=︒，故答案为：36． 21．（2020•衡阳）一副三角板如图摆放，且//AB CD ，则1∠的度数为 105︒ ．【解答】解：如图，//AB CD ，45D ∠=︒， 245D ∴∠=∠=︒．123∠=∠+∠，360∠=︒，1234560105∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．故答案是：105︒．22．（2019•娄底）如图，//AB CD ，//AC BD ，128∠=︒，则2∠的度数为 28︒ ．【解答】解：//AC BD ，1A ∴∠=∠， //AB CD ， 2A ∴∠=∠，2128∴∠=∠=︒，故答案为：28︒． 23．（2019•益阳）如图，直线//AB CD ，OA OB ⊥，若1142∠=︒，则2∠= 52 度．【解答】解：//AB CD ，32∴∠=∠， OA OB ⊥， 90O ∴∠=︒，13142O ∠=∠+∠=︒，211429052O ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：52． 24．（2019•张家界）已知直线//a b ，将一块含30︒角的直角三角板ABC 按如图所示方式放置(30)BAC ∠=︒，并且顶点A ，C 分别落在直线a ，b 上，若118∠=︒，则2∠的度数是 48︒ ．【解答】解：//a b ，21183048CAB ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故答案为：48︒ 25．（2020•娄底）由4个直角边长分别为a ，b 的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积2c 等于小正方形的面积2()a b -与4个直角三角形的面积2ab 的和证明了勾股定理222a b c +=，还可以用来证明结论：若0a >、0b >且22a b +为定值，则当a = b 时，ab 取得最大值．【解答】解：如图，作斜边c 上高h ，2()0a b -，2220a b ab ∴+-，又222a b c +=，22a b +为定值，22c ab ∴， ab ∴最大值为22c ，a ，b 为直角边的直角三角形面积1122a b c h ==，∴22c c h =， 2c h ∴=，等腰直角三角形斜边上的高是斜边的一半，∴当a b =时，2ch =，故答案为：=． 26．（2020•岳阳）如图，在Rt ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的中线，20A ∠=︒，则BCD ∠= 70 ︒．【解答】解：在Rt ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的中线，20A ∠=︒，则70B ∠=︒，90ACB∠=︒，CD是斜边AB上的中线，BD CD AD∴==，70BCD B∴∠=∠=︒，故答案为70．27．（2020•株洲）如图所示，点D、E分别是ABC∆的边AB、AC的中点，连接BE，过点C作//CF BE，交DE的延长线于点F，若3EF=，则DE的长为32．【解答】解：D、E分别是ABC∆的边AB、AC的中点，DE∴为ABC∆的中位线，//DE BC ∴，12DE BC=，//CF BE，∴四边形BCFE为平行四边形，3BC EF∴==，∴1322 DE BC==．故答案为：32．28．（2020•湘潭）如图，点P是AOC∠的角平分线上一点，PD OA⊥，垂足为点D，且3PD=，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为3．【解答】解：根据垂线段最短可知：当PM OC⊥时，PM最小，当PM OC⊥时，又OP平分AOC∠，PD OA⊥，3PD=，3PM PD∴==，故答案为：3．29．（2020•怀化）如图，在ABC∆和ADC∆中，AB AD=，BC DC=，130B∠=︒，则D∠=130︒．【解答】证明：在ADC∆和ABC∆中，AD ABAC ACCD CB=⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABC ADC SSS∴∆≅∆，D B∴∠=∠，130B∠=︒，130D∴∠=︒，故答案为：130．30．（2019•永州）已知60AOB∠=︒，OC是AOB∠的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE OA⊥，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若2DE=，则DF=4．【解答】解：过点D作DM OB⊥，垂足为M，如图所示．OC是AOB∠的平分线，2DM DE∴==．在Rt OEF∆中，90OEF∠=︒，60EOF∠=︒，30OFE∴∠=︒，即30DFM∠=︒．在Rt DMF∆中，90DMF∠=︒，30DFM∠=︒，24DF DM∴==．故答案为：4．31．（2019•永州）如图，已知点F是ABC∆的重心，连接BF并延长，交AC于点E，连接CF并延长，交AB 于点D，过点F作//FG BC，交AC于点G．设三角形EFG，四边形FBCG的面积分别为1S，2S，则12:S S= 18．【解答】解：点F是ABC∆的重心，2BF EF∴=，3BE EF∴=，//FG BC，EFG EBC∴∆∆∽，∴13EFBE=，2111()39EBCSS∆==，121:8S S∴=；故答案为：18．32．（2019•邵阳）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾6a=，弦10c=，则小正方形ABCD的面积是4．【解答】解：勾6a=，弦10c=，∴股221068=-=，∴小正方形的边长862=-=，∴小正方形的面积224==故答案是：433．（2019•邵阳）如图，已知AD AE=，请你添加一个条件，使得ADC AEB∆≅∆，你添加的条件是AB AC=或ADC AEB∠=∠或ABE ACD∠=∠．（不添加任何字母和辅助线）【解答】解：A A∠=∠，AD AE=，∴可以添加AB AC=，此时满足SAS；添加条件ADC AEB∠=∠，此时满足ASA；添加条件ABE ACD∠=∠，此时满足AAS，故答案为AB AC=或ADC AEB∠=∠或ABE ACD∠=∠；34．（2019•株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线1x=处放置反光镜Ⅰ，在y轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段AB，其中点(0,1)A，点B在点A上方，且1AB=，在直线1x=-处放置一个挡板Ⅲ，从点O发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口AB照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为 1.5．【解答】解：当光线沿O 、G 、B 、C 传输时，过点B 作BF GH ⊥于点F ，过点C 作CE GH ⊥于点E ，方法一：GOB ∆为等腰三角形， G ∴(1,1)，B 为CG 中点，C ∴(1,3)-，同理(1,1.5)D -，3 1.5 1.5CD ∴=-=方法二：OGH CGE α∠=∠=，设GH a =，则2GF a =-，则tan tan OGH CGE ∠=∠，即：OH BF GH GF=，即：112a a=-，解得：1a =，则45α=︒，2GE CE ∴==，123C y =+=，当光线反射过点A 时，同理可得： 1.5D y =，落在挡板Ⅲ上的光线的长度3 1.5 1.5CD ==-=，故答案为1.5．35．（2019•株洲）如图所示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CM 是斜边AB 上的中线，E 、F 分别为MB 、BC 的中点，若1EF =，则AB = 4 ．【解答】解：E 、F 分别为MB 、BC 的中点，22CM EF ∴==，90ACB ∠=︒，CM 是斜边AB 上的中线，24AB CM ∴==，故答案为：4．36．（2019•怀化）若等腰三角形的一个底角为72︒，则这个等腰三角形的顶角为 36︒ ．【解答】解：等腰三角形的一个底角为72︒，∴等腰三角形的顶角180727236=︒-︒-︒=︒，故答案为：36︒．37．（2019•长沙）如图，要测量池塘两岸相对的A ，B 两点间的距离，可以在池塘外选一点C ，连接AC ，BC ，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，测得50DE m =，则AB 的长是 100 m ．【解答】解：点D ，E 分别是AC ，BC 的中点，DE ∴是ABC ∆的中位线，2250100AB DE ∴==⨯=米．故答案为：100．三．解答题（共3小题）38．（2020•衡阳）如图，在ABC ∆中，B C ∠=∠，过BC 的中点D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点E 、F ．（1）求证：DE DF =；（2）若40BDE ∠=︒，求BAC ∠的度数．【解答】（1）证明：DE AB ⊥，DF AC ⊥，90BED CFD ∴∠=∠=︒，D 是BC 的中点，BD CD ∴=，在BED ∆与CFD ∆中，BED CFD B CBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BED CFD AAS ∴∆≅∆，DE DF ∴=；（2）解：40BDE ∠=︒，50B ∴∠=︒，50C ∴∠=︒，80BAC ∴∠=︒．39．（2020•常德）已知D 是Rt ABC ∆斜边AB 的中点，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，过点D 作Rt DEF ∆使90DEF ∠=︒，30DFE ∠=︒，连接CE 并延长CE 到P ，使EP CE =，连接BE ，FP ，BP ，设BC 与DE 交于M ，PB 与EF 交于N ．（1）如图1，当D ，B ，F 共线时，求证：①EB EP =；②30EFP ∠=︒；（2）如图2，当D ，B ，F 不共线时，连接BF ，求证：30BFD EFP ∠+∠=︒．【解答】证明（1）①90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，903060A ∴∠=︒-︒=︒，同理60EDF ∠=︒，60A EDF ∴∠=∠=︒，//AC DE ∴，90DMB ACB ∴∠=∠=︒，D 是Rt ABC ∆斜边AB 的中点，//AC DM ，∴12BM BD BC AB ==，即M 是BC 的中点，EP CE =，即E 是PC 的中点，//ED BP ∴，90CBP DMB ∴∠=∠=︒，CBP ∴∆是直角三角形，12BE PC EP ∴==； ②30ABC DFE ∠=∠=︒，//BC EF ∴，由①知：90CBP ∠=︒，BP EF ∴⊥，EB EP =，EF ∴是线段BP 的垂直平分线，PF BF ∴=，30PFE BFE ∴∠=∠=︒；（2）如图2，延长DE 到Q ，使EQ DE =，连接CD ，PQ ，FQ ，EC EP=，DEC QEP ∠=∠， ()QEP DEC SAS ∴∆≅∆，则PQ DC DB ==，QE DE =，90DEF ∠=︒EF ∴是DQ 的垂直平分线，QF DF ∴=，CD AD =，60ACD A ∴∠=∠=︒，60ADC ∴∠=︒，120CDB ∴∠=︒，120120(60)6060FDB FDC EDC EDC EQP FQP ∴∠=︒-∠=︒-︒+∠=︒-∠=︒-∠=∠， ()FQP FDB SAS ∴∆≅∆，QFP BFD ∴∠=∠，EF 是DQ 的垂直平分线，30QFE EFD ∴∠=∠=︒，30QFP EFP ∴∠+∠=︒，30BFD EFP ∴∠+∠=︒．40．（2019•益阳）已知，如图，AB AE =，//AB DE ，70ECB ∠=︒，110D ∠=︒，求证：ABC EAD ∆≅∆．【解答】证明：由70ECB ∠=︒得110ACB ∠=︒ 又110D ∠=︒ACB D ∴∠=∠//AB DECAB E ∴∠=∠在ABC ∆和EAD ∆中，ACB D CAB E AB AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC EAD AAS ∴∆≅∆．。

2018—2020年江苏省数学中考试题分类(11)——图形的初步认识与三角形(含解析)

2018—2020年江苏省数学中考试题分类（11）——图形的初步认识与三角形一．选择题（共19小题）1．（2020•泰州）把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以得到的几何体是()A．三棱柱B．四棱柱C．三棱锥D．四棱锥2．（2019•连云港）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是() A．B．C．D．3．（2018•常州）下列图形中，哪一个是圆锥的侧面展开图？()A．B．C．D．4．（2020•宿迁）如图，直线a，b被直线c所截，//∠的度数为()a b，150∠=︒，则2A．40︒B．50︒C．130︒D．150︒5．（2020•南通）如图，已知//∠=︒，则C∠的度数是()EAB CD，54A∠=︒，18A．36︒B．34︒C．32︒D．30︒6．（2020•常州）如图，直线a、b被直线c所截，//∠的度数是()a b，1140∠=︒，则2A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒ 7．（2019•南通）如图，//AB CD ，AE 平分CAB ∠交CD 于点E ，若70C ∠=︒，则AED ∠度数为( )A ．110︒B ．125︒C ．135︒D ．140︒ 8．（2019•常州）如图，在线段PA 、PB 、PC 、PD 中，长度最小的是( )A ．线段PAB ．线段PBC ．线段PCD ．线段PD 9．（2019•苏州）如图，已知直线//a b ，直线c 与直线a ，b 分别交于点A ，B ．若154∠=︒，则2∠等于( )A ．126︒B ．134︒C ．136︒D ．144︒ 10．（2019•宿迁）一副三角板如图摆放（直角顶点C 重合），边AB 与CE 交于点F ，//DE BC ，则BFC ∠等于( )A ．105︒B ．100︒C ．75︒D ．60︒ 11．（2020•南通）如图，在ABC ∆中，2AB =，60ABC ∠=︒，45ACB ∠=︒，D 是BC 的中点，直线l 经过点D ，AE l ⊥，BF l ⊥，垂足分别为E ，F ，则AE BF +的最大值为( )A ．6B ．22C ．23D ．32 12．（2020•宿迁）在ABC ∆中，1AB =，5BC =，下列选项中，可以作为AC 长度的是( ) A ．2 B ．4 C ．5 D ．6 13．（2020•常州）如图，AB 是O 的弦，点C 是优弧AB 上的动点(C 不与A 、B 重合），CH AB ⊥，垂足为H ，点M 是BC 的中点．若O 的半径是3，则MH 长的最大值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 14．（2020•徐州）若一个三角形的两边长分别为3cm 、6cm ，则它的第三边的长可能是( ) A ．2cm B ．3cm C ．6cm D ．9cm 15．（2019•无锡）如图，在正方形网格（每个小正方形的边长都是1)中，若将ABC ∆沿A D -的方向平移AD 长，得(DEF B ∆、C 的对应点分别为E 、)F ，则BE 长为( )A ．1B ．2C ．5D ．3 16．（2019•徐州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是( ) A ．2，2，4 B ．5，6，12 C ．5，7，2 D ．6，8，10 17．（2019•泰州）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 在小正方形的顶点上，则ABC ∆的重心是( )A ．点DB ．点EC ．点FD ．点G 18．（2019•扬州）已知n 是正整数，若一个三角形的三边长分别是2n +、8n +、3n ，则满足条件的n 的值有( ) A ．4个 B ．5个 C ．6个 D ．7个 19．（2019•盐城）如图，点D 、E 分别是ABC ∆边BA 、BC 的中点，3AC =，则DE 的长为( )A ．2B ．43C ．3D ．32二．填空题（共18小题） 20．（2019•常州）如果35α∠=︒，那么α∠的余角等于 ︒． 21．（2019•苏州）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．图①是由边长为10cm 的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形．该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为 cm （结果保留根号）．22．（2019•扬州）如图，在ABC ∆中，5AB =，4AC =，若进行以下操作，在边BC 上从左到右依次取点1D 、2D 、3D 、4D 、⋯；过点1D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点1E 、1F ；过点2D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点2E 、2F ；过点3D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点3E 、3F ⋯，则1122201920191122201920194()5()D E D E D E D F D F D F ++⋯++++⋯+= ．23．（2019•扬州）将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若26ABC ∠=︒，则ACD ∠= ︒．24．（2020•宿迁）如图，在ABC ∆中，AB AC =，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，E 为AB 的中点，若12BC =，8AD =，则DE 的长为．25．（2020•常州）如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，62AB =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，连接DE ，在直线DE 和直线BC 上分别取点F 、G ，连接BF 、DG ．若3BF DG =，且直线BF 与直线DG 互相垂直，则BG 的长为．26．（2020•徐州）如图，30MON ∠=︒，在OM 上截取13OA =．过点1A 作11A B OM ⊥，交ON 于点1B ，以点1B 为圆心，1B O 为半径画弧，交OM 于点2A ；过点2A 作22A B OM ⊥，交ON 于点2B ，以点2B 为圆心，2B O 为半径画弧，交OM 于点3A ；按此规律，所得线段2020A B 的长等于．27．（2020•徐州）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 的中点，若5BF =，则DE = ．28．（2020•常州）如图，在ABC ∆中，BC 的垂直平分线分别交BC 、AB 于点E 、F ．若AFC ∆是等边三角形，则B ∠= ︒．29．（2020•扬州）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈(1丈10=尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面尺高．30．（2020•南京）如图，线段AB 、BC 的垂直平分线1l 、2l 相交于点O ，若139∠=︒，则AOC ∠= ．31．（2020•苏州）如图，在ABC ∆中，已知2AB =，AD BC ⊥，垂足为D ，2BD CD =．若E 是AD 的中点，则EC = ．32．（2020•泰州）如图，将分别含有30︒、45︒角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65︒，则图中角α的度数为．33．（2019•南通）如图，ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=︒，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE CF =，若25BAE ∠=︒，则ACF ∠= 度．34．（2019•镇江）如图，直线//a b ，ABC ∆的顶点C 在直线b 上，边AB 与直线b 相交于点D ．若BCD ∆是等边三角形，20A ∠=︒，则1∠= ︒．35．（2019•苏州）如图，扇形OAB 中，90AOB ∠=︒．P 为弧AB 上的一点，过点P 作PC OA ⊥，垂足为C ，PC 与AB 交于点D ．若2PD =，1CD =，则该扇形的半径长为．36．（2019•南京）在ABC ∆中，4AB =，60C ∠=︒，A B ∠>∠，则BC 的长的取值范围是． 37．（2019•南京）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm 的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 cm ．三．解答题（共8小题） 38．（2020•镇江）如图，AC 是四边形ABCD 的对角线，1B ∠=∠，点E 、F 分别在AB 、BC 上，BE CD =，BF CA =，连接EF ．（1）求证：2D ∠=∠；（2）若//EF AC ，78D ∠=︒，求BAC ∠的度数．39．（2020•常州）已知：如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，//EA FB ，EA FB =，AB CD =．（1）求证：E F ∠=∠；（2）若40A ∠=︒，80D ∠=︒，求E ∠的度数．40．（2020•盐城）以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题1~4．（Ⅰ）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，22AB =AC2.8 2.7 2.6 2.3 2 1.5 0.4BC 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8AC BC +3.2 3.5 3.8 3.9 4 3.9 3.2 （Ⅱ）根据学习函数的经验，选取上表中BC 和AC BC +的数据进行分析：①BC x =，AC BC y +=，以(,)x y 为坐标，在图①所示的坐标系中描出对应的点： ②连线：观察思考（Ⅲ）结合表中的数据以及所画的图象，猜想．当x ＝____时，y 最大；（Ⅳ）进一步精想：若Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，斜边2(AB a a =为常数，0)a >，则BC ＝____时，AC BC +最大．推理证明（Ⅴ）对（Ⅳ）中的猜想进行证明．问题1，在图①中完善（Ⅱ）的描点过程，并依次连线；问题2，补全观察思考中的两个猜想：（Ⅲ）；（Ⅳ）；问题3，证明上述（Ⅴ）中的猜想；问题4，图②中折线B E F G A --------是一个感光元件的截面设计草图，其中点A ，B 间的距离是4厘米，1AG BE ==厘米．90E F G ∠=∠=∠=︒．平行光线从AB 区域射入，60BNE ∠=︒，线段FM 、FN 为感光区域，当EF 的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值．41．（2020•徐州）如图，AC BC ⊥，DC EC ⊥，AC BC =，DC EC =，AE 与BD 交于点F ．（1）求证：AE BD =；（2）求AFD ∠的度数．42．（2020•泰州）如图，在O 中，点P 为AB 的中点，弦AD 、PC 互相垂直，垂足为M ，BC 分别与AD 、PD 相交于点E 、N ，连接BD 、MN ．（1）求证：N 为BE 的中点．（2）若O 的半径为8，AB 的度数为90︒，求线段MN 的长．43．（2020•苏州）问题1：如图①，在四边形ABCD 中，90B C ∠=∠=︒，P 是BC 上一点，PA PD =，90APD ∠=︒．求证：AB CD BC +=．问题2：如图②，在四边形ABCD 中，45B C ∠=∠=︒，P 是BC 上一点，PA PD =，90APD ∠=︒．求AB CDBC+的值．44．（2020•无锡）如图，已知//AB CD ，AB CD =，BE CF =．求证：（1）ABF DCE ∆≅∆；（2）//AF DE ．45．（2020•南京）如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB AC =，B C ∠=∠，求证：BD CE =．2018—2020年江苏省数学中考试题分类（11）——图形的初步认识与三角形一．选择题（共19小题）1．（2020•泰州）把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以得到的几何体是()A．三棱柱B．四棱柱C．三棱锥D．四棱锥【解答】解：观察展开图可知，几何体是三棱柱．故选：A．2．（2019•连云港）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是()A．B．C．D．【解答】解：由题意可知，该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．故选：B．3．（2018•常州）下列图形中，哪一个是圆锥的侧面展开图？()A．B．C．D．【解答】解：圆锥的侧面展开图是光滑的曲面，没有棱，只是扇形．故选：B．4．（2020•宿迁）如图，直线a，b被直线c所截，//∠的度数为()a b，150∠=︒，则2A．40︒B．50︒C．130︒D．150︒【解答】解：//a b，∴∠=∠=︒．2150故选：B．5．（2020•南通）如图，已知//∠=︒，则C∠的度数是()EAAB CD，54∠=︒，18A．36︒B．34︒C．32︒D．30︒【解答】解：（方法一）过点E作//EF AB，则//EF CD，如图1所示．EF AB，//∴∠=∠=︒，AEF A54∠=∠-∠=︒-︒=︒．541836CEF AEF AEC又//EF CD，∴∠=∠=︒．C CEF36（方法二）设AE与CD交于点O，如图2所示．AB CD，//DOE A∴∠=∠=︒．54又DOE C E∠=∠+∠，C DOE E∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．541836故选：A．6．（2020•常州）如图，直线a、b被直线c所截，//∠的度数是()∠=︒，则2a b，1140A．30︒B．40︒C．50︒D．60︒【解答】解：13180∠=︒，∠+∠=︒，1140∴∠=︒-∠=︒-︒=︒3180118014040a b，//∴∠=∠=︒．2340故选：B ． 7．（2019•南通）如图，//AB CD ，AE 平分CAB ∠交CD 于点E ，若70C ∠=︒，则AED ∠度数为( )A ．110︒B ．125︒C ．135︒D ．140︒ 【解答】解：//AB CD ， 180C CAB ∴∠+∠=︒， 70C ∠=︒， 110CAB ∴∠=︒， AE 平分CAB ∠，1552CAE CBA ∴∠=∠=︒，7055125AED C CAE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故选：B ． 8．（2019•常州）如图，在线段PA 、PB 、PC 、PD 中，长度最小的是( )A ．线段PAB ．线段PBC ．线段PCD ．线段PD 【解答】解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B ．故选：B ． 9．（2019•苏州）如图，已知直线//a b ，直线c 与直线a ，b 分别交于点A ，B ．若154∠=︒，则2∠等于( )A ．126︒B ．134︒C ．136︒D ．144︒【解答】解：如图所示： //a b ，154∠=︒， 1354∴∠=∠=︒，218054126∴∠=︒-︒=︒．故选：A ．10．（2019•宿迁）一副三角板如图摆放（直角顶点C 重合），边AB 与CE 交于点F ，//DE BC ，则BFC ∠等于( )A ．105︒B ．100︒C ．75︒D ．60︒ 【解答】解：由题意知45E ∠=︒，30B ∠=︒， //DE CB ，45BCF E ∴∠=∠=︒，在CFB ∆中，1801803045105BFC B BCF ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选：A ． 11．（2020•南通）如图，在ABC ∆中，2AB =，60ABC ∠=︒，45ACB ∠=︒，D 是BC 的中点，直线l 经过点D ，AE l ⊥，BF l ⊥，垂足分别为E ，F ，则AE BF +的最大值为( )A ．6B ．22C ．23D ．32 【解答】解：如图，过点C 作CK l ⊥于点K ，过点A 作AH BC ⊥于点H ，在Rt AHB ∆中，60ABC ∠=︒，2AB =， 1BH ∴=，3AH =，在Rt AHC ∆中，45ACB ∠=︒，2222(3)(3)6AC AH CH ∴=+=+=，点D 为BC 中点， BD CD ∴=，在BFD ∆与CKD ∆中，90BFD CKD BDF CDKBD CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BFD CKD AAS ∴∆≅∆， BF CK ∴=，延长AE ，过点C 作CN AE ⊥于点N ，可得AE BF AE CK AE EN AN +=+=+=，在Rt ACN ∆中，AN AC <，当直线l AC ⊥时，最大值为6，综上所述，AE BF +的最大值为6．故选：A ． 12．（2020•宿迁）在ABC ∆中，1AB =，5BC =，下列选项中，可以作为AC 长度的是( ) A ．2 B ．4 C ．5 D ．6 【解答】解：在ABC ∆中，1AB =，5BC =， ∴5151AC -<<+，51251-<<+，451>+，551>+，651>+， AC ∴的长度可以是2，故选项A 正确，选项B 、C 、D 不正确；故选：A ． 13．（2020•常州）如图，AB 是O 的弦，点C 是优弧AB 上的动点(C 不与A 、B 重合），CH AB ⊥，垂足为H ，点M 是BC 的中点．若O 的半径是3，则MH 长的最大值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 【解答】解：CH AB ⊥，垂足为H ， 90CHB ∴∠=︒，点M 是BC 的中点．12MH BC ∴=，BC 的最大值是直径的长，O 的半径是3， MH ∴的最大值为3，故选：A ． 14．（2020•徐州）若一个三角形的两边长分别为3cm 、6cm ，则它的第三边的长可能是( ) A ．2cm B ．3cm C ．6cm D ．9cm 【解答】解：设第三边长为xcm ，根据三角形的三边关系可得： 6363x -<<+，解得：39x <<，故选：C ． 15．（2019•无锡）如图，在正方形网格（每个小正方形的边长都是1)中，若将ABC ∆沿A D -的方向平移AD 长，得(DEF B ∆、C 的对应点分别为E 、)F ，则BE 长为( )A ．1B ．2C ．5D ．3【解答】解：如图所示：22125BE =+=．故选：C ．16．（2019•徐州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是( ) A ．2，2，4 B ．5，6，12 C ．5，7，2 D ．6，8，10 【解答】解：224+=，2∴，2，4不能组成三角形，故选项A 错误， 5612+<，5∴，6，12不能组成三角形，故选项B 错误， 527+=，5∴，7，2不能组成三角形，故选项C 错误， 6810+>，6∴，8，10能组成三角形，故选项D 正确，故选：D ． 17．（2019•泰州）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 在小正方形的顶点上，则ABC ∆的重心是( )A ．点DB ．点EC ．点FD ．点G 【解答】解：根据题意可知，直线CD 经过ABC ∆的AB 边上的中线，直线AD 经过ABC ∆的BC 边上的中线， ∴点D 是ABC ∆重心．故选：A ． 18．（2019•扬州）已知n 是正整数，若一个三角形的三边长分别是2n +、8n +、3n ，则满足条件的n 的值有( ) A ．4个 B ．5个 C ．6个 D ．7个【解答】解：①若283n n n +<+，则 28383n n nn n +++>⎧⎨+⎩，解得104n n <⎧⎨⎩，即410n <，∴正整数n 有6个：4，5，6，7，8，9； ②若238n n n +<+，则 23838n n n n n ++>+⎧⎨+⎩，解得24n n >⎧⎨⎩，即24n <，∴正整数n 有2个：3和4；③若328n n n +<+，则不等式组无解；综上所述，满足条件的n 的值有7个，故选：D ． 19．（2019•盐城）如图，点D 、E 分别是ABC ∆边BA 、BC 的中点，3AC =，则DE 的长为( )A ．2B ．43 C ．3 D ．32【解答】解：点D 、E 分别是ABC ∆的边BA 、BC 的中点， DE ∴是ABC ∆的中位线，11.52DE AC ∴==．故选：D ．二．填空题（共18小题） 20．（2019•常州）如果35α∠=︒，那么α∠的余角等于 55 ︒．【解答】解：35α∠=︒， α∴∠的余角等于903555︒-︒=︒ 故答案为：55． 21．（2019•苏州）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．图①是由边长为10cm 的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形．该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为 522cm （结果保留根号）．【解答】解：21010100()cm ⨯= 10052)8cm = 答：该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为522．故答案为：522． 22．（2019•扬州）如图，在ABC ∆中，5AB =，4AC =，若进行以下操作，在边BC 上从左到右依次取点1D 、2D 、3D 、4D 、⋯；过点1D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点1E 、1F ；过点2D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点2E 、2F ；过点3D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点3E 、3F ⋯，则1122201920191122201920194()5()D E D E D E D F D F D F ++⋯++++⋯+= 40380 ．【解答】解：11//D F AC ，11//D E AB ， ∴111D F BF AC AB =，即1111D F AB DE AC AB -=， 5AB =，4BC =， 11114520D E DF ∴+=，同理22224520D E D F +=，⋯，20192019201920194520D E D F +=，1122201920191122201920194()5()20201940380D E D E D E D F D F D F ∴++⋯++++⋯+=⨯=；故答案为40380． 23．（2019•扬州）将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若26ABC ∠=︒，则ACD ∠= 128 ︒．【解答】解：延长DC ，由题意可得：26ABC BCE BCA ∠=∠=∠=︒，则1802626128ACD ∠=︒-︒-︒=︒．故答案为：128．24．（2020•宿迁）如图，在ABC ∆中，AB AC =，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，E 为AB 的中点，若12BC =，8AD =，则DE 的长为 5 ．【解答】解：AB AC =，AD 平分BAC ∠， AD BC ∴⊥，6BD CD ==， 90ADB ∴∠=︒，22228610AB AD BD ∴=+=+=，AE EB =，152DE AB ∴==，故答案为5． 25．（2020•常州）如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，62AB =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，连接DE ，在直线DE 和直线BC 上分别取点F 、G ，连接BF 、DG ．若3BF DG =，且直线BF 与直线DG 互相垂直，则BG 的长为 4或2 ．【解答】解：如图，过点B 作BT BF ⊥交ED 的延长线于T ，过点B 作BH DT ⊥于H ．DG BF ⊥，BT BF ⊥，//DG BT∴， AD DB =，AE EC =， //DE BC ∴，∴四边形DGBT 是平行四边形，BG DT ∴=，DG BT =，45BDH ABC ∠=∠=︒， 32AD DB ==， 3BH DH ∴==，90TBF BHF ∠=∠=︒，90TBH FBH ∴∠+∠=︒，90FBH F ∠+∠=︒， TBH F ∴∠=∠，1tan tan 3BT DG F TBH BF BF ∴∠=∠===，∴13TH BH =， 1TH ∴=，134DT TH DH ∴=+=+=， 4BG ∴=．当点F 在ED 的延长线上时，同法可得312DT BG ==-=．故答案为4或2．26．（2020•徐州）如图，30MON ∠=︒，在OM 上截取13OA =．过点1A 作11A B OM ⊥，交ON 于点1B ，以点1B 为圆心，1B O 为半径画弧，交OM 于点2A ；过点2A 作22A B OM ⊥，交ON 于点2B ，以点2B 为圆心，2B O 为半径画弧，交OM 于点3A ；按此规律，所得线段2020A B 的长等于 192 ．【解答】解：111B O B A =，112B A OA ⊥， 112OA A A ∴=，22B A OM ⊥，11B A OM ⊥， 1122//B A B A ∴，112212B A A B ∴=，22112A B A B ∴=，同法可得233221122A B A B A B ==，⋯，由此规律可得192020112A B A B =， 1113tan3031A B OA =︒=⨯=， 1920202A B ∴=，故答案为192． 27．（2020•徐州）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 的中点，若5BF =，则DE = 5 ．【解答】解：如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，F 为CA 的中点，5BF =， 210AC BF ∴==．又D 、E 分别为AB 、BC 的中点， DE ∴是Rt ABC ∆的中位线，152DE AC ∴==．故答案是：5．28．（2020•常州）如图，在ABC ∆中，BC 的垂直平分线分别交BC 、AB 于点E 、F ．若AFC ∆是等边三角形，则B ∠= 30 ︒．【解答】解：EF 垂直平分BC ，BF CF ∴=， B BCF ∴∠=∠，ACF ∆为等边三角形， 60AFC ∴∠=︒，30B BCF ∴∠=∠=︒．故答案为：30． 29．（2020•扬州）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈(1丈10=尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面 4.55 尺高．【解答】解：设折断处离地面x 尺，根据题意可得：2223(10)x x +=-，解得： 4.55x =．答：折断处离地面4.55尺．故答案为：4.55． 30．（2020•南京）如图，线段AB 、BC 的垂直平分线1l 、2l 相交于点O ，若139∠=︒，则AOC ∠= 78︒ ．【解答】解：解法一：连接BO ，并延长BO 到P ，线段AB 、BC 的垂直平分线1l 、2l 相交于点O ，AO OB OC ∴==，90BDO BEO ∠=∠=︒，180DOE ABC ∴∠+∠=︒，1180DOE ∠+∠=︒，139ABC ∴∠=∠=︒，OA OB OC ==，A ABO ∴∠=∠，OBC C ∠=∠，AOP A ABO ∠=∠+∠，COP C OBC ∠=∠+∠，23978AOC AOP COP A ABC C ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠=⨯︒=︒；解法二：连接OB ，线段AB 、BC 的垂直平分线1l 、2l 相交于点O ，AO OB OC ∴==，AOD BOD ∴∠=∠，BOE COE ∠=∠，1180DOE ∠+∠=︒，139∠=︒，141DOE ∴∠=︒，即141BOD BOE ∠+∠=︒，141AOD COE ∴∠+∠=︒，360()()78AOC BOD BOE AOD COE ∴∠=︒-∠+∠-∠+∠=︒；故答案为：78︒．31．（2020•苏州）如图，在ABC ∆中，已知2AB =，AD BC ⊥，垂足为D ，2BD CD =．若E 是AD 的中点，则EC = 1 ．【解答】解：设AE ED x ==，CD y =，2BD y ∴=，AD BC ⊥，90ADB ADC ∴∠=∠=︒，在Rt ABD ∆中，22244AB x y ∴=+，221x y ∴+=，在Rt CDE ∆中，2221EC x y ∴=+=0EC >1EC ∴=．另解：依据AD BC ⊥，2BD CD =，E 是AD 的中点，即可得判定CDE BDA ∆∆∽，且相似比为1:2， ∴12CE AB =，即1CE =．故答案为：132．（2020•泰州）如图，将分别含有30︒、45︒角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65︒，则图中角α的度数为 140︒ ．【解答】解：如图，30B ∠=︒，65DCB ∠=︒，306595DFB B DCB ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，4595140D DFB α∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故答案为：140︒．33．（2019•南通）如图，ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=︒，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE CF =，若25BAE ∠=︒，则ACF ∠= 70 度．【解答】解：在Rt ABE ∆与Rt CBF ∆中，AE CF AB BC =⎧⎨=⎩， Rt ABE Rt CBF(HL)∴∆≅∆．25BAE BCF ∴∠=∠=︒；AB BC =，90ABC ∠=︒，45ACB ∴∠=︒，254570ACF ∴∠=︒+︒=︒；故答案为：70．34．（2019•镇江）如图，直线//a b ，ABC ∆的顶点C 在直线b 上，边AB 与直线b 相交于点D ．若BCD ∆是等边三角形，20A ∠=︒，则1∠= 40 ︒．【解答】解：BCD ∆是等边三角形，60BDC ∴∠=︒，//a b ，260BDC ∴∠=∠=︒，由三角形的外角性质和对顶角相等可知，1240A ∠=∠-∠=︒，故答案为：40．35．（2019•苏州）如图，扇形OAB 中，90AOB ∠=︒．P 为弧AB 上的一点，过点P 作PC OA ⊥，垂足为C ，PC 与AB 交于点D ．若2PD =，1CD =，则该扇形的半径长为 5 ．【解答】解：连接OP ，如图所示．OA OB =，90AOB ∠=︒，45OAB ∴∠=︒．PC OA ⊥，ACD ∴∆为等腰直角三角形，1AC CD ∴==．设该扇形的半径长为r ，则1OC r =-，在Rt POC ∆中，90PCO ∠=︒，3PC PD CD =+=，222OP OC PC ∴=+，即22(1)9r r =-+，解得：5r =．故答案为：5．36．（2019•南京）在ABC ∆中，4AB =，60C ∠=︒，A B ∠>∠，则BC 的长的取值范围是 8343BC< ．【解答】解：作ABC ∆的外接圆，如图所示：BAC ABC ∠>∠，4AB =，当90BAC ∠=︒时，BC 是直径最长，60C ∠=︒，30ABC ∴∠=︒，2BC AC ∴=，34AB AC ==，433AC ∴=， 833BC ∴=；当BAC ABC ∠=∠时，ABC ∆是等边三角形，4BC AC AB ===，BAC ABC ∠>∠，BC ∴长的取值范围是8343BC <；故答案为：8343BC <． 37．（2019•南京）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm 的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 5 cm ．【解答】解：由题意可得：杯子内的筷子长度为：2212915+=，则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20155()cm -=．故答案为：5．三．解答题（共8小题）38．（2020•镇江）如图，AC 是四边形ABCD 的对角线，1B ∠=∠，点E 、F 分别在AB 、BC 上，BE CD =，BF CA =，连接EF ．（1）求证：2D ∠=∠；（2）若//EF AC ，78D ∠=︒，求BAC ∠的度数．【解答】证明：（1）在BEF ∆和CDA ∆中，1BE CD B BF CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BEF CDA SAS ∴∆≅∆，2D ∴∠=∠；（2）2D ∠=∠，78D ∠=︒，278D ∴∠=∠=︒，//EF AC ，278BAC ∴∠=∠=︒．39．（2020•常州）已知：如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，//EA FB ，EA FB =，AB CD =．（1）求证：E F ∠=∠；（2）若40A ∠=︒，80D ∠=︒，求E ∠的度数．【解答】证明：（1）//EA FB ，A FBD ∴∠=∠，AB CD =，AB BC CD BC ∴+=+，即AC BD =，在EAC ∆与FBD ∆中，EA FB A FBD AC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EAC FBD SAS ∴∆≅∆，E F ∴∠=∠；（2）EAC FBD ∆≅∆，80ECA D ∴∠=∠=︒，40A ∠=︒，180408060E ∴∠=︒-︒-︒=︒，答：E ∠的度数为60︒．40．（2020•盐城）以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题1~4．（Ⅰ）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，22AB =，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到一组数据如下表：（单位：厘米）AC2.8 2.7 2.6 2.3 2 1.5 0.4 BC0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 AC BC +3.2 3.5 3.8 3.9 4 3.9 3.2 （Ⅱ）根据学习函数的经验，选取上表中BC 和AC BC +的数据进行分析：①BC x =，AC BC y +=，以(,)x y 为坐标，在图①所示的坐标系中描出对应的点：②连线：观察思考（Ⅲ）结合表中的数据以及所画的图象，猜想．当x ＝____时，y 最大；（Ⅳ）进一步精想：若Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，斜边2(AB a a =为常数，0)a >，则BC ＝____时，AC BC +最大．推理证明（Ⅴ）对（Ⅳ）中的猜想进行证明．问题1，在图①中完善（Ⅱ）的描点过程，并依次连线；问题2，补全观察思考中的两个猜想：（Ⅲ） 2 ；（Ⅳ）；问题3，证明上述（Ⅴ）中的猜想；问题4，图②中折线B E F G A --------是一个感光元件的截面设计草图，其中点A ，B 间的距离是4厘米，1AG BE ==厘米．90E F G ∠=∠=∠=︒．平行光线从AB 区域射入，60BNE ∠=︒，线段FM 、FN 为感光区域，当EF 的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值．【解答】解：问题1：函数图象如图所示：问题2:（Ⅲ）观察图象可知，2x =时，y 有最大值．（Ⅳ）猜想：2BC a =．故答案为：2，2BC a =．问题3：设BC x =，AC BC y +=，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒22224AC AB BC a x ∴=-=-，224y x a x ∴=+-，224y x a x ∴-=-，222224y xy x a x ∴-+=-，2222240x xy y a ∴-+-=，关于x 的一元二次方程有实数根，∴△222442(4)0y y a =-⨯⨯-，228y a ∴，0y >，0a >，22y a ∴，当22y a =时，2224240x ax a -+=2(22)0x a ∴-=，122x x a ∴==，∴当2BC a =时，y 有最大值．问题4：延长AM 交EF 的延长线于C ，过点A 作AH EF ⊥于H ，过点B 作BK GF ⊥于K 交AH 于Q ．在Rt BNE ∆中，90E ∠=︒，60BNE ∠=︒，1BE cm =，tan BE BNE EN∴∠=， 3)NE cm ∴=， //AM BN ，60C ∴∠=︒，90GFE ∠=︒，30CMF ∴∠=︒，30AMG ∴∠=︒，90G ∠=︒，1AG cm =，30AMG ∠=︒，∴在Rt AGM ∆中，tan AG AMG GM ∠=， 3()GM cm ∴=，90G GFH ∠=∠=︒，90AHF ∠=︒，∴四边形AGFH 为矩形，AH FG ∴=，90GFH E ∠=∠=︒，90BKF ∠=︒∴四边形BKFE 是矩形，BK FE ∴=，3434332FN FM EF FG EN GM BK AH BQ AQ KQ QH BQ AQ +=+--=+--=+++-=++-，在Rt ABQ ∆中，4AB cm =，由问题3可知，当22BQ AQ cm ==时，AQ BQ +的值最大，此时(122)EF cm =+，22BQ AQ ∴==时，FN FM +的最大值为43(422)cm +-，此时(122)EF cm =+． 41．（2020•徐州）如图，AC BC ⊥，DC EC ⊥，AC BC =，DC EC =，AE 与BD 交于点F ．（1）求证：AE BD =；（2）求AFD ∠的度数．【解答】解：（1）AC BC ⊥，DC EC ⊥，90ACB DCE ∴∠=∠=︒，ACE BCD ∴∠=∠，在ACE ∆和BCD ∆中，AC BC ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACE BCD SAS ∴∆≅∆，AE BD ∴=；（2）设BC 与AE 交于点N ，90ACB ∠=︒，90A ANC ∴∠+∠=︒，ACE BCD ∆≅∆，A B ∴∠=∠，ANC BNF ∠=∠，90B BNF A ANC ∴∠+∠=∠+∠=︒，90AFD B BNF ∴∠=∠+∠=︒．42．（2020•泰州）如图，在O中，点P为AB的中点，弦AD、PC互相垂直，垂足为M，BC分别与AD、PD相交于点E、N，连接BD、MN．（1）求证：N为BE的中点．（2）若O的半径为8，AB的度数为90︒，求线段MN的长．【解答】（1）证明：AD PC⊥，∴∠=︒，EMC90点P为AB的中点，=，∴PA PBADP BCP∴∠=∠，∠=∠，CEM DEN∴∠=∠=︒=∠，DNE EMC DNB90=，PA PB∴∠=∠，BDP ADP∴∠=∠，DEN DBNDE DB∴=，∴=，EN BN∴为BE的中点；N（2）解：连接OA，OB，AB，AC，AB的度数为90︒，∴∠=︒，90AOB==，8OA OB∴=AB82由（1）同理得：AM EM=，EN BN=，∆的中位线，MN∴是AEB1422MN AB ∴==． 43．（2020•苏州）问题1：如图①，在四边形ABCD 中，90B C ∠=∠=︒，P 是BC 上一点，PA PD =，90APD ∠=︒．求证：AB CD BC +=．问题2：如图②，在四边形ABCD 中，45B C ∠=∠=︒，P 是BC 上一点，PA PD =，90APD ∠=︒．求AB CD BC+的值．【解答】证明：（1）90B APD ∠=∠=︒，90BAP APB ∴∠+∠=︒，90APB DPC ∠+∠=︒，BAP DPC ∴∠=∠，又PA PD =，90B C ∠=∠=︒，()BAP CPD AAS ∴∆≅∆，BP CD ∴=，AB PC =，BC BP PC AB CD ∴=+=+；（2）如图2，过点A 作AE BC ⊥于E ，过点D 作DF BC ⊥于F ，由（1）可知，EF AE DF =+，45B C ∠=∠=︒，AE BC ⊥，DF BC ⊥，45B BAE ∴∠=∠=︒，45C CDF ∠=∠=︒，BE AE ∴=，CF DF =，2AB AE =，2CD DF =，2()BC BE EF CF AE DF ∴=++=+， ∴2()2AB CD AE DF BC ++==． 44．（2020•无锡）如图，已知//AB CD ，AB CD =，BE CF =．求证：（1）ABF DCE ∆≅∆；（2）//AF DE ．【解答】证明：（1）//AB CD ， B C ∴∠=∠，BE CF =，BE EF CF EF ∴-=-，即BF CE =，在ABF ∆和DCE ∆中，AB DC B C BF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABF DCE SAS ∴∆≅∆；（2）ABF DCE ∆≅∆，AFB DEC ∴∠=∠，AFE DEF ∴∠=∠，//AF DE ∴．45．（2020•南京）如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB AC =，B C ∠=∠，求证：BD CE =．【解答】证明：在ABE ∆与ACD ∆中A A AB AC B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ABE ACD ASA ∴∆≅∆．AD AE ∴=．BD CE ∴=．。

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