提公因式法与公式法综合
因式分解-提公因式法、公式法的综合运用
• 将$a^2b^2 - 2ab + 1$视为$(ab)^2 2ab + 1^2$，即 $(ab - 1)^2$。
• 因此，原多项式可以 分解为$(ab - 1)^2$ 。
04
注意事项与易错点分析
提公因式法中的易错点
80%
未找全公因式
在提取公因式时，学生可能只关 注到部分项的公因式，而忽略了 其他项的公因式，导致提取不完 全。
因式分解-提公因式法、公式 法的综合运用
目
CONTENCT
录
• 引言 • 公式法 • 提公因式法与公式法的综合运用 • 注意事项与易错点分析 • 练习题与答案解析
01
引言
因式分解的概念
因式分解是把一个多项式分解成几个 整式的乘积的形式。
因式分解是中学数学中重要的恒等变 形之一，它被广泛地应用于初等数学 之中，在求根、化简根式、解一元二 次方程等方面都经常用到因式分解。
找出多项式的公因式。
第二步
提取公因式，将多项式化为两个多项式的积的形式。
提公因式法的应用举例
例1：分解因式 $6x^3y + 9x^2y^2 - 3xy^3$。
$6x^3y + 9x^2y^2 - 3xy^3 = 3xy(2x^2 + 3xy - y^2)$
解：观察多项式各项，发现它们 的公共因子是 $x-y$，提取公因
100%
符号处理不当
在提取公因式时，需要注意各项 的符号。若符号处理不当，可能 导致结果错误。
80%
忽视数字系数
在提取公因式时，学生可能会忽 视数字系数的提取，只关注字母 部分，从而导致结果不准确。
公式法中的易错点
公式选择不当
针对不同的多项式，需要选择合 适的公式进行因式分解。若公式 选择不当，可能导致分解失败或
因式分解之提取公因式法和运用公式法(教师版)
课题：因式分解之提取公因式法和公式法知识精要：一、因式分解的概念1、定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解因式分解多项式（和差形式） 整式的积（积的形式）整式乘法二、提取公因式法1、定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．即()ma mb mc m a b c ++=++（1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数；（2）字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取最低次数．2、步骤：（1）观察；（2）确定公因式；（3）将公因式提到括号外；（4）将多项式写成因式乘积的形式．3、提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察公因式的特点，找出确定公因式的方法：（1）公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积．（2）公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式．4、提取公因式法应注意的事项：（1）提取的公因式应为最大公因式；（2）当某一项被完全提取，该项要用“1”来代替；（3）要使得括号内第一项的系数为正数；（4）要使得括号内每一项的系数为整数；（5）注意符号变换问题．二、公式法1、平方差公式： 22()()a b a b a b -=+-2、完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±3、注意事项：（1）注意公式的结构特点；（2）注意符号；（3）首先想到提取公因式法；（4）注意分解一定要彻底． 精解名题：例1、下列从左到右的变形哪个是分解因式（ C ）A ．223(2)3x x x x +-=+-； B ．()()ma mb na nb m a b n a b +++=+++；C ．221236(6)x x x -+=-；D ．22()22m m n m mn -+=--．例2、多项式3222315520x y x y x y +-的最大公因式是（ C ）A ．5xy ；B ．225x y ；C ．25x y ；D ．235x y ． 例3、把多项式2(2)(2)m a m a -+-分解因式正确的是（ C ）A ．2(2)()a m m -+；B ．(2)(1)m a m -+；C ．(2)(1)m a m --；D ．2(2)()a m m -+． 例4、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ A ）A ．22a b -+；B ．22a b --；C ．22a b +；D ．33a b -．例5、若2(3)4x m x +-+是完全平方式，则实数m 的值是（ D ）A ．5-；B ．3；C ．7 ；D ．7或1-．例6、若二项式24x +加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式共有（ C ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个．例7、无论x 、y 为任何实数，多项式22428x y x y +--+的值一定是（ A ）A ．正数；B ．负数；C ．零；D ．不确定．例8、下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ B ）A ．22m mn n -+；B ．2()4a b ab +-；C ．2124x x -+； D ．221x x +-． 例9、若3a b +=，则222426a ab b ++-的值为（ A ）A ．12；B ．6；C ．3；D ．0． 例10、已知221x y -=-，12x y +=，则x y -= ．（2-） 例11、已知3x y +=，则221122x xy y ++=__________.（92） 例12、已知2226100x y x y +-++=，则x y +=________.（2-）例13、因式分解：（第（1）-（6）用提取公因式法；第（7）-（22）用公式法）（1）-+-41222332m n m n mn ； （2） 3423424281535a b a b a b -+；解：原式222(261)mn mn m n =--+ 解：原式22222(2512)15a b ab b a =-+ （3）322x x x ()()---； （4）412132q p p ()()-+-；解：原式(2)(31)x x =-+ 解：原式22(1)(221)p q pq =--+（5）3122+++--+-m m m m ax acx abx x a ；（6）3225(2)(2)3(2)(2)n n x y x y ----- 解：原式23()m ax ax bx c x =--++ 解：原式2(2)(2)[5103(2)]n nx y x y =-----（7）2249x y -； （8）3282(1)a a a -+；解：原式(23)(23)x y x y =+- 解：原式2(31)(1)a a a =+-（9）44116a b -； （10）224()25()x y x y --+； 解：原式22(14)(12)(12)a b ab ab =++- 解：原式(73)(37)x y x y =-++ （11）42241128a b a b -； （12）2233(27)4x x --； 解：原式221(2)(2)8a b a b a b =+- 解：原式9(6)(6)4x x =+- （13）31()7()7x y x y ---； （14）222(4)16x x +-； 解：原式1()(7)(7)7x y x y x y =--+--解：原式22(2)(2)x x =+- （15）29124a a ++； （16）229312554a ab b -+； 解：原式2(32)a =+ 解：原式231()52a b =-（17）2244ab a b --； （18）2318248a a a -+；解：原式2(2)a b =-- 解：原式22(23)a a =-（19）42816x x -+； （20）(6)9a a ++；解：原式22(2)(2)x x =+- 解：原式2(3)a =+（21）2()10()25m n m n ++++；（22）2222()6()9()a b a b a b ++-+-；解：原式2(5)m n =++ 解：原式24(2)a b =-例14、已知12a b -=，18ab =，求22332a b ab a b -++的值． 解：∵12a b -=，18ab =， ∴2233221112()()8232a b ab a b ab a b -++=-=⨯=例15、应用简便方法计算。
江苏省无锡市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类(含答案)
江苏省无锡市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类一．科学记数法—表示较大的数（共3小题）1．（2023•无锡）废旧电池含有少量重金属，随意丢弃会污染环境．有资料表明，一粒纽扣大的废旧电池大约会污染水600000L．数据600000用科学记数法可表示 ．2．（2022•无锡）高速公路便捷了物流和出行，构建了我们更好的生活．交通运输部的数据显示，截止去年底，我国高速公路通车里程161000公里，稳居世界第一．161000这个数据用科学记数法可表示为 ．3．（2021•无锡）2021年5月15日我国天问一号探测器在火星预选着陆区着陆，在火星上首次留下中国印迹，迈出我国星际探测征程的重要一步．目前探测器距离地球约320000000千米，320000000这个数据用科学记数法可表示为 ．二．因式分解-运用公式法（共1小题）4．（2023•无锡）分解因式：4﹣4x+x2＝ ．三．提公因式法与公式法的综合运用（共2小题）5．（2022•无锡）分解因式：2a2﹣4a+2＝ ．6．（2021•无锡）分解因式：2x3﹣8x＝ ．四．解二元一次方程组（共1小题）7．（2022•无锡）二元一次方程组的解为 ．五．解分式方程（共1小题）8．（2023•无锡）方程的解是：x＝ ．六．一次函数的性质（共2小题）9．（2023•无锡）请写出一个函数的表达式，使得它的图象经过点（2，0）： ．10．（2022•无锡）请写出一个函数的表达式，使其图象分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴相交： ．七．反比例函数的性质（共2小题）11．（2023•无锡）已知曲线C1、C2分别是函数y＝﹣（x＜0），y＝（k＞0，x＞0）的图象，边长为6的正△ABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），现将△ABC绕原点O顺时针旋转，当点B在曲线C1上时，点A恰好在曲线C2上，则k的值为 ．12．（2021•无锡）请写出一个函数表达式，使其图象在第二、四象限且关于原点对称： ．八．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）13．（2021•无锡）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且CB＝3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P（x，y）（x＞0），写出y关于x的函数表达式为： ．九．抛物线与x轴的交点（共2小题）14．（2023•无锡）二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣5）（a＞）的图象与x轴交于点A、B，与y 轴交于点C，过点M（3，1）的直线将△ABC分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则a的值为 ．15．（2022•无锡）把二次函数y＝x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件： ．一十．几何体的展开图（共1小题）16．（2023•无锡）若直三棱柱的上下底面为正三角形，侧面展开图是边长为6的正方形，则该直三棱柱的表面积为 ．一十一．勾股定理的应用（共1小题）17．（2023•无锡）《九章算术》中提出了如下问题：今有产不加高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 ．一十二．正方形的性质（共1小题）18．（2022•无锡）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE 且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝ ．一十三．圆锥的计算（共1小题）19．（2021•无锡）用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．一十四．命题与定理（共2小题）20．（2022•无锡）请写出命题“如果a＞b，那么b﹣a＜0”的逆命题： ．21．（2021•无锡）下列命题中，正确命题的个数为 ．①所有的正方形都相似②所有的菱形都相似③边长相等的两个菱形都相似④对角线相等的两个矩形都相似一十五．翻折变换（折叠问题）（共1小题）22．（2021•无锡）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，点E在线段AC 上，且AE＝1，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，AF＝ ．一十六．旋转的性质（共1小题）23．（2022•无锡）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC＝20°，则∠BAF＝ °；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是 ．一十七．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）24．（2021•无锡）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为 米．江苏省无锡市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类参考答案与试题解析一．科学记数法—表示较大的数（共3小题）1．（2023•无锡）废旧电池含有少量重金属，随意丢弃会污染环境．有资料表明，一粒纽扣大的废旧电池大约会污染水600000L．数据600000用科学记数法可表示 6×105 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：600000＝6×105．故答案为：6×105．2．（2022•无锡）高速公路便捷了物流和出行，构建了我们更好的生活．交通运输部的数据显示，截止去年底，我国高速公路通车里程161000公里，稳居世界第一．161000这个数据用科学记数法可表示为 1.61×105 ．【答案】1.61×105．【解答】解：161000＝1.61×105．故答案为：1.61×105．3．（2021•无锡）2021年5月15日我国天问一号探测器在火星预选着陆区着陆，在火星上首次留下中国印迹，迈出我国星际探测征程的重要一步．目前探测器距离地球约320000000千米，320000000这个数据用科学记数法可表示为 3.2×108 ．【答案】3.2×108．【解答】解：320000000＝3.2×108，故选：3.2×108．二．因式分解-运用公式法（共1小题）4．（2023•无锡）分解因式：4﹣4x+x2＝ （2﹣x）2 ．【答案】（2﹣x）2．【解答】解：4﹣4x+x2＝（2﹣x）2；故答案为：（2﹣x）2．三．提公因式法与公式法的综合运用（共2小题）5．（2022•无锡）分解因式：2a2﹣4a+2＝ 2（a﹣1）2 ．【答案】2（a﹣1）2．【解答】解：原式＝2（a2﹣2a+1）＝2（a﹣1）2．故答案为：2（a﹣1）2．6．（2021•无锡）分解因式：2x3﹣8x＝ 2x（x﹣2）（x+2） ．【答案】见试题解答内容【解答】解：2x3﹣8x，＝2x（x2﹣4），＝2x（x+2）（x﹣2）．四．解二元一次方程组（共1小题）7．（2022•无锡）二元一次方程组的解为 ．【答案】．【解答】解：，由②得：y＝2x﹣1③，将③代入①得：3x+2（2x﹣1）＝12，解得：x＝2，将x＝2代入③得：y＝3，∴原方程组的解为．故答案为：．五．解分式方程（共1小题）8．（2023•无锡）方程的解是：x＝ ﹣1 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：，3（x﹣1）＝2（x﹣2），解得：x＝﹣1，检验：当x＝﹣1时，（x﹣1）（x﹣2）≠0，∴x＝﹣1是原方程的根，故答案为：﹣1．六．一次函数的性质（共2小题）9．（2023•无锡）请写出一个函数的表达式，使得它的图象经过点（2，0）： y＝x﹣2（答案不唯一） ．【答案】见试题解答内容【解答】解：设k＝1，则y＝x+b，∵它的图象经过点（2，0），∴代入得：2+b＝0，解得：b＝﹣2，∴一次函数解析式为y＝x﹣2，故答案为：y＝x﹣2（答案不唯一）．10．（2022•无锡）请写出一个函数的表达式，使其图象分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴相交： y＝x+1（答案不唯一） ．【答案】y＝x+1（答案不唯一）．【解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵一次函数的图象分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴相交，∴k＞0，b＞0，∴符合条件的函数解析式可以为：y＝x+1（答案不唯一）．故答案为：y＝x+1（答案不唯一）．七．反比例函数的性质（共2小题）11．（2023•无锡）已知曲线C1、C2分别是函数y＝﹣（x＜0），y＝（k＞0，x＞0）的图象，边长为6的正△ABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），现将△ABC绕原点O顺时针旋转，当点B在曲线C1上时，点A恰好在曲线C2上，则k的值为 6 ．【答案】6．【解答】解：作A′D⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，∵将△ABC绕原点O顺时针旋转，点B在曲线C1上时，点A恰好在曲线C2上，∴S△OA′D＝k，S△OB′E＝×|﹣2|＝1，∵边长为6的正△ABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），OA⊥BC，∴OB＝3，OA＝3，由旋转的性质可知OB′＝OB＝3，OA′＝OA＝3，∴＝，∵∠A′OB′＝∠AOB＝90°，∴∠B′OE+∠A′OD＝90°，∵∠A′OD+∠OA′D＝90°，∴∠B′OE＝∠OA′D，∵∠OEB′＝∠A′DO＝90°，∴△A′OD∽△OB′E，∴＝3，即，∴k＝6．故答案为：6．12．（2021•无锡）请写出一个函数表达式，使其图象在第二、四象限且关于原点对称： y＝﹣答案不唯一 ．【答案】y＝﹣答案不唯一．【解答】解：若反比例函数y＝（k是常数，且k≠0）的图象在第二、四象限，则k＜0，故k可取﹣1，此时反比例函数解析式为y＝﹣．故答案为：y＝﹣答案不唯一．八．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）13．（2021•无锡）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且CB＝3AC，P为CB 的中点，设点P的坐标为P（x，y）（x＞0），写出y关于x的函数表达式为： y＝x2 ．【答案】y＝x2．【解答】解：过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，如图：∵AD⊥y轴，BE⊥y轴，∴AD∥BE，∴△ACD∽△BCE，∴＝＝，∵CB＝3AC，∴CE＝3CD，BE＝3AD，设AD＝m，则BE＝3m，∵A 、B 两点在二次函数y ＝x 2的图象上，∴A （﹣m ，m 2），B （3m ，9m 2），∴OD ＝m 2，OE ＝9m 2，∴ED ＝8m 2，而CE ＝3CD ，∴CD ＝2m 2，OC ＝3m 2，∴C （0，3m 2），∵P 为CB 的中点，∴P （m ，6m 2），又已知P （x ，y ），∴，∴y ＝x 2；故答案为：y ＝x 2．九．抛物线与x 轴的交点（共2小题）14．（2023•无锡）二次函数y ＝a （x ﹣1）（x ﹣5）（a ＞）的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，过点M （3，1）的直线将△ABC 分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则a 的值为 或或 ．【答案】或或．【解答】解：令y ＝0，解得x ＝1或x ＝5，∴A （1，0），B （5，0），令x ＝0，则y ＝5a ，∴C （0，5a ），∴直线BM 解析式为y ＝﹣x +，与y 轴于（0，），∵a ＞，∴5a ＞，∴点M必在△ABC内部．一、当分成两个三角形时，直线必过三角形个顶点，平分面积，则过点M的直线必为中线；①如图1，直线AM过BC中点，∵A（1，0），M（3，1），∴直线AM的解析式为y＝x﹣，∵BC中点坐标为（，a），代入直线求得a＝＜，不成立；②如图2，直线BM过AC中点（，a），∴直线BM解析式为y＝﹣x+，将AC中点坐标（，a）代入入直线求得a＝；③如图3，直线CM过AB中点，AB中点坐标为（3，0），∴直线MB与y轴平行，不成立；二、当分成三角形和梯形时，过点M的直线必与△ABC一边平行，∴必有“A”型相似，∵平分面积，∴相似比为1：．④如图4，直线ME∥AB，∴＝＝，∴＝，解得a＝；⑤如图5，直线ME∥AC，∴＝，∵AB＝4，∴BE＝2，∵BN＝5﹣3＝2＜2，∴不成立；⑤如图6，直线ME∥BC，∴＝，∠MEN＝∠CBO，∴AE＝2，NE＝2﹣2，tan∠MEN＝tan∠CBO，∴＝，解得a＝．故答案为：或或．15．（2022•无锡）把二次函数y＝x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件： m＞3 ．【答案】m＞3．【解答】解：∵把二次函数y＝x2+4x+m＝（x+2）2+m﹣4的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，∴平移后的解析式为：y＝（x+2﹣3）2+m﹣4+1，∴平移后的解析式为：y＝x2﹣2x+m﹣2，∴对称轴为直线x＝1，∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，∴Δ＝4﹣4（m﹣2）＜0，∴m＞3，故答案为：m＞3．一十．几何体的展开图（共1小题）16．（2023•无锡）若直三棱柱的上下底面为正三角形，侧面展开图是边长为6的正方形，则该直三棱柱的表面积为 36+2 ．【答案】36．【解答】解：依题意可知：直三棱柱的上下底面的正三角形的边长为2，∴其2个底面积为＝2．∵侧面展开图是边长为6的正方形，∴其侧面积为6×6＝36，∴该直三棱柱的表面积为36+2．故答案为：36+2．一十一．勾股定理的应用（共1小题）17．（2023•无锡）《九章算术》中提出了如下问题：今有产不加高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 8尺 ．【答案】8尺．【解答】解：设竿长为x尺，则门宽为（x﹣4）尺，门高（x﹣2）尺，门对角线是x尺，根据勾股定理可得：x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，整理得：x2﹣12x+20＝0，解得x＝2（舍去）或x＝10．则门高：10﹣2＝8．故答案为：8尺．一十二．正方形的性质（共1小题）18．（2022•无锡）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE 且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝ 1 ．【答案】1．【解答】解：连接AG，EG，∵E是CD的中点，∴DE＝CE＝4，设CG＝x，则BG＝8﹣x，在Rt△ABG和Rt△GCE中，根据勾股定理，得AB2+BG2＝CE2+CG2，即82+（8﹣x）2＝42+x2，解得x＝7，∴BG＝BC﹣CG＝8﹣7＝1．故答案是：1．一十三．圆锥的计算（共1小题）19．（2021•无锡）用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．【答案】．【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得2πr＝，解得r＝．故答案为：．一十四．命题与定理（共2小题）20．（2022•无锡）请写出命题“如果a＞b，那么b﹣a＜0”的逆命题： 如果b﹣a＜0，那么a＞b ．【答案】如果b﹣a＜0，那么a＞b．【解答】解：命题“如果a＞b，那么b﹣a＜0”的逆命题是“如果b﹣a＜0，那么a＞b”．故答案为：如果b﹣a＜0，那么a＞b．21．（2021•无锡）下列命题中，正确命题的个数为 1 ．①所有的正方形都相似②所有的菱形都相似③边长相等的两个菱形都相似④对角线相等的两个矩形都相似【答案】1．【解答】解：①所有的正方形都相似，正确，符合题意；②所有的菱形都相似，错误，不符合题意；③边长相等的两个菱形都相似，错误，不符合题意；④对角线相等的两个矩形都相似，错误，不符合题意，正确的有1个，故答案为：1．一十五．翻折变换（折叠问题）（共1小题）22．（2021•无锡）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，点E在线段AC上，且AE＝1，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，AF＝ ．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，过点F作FH⊥AC于H，∵将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，∴AB＝FG＝2，AE＝EF＝1，∠BAC＝∠EFG＝90°，∴EG＝＝＝3，∵sin∠FEG＝，∴，∴HF＝，∵cos∠FEG＝，∴，∴EH＝，∴AH＝AE+EH＝，∴AF＝＝＝，故答案为：．一十六．旋转的性质（共1小题）23．（2022•无锡）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC＝20°，则∠BAF＝ 80 °；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是 4﹣ ．【答案】80，4﹣．【解答】解：∵△ACB，△DEC都是等边三角形，∴AC＝CB，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴∠DBC＝∠EAC＝20°，∵∠BAC＝60°，∴∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝80°．如图1中，设BF交AC于点T．同法可证△BCD≌△ACE，∴∠CBD＝∠CAF，∵∠BTC＝∠ATF，∴∠BCT＝∠AFT＝60°，∴点F在△ABC的外接圆上运动，当∠ABF最小时，AF的值最小，此时CD⊥BD，∴BD＝＝＝4，∴AE＝BD＝4，∠BDC＝∠AEC＝90°，∵CD＝CE，CF＝CF，∴Rt△CFD≌Rt△CFE（HL），∴∠DCF＝∠ECF＝30°，∴EF＝CE•tan30°＝，∴AF的最小值＝AE﹣EF＝4﹣，故答案为：80，4﹣．一十七．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）24．（2021•无锡）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为 10 米．【答案】10．【解答】解：设上升的高度为x米，∵上山直道的坡度为1：7，∴水平距离为7x米，由勾股定理得：x2+（7x）2＝1002，解得：x1＝10，x2＝﹣10（舍去），故答案为：10．。
第3课时 综合运用提公因式法与公式法因式分解
(3)m n - ( + ) = [4m n -( + ) ]= (2mn+m +n )(2mn-m -n )=- (m+n) (m-n) .
2 2
2 2
2
2
2
2
2
2
15.已知4x=3y,求代数式(x-2y)2-(x-y)·(x+y)-2y2的值.
解:(x-2y)2-(x-y)(x+y)-2y2
式分解后又出现新的公因式,再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解.具体过程如下:
x2-4y2-2x+4y
=(x2-4y2)-(2x-4y)
=(x+2y)(x-2y)-2(x-2y)
=(x-2y)(x+2y-2).
像这种将一个多项式先适当分组,再进行因式分解的方法叫做分组分解法.
利用分组分解法解决下面的问题:
(3)(a2-2ab+b2)-16.
解:(1)-49x2+x2y2=x2(y2-49)=x2(y+7)(y-7).
(2)ac2(2b+3c)2-ab2(3c+2b)2=a(2b+3c)2(c2-b2)=a(2b+3c)2(c+b)(c-b).
(3)(a2-2ab+b2)-16=(a-b)2-42=(a-b-4)(a-b+4).
14.因式分解:
2
(1)8(a +1)-16a;
2
(2)x +3x(x-3)-9;
(3)m n - ( + ) .
2
2
因式分解经典题及解析
因式分解经典题及解析因式分解拔高题1．在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还有其它方法可以用来因式分解，比如配方法．例如，如果要因式分解x2+2x﹣3时，显然既无法用提公因式法，也无法用公式法，怎么办呢？这时，我们可以采用下面的办法：x2+2x﹣3=x2+2×x×1+12﹣1﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣①=（x+1）2﹣22﹣﹣﹣﹣﹣﹣②=…解决下列问题：（1）填空：在上述材料中，运用了_________的思想方法，使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法；（2）显然所给材料中因式分解并未结束，请依照材料因式分解x2+2x﹣3；（3）请用上述方法因式分解x2﹣4x﹣5．2．请看下面的问题：把x4+4分解因式分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+（22）2的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=（x2+2）2﹣4x2=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解．（1）x4+4y4；（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．3．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x=y原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_________．A、提取公因式B．平方差公式C、两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底_________．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．4．找出能使二次三项式x2+ax﹣6可以因式分解（在整数范围内）的整数值a，并且将其进行因式分解．5．利用因式分解说明：两个连续偶数的平方差一定是4的倍数．6．已知关于x的多项式3x2+x+m因式分解以后有一个因式为（3x﹣2），试求m的值并将多项式因式分解．7．已知多项式（a2+ka+25）﹣b2，在给定k的值的条件下可以因式分解．请给定一个k值并写出因式分解的过程．8．先阅读，后解题：要说明代数式2x2+8x+10的值恒大于0还是恒等于0或者恒小于0，我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式，再去考虑，具体过程如下：解：2x2+8x+10=2（x2+4x+5）（提公因式，得到一个二次项系数为1的二次多项式）=2（x2+4x+22﹣22+5）=2[（x+2）2+1]（将二次多项式配方）=2（x+2）2+2 （去掉中括号）因为当x取任意实数时，代数式2（x+2）2的值一定是非负数，那么2（x+2）2+2的值一定为正数，所以，原式的值恒大于0，并且，当x=﹣2时，原式有最小值2．请仿照上例，说明代数式﹣2x2﹣8x﹣10的值恒大于0还是恒小于0，并且说明它的最大值或者最小值是什么．9．老师给学生一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述：甲：这是一个三次三项式；乙：三次项系数为1；丙：这个多项式的各项有公因式；丁：这个多项式分解因式时要用到公式法；若已知这四位同学的描述都正确，请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式．10．在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2（x﹣1）（x ﹣9），而乙同学看错了常数项，而将其分解为2（x﹣2）（x﹣4），请你判断正确的二次三项式并进行正确的因式分解．11．观察李强同学把多项式（x2+6x+10）（x2+6x+8）+1分解因式的过程：解：设x2+6x=y，则原式=（y+10）（y+8）+1=y2+18y+81=（y+9）2=（x2+6x+9）2（1）回答问题：这位同学的因式分解是否彻底？若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果：_________．（2）仿照上题解法，分解因式：（x2+4x+1）（x2+4x ﹣3）+4．12．（1）写一个多项式，再把它分解因式（要求：多项式含有字母m和n，系数、次数不限，并能先用提取公因式法再用公式法分解）．（2）阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]①=（1+x）2（1+x）②=（1+x）3③①上述分解因式的方法是_________，由②到③这一步的根据是_________；②若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2006，结果是_________；③分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．13．阅读下面的材料并完成填空：因为（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，所以，对于二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p，即如果有a，b两数满足a﹒b=a+b=p，则有x2+px+q=（x+a）（x+b）．如分解因式x2+5x+6．解：因为2×3=6，2+3=5，所以x2+5x+6=（x+2）（x+3）．再如分解因式x2﹣5x﹣6．解：因为﹣6×1=﹣6，﹣6+1=﹣5，所以x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）．同学们，阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？试试看．因式分解：（1）x2+7x+12；（2）x2﹣7x+12；（3）x2+4x﹣12；（4）x2﹣x﹣12．答案1．请看下面的问题：把x4+4分解因式分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+（22）2的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=（x2+2）2﹣4x2=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解．（1）x4+4y4；（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．考点：因式分解-运用公式法．专题：阅读型．分析：这是要运用添项法因式分解，首先要看明白例题才可以尝试做以下题目．解答：解：（1）x4+4y4=x4+4x2y2+4y2﹣4x2y2，=（x2+2y2）2﹣4x2y2，=（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）；（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab，=x2﹣2ax+a2﹣a2﹣b2﹣2ab，=（x﹣a）2﹣（a+b）2，=（x﹣a+a+b）（x﹣a﹣a﹣b），=（x+b）（x﹣2a﹣b）．点本题考查了添项法因式分解，难度比较大．评：2．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x=y原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的C．A、提取公因式B．平方差公式C、两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底不彻底．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果（x ﹣2）4．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．考点：提公因式法与公式法的综合运用．专题：阅读型．分析：（1）完全平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差；（2）x2﹣4x+4还可以分解，所以是不彻底．（3）按照例题的分解方法进行分解即可．解答：解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式；（2）x2﹣4x+4还可以分解，分解不彻底；（3）设x2﹣2x=y．（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1，=y（y+2）+1，=y2+2y+1，=（y+1）2，=（x2﹣2x+1）2，=（x﹣1）4．点评：本题考查了运用公式法分解因式和学生的模仿理解能力，按照提供的方法和样式解答即可，难度中等．3．找出能使二次三项式x2+ax﹣6可以因式分解（在整数范围内）的整数值a，并且将其进行因式分解．考点：因式分解-十字相乘法等．分析：根据十字相乘法的分解方法和特点可知：a 是﹣6的两个因数的和，则﹣6可分成3×（﹣2），﹣3×2，6×（﹣1），﹣6×1，共4种，所以将x2+ax﹣6分解因式后有4种情况．解答：解：x2+x﹣6=（x+3）（x﹣2）；x2﹣x﹣6=（x﹣3）（x+2）；x2+5x﹣6=（x+6）（x﹣1）；x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）．点评：本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，常数﹣6的不同分解是本题的难点．4．利用因式分解说明：两个连续偶数的平方差一定是4的倍数．考点：因式分解的应用．分析：根据题意设出两个连续偶数为2n、2n+2，利用平方差公式进行因式分解，即可证出结论．解答：解：设两个连续偶数为2n，2n+2，则有（2n+2）2﹣（2n）2，=（2n+2+2n）（2n+2﹣2n），=（4n+2）×2，=4（2n+1），因为n为整数，所以4（2n+1）中的2n+1是正奇数，所以4（2n+1）是4的倍数，故两个连续正偶数的平方差一定能被4整除．点评：本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确设出两个连续正偶数，再用平方差公式对列出的式子进行整理，此题较简单．5．已知关于x的多项式3x2+x+m因式分解以后有一个因式为（3x﹣2），试求m的值并将多项式因式分解．考点：因式分解的意义．分析：由于x的多项式3x2+x+m分解因式后有一个因式是3x﹣2，所以当x=时多项式的值为0，由此得到关于m的方程，解方程即可求出m的值，再把m的值代入3x2+x+m进行因式分解，即可求出答案．解答：解：∵x的多项式3x2+x+m分解因式后有一个因式是3x﹣2，当x=时多项式的值为0，即3×=0，∴2+m=0，∴m=﹣2；∴3x2+x+m=3x2+x﹣2=（x+1）（3x﹣2）；故答案为：m=﹣2，（x+1）（3x﹣2）．点评：本题主要考查因式分解的意义，有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整体代入法求解．6．已知多项式（a2+ka+25）﹣b2，在给定k的值的条件下可以因式分解．请给定一个k值并写出因式分解的过程．考点：因式分解-运用公式法．专题开放型．：分析：根据完全平方公式以及平方差公式进行分解因式即可．解答：解：k=±10，假设k=10，则有（a2+10a+25）﹣b2=（a+5）2﹣b2=（a+5+b）（a+5﹣b）．点评：此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键．7．先阅读，后解题：要说明代数式2x2+8x+10的值恒大于0还是恒等于0或者恒小于0，我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式，再去考虑，具体过程如下：解：2x2+8x+10=2（x2+4x+5）（提公因式，得到一个二次项系数为1的二次多项式）=2（x2+4x+22﹣22+5）=2[（x+2）2+1]（将二次多项式配方）=2（x+2）2+2 （去掉中括号）因为当x取任意实数时，代数式2（x+2）2的值一定是非负数，那么2（x+2）2+2的值一定为正数，所以，原式的值恒大于0，并且，当x=﹣2时，原式有最小值2．请仿照上例，说明代数式﹣2x2﹣8x﹣10的值恒大于0还是恒小于0，并且说明它的最大值或者最小值是什么．考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方．分析：按照题目提供的方法将二次三项式配方后即可得到答案．解答：解：﹣2x2﹣8x﹣10=﹣2（x2+4x+5）=﹣2（x2+4x+22﹣22+5）=﹣2[（x+2）2+1]=﹣2（x+2）2﹣2因为当x取任意实数时，代数式2（x+2）2的值一定是非负数，那么﹣2（x+2）2﹣2的值一定为负数，所以，原式的值恒小于0，并且，当x=﹣2时，原式有最大值﹣2．点评：此题考查了配方法与完全平方式的非负性的应用．注意解此题的关键是将原代数式准确配方．8．老师给学生一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述：甲：这是一个三次三项式；乙：三次项系数为1；丙：这个多项式的各项有公因式；丁：这个多项式分解因式时要用到公式法；若已知这四位同学的描述都正确，请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式．考点：提公因式法与公式法的综合运用．专题：开放型．分析：能用完全平方公式分解的式子的特点是：三项；两项平方项的符号需相同；有一项是两底数积的2倍．解答：解：由题意知，可以理解为：甲：这是一个关于x三次三项式；乙：三次项系数为1，即三次项为x3；丙：这个多项式的各项有公因式x；丁：这个多项式分解因式时要用到完全平方公式法．故多项式可以为x（x﹣1）2=x（x2﹣2x+1）=x3﹣2x2+x．点评：本题考查了提公因式法和公式法分解因式，是开放性题，根据描述按照要求列出这个多项式．答案不唯一．9．在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2（x﹣1）（x ﹣9），而乙同学看错了常数项，而将其分解为2（x﹣2）（x﹣4），请你判断正确的二次三项式并进行正确的因式分解．考点：因式分解的应用．分此题可以先将两个分解过的式子还原，再根析：据两个同学的错误得出正确的二次三项式，最后进行因式分解即可．解答：解：2（x﹣1）（x﹣9）=2x2﹣20x+18，2（x ﹣2）（x﹣4）=2x2﹣12x+16；由于甲同学因看错了一次项系数，乙同学看错了常数项，则正确的二次三项式为：2x2﹣12x+18；再对其进行因式分解：2x2﹣12x+18=2（x﹣3）2．点评：本题考查了因式分解的应用，题目较为新颖，同学们要细心对待．10．观察李强同学把多项式（x2+6x+10）（x2+6x+8）+1分解因式的过程：解：设x2+6x=y，则原式=（y+10）（y+8）+1=y2+18y+81=（y+9）2=（x2+6x+9）2（1）回答问题：这位同学的因式分解是否彻底？若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果：（x+3）4．（2）仿照上题解法，分解因式：（x2+4x+1）（x2+4x ﹣3）+4．考点：因式分解-十字相乘法等．专题：换元法．分析：（1）根据x2+6x+9=（x+3）2，进而分解因式得出答案即可；（2）仿照例题整理多项式进而分解因式得出答案即可．解答：解：（1）这位同学的因式分解不彻底，原式=（y+10）（y+8）+1=y2+18y+81=（y+9）2=（x2+6x+9）2=（x+3）4．故答案为：（x+3）4；（2）设x2+4x=y，则原式=（y+1）（y﹣3）+4 =y2﹣2y+1=（y﹣1）2=（x2+4x﹣1）2．点评：此题主要考查了因式分解法的应用，正确分解因式以及注意分解因式要彻底是解题关键．11．（1）写一个多项式，再把它分解因式（要求：多项式含有字母m和n，系数、次数不限，并能先用提取公因式法再用公式法分解）．（2）阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]①=（1+x）2（1+x）②=（1+x）3③①上述分解因式的方法是提公因式法分解因式，由②到③这一步的根据是同底数幂的乘法法则；②若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2006，结果是（1+x）2007；③分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．考点：因式分解-提公因式法．分析：（1）根据题目要求可以编出先提公因式后用平方差的式子，答案不唯一；（2）首先通过分解因式，可发现①中的式子与结果之间的关系，根据所发现的结论可直接得到答案．解答：解：（1）m3﹣mn2=m（m2﹣n2）=m（m﹣n）（m+n），（2）①提公因式法，同底数幂的乘法法则；②根据①中可发现结论：（1+x）2007；③（1+x）n+1．点评：此题主要考查了因式分解法中的提公因式法分解因式，公式法分解因式以及分解因式得根据，考查同学们的观察能力与归纳能力．12．阅读下面的材料并完成填空：因为（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，所以，对于二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p，即如果有a，b两数满足a﹒b=a+b=p，则有x2+px+q=（x+a）（x+b）．如分解因式x2+5x+6．解：因为2×3=6，2+3=5，所以x2+5x+6=（x+2）（x+3）．再如分解因式x2﹣5x﹣6．解：因为﹣6×1=﹣6，﹣6+1=﹣5，所以x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）．同学们，阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？试试看．因式分解：（1）x2+7x+12；（2）x2﹣7x+12；（3）x2+4x﹣12；（4）x2﹣x﹣12．因式分解-十字相乘法等．考点：专阅读型．题：分析：发现规律：二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p，则x2+px+q=（x+a）（x+b）．解答：解：（1）x2+7x+12=（x+3）（x+4）；（2）x2﹣7x+12=（x﹣3）（x﹣4）；（3）x2+4x﹣12=（x+6）（x﹣2）；（4）x2﹣x﹣12=（x﹣4）（x+3）．点评：本题考查十字相乘法分解因式，是x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解的应用，应识记：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．。
山东省日照市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类(含答案)
山东省日照市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类一．提公因式法与公式法的综合运用（共1小题）1．（2023•日照）分解因式：a3b﹣ab＝ ．二．二次根式有意义的条件（共2小题）2．（2022•日照）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．3．（2021•日照）若二次根式有意义，则实数x的取值范围为 ．三．方程的解（共1小题）4．（2021•日照）关于x的方程x2+bx+2a＝0（a、b为实数且a≠0），a恰好是该方程的根，则a+b的值为 ．四．根与系数的关系（共1小题）5．（2022•日照）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m＝0有两个不同的实数根x1，x2，且x12+x22＝，则m＝ ．五．解一元一次不等式组（共1小题）6．（2023•日照）若点M（m+3，m﹣1）在第四象限，则m的取值范围是 ．六．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）7．（2021•日照）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y轴上，OA＝5，点D是边AB上靠近点A的三等分点，将△OAD沿直线OD折叠后得到△OA′D，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A′点，则k的值为 ．七．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）8．（2023•日照）已知反比例函数y＝（k＞1且k≠2）的图象与一次函数y＝﹣7x+b 的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积x1•x2＞0，请写出一个满足条件的k 值 ．八．全等三角形的判定与性质（共2小题）9．（2022•日照）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是 ．10．（2021•日照）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P从点B出发，以2cm/s 的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为 时，存在某一时刻，△ABP与△PCQ全等．九．圆周角定理（共1小题）11．（2022•日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为 ．一十．相似三角形的判定与性质（共1小题）12．（2023•日照）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P在对角线BD上，过点P作MN⊥BD，交边AD，BC于点M，N，过点M作ME⊥AD交BD于点E，连接EN，BM，DN．下列结论：①EM＝EN；②四边形MBND的面积不变；③当AM：MD＝1：2时，S△MPE＝；④BM+MN+ND的最小值是20．其中所有正确结论的序号是 ．山东省日照市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类参考答案与试题解析一．提公因式法与公式法的综合运用（共1小题）1．（2023•日照）分解因式：a3b﹣ab＝ ab（a+1）（a﹣1） ．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1）．故答案为：ab（a+1）（a﹣1）．二．二次根式有意义的条件（共2小题）2．（2022•日照）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 x≤ ．【答案】x≤．【解答】解：由题意得：3﹣2x≥0，解得：x≤，故答案为：x≤．3．（2021•日照）若二次根式有意义，则实数x的取值范围为 x≥﹣1且x≠0 ．【答案】x≥﹣1且x≠0．【解答】解：要使分式有意义，必须x+1≥0且x≠0，解得：x≥﹣1且x≠0，故答案为：x≥﹣1且x≠0．三．方程的解（共1小题）4．（2021•日照）关于x的方程x2+bx+2a＝0（a、b为实数且a≠0），a恰好是该方程的根，则a+b的值为 ﹣2 ．【答案】﹣2．【解答】解：由题意可得x＝a（a≠0），把x＝a代入原方程可得：a2+ab+2a＝0，等式左右两边同时除以a，可得：a+b+2＝0，即a+b＝﹣2，故答案为：﹣2．四．根与系数的关系（共1小题）5．（2022•日照）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m＝0有两个不同的实数根x1，x2，且x12+x22＝，则m＝ ﹣ ．【答案】﹣．【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝，∵x12+x22＝，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝，∴4m2﹣m＝，∴m1＝﹣，m2＝，∵Δ＝16m2﹣8m＞0，∴m＞或m＜0，∴m＝不合题意，故答案为：﹣．五．解一元一次不等式组（共1小题）6．（2023•日照）若点M（m+3，m﹣1）在第四象限，则m的取值范围是 ﹣3＜m＜1 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵点M（m+3，m﹣1）在第四象限，∴，解不等式①得：m＞﹣3，解不等式②得：m＜1，∴原不等式组的解集为：﹣3＜m＜1，故答案为：﹣3＜m＜1．六．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）7．（2021•日照）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y轴上，OA＝5，点D是边AB上靠近点A的三等分点，将△OAD沿直线OD折叠后得到△OA′D，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A′点，则k的值为 12 ．【答案】12．【解答】解：过A′作EF⊥OC于F，交AB于E，∵∠OA′D＝90°，∴∠OA′F+∠DA′E＝90°，∵∠OA′F+∠A′OF＝90°，∴∠DA′E＝∠A′OF，∵∠A′FO＝∠DEA′，∴△A′OF∽△DA′E，∴＝＝，设A′（m，n），∴OF＝m，A′F＝n，∵正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y轴上，OA＝5，点D是边AB上靠近点A 的三等分点，∴DE＝m﹣，A′E＝5﹣n，∴＝3，解得m＝3，n＝4，∴A′（3，4），∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A′点，∴k＝3×4＝12，故答案为：12．七．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）8．（2023•日照）已知反比例函数y＝（k＞1且k≠2）的图象与一次函数y＝﹣7x+b 的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积x1•x2＞0，请写出一个满足条件的k值 1.5（答案不唯一） ．【答案】1.5（答案不唯一）．【解答】解：令＝﹣7x+b，整理得7x2﹣bx+（6﹣3k）＝0，∵反比例函数y＝（k＞1且k≠2）的图象与一次函数y＝﹣7x+b的图象两个交点横坐标为x1、x2，∴x1•x2＝，∵x1•x2＞0，∴＞0，∴k＜2，∴满足条件的k值为1.5（答案不唯一），故答案为：1.5（答案不唯一）．八．全等三角形的判定与性质（共2小题）9．（2022•日照）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是 2 ．【答案】2．【解答】解：方法一：∵将线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，∴∠APF＝60°，PF＝PA，∴△APF是等边三角形，∴AP＝AF，如图，当点F1在x轴上时，△P1AF1为等边三角形，则P1A＝P1F1＝AF1，∠AP1F1＝60°，∵AO⊥P1F1，∴P1O＝F1O，∠AOP1＝90°，∴∠P1AO＝30°，且AO＝4，由勾股定理得：P1O＝F1O＝，∴P1A＝P1F1＝AF1＝，∴点F1的坐标为（，0），如图，当点F2在y轴上时，∵△P2AF2为等边三角形，AO⊥P2O，∴AO＝F2O＝4，∴点F2的坐标为（0，﹣4），∵tan∠OF1F2＝＝＝，∴∠OF1F2＝60°，∴点F运动所形成的图象是一条射线F2F1，∴当OF⊥F1F2时，线段OF最短，设直线F1F2的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线F1F2的解析式为y＝x﹣4，∵AO＝F2O＝4，AO⊥P1F1，∴F1F2＝AF1＝，在Rt△OF1F2中，设点O到F1F2的距离为h，则×OF1×OF2＝×F1F2×h，∴××4＝××h，解得h＝2，即线段OF的最小值为2；方法二：如图，在第二象限作等边三角形AOB，连接BP、AF，过点B作BP′⊥x轴于点P′，∵将线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，∴∠APF＝60°，PF＝PA，∴△APF是等边三角形，∴AP＝AF，∠PAF＝60°，∵△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝OB＝4，∠BAO＝60°，∴∠BAP＝60°+∠OAP＝∠OAF，在△BAP和△OAF中，，∴△BAP≌△OAF（SAS），∴BP＝OF，∵P是x轴上一动点，∴当BP⊥x轴时，BP最小，即点P与点P′重合时BP＝BP′最小，∵∠BOP′＝30°，∠BP′O＝90°，∴BP′＝OB＝×4＝2，∴OF的最小值为2，故答案为2．10．（2021•日照）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P从点B出发，以2cm/s 的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为 2或 时，存在某一时刻，△ABP与△PCQ全等．【答案】2或．【解答】解：①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ，∵AB＝8cm，∴PC＝8cm，∴BP＝12﹣8＝4（cm），∴2t＝4，解得：t＝2，∴CQ＝BP＝4cm，∴v×2＝4，解得：v＝2；②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP，∵PB＝PC，∴BP＝PC＝6cm，∴2t＝6，解得：t＝3，∵CQ＝AB＝8cm，∴v×3＝8，解得：v＝，综上所述，当v＝2或时，存在某一时刻，△△ABP与△PQC全等，故答案为：2或．九．圆周角定理（共1小题）11．（2022•日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为 cm ．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接AC，∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圆周角，∴AC是圆形镜面的直径，由勾股定理得：AC＝＝＝13（cm），所以圆形镜面的半径为cm，故答案为：cm．一十．相似三角形的判定与性质（共1小题）12．（2023•日照）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P在对角线BD上，过点P作MN⊥BD，交边AD，BC于点M，N，过点M作ME⊥AD交BD于点E，连接EN，BM，DN．下列结论：①EM＝EN；②四边形MBND的面积不变；③当AM：MD＝1：2时，S△MPE＝；④BM+MN+ND的最小值是20．其中所有正确结论的序号是 ②③④ ．【答案】②③④．【解答】解：①∵MN⊥BD，要使EM＝EN，需要MP＝NP，而P不一定是MN的中点，故①是错误的；②如图1：延长ME交BC于F，在矩形ABCD中，BD＝10，∵ME⊥AD，MN⊥BD，∴∠EMN+∠DMN＝∠EMN+∠MED＝90°，∴∠DMN＝∠MED，∵∠MFN＝∠A＝90°，∴△MFN∽△DAB，∴，即：，解得：FN＝4.5，MN＝7.5，∴四边形MBND的面积为：×BD×NM＝×10×7.5＝37.5，故②是正确的；③∵AB∥ME，∴△ABD∽△MED，∴，∴ME＝4，∵∠ADB＝∠EMN，∠MPB＝∠A＝90°，∴△MEP∽△DBA，∴＝（）2＝，∵S△ABD＝24，∴S△MPE＝，故③是正确的；④∵BM+MN+ND＝BM+ND+7.5，当BM+ND最小时，BM+MN+ND的值最小，作B、D关于AD、BC的对称点B′，D′，如图2：把图2的CD′移到图3的C′D′，使得CD′＝4.5，连接B′D′，则B′D′就是BM+ND的最小值，∴B′D′＝＝12.5，即BM+MN+ND的最小值是12.5+7.5＝20，故④是正确的，故答案为：②③④．。
提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用精选题32道一．选择题（共19小题）1．把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（）A．a（x﹣2）2B．a（x+2）2C．a（x﹣4）2D．a（x+2）（x﹣2）2．下列各因式分解正确的是（）A．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2B．﹣x2+（﹣2）2＝（x﹣2）（x+2）C．x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）D．（x+1）2＝x2+2x+13．因式分解x﹣4x3的最后结果是（）A．x（1﹣2x）2B．x（2x﹣1）（2x+1）C．x（1﹣2x）（2x+1）D．x（1﹣4x2）4．已知a+b＝3，ab＝2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值为（）A．6B．18C．28D．505．下列因式分解正确的是（）A．x2﹣xy+x＝x（x﹣y）B．a3+2a2b+ab2＝a（a+b）2C．x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3D．ax2﹣9＝a（x+3）（x﹣3）6．将多项式x﹣x3因式分解正确的是（）A．x（x2﹣1）B．x（1﹣x2）C．x（x+1）（x﹣1）D．x（1+x）（1﹣x）7．下列多项式能用公式法分解因式的有（）（1）x2﹣2x﹣1；（2）x24−x+1；（3）﹣a2﹣b2；（4）﹣a2+b2；（5）x2﹣4xy+4y2；（6）m2﹣m+1．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个8．下列各选项中因式分解正确的是（）A．x2﹣1＝（x﹣1）2B．a3﹣2a2+a＝a2（a﹣2）C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2）D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2 9．分解因式3a2b﹣6ab+3b的结果是（）A．3b（a2﹣2a）B．b（3a2﹣6a+1）C．3（a2b﹣2ab）D．3b（a﹣1）210．下列因式分解正确的是（）A．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4）B．x2+2x+1＝x（x+2）+1C．2x+4＝2（x+2）D．3mx﹣6my＝3m（x﹣6y）11．把多项式a3﹣a分解因式，结果正确的是（）A．a（a2﹣1）B．a（a﹣1）2C．a（a+1）2D．a（a+1）（a﹣1）12．下列分解因式正确的是（）A．x2﹣3x+1＝x（x﹣3）+1B．a2b﹣2ab+b＝b（a﹣1）2 C．4a2﹣1＝（4a+1）（4a﹣1）D．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2 13．下列分解因式正确的是（）A．x3﹣x＝x（x2﹣1）B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）C．x2﹣x+2＝x（x﹣1）+2D．x2+2x﹣1＝（x﹣1）214．下列分解因式正确的是（）A．﹣a+a3＝﹣a（1+a2）B．2a﹣4b+2＝2（a﹣2b）C．a2﹣4＝（a﹣2）2D．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2 15．下列各选项中因式分解正确的是（）A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）B．x2﹣1＝（x﹣1）2C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2）D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2 16．把多项式a5﹣16a因式分解为（）A．a（a4﹣16）B．a（a2﹣4）2C．a（a+2）（a2+4）（a﹣2）D．a（a2﹣4）（a2+4）17．分解因式3y4﹣3x4的结果是（）A．3（y2+x2）（y2﹣x2）B．3（y2+x2）（y﹣x）（y+x）C．3（y2+x2）（y﹣x）2D．3（y+x）2（y﹣x）218．下列多项式中，可以使用平方差公式进行因式分解的是（）A．x2+1B．﹣x2+1C．x2+x D．x2+2x+1 19．下列各式从左到右因式分解正确的是（）A．2x﹣6y+2＝2（x﹣3y）B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1C．x2﹣4＝（x﹣2）2D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）二．填空题（共5小题）20．分解因式：x3﹣4x＝．21．分解因式：x3﹣2x2+x＝．22．分解因式：2a2﹣4a+2＝．23．分解因式：a3﹣a＝．24．分解因式：x3﹣x＝．三．解答题（共8小题）25．分解因式：x3﹣2x2y+xy2．26．分解因式：（注意使用正确的解答格式）（1）3ax3﹣30ax2+75ax（2）（4m2+9）2﹣144m2（3）﹣5a2b﹣10a2b3+15a4b（4）5a3b（a﹣b）3﹣15a4b3（b﹣a）2（5）3x2+2x+1 3（6）（8a2+b2）2﹣（a2+8b2）2（7）（x2+4x+8）2+3x（x2+4x+8）+2x2（8）a2+2a+1+4b2﹣4ab﹣4b27．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的．A、提取公因式B．平方差公式C、两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．28．分解因式：（1）4x2y﹣9y（2）（a2+4）2﹣16a229．因式分解：（1）m3﹣6m2+9m（2）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）30．因式分解：（1）4（a﹣b）2﹣16（a+b）2；（2）（a﹣b）2+3（a﹣b）（a+b）﹣10（a+b）2．31．分解因式：（1）5a2+10ab；（2）ax2﹣4axy+4ay2．32．因式分解：（1）m3（a﹣2）+m（2﹣a）（2）x4﹣16y4（3）81x4﹣18x2y2+y4（4）（x2﹣4x）2+8（x2﹣4x）+16。
提取公因式和公式法4种压轴题型全攻略—2023-2024学年七年级数学上册(沪教版)(解析版)
提取公因式和公式法4种压轴题型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一因式分解的概念辨析】 (1)【考点二提取公因式法的应用】 (2)【考点三公式法因式分解的应用】 (2)【考点四提取公因式法和公式法的综合应用】 (3)【过关检测】 (4)【典型例题】【考点一因式分解的概念辨析】【例题1】下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）【答案】A【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【详解】解：A. 从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；B.从左至右的变形不属于因式分解且计算错误，故本选项不符合题意；C. 从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；D.从左至右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：Ａ．【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解）是解此题的关键．【变式1】下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（）【答案】A【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，可得答案． 【详解】解：A 、把一个多项式转化成几个整式的积的形式，是因式分解，故符合题意；B 、没有把一个多项式转化成几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意；C 、是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意；D 、没有把一个多项式转化成几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式是解题关键．A ．2a b +B ．2a b −+C ．a b －－D ．2a b －【答案】A 【分析】将2212a b ab −−提取公因式12ab æö÷ç-÷ç÷çèø，据此即可求解．【详解】解：()2211222a b ab ab a b −−=−+故选：A【点睛】本题考查提公因式法分解因式．用每一项除以公因式即可得到剩下的因式组成．【考点二 提取公式法的应用】【例题2】 把多项式2(2)(2)m a m a −+−分解因式等于（ ）A ． 2(2)()a m m −+B ． 2(2)()a m m −−C ． (2)(1)m a m −−D ． (2)(1)m a m −+【答案】C【分析】用提取公因式法即可进行因式分解．【详解】2(2)(2)m a m a −+−， 22)(2)(m a m a =−−−，(2)(1)m a m =−−．故选：C ．【点睛】本题主要考查了用提取公因式法进行因式分解，熟练掌握提取公因式的方法和因式分解的定义是解题的关键．【变式1】已知3ab =−，2a b +=，则22a b ab +的值是（ ）A ．6−B ．6C ．1−D ．1【答案】A【分析】先将22a b ab +因式分解，再把3ab =−，2a b +=代入计算即可． 【详解】解：∵3ab =−，2a b +=，∴()22326ab a a b ab b ==++−⨯=−，故选：A ．【点睛】本题主要考查了因式分解，求代数式的值，解题的关键是正确找出各项的公因式进行因式分解．【变式2】计算()()2022202322−+−所得结果是（ ） A ．20222B ．20222−C ．20232D ．40452 【答案】B【分析】先逆用同底数幂的乘法，再根据有理数的乘方运算和乘法分配律进行计算即可． 【详解】解：()()2022202322−+− ()()()20222022222=−+−⨯−()()2022212=−+−⎡⎤⎣⎦20222=−故选：B【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆用、有理数的乘方的意义以及乘法分配律的运用，熟练掌握乘相关运算法则是解题的关键．【变式3】若()23A a m n a m an ⋅+=+，则代数式A 的值为（ ） A ．aB ．nC ．2aD ．mn【答案】A 【分析】提出公因式，可得()32a m an a a m n +=+，即可求解．【详解】解：∵()32a m an a a m n +=+，()23A a m n a m an ⋅+=+，∴代数式A 的值为a ．故选：A【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．【考点三 公式法因式分解的应用】【例题3】把()22214a a +−因式分解得（ ） A ．()2214a a +−B ．()2214a a +−C ．()()2211+−a aD ．()221a − 【答案】C 【分析】利用平方差公式和完全平方公式解答即可.【详解】解：()()()()()222222214121112a a a a a a a a ==−+−++−++；故选：C. 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键.A ．()()5a b a b ++B ．()()5a b a b −+C ．()()5a b a b +−D ．()()5a b a b −− 【答案】D【分析】依照例题，根据完全平方公式、平方差公式解答．【详解】a2-6ab+5b2=a2-6ab+9b2-4b2=(a -3b)2-(2b)2=(a -3b+2b)(a -3b -2b)=(a -b)(a -5b)；故选：D ．【点睛】本题考查了综合运用公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．【变式2】小李在计算2023202120232023−时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（ ）A ．2023，2024，2025B ．2022，2023，2024C ．2021，2022，2023D ．2020，2021，2022 【答案】B【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解，即可得到答案．【详解】解：2023202120232023−20212=2023(20231)⨯−2021=2023(20231)(2023+1)⨯−⨯2021=202320222024⨯⨯∴能被2022，2023，2024整除，故选B ．【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．【考点四 提取公因式法和公式法的综合应用】A ．我爱学B ．爱思考C ．思数学D ．我爱数学 【答案】D【分析】先将()()225151a x b x −−−因式分解，结合所对应汉字即可求解． 【详解】解：()()225151a x b x −−− =()()251x a b =−−()()()511x x a b =+−− ∵5，a b −，1x +，1x −，21x −，a ，分别对应下列六个字；我，爱，数，学，思，考，∴结果中一定有“我”，“爱”，“数”，“学”，∵根据代数式的书写规则，“5”一定在最前面，∴“我”在最前面，对照四个选项可知，只有D 选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查因式分解，且与现实生活联系创新，正确分解确定每个因式所对应的汉字为解题关键．【答案】C【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果．【详解】原式111111111111111111112233445566⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−⨯+⨯−⨯+⨯−⨯+⨯−⨯+⨯−⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，13243546572233445566=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，1726=⨯， 712=，故选：C ．【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键．【变式2】若a +b =1，则222a b b −+的值为（ ）【答案】D【分析】把222a b b −+进行变形，代入a+b=1，计算，再次代入即可求解． 【详解】解：222a b b −+()()2a b a b b=+−+2a b b =−+a b =+ 1=故选：D【点睛】本题考查了对式子变形求解，熟练掌握平方差公式是解题关键，本题也可以把a+b=1变形为a=1-b ，代入求值．【变式3】计算：2222222212345699100−+−+−++−．．．【答案】5050−【分析】根据平方差公式因式分解即可求解．【详解】解：原式＝()()()()()()()() 1212343456569910099100−++−++−++⋅⋅⋅+−+()123499100=−++++⋅⋅⋅++10150=−⨯5050=−．【点睛】本题考查了平方差公式因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．【过关检测】一．选择题1.下列因式分解正确的是（）【答案】A【分析】利用提公因式法，公式法对各项进行因式分解，即可求解．【详解】解：A、()()22224222121a a a a a−+=−+=−，故本选项正确，符合题意；B、()21a ab a a a b++=++，故本选项错误，不符合题意；C、()()22422a b a b a b−=+−，故本选项错误，不符合题意；D、()()()3322a b ab ab a b ab a b a b−=−=+−，故本选项错误，不符合题意；故选：A【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．2．下列因式分解错误的是（）【答案】B【分析】分别把各选项分解因式得到结果，逐一判断即可．【详解】解：A 、()241644x x x x −+=−−，因式分解正确，故本选项不符合题意； B 、()222222221n n x y x y x y x −−=−，故B 因式分解不正确，故本选项符合题意；C 、422161(41)(41)x x x −=+−()()2(41)2121x x x =++−，因式分解正确，故本选项不符合题意；D 、2211()44ax ax a a x x −+−=−−+，212a x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，因式分解正确正确，故本选项不符合题意； 故选B ．【点睛】此题考查了因式分解，主要应用了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．3.计算()()2022202122−+−所得的结果是（ ）A ．－2B ．2C ．－20212D ．20212 【答案】D【分析】直接找出公因式进而提取公因式再计算即可．【详解】解：(-2)2022+(-2)2021=(-2)2021×(-2+1)()20212=−−20212=，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确找出公因式、提取公因式是解题关键．4．计算（﹣2）2005+3×（﹣2）2004的值为（ ）A ．﹣22004B ．22004C ．（﹣2）2005D ．5×22004【答案】B【分析】根据因式分解的提公因式法进行求解即可．【详解】解：()()()()20042004020052042233222=−⨯−+=−+⨯−；故选B ． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．【答案】B【分析】先根据平方差公式把每个括号内的式子分解因式，进一步计算乘法即得答案．【详解】解：原式=111111111111111111115566779999100100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−⨯+⨯−⨯+⨯−⨯+⨯⨯−⨯+⨯−⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=46576898100991015566779999100100⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =41015100⨯ =101125． 故选：B ．【点睛】本题考查了多项式的因式分解和有理数的简便运算，属于常考题型，熟练掌握分解因式的方法是解题关键．6．多项式316a a −因式分解的结果是（ ）A ．()24a a −B ．()24a a +C ．()()44a a +−D ．()()44a a a +− 【答案】D【分析】先提取公因式，然后按照平方差公式因式分解即可得到答案．【详解】解：()()()32161644a a a a a a a −=−=+−，故选：D ．【点睛】本题考查了提公因式法和平方差公式法进行因式分解，掌握提取公因式法、平方差公式是解题的关键．二. 填空题【答案】()(21)x y a −−【分析】运用提取公因式法进行因式分解即可．【详解】解：()()2()(21)a x y x y x y a −−−=−−，故答案为：()(21)x y a −−．【点睛】本题主要考查提公因式法因式分解，掌握提公因式法分解因式的方法是解题的关键．【答案】30【分析】将所求式子提取公因式ab ，再整体代入求值即可．【详解】解：∵3a b +=−，10ab =−，∴()()2210330a b a a b a b b =+=⨯+−−=．故答案为：30． 【点睛】本题考查代数式求值，因式分解．利用整体代入的思想是解题关键．【答案】()()16x y x y −−−【分析】提公因式分解因式即可．【详解】解：()()216x y y x −+− ()()216x y x y =−−− ()()16x y x y =−−−故答案为：()()16x y x y −−−． 【点睛】本题考查利用提公因式分解因式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．【答案】()21ax x −【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式，即可解答．【详解】解：322ax ax ax −+，()221ax x x =−+，()21ax x =−，故答案为：()21ax x −．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的几种方法是解题的关键． 11．如图，点B 在线段AC 上()BC AB >，在线段AC 同侧作正方形ABMN 及正方形BCEF ，连接AM 、ME 、EA 得到AME △．当1AB =时，AME △的面积记为1S ；当2AB =时，AME △的面积记为2S ；当3AB =时，AME △的面积记为3S ；则20202019S S −= ．【答案】40392【分析】连接BE 发现，无论正方形BCEF 怎样变，△AME 面积都与△AMB 相等，因为都是以AM 为底，以AM 到BE 之间的距离为高．【详解】连接BE ，∵在线段AC 同侧作正方形ABMN 及正方形BCEF ，∴BE ∥AM ．∴△AME 与△AMB 同底等高．∴△AME 的面积=△AMB 的面积．∴当AB=n 时，△AME 的面积为2n 1S n 2=，当AB=2019时，△AME 的面积为220191S 20192=⨯． 当AB=2020时，△AME 的面积为220201S 20202=⨯． ∴()22202020191202020192S S −=⨯−()()1=2020-2019202020192+ 4039=2 故答案为：40392【点睛】本题考查等面积法在几何题中的应用，善于发现BE 始终平行AM 是本题关键．【答案】20212【分析】利用提公因式法提公因式2021(2)−，即可得结果． 【详解】解：2021202220212021(2)(2)(2)(12)2−+−=−⨯−=． 故答案为：20212．【点睛】本题考查了因式分解－提公因式法的应用；找出公因式是解题的关键，注意符号．【答案】4000 【分析】先利用平方差公式把每一个因数化为两个因数的积，约分后可得余下的因数，再计算乘法，从而可得答案．【详解】解：2222111111......112319992000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =111111111111......111122331999199920002000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−+−+−+−+ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =1341998200019992001...223319991999200022000⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =1200122000⨯=20014000故答案为：20014000．【点睛】本题考查的是有理数的乘法运算，运用平方差公式对有理数进行简便运算，掌握以上知识是解题的关键．【答案】2【分析】把22020分成()2200119+，利用完全平方公式展开，计算即可．【详解】2222020200119200119−−⨯222(200119)200119200119+−−=⨯22222001220011919200119200119+⨯⨯+−−=⨯2200119200119⨯⨯=⨯2=．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了利用因式分解对有理数进行简便运算，熟练应用完全平方公式是解题关键．【分析】所求式子提取公因式变形，再利用完全平方公式化简，将a+b 与ab 的值代入计算即可求出值．【详解】3223a a b ab b +++=22()()a a b b a b +++ =22()()a b a b ++ =2()()2a b a b ab ⎡⎤++−⎣⎦=3×（9+2×2）=39，故答案是：39．【点睛】此题考查了因式分解的应用，将所求式子进行适当的变形是解本题的关键．【答案】-2021055【分析】运用平方差公式对原式进行分解因式，通过提取公因式对原式进行计算即可解答.【详解】解：12-22+32-42+52-62+…+20092-20102=（1-2）（1+2）+（3-4）（3+4）+（5-6）（5+6）+…+（2009-2010）（2009+2010）=－(1+2+3+4+5+6+…+2009+2010)= －(2011×1005)= －2021055.故答案为－2021055.【点睛】本题考查了用平方差公式和提取公因式进行因式分解，将原式进行化简是解题的关键.【答案】1【分析】根据完全平方公式和平方差公式可以解答本题．【详解】40352﹣4×2017×2018＝（2017+2018）2﹣4×2017×2018＝20172+2×2017×2018+20182﹣4×2017×2018＝（2017﹣2018）2＝（﹣1）2＝1，故答案为1．【点睛】本题考查因式分解在有理数的运算中的应用，熟练掌握完全平方公式以及平方差公式的结构特征是解题的关键.三、解答题 18．先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：例11(1)(1)(1)(1)(1)ax ax ax ax ax ax ax ax +++=+++=++2(1)ax =+；例2221(1)(1)(1)(1)(1)ax ax ax ax ax ax x ax ax α+++++=++++22(1)(1)ax ax ax =+++2(1)(1)ax ax =++3(1)ax =+．(1)例2分解因式的方法是________，共应用了________次．(2)若分解因式：220201(1)(1)...(1)ax ax ax ax ax ax ax ++++++++，则需应用上述方法________次，结果是________．(3)分解因式：23200320041(1)(1)(1)...(1)(1)x x x x x x x x x x x −−−+−−−+−−+−．【答案】(1)提取公因式，2(2)2020，2021(1)ax +(3)()20051x −【分析】（1）根据分解过程即可填空；（2）将多项式提公因式即可进行因式分解；（3）按照上面规律分解，注意符号的变化规律．【详解】（1）解：根据分解过程，可知例2分解因式的方法是提取公因式，共应用了2次；（2）220201(1)(1)...(1)ax ax ax ax ax ax ax ++++++++()()2202011(1)...(1)ax ax ax ax ax ax =+++++++ ()220201(1)...(1)ax ax ax ax =+++++... 2021(1)ax =+∴应用了2020次，结果是2021(1)ax +；（3）23200320041(1)(1)(1)...(1)(1)x x x x x x x x x x x −−−+−−−+−−+−()223200320041(1)(1)...(1)(1)x x x x x x x x x =−−+−−−+−−+−3320032004(1)(1)...(1)(1)x x x x x x x =−−−+−−+−420032004(1)...(1)(1)x x x x x =−−+−−+−...()20051x =−【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 19．（1）若100799611A =⨯⨯，119951008B =⨯⨯，求A B −；（2）证明5799449999⨯+⨯−能被100整除．【答案】（1）132；（2）证明见解析【分析】（1）先提取公因数11，再把1007996⨯化成()()1001.5 5.51001.5 5.5+⨯−，把9951008⨯化成()()1001.5 6.51001.5 6.5+⨯−，进而利用平方差公式进行求解即可；（2）把原式提取公因式99，进而得579944999999100⨯+⨯−=⨯，由此即可证明结论．【详解】解：（1）∵100799611A =⨯⨯，119951008B =⨯⨯，∴A B −100799611119951008=⨯⨯−⨯⨯()()()()111001.5 5.51001.5 5.51001.5 6.51001.5 6.5=⨯+⨯−−+⨯−⎡⎤⎣⎦()()2222111001.5 5.51001.5 6.5⎡⎤=⨯−−+⎣⎦()()11 6.5 5.5 6.5 5.5=⨯+⨯−11121=⨯⨯132=； （2）5799449999⨯+⨯−()9957441=⨯+−99100=⨯， ∵99100⨯能被100整除，∴5799449999⨯+⨯−能被100整除．【点睛】本题主要考查了因式分解在有理数简便计算中的应用，熟知因式分解的方法是解题的关键．【答案】(1)214(2)2(3)1120(4)40000【分析】（1）根据提公因式法进行计算即可求解；（2）根据平方差公式将分母化简即可求解；（3）根据平方差公式化简括号内的，然后根据有理数的乘法进行计算即可求解；（4）根据完全平方公式进行计算即可求解．【详解】（1）原式21.4 2.321.4 2.721.45=⨯+⨯+⨯()21.4 2.3 2.75=⨯++21.410=⨯214=； （2）原式=()()1000075257525+−=1000010050⨯2=；（3）原式11111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2233441010=+⨯−⨯+⨯−⨯+⨯−⨯⋯⨯+⨯− =3142531192233441010⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=111210⨯=1120；（4）原式22195219555=+⨯⨯+2195()5=+2200=40000=．【点睛】本题考查了利用提公因式法、完全平方公式与平方差公式进行简便计算，熟练掌握乘法公式是解题的关键．。
2020年初一数学(下)期中复习《因式分解》含答案
初一下数学期中复习因式分解一．因式分解-提公因式法1．把下列各式分解因式：（1）ax﹣ay+az；（2）6a2b﹣15ab2+30a2b2；（3）10a（x﹣y）2﹣5b（y﹣x）；（4）x（a﹣x）（a﹣y）﹣y（x﹣a）（y﹣a）．2．因式分解：（x+1）（x+3）﹣33．（2019秋•徐汇区校级期中）（x﹣3y）（x﹣y）﹣（﹣x﹣y）24．因式分解：2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）6．（2018秋•如皋市期中）因式分解：（1）x2﹣10x （2）﹣8ax2+16axy﹣8ay2 6．（2017春•天宁区校级月考）因式分解：2x2﹣4x．8．（2017春•滨海县期末）因式分解：（1）3a（x﹣y）﹣5b（y﹣x）（2）x6﹣x2y4．9．（2015春•新沂市期中）分解因式：3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）10．（2013春•常州期中）因式分解：3a2﹣6a2b+2ab．二．因式分解-运用公式法12．分解因式：（1）16x2﹣8xy+y2；（2）a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y）．13．（2019春•泰兴市期中）因式分解．（1）4x2﹣9y2 （2）x2+2xy+2y214．分解因式：（a2+1）2﹣4a2．15．（2018春•江宁区校级月考）分解因式．（1）（m+1）（m﹣9）+8m （2）（x2﹣x）2﹣（x﹣1）2 15．（2018春•工业园区期末）分解因式：x4﹣2x2+1．17．（2020春•灌云县期中）因式分解：（1）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）（2）8a2﹣2b2 （3）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）218．（2019秋•崇川区校级期末）分解因式：（1）4x2y﹣9y （2）（a2+4）2﹣16a219．因式分解（1）4a2﹣9；（2）3ax2+6axy+3ay2．20．分解因式：（1）9ax2﹣ay2；（2）2x3y+4x2y2+2xy3．21．（2020春•东台市期中）因式分解①2x2﹣8 ②x3﹣2x2y+xy2 ③（x2+4）2﹣16x2．四．因式分解-分组分解法23．分解因式：x2+y2+2xy﹣1．24．（2018春•玄武区校级期中）因式分解（1）m2（x﹣2）+m（2﹣x）（2）（x+y）2﹣4（x+y﹣1）；（3）（x2+y2）2﹣4x2y2；（4）x3+x2y﹣xy2﹣y3．25．（2018秋•启东市期中）分解因式（1）16﹣a4 （2）y3﹣6xy2+9x2y（3）（m+n）2﹣4m（m+n）+4m2 （4）9﹣a2+4ab﹣4b2（1）a4﹣16 （2）x2﹣2xy+y2﹣9 （3）n2（m﹣2 ）+（2﹣m）27．（2017春•苏州期中）分解因式：（1）2a3﹣8a（2）4a（x﹣y）﹣2b（y﹣x）（4）（x2+4）2﹣16x2（4）2xy﹣x2+1﹣y2．28．（2017春•江阴市校级月考）因式分解（1）x3﹣4x （2）﹣2a2+4a﹣2（3）x2﹣5x﹣6 （4）x2﹣4y2+x+2y．29．（2016春•鼓楼区校级期中）分解因式（1）4x2﹣36；（2）﹣4m3+8m2+32m；（4）（y2﹣1）2﹣6（y2﹣1）+9；（4）a2+ac﹣bc﹣b2．（1）3x﹣12x3 （2）a3﹣4ab2（3）（2x+y）2﹣（x+2y）2 （4）a2﹣4a+4﹣c2．31．（2016秋•张家港市校级月考）因式分解：（1）3ax﹣3ay2（2）（a+b）2﹣a2 （3）3a（x﹣y）+9（y﹣x）（4）x4﹣18x2+81 （5）x2﹣5x+6 （6）a2+2a+1﹣b2．32．（2016春•江阴市校级月考）因式分解：（1）3a5﹣12a4+9a3（2）3a2﹣6ab+3b2﹣12c2．五．因式分解-十字相乘法等33．（2019春•常熟市期末）将下列各式分解因式：（1）x2﹣5x﹣6；（2）8x2﹣8x+2；（3）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）．（1）9x2﹣25 （2）x4y4﹣8x2y2+16（3）a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y）（4）x2﹣xy﹣6y235．（2019春•吴江区期中）分解因式：（1）ax2﹣6ax+9a （2）（m+1）（m﹣9）+8m （3）a4+3a2﹣436．（2019春•丹阳市期中）分解因式（1）6xz﹣9xy （2）8a3﹣8a2+2a（3）2ax2﹣18a3 （4）x2﹣4x﹣1237．（2019春•常熟市期中）分解因式：（1）3a2﹣6a+3；（2）a2﹣ab﹣6b2；（3）9a2（2x﹣y）+（y﹣2x）（1）x4﹣81 （2）x2﹣x﹣2 （3）2x2y﹣8xy+8y 39．分解因式：（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．40．（2018春•玄武区校级月考）分解下列因式（1）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）（2）16x4﹣8x2y2+y4 （3）（x2+4）2﹣16x2 （4）36（a+b）2﹣4（a﹣b）2 （5）x2﹣6x﹣1641．（2018春•常熟市期末）将下列各式分解因式（1）3x（a﹣b）﹣9y（b﹣a）；（2）a2﹣4a﹣12；（3）81x4﹣72x2y2+16y442．（2018春•相城区期中）将下列各式分解因式：（1）2ax2﹣8a （2）x2﹣6xy+5y2（3）（2m﹣n）2﹣6n（2m﹣n）+9n2 （4）a2﹣b2+2b﹣1一．因式分解-提公因式法1．（1）ax﹣ay+az＝a（x﹣y+z）；（2）6a2b﹣15ab2+30a2b2＝3ab（2a﹣5b+10ab）；（3）10a（x﹣y）2﹣5b（y﹣x）＝10a（x﹣y）2+5b（x﹣y）＝5（x﹣y）[2a（x﹣y）+b] ＝5（x﹣y）（2ax﹣2ay+b）；（4）x（a﹣x）（a﹣y）﹣y（x﹣a）（y﹣a）＝x（a﹣x）（a﹣y）﹣y（a﹣x）（a﹣y）＝（a﹣x）（a﹣y）（x﹣y）．2．（x+1）（x+3）﹣3＝x2+4x+3﹣3＝x2+4x＝x（x+4），3．（x﹣3y）（x﹣y）﹣（﹣x﹣y）2＝x2﹣xy﹣3xy+y2﹣（x2+xy+y2），＝x2﹣xy﹣3xy+y2﹣x2﹣xy﹣y2，＝﹣xy+y2，＝﹣y（x﹣y）．4．2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）＝2m（a﹣b）+3n（a﹣b）＝（a﹣b）（2m+3n）．5．3x2（x﹣2y）﹣18x（x﹣2y）﹣27（2y﹣x）＝3x2（x﹣2y）﹣18x（x﹣2y）+27（x﹣2y）＝3（x﹣2y）（x2﹣6x+9）＝3（x﹣2y）（x﹣3）2．6．（1）x2﹣10x＝x（x﹣10）；（2）﹣8ax2+16axy﹣8ay2＝﹣8a（x2﹣2xy+y2）＝﹣8a（x﹣y）2．7．2x2﹣4x＝2x（x﹣2）．8．（1）3a（x﹣y）﹣5b（y﹣x）＝（x﹣y）（3a+5b）（2）x6﹣x2y4＝x2（x4﹣y4）＝x2（x2﹣y2）（x2+y2）＝x2（x﹣y）（x+y）（x2+y2）9．3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）＝3x（a﹣b）+6y（a﹣b）＝3（a﹣b）（x+2y）．10．3a2﹣6a2b+2ab＝a（3a﹣6ab+2b）．11．6a（b﹣1）2﹣2（1﹣b）2＝2（b﹣1）2（3a﹣1）．二．因式分解-运用公式法12．（1）16x2﹣8xy+y2＝（4x﹣y）2（2）a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y）＝（x﹣y）（a2﹣b2）＝（x﹣y）（a+b）（a﹣b）．13．（1）4x2﹣9y2＝（2x+3y）（2x﹣3y）（2）x2+2xy+2y2＝（x2+4xy+4y2）＝（x+2y）2．14．（a2+1）2﹣4a2．＝（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）＝（a+1）2（a﹣1）2．15．（1）（m+1）（m﹣9）+8m＝m2﹣8m﹣9+8m＝m2﹣9＝（m+3）（m﹣3）；＝（x+1）（x﹣1）3．16．x4﹣2x2+1＝（x2﹣1）2＝（x+1）2（x﹣1）2．三．提公因式法与公式法的综合运用17．（1）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）＝2m（a﹣b）+3n（a﹣b）＝（a﹣b）（2m+3n）（2）8a2﹣2b2＝2（4a2﹣b2）＝2（2a+b）（2a﹣b）（3）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2＝[2+3（x﹣y）]2＝（2+3x﹣3y）218．（1）4x2y﹣9y＝y（4x2﹣9）＝y（2x+3）（2x﹣3）（2）（a2+4）2﹣16a2＝（a2+4﹣4a）（a2+4+4a）＝（a+2）2（a﹣2）219．（1）4a2﹣9＝（2a+3）（2a﹣3）（2）3ax2+6axy+3ay2＝3a（x2+2xy+y2）＝3a（x+y）220．（1）9ax2﹣ay2＝a（9x2﹣y2）＝a（3x+y）（3x﹣y）（2）2x3y+4x2y2+2xy3＝2xy（x2+2xy+y2）＝2xy（x+y）221．①2x2﹣8＝2（x2﹣4）＝2（x﹣2）（x+2）②x3﹣2x2y+xy2═x（x2﹣2xy+y2）＝x（x﹣y）2③（x2+4）2﹣16x2＝（x2+4x+4）（x2﹣4x+4）＝（x+2）2（x﹣2）222．（1）x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）；（2）x3﹣2x2+x＝x（x2﹣2x+1）＝x（x﹣1）2．四．因式分解-分组分解法23．x2+y2+2xy﹣1＝（x+y）2﹣1＝（x+y﹣1）（x+y+1）．24．（1）m2（x﹣2）+m（2﹣x）＝m2（x﹣2）﹣m（x﹣2）＝（x﹣2）（m2﹣m）＝m（x﹣2）（m﹣1）；（2）（x+y）2﹣4（x+y﹣1）＝（x+y）2﹣4（x+y）+4＝（x+y﹣2）2；（3）（x2+y2）2﹣4x2y2＝（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy）＝（x+y）2（x﹣y）2；（4）x3+x2y﹣xy2﹣y3＝x2（x+y）﹣y2（x+y）＝（x+y）（x2﹣y2）＝（x+y）2（x﹣y）．25．（1）16﹣a4＝（4+a2）（4﹣a2）＝（4+a2）（2+a）（2﹣a）（2）y3﹣6xy2+9x2y＝y（y2﹣6xy+9x2）＝y（y﹣3x）2（3）（m+n）2﹣4m（m+n）+4m2＝（m+n﹣2m）2＝（n﹣m）2（4）9﹣a2+4ab﹣4b2＝9﹣（a﹣2b）2＝（3﹣a+2b）（3+a﹣2b）26．（1）a4﹣16＝（a2+4）（a2﹣4）＝（a2+4）（a+2）（a﹣2）（2）x2﹣2xy+y2﹣9＝（x﹣y）2﹣32＝（x﹣y+3）（x﹣y﹣3）（3）n2（m﹣2 ）+（2﹣m）＝（m﹣2）（n2﹣1）＝（m﹣2）（n+1）（n﹣1）27．（1）2a3﹣8a＝2a（a2﹣4）＝2a（a+2）（a﹣2）；（2）4a（x﹣y）﹣2b（y﹣x）＝2（x﹣y）（2a+b）；（3）（x2+4）2﹣16x2＝（x2+4+4x）（x2+4﹣4x）＝（x+2）2（x﹣2）2；（4）2xy﹣x2+1﹣y2＝1﹣（x﹣y）2＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）．28．（1）x3﹣4x＝x（x2﹣4）＝x（x+2）（x﹣2）（2）﹣2a2+4a﹣2＝﹣2（a2﹣2a+1）＝﹣2（a﹣1）2（3）x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）（4）x2﹣4y2+x+2y＝（x+2y）（x﹣2y）+（x+2y）＝（x+2y）（x﹣2y+1）29．（1）4x2﹣36＝4（x2﹣9）＝4（x+3）（x﹣3）（2）﹣4m3+8m2+32m＝﹣4m（m2﹣2m﹣8）＝﹣4m（m+2）（m﹣4）（3）（y2﹣1）2﹣6（y2﹣1）+9＝（y2﹣1﹣3）2＝[（y+2）（y﹣2）]2＝（y+2）2（y﹣2）2（4）a2+ac﹣bc﹣b2＝（a+b）（a﹣b）+c（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b+c）30．（1）3x﹣12x3＝3x（1﹣4x2）＝3x（1+2x）（1﹣2x）（2）a3﹣4ab2＝a（a2﹣4b2）＝a（a+2b）（a﹣2b）；（3）（2x+y）2﹣（x+2y）2＝（2x+y﹣x﹣2y）（2x+y+x+2y）＝（x﹣y）（3x+3y）＝3（x﹣y）（x+y）；（4）a2﹣4a+4﹣c2＝（a﹣2）2﹣c2＝（a﹣2+c）（a﹣2﹣c）．31．（1）3ax﹣3ay2＝3a（x﹣y2）；（2）（a+b）2﹣a2＝（a+b﹣a）（a+b+a）＝b（2a+b）；（3）3a（x﹣y）+9（y﹣x）＝3（x﹣y）（a﹣3）；（4）x4﹣18x2+81＝（x2﹣9）2＝（x+3）2（x﹣3）2；（5）x2﹣5x+6＝（x﹣3）（x﹣2）；（6）a2+2a+1﹣b2＝（a+1）2﹣b2＝（a+1+b）（a+1﹣b）．32．（1）3a5﹣12a4+9a3＝3a3（a2﹣4a+3）＝3a3（a﹣3）（a﹣1）（2）3a2﹣6ab+3b2﹣12c2＝3（a2﹣2ab+b2﹣4c2）＝3[（a﹣b）2﹣4c2]＝3（a﹣b+2c）（a﹣b﹣2c）五．因式分解-十字相乘法等33．（1）x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）（2）8x2﹣8x+2＝2（4x2﹣4x+1）＝2（2x﹣1）2（3）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）＝（x﹣y）（a2﹣b2）＝（x﹣y）（a+b）（a﹣b）34．（1）9x2﹣25＝（3x+5）（3x﹣5）（2）x4y4﹣8x2y2+16＝（x2y2﹣4）2＝（xy+2）2（xy﹣2）2（3）a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y）＝（a2﹣b2）（x﹣y）＝（a+b）（a﹣b）（x﹣y）（4）x2﹣xy﹣6y2＝（x﹣3y）（x+2y）35．（1）ax2﹣6ax+9a＝a（x2﹣6x+9）＝a（x﹣3）2；（2）（m+1）（m﹣9）+8m＝m2﹣8m﹣9+8m＝m2﹣9＝（m+3）（m﹣3）；（3）a4+3a2﹣4＝（a2﹣1）（a2+4）＝（a﹣1）（a+1）（a2+4）．36．（1）6xz﹣9xy＝3x（2z﹣3y）（2）8a3﹣8a2+2a＝2a（4a2﹣4a+1）＝2a（2a﹣1）2（3）2ax2﹣18a3＝2a（x2﹣9a2）＝2a（x+3a）（x﹣3a）（4）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）37．（1）3a2﹣6a+3＝3（a2﹣2a+1）＝3（a﹣1）2；（2）a2﹣ab﹣6b2＝（a﹣3b）（a+2b）；（3）9a2（2x﹣y）+（y﹣2x）＝9a2（2x﹣y）﹣（2x﹣y）＝（2x﹣y）（9a2﹣1）＝（2x﹣y）（3a+1）（3a﹣1）．38．（1）x4﹣81＝（x2+9）（x2﹣9）＝（x2+9）（x+3）（x﹣3）；（2）x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2）；（3）2x2y﹣8xy+8y＝2y（x2﹣4x+4）＝2y（x﹣2）2．39．（a2+a）2﹣8（a2+a）+12＝（a2+a﹣2）（a2+a﹣6）＝（a+2）（a﹣1）（a+3）（a﹣2）．40．（1）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）＝a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y）＝（a2﹣b2）（x﹣y）＝（x﹣y）（a+b）（a﹣b）；（2）16x4﹣8x2y2+y4＝（4x2﹣y2）2＝（2x+y）2（2x﹣y）2；（3）（x2+4）2﹣16x2＝（x2+4+4x）（x2+4﹣4x）＝（x+2）2（x﹣2）2；（4）36（a+b）2﹣4（a﹣b）2＝（6a+6b）2﹣（2a﹣2b）2＝（6a+6b+2a﹣2b）（6a+6b﹣2a+2b）＝（8a+4b）（4a+8b）＝16（2a+b）（a+2b）；（5）x2﹣6x﹣16＝（x﹣8）（x+2）．41．（1）3x（a﹣b）﹣9y（b﹣a）＝3x（a﹣b）+9y（a﹣b）＝3（a﹣b）（x+3y）；（2）a2﹣4a﹣12＝（a﹣6）（a+2）；（3）81x4﹣72x2y2+16y4＝（9x2﹣4y2）2＝（3x+2y）2（3x﹣2y）2．42．（1）2ax2﹣8a＝2a（x2﹣4）＝2a（x+2）（x﹣2）；（2）x2﹣6xy+5y2＝（x﹣y）（x﹣5y）；（3）（2m﹣n）2﹣6n（2m﹣n）+9n2＝（2m﹣n﹣3n）2＝4（m﹣2n）2；（4）a2﹣b2+2b﹣1＝a2﹣（b﹣1）2＝（a+b﹣1）（a﹣b+1）．。
因式分解常用的六种方法详解
一、提公因式法这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。
例题：因式分解下列多项式：(1)x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y) ;(2) 3x3−18x2+27x=3x(x2−6x+9)=3x(x−3)2 ;(3) 3a3+6a2b−3a2c−6abc=3a(a2+2ab−ac−2bc)=3a[a(a−c)+2b(a−c)]=3a(a+2b)(a−c).二、公式法因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。
常用的公式如下：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)还有两个常考的n次方展开的公式：an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)(n∈Z+)an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−⋯−abn−2+bn−1)(n is odd)例题：因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2=(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab)=[(a+b)2−1][(a−b)2−1]=(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1)三、十字相乘法（双十字相乘法）简单的十字相乘其实就是公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。
知识卡片-提公因式法与公式法的综合应用
提公因式法与公式法的综合应用能量储备●提公因式法.一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.例如：4x2y2z－12x3y4＝4x2y2（z－3x y2）.●把乘法公式反过来运用(也称逆用)，可以把符合公式特点的多项式因式分解，这种因式分解的方法称为公式法．通关宝典★基础方法点方法点1：当多项式的每一项都含有公因式时，要先提取公因式，再看能否运用平方差公式分解，若能运用，注意确定哪项是公式中的“a”，哪项是公式中的“b”.另外，因式分解必须进行到多项式的每一个因式都不能再分解为止.例：把下列各式分解因式：（1）16（a－b）2－25（a＋b）2；（2）（a－1）＋a2（1－a）.分析：（1）式可变为[4（a－b）]2－[5（a＋b）]2，把4（a－b）和5（a＋b）分别看作一个整体；（2）式变为（a－1）－a2（a－1），提取公因式a－1后再用平方差公式分解因式.解：（1）16（a－b）2－25（a＋b）2＝[4（a－b）]2－[5（a＋b）]2＝[4（a－b）＋5（a＋b）][4（a－b）－5（a＋b）]＝（4a－4b＋5a＋5b）（4a－4b－5a－5b）＝（9a＋b）（－a－9b）＝－（9a＋b）（a＋9b）.（2）（a－1）＋a2（1－a）＝（a－1）－a2（a－1）＝（a－1）（1－a2）＝（a－1）（1＋a）（1－a）＝－（a－1）2（a＋1）.★★易混易误点易混易误点1: 分解因式不彻底.例：分解因式：2n（m＋n）2＋2m（m＋n）2＋（m＋n）3.解：2n（m＋n）2＋2m（m＋n）2＋（m＋n）3＝（m＋n）2[2n＋2m＋（m＋n）]＝（m＋n）2（2n＋2m＋m＋n）＝（m＋n）2（3m＋3n）＝3（m＋n）2（m＋n）＝3（m＋n）3.点拨：分解因式时必须进行到每一个因式都不能再分解为止，否则会“半途而废”.此题易出现分解不彻底的现象，其中因式3m＋3n还可以再分解成3（m＋n）.易混易误点2: 走回头路.例：因式分解：（x＋y）2－14y（x＋y）＋49y2.解：原式＝（x＋y－7y）2＝（x－6y）2.警示：本题易出现x2－12xy＋36y2的结果，这样积的形式又化成了一个多项式，犯了“走回头路”的错误.蓄势待发考前攻略★应用提公因式法分解因式，解题关键是找准公因式，题型主要是填空题和选择题.★应用公式法分解因式，是中考的必考内容，题型以填空题和选择题为主，解决这类问题的关键是掌握因式分解的步骤及平方差公式和完全平方公式，有时与提公因式法综合应用，同时注意分解因式要彻底.完胜关卡。
知识点068 提公因式法与公式法的综合运用(解答题)
知识点068 提公因式法与公式法的综合运用(解答题)1．分解因式：m2（x﹣y）+4n2（y﹣x）=（x﹣y）（m+2n）（m﹣2n）；分解因式：a2+4ab+4b2=（a+2b）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用。
专题：常规题型。
分析：把（x﹣y）看作一个整体并提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；利用完全平方公式分解因式即可．解答：解：m2（x﹣y）+4n2（y﹣x），=m2（x﹣y）﹣4n2（x﹣y），=（x﹣y）（m2﹣4n2），=（x﹣y）（m+2n）（m﹣2n）；a2+4ab+4b2=（a+2b）2．故答案为：（x﹣y）（m+2n）（m﹣2n），（a+2b）2．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．2．分解因式：a5﹣a=a（a2+1）（a+1）（a﹣1）．考点：提公因式法与公式法的综合运用。
专题：因式分解。
分析：先提取公因式a，再根据平方差公式进行三次分解．解答：解：a5﹣a=a（a4﹣1）=a（a2+1）（a2﹣1）=a（a2+1）（a+1）（a﹣1）．故答案为：a（a2+1）（a+1）（a﹣1）．点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行多次分解，注意分解要彻底．3．（2011•湖州）因式分解：a3﹣9a．考点：提公因式法与公式法的综合运用。
分析：首先提公因式a，然后即可利用平方差公式进行分解．解答：解：原式=a（a2﹣9）（3分）=a（a+3）（a﹣3）．（3分）点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．4．（2010•清远）分解因式：2x3y﹣2xy3．考点：提公因式法与公式法的综合运用。
分析：先提取公因式2xy，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解答：解：2x3y﹣2xy3，=2xy（x2﹣y2），=2xy（x+y）（x﹣y）．点评：此题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．5．（2010•河源）分解因式：a3﹣ab2．考点：提公因式法与公式法的综合运用。
因式分解的七种常见方法
因式分解的七种常见方法因式分解是代数学中非常重要的一个基本概念，可以帮我们优化计算过程，得到简化的式子。
在因式分解的过程中，需要运用不同的方法来将一个给定的式子分解为若干个简单的乘积，本文将会介绍七种常见的因式分解方法。
1. 公式法公式法是一种较为常见的因式分解方法，它可以应用于一些特定的式子。
公式法常用的公式有两个：（1）$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$该公式被称为"a二次减b二次"公式。
它告诉我们，一个平方数减另一个平方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差。
例如：$16-9=7\times5=(4+3)\times(4-3)$（2）$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$该公式被称为"a立方加b立方"公式。
它告诉我们一个立方数加另一个立方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差减去它们的积。
例如：$8^3+1^3=513=(8+1)\times(8^2-8+1)$2. 提公因式法提公因式法是一种常用的因式分解方法。
它的主要思想是将式子中的公因式先提出来，再对剩下的部分进行因式分解。
例如：$ax^2+bx=a(x^2+\frac{b}{a}x)$在上述式子中，$a$是公因式，$(x^2+\frac{b}{a}x)$是剩余部分的因式分解。
这样我们就把原始式子分解成了两个因子的乘积。
3. 十字相乘法十字相乘法主要用于二次三项式的因式分解。
该方法基于以下思想：将二次三项式分解为两个一次三项式的乘积，其中每个一次三项式的首项系数积等于原始式子的二次项系数，常数项积等于原始式子的常数项。
例如：$ax^2+bx+c$，首先将它分解为两个一次三项式$(px+q)(rx+s)$，然后进行十字相乘运算$(px+q)(rx+s)=px\times rx+px\times s+qrx+qs$，其中最后两项括号里的$c$是常数项。
内蒙古呼和浩特市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类
内蒙古呼和浩特市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类一．规律型：数字的变化类（共1小题）1．（2021•呼和浩特）若把第n个位置上的数记为x n，则称x1，x2，x3，…，x n有限个有序放置的数为一个数列A．定义数列A的“伴生数列”B是：y1，y2，y3，…，y n，其中y n 是这个数列中第n个位置上的数，n＝1，2，…，k且y n＝并规定x0＝x n，x n+1＝x1．如果数列A只有四个数，且x1，x2，x3，x4依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”B是 ．二．提公因式法与公式法的综合运用（共3小题）2．（2023•呼和浩特）分解因式2b3﹣4b2+2b＝ ．3．（2022•东营）因式分解：x3﹣9x＝ ．4．（2021•呼和浩特）因式分解：x3y﹣4xy＝ ．三．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）5．（2023•呼和浩特）甲、乙两船从相距150km的A，B两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从A地顺流航行90km时与从B地逆流航行的乙船相遇．甲、乙两船在静水中的航速均为30km/h，则江水的流速为 km/h．四．一次函数的应用（共1小题）6．（2022•呼和浩特）某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了 千克糯米；设某人的付款金额为x元，购买量为y千克，则购买量y 关于付款金额x（x＞10）的函数解析式为 ．五．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）7．（2022•呼和浩特）点（2a﹣1，y1）、（a，y2）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，若0＜y1＜y2，则a的取值范围是 ．六．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）8．（2021•呼和浩特）正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，若A点坐标为（，﹣2），则k1+k2＝ ．七．二次函数图象与系数的关系（共1小题）9．（2022•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是 ．八．三角形的外接圆与外心（共1小题）10．（2023•呼和浩特）如图，△ABC内接于⊙O且∠ACB＝90°，弦CD平分∠ACB，连接AD，BD．若AB＝5，AC＝4，则BD＝ ，CD ＝ ．九．正多边形和圆（共1小题）11．（2022•呼和浩特）如图，从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积为 （用含π的代数式表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为 ．一十．圆锥的计算（共2小题）12．（2023•呼和浩特）圆锥的高为，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是 度，该圆锥的侧面积是 （结果用含π的式子表示）．13．（2021•呼和浩特）已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为 ．（用含π的代数式表示），圆心角为 度．一十一．轴对称-最短路线问题（共1小题）14．（2021•呼和浩特）已知菱形ABCD的面积为2，点E是一边BC上的中点，点P是对角线BD上的动点．连接AE，若AE平分∠BAC，则线段PE与PC的和的最小值为 ，最大值为 ．一十二．相似三角形的判定与性质（共2小题）15．（2023•呼和浩特）如图，正方形ABCD的边长为，点E是CD的中点，BE与AC 交于点M，F是AD上一点，连接BF分别交AC，AE于点G，H，且BF⊥AE，连接MH，则AH＝ ，MH＝ ．16．（2022•呼和浩特）已知AB为⊙O的直径且AB＝2，点C是⊙O上一点（不与A、B重合），点D在半径OB上，且AD＝AC，AE与过点C的⊙O的切线垂直，垂足为E．若∠EAC＝36°，则CD＝ ，OD＝ ．一十三．折线统计图（共1小题）17．（2023•呼和浩特）某乳业公司要出口一批规格为500克/罐的奶粉，现有甲、乙两个厂家提供货源，它们的价格相同，品质也相近．质检员从两厂的产品中各随机抽取15罐进行检测，测得它们的平均质量均为500克，质量的折线统计图如图所示，观察图形，甲、乙两个厂家分别提供的15罐奶粉质量的方差s甲2 s乙2．（填“＞”或“＝”或“＜”）一十四．利用频率估计概率（共1小题）18．（2021•呼和浩特）动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，据此若设刚出生的这种动物共有a只，则20年后存活的有 只，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是 ．内蒙古呼和浩特市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类参考答案与试题解析一．规律型：数字的变化类（共1小题）1．（2021•呼和浩特）若把第n个位置上的数记为x n，则称x1，x2，x3，…，x n有限个有序放置的数为一个数列A．定义数列A的“伴生数列”B是：y1，y2，y3，…，y n，其中y n 是这个数列中第n个位置上的数，n＝1，2，…，k且y n＝并规定x0＝x n，x n+1＝x1．如果数列A只有四个数，且x1，x2，x3，x4依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”B是 0，1，0，1 ．【答案】0，1，0，1．【解答】解：x0＝x4＝1＝x2，∴y1＝0，∵x1≠x3，∴y2＝1，∵x2＝x4，∴y3＝0，∵x3≠x5＝x1，∴y4＝1，∴“伴生数列”B是：0，1，0，1，故答案为0，1，0，1．二．提公因式法与公式法的综合运用（共3小题）2．（2023•呼和浩特）分解因式2b3﹣4b2+2b＝ 2b（b﹣1）2 ．【答案】2b（b﹣1）2．【解答】解：原式＝2b（b2﹣2b+1）＝2b（b﹣1）2，故答案为：2b（b﹣1）2．3．（2022•东营）因式分解：x3﹣9x＝ x（x+3）（x﹣3） ．【答案】见试题解答内容【解答】解：x3﹣9x，＝x（x2﹣9），＝x（x+3）（x﹣3）．4．（2021•呼和浩特）因式分解：x3y﹣4xy＝ xy（x+2）（x﹣2） ．【答案】见试题解答内容【解答】解：x3y﹣4xy，＝xy（x2﹣4），＝xy（x+2）（x﹣2）．三．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）5．（2023•呼和浩特）甲、乙两船从相距150km的A，B两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从A地顺流航行90km时与从B地逆流航行的乙船相遇．甲、乙两船在静水中的航速均为30km/h，则江水的流速为 6 km/h．【答案】6．【解答】解：设江水的流速为x千米每小时，根据题意得：＝，解得x＝6（km/h），经检验符合题意，答：江水的流速6km/h．故答案为：6．四．一次函数的应用（共1小题）6．（2022•呼和浩特）某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了 3 千克糯米；设某人的付款金额为x元，购买量为y千克，则购买量y 关于付款金额x（x＞10）的函数解析式为 y＝ ．【答案】3；y＝．【解答】解：∵x＞10时，∴一次购买的数量超过2千克，∴y＝，＝．∵14＞10，∴y＝，＝，＝3．故答案为：3；y＝．五．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）7．（2022•呼和浩特）点（2a﹣1，y1）、（a，y2）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，若0＜y1＜y2，则a的取值范围是 a＞1 ．【答案】a＞1．【解答】解：∵k＞0，∴反比例函数y＝（k＞0）的图象在一、三象限，在每个象限，y随x的增大而减小，∵0＜y1＜y2，∴点（2a﹣1，y1）、（a，y2）都在第一象限，∴2a﹣1＞a，解得：a＞1，故答案为：a＞1．六．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）8．（2021•呼和浩特）正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，若A点坐标为（，﹣2），则k1+k2＝ ﹣8 ．【答案】﹣8．【解答】解：∵正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，若A点坐标为（，﹣2），∴﹣2＝k1，﹣2＝，∴k1＝﹣2，k2＝﹣6，∴k1+k2＝﹣8，故答案为﹣8．七．二次函数图象与系数的关系（共1小题）9．（2022•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是 m ＝3或﹣1＜m≤﹣ ．【答案】m＝3或﹣1＜m≤﹣．【解答】解：抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，当x＝0时，y＝2，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2﹣m），直线CD的表达式y＝﹣1，当m＞0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，16m﹣8m+2＝﹣1，解得：m＝﹣（不符合题意，舍去），当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，m+2m+2＝﹣1，解得：m＝﹣1（不符合题意，舍去），当m＞0且抛物线的顶点在线段CD上时，2﹣m＝﹣1，解得：m＝3，当m＜0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，16m﹣8m+2＝﹣1，解得：m＝﹣，当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，m+2m+2＝﹣1，解得：m＝﹣1（舍去），综上，m的取值范围为m＝3或﹣1＜m≤﹣，故答案为：m＝3或﹣1＜m≤﹣．八．三角形的外接圆与外心（共1小题）10．（2023•呼和浩特）如图，△ABC内接于⊙O且∠ACB＝90°，弦CD平分∠ACB，连接AD，BD．若AB＝5，AC＝4，则BD＝ ，CD＝ ．【答案】，．【解答】解：∵△ABC内接于⊙O且∠ACB＝90°，∴AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAC+∠DBC＝180°，∵弦CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴AD＝BD，∵AB＝5，AC＝4，∴CB＝3，AD＝BD＝，∴如图把△ACD绕D逆时针旋转90°得到△DBE，∴∠DBE＝∠DAC，BE＝AC，∴∠DBC+∠DBE＝180°，∴C、B、E三点共线，∴△DCE为等腰直角三角形，∴CE＝AC+BC＝7，∴CD＝DE＝．故答案为：，．九．正多边形和圆（共1小题）11．（2022•呼和浩特）如图，从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积为 （用含π的代数式表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BCD＝＝108°，∴S扇形＝＝；又∵弧BD的长为＝，即圆锥底面周长为，∴圆锥底面直径为，故答案为：；．一十．圆锥的计算（共2小题）12．（2023•呼和浩特）圆锥的高为，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是 120 度，该圆锥的侧面积是 3π （结果用含π的式子表示）．【答案】120，3π．【解答】解：∵圆锥的高为，母线长为3，∴圆锥底面圆的半径为：，∴圆锥底面圆的周长为：2π．设展开图（扇形）的圆心角是n°，依题意得：，解得：n＝120°，圆锥的侧面积是：．．故答案为：120，3π．13．（2021•呼和浩特）已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为 12π ．（用含π的代数式表示），圆心角为 216 度．【答案】见试题解答内容【解答】解：设底面圆的半径为rcm，由勾股定理得：r＝＝6，∴2πr＝2π×6＝12π，根据题意得2π×6＝，解得n＝216，即这个圆锥的侧面展开图的圆心角为216°．故答案为：12π，216．一十一．轴对称-最短路线问题（共1小题）14．（2021•呼和浩特）已知菱形ABCD的面积为2，点E是一边BC上的中点，点P是对角线BD上的动点．连接AE，若AE平分∠BAC，则线段PE与PC的和的最小值为 ，最大值为 2+ ．【答案】；2+．【解答】解：根据图形可画出图形，如图所示，过点B作BF∥AC交AE的延长线于点F，∴∠F＝∠CAE，∠EBF＝∠ACE，∵点E是BC的中点，∴△ACE≌△FBE（AAS），∴BF＝AC，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴∠BAE＝∠F，∴AB＝BF＝AC，在菱形ABCD中，AB＝BC，∴AB＝BC＝AC，即△ABC是等边三角形；∴∠ABC＝60°，设AB＝a，则BD＝，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝2，即＝2，∴a＝2，即AB＝BC＝CD＝2；∵四边形ABCD是菱形，∴点A和点C关于BD对称，∴PE+PC＝AP+EP，当点A，P，E三点共线时，AP+EP的和最小，此时AE＝；点P和点D重合时，PE+PC的值最大，此时PC＝DC＝2，过点D作DG⊥BC交BC的延长线于点G，连接DE，∵AB∥CD，∠ABC＝60°，∴∠DCG＝60°，∴CG＝1，DG＝，∴EG＝2，∴DE＝＝，此时PE+PC＝2+；即线段PE与PC的和的最小值为；最大值为2+．故答案为：；2+．一十二．相似三角形的判定与性质（共2小题）15．（2023•呼和浩特）如图，正方形ABCD的边长为，点E是CD的中点，BE与AC 交于点M，F是AD上一点，连接BF分别交AC，AE于点G，H，且BF⊥AE，连接MH，则AH＝ 2 ，MH＝ ．【答案】2，．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为，∴AB＝BC＝CD＝DA＝，∠BAD＝∠D＝90°，AB∥CD，∵点E为CD的中点，∴DE＝CE＝，在Rt△ADE中，AD＝，DE＝，由勾股定理得：，∵∠BAD＝90°，BF⊥AE，∴∠BAH+∠DAE＝90°，∠ABF+∠BAH＝90°，∴∠DAE＝∠ABF，在△DAE和△ABF中，，∴△DAE≌△ABF（SAS），∴DE＝AF＝，AE＝BF＝5，∵BF⊥AE，∠D＝90°，∴∠AHF＝∠D＝90°，又∠HAF＝∠DAE，∴△AFH∽△ADE，∴AH：AD＝AF：AE，即：AH：＝：5，∴AH＝2．过点M作MN⊥AE于点N，如图：在△ADE和△BCE中，，∴△ADE≌△BCE（SAS），∴AE＝BE＝5，∴EH＝AE﹣AH＝5﹣2＝3，在Rt△AHB中，AB＝，AH＝2，由勾股定理得：，∵AB∥CD，∴△MEC∽△MBA，∴ME：MB＝CE：AB，即：ME：MB＝：2，∴ME：MB＝1：2，∴ME：EB＝1：3，∵BF⊥AE，MN⊥AE，∴MN∥BH，∴△MNE∽△BHE，∴MN：BH＝EN：EH＝ME：EB∴MN：4＝EN：3＝1：3，∴MN＝，EN＝1，∴HN＝EH﹣EN＝3﹣1＝2，在Rt△MHN中，MN＝，HN＝2，由勾股定理得：．故答案为：2，．16．（2022•呼和浩特）已知AB为⊙O的直径且AB＝2，点C是⊙O上一点（不与A、B重合），点D在半径OB上，且AD＝AC，AE与过点C的⊙O的切线垂直，垂足为E．若∠EAC＝36°，则CD＝ 1 ，OD＝ ．【答案】1，．【解答】解：如图：连接OC，设OD＝x，∵直径AB＝2，∴OA＝OC＝1，∴AD＝AC＝1+x，∵EC与⊙O相切于点C，∴OC⊥EC，∵AE⊥EC，∴∠AEC＝90°，∴AE∥OC，∴∠EAC＝∠ACO＝36°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC＝36°，∵AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD＝72°，∴∠OCD＝∠ACD﹣∠ACO＝36°，∵∠COD＝2∠CAD＝72°，∴∠COD＝∠ADC＝72°，∴OC＝DC＝1，∴∠OCD＝∠CAD，∠ADC＝∠ODC，∴△DOC∽△DCA，∴＝，∴＝，解得：x＝，经检验：x＝是原方程的根，∵x＞0，∴OD＝，故答案为：1，．一十三．折线统计图（共1小题）17．（2023•呼和浩特）某乳业公司要出口一批规格为500克/罐的奶粉，现有甲、乙两个厂家提供货源，它们的价格相同，品质也相近．质检员从两厂的产品中各随机抽取15罐进行检测，测得它们的平均质量均为500克，质量的折线统计图如图所示，观察图形，甲、乙两个厂家分别提供的15罐奶粉质量的方差s甲2 ＜ s乙2．（填“＞”或“＝”或“＜”）【答案】＜．【解答】解：观察折线统计图可以发现，乙厂家15罐奶粉质量的波动较甲厂家15罐奶粉质量的波动大，所以，故答案为：＜．一十四．利用频率估计概率（共1小题）18．（2021•呼和浩特）动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，据此若设刚出生的这种动物共有a只，则20年后存活的有 0.8a 只，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是 ．【答案】0.8a，．【解答】解：若设刚出生的这种动物共有a只，则20年后存活的有0.8a只，活到25岁的只数为0.5a，故现年20岁到这种动物活到25岁的概率为＝，故答案为：0.8a，．。
初二数学上册：因式分解常见八种解题方法
初二数学上册：因式分解常见八种解题方法常见的方法有:①提取公因式法;②公式法;③提公因式法与公式法的综合运用。
在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提取公因式法，然后考虑公式法，对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等。
下面通过例题一一介绍。
一.提取公因式法(一)公因式是单项式的因式分解1.分解因式确定公因式的方法①系数:取各项系数的最大公因数;②字母(或多项式):取各项都含有的字母(或多项式);③指数:取相同字母(或多项式)的最低次幂。
注意:公因式可以是单独的一个数或字母，也可以是多项式，当第一项是负数时可先提负号，当公因式与多项式某一项相同时，提公因式后剩余项是1，不要漏项.解:原式=一4m²n(m²一4m+7).(二)公因式是多项式的因式分解2.因式分解15b(2a一b)²+25(b一2a)²解:原式=15b(2a一b)²+25(2a一b)²=5(2a一b)²(3b+5)二.公式法(一)直接用公式法3.分解因式(1).(x²+y²)²一4x²y²(2).(x²十6x)²+18(x²+6x)十81解:(1)原式=(x²+y²+2xy)(x²+y²一2xy)=(x十y)²(x一y)²(2)原式=(x²十6x+9)²=[(x+3)²]²=(二)先提再套法4.分解因式(三)先局部再整法5.分解因式9x²一16一(x十3)(3x+4)解:原式=(3x十4)(3x一4)一(x十3)(3x十4)=(3x+4)[(3x一4)一(x+3)]=(3x十4)(2x一7)(四)先展开再分解法6.分解因式4x(y一x)一y²解:原式=4xy一4x²一y²=一(4x²一4xy+y²)=一(2x一y)²三.分组分解法7.分解因式x²一2xy+y²一9解:原式=(x一y)²一9=(x一y十3)(x一y一3)四.拆、添项法8.分解因式五.整体法(一)"提"整体9.分解因式a(x+y一z)一b(z一x一y)一c(x一z+y)解:原式=a(x十y一z)十b(x十y一z)一c(x十y一z)=(x十y一z)(a+b一c)(二)"当"整体10.分解因式(x+y)²一4(x+y一1)解:原式=(x+y)²一4(x+y)+4=(x十y一2)²(三)"拆"整体11.分解因式ab(c²+d²)+cd(a²+b²)解:原式=abc²+abd²+cda²+cdb²=(abc²+cda²)+(abd²+cdb²)=ac(bc 十ad)+bd(ad+bc)=(bc十ad)(ac+bd)(四)"凑"整体12.分解因式x²一y²一4x+6y一5解:原式=(x²一4x十4)一(y²一6y+9)=(x一2)²+(y一3)²=[(x一2)十(y一3)][(x一2)一(y一3)]=(x+y一5)(x一y十1)六.换元法13.分解因式(a²十2a一2)(a²+2a+4)+9解:设a²+2a=m，则原式=(m一2)(m+4)十9=m²十4m一2m一8+9=m²+2m十1=(m+1)²=(a²+2a十1)²=、七.十字相乘法公式:x²十(a十b)x十ab=(x+a)(x十b)或对于一个三项式若能象上边一样中间左侧上下相乘得x²，中间右侧上下相乘得ab，中间上下斜对角相乘之和为(a+b)x，则能进行分解，如: 14.x²一5x一14解:原式=(x一7)(x十2)十字相乘法分解因式非常重，在以后有关代数式的运算，解方程等知识中常常用到.八.待定系数法15.分解因式x²+3xy+2y²十4x+5y+3解:因为x²+3xy+2y²=(x+y)(x+2y)设原式=(x+y+m)(x+2y十n)=x²十3xy+2y²十(m+n)x+(2m+n)y+mn.∴m=1，n=3∴原式=(x+y+1)(x+2y+3)【总结】因式分解的知识在代数中有着重要的地位，同学们要多加强这方面的练习，为以后的学习奠定扎实的基础。
《因式分解--提公因式和公式法的综合运用》
《因式分解--提公因式和公式法的综合运用》在新课标的理念下，更加突出了学生的主体地位，教师更多的是辅助者的角色。
本节课是在学生学习了提公因式和公式法后的一个解题训练课，采用翻转课堂的模式，学生先在课下预习学案，接下来在课上和大家交流分享，在已有经验基础上，双向的作用，使已有的经验在新的知识体系里融合。
建构主义学习理论认为：学习是引导学生从原有经验出发，建构起新的经验，本节课充分体现了建构主义理论。
教材分析：本节课是北师大版八年级下第四章《因式分解》章节复习前的一个解题训练课。
因式分解在数的运算中，不仅仅是一种简便运算，它还在整式的乘除中，分式运算和等式的证明中发挥作用，在整个初中数学体系中起到承上启下的作用。
多项式的因式分解不仅能起到巩固整式的运算，还培养学生的逆向推理能力。
学情分析：本章内容与整式的运算联系紧密，特别提公因式和公式法就是整式乘法的一个逆运算。
在学习的过程中注重概念的强化，还有结构认知。
通过训练，来加深学生对于提公因式和公式法的一个运用。
学生在家，部分同学缺少必要的学习环境，造成学习效率较低，对于线上教学，增加与学生的互动，积极引导学生进行思考和思维的碰撞，通过翻转课堂来补充完善线上教学。
教学目标：1、理解因式分解的概念，会运用提公因式法和公式法来求解已知问题。
2、能说出如何提公因式，并说出平方差公式，完全平方公式的特点，3、在数到式的迁移过程中，体会类比的数学思想。
4、情感态度与价值观：培养学生观察分析问题的能力，深化学生的逆向思维。
教学重点：提公因式和公式法分解因式。
教学难点：两种因式分解方法（提公因式法、公式法）的熟练运用教学支持：腾讯课堂，爱学派，QQ，SAI绘画软件，书写板。
教学过程：一、概念回顾：1、因式分解：把一个________化成几个_______的___的形式，叫做多项式的分解因式.注：必须分解到每个多项式因式不能再分解为止.★设计意图：1、复习准备本节课需要的知识，为后续提公因式法和公式法运算指明方向。
专训1 因式分解的六种常见方法(2)
专训1 因式分解的六种常见方法名师点金：因式分解的常用方法有：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)提公因式法与公式法的综合运用．在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提公因式法，然后考虑公式法．对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等．提公因式法公因式是单项式的因式分解1．若多项式－12x2y3＋16x3y2＋4x2y2分解因式，其中一个因式是－4x2y2，则另一个因式是( )A．3y＋4x－1 B．3y－4x－1 C．3y－4x＋1 D．3y－4x2．【2015·广州】分解因式：2－6＝．3．把下列各式分解因式：(1)2x2－；(2)－4m4n＋16m3n－28m2n.公因式是多项式的因式分解4．把下列各式分解因式：(1)a(b－c)＋c－b；(2)15b(2a－b)2＋25(b－2a)2.公式法直接用公式法5．把下列各式分解因式：(1)－16＋x4y4；(2)(x2＋y2)2－4x2y2；(3)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.先提公因式再用公式法6．把下列各式分解因式：(1)(x－1)＋b2(1－x)；(2)－3x7＋24x5－48x3.先局部再整体法7．分解因式：(x＋3)(x＋4)＋(x2－9)．先展开再分解法8．把下列各式分解因式：(1)x(x＋4)＋4；(2)4x(y－x)－y2.分组分解法9．观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学的因式分解：甲：x2－＋4x－4y＝(x2－)＋(4x－4y) (分成两组)＝x(x－y)＋4(x－y) (分别提公因式)＝(x－y)(x＋4). (再提公因式)乙：a2－b2－c2＋2＝a2－(b2＋c2－2) (分成两组)＝a2－(b－c)2(运用完全平方公式)＝(a＋b－c)(a－b＋c). (再用平方差公式)请你在他们的解法的启发下，把下列各式分解因式：(1)m2－＋－；(2)x2－2＋y2－9.拆、添项法10．分解因式：x4＋.11．先阅读下面的材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法，其实分解因式的方法还有拆项法等．拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2＋2x－3＝x2＋2x＋1－4＝(x＋1)2－22＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x＋3)(x－1)．请你仿照以上方法，分解因式：(1)x2－6x－7；(2)a2＋4－5b2.整体法“提”整体12．分解因式：a(x＋y－z)－b(z－x－y)－c(x－z＋y)．“当”整体13．分解因式：(x＋y)2－4(x＋y－1)．“拆”整体14．分解因式：(c2＋d2)＋(a2＋b2)．“凑”整体15．分解因式：x2－y2－4x＋6y－5.换元法16．分解因式：(1)(a2＋2a－2)(a2＋2a＋4)＋9；(2)(b2－b＋1)(b2－b＋3)＋1.答案1．B 2.2m(x－3y)3．解：(1)2x2－＝x(2x－y)．(2)－4m4n＋16m3n－28m2n＝－4m2n(m2－4m＋7)．点拨：如果一个多项式第一项含有“－”号，一般要将“－”号一并提出，但要注意括号里面的各项要改变符号．4．解：(1)原式＝a(b－c)－(b－c)＝(b－c)(a－1)．(2)原式＝15b(2a－b)2＋25(2a－b)2＝5(2a－b)2(3b＋5)．点拨：将多项式中的某些项变形时，要注意符号的变化．5．解：(1)原式＝x4y4－16＝(x2y2＋4)(x2y2－4)＝(x2y2＋4)(＋2)(－2)．(2)原式＝(x2＋y2＋2)(x2＋y2－2)＝(x＋y)2(x－y)2.(3)原式＝(x2＋6x＋9)2＝[(x＋3)2]2＝(x＋3)4.点拨：因式分解必须分解到不能再分解为止，如第(2)题不能分解到(x2＋y2＋2)(x2＋y2－2)就结束了．6．解：(1)原式＝(x－1)－b2(x－1)＝(x－1)(1－b2)＝(x－1)(1＋b)(1－b)．(2)原式＝－3x3(x4－8x2＋16)＝－3x3(x2－4)2＝－3x3(x＋2)2(x－2)2.7．解：原式＝(x＋3)(x＋4)＋(x＋3)·(x－3)＝(x＋3)[(x＋4)＋(x－3)]＝(x＋3)(2x＋1)．点拨：解此题时，表面上看不能分解因式，但通过局部分解后，发现有公因式可以提取，从而将原多项式因式分解．8．解：(1)原式＝x2＋4x＋4＝(x＋2)2.(2)原式＝4－4x2－y2＝－(4x2－4＋y2)＝－(2x－y)2.点拨：通过观察发现此题不能直接分解因式，但运用整式乘法法则展开后，便可以运用公式法分解．9．解：(1)m2－＋－＝(m2－)＋(－)＝m(m－n)＋x(m－n)＝(m－n)(m＋x)．(2)x2－2＋y2－9＝(x2－2＋y2)－9＝(x－y)2－9＝(x－y＋3)(x－y－3)．10．解：原式＝x4＋x2＋－x2＝－x2＝(x2－x＋)．点拨：此题直接分解因式很困难，考虑到添加辅助项使其符合公式特征，因此将原式添上x2与－x 2两项后，便可通过分组使其符合平方差公式的结构特征，从而将原多项式进行因式分解．11．解：(1)x2－6x－7＝x2－6x＋9－16＝(x－3)2－42＝(x－3＋4)(x－3－4)＝(x＋1)(x－7)．(2)a2＋4－5b2＝a2＋4＋4b2－9b2＝(a＋2b)2－(3b)2＝(a＋2b＋3b)(a＋2b－3b)＝(a＋5b)(a－b)．12．解：原式＝a(x＋y－z)＋b(x＋y－z)－c(x＋y－z)＝(x＋y－z)(a＋b－c)．13．解：原式＝(x＋y)2－4(x＋y)＋4＝(x＋y－2)2.点拨：本题把x＋y这一整体“当”作完全平方公式中的字母a.14．解：原式＝2＋2＋2＋2＝(2＋2)＋(2＋2)＝(＋)＋(＋)＝(＋)(＋)．点拨：本题“拆”开原式中的两个整体，重新分组，可谓“柳暗花明”，出现转机．15．解：原式＝(x2－4x＋4)－(y2－6y＋9)＝(x－2)2－(y－3)2＝(x＋y－5)(x－y＋1)．点拨：这里巧妙地把－5拆成4－9.“凑”成(x2－4x＋4)和(y2－6y＋9)两个整体，从而运用公式法分解因式．16．解：(1)设a2＋2a＝m，则原式＝(m－2)(m＋4)＋9＝m2＋4m－2m－8＋9＝m2＋2m＋1＝(m＋1)2＝(a2＋2a＋1)2＝(a＋1)4.(2)设b2－b＝n，则原式＝(n＋1)(n＋3)＋1＝n2＋3n＋n＋3＋1＝n2＋4n＋4＝(n＋2)2＝(b2－b＋2)2.。
因式分解之提取公因式法和运用公式法(学生版)
课题：因式分解之提取公因式法和公式法知识精要：一、因式分解的概念1、定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解因式分解多项式（和差形式） 整式的积（积的形式）整式乘法二、提取公因式法1、定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．即()ma mb mc m a b c ++=++（1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数；（2）字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取最低次数．2、步骤：（1）观察；（2）确定公因式；（3）将公因式提到括号外；（4）将多项式写成因式乘积的形式．3、提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察公因式的特点，找出确定公因式的方法：（1）公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积．（2）公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式．4、提取公因式法应注意的事项：（1）提取的公因式应为最大公因式；（2）当某一项被完全提取，该项要用“1”来代替；（3）要使得括号内第一项的系数为正数；（4）要使得括号内每一项的系数为整数；（5）注意符号变换问题．二、公式法1、平方差公式： 22()()a b a b a b -=+-2、完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±3、注意事项：（1）注意公式的结构特点；（2）注意符号；（3）首先想到提取公因式法；（4）注意分解一定要彻底． 精解名题：例1、下列从左到右的变形哪个是分解因式（ ）A ．223(2)3x x x x +-=+-；B ．()()ma mb na nb m a b n a b +++=+++；C ．221236(6)x x x -+=-；D ．22()22m m n m mn -+=--．例2、多项式3222315520x y x y x y +-的最大公因式是（ ）A ．5xy ；B ．225x y ；C ．25x y ；D ．235x y ．例3、把多项式2(2)(2)m a m a -+-分解因式正确的是（ ）A ．2(2)()a m m -+；B ．(2)(1)m a m -+；C ．(2)(1)m a m --；D ．2(2)()a m m -+． 例4、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）A ．22a b -+；B ．22a b --；C ．22a b +；D ．33a b -．例5、若2(3)4x m x +-+是完全平方式，则实数m 的值是（ ）A ．5-；B ．3；C ．7 ；D ．7或1-．例6、若二项式24x +加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式共有（ ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个．例7、无论x 、y 为任何实数，多项式22428x y x y +--+的值一定是（ ）A ．正数；B ．负数；C ．零；D ．不确定．例8、下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ ）A ．22m mn n -+；B ．2()4a b ab +-；C ．2124x x -+； D ．221x x +-． 例9、若3a b +=，则222426a ab b ++-的值为（ ）A ．12；B ．6；C ．3；D ．0． 例10、已知221x y -=-，12x y +=，则x y -= ． 例11、已知3x y +=，则221122x xy y ++=__________. 例12、已知2226100x y x y +-++=，则x y +=________.例13、因式分解：（第（1）-（6）用提取公因式法；第（7）-（22）用公式法）（1）； （2） 3423424281535a b a b a b -+；（3）； （4）；（5）3122+++--+-m m m m ax acx abx xa ；（6）3225(2)(2)3(2)(2)n n x y x y -----（7）2249x y -； （8）3282(1)a a a -+；（9）44116a b -； （10）224()25()x y x y --+；（11）42241128a b a b -； （12）2233(27)4x x --；（13）31()7()7x y x y ---； （14）222(4)16x x +-；（15）29124a a ++； （16）229312554a ab b -+；（17）2244ab a b --； （18）2318248a a a -+；（19）42816x x -+； （20）(6)9a a ++；（21）2()10()25m n m n ++++；（22）2222()6()9()a b a b a b ++-+-；例14、已知1128a b ab -==，，求22332a b ab a b -++的值．例15、应用简便方法计算。
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(1)
4－100 4a
2y－8xy＋8y xy＋ (2)2x 2(x－y)－b2(x－y) (3)a (x－y)－ (x－
综合使用提公因式法、 综合使用提公因式法 、 运用公式法 分解因式的方法步骤： 分解因式的方法步骤： 2.两个公式先后套用 两个公式先后套用
把下列各式分解因式
4－16 (1)a 4 － 2 a2 b2 ＋ b4 (2)a
拓展与提高 1、把下列各式分解因式： 、把下列各式分解因式： （1） (a + b) − 4(a + b − 1) ）
2
（2） 1 − x + 4 xy − 4 y ）
2
2
2、△ABC的三边 、b、c 有如下关系 、 的三边a、 、 的三边 式： − c 2 + a 2 + 2ab − 2bc = 0 求证： 是等腰三角形。 求证：△ABC是等腰三角形。 是等腰三角形
•把下列各式分解因式： 把下列各式分解因式： 把下列各式分解因式
2+25a 1、-5a 2-9ab 2、3a 2-16y2 3、25x
4、( x 、 － x －y） ） 2 － x2y2 5、a 、 4 - b4 6、81a 4-2y2 7、8y
3 －y） ）
2-3ay4 8、3ax 4-1 9、m 2+4a+1 10、 10、4a 3 11、-3ma 11、
因式分解的应用 1、已知2x＋y=b，x－3y=1 已知 ＋ ， － 求14y(x－3y)2－4(3y－x)3的值。 － － 的值。 2、已知a＋b=5，ab=3， 、已知 ＋ ， ， 求代数式a ＋ 的值。 求代数式 3b＋2a2b2＋ab3的值。
把下列各式分解因式 (1)3ax2－3ay4 (2)－2xy－x2 ＋ (4)x4－81 (6)x4－2x2＋1 (5)(x2－2y)2－(1－2y)2 － (7)x4－8x2y2＋16y4
小结
(1) 如果多项式各项有 即： 公因式， 应先提公因式， 公因式 ， 应先提公因式 ， 一提” “一提” 再进一步分解。 再进一步分解。 (2)分解因式必须分解到 每个多项式的因式都不 能再分解为止。 能再分解为止。 (3)因式分解的结果必须 是几个整式的积的形式。 是几个整式的积的形式 。 “二套” 二套” “三查” 三查”
- 3ma 2c2-(b2+c2-a2)2 12、 ＊12、4b 2+4)2-16x2 13、 ＊13、(x
2 6ma
提公因式法与公式法分解因式
比一比， 比一比，看谁算得快 (1)65.52－34.52 (2)1012－2×101×1＋1 × × ＋ (3)482＋48×24＋122 × ＋ (4)5×552－5×452 × ×
综合使用提公因式法、 综合使用提公因式法 、 运用公式法 分解因式的方法步骤： 分解因式的方法步骤： 1、先提取公因式后利用公式 、 例、 把下列各式分解因式