反比例函数及其图像画法
第14讲 反比例函数的性质及其图象
考点二、反比例函数表达式的确定
确定解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函 数y=k/x中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或 图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析 式。
对于反比例函数y=3/x，下列说法正确的是（ ） A．图象经过点（1，-3） B．图象在第二、四象限 C．x＞0时，y随x的增大而增大 D．x＜0时，y随x增大而减小 解析： A.∵反比例函数y=3/x，
在x轴的正半轴上，若点D在
（x＜0）
【考点】反比例函数图象
上点的坐标特征；平行四 边形的性质．
完成过关测试：第
题.
完成课后作业：第
题.
故答案为：没有实数根.
小结：此题综合考查了反比例函数的图象与性质、一 元二次方程根的判别式.注意正确判定a的取值范围是 解决问题的关键.
【例题2】（2016·深圳市）如图，四边形ABCO是平行四
边形，OA=2，AB=6，点C在x轴的负半轴上，将▱ABCO
绕点A逆时针旋转得到▱ADEF，AD经过点O，点F恰好落
正比例函数y=6x的图象与反比例函数y=6/x的图象的交点
位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第一、三象限
解析：
【例题1】关于x的反比例函数 y a 4 的图象如
x
图，A，P为该图象上的点，且关于原点成中心对
称．△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于
点B．若△PAB的面积大于12，则关于x的方程 a 1 x2 x 1 0 的根的情况是 没有实数根 ．
∴xy=3，故图象经过点（1，3），故此选项错误； B.∵k＞0，∴图象在第 一、三象限，故此选项错误； C.∵k＞0，∴x＞0时，y随x增大而减小，故此选项错误； D.∵k＞0，∴x＜0时，y随x增大而减小，故此选项正确．
反比例函数图像课件
函数性质
线性函数是单调递增或 递减的，而反比例函数 在各自象限内是单调递 减的。
图像
线性函数的图像是一条 直线，而反比例函数的 图像是双曲线，分别位 于第一和第三象限。
与指数函数的比较
定义域
01
指数函数的定义域为所有实数，即$x in (-infty, +infty)$，与反
比例函数的定义域不同。
边际效用递减规律
在消费行为中，随着消费量的增加，消费者所获得的边际 效用通常呈现递减趋势，即每增加一单位消费量所带来的 效用增量逐渐减少。
投资回报率与风险的关系
在投资领域中，投资回报率与风险通常成反比关系，即当 投资回报率较高时，风险也相应较大；反之，当投资回报 率较低时，风险也相应较小。
在日常生活中的应用
定义域是全实数集。
函数性质
正比例函数是单调递增的，而反 比例函数在各自象限内是单调递
减的。
图像
正比例函数的图像是一条通过原 点的直线，而反比例函数的图像 是双曲线，分别位于第一和第三
象限。
与线性函数的比较
定义域
线性函数的定义域为所 有实数，即$x in (infty, +infty)$，而反比 例函数的定义域是除去 0的，即$x in (-infty, 0) cup (0, +infty)$。
使用数学软件绘制反比例函数图像
软件选择
选择一款适合的数学软件，如 GeoGebra、Desmos或 Microsoft Math等，这些软件都 提供了绘制反比例函数图像的功 能。
步骤
在软件中输入反比例函数公式， 如$y=frac{k}{x}$，其中$k$为常 数。然后选择绘图功能，软件会 自动生成反比例函数的图像。
反比例函数图像
反比例函数图像反比例函数，也称为倒数函数，是一种特殊的函数形式。
它的定义为：当一个变量的取值不断增加时，另一个变量的取值不断减小，两个变量之间存在着一个倒数的关系。
反比例函数可以表示为y = k/x，其中，k是一个常数，x和y分别表示两个变量的取值。
在这个函数中，x是自变量，y是因变量。
反比例函数的图像通常为一个由第一象限的正半轴上的一条直线和原点构成的曲线。
具体来说，当x取较大的正值时，y取较小的正值；当x取较小的正值时，y取较大的正值；当x取0时，y的值趋近于无穷大；当x取负值时，y的值亦为负值，但绝对值较小。
为了更好地理解反比例函数的图像，我们可以绘制一组函数值对应的点，然后将这些点连接起来，从而形成函数的图像。
下面我们将通过几个例子来说明。
例子1：考虑函数y = 2/x，在自变量x取不同的值时，查找相应的因变量y的值：当x取1时，y = 2/1 = 2；当x取2时，y = 2/2 = 1；当x取3时，y = 2/3 ≈ 0.67；当x取4时，y = 2/4 = 0.5；当x取5时，y = 2/5 ≈ 0.4；当x取10时，y = 2/10 = 0.2。
通过将这些点连接起来，我们可以得到反比例函数y = 2/x的图像。
图像呈现出一条从第一象限的正半轴开始的曲线，曲线与x轴以y轴为渐近线。
x 越大，y越小；x越小，y越大。
当x等于0时，函数的图像无定义。
例子2：再考虑函数y = 3/x，在自变量x取不同的值时，查找相应的因变量y的值：当x取1时，y = 3/1 = 3；当x取2时，y = 3/2 ≈ 1.5；当x取3时，y = 3/3 = 1；当x取4时，y = 3/4 ≈ 0.75；当x取5时，y = 3/5 ≈ 0.6；当x取10时，y = 3/10 = 0.3。
同样地，通过连接这些点，我们可以得到反比例函数y = 3/x的图像。
图像也呈现出一条从第一象限的正半轴开始的曲线，曲线与x轴以y轴为渐近线。
反比例函数图像
反比例函数图像反比例函数图像描述的是一种数学关系，其中一个变量的值与另一个变量的值成反比。
在数学上，反比例函数通常用公式y = k/x 来表示，其中 k 是一个常数，x 和 y 分别表示两个变量的值。
在本文中，我们将讨论反比例函数图像的性质、特点以及如何绘制。
一、反比例函数图像的性质反比例函数图像具有以下几个显著特点：1. 渐近线：反比例函数图像在 x 轴和 y 轴上分别有一个渐近线。
当x 趋近于正无穷时，y 趋近于零；当 y 趋近于正无穷时，x 趋近于零。
2. 对称性：反比例函数图像关于第一象限和第三象限的原点对称。
即，若 (x, y) 是函数图像上的一点，则 (-x, -y) 也是图像上的一点。
3. 单调性：反比例函数图像在第一象限和第三象限上是单调递减的，而在第二象限和第四象限上是单调递增的。
二、绘制反比例函数图像的步骤下面我们将介绍如何绘制反比例函数图像的步骤：1. 确定定义域和值域：反比例函数的定义域为除去 x=0 的所有实数，值域为除去 y=0 的所有实数。
2. 找出特殊点：根据反比例函数的公式，当x=0 时，y 的值不存在。
因此，我们需要找出除了这个点以外的其他特殊点。
例如，当x=1 时，y=k；当 x=2 时，y=k/2；当 x=3 时，y=k/3；以此类推。
3. 绘制渐近线：根据反比例函数的性质，我们可以绘制出与 x 轴和y 轴平行的渐近线。
在第一象限和第三象限中，当 x 趋近于正无穷时，y 趋近于零；在第二象限和第四象限中，当 y 趋近于正无穷时，x 趋近于零。
4. 绘制多个点：根据找出的特殊点，以及定义域和值域的限制，绘制出函数图像上的多个点。
5. 绘制曲线：根据连接这些点的趋势，可在图像上绘制出平滑的曲线。
注意，曲线应该遵循反比例关系，并与渐近线保持一定的距离。
三、实例演示下面通过一个实例来演示如何绘制反比例函数图像。
假设有一个反比例函数 y = 4/x，我们将按照上述步骤进行绘制。
反比例函数及其图像画法
的函数，称y是x的反比例函数.
还可表示为：xy=k 或y=kx-1 想一想:
反比例函数的自变量x能不能是0? 为什么?
练一练 比一比
在下列函数表达式中,哪些是反比例 函数?并指出每一个反比例函数相应的 k值是多少?
1y 5 ;2y 0.4 ;3y x ;4xy 2.
（2）当 S = 0.5 时，求物体承受的压强 p 的值.
解（1）根据题意，设 p k . s
函数图象经过点（0.1，1000），代入上式，得 1000 k . 0.1
解方程，得 k = 100 .
答：p 与 S 之间的函数表达式为 p 100（p＞0，S＞0）.
S
（2）当 S = 0.5 时， p 100 200.
某市距省城248 km，汽车行驶全程所需的时间t h 与平均速度v km/h之间有怎样的函数关系？
t 248 . v
合作探究 获取新知
问 题（三）
在一个电路中，当电压U一定时，通过电路的 电流I的大小与该电路的电阻R的大小之间有怎样的
函数关系？
IU. R
合作探究 获取新知
观察思考：
y 200 . x
随堂练习 巩固提高
6.已知y与x-1成反比例,当x=2时,y=4.求y与x的函 数关系式.
解：设y k ,则 k 4 x 1 21
k 4
y 4 x 1
7.若 y =（a+2）x a2 2a 1为反比例函数关系式，则a=＿0 .
解：∵y =（a+2）xa2 2a 1为反比例函数， ∴a+2≠0且a2+2a-1=0， ∴a=0.
2 x2
2、已知函数 y = xm -7 是x -1正= 比1x 例函数,则 m = _8__ ； 已知函数 y = xm -7 是反比例函数,则 m = __6_ 。
怎样利用几何画板画反比例函数
怎样利用几何画板画反比例函数
反比例函数的图像是双曲线，它是用平滑的曲线把一些特殊的点连接起来的，这是反比例函数的图像教学中的难点。
几何画板软件是一个用于几何动态研究的绘图工具，可以动态的展示图像的变化过程。
下面将讲解利用几何画板画反比例函数的方法。
（几何画板中文官网）
画确定的反比例函数
1.选择“绘图”—“定义坐标系”命令，建立坐标系。
2.在绘图区鼠标右键选择新建函数，打开新建函数对话框，输入函数如1/x，点击“确定”按钮，这样在绘图区域就会出现函数表达式。
3.然后选中函数表达式并鼠标右键，选择绘制函数，这样反比例函数图像就出现了。
利用几何画板画确定的反比例函数示例
画可变的反比例函数
1.在x轴上建立一个点P，然后度量点P的横坐标。
2.在绘图区鼠标右键选择新建函数，打开新建函数对话框，以其横坐标为可变参数，选定横坐标，输入函数X P/x，点击“确定”按钮，得到函数表达式。
3.然后选中函数表达式并鼠标右键，选择绘制函数，绘制函数图像。
当拖动点P 移动时，函数也会随之变化。
利用几何画板画可变的反比例函数示例
提示：如果对系统自带的占满整个绘图区的坐标系不是很满意的，可以在自定义工具下调用蚂蚁坐标系或者飞狐坐标系。
另绘制反比例函数的方法还有利用描点法画图像，比较复杂，以后的教程中会讲解。
以上内容介绍了利用几何画板画反比例函数的方法，方法比较简单。
对于新用户来说，刚接触几何画板，这是比较好的一个几何画板入门教程。
在几何画板中,怎么画反比例函数图象双曲线分支的一部分？
在几何画板中，怎么画出反比例函数图象的一部分？画反比例图象可以事先设置函数的定义域，然后再绘制出函数的图象；但在制卷和编制课件的实际操作中往往是先绘制出软件所默认函数的图象，然后才根据页面的空间情况进行取舍，下面根据我在实际操作中所得介绍两种情况供各位参考，但愿能起到抛砖引玉的作用：问题1：怎样画反比例函数的函数图象一个分支的的一部分？方法一：绘制反比例函数图象（如：2y x=）→ 选定反比例函数图象（任意点选一个分支即可） → 右键 → 属性 → 绘图 → 范围输入数值（如下图输入的是..0606x 30≤≤） →确定即可.特别说明：在图象有箭头的情况下，鼠标置于图象的箭头端，此时会呈现一个“×”状，鼠标左键按住后还可以根据需要随意将图象拉长和缩短，最后在属性里把“显示箭头和端点”前面的“√”去掉，“隐去”箭头和端点.方法二：绘制反比例函数图象（如：2yx=）→ 用点工具在反比例函数图象标出两个点（如下面左图的B C 、点） → 分别选定点 → 右键 → 横坐标（如图的..B C x 064x 339==，） →按照方法一操作 … 范围输入数值（如下图输入的是..064x 339≤≤）→ 确定把点和标签隐藏（见下面右图）.也可以根据需要仿照方法一的特别说明进行拉伸.问题2：怎样“同时”画反比例函数图象各自的两个分支的部分图象，并且要使两个部分要关于原点成中心对称？按照问题1的方法先画好一个分支的部分（本例仍按问题1的方法来操作函数2yx=在第一象限的分支的部分） → 再画出一个同样的的反比例函数图象（如图在同一坐标系内再画一个同样的函数图象2yx=） → 右击刚画好的图象 → 在属性里改动自变量的取值范围（根据反比例函数图象两个分支的中心对称性可知B C 、的关于原点O 为中心对称的点为''B C 、，即..BC x 064x 339==，的关于原点的对称点坐标应为''..B C x 064x 339=-=-，，所以其相应的自变量的取值范围由..064x 339≤≤改写为..064x 339-≤≤- → 确定即可 →根据试卷和课件需要设置好线条的粗细、颜色等（见下面的右图）.郑宗平 2015/5/25• • • • • • • • • • • • ••••••【唯美句子】走累的时候，我就到升国旗哪里的一角台阶坐下，双手抚膝，再闭眼，让心灵受到阳光的洗涤。
正比例函数与反比例函数(含图像)
1、正比例函数
定义：
形如y=kx（k为常数,且k≠0），我们就说y是x的正比例函数。
正比例函数是特殊的一次函数【一次函数的一般形式为y=kx+b（b不为0，k为常数）】。
图象作法:
a.列表(待定系数)
b.描点
c.连线
正比例函数的图象是一条直线，一定经过坐标的原点；
当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k<0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小。
具体图像：
正比例函数y=x的函数图像
2、反比例函数
定义：
形如y＝k／x（k为常数且k≠0）的函数，我们就说y是x的反比例函数。
（自变量x的取值范围是不等于0的一切实数)
图像作法：
反比例函数的图像为双曲线。
它可以无限地接近坐标轴，但永不相交；
当k>0时，图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；
当k<0时，图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
具体图像：
反比例函数y=1/x的函数图像。
反比例函数的图像和性质ppt课件
7、若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在
反比例函数 y = - 1 0 0 的图象上，则（
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
）
A、y1>y2>y3 C、y3>y1>y2
B、y2>y1>y3 D、y3>y2>y1
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
已知点A(2,y1)， B（5,y2)C是（反-3比,y例3)函是数y 象上的两点．请比较y1,y2的,y大3的小大．小．
4 x
图
y
⑴代入求值
y1 A B
-3 y2 O2 5
C y3
⑵利用增减性
⑶根据图象判断
x
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
1、反比例函数y= - 5 的图象大致是（ D ）
y
x
y
A：
o
x
B：
o
x
y
C：
o
x
D：
y
o x
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
2、我校食堂有5吨煤，用y表示可以用的天数
，用x表示每天的烧煤量，则y关于x的函数的
10
１、这几个函数图象有 8 什么共同点？
２、函数图象分别位于 6 哪几个象限？
4
３、y随的x变化有怎
反比例函数图像和性质
VS
化学反应中的浓度问题
在某些化学反应中，反应物的浓度与反应 时间可能成反比例关系。可以利用反比例 函数来分析这种关系，并求解相关问题， 如反应速率、反应时间等。
05
反比例函数与其他类型函数关系探讨
与一次函数关系
反比例函数与一次函数的交点
在某些特定条件下，反比例函数和一次函数可能会有交点。这些交点可以通过解方程组 来找到。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
反比例函数定义：形如 $y = frac{k}{x}$ （$k$ 为常数 ，$k neq 0$）的函数称为反比例函数。
反比例函数性质
当 $k < 0$ 时，在每个象限内，随着 $x$ 的增大， $y$ 值逐渐增大。
反比例函数图像：反比例函数的图像是双曲线，且以原 点为对称中心。当 $k > 0$ 时，双曲线位于第一、三 象限；当 $k < 0$ 时，双曲线位于第二、四象限。
图像法
通过观察反比例函数的图像，可以发 现其关于原点对称，这也是奇函数的 一个特征。
周期性讨论
周期性定义
周期函数是指函数在某个特定的非零周期长度内重复出现的性质。对于反比例函数，由于其图像不呈 现周期性变化，因此不是周期函数。
非周期性证明
可以通过反证法证明反比例函数的非周期性。假设反比例函数是周期函数，那么在其周期内应该存在 两个相同的点，但是根据反比例函数的定义和性质，这是不可能的。因此，反比例函数不是周期函数 。
变速直线运动
在某些情况下，物体做变速直线运动时，其速度与时间也可能成反比例关系。同样可以利用反比例函数来进行分 析和求解。
浓度问题建模与求解
溶液稀释问题
在溶液稀释过程中，溶质的质量与溶液 的体积成反比例关系。可以通过反比例 函数来描述这种关系，并求解相关问题 ，如稀释后的浓度、所需溶质的质量等 。
函数及其图象反比例函数反比例函数的图象和性质
反比例函数图像的变换规律
伸缩变换
当k值变化时，反比例函数的图像 会沿着x轴或y轴方向伸缩。当k增 大时，图像会向原点靠近；当k减 小时，图像会远离原点。
平移变换
当反比例函数沿x轴或y轴平移时 ，其图像也会相应地沿x轴或y轴 方向移动。
03
反比例函数的性质
反比例函数的单调性
递减性
当$k > 0$时，反比例函数在$(\infty,0)$和$(0,+\infty)$上单调递 减。
溶质溶解度
在溶质溶解度中，溶解度 与温度也成反比关系，即 温度越高，溶解度越低。
反比例函数在经济问题中的应用
供需关系
在市场经济中，供需关系 呈反比关系，即供应量越 大，需求量越小；反之亦 然。
货币流通速度
在货币流通中，货币流通 速度与货币供应量也成反 比关系，即货币供应量越 大，货币流通速度越慢。
热力学中的气体定律
在热力学中，气体的压强与体积也成反比关系，即压强越大，体积 越小。
反比例函数在化学问题中的应用
01
02
03
化学反应速率
在化学反应中，反应速率 与反应物的浓度成反比关 系，即浓度越高，反应速 率越快。
化学平衡
在化学平衡中，反应物的 转化率与反应温度成反比 关系，即温度越高，转化 率越低。
04
反比例函数的图像是双 曲线。
反比例函数的应用场景
在物理学中，反比例函数可以用来描述一些物理量之间的关系，例如电 流与电阻之间的关系可以表示为 $I = \frac{V}{R}$。
在化学中，反比例函数可以用来描述一些化学反应速率与反应物浓度之 间的关系。
在经济学中，反比例函数可以用来描述一些经济现象之间的关系，例如 需求与价格之间的关系可以表示为 $D = \frac{N \times P}{M}$。
反比例函数图象的画法不同象限分比例函数图像反比例函数图像与k的关系意义
一、反比例函数图象的画法步骤①列表：自变量的取值应以原点为中心，在原点的两侧取三对(或三对以上）互为相反数的值，填写 y值时，只需计算一侧的函数值，另一侧的函数值是与之对应的相反数；②描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；③连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线，注意双曲钱的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交。
二、反比例函数的图像及性质反比例函数的图象：1.反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。
由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
2.反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线，反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）。
不同象限分比例函数图像：常见画法：反比例函数图象的画法：（1）列表：（2）描点：在平面直角坐标系中标出点。
（3）连线：用平滑的曲线连接点。
当双曲线在一三象限，K>0，在每个象限内，Y随X的增大而减小。
当双曲线在二四象限，K<0，在每个象限内，Y随X的增大而增大。
常见画法当两个数相等时那么曲线呈弯月型。
k的意义及应用：过反比例函数（k≠0），图像上一点P（x,y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积。
过反比例函数过一点，作垂线，三角形的面积为。
研究函数问题要透视函数的本质特征。
反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x 轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。
从而有k的绝对值。
反比例函数的图象与性质-ppt课件
法
技 合问题
巧
解决这类问题，一般先设出几何图形中未知边的长，然
点
拨 后结合函数图象，用含未知数的代数式表示出几何图形与
图象的交点坐标，再由函数表达式及几何图形的性质列方
程（组）求几何图形中的未知量或函数表达式.
6.2 反比例函数的图象与性质
例
如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的边
B． y2＜y3＜y1
C． y1＜y2＜y3
D． y1＜y3＜y2
6.2 反比例函数的图象与性质
［解析］
易
错
∵k=-6＜0，∴ 图象位于第二、四象限，在每一象限内
易
混 ，y 随 x 的增大而增大，∵x ＞x ＞0，∴y ＜y ＜0，∵x
1
3
3
1
2
分
析 ＜0，∴y2＞0，∴y3＜y1＜y2.
［答案］ A
6.2 反比例函数的图象与性质
考
点
清
单
解
读
■考点一
反比例函数图象的画法
1. 反比例函数图象的画法（描点法）
6.2 反比例函数的图象与性质
考
点
清
单
解
读
2. 反比例函数图象的特点
反比例函数 y=
（k
为常数，且 k≠0）的图象由
双曲线 分别位于两个象限内的两条曲线组成，这样的曲线
叫做双曲线
（1）轴对称图形，对称轴分别是①第二、四象限
解
读 算；
（2）需要注意的是，画反比例函数图象时应尽量多取一
些点，描点越多，图象越准确.
6.2 反比例函数的图象与性质
反比例函数图像与性质知识点
汇报人：XXX 2024-01-22
目 录
• 反比例函数基本概念 • 反比例函数图像特征 • 反比例函数性质分析 • 反比例函数在实际问题中应用 • 求解反比例函数相关问题技巧总结 • 典型例题解析与练习题选讲
01
反比例函数基本概念
定义与表达式
定义
形如 $y = frac{k}{x}$（$k$ 为常 数，$k neq 0$）的函数称为反比 例函数。
在生产过程中，生产效率的提高往往意味着单位产品成本的 降低。因此，生产效率与成本之间可能存在反比例关系。
05
求解反比例函数相关问题 技巧总结
求解定义域和值域问题方法
观察法
求解不等式法
对于简单的反比例函数，可以直接观 察出定义域和值域。
通过求解不等式来确定函数的定义域 和值域。
分析法
通过分析函数的表达式，确定函数的 定义域和值域。
分析问题
结合图像和问题的要求 ，分析问题的本质和解
决方法。
总结规律
通过对问题的分析和解 决，总结反比例函数的
性质和规律。
06
典型例题解析与练习题选 讲
典型例题解析过程展示
01
例题1
已知反比例函数 $y = frac{k}{x}$（$k neq 0$）的图 像经过点 $A(2,3)$，求该反比 例函数的解析式。
库仑定律
真空中两个点电荷之间的作用力与它们电荷量的乘积成正比，与它们之间的距 离的平方成反比，即F=kQ1Q2/r^2，其中F为电场力，k为静电力常量，Q1和 Q2分别为两个点电荷的电荷量，r为它们之间的距离。
工程学领域应用案例
电阻、电感、电容的串并联关系
在电路分析中，电阻、电感、电容等元件的串并联关系往往可以用反比例函数来描述。例如，在RC串联电路中， 电容的阻抗与频率成反比。
反比例函数图像和性质ppt课件
在气瓶压力一定的情况下，压力的作 用面积与压强成反比关系，即当作用 面积增大时，压强减小；反之，当作 用面积减小时，压强增大。
在经济中的应用
供需关系
在市场经济中，商品的需求量与价格之间存在反比例关系，即当价格上涨时，需 求量减少；反之，当价格下降时，需求量增加。
投资回报
投资者在考虑投资回报时，通常会选择投资回报率较高的项目，即投资回报与投 资额成反比关系。
与几何知识的结合
与直角坐标系的结合
反比例函数的图像位于直角坐标系的两个象限内，可以通过几何知识来研究其性质，例如对称性和渐 近线。
与圆的结合
在某些条件下，反比例函数的图像与圆的图像相似，可以通过圆的性质来类比研究反比例函数的性质 。
在数学竞赛中的应用
01
反比例函数在数学竞赛中常作为 难题出现，需要学生具备扎实的 数学基础和灵活的思维才能解决 。
05 反比例函数的扩展知识
与其他函数的联系
与一次函数的联系
反比例函数与一次函数在某些条件下可以相互转化，例如$y = kx$（$k neq 0$）可以转化为$y = frac{1}{x}$的 形式。
与二次函数的联系
反比例函数的图像与二次函数图像在形式上有所不同，但它们在某些性质上有相似之处，例如对称性和极值点。
反比例函数的定义域和值域
由于分母不能为0，所以反比例函数的定义域为{x|x≠0}，值域 为{y|y≠0}。
反比例函数的图像
图像特点
反比例函数的图像位于第一象限 和第三象限，呈双曲线状，且随 着k值的正负变化，图像分别位于 x轴的上方和下方。
图像绘制
在直角坐标系中，取点(x,y)满足 xy=k，然后描绘出这些点的轨迹， 即为反比例函数的图像。
反比例函数及其图像画法
反比例函数及其图像画法1.教学目标知识与技能1.反比例函数的图象和性质.2.能根据所给的条件,确定反比例函数.3.画反比例函数的图像过程与方法1.在具体问题中探索数量关系,理解反比例函数的概念,2.能画出反比例函数的图象,掌握反比例函数的主要性质.3.提高观察、分析、归纳的能力,感悟数形结合的数学思想方法.情感、态度与价值观1.勇于探索,敢于探究2.培养合作交流精神,数学在生活中的重要性.2.学情分析本届九年级学生基础高低参差不齐,有的基础较牢,成绩较好。
当然也有个别学生没有养成良好的学习习惯、行为习惯。
这样要因材施教,使他们在自原有的基础上不断发展进步。
从考试情况来看:优等生占8%,学习发展生占55%。
总体情况分析:学生两极分化十分严重,优等生比例偏小,学习发展生所占比例太大,其中发展生大多数对学习热情不高,不求上进。
而其中的优等生大多对学习热情高,但对问题的分析能力、计算能力、、概括能力存在严重的不足,尤其是所涉及的知识拓展和知识的综合能力方面不够好,学生反应能力弱。
根据以上情况分析:产生严重两极分化的主要原因是学生在学生基础太差,学习习惯差,许多学生不会进行知识的梳理,同时学生面临毕业和升学的双重压力等,致使许多学生产生了厌学心理。
为了彻底解决了以上问题,应据实际情况,创新课堂教学模式,推行“自主互动”教学法,真正让学生成为课堂的主人,体验到“我上学,我快乐;我学习,我提高”。
首先从培养学生的兴趣入手,分类指导,加大平日课堂的要求及其它的有力措施,平日认真备课、批改作业,做好优生优培和学习困难生转化工作。
数学基本概念的教学对于学生学好数学是很重要的。
在复习中,既要注意概念的科学性,又要注意概念形成的阶段性。
由于概念是逐步发展的,因此要特别注意遵循循序渐进,由浅入深的原则。
对于某些概念不能一次就透彻地揭示其涵义,也不应把一些初步的概念绝对化。
在教学中要尽可能做到通俗易懂,通过对分析、比较、抽象、概括,使学生形成概念,并注意引导学生在学习,生活和劳动中应用学过的概念,以便不断加深对概念的理解和提高运用数学知识的能力。
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学习测评
A 卷：夯实基础卷
（测试时间：60分钟 测试满分：100分）
一、判断题（本大题共3小题，每小题4分，共12分）：
1. 当x 与y 的乘积是一个定值时，y 就是x 的反比例函数，x 也是y 的反比例函数（ ）
2. 当y 与x +1成反比例时，y 就是x 的反比例函数. （ ）
3. 一个函数不是正比例函数，就是反比例函数. （ ）
二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）：
4. 下列函数中，y 是x 的反比例函数的是：（） A.x y 5﹣= B.5
x ﹣=y C.1﹣kx y = D.12﹣x y = 5. 如果函数 是反比例函数，则m 的值为： （ ） A. B. C. D. 6. 若函数 是反比例函数，则m 的值为： （ ） A. ±3 B. ﹣3 C. 3 D. 0
7. 某化工厂现有400t 煤，这些煤能烧的天数y 与平均每天的耗煤量x 之间的函数关系式是： （ ）
A. B. B. D. 三、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）：
8. 已知三角形的面积是5，则三角形的高h 与底边长
的函数关系是 ；此时h 是
的 . 9. 贵广铁路全程长达857 km ，最高时速可达250㎞/h .某动车从起点贵阳市出发至终点广州市所需的时间t （h ）与行驶的平均速度v （km/h ）之间的函数关系式为.（不考虑自变量的取值范围）
10. 超级分类：
325﹣m x
y =2
=m 0=m 1﹣=m 1=m 102
)3(﹣﹣m x m y =a )0≠(400x x y =)0(400＞x x
y =)0≥(400x x y =)0(400＜x x
y =a
其中一次函数有 ；二次函数有 ；反比例函数有： .
11. 已知参加施工的人数y 与完成工程的时间t 成反比例关系.当施工人数为5人时，需要8天才能完成这项工程.为加快工程进度，现要求4天完成这项工程，则应派 人去施工才能完成任务.
四、解答题（本大题共2小题，共25分.答题应写出文字说明、演算过程步骤）：
13.（15分）你吃过拉面吗？有人能把拉面拉得细如发丝，同时还能丝丝分明.实际上，拉面师傅在制作拉面时渗透着数学知识.当制作拉面的面团体积一定时，面条的总长度与拉面的粗细程度成反比例函数.面条的总长度与粗细程度的关系如图所示：
（1）写出y 与S 的函数关系.
（2）当面条的总长度为128 m 时，面条的粗细是多少？
（3）当面条的粗细为0.016 cm ²时，面条的总长度是多少？
1-2x y x 2y x 31y 1-x 3y x 3y x 1y 3x 2y =======；⑦；⑥；⑤；④；③；②①.m k x
k y 1m )5,1(10.12的值，的图像上，求）均在反比例函数，（和点分）已知点（ B A
B 卷：能力提升卷
一、经典中考题（4分）：
. .
二、知识交叉题（12分）：
三、课标新题型（15分）：
如图所示，某农户有一段25米长的旧围墙（如图AB 所示）.现打算利用该围墙的一部分或者全部为一边建设一块面积为100 m 2的矩形鸡舍（图中矩形CDEF ，CD ＜EF ），已知整修旧围墙的价格为1.75元/米，而新建篱笆的价格为4.5元/米，设所利用的旧围墙CF 的长度为x 米，修建好鸡舍所需的费用为y 元.
（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（2）若利用旧围墙12 m ，则计划修建费用应为多少？
=
=m x 4m y 1-m 4-m 2是反比例函数，则）﹣（若.y 1x 9y 4x 0y 1x x y 1x y y y y 2121的值时，求当时，；当时，成正比例，且当与成正比例，与，其中已知函数-=====++=
1. √
2. ×
3. ×
4. A 解析：B 选项为正比例函数；C 选项若k=0则不是反比例函数；D 为一次函数.故选A.
5. D 解析: 根据题意，得2m-3=1，解得m=2. 故选D.
6. B 解析：根据题意，得1102
﹣﹣=m ，且0 ≠3﹣m ，解得3﹣=m .故选B. 7. B 8. 答案 ；反比例函数. 9. 答案
10. 答案 ①③④；⑥；②⑤⑦
11. 答案 10 解析：
12. 解析 解：∵点A 在反比例函数x k y =的图像上，∴1
5k =，解得k=5；…5分 ∴反比例函数的解析式为x y 5=；………………………………6分 又∵点B 也在反比例函数的图像上，∴ ，即m=5.……10分 13. 解析 解：（1）根据题意设该函数解析式为： …………1分
函数图像经过点P （4,32），代入上式，得
…………………………………4分 解方程，得
………………………………5分
答：y 与s 之间的函数表达式为
…………………………7分 （2）当y=128时，面条的粗细 ；解得：1=s .……10分
答：当面条的长度为128 m 时，面条的粗细为1mm 2.……11分
（3） ∵ 0.016cm 2=1.6mm 2，∴面条粗细6.1=s ；
代入解析式得：806
.1128==y .………………………………14分 答：当粗细为0.016mm 2时，面条的长度为80 m.…………15分
a h 10=v t 857=.t 40y t 84t y ∴t y =×==；即总工程量成反比例关系，与∵.10440y 4t ∴4===，则天完成这项工程，现要求15=m )0(≠=k s k y .4
32k =.128=k )0,0(128＞＞s y s y =s 128128=
一、经典中考题：
答案：0 解析：根据题意得⎩⎨⎧=≠114042﹣﹣﹣
﹣m m m ；解得0=m . 二、知识交叉题：
解析：本题函数y 是由y 1和y 2两个函数组成，应运用待定系数法求解，先
根据题意分别设出y 1、y 2与x 的函数关系式，再代入数值计算，通过解方程求出
比例系数.本题应注意y 1与x 和y 2与x 的函数关系中的比例系数并不一样，所以
不能都设为k ，应用不同的字母表示.
解：由题可得：
…………………………………2分 ……………………………………3分
…………………………………………………6分 …………………………………………………8分 ……………………………………………………9分 ……………………………………12分
三、课标新题型：
解析：可先利用面积把长与宽表示出来，求出y 与x 之间的关系.再利用x=12求出y 的值.
解：（1）
………………………………1分 …………………………………………4分 ………9分 （2） ………14分 ………………………………15分
41411214)1(24294501294;01)1(;0);0()1(2121212121222111=--+-⨯=-=-+=∴⎩⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+====++=∴+=≠=≠+=）（时，当解得则有时，时，当∵）（y x x x y k k k k k k y x y x x k x k y y y y k x k y k x k y ).25≤10(90025.6)200(5.475.1∴,100∴,,100x x x x x x y x CD x CF S CDEF ＜∵矩形+=++====.150150129001225.690025.612∴).25≤10(90025.6)1(元即计划修建费用应为，时，当＜知由=+×=+==+=x x y x x x x y。