高二数学用向量来解决立体几何的距离问题PPT教学课件
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如图，平面α∥平面β，因平面α上任一点到β的距离等于两 平面的距离，故两平行平面间的距离
d | AB n | |n|
，其中点A为面α内任一点，B为面β内 任一点，n 为面α或面β的法向量．
例4已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，
1)求证：面ABC∥面AlClD；
2)求面ABIC与面AlClD的距离．
借助向量解立体几何问题
d | AB n | |n|
1求点面距离
如图已知平面 ，A, n 为平面 的一个法向量
求点Ａ到平面的距离
过A作AＣ⊥平面于点Ｃ，任取一点B则
ABACCB
∴ AB n(A CC)B n
B•
•A
n
•C
= AC nCB n
= ACn
•n ∴ | AB•n|=| AC | | |
∴| AC|| ABn| | n|
d | AB n | |n|
其中点A为直线a上任一点，B为面α内任一点，n 为
面α的一法向量．
例3在棱长为2的正方体AC,中，G为AA1的中点，求 BD与面GB1D1的距离．
解如图建立空间直角坐示系，则
B(2,2,O),G(2,0,1)，B1(2,2,2)，D1(0,0,2)．
D1B1=(2,2,0),
角α-l-β为或 。
n1
n2
l
n1
n2
l
2.求异面直线间的距离
如图，已知a，b为两异面直线，CD为a，b的公垂线段， A，B分别为a，b上的任意两点．a⊥n，b⊥n，
则 n∥CD
．
A BA CC D DB
∴ An B (A C C D D)B n
= AC nCD nDn B∴ | CD|| ABn|
= CDn
| n|
即异面直线a，b间的距离
n
PQ n
n
Q
Q'
d
P'
F
P
n
即 P Q 在 n 上的射影长。
例1 已知ABCD为边长为4的正方形，E，F分别为AB和AD的中点， 过平面外一点G作GC⊥面ABCD于C，且GC=2，求点B到面GEF 的距离．
解 如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 G(0 ， O ， 2) ， F(4，2，O)，E(2，4，0)，B(0，4，O)．
即点A到平面 的距离为
d | AB n | |n|
其中B为平面 内任一点，n 为平
面的一个法向量．
解法2：用空间向量方法求解
P 'Q ' P Q C O S P Q ,n d P ' Q ' P Q C O S P Q , n C O S P Q , n P Q
COSPQ,nPQn
D1G =(2,0,-1),
B则BD1=1B(10,0n,2=)0,设面GDB11GD1的•n法=向0 量n =(x,.y,z),
•
∴2x+2y=0，2x-2=O，即y=-z，z=2x．令x=1．则
n =(1,-1，2)．
∴BD与面GB1D1的距离为
d
|
B1B n | | n|
=
2 3
6
4求面面距离
∴ | AB•n| =| n | | CD |
注：点Ａ，Ｂ分别为异面直线上的 任意点，n 为它们的公共法向量
•
d | AB n | |n|
解法2：用空间向量方法求解
P 'Q ' P Q C O S P Q ,n
d P ' Q ' P Q C O S P Q , n C O S P Q , n P Q
EF =(2,-2,0),GE =(2,4,-2),
BE =(2,0,0).
设面GEF的法向量为 n
GE •n =0 EF •n =0
∴ 2x一2y=O，2x+4y-2z=0，∴z=y，z=3y．令y=1，则
n =(1,1,3)， 点B到面GEF的距离为 d
源自文库
| BE n | |n|
=
2 11 11
,,
AB1 =(-2,2,4),CE =(1,1,0),
AE =(-1,1,0).
设 n =(x，y，z)，且 n AB n CE 设 n • AB =0，n •CE =0，∴-2x+zy+4z=O,x+y=O，
即z=x,y=-x，令x=1，则 n =(1，-1，1)，
3求线面距离 如图，直线a∥平面α,因直线a上任一点到平面α的距离 与直线a到平面α的距离相等，故直线a与平面α的距离为
COSPQ,nPQn
n
Eb
Q
Q'
d
PQ n
n
F
n P'
P a
即 P Q 在 n 上的射影长。
应用：
例2 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AAl=4， AC=BC=2，∠ACB=900，E为AB的中点，求异面直线 EC与AB1的距离． 解：如图建立空间直角坐标系，则 A(2,0,O)，Bl(0,2,4)，E(1,1,O)，
解 如图建立空间直角坐标系，
则 A(1 ， O ， 0) ， B(1 ， 1 ， O) ，
C(0，1，0)， D(0，0，O)，A1(1，
0，1)，B1(1，1，1)，Cl(O，1， 1)，D1(O，0，1)．则
DA1 •n =0
DA1 =（1,0,1）,
DC 1
=（0,1,1）, DC1 •n =0 ∴x+z=0，y+z=O，即x=-z，y=-z，
AD =（-1,0,0）.
令z=1,则 n =(-1，-1，1)，
1)证明(略)．
∴面AB1C与面A1C1D的距离为
2)设面AlC1D的法向量，n
=(x，y，z)，
d | AD n | = 3
|n|
3
三、 用向量法求二面角的大小
如图，二面角α-l-β，平面α的法向量为 n 1 ，
平面β的法向量为 n 2 ，n1,n2 ，则二面
d | AB n | |n|
，其中点A为面α内任一点，B为面β内 任一点，n 为面α或面β的法向量．
例4已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，
1)求证：面ABC∥面AlClD；
2)求面ABIC与面AlClD的距离．
借助向量解立体几何问题
d | AB n | |n|
1求点面距离
如图已知平面 ，A, n 为平面 的一个法向量
求点Ａ到平面的距离
过A作AＣ⊥平面于点Ｃ，任取一点B则
ABACCB
∴ AB n(A CC)B n
B•
•A
n
•C
= AC nCB n
= ACn
•n ∴ | AB•n|=| AC | | |
∴| AC|| ABn| | n|
d | AB n | |n|
其中点A为直线a上任一点，B为面α内任一点，n 为
面α的一法向量．
例3在棱长为2的正方体AC,中，G为AA1的中点，求 BD与面GB1D1的距离．
解如图建立空间直角坐示系，则
B(2,2,O),G(2,0,1)，B1(2,2,2)，D1(0,0,2)．
D1B1=(2,2,0),
角α-l-β为或 。
n1
n2
l
n1
n2
l
2.求异面直线间的距离
如图，已知a，b为两异面直线，CD为a，b的公垂线段， A，B分别为a，b上的任意两点．a⊥n，b⊥n，
则 n∥CD
．
A BA CC D DB
∴ An B (A C C D D)B n
= AC nCD nDn B∴ | CD|| ABn|
= CDn
| n|
即异面直线a，b间的距离
n
PQ n
n
Q
Q'
d
P'
F
P
n
即 P Q 在 n 上的射影长。
例1 已知ABCD为边长为4的正方形，E，F分别为AB和AD的中点， 过平面外一点G作GC⊥面ABCD于C，且GC=2，求点B到面GEF 的距离．
解 如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 G(0 ， O ， 2) ， F(4，2，O)，E(2，4，0)，B(0，4，O)．
即点A到平面 的距离为
d | AB n | |n|
其中B为平面 内任一点，n 为平
面的一个法向量．
解法2：用空间向量方法求解
P 'Q ' P Q C O S P Q ,n d P ' Q ' P Q C O S P Q , n C O S P Q , n P Q
COSPQ,nPQn
D1G =(2,0,-1),
B则BD1=1B(10,0n,2=)0,设面GDB11GD1的•n法=向0 量n =(x,.y,z),
•
∴2x+2y=0，2x-2=O，即y=-z，z=2x．令x=1．则
n =(1,-1，2)．
∴BD与面GB1D1的距离为
d
|
B1B n | | n|
=
2 3
6
4求面面距离
∴ | AB•n| =| n | | CD |
注：点Ａ，Ｂ分别为异面直线上的 任意点，n 为它们的公共法向量
•
d | AB n | |n|
解法2：用空间向量方法求解
P 'Q ' P Q C O S P Q ,n
d P ' Q ' P Q C O S P Q , n C O S P Q , n P Q
EF =(2,-2,0),GE =(2,4,-2),
BE =(2,0,0).
设面GEF的法向量为 n
GE •n =0 EF •n =0
∴ 2x一2y=O，2x+4y-2z=0，∴z=y，z=3y．令y=1，则
n =(1,1,3)， 点B到面GEF的距离为 d
源自文库
| BE n | |n|
=
2 11 11
,,
AB1 =(-2,2,4),CE =(1,1,0),
AE =(-1,1,0).
设 n =(x，y，z)，且 n AB n CE 设 n • AB =0，n •CE =0，∴-2x+zy+4z=O,x+y=O，
即z=x,y=-x，令x=1，则 n =(1，-1，1)，
3求线面距离 如图，直线a∥平面α,因直线a上任一点到平面α的距离 与直线a到平面α的距离相等，故直线a与平面α的距离为
COSPQ,nPQn
n
Eb
Q
Q'
d
PQ n
n
F
n P'
P a
即 P Q 在 n 上的射影长。
应用：
例2 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AAl=4， AC=BC=2，∠ACB=900，E为AB的中点，求异面直线 EC与AB1的距离． 解：如图建立空间直角坐标系，则 A(2,0,O)，Bl(0,2,4)，E(1,1,O)，
解 如图建立空间直角坐标系，
则 A(1 ， O ， 0) ， B(1 ， 1 ， O) ，
C(0，1，0)， D(0，0，O)，A1(1，
0，1)，B1(1，1，1)，Cl(O，1， 1)，D1(O，0，1)．则
DA1 •n =0
DA1 =（1,0,1）,
DC 1
=（0,1,1）, DC1 •n =0 ∴x+z=0，y+z=O，即x=-z，y=-z，
AD =（-1,0,0）.
令z=1,则 n =(-1，-1，1)，
1)证明(略)．
∴面AB1C与面A1C1D的距离为
2)设面AlC1D的法向量，n
=(x，y，z)，
d | AD n | = 3
|n|
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三、 用向量法求二面角的大小
如图，二面角α-l-β，平面α的法向量为 n 1 ，
平面β的法向量为 n 2 ，n1,n2 ，则二面