高二数学用向量来解决立体几何的距离问题PPT教学课件
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用向量方法研究立体几何中的度量关系( 距离问题)(课件)高二数学(北师大版2019选择性必修第一册)
.
3
3
|= =
变式
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长
为1，E为D1C1的中点，求点E到直线A1B的距离.
1
解 : 建立坐标系. A1E = (-1, ,0), A 1B = (0,1,-1)
2
z
1
cos A1 E , A1 B
,
10
3
sin A1 E , A1B
,
1 1 1 2(cos 60 cos 60 cos 60) 6
所以
| AC1 | 6
答: 这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长
的 6 倍。
C
D
图1
B
练习.(P107.2)如图，60°的二面角的棱上
有A、B两点， 直线AC、BD分别在这个二面角的
两个半平面内,且都垂直AB, 已知AB＝4,AC＝6，
个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
解：如图1，设AB AA1 AD 1 ，BAD BAA1 DAA1 60
D1
AC1 AB AD AA1
A1
C1
B1
2
AC1 ( AB AD AA1 )2
2
2
2
A
AB AD AA1 2( AB AD AB AA1 AD AA1 )
以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工
具在立体几何中的应用.
新课引入
某人在一片丘陵上开垦了一块田地,在丘陵
的上方架有一条直的水渠,此人想从水渠上
选择一个点,通过一条管道把水引到田地中
的一个点P处,要想使这个管道的长度理论
3
3
|= =
变式
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长
为1，E为D1C1的中点，求点E到直线A1B的距离.
1
解 : 建立坐标系. A1E = (-1, ,0), A 1B = (0,1,-1)
2
z
1
cos A1 E , A1 B
,
10
3
sin A1 E , A1B
,
1 1 1 2(cos 60 cos 60 cos 60) 6
所以
| AC1 | 6
答: 这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长
的 6 倍。
C
D
图1
B
练习.(P107.2)如图，60°的二面角的棱上
有A、B两点， 直线AC、BD分别在这个二面角的
两个半平面内,且都垂直AB, 已知AB＝4,AC＝6，
个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
解：如图1，设AB AA1 AD 1 ，BAD BAA1 DAA1 60
D1
AC1 AB AD AA1
A1
C1
B1
2
AC1 ( AB AD AA1 )2
2
2
2
A
AB AD AA1 2( AB AD AB AA1 AD AA1 )
以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工
具在立体几何中的应用.
新课引入
某人在一片丘陵上开垦了一块田地,在丘陵
的上方架有一条直的水渠,此人想从水渠上
选择一个点,通过一条管道把水引到田地中
的一个点P处,要想使这个管道的长度理论
用向量法求空间距离ppt 人教课标版
MN
＝(－1,0， 2)， ＝(－1， 3，0)．
MB
设 n＝(x，y，z)为平面 CMN 的一个法向量，
n＝ x ＋ 3 y ＝ 0 CM · n＝ － x ＋ 2 z ＝ 0 MN ·
取 z＝ 1 ，
则 x＝ 2，y＝－ 6，∴n＝( 2，－ 6，1)． |n MB | 4 2 ∴点 B 到平面 CMN 的距离 d＝ | n | 3 .
| PA | PA | n | n | sin |
O
A
| n | n || | |
PA PA
| |
PA
求点P到平面α 的距离的步骤为： ①求出平面α 的一个__________ 法向量n ； ②找出从点P出发的平面α 的任一条斜线段对应的 __________ ； 向量→ AP → AP·n | | ，求出点P到平面α 的距 ③应用公式d＝__________ n 离为d.
答案 D
2.如图， Δ BCD 与 Δ MCD 都是边 长为 2 的正三角形， 平面 MCD⊥ 平面 BCD，AB⊥平面 BCD，AB＝ 2 3.求点 A 到平面 MBC 的距离．
解：取 CD 中点 O，连 OB，OM，则 OB⊥CD， OM⊥CD.又平面 MCD⊥平面 BCD，则 MO⊥平面 BCD.取 O 为原点，直线 OC、BO、OM 为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图．OB＝ OM＝ 3， 则各点坐标分别为 C(1,0,0)， M(0,0， 3)，B(0，－ 3，0)，A(0，－ 3，2 3)． 设 n＝(x，y，z)是平面 MBC 的一个法向 量，则 →＝(1， 3，0)，BM →＝(0， 3， 3)． BC →得 x＋ 3y＝0， 由 n⊥BC →得 3y＋ 3z＝0. 由 n⊥BM →＝(0,0,2 3)，则 取 n＝( 3，－1,1).BA →·n| 2 3 2 15 |BA d＝ ＝ ＝ . |n| 5 5
＝(－1,0， 2)， ＝(－1， 3，0)．
MB
设 n＝(x，y，z)为平面 CMN 的一个法向量，
n＝ x ＋ 3 y ＝ 0 CM · n＝ － x ＋ 2 z ＝ 0 MN ·
取 z＝ 1 ，
则 x＝ 2，y＝－ 6，∴n＝( 2，－ 6，1)． |n MB | 4 2 ∴点 B 到平面 CMN 的距离 d＝ | n | 3 .
| PA | PA | n | n | sin |
O
A
| n | n || | |
PA PA
| |
PA
求点P到平面α 的距离的步骤为： ①求出平面α 的一个__________ 法向量n ； ②找出从点P出发的平面α 的任一条斜线段对应的 __________ ； 向量→ AP → AP·n | | ，求出点P到平面α 的距 ③应用公式d＝__________ n 离为d.
答案 D
2.如图， Δ BCD 与 Δ MCD 都是边 长为 2 的正三角形， 平面 MCD⊥ 平面 BCD，AB⊥平面 BCD，AB＝ 2 3.求点 A 到平面 MBC 的距离．
解：取 CD 中点 O，连 OB，OM，则 OB⊥CD， OM⊥CD.又平面 MCD⊥平面 BCD，则 MO⊥平面 BCD.取 O 为原点，直线 OC、BO、OM 为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图．OB＝ OM＝ 3， 则各点坐标分别为 C(1,0,0)， M(0,0， 3)，B(0，－ 3，0)，A(0，－ 3，2 3)． 设 n＝(x，y，z)是平面 MBC 的一个法向 量，则 →＝(1， 3，0)，BM →＝(0， 3， 3)． BC →得 x＋ 3y＝0， 由 n⊥BC →得 3y＋ 3z＝0. 由 n⊥BM →＝(0,0,2 3)，则 取 n＝( 3，－1,1).BA →·n| 2 3 2 15 |BA d＝ ＝ ＝ . |n| 5 5
用空间向量研究距离、夹角问题(第1课时)-高二数学教材配套教学精品课件
→
2|k|
|BE·n|
2 11
于是点 B 到平面 EFG 的距离为 d＝
＝
＝
.
11
|n|
1＋1＋9|k|
新知应用
题型三：平面与平面的距离
5.正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 4，M，N，E，F 分别为 A1D1，A1B1，C1D1，
B1C1 的中点，求平面 AMN 与平面 EFBD 间的距离．
2 − ( ∙ )2 .
思考1：类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？
求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,则两条平行直线
间的距离就等于点P到直线m的距离.
∴ 两条平行直线之间的距离⟺点到直线的距离
空间中点到平面的距离
探究2：如何求平面α外一点点到平面α的距离？
设平面DA1C1的法向量为 = (, , )，所以 ⊥ 1, ⊥ 1,因为，由 ∙ 1 = 0 ，得
∙ 1 = 0
+=0
，
2 + = 0
(2)直线B1C到平面DA1C1的距离等于B1到平面DA1C1的距离．因为11=(1,0,0)，所以B1
不妨取y=1，则 = (2,1, −2) .
常见的空间中的距离有：点到直线、点到平面、两条平行线及两个平
行平面的距离;
常用的求解距离的方法有：传统方法和向量法.
02用空间向量研究距
离问题
P
A
R
T
O
N
E
空间中点到直线的距离
探究1：已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，直线外一点.如何利
用这些条件求点到直线的距离？
用向量来解决立体几何的距离问题中小学PPT教学课件
,,
AB1 =(-2,2,4),CE =(1,1,0),
AE =(-1,1,0).
设 n =(x，y，z)，且 n AB n CE 设 n • AB =0，n • CE =0，∴-2x+zy+4z=O,x+y=O，
即z=x,y=-x，令x=1，则 n =(1，-1，1)，
3求线面距离 如图，直线a∥平面α,因直线a上任一点到平面α的距离 与直线a到平面α的距离相等，故直线a与平面α的距离为
COS PQ, n PQ n
n
Eb
Q
Q'
d
PQ n
n
F
n P'
P a
即 PQ 在 n上的射影长。
应用：
例2 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AAl=4， AC=BC=2，∠ACB=900，E为AB的中点，求异面直线 EC与AB1的距离． 解：如图建立空间直角坐标系，则 A(2,0,O)，Bl(0,2,4)，E(1,1,O)，
文化与文明 区别：
• 文化（culture）：与“自然”相对， 重点强调“化”的过程。
• 文明（civilization）：与“野蛮” 相对，主要指“明”的结果。
联系：
• 文化发展中的积极成果就是文明
2、文化是什么 重点
（1）文化的内涵： 文化是相对于经济、政治而言的人类全部
精神活动及其产品。其实质是精神现象。
AD =（-1,0,0）.
令z=1,则 n =(-1，-1，1)，
1)证明(略)．
∴面AB1C与面A1C1D的距离为
2)设面AlC1D的法向量，n
=(x，y，z)，
d | AD n | = 3
|n|
3
AB1 =(-2,2,4),CE =(1,1,0),
AE =(-1,1,0).
设 n =(x，y，z)，且 n AB n CE 设 n • AB =0，n • CE =0，∴-2x+zy+4z=O,x+y=O，
即z=x,y=-x，令x=1，则 n =(1，-1，1)，
3求线面距离 如图，直线a∥平面α,因直线a上任一点到平面α的距离 与直线a到平面α的距离相等，故直线a与平面α的距离为
COS PQ, n PQ n
n
Eb
Q
Q'
d
PQ n
n
F
n P'
P a
即 PQ 在 n上的射影长。
应用：
例2 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AAl=4， AC=BC=2，∠ACB=900，E为AB的中点，求异面直线 EC与AB1的距离． 解：如图建立空间直角坐标系，则 A(2,0,O)，Bl(0,2,4)，E(1,1,O)，
文化与文明 区别：
• 文化（culture）：与“自然”相对， 重点强调“化”的过程。
• 文明（civilization）：与“野蛮” 相对，主要指“明”的结果。
联系：
• 文化发展中的积极成果就是文明
2、文化是什么 重点
（1）文化的内涵： 文化是相对于经济、政治而言的人类全部
精神活动及其产品。其实质是精神现象。
AD =（-1,0,0）.
令z=1,则 n =(-1，-1，1)，
1)证明(略)．
∴面AB1C与面A1C1D的距离为
2)设面AlC1D的法向量，n
=(x，y，z)，
d | AD n | = 3
|n|
3
高二数学用向量求距离课件 人教版
C
x
A M
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
练习6：
已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面 ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点， z G 求点B到平面GEF的距离。
x
F
D
C
A
E
B
y
练习7： 在三棱锥S-ABC中，ABC 是边长为4的正三角 形，平面SAC垂直平面ABC，SA=SC= 2 3 ， M、N分别为AB、SB的中点，求：点B到平面 CMN的距离. z S (1)证明：AC SB; ( 2)求二面角N CM B的大小； ( 3)求点B到平面CMN 的距离. N
C O A x M y B
1 2)A1 E =(-1, ,0),A1 B =(0,1,-1)设n ( x, y, z )为面A1BE的法向量， 2 则 1 n A E 0, x y 0, 1 z 2 n A1 B 0, y z 0, E
z
D1
A1
E
C1
B1
D
C
A
y
x
B
练习1：
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中， E、F分别是B1C1和C1D1 的中点，求点A1到平 面DBEF的距离。 z D1 F C
1
A1 D
B1
E C y B
A x
练习2:
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1， 求直线DA1和AC间的距离。 z D1 A1 D B B1 C y C1
A x
小结
利用法向量来解决上述立体几何题目，最大 的优点就是不用象在进行几何推理时那样去 确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决 问题。但是也有局限性，用代数推理解立体 几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系， 把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这 种方法解题的立体几何模型一般都是如：正 （长）方体、直棱柱、正棱锥等。
利用空间向量解决立体几何向量(三)空间距离问题27页PPT
利用空间向量解决立体几何向量(三)空 间距离问题
61、辍学如磨刀之石，不见其损，日 有所亏 。 62、奇文共欣赞，疑义相与 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适俗韵，性本爱丘山。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
61、辍学如磨刀之石，不见其损，日 有所亏 。 62、奇文共欣赞，疑义相与 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适俗韵，性本爱丘山。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
用向量法求空间距离ppt课件
9.8 距离 用向量法求空间距离
1
上节课，我们学习了用立几的方法求距离，我
们来简单回忆一下：
点到平面的距离 直线到与它平行平面的距离
两个平行平面的距离 异面直线的距离
2
如何用向量法求解点到平面的距离呢？
已知点P和面ABCD， 用向量法求解就得构造向量，比如说 AP
过P点作PH垂直平面并交平面于点H，则PH的长为所求
A x x
A
Cy B
B
1200
y C
接下来我们要求面SBC的法向量了
SB (a, 3a, 3a), SC (0, 2 3a, 3a)
n (x, y, z), n SB, n SC
ax 3ay 3az 0, 2 3ay 3az 0
一个平面的法向量有很多，只要满足 上面的这个等式即可，为了计算的方 便，我们通常会要相对简洁的数字组 成的法向量，可以令z=1，则得到平 面SBC的一个法向量了：
首先我们建立空间直角坐标系，求出两异面直线的法向量
A D
A1
D1
B C
B1
AC (1,1, 0), A1D (1, 0,1) n (1, 1, 1)
则两异面直线间的距离d为：
C1
d A1A n (0, 0,1) (1, 1, 1) 3
n
3
3
经过了上面几道例题，我们已经熟悉并掌握了用向量法求空间距
P
我们发现，PH 垂直平面ABCD，
我们可以理解成面ABCD的法向量 n
AP, PH
AP, n
PH AP COS AP, PH
A
B AP COS AP, n
AP n
H
AP AP n
1
上节课，我们学习了用立几的方法求距离，我
们来简单回忆一下：
点到平面的距离 直线到与它平行平面的距离
两个平行平面的距离 异面直线的距离
2
如何用向量法求解点到平面的距离呢？
已知点P和面ABCD， 用向量法求解就得构造向量，比如说 AP
过P点作PH垂直平面并交平面于点H，则PH的长为所求
A x x
A
Cy B
B
1200
y C
接下来我们要求面SBC的法向量了
SB (a, 3a, 3a), SC (0, 2 3a, 3a)
n (x, y, z), n SB, n SC
ax 3ay 3az 0, 2 3ay 3az 0
一个平面的法向量有很多，只要满足 上面的这个等式即可，为了计算的方 便，我们通常会要相对简洁的数字组 成的法向量，可以令z=1，则得到平 面SBC的一个法向量了：
首先我们建立空间直角坐标系，求出两异面直线的法向量
A D
A1
D1
B C
B1
AC (1,1, 0), A1D (1, 0,1) n (1, 1, 1)
则两异面直线间的距离d为：
C1
d A1A n (0, 0,1) (1, 1, 1) 3
n
3
3
经过了上面几道例题，我们已经熟悉并掌握了用向量法求空间距
P
我们发现，PH 垂直平面ABCD，
我们可以理解成面ABCD的法向量 n
AP, PH
AP, n
PH AP COS AP, PH
A
B AP COS AP, n
AP n
H
AP AP n
高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.6 距离的计算课件11高二选修21数学课件
温故(wēn ɡù) 夯基
问题1：如何求平面(píngmiàn)的法向 量？
试 一 试
第三页，共十四页。
问题(wèntí)2：如何求a在b方向上的投影
第四页，共十四页。
2. 点到平面(píngmiàn)距离的向量计算公式
求点A到平面(píngmiàn)α的距离:
n
Aβ P
这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的 绝对值.
No 1.如何用向量法求与平面平行的直线到平面的距离。例3. 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为
4,M,N,E,F分别为A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中点,求平面AMN与平面EFBD间的距离.。所以EF∥MN， AM∥BF，EF∩BF＝F，MN∩AM＝M.。所以平面AMN∥平面EFBD.。体系构建
AM
BF
所以
E F ＝ M N ， A M ＝ B F ，
所以EF∥MN，AM∥BF，EF∩BF＝F，MN∩AM＝M.
所以平面AMN∥平面EFBD.
第十一页，共十四页。
设n＝(x，y，z)是平面(píngmiàn)AMN的法向量，
从而 nMN2x解2得y0， nAM2x4z0，
取z＝1，得n＝(2，－2，1)，由于
Image
12/8/2021
第十四页，共十四页。
第十页，共十四页。
解析：如图所示，以D为坐标原点，建立空间(kōngjiān)直角坐标系D-
xyz如图，则A(4，0，0)，M(2，0，4)，
D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，
F(2，4，4)，N(4，2，4)，从而 ＝(2，2，0)， ＝( Nhomakorabea，2，0)，
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角α-l-β为或 。
n1
n2
l
n1
n2
l
,,
AB1 =(-2,2,4),CE =(1,1,0),
AE =(-1,1,0).
设 n =(x，y，z)，且 n AB n CE 设 n • AB =0，n •CE =0，∴-2x+zy+4z=O,x+y=O，
即z=x,y=-x，令x=1，则 n =(1，-1，1)，
3求线面距离 如图，直线a∥平面α,因直线a上任一点到平面α的距离 与直线a到平面α的距离相等，故直线a与平面α的距离为
2.求异面直线间的距离
如图，已知a，b为两异面直线，CD为a，b的公垂线段， A，B分别为a，b上的任意两点．a⊥n，b⊥n，
则 n∥CD
．
A BA CC D DB
∴ An B (A C C D D)B n
= AC nCD nDn B∴ | CD|| ABn|
= CDn
| n|
即异面直线a，b间的距离
即点A到平面 的距离为
d | AB n | |n|
其中B为平面 内任一点，n 为平
面的一个法向量．
解法2：用空间向量方法求解
P '' Q ' P Q C O S P Q , n C O S P Q , n P Q
COSPQ,nPQn
n
PQ n
n
Q
Q'
d
P'
F
P
n
即 P Q 在 n 上的射影长。
例1 已知ABCD为边长为4的正方形，E，F分别为AB和AD的中点， 过平面外一点G作GC⊥面ABCD于C，且GC=2，求点B到面GEF 的距离．
解 如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 G(0 ， O ， 2) ， F(4，2，O)，E(2，4，0)，B(0，4，O)．
COSPQ,nPQn
n
Eb
Q
Q'
d
PQ n
n
F
n P'
P a
即 P Q 在 n 上的射影长。
应用：
例2 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AAl=4， AC=BC=2，∠ACB=900，E为AB的中点，求异面直线 EC与AB1的距离． 解：如图建立空间直角坐标系，则 A(2,0,O)，Bl(0,2,4)，E(1,1,O)，
EF =(2,-2,0),GE =(2,4,-2),
BE =(2,0,0).
设面GEF的法向量为 n
GE •n =0 EF •n =0
∴ 2x一2y=O，2x+4y-2z=0，∴z=y，z=3y．令y=1，则
n =(1,1,3)， 点B到面GEF的距离为 d
| BE n | |n|
=
2 11 11
AD =（-1,0,0）.
令z=1,则 n =(-1，-1，1)，
1)证明(略)．
∴面AB1C与面A1C1D的距离为
2)设面AlC1D的法向量，n
=(x，y，z)，
d | AD n | = 3
|n|
3
三、 用向量法求二面角的大小
如图，二面角α-l-β，平面α的法向量为 n 1 ，
平面β的法向量为 n 2 ，n1,n2 ，则二面
如图，平面α∥平面β，因平面α上任一点到β的距离等于两 平面的距离，故两平行平面间的距离
d | AB n | |n|
，其中点A为面α内任一点，B为面β内 任一点，n 为面α或面β的法向量．
例4已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，
1)求证：面ABC∥面AlClD；
2)求面ABIC与面AlClD的距离．
∴ | AB•n| =| n | | CD |
注：点Ａ，Ｂ分别为异面直线上的 任意点，n 为它们的公共法向量
•
d | AB n | |n|
解法2：用空间向量方法求解
P 'Q ' P Q C O S P Q ,n
d P ' Q ' P Q C O S P Q , n C O S P Q , n P Q
解 如图建立空间直角坐标系，
则 A(1 ， O ， 0) ， B(1 ， 1 ， O) ，
C(0，1，0)， D(0，0，O)，A1(1，
0，1)，B1(1，1，1)，Cl(O，1， 1)，D1(O，0，1)．则
DA1 •n =0
DA1 =（1,0,1）,
DC 1
=（0,1,1）, DC1 •n =0 ∴x+z=0，y+z=O，即x=-z，y=-z，
借助向量解立体几何问题
d | AB n | |n|
1求点面距离
如图已知平面 ，A, n 为平面 的一个法向量
求点Ａ到平面的距离
过A作AＣ⊥平面于点Ｃ，任取一点B则
ABACCB
∴ AB n(A CC)B n
B•
•A
n
•C
= AC nCB n
= ACn
•n ∴ | AB•n|=| AC | | |
∴| AC|| ABn| | n|
D1G =(2,0,-1),
B则BD1=1B(10,0n,2=)0,设面GDB11GD1的•n法=向0 量n =(x,.y,z),
•
∴2x+2y=0，2x-2=O，即y=-z，z=2x．令x=1．则
n =(1,-1，2)．
∴BD与面GB1D1的距离为
d
|
B1B n | | n|
=
2 3
6
4求面面距离
d | AB n | |n|
其中点A为直线a上任一点，B为面α内任一点，n 为
面α的一法向量．
例3在棱长为2的正方体AC,中，G为AA1的中点，求 BD与面GB1D1的距离．
解如图建立空间直角坐示系，则
B(2,2,O),G(2,0,1)，B1(2,2,2)，D1(0,0,2)．
D1B1=(2,2,0),
n1
n2
l
n1
n2
l
,,
AB1 =(-2,2,4),CE =(1,1,0),
AE =(-1,1,0).
设 n =(x，y，z)，且 n AB n CE 设 n • AB =0，n •CE =0，∴-2x+zy+4z=O,x+y=O，
即z=x,y=-x，令x=1，则 n =(1，-1，1)，
3求线面距离 如图，直线a∥平面α,因直线a上任一点到平面α的距离 与直线a到平面α的距离相等，故直线a与平面α的距离为
2.求异面直线间的距离
如图，已知a，b为两异面直线，CD为a，b的公垂线段， A，B分别为a，b上的任意两点．a⊥n，b⊥n，
则 n∥CD
．
A BA CC D DB
∴ An B (A C C D D)B n
= AC nCD nDn B∴ | CD|| ABn|
= CDn
| n|
即异面直线a，b间的距离
即点A到平面 的距离为
d | AB n | |n|
其中B为平面 内任一点，n 为平
面的一个法向量．
解法2：用空间向量方法求解
P '' Q ' P Q C O S P Q , n C O S P Q , n P Q
COSPQ,nPQn
n
PQ n
n
Q
Q'
d
P'
F
P
n
即 P Q 在 n 上的射影长。
例1 已知ABCD为边长为4的正方形，E，F分别为AB和AD的中点， 过平面外一点G作GC⊥面ABCD于C，且GC=2，求点B到面GEF 的距离．
解 如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 G(0 ， O ， 2) ， F(4，2，O)，E(2，4，0)，B(0，4，O)．
COSPQ,nPQn
n
Eb
Q
Q'
d
PQ n
n
F
n P'
P a
即 P Q 在 n 上的射影长。
应用：
例2 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AAl=4， AC=BC=2，∠ACB=900，E为AB的中点，求异面直线 EC与AB1的距离． 解：如图建立空间直角坐标系，则 A(2,0,O)，Bl(0,2,4)，E(1,1,O)，
EF =(2,-2,0),GE =(2,4,-2),
BE =(2,0,0).
设面GEF的法向量为 n
GE •n =0 EF •n =0
∴ 2x一2y=O，2x+4y-2z=0，∴z=y，z=3y．令y=1，则
n =(1,1,3)， 点B到面GEF的距离为 d
| BE n | |n|
=
2 11 11
AD =（-1,0,0）.
令z=1,则 n =(-1，-1，1)，
1)证明(略)．
∴面AB1C与面A1C1D的距离为
2)设面AlC1D的法向量，n
=(x，y，z)，
d | AD n | = 3
|n|
3
三、 用向量法求二面角的大小
如图，二面角α-l-β，平面α的法向量为 n 1 ，
平面β的法向量为 n 2 ，n1,n2 ，则二面
如图，平面α∥平面β，因平面α上任一点到β的距离等于两 平面的距离，故两平行平面间的距离
d | AB n | |n|
，其中点A为面α内任一点，B为面β内 任一点，n 为面α或面β的法向量．
例4已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，
1)求证：面ABC∥面AlClD；
2)求面ABIC与面AlClD的距离．
∴ | AB•n| =| n | | CD |
注：点Ａ，Ｂ分别为异面直线上的 任意点，n 为它们的公共法向量
•
d | AB n | |n|
解法2：用空间向量方法求解
P 'Q ' P Q C O S P Q ,n
d P ' Q ' P Q C O S P Q , n C O S P Q , n P Q
解 如图建立空间直角坐标系，
则 A(1 ， O ， 0) ， B(1 ， 1 ， O) ，
C(0，1，0)， D(0，0，O)，A1(1，
0，1)，B1(1，1，1)，Cl(O，1， 1)，D1(O，0，1)．则
DA1 •n =0
DA1 =（1,0,1）,
DC 1
=（0,1,1）, DC1 •n =0 ∴x+z=0，y+z=O，即x=-z，y=-z，
借助向量解立体几何问题
d | AB n | |n|
1求点面距离
如图已知平面 ，A, n 为平面 的一个法向量
求点Ａ到平面的距离
过A作AＣ⊥平面于点Ｃ，任取一点B则
ABACCB
∴ AB n(A CC)B n
B•
•A
n
•C
= AC nCB n
= ACn
•n ∴ | AB•n|=| AC | | |
∴| AC|| ABn| | n|
D1G =(2,0,-1),
B则BD1=1B(10,0n,2=)0,设面GDB11GD1的•n法=向0 量n =(x,.y,z),
•
∴2x+2y=0，2x-2=O，即y=-z，z=2x．令x=1．则
n =(1,-1，2)．
∴BD与面GB1D1的距离为
d
|
B1B n | | n|
=
2 3
6
4求面面距离
d | AB n | |n|
其中点A为直线a上任一点，B为面α内任一点，n 为
面α的一法向量．
例3在棱长为2的正方体AC,中，G为AA1的中点，求 BD与面GB1D1的距离．
解如图建立空间直角坐示系，则
B(2,2,O),G(2,0,1)，B1(2,2,2)，D1(0,0,2)．
D1B1=(2,2,0),