数列的求和问题 (2)

第2讲数列的求和问题

热点一分组转化求和

有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．

例1等比数列{a n}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.

(1)求数列{a n}

(2)若数列{b n}满足：b n＝a n＋(－1)n ln a n，求数列{b n}的前n项和S n.

解(1)当a1＝3时，不合题意；

当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；

当a1＝10时，不合题意．

因此a1＝2，a2＝6，a3＝18，所以公比q＝3.

故a n＝2·3n－1 (n∈N*)．

(2)因为b n＝a n＋(－1)n ln a n

＝2·3n－1＋(－1)n ln(2·3n－1)

＝2·3n－1＋(－1)n[ln 2＋(n－1)ln 3]

＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)n n ln 3，

所以S n ＝2(1＋3＋…＋3n －

1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n ]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)n n ]ln 3. 当n 为偶数时， S n ＝2×1－3n 1－3＋n 2ln 3

＝3n ＋n

2ln 3－1；

当n 为奇数时，

S n ＝2×1－3n 1－3－(ln 2－ln 3)＋⎝⎛⎭⎫n －12－n ln 3 ＝3n －n －12

ln 3－ln 2－1.

综上所述，S n

＝⎩⎨⎧

3n ＋n

2

ln 3－1， n 为偶数，

3n

－n －1

2

ln 3－ln 2－1， n 为奇数.

思维升华 在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n 进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式．

跟踪演练1 (·湖南)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ∈N *.

(1)证明：a n ＋2＝3a n ； (2)求S n .

(1)证明 由条件，对任意n ∈N *， 有a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，

因而对任意n ∈N *，n ≥2，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3. 两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1， 即a n ＋2＝3a n ，n ≥2. 又a 1＝1，a 2＝2，

所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1， 故对一切n ∈N *，a n ＋2＝3a n .

(2)解 由(1)知，a n ≠0，所以a n ＋2a n ＝3.于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3等比数列；数

列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列．因此a 2n －1＝3n －

1，a 2n ＝2×3n －

1. 于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n

＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝(1＋3＋…＋3n －

1)＋2(1＋3＋…＋3n －

1) ＝3(1＋3＋…＋3n －1) ＝3(3n －1)2

.

从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3(3n －1)2－2×3n －

1

＝32

(5×3n －

2－1)． 综上所述，3

223

(531),2

3(31)2

n n n

n S n -⎧⨯-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩是奇数，，是偶数.

热点二 错位相减法求和

错位相减法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列．

例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有a 1＝2,3S n ＝5a n －a n －1＋3S n －1(n ≥2)． (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若b n ＝(2n －1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)3S n －3S n －1＝5a n －a n －1(n ≥2)， ∴2a n ＝a n －1，a n a n －1＝1

2，

又∵a 1＝2，

∴{a n }是首项为2，公比为1

2的等比数列，

∴a n ＝2×(12)n －1＝(12)n －2＝22－

n .

(2)b n ＝(2n －1)22－

n ，

T n ＝1×21＋3×20＋5×2－

1＋…＋(2n －1)·22－

n ， 12

T n ＝1×20＋3×2－1＋…＋(2n －3)·22－n ＋(2n －1)·21－

n ， ∴12T n ＝2＋2(20＋2－1＋…＋22－n )－(2n －1)·21－n ＝2＋2[1－(2－

1)n －

1]1－2－1

－(2n －1)21－

n ＝6－(2n ＋3)·21－n ，

∴T n＝12－(2n＋3)·22－n.

思维升华(1)错位相减法适用于求数列{a n·b n}的前n项和，其中{a n}为等差数列，{b n}为等比数列；(2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后得到部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数．(3)为保证结果正确，可对得到的和取n＝1,2进行验证．跟踪演练2已知正项数列{a n}的前n项和S n满足：4S n＝(a n－1)(a n＋3)(n∈N*)．

(1)求a n；

(2)若b n＝2n·a n，求数列{b n}的前n项和T n.

解(1)∵4S n＝(a n－1)(a n＋3)＝a2n＋2a n－3，

∴当n≥2时，4S n－1＝a2n－1＋2a n－1－3，

两式相减得，4a n＝a2n－a2n－1＋2a n－2a n－1，

化简得，(a n＋a n－1)(a n－a n－1－2)＝0，

∵{a n}是正项数列，∴a n＋a n－1≠0，

∴a n－a n－1－2＝0，对任意n≥2，n∈N*都有a n－a n－1＝2，

又由4S1＝a21＋2a1－3得，a21－2a1－3＝0，

解得a1＝3或a1＝－1(舍去)，

∴{a n}是首项为3，公差为2的等差数列，

∴a n＝3＋2(n－1)＝2n＋1.

(2)由已知及(1)知，

b n＝(2n＋1)·2n，

T n＝3·21＋5·22＋7·23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n，①

2T n＝3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1，②

②－①得，T n＝－3×21－2(22＋23＋24＋…＋2n)＋(2n＋1)·2n＋1＝－6－2×4(1－2n－1)

1－2

＋(2n＋

1)·2n＋1

＝2＋(2n－1)·2n＋1.

热点三裂项相消法求和

裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主

要适用于{1

a n a n＋1}或{

1

a n a n＋2

}(其中{a n}为等差数列)等形式的数列求和．

例3设等差数列{a n}的前n项和为S n，a22－3a7＝2，且1

a2，S2－3，S3成等比数列，n∈N

*.

(1)求数列{a n}的通项公式；

(2)令b n＝2

a n a n＋2

，数列{b n}的前n项和为T n，若对于任意的n∈N*，都有8T n<2λ2＋5λ成立，