数学系《高等代数》课程教学大纲
高等代数课程教学大纲
《高等代数》课程教学大纲适用专业数学与应用数学（师范）、数学与应用数学总学时 168学分 10一、编写说明（一）本课程的性质、地位和作用高等代数是数学与应用数学专业（师范）、数学与应用数学专业的一门重要的专业基础课，其主要内容有多项式理论与线性代数两部分。
本课程的教学目的是使学生初步驾驭基本的、系统的代数学问和抽象的严格的代数方法，为后继课程如近世代数、常微分方程、概率论与数理统计、泛函分析、计算方法等供应必需具备的代数学问，也为进一步学习数学与应用数学专业的各门课程所须要的抽象思维实力供应肯定的训练。
高等代数课程是中学代数的接着和提高。
通过本课程的教学，要使学生加深对中学代数的理解。
本课程在教学中要求学生准确理解高等代数中的基本概念，不仅要正确驾驭这些概念的内涵，还要了解这些概念的实际背景。
对于一些基本的重要概念，还要求了解它们产生与发展的过程及概念推广的原则；与中学代数有干脆联系或者平行的概念，要求学生能与中学数学中相应概念加以比较，以确立较高的观点。
对于高等代数中的基本理论，要求学生驾驭基本理论的结果，对于典型定理还要求驾驭论证方法或思想，同时要求学生能了解严谨的理论体系，体会建立这种体系的抽象的代数方法。
通过本课程的教学，要求学生能显著地提高应用基本概念、基本理论作抽象论证的实力；较好地驾驭基本的论证方法与基本的计算方法，特殊要驾驭基本的线性代数计算法。
（二）本大纲制订的依据依据本专业人才的培育目标所须要的基本理论和基本技能的要求，依据本课程的教学性质、条件和教学实践而制定。
（三）大纲内容选编原则与要求1．本大纲所列各单元讲授依次与北京高校数学系几何与代数教研室代数小组编《高等代数》（高等教化出版社其次版）所列基本相同，讲授时可依据详细状况作适当调整。
2．为了避开教学上的难点过于集中，有些定理的驾驭可以侧重于定理的结果和证明定理的方法，以达到驾驭基本的代数方法的目的。
3．每一章的重点内容要重点讲解，在讲清概念的基础上，通过适当的练习（习题课、作业、问题探讨）以达到驾驭高等代数中常用的计算方法、基本运算中的技能和技巧以及提高综合计算和解决问题的实力的目的。
《高等代数》课程教学大纲
《高等代数》课程教学大纲一、教学大纲说明（一）课程的性质、地位、作用和任务《高等代数》是数学专业本科学生的三门主要基础课程之一。
它不仅是代数学的基础，也是其它数学课程必要的前提。
该课程是为大学一年级的学生开设的，总课时144学时，开设时间为一年。
通过本课程的教学，使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法。
本课程的任务是使学生系统地掌握基本的、系统的代数知识和抽象的严格的代数方法，为后继课程如近世代数、常微分方程、概率论与数理统计、泛函分析、计算方法等提供必须具备的代数知识，也为进一步学习数学与应用数学专业的各门课程所需要的抽象思维能力提供一定的训练。
（二）教学目的和要求通过本课程的学习，使学生掌握高等代数的基本概念、基本理论与基本方法，熟悉代数的语言、工具、方法，具有一定理解问题、分析问题、解决问题的能力。
为今后的学习打下扎实的基础。
１．熟练掌握：集合、映射、单射、满射、双射的概念，第一、第二数学归纳法，带余除法，不可约多项式，线性方程组的消元法，矩阵的行（列）初等变换，矩阵的秩，初等矩阵的性质，可逆矩阵，向量空间的基、维数，线性相关与线性无关，齐次线性方程组的基础解系，线性变换，矩阵特征值、特征向量的概念与求法，内积的定义，正交变换与正交矩阵，二次型的概念及与其矩阵的对应关系。
２．掌握：整数的整除性、素数的性质，集合的表示与运算，辗转相除法，综合除法，多项式的互素，根与系数的关系，重因式及其判定，行列式的性质，行列式的展开，矩阵的乘法，矩阵的行列式，子空间的交与和，坐标，过渡矩阵，线性方程组的特解与通解，线性变换的运算及其形成的向量空间，线性变换的向量空间与矩阵的向量空间的同构，矩阵的相似，几类向量空间的内积，Cauchy不等式，正交基与正交化，三维空间中的几种正交变换，正交变换与正交矩阵的关系，二次型的矩阵的合同及其求法，对称矩阵合同于对角矩阵，复数域上的二次型的规范形、实数域上二次型的惯性定理、规范形、分类，正定二次型的判定。
《高等代数》教学大纲.doc
《高等代数II》教学大纲一、《高等代数》课程说明（一）课程代码：08230002（二）课程英文名称：Elementary Algebra II（三）开课对象：数学教育专科「（四）课程性质：考试本课程是高等院校数学专业的主要基础课程之一，通过本课程的教学，使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法。
（五）教学目的：通过本课程的教学，使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法，且对初等代数内容有比较深入的了解，并能居高临下的处理中学数学的有关教材，同时培养学生独立思考、科学抽象思维、正确的逻辑推理和迅速准确的运算能力，以及树立辩证唯物论观点。
（六）教学内容：本课程主要讲述线性空间、线性变换、2-矩阵、欧氏空间及双线性函数等（七）教学时数学时数：90学时分数：5学分教学时数具体分配：教学内容讲授实验/实践合计第六章：线性空间2323第七章；线性变换2222第八章：2-矩阵2222第九章：欧几里得空间2323合计9090（八）教学方式教师课堂讲授为主。
（九）考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。
严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资格。
综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，平时成绩占40% ,期末成绩占60%。
二、讲授大纲与各章的基本要求第六章线性空间教学要点与考核要求：1）使学生正确表述和理解线性空间的定义。
掌握判断一个集合对所给的运算是不是作成线性空间的方法。
这是第一次用公理化的方法来定义一个数学结构，因此在数学思想方法上是一次新的飞跃。
有了这一概念，就可以用统一的方法来处理许多数学对象。
2）对照第二章的"维向量空间，使学生正确表述线性空间中向量的线性相关、线性无关、线性表示、极大无关组、秩的定义，熟练掌握它们之间的关系。
3）会求出线性空间的基与维数。
4）理解线性空间坐标的定义，掌握基变换和坐标变换公式，运用它处理一些有关问题。
5）理解了空间的定义，会判断向量空间的了集是不是了空间，知道了空间的交与和的运算6）理解和掌握直和的概念及性质，会将一个线性空间分解为若干个子空间的直和。
高等代数课程教学大纲
《高等代数》课程教学大纲一．课程教学目的与任务本课程是我院数学系数学教育专业的一门重要基础课程。
其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型等方面的系统知识。
它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分析）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的抽象思维、辑推理及运算能力，开发学生智能，加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）和培养学生创造性能力等起到重要作用。
二．与各课程的联系本课程是数学专业的后继课程：如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分析等的先导课程和基础课程。
三．教学时数及分配总学时198,其中课堂讲授 151学时,习题课（包括复习课）47学时。
各学期教学时数安排情况：第二学期：108学时，自第一章至第五章，周学时6第三学期：90学时，自第五章至第九章，周学时5四．讲授内容与要求：第一章基本概念（12学时）一．教学目的和要求：1. 正确理解集合的概念，明确集合的相等、子集、空集、交集、卡氏集等概念及他们之间的关系。
2．掌握映射、满射、单射、双射、映射的合成、可逆映射的概念和映射可逆的充要条件。
3．理解和掌握数学归纳法原理，能熟练运用数学归纳法。
4．理解和掌握整数的性质及带余除法、最大公因数与互素、素数的一些简单性质。
5．掌握数环，数域的概念，能够判别一些数集是否为数环、数域，懂得任意数域都包含有理数域。
二．教学内容：1.1 集合（2学时）1.2 映射（3学时）1.3 数学归纳法（2学时）1.4 整数的一些整除性质（3学时）1.5 数环，数域（2学时）第二章多项式（37学时）一．教学目的和要求：1．掌握数域上一元多项式的概念、运算以及多项式的和与积的次数。
2．正确理解多项式的整除概念和性质。
理解和掌握带余除法。
3．掌握最大公因式的概念、性质、求法以及多项式互素的概念和性质4．理解不可约多项式的概念，掌握多项式唯一因式分解定理。
《高等代数》课程教学大纲
《高等代数》课程教学大纲一、大纲说明课程名称: 高等代数课程名称（英文）：Advanced Algebra适用专业：数学与应用数学课程性质：学科教育必修课程总学时： 192其中理论课学时: 192 实践（实验）课学时:0学分：12先修课程：二、本课程的地位、性质和任务《高等代数》是数学与应用数学专业最重要的基础课程之一，是数学各专业报考硕士研究生的必考课程之一。
通过本课程的学习，使学生掌握多项式和线性代数的系统知识和理论，提高学生抽象思维、逻辑推理和运算能力，培养学生运用抽象的、严格的代数思想方法分析问题、解决问题的能力，为常微分方程、近世代数、计算方法、泛函分析等后续课程的学习打下坚实的基础。
三、教学内容、教学要求第一章基本概念教学内容本章主要介绍了集合、映射、数环、数域等基本概念，这些概念是学习本课程及其它数学分支的基础知识。
1、集合子集集合的相等集合的交与并及其运算律笛卡儿积2、映射映射满射单射双射映射的相等映射的合成可逆映射映射可逆的充要条件3、数学归纳法自然数的最小数原理第一数学归纳法第二数学归纳法4、整数的一些整除性质5、数环和数域教学要求了解：整数的一些整除性质理解：集合掌握：映射；数学归纳法；数环和数域重点与难点映射；可逆映射；数域。
第二章多项式本章主要介绍数域上一元多项式的概念及其运算、整除性、因式分解和有理系数多项式有理根的求法，简单介绍了多元多项式及对称多项式。
多项式理论是高等代数的重要内容，是中学数学有关知识的加深和扩充，是学习其它数学分支的必要基础。
教学内容1、一元多项式的定义和运算2、多项式的整除性整除的基本性质带余除法定理3、多项式的最大公因式最大公因式概念、性质辗转相除法多项式互素概念、性质4、多项式的唯一因式分解定理不可约多项式概念唯一因式分解定理典型分解式5、多项式的重因式多项式的重因式概念多项式有重因式的充要条件6、多项式函数与多项式的根多项式函数的概念余式定理综合除法多项式的根的概念根与一次因式的关系多项式根的个数7、复数域和实数域上多项式的因式分解（代数基本定理不证明）8、有理数域上多项式的可约性及有理根本原多项式的定义Gauss引理整系数多项式在有理数域上的可约性问题Eisenstein判别法有理数域上多顶式的有理根※9、多元多项式多元多项式的概念字典排列法多元多项式的和与积的次数※10、对称多项式对称多项式的概念初等对称多项式对称多项式基本定理教学要求了解：多元多项式对称多项式理解: 一元多项式的定义和运算；多项式的整除性；多项式函数与多项式的根；复数域和实数域上多项式的因式分解掌握: 多项式的重因式；多项式的最大公因式；复数域和实数域上多项式的因式分解；有理数域上多项式的可约性及有理根重点与难点整除概念、带余除法及整除的性质、最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质、因式分解及唯一性定理、因式分解定理的应用、k重因式与k 重根的关系、复（实）系数多项式分解定理、本原多项式、Eisenstein判别法。
高等代数教学大纲
高等代数课程教学大纲一、课程说明1、课程性质：高等代数是高等院校数学系数学与应用数学专业的一门重要基础课。
对学生数学思想的形成有着重要意义，是进一步学习近世代数、常微分方程等后继课的基础，也为深入理解中学数学打下必要的基础。
高等代数是现代数学的基础知识，是学习其它数学学科和现代科学知识的必备基础和重要工具，尤其在本世纪，计算机技术、通讯信息技术和现代生物工程技术已成为最热门的学科领域，这些学科的发展均需要代数学的知识与支持。
高等代数也是师范院校数学与应用数学专业的一门重要基础课程，既是中学代数的继续和提高，对于中学数学教学工作具有重要的理论指导作用，又是输送更高层次优秀人才的专业知识保证。
2、课程教学目的要求（1）使学生掌握多项式理论、线性代数理论的基础知识和基本理论，着重培养学生解决问题的基本技能。
(2) 使学生熟悉和掌握本课程所涉及的现代数学中的重要思想方法，提高其抽象思维、逻辑推理和代数运算的能力。
(3) 使学生进一步掌握具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，培养其辩证唯物主义观点。
(4) 逐步培养学生的对真理知识的发现和创新的能力，训练其对特殊实例的观察、分析、归纳、综合、抽象概括和探索性推理的能力。
(5) 使学生对中学数学有关内容从理论上有更深刻的认识，以便能够居高临下地掌握和处理高级中学数学教材，进一步提高中学数学教学质量。
(6) 根据教学的实际内容的需要，对大纲所列各章内容，分别提出了具体的目的要求，教学时必须着重抓住重点内容进行教学。
本课程分以一元多项式为主体的多项式理论和线性代数两部分。
线性代数部分涉及行列式、矩阵、线性方程组、二次型、线性空间、线性变换、λ-矩阵、欧几里得空间等。
本课程教学重点应放在多项式理论与线性代数理论。
多项式理论以一元多项式的因式分解唯一性定理为主体介绍了有关多项式的一些必要的知识，为后继课提供准备；线性代数部分则较为系统地介绍了线性方程组，线性空间与线性变换理论。
《高等代数》课程教学大纲
《高等代数》课程教学大纲(Higher Algebra)学时数: 72 学分: 4 适用专业: 小学教育(数学与科学方向)一课程的性质、目的和任务1. 课程性质：高等代数是小学教育本科专业的一门重要的专业基础课程。
它不仅是应用学科的重要工具课，而且在近代数学理论中也是一门很重要的理论基础课。
2. 教学目的：通过本课程的学习使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法，以加深对初等数学内容的理解，并为进一步学习其它课程打下良好的基础。
同时培养学生独立思考、科学抽象思维、正确的逻辑推理和迅速准确的运算能力，以及树立辩证唯物论观点。
从而为培养合格的中小学数学教师和各种高级专门人才奠定基础。
3. 教学任务：通过本课程的教学与实践，使学生初步系统掌握高等代数的基本内容和利用代数手段处理问题的基本方法；进一步提高学生的抽象思维能力和严格的逻辑推理能力；促进学生对具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系的理解；培养和提高学生独立提出问题、分析问题和解决问题的能力及运用所学理论指导中小学教学实践和其它工作的能力。
同时注意加强对学生的数学基本素养的培养，为今后做一名合格的中小学数学教师和继续学习深造奠定基础。
二课程教学的基本要求1. 通过本课程教学的主要环节, 使学生了解多项式、行列式、矩阵、线性方程组理论、向量空间、线性变换和欧氏空间等高等代数中的基本概念和基本原理.2. 使学生在了解基本概念和基本原理的基础上, 理解高等代数中各种概念和原理的深刻内涵和它们之间的相互联系.3. 要突出传授数学思想和数学方法，使学生初步掌握运用高等代数的概念和原理分析问题和解决问题的方法.三课程教学的内容和要求第一章多项式理论【教学内容】§1.1 数环与数域§1.2 一元多项式§1.3 多项式的整除性§1.4 最大公因式§1.5 多项式的因式分解§1.6 重因式和重根§1.7 特殊域上的多项式【教学要求】（1）了解数环和数域的概念和判别方法，理解数域的最小性；（2）理解一元多项式的定义、运算、运算律、次数和次数定理；（3）掌握带余除法定理及其应用；理解多项式整除概念和性质，了解其与带余除法的区别（4）理解最大公因式的存在性，掌握最大公因式的求法和表示法；（5）掌握多项式互素的概念和性质；（6）掌握不可约多项式的概念、性质和唯一分解定理；（7）理解并掌握重因式的概念和多项式有无重因式的判别法；（8）掌握多项式函数的概念，理解多项式相等和多项式函数相等的区别与联系；（9）掌握复数和实数域上的多项式的因式分解定理以及不可约多项式的类型。
高等代数教学大纲
高等代数教学大纲一、课程基本信息课程名称：高等代数课程类别：数学专业基础课课程学分：具体学分课程总学时：具体学时授课对象：具体专业、年级二、课程目标高等代数是数学专业的一门重要基础课程，通过本课程的学习，学生应达到以下目标：1、掌握代数的基本概念、定理和方法，包括多项式、行列式、矩阵、线性方程组、向量空间、线性变换、特征值与特征向量、二次型等。
2、培养学生的逻辑推理能力、抽象思维能力和运算能力，能够熟练运用代数方法解决数学问题。
3、使学生了解代数的发展历程和应用领域，激发学生对数学的兴趣和探索精神。
三、课程内容与教学要求（一）多项式1、数域理解数域的概念。
掌握常见数域的性质。
2、多项式掌握多项式的定义、次数、系数等基本概念。
了解多项式的运算规则。
掌握多项式的整除、最大公因式、互素等概念和求法。
熟练掌握因式分解定理。
（二）行列式1、行列式的定义理解行列式的定义。
掌握二阶、三阶行列式的计算方法。
2、行列式的性质熟练掌握行列式的性质。
能够利用行列式的性质计算行列式的值。
3、行列式的展开掌握行列式按行（列）展开定理。
能够用展开定理计算行列式。
（三）矩阵1、矩阵的概念理解矩阵的定义。
掌握矩阵的加法、数乘、乘法运算。
2、矩阵的秩理解矩阵秩的概念。
掌握求矩阵秩的方法。
3、逆矩阵掌握逆矩阵的概念和性质。
熟练掌握求逆矩阵的方法。
（四）线性方程组1、线性方程组的解掌握线性方程组的解的存在性和唯一性定理。
能够用消元法求解线性方程组。
2、线性方程组解的结构理解齐次线性方程组解的结构。
掌握非齐次线性方程组解的结构。
（五）向量空间1、向量空间的定义理解向量空间的概念。
掌握向量空间的基本性质。
2、向量的线性相关性掌握向量线性相关和线性无关的概念和判定方法。
了解向量组的秩的概念和求法。
（六）线性变换1、线性变换的定义理解线性变换的定义。
掌握线性变换的运算。
2、线性变换的矩阵掌握线性变换在给定基下的矩阵表示。
了解相似矩阵的概念和性质。
高等代数教学大纲
高等代数教学大纲一、课程简介本课程主要介绍高等代数的基本概念、定义和定理，包括线性空间、线性变换、矩阵、行列式、特征值、特征向量等内容。
通过本课程的学习，学生应该能够掌握高等代数的基本理论和方法，进一步培养其分析问题的能力和解决问题的能力。
二、教学目标1.掌握高等代数的基本概念、定义和定理。
2.熟练掌握线性空间、线性变换、矩阵、行列式、特征值、特征向量等内容。
3.培养学生分析问题、解决问题的能力。
4.培养学生数学建模的能力。
三、教学内容和教学方法1. 教学内容1.线性空间的定义与基本性质。
2.线性变换的定义与基本性质。
3.矩阵的基本运算和性质。
4.行列式的概念和性质。
5.特征值、特征向量和对角化。
6.线性方程组和矩阵消元算法。
7.正定矩阵、二次型和极值问题。
8.线性代数应用：最小二乘法、主成分分析、特征值应用等。
2. 教学方法1.讲授理论，强调概念的起源和本质。
2.给出典型例题，讲解例题的解法和思路，以帮助学生理解和掌握知识。
3.组织学生进行课上小组讨论和课后思考题目，促使学生主动思考问题、独立思考问题。
4.给学生提供大量题目，帮助学生掌握基本概念和技能。
5.激发学生兴趣，带领学生开展独立或团队研究性学习，鼓励学生探索和创新。
四、教学进度和考核方式1. 教学进度本课程可设置为2个学期，共36周，每周2-3次课程。
章节教学内容学时数第1章线性空间4周第2章线性变换4周第3章矩阵与行列式5周第4章特征值与特征向量3周第5章线性方程组与消元法4周章节教学内容学时数第6章正定矩阵与二次型3周第7章应用3周综合总复习2周2. 考核方式1.平时表现：包括出勤、作业、小测、小论文等，占总成绩的30%。
2.期中考试：占总成绩的30%。
3.期末考试：占总成绩的40%。
五、参考资料1.《线性代数及其应用》（美）Gilbert Strang 著，机械工业出版社。
2.《线性代数基础教程》（美）Bernard Kolman 著，高等教育出版社。
《高等代数》课程教学大纲
《高等代数》课程教学大纲一、课程基本信息1、课程代码：MA1092、课程名称（中文）：高等代数课程名称（英文）：Higher Algebra3、学时/学分：72学时+ 18学时（习题课）/4学分4、先修课程：解析几何5、面向对象：联读班。
6、开课院（系）、教研室：理学院数学系，代数和组合数学教研室7、推荐教学参考书：《大学代数》，陆少华、沈灏编著，上海交大出版社，2002。
《高等代数》，北京大学数学力学系。
二、课程的性质和任务高等代数是一门重要的数学基础课。
代数的理论、方法和思想已渗透到数学与科学的各个领域。
随着通信与计算机科学的迅速发展，高等代数作为描述离散对象的各学科的重要基础，其地位与作用越来越重要。
同时，代数课程还承担着提高学生数学素养，训练与培养思维能力、计算能力与建立数学模型能力的任务。
通过《高等代数》课程的学习，应使学生能较好地熟悉与掌握多项式理论及线性代数的基本概念、理论与方法，并能运用到所学专业中去。
三、教学内容和要求《高等代数》高等代数的教学内容分为八部分，对不同的内容提出不同的教学要求。
(数字表示供参考的相应的学时数)第一章数与多项式（10）1数环与数域（2）2一元多项式、最大公因式（2）3 多项式的因式分解理论（4）4 习题课（2）要求：熟悉数环与数域的基本概念与运算法则；理解因子分解唯一性定理；熟练掌握求最大公因式的辗转相除法。
第二章行列式（10）1 行列式的定义与基本性质（4）2 行列式的按行展开，Laplace定理（2）3 行列式的计算（2）4 习题课（2）要求：熟悉行列式的基本性质、掌握行列式的常用计算方法。
第三章矩阵(12)1 矩阵的概念与矩阵运算（2）2 矩阵的初等变换与相抵标准形、矩阵的秩（4）3 习题课（2）4 逆矩阵与矩阵的求逆（2）5 分块矩阵，例（2）要求：熟练掌握矩阵的加、乘与求逆运算；熟练掌握求矩阵相抵标准形的初等变换方法。
第四章线性方程组（12）1 解线性方程组的矩阵消元法（2）2 Cramer法则，例（2）3 n维向量组的线性关系、向量组的等价与向量组的秩（4）4 线性方程组的矩阵形式、向量形式；线性方程组解的结构（2）5 习题课（2）要求：掌握线性方程组的求解理论与解线性方程组的矩阵消元法；理解线性方程组解的几何意义。
(完整word版)《高等代数》课程教学大纲
《高等代数》课程教学大纲课程编号：090085、090022总学时：162学分：8适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学课程类型：专业必修课开课单位：一、课程的性质、目的与任务通过本课程的教学，使学生对高等代数乃至代数学的思想和方法有较深刻的认识, 提高他们的抽象思维、逻辑推理和运算的能力；使学生初步地掌握基本的、系统的代数知识和抽象的、严格的代数方法，进而加深对中学代数的理解；使学生能应用代数思想和方法去理解与处理有关的问题, 培养与提高代数的理论分析问题与解决问题的能力；使学生学习数学学科后续课程（如近世代数、离散数学、计算方法、偏微分方程、泛函分析等）提供一些所需要的基础理论和知识；使学生在智能开发、创新能力培养等方面获得重要的平台。
《高等代数》是数学与应用数学、信息与计算科学本科专业最重要的基础课程之一,是数学各专业报考研究生的必考课程之一，也是理论性、应用性很强的一门数学基础课。
讲授本课程的目的主要在于培养学生的代数基础理论和思想素质，基本掌握代数中的论证方法, 获得较熟练的演算技能和初步应用的技巧, 提高分析问题、解决问题的能力,为进一步学习其它数学知识打下坚实的基础。
本课程的主要任务是通过教学的主要环节（课堂讲授与讨论、习题课、作业、辅导答疑等），使学生学习和掌握多项式理论、线性代数的代数理论（行列式、线性方程组、矩阵、λ矩阵）及线性代数的几何理论（线性空间、线性变换、欧氏空间）。
二次型、-二、课程教学内容和基础要求（1）理解多项式的定义，掌握最大公因式，互素，不可约多项式, 因式分解等有关的一系列性质。
（2）理解行列式的定义, 掌握行列式的基本运算性质和行列式的行(列)展开性质；理解向量组的线性相关性，掌握线性方程组的通解求法；理解矩阵的概念和运算，掌握矩阵的可逆、矩阵的分块、矩阵的等价关系的性质及应用；理解二次型的定义，掌握二次型的标准形的求法及正定二次型的一系列性质。
（3）理解线性空间的定义，掌握交空间、和空间及直和的判定及性质；理解线性变换的定义及简单性质,掌握线性变换在不同基下的矩阵的性质、线性变换的值域与核的应用问题；会求矩阵的若当标准形；理解欧氏空间及对称变换的定义,掌握对称变换与实对称矩阵之间的关系的有关性质。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学系《高等代数》课程教学大纲
学时：153学时学分：9
适用专业：数学与应用数学
执笔人：储茂权审定人：殷晓斌
说明：
1、课程的性质、地位和任务
本课程是高等师范院校以及综合性大学数学和应用数学专业的一门重要基础课程，它的任务是使学生初步掌握基本的、系统的代数知识和抽象的、严格的代数方法，以加深对初等数学的理解，并为进一步学习打下基础，要求学生掌握数域上一元多项式的因式分解理论以及多元多项式和对称多项式的基本知识；掌握行列式，矩阵和线性方程组中的基本理论和方法，掌握实二次型、线性空间、线性变换的基本理论和常用的数学方法。
2、课程教学的基本要求
（1）掌握数域和一元多项式的概念、整除的概念。
对数域上一元多项式的因式分解及唯一定理及证明的思想有较深刻的认识。
熟练掌握一元多项
式的带余除法和辗转相除法；多项式函数和重因式的基本知识；掌握有
关复数域、实数域和有理数域上的一元多项式的基本结果和基本方法；
掌握多元多项式的基本知识并能将对称多项式表为初等对称多项式的多
项式。
（2）掌握行列式的基本性质和计算；线性方程组的基本理论；矩阵的概念、运算、分块矩阵的初等变换和初等矩阵；二次型和标准形、规范形和正定性，掌握 -矩阵的基本知识，矩阵相似的条件，矩阵的Jordan标准形的基本知识；线性空间中向量的线性相关性，线性空间的维数、基和向量的坐标，基变换和坐标变换，线性子空间的基本知识；掌握欧氏空间的基本知识；熟练掌握线性变换的定义、运算和线性变换的矩阵；掌握线性变换的特征值和特征向量，值域和核、不变子空间等基本知识。
3、课程教学改革
（1）注重能力的培养
本课程教学中，在讲授有关内容的基本概念、基本理论和基本方法的同时，应注重培养学生的运算能力，运用获取的基本知识和基本技能去分析问题和解决问题的能力，同时注意培养抽象思维能力和逻辑推理能力，逐步提高自学和创新能力。
（2）注重本课程与其它课程的联系
《高等代数》是数学系的重要基础课程之一，它的基础地位不仅表现在它
的内容上，而且还表现在它的思想方法上；它与《解析几何》、《近世代数》、《离散数学》、《组合数学》、《数学模型》等课程。
都有密切联系。
二、大纲内容
第一章多项式（35课时）
[内容要点]
数域的定义，多项式的定义和运算，带余除法和整除，辗转相除法和最大公因式，多项式的因式分解及其唯一性，多项式函数与重因式，复数域、实数域和有理数域上多项式的因式分解。
多元多项式与对称多项式。
[教学要求]
1、理解数域和一元多项式的定义。
掌握多项式的一些基本概念，如多项式的相等，整除，因式、重因式、倍式、公因式、最大公因式、多项式的互素，不可约多项式，多元多项式、对称多项式、初等对称多项式等。
2、要求掌握一元多项式的基本理论和基本方法，如：以下一些方面的基本理论和方法：带余除法和整除性，因式，重因式，公因式，辗转相除法和最大公式，数域P上的多项式的因式分解及唯一性，特殊数域上多项式的因式分解，多项式函数、重根和重因式，基本掌握多元多项式的一些基本性质，会将对称多项式化为初等对称多项式的多项式等。
第二章行列式（15课时）
[内容要点]
排列，n级行列式的定义和基本性质，行列式的计算，行列式按一行（列）展开，克拉默（Cramer法则），拉普拉斯（Laplace）定理，行列式的乘法规则。
[教学要求]
1、掌握行列式的一些基本概念，如：排列，排列的逆序和逆序数，偶排列和奇排列，n级行列式的定义，矩阵的定义，方阵的行列，、矩阵的初等变换，行列式的子式、余子式和代数余子式等。
2、掌握排列的一些基本性质，行列式的基本性质，n级行列式的一些计算方法，掌握行列式按一行（列）展开，范德蒙德行列式的性质和计算，解线性方程组的Cramer法则，了解Laplace定理和行列式的乘法规则。
第三章线性方程组（16课时）
[内容要点]
解线性方程组的Gauss消元法，n维向量空间，向量组的线性相关性，矩阵的秩，线性方程组有解的判定，线性方程组解的结构。
[教学要求]
1、掌握线性方程组的一些基本概念，如：线性方程组及其解集合，方程组的同解，线性方程组的初等变换，一般解、基础解系等，线性方程组的系数矩阵、增广矩阵等。
掌握数域P上的n维向量空间、向量线性相关性及矩阵的秩的概念，如：数域P上的n维向量的定义和运算，数域P上的n维向量空间的定义，向量组的线性组合，向量经向量组线性表出，向量组经向量组线性表出，向量组的等价，向量组的线性相关、线性无关，极大线性无关组，向量组的秩，矩阵的k-级子式，矩阵的行秩、列秩和秩等。
2、掌握解线性方程组的Gauss消元法；掌握数域上n维向量空间中向量的线性相关性的基本结果和方法；掌握矩阵的秩和它的行秩、列秩以及它的不为零的子式的级数之间的关系；掌握线性方程组有解判定定理和线性方程组解的结构定理，掌握齐次线性组的基础解系和一般线性方程组的全部解的计算方法。
第四章矩阵（15课时）
[内容要点]
矩阵的概念，矩阵的运算，矩阵乘积的行列式与秩，矩阵的逆，矩阵的分块，初等矩阵，分块矩阵的初等变换等。
[教学要求]
1、掌握矩阵的概念和矩阵的加法、乘法及矩阵与数的数量乘法，矩阵的转置的定义和性质，矩阵可逆和逆矩阵，非退化矩阵，矩阵的伴随矩阵的定义，初等矩阵，矩阵等价的定义。
2、掌握矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积，矩阵乘积的秩不超过它的各因子的秩，可逆矩阵的逆矩阵与它的伴随矩阵的关系，矩阵乘以可逆矩阵其秩不变，可逆矩阵可表示为初等矩阵的乘积，对可逆矩阵，构造适当的矩阵通过对其作初等变换求所给可逆矩阵的逆矩阵；掌握矩阵的分块，并初步掌握用矩阵分块的方法处理某些矩阵的问题。
第五章二次型（8课时）
[内容要点]
二次型及其矩阵表示，二次型的标准形，复和实二次型的规范形及其唯一性，正定二次型。
[教学要求]
1、掌握二次型的一些基本概念，如：数域上的n元二次型，线性替换，非退化的线性替换，二次型的矩阵，二次型的标准形，复和实二次型的规范形，
二次型的正惯性指数，负惯性指数，符号差。
矩阵的合同，正定二次型等。
2、掌握用配方法化二次型为标准形，用对二次型的矩阵作变换的方法化二次型为标准形，化复和实二次型为规范形，掌握实二次型的惯性定理和实二次型正定的一些条件。
第六章线性空间（18课时）
[内容要点]
集合，映射，线性空间的定义与基本性质，线性空间的维数、基与向量的坐标，基变换与坐标变换，线性子空间，子空间的交与和，子空间的直和，线性空间的同构。
[教学要求]
1、掌握集合和映射的一些基本知识，掌握线性空间的一些基本概念，如：线性空间的定义和基本性质，线性空间中向量线性相关性的一些概念，线性空间的维数、基和向量的坐标，线性空间中的基变换和坐标变换，线性子空间，生成子空间，子空间的交、子空间的和、子空间的直和，线性空间的同构。
2、掌握线性空间基变换下向量坐标变换公式，线性空间的非空子集构成线性空间的条件，n维线性空间基的存在性，子空间交与和的一些性质，维数公式，子空间的和是直和的充要条件，数域上两个有限维线性空间同构的充要条件。
第七章线性变换（21课时）
[内容要点]
线性变换的概念，线性变换的运算，线性变换的矩阵，矩阵的相似，特征值与特征向量，线性变换的值域与核、不变子空间，若尔当（Jordan）标准介绍，最小多项式。
[教学要求]
1、掌握线性变换的一些基本概念，如：线性变换的定义，线性变换的加、乘、数量乘法的定义和基本性质，可逆线性变换和它的逆变换的定义，线性变换的逆和多项式，线性变换的矩阵，矩阵的相似，线性变换的特征值和特征向量，特征多项式，特征子空间，线性变换的值域和核，不变子空间，最小多项式，若尔当形矩阵。
2、掌握线性变换和矩阵的关系，矩阵相似的性质，Hamilton-Caylay定理，线性变换在一组基下的矩阵是对角矩阵的条件，n级矩阵与对角矩阵相似的条件。
第八章λ-矩阵（10课时）
[内容要点]
λ-矩阵的概念与可逆性，λ-矩阵在初等变换下的标准形，不变因子，矩阵相似的条件，初等因子，若尔当（Jordan）标准形的理论推导，矩阵的有理标准形。
[教学要求]
1、掌握λ-矩阵的一些基本概念，如：λ-矩阵，λ-矩阵的秩，λ-矩阵的逆矩阵，初等变换、等价、不变因子，行列式因子，矩阵的初等因子，矩阵的有理标准形，复矩阵的若尔当（Jordan）标准形。
2、掌握λ-矩阵可逆的充要条件，λ-矩阵标准形的存在性，唯一性及求法。
不变因子，行列式以及初等因子的求法，λ-矩阵等价的条件，矩阵相似的条件。
第九章欧几里得空间（10课时）
[内容要点]
欧氏空间的定义与基本性质，标准正交基，同构，正交变换，子空间，实对称矩阵的标准形，向量到子空间的距离，最小二乘法，酉空间介绍。
[教学要求]
1、掌握欧氏空间的一些基本概念，如：欧几里得空间的定义，向量的长度，夹角，正交的概念，基的度量矩阵，正交向量组，正交基，标准正交基，正交矩阵，欧氏空间的同构，正交变换，子空间的直和，正交补，最小二乘法问题最小二乘解，酉空间。
2、掌握柯西一布涅柯夫斯基不等式，n维欧氏空间中标准正交基的存在性，施密特正交化方法，n维欧氏空间同构的条件，正交变换的基本性质，实对称矩阵的性质及标准形的求法。
参考教材：
[1]北京大学数学系编：《高等代数》高等教育出版社。