函数的奇偶性及周期性

函数的奇偶性及周期性

1．函数的奇偶性

(1)周期函数

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

[小题体验]

1．下列函数中为偶函数的是()

A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x

C．y＝|ln x|D．y＝2－x

答案：B

2．若函数f(x)是周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(8)－f(14)＝________.

答案：－1

3．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x<0时，f(x)＝________.

答案：x(1－x)

1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．

2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－

x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)．

3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．

[小题纠偏]

1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13

B.13

C.12

D ．－1

2

解析：选B ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数， ∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝1

3.又f (－x )＝f (x )，

∴b ＝0，∴a ＋b ＝1

3

.

2．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时， f (x )＝

⎩

⎪⎨⎪⎧

－4x 2＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 解析：由题意得，f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 答案：1

考点一 函数奇偶性的判断(基础送分型考点——自主练透)

[题组练透]

判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3－2x ＋2x －3； (3)f (x )＝3x －3－

x ；

(4)(易错题)f (x )＝4－x 2

|x ＋3|－3

；

(5)(易错题)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x 2＋x ，x >0，

x 2－x ，x <0.

解：(1)∵由⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2－1≥0，

1－x 2≥0，得x ＝±1，

∴f (x )的定义域为{－1,1}．

又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0，

即f (x )＝±f (－x )．

∴f (x )既是奇函数又是偶函数．

(2)∵函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

32，

不关于坐标原点对称，

∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (3)∵f (x )的定义域为R ，

∴f (－x )＝3－

x －3x ＝－(3x －3－

x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．

(4)∵由⎩

⎪⎨⎪⎧

4－x 2≥0，

|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.

∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]， ∴f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2(x ＋3)－3＝4－x 2

x ，

∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．

(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x >0时，f (x ) ＝x 2＋x ，

则当x <0时，－x >0， 故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；

当x <0时，f (x )＝x 2－x ，则当x >0时，－x <0， 故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数．

[谨记通法]

判定函数奇偶性的3种常用方法

(1)定义法：

(2)图象法：

(3)性质法：

①设f (x )，g (x )的定义域分别是 D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，

奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．

[提醒](1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．

(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满

足相同的关系时，才能判断其奇偶性．如“题组练透”第(5)题．

考点二函数的周期性(题点多变型考点——纵引横联)

[典型母题]

设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.

(1)求函数的最小正周期；

(2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)．

[解](1)∵f(x＋2)＝－f(x)，

∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．

∴f(x)的最小正周期为4.

(2)f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，

f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.

又∵f(x)是周期为4的周期函数，

∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝0.

[类题通法]

1．判断函数周期性的2个方法

(1)定义法．

(2)图象法．

2．周期性3个常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；

(2)若f(x＋a)＝

1

f(x)，则T＝2a；

(3)若f(x＋a)＝－

1

f(x)，则T＝2a.(a>0)