推荐高考数学问题2.4如何利用导数处理参数范围问题提分练习

2.4如何利用导数处理参数范围问题

一、考情分析

导数是研究函数图象和性质的重要工具,有关导数问题是每年高考的必考试题之一,且相当一部分是高考数学试卷的压轴题.其中以函数为载体,以导数为工具,考查函数性质及应用的试题,已成为最近几年高考中函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向.随着高考对导数考查的不断深入,运用导数确定含参数函数中的参数取值范围成为一类常见的探索性问题,由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行讨论,因而它也是绝大多数考生答题的难点,具体表现在：他们不知何时开始讨论、怎样去讨论.对这一问题不仅高中数学教材没有介绍过,而且在众多的教辅资料中也很少有系统介绍,本文通过一些实例介绍这类问题相应的解法,期望对考生的备考有所帮助.

二、经验分享

(1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．

(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点．

(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题．

(4)求函数f(x)极值的步骤

①确定函数的定义域；

②求导数f′(x)；

③解方程f′(x)＝0,求出函数定义域内的所有根；

④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值．

(5)若函数y＝f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y＝f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值．

(6)求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时,方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值．

利用导数研究方程的根(函数的零点)的策略

三、知识拓展

(1)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性,如f(x)＝x3,f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到),f(x)在R上是增函数．

(2)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集．

(3)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f′(x)≥0且在(a,b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解．

(4)研究方程的根或曲线的交点个数问题,可构造函数,转化为研究函数的零点个数问题．可利用导数研究

函数的极值、最值、单调性、变化趋势等,从而画出函数的大致图象,然后根据图象判断函数的零点个数． 四、题型分析

(一) 与函数单调性有关的类型

用导数研究函数的单调性,这是导数最为基本的运用,相关结论是：若()f x 函数在区间(a ，b)上可导,则在

区间(a ，b)上()f x 递增'

()0f x ⇔≥；()f x 递减'()f x ⇔0≤.根据函数单调性求参数（函数中含参数

或区间中含参数）的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解）,一般步骤是：首先求出)('

x f 后,若能因

式分解则先因式分解,讨论)('

x f =0两根的大小判断函数)(x f 的单调性,若不能因式分解可利用函数单调

性的充要条件转化为恒成立问题.

【例1】已知函数f (x )＝e x

ln x －a e x

(a ∈R ),若f (x )在(0,＋∞)上是单调函数,求实数a 的取值范围． 【分析】利用导数判断函数的单调性,先确定在此区间上是单调增还是单调减函数．若 f (x )为单调递减函数,则f ′(x )≤0,若f (x )为单调递增函数,则f ′(x )≥0,然后分离参数a,转化为函数求最值.

故g (x )在(0,1)上为单调递减函数,在[1,＋∞)上为单调递增函数,此时g (x )的最小值为g (x )＝1,但g (x )无最大值(且无趋近值)．

故f (x )不可能是单调递减函数． 若f (x )为单调递增函数,

则f ′(x )≥0,在x >0时恒成立,即1

x

－a ＋ln x ≥0,在x >0时恒成立,

所以a ≤1

x

＋ln x ,在x >0时恒成立,由上述推理可知此时a ≤1.

故实数a 的取值范围是(－∞,1]．

【点评】已知函数单调性,求参数范围的两个方法

(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ,b )上单调,则区间(a ,b )是相应单调区间的子集． (2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增,则f ′(x )≥0；若函数单调递减,则f ′(x )≤0”来求解．

【小试牛刀】【2018届广东深圳上学期期中】若函数()()

3log (0,1)a f x x ax a a =->≠在区间1,02⎛⎫

- ⎪⎝⎭

内单调递增,则a 的取值范围是 A. 1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. 3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 9,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D. 91,4⎛⎫ ⎪⎝⎭

【答案】B

(二) 与不等式有关的类型

以导数作为工具,以含有参数的不等式作为载体在知识交汇处命题已成为如今各地联考和高考命题的热点之一,在利用不等式恒成立求参数取值范围时,常利用以下结论：

①若)(x f 值域为],[n m ,则不等式)(x f a >恒成立⇔a m ≤；不等式)(x f a >有解⇔a n ≤； ②若)(x f 值域为],[n m ,则不等式)(x f a >恒成立⇔a m <；若)(x f 值域为],(n m 则不等式)(x f a >恒成立⇔a m ≤. 【例2】已知函数()ln(1)

,(1,0)(0,)x f x x x

+=

∈-+∞ （Ⅰ）判断函数()f x 的单调区间；