中考专题存在性问题解题策略 角的存在性处理策略

第1讲

角的存在性处理策略

知识必备

一、一线三等角

1.

如

图

1-1-1

，

o

90=∠=∠=∠E D ACB 且

045=∠CAB →CBE ACD ∆∆≌，此为“一线三直角”全等，又称“K 字

型”全等;

图1-1-1 图1-1-2 图1-1-3 图1-1-4

2.如图1-1-2，o 90=∠=∠=∠E D ACB →CBE ACD ∆∆∽，此为“一线三直角”相似，又称“K 字型”相似;

3.如图1-1-3，o 90=∠=∠=∠E D ACB →CBE ACD ∆∆∽，此为更一般的“一线三等角”. 二、相似三角形的性质

相似三角形的对应边成比例，其比值称为相似比； 相似三角形的对应线段成比例. 三、正切的定义

如图1-1-4，在ABC Rt ∆中，b a A =∠tan ，即A ∠的正切值等于A ∠的

对边与A ∠的邻边之比；同理，a

b

B =∠tan ，则1tan tan =∠⋅∠B A ，即互余

两角的正切值互为倒数. 方法提炼

一、基本策略：联想构造 二、构造路线

方式(一)：构造“一线三等角”

1.45o 角→构等腰直角三角形→造“一线三直角”全等，如图1-2-1；

图1-2-1

2.30o 角→构直角三角形→造“一线三直角”相似，如图1-2-2； 图1-2-2

3.tanα=k →构直角三角形→造“一线三直角”相似，如

图1-2-3；

4.“一线三等角”的应用分三重境界；

一重境：当一条线上已有三个等角时，只要识别、证明，直接应用模型解题，如图1-2-4所示的“同侧型一线三等角”及图1-2-5所示的“异侧型一线三等角”；

二重境：当一条线上已有两个等角时，需要再补上一个等角，构造模型解题；

三重境：当一条线上只有一个角时，需要再补上两个等角，构造模型解题，如图1-2-6及图1-2-7所示；

方式

（二）：构造“母子型相似”

“角处理”，还可以在角的一边上某点处作水平或竖直辅助线，造成某水平边或竖直边对此角结构，然后在这条线上补出一个与此角相等的角，构造出“母子型相似”，其核心结构如图1-2-8所示.

方式（三）：整体旋转法（*）

前两种构造属静态构造方式，再介绍一种动态构造方式，即整体旋转法，其核心思想是“图形的旋转（运动）本质是图形上点旋转（运动）；反过来，点的旋转（运动）可以看成该点所在图形的旋转（运动）”.

下面以三个问题说明此法： 问题1 已知点A （3，4），将点A 绕原点O 顺时针方向旋转45º角，求其对应点A’的坐标.

简析 第一步 （“整体旋转”）：如图1-2-9，作AB ⊥y 轴于点B ，则AB =3，OB =4，点A 绕原点O 顺时针方向旋转45º得到点A ’，可看成Rt △OAB 绕原点O 顺时针方向旋转45º得到Rt △OA ’B ‘，则

图1-2-3 图1-2-4 图1-2-5 图1-2-6 图1-2-7

图1-2-8

A ’

B ’=8，OB ’=4，且∠BOB ’=45º；

第二步（造“一线三直角”）：如图1-2-10,依托旋转后的Rt △OA B '',作系列“水平—竖直辅助线”，构造“一线三直角”，即Rt △OCB '∽Rt △B DA ''；

事实上,Rt △OCB '与Rt △B DA ''都是等腰直角三角形,于是有OC =B C '=22,

B D '=A D '=

232,故点A '的坐标为722

(

,)22

； 问题 2 已知点(4,6)A ,将点A 绕原点O 顺时针方向旋转a 角,其中

tan a =12

,求其对应点A '的坐标.

简析 第一步（“整体旋转”）：如图1-2-11,作AB ⊥y 轴于点B,则AB =4,OB =6,将Rt △OAB 绕原点O 顺时针方向旋转a 角得到Rt △OA B '',则A B ''=4,OB '=6, 且tan ∠BOB '=tan a =1

2；

第二步（造“一线三直角”）：如图1-2-12,依托旋转后的Rt △OA B '',作系列“水平—竖直辅助线”，构造“一线三直角”，即Rt △OCB '∽Rt △B DA ''， 于是有B C '=

565

,OC =

5125

,A D '=

545

,B D '=

585

,故点

A '

的坐标为

55

(

,)5

5

148.

问题3 已知点(,)A a b ,将点A 绕原点O 顺时针方向旋转a 角,求其对应点A '的坐标.

简析 不是一般性，不妨都在第一象限内思考问题： 第一步（“整体旋转”）：如图1-2-13,作AB ⊥y 轴于点B,则AB=a ,OB =b ,将Rt △OAB 绕原点O 顺时针方向旋转a 角得到Rt △OA B '',则A B ''=a ,OB '=b ,且∠BOB '=a ；

第二步（造“一线三直角”）：如图1-2-14,依托旋转后的Rt △OA B '',作系列“水平—竖直辅助线”，构造“一线三直角”，即Rt △OCB '∽Rt △B DA ''，

于是有B C '=sin b a ,OC =cos b a ,A D '=sin a a ,B D '=cos a a , 故点A '的坐标为(,)cos sin cos sin a a b a b a a a +-.

例1(2019•日照)如图1-3-1，在平面直角坐标系中，经过点A 的双曲线

同时经过点B ，且点A 在点B 的左侧，点A 的横坐标为，

图1-2-9