中考专题存在性问题解题策略 角的存在性处理策略
中考数学压轴题破解策略专题25《全等三角形的存在性》
专题 25《全等三角形的存在性》破解策略全等三角形的存在性问题的解题策略有：（1）当有一个三角形固定时（三角形中所有边角为定值），另一个三角形会与这个固 定的三角形有一个元素相等；再根据全等三角形的判定，利用三角函数的知识（画图）或 列方程来求解．（2）当两个三角形都不固定时（三角形中有角或边为变量），若条件中有一条边对应 相等时，就要使夹这条边的两个角对应相等，或其余两条边对应相等；若条件中有一个角 对应相等时，就要使夹这个角的两边对应相等，或再找一个角和一条边对应相等．例题讲解 例 1 如图，在平面直角坐标系中， 抛物线 y ＝ ax 2＋ bx ＋ 4与 x 轴的一个交点为 A （－ 2， 0），与 y 轴的交点为 C ，对称轴是 x ＝3，对称轴与 （1）求抛物线的表达式； （2）若点 D 在 x 轴上，在抛物线上是否存在点 的坐标；若不存在，请说明理由． （ 3）若点 M 在 y 轴的正半轴上，连结 MA ，过点 N ．问：是否存在点 x 轴交于点 B ． P ，使得△ PBD ≌△ PBC ?若存在，求点 P M 作 MA 的垂线，交抛物线的对称轴于点 M ，使以点 M 、A 、N 为顶点的三角形与△ BAN 全等？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（ 1）由题意可列方程组4a 2b 4 02ba 3解得 1a4， b 3 ，27②当 AM ＝NB ， MN ＝BA 时，可列方程组： 4 m2 n 29 (m n)225所以抛物线的表达式为 y 1 x 2 3x 4．422）显然 OA ＝ 2， OB ＝ 3， OC ＝ 4． 所以 BC OB 2 OC 2 5 BA ．若△ P BD ≌△ PBC ，则 BD ＝ BC ＝5，PD ＝PC所以 D 为抛物线与 x 轴的左交点或右交点，点 B ，P 在 CD 的垂直平分线上， ①若点 D 为抛物线与 x 轴的左交点，即与点 A 重合．如图 1，取 AC 的中点 E ，作直线 BE 交抛物线于 P 1（x 1，y 1）， P 2（ x 2． y 2）两点． 此时△ P 1BC ≌△ P 1BD ，△ P 2BC ≌△ P 2 B D ．由 A 、 C 两点的坐标可得点 E 的坐标为（－ 1，2）．所以直线 BE 的表达式为 y 1 x 3 ．22所以点 P 1，P 2 的坐标分别为（ 4一 26， 1 26 ）．（4＋ 26， 1 26） 22 ②若 D 为抛物线与 x 轴的右交点，则点 D 的坐标为（ 8， 0）．如图 2，取 CD 的中点 F ．作直线 BF 交抛物线于 P 3（x 3，y 3）， P 4（ x 4，， y 4）两点． 此时△ P 3BC ≌△ P 3BD ，△ P 4BC ≌△ P 4 B D ． 由 C 、D 两点的坐标可得点 F 的坐标为（ 4，2）， 所以直线 BF 的表达式为 y ＝ 2x －6．联立方程组y 2x 1 62 3 ，解得x 3 1 41 ，x 4 1 41y x 2 x 4 y 3 8 2 41 y 4 8 2 41所以点 P 3，P 4 的坐标分别为 （－ 1＋ 41 ，－ 8＋ 2 41 ），（ －1－ 41 ，－8－ 2 41 ），综上可得，满足题意的点 P 的坐标为（ 4一 26， 1 26 ），（4＋ 26，1 26），22 － 1＋ 41 ，－ 8＋ 2 41 ）或（－ 1－ 41 ，－ 8－2 41 ）（ 3）由题意可设点 M （0，m ）， N （ 3， n ），且 m >0，则 AM 2＝4＋m 2，MN 2＝9＋（m －n ）2，BN 2＝n 2． 而∠ AMN ＝∠ ABN ＝900， 所以△ AMN 与△ ABN 全等有两种可能： ①当 AM ＝ AB ，MN ＝BN 时，所以此时点 M 的坐标为（ 0， 21 ）13y x 2 2 x 1 解得 y 1 2 3 x 2 x 4y 1x 2 4 26 1 26 y 2 可列方程组4 m 2259 (m n)2m 1 21 ，解得2nn 15 21 ；m 221 5 21 n27联立方程 4 26 1 26 ，233m12m22解得2，2（舍）55n1 2n2 2所以此时点M的坐标为（ 0，3）．2综上可得，满足题意的点M的坐标为（ 0， 21 ）或（ 0，3）．2例 2 如图，在平面直角坐标系xoy 中，△ ABO为等腰直角三角形，∠ ABO＝ 90 0，点A 的坐标为（ 4．0），点B在第一象限．若点D在线段BO上，OD＝ 2DB，点E，F在△ OAB的边上，且满足△ DOF与△ DEF全等，求点E的坐标．解：由题意可得OA＝ 4，从而OB＝AB＝ 2 2 ．所以2OD＝2OB＝4 2，BD＝1OB＝2 2．3①当点F在OA上时，（ⅰ）若△ DFO≌△ DFE，点E 在OA上．如图 1．此时DF⊥OA，所以OF＝2OD＝4，所以OE＝2OF＝8，即点E的坐标为（2 3 3点F 在AB上，如图 2．sin ∠BED＝BD＝1；所以∠ BED＝ 300，ED 2AE＝6 2 2 6．ⅱ）若△ DFO≌△ DFE，此时E D＝OD＝2BD，所以从而BE＝3 BD＝ 26，过点E作EG⊥OA于点G．所以3则EG＝AG＝2AE＝ 22 32 2233，E 的坐标为32 233）．8，0）．图11 OG＝2 233，即点ⅲ）若△ DFO≌△ FDE，点E在AB上，如图 3．此时 DE ∥ OA ，所以 BD ＝BE ． 从而 AE ＝ OD ＝ 4 2 ，3过点 E 作 EG ⊥OA 于点 G ， 则 EG ＝AG ＝ 2 AE ＝ 4 ， 23 所以 OG ＝ 8，即点 E的坐标为（ 8， 4）．3 3 3②当点 F 在 AB 上时，只能有△ ODF ≌△ AFD ，如图 4．此时 DF ∥0A ．且点 E 与点 A 重合， 即点 E 的坐标为（ 4， 0）．综上可得，端足条件的点 E 的坐标为（ 8 ，0），3 2 2 3，2 2 3 ），（ 8 ，4 ）或（ 4，0）．3 3 3 3 进阶训练答案：存在．点 F 的坐标为（ 3- 17， － 4 ）或（ 3+ 17 ，－ 4）2． 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 1过点 A （1，0）且与 y 轴平行．直线 l 2 k过点 B （0，2）且与 x 轴平行，直线 l 1与 l 2相交于点 P ．E 为直线l 2上一点，反比例函数 y= kx （k >0）的图象过点 E 且与直线 l 1 相交干点 F ．（1）若点 E 与点 P 重合，求 k 的值；（ 2）是否存在点 E 及 y 轴上的点 M ，使得以点 M ，E ，F 为顶点的三角形与△ PEF 全等？ 若存在，求点 E 的坐标：若不存在，请说明理由．1 ．如图，在平面直角坐标系 x Oy 中，已知抛物线 y=1x 2- 3x- 8与y 轴变于点 C ． 4直线 l ； y = - x 与抛物线的对称轴交于点3E ．连结C E ，探究；抛物线上是否存在一点 F ， F 坐标；若不存在，请说明理由．答案： （1）k ＝238 （2）存在．点 E 的坐标为（ ，2）或（ ，2） 83k【提示】（ 2）易得点 E （ ，2），F （1，k ）．①如图 1，当 k <2 时，只能有△MEF ≌△ PEF ．过 31 点 F 作 FH ⊥y 轴于点 H ，易证△ BME ∽△ HFM ，用 k 表示相关线段的长度，从而得到 BM ＝ ，2再解 Rt △BME ，得 k ＝ 3，所以点 E 的坐标为（ 3，2）；②如图 2，当 k >2 时，只能有488△MEF ≌△PFE ． 过点 F 作 FQ ⊥y 轴于点 Q ，同①可得点 E 的坐标为（ ，2）33．如图，抛物线 y= ax 2+bx+c 经过 A （ - 3 ，0）， B （ 3 3 ，0）， C （0， 3）三 点，线段 BC 与抛物线的对称轴交干 D ，该抛物线的顶点为 P ，连结 PA ，A D ．线段 AD 与 y 轴 相交于点 E ．（1）求该抛物线的表达式；（ 2）在平面直角坐标系中是否存在一点 Q ．使以 Q ，C ，D 为顶点的三角形与△ ADP 全等？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．l 2 ByPOl1Axl备用图图 1 图2答案：2）存在．点 Q 的坐标为（ 3 3，4），（ 3 ，－ 2），（ -2 3，1）或（0，7）得 CD ＝ PD ，所以△ QCD 与△ ADP 全等有两种情况． 设点 Q 坐标，通过两点间距离公式列出 QC ， QD ， AP ，AD 的长．再分类讨论列方程组，从而求得点 Q 点坐标． 方法二：连接 CP ，易证△ CDP 为等边三角形，∠ ADC ＝60°，所以∠ PDA ＝120°． △QCD 与△ ADP 全等有两种情况，①如图 1，∠DCQ ＝120°， CQ ＝DA ＝4，此时点 Q 1的坐标为0，7），点 Q 2的坐标为（ -2 3 ，1）； ②如图 2，∠CDQ ＝120°，DQ ＝DA ＝4，此时点 Q 3的坐标为（ 3 ，－2），点 Q 4的坐标为（ 3 3， 4）1）抛物线的表达式为y=-1x 2+2 3x+3 33提示】（ 2）方法 易求直线 BC ： y =- 3x+3， 3从而点 D 的坐标为 3 ， 2），可。
中考数学直角三角形的存在性问题解题策略
直角三角形的存在性问题解题策略专题攻略解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根． 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程． 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．例题解析例1、 如图1-1，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，cos ∠B ＝45．D 、E 为线段BC 上的两个动点，且DE ＝3（E 在D 右边），运动初始时D 和B 重合，当E 和C 重合时运动停止．过E 作EF //AC 交AB 于F ，连结DF ．设BD ＝x ，如果△BDF 为直角三角形，求x 的值．图1-1【解析】△BDF 中，∠B 是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF 存在两种情况．如果把夹∠B 的两条边用含有x 的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了． 如图1-2，作AH ⊥BC ，垂足为H ，那么H 是BC 的中点．在Rt △ABH 中，AB ＝10，cos ∠B ＝45，所以BH ＝8．所以BC ＝16． 由EF //AC ，得BF BE BA BC =，即31016BF x +=．所以BF ＝5(3)8x +．图1-2 图1-3 图1-4①如图1-3，当∠BDF ＝90°时，由4cos 5BD B BF ∠==，得45BD BF =． 解方程45(3)58x x =⨯+，得x ＝3．②如图1-4，当∠BFD ＝90°时，由4cos 5BF B BD ∠==，得45BF BD =． 解方程5154885x x +=，得757x =． 我们看到，在画示意图时，无须受到△ABC 的“限制”，只需要取其确定的∠B ． 例2、 如图2-1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成 △ABC ，设AB ＝x ，若△ABC 为直角三角形，求x 的值．图2-1【解析】△ABC 的三边长都可以表示出来，AC ＝1，AB ＝x ，BC ＝3－x ． 如果用斜边进行分类，每条边都可能成为斜边，分三种情况：①若AC 为斜边，则22)3(1x x -+=，即0432=+-x x ，此方程无实根．②若AB 为斜边，则1)3(22+-=x x ，解得35=x （如图2-2）． ③若BC 为斜边，则221)3(x x +=-，解得34=x （如图2-3）． 因此当35=x 或34=x 时，△ABC 是直角三角形．图2-2 图2-3例3、 如图3-1，已知在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（-2, 0），点B 是点A 关于原点的对称点，P 是函数)0(2>=x xy 图象上的一点，且△ABP 是直角三角形，求点P 的坐标．图3-1【解析】A 、B 两点是确定的，以线段AB 为分类标准，分三种情况．如果线段AB 为直角边，那么过点A 画AB 的垂线，与第一象限内的一支双曲线没有交点；过点B 画AB 的垂线，有1个交点．以AB 为直径画圆，圆与双曲线有没有交点呢？先假如有交点，再列方程，方程有解那么就有交点．如果是一元二次方程，那么可能是一个交点，也可能是两个交点．由题意，得点B 的坐标为（2，0），且∠BAP 不可能成为直角．①如图3-2，当∠ABP ＝90°时，点P 的坐标为（2，1）．②方法一：如图3-3，当∠APB ＝90°时，OP 是Rt △APB 的斜边上的中线，OP ＝2．设P 2(,)x x ，由OP 2＝4，得2244x x+=．解得x =P (2,2)．图3-2 图3-3 方法二：由勾股定理，得P A 2＋PB 2＝AB 2．解方程2222222(2)()(2)()4x x x x+++++=，得x = 方法三：如图3-4，由△AHP ∽△PHB ，得PH 2＝AH ·BH ．解方程22()(2)(2)x x x=+-，得x =图3-4 图3-5这三种解法的方程貌似差异很大，转化为整式方程之后都是(x 2－2)2＝0．这个四次方程的解是x 1＝x 2＝2，x 3＝x 4＝它的几何意义就是以AB 为直径的圆与双曲线相切于P 、P ′两点（如图3-5）．例4、 如图4-1，已知直线y ＝kx －6经过点A (1,－4)，与x 轴相交于点B ．若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标．图4-1【解析】和例题3一样，过A 、B 两点分别画AB 的垂线，各有1个点Q ．和例题3不同，以AB 为直径画圆，圆与y 轴有没有交点，一目了然．而圆与双曲线有没有交点，是徒手画双曲线无法肯定的．将A (1,－4)代入y ＝kx －6，可得k ＝2．所以y ＝2x －6，B (3,0)．设OQ 的长为m ．分三种情况讨论直角三角形ABQ ：①如图4-2，当∠AQB ＝90°时，△BOQ ∽△QHA ，BO QH OQ HA =．所以341m m -=． 解得m ＝1或m ＝3．所以Q (0,－1)或(0,－3)．②如图4-3，当∠BAQ ＝90°时，△QHA ∽△AGB ，QH AG HA GB =．所以4214m -=． 解得72m =．此时7(0,)2Q -． ③如图4-4，当∠ABQ ＝90°时，△AGB ∽△BMQ ，AG BM GB MQ =．所以243m =． 解得32m =．此时3(0,)2Q ．图4-2 图4-3 图4-4三种情况的直角三角形ABQ ，直角边都不与坐标轴平行，我们以直角顶点为公共顶点，构造两个相似的直角三角形，这样列比例方程比较简便．已知A (1,－4)、B (3,0)，设Q (0, n )，那么根据两点间的距离公式可以表示出AB 2，AQ 2和BQ 2，再按照斜边为分类标准列方程，就不用画图进行“盲解”了．例5、 如图5-1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）．若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只．．．有．三个时，求直线l 的解析式．图5-1【解析】有且只有三个直角三角形ABM 是什么意思呢？过A 、B 两点分别画AB 的垂线，与直线l 各有一个交点，那么第三个直角顶点M 在哪里？以AB 为直径的⊙G 与直线l 相切于点M 啊！ 由23333(4)(2)848y x x x x =--+=-+-，得A (－4, 0)、B (2, 0)，直径AB ＝6． 如图5-2，连结GM ，那么GM ⊥l ．在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．因此3tan 4GEM ∠=． 设直线l 与y 轴交于点C ，那么OC ＝3．所以直线l （直线EC ）为334y x =-+． 根据对称性，直线l 还可以是334y x =-．图5-2例6、 如图6-1，在△ABC 中，CA ＝CB ，AB ＝8，4cos 5A ∠=．点D 是AB 边上的一个动点，点E 与点A 关于直线CD 对称，连结CE 、DE ．（1）求底边AB 上的高；（2）设CE 与AB 交于点F ，当△ACF 为直角三角形时，求AD 的长；（3）连结AE ，当△ADE 是直角三角形时，求AD 的长．图6-1【解析】这道题目画示意图有技巧的，如果将点D 看作主动点，那么CE 就是从动线段．反过来画图，点E 在以CA 为半径的⊙C 上，如果把点E 看作主动点，再画∠ACE 的平分线就产生点D 了．（1）如图6-2，设AB 边上的高为CH ，那么A H ＝BH ＝4．在Rt △ACH 中，AH ＝4，4cos 5A ∠=，所以AC ＝5，CH ＝3． （2）①如图6-3，当∠AFC ＝90°时，F 是AB 的中点，AF ＝4，CF ＝3． 在Rt △DEF 中，EF ＝CE －CF ＝2，4cos 5E ∠=，所以52DE =．此时52AD DE ==． ②如图6-4，当∠ACF ＝90°时，∠ACD ＝45°，那么△ACD 的条件符合“角边角”． 作DG ⊥AC ，垂足为G ．设DG ＝CG ＝3m ，那么AD ＝5m ，AG ＝4m ．由CA ＝5，得7m ＝5．解得57m =．此时2557AD m ==．图6-2 图6-3 图6-4 （3）因为DA＝DE，所以只存在∠ADE＝90°的情况．①如图6-5，当E在AB下方时，根据对称性，知∠CDA＝∠CDE＝135°，此时△CDH 是等腰直角三角形，DH＝CH＝3．所以AD＝AH－DH＝1．②如图6-6，当E在AB上方时，根据对称性，知∠CDA＝∠CDE＝45°，此时△CDH 是等腰直角三角形，DH＝CH＝3．所以AD＝AH＋DH＝7．图6-5 图6-6。
中考数学压轴题专题通关训练《角的存在性问题处理策略》(“ppt+视频解析”一体化,解题套路,模型全覆盖)
A（1,0）
B（-3,0）
y=-x2-2x+3
顶点（-1,4）
y=ax2+bx+3
遇到矩正和直三 横平竖直可通关 先倒角来后列点 交规大法亮光环
●已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1,0）和点B（-3,0），与y轴交于C点，点P 为第二象限内抛物线上的动点。
⑵链接OP交交BC于D，当S△CPD :S△BPD =1：2时，请求出D点的坐标。
∠OBP=30°
OP=√3
CP=3- √3 y
②P在BC下方
A
∠OBC=45°
O
∠OBP=60°
CP=3√3-3
∠PBC=15°
P1
C
注意：要有把15°，75°等列入特殊角的胸怀和意识！ p2
B
x
二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且关于 直线x=1对称，点A的坐标为（-1,0） ⑶当a≤x≤a+1时，二次函数y=x2+bx+c的最小值为2a,求a 的值。
套路：涉及二次函数最值，按照取值范围在对称轴左、中、右考量
①a+1＜1 y=x2 -2x -3 =（x-1）2- 4
②a≤1≤a+1
x=a+1时，y最小 y随x的增大而减小
（a+1-1）2- 4=2a
a=1±√5(舍谁？)
x=1时，y最小=-4 2a=-4 a=-2(舍) y
③a＞1
y=x2 -2x -3 =（x-1）2- 4
∠PEG=30° ∠GEO=75°
∠EFO=45°
GBF A x
O
E
OF=OE=1
中考数学压轴题解题策略直角三角形的存在性问题解题策略
?挑战中考数学压轴题? 上海马学斌华东师大第一版社中考数学压轴题解题策略〔3〕直角三角形的存在性问题解题策略?挑战压轴题·中考数学?的作者上海马学斌专题攻略解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步找寻分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般状况下，依据直角极点或许斜边分类，而后依据三角比或勾股定理列方程．有时依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简易．解直角三角形的问题，经常和相像三角形、三角比的问题联系在一同．假设直角边与坐标轴不平行，那么过三个极点作与坐标轴平行的直线，能够结构两个新的相像直角三角形，这样列比率方程比拟简易．在平面直角坐标系中，两点间的距离公式经常用到．如何画直角三角形的表示图呢？假设直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个极点在垂线上；假设斜边，那么以斜边为直径画圆，直角极点在圆上〔不含直径的两个端点〕．例题分析例?如图1-1，在△ABC中，AB＝AC＝10，cos∠B＝4．D、E为线段BC上的两个5动点，且DE＝3〔E在D右侧〕，运动初始时D和B重合，当E和C重合时运动停止．过 E作EF//AC交AB于F，连接DF．设BD＝x，假设△BDF为直角三角形，求x的值．图1-1【分析】△BDF中，∠B是确立的锐角，那么依据直角极点分类，直角三角形 BDF存在两种状况．假设把夹∠B的两条边用含有x的式子表示出来，分两种状况列方程就能够了．如图1-2，作AH⊥BC，垂足为H，那么H是BC的中点．在Rt△ABH中，AB＝10，cos∠B＝4，所以BH＝8．所以BC＝16．5由EF//AC，得BF BE，即BF x3．所以BF＝5(x3)．BA BC10168图1-2图1-3图1-4?挑战中考数学压轴题? 上海 马学斌华东师大第一版社①如图1-3，当∠BDF ＝90°时，由cosBBD4，得BD4BF ．BF55解方程x45(x3)，得x ＝3．5 8BF 4，得BF4BD ．②如图1-4，当∠BFD ＝90°时，由cosBBD55解方程5x15 4x ，得x 75． 88 57我们看到，在画表示图时，不必遇到△ ABC 的“限制〞，只要要取其确立的∠B ．例?如图2-1，A 、B 是线段MN 上的两点，MN4，MA1，MB 1．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点 C ，组成△ABC ，设AB ＝x ，假设△ABC 为直角三角形，求x 的值．图2-1【分析】△ABC 的三边长都能够表示出来， AC ＝1，AB ＝x ，BC ＝3－x ． 假设用斜边进行分类，每条边都可能成为斜边，分三种状况：①假设AC 为斜边，那么 1 x 2(3 x) 2，即x 2 3x 40 ，此方程无实根．②假设AB 为斜边，那么x2(3 x)21，解得x5〔如图2-2〕．3③假设BC 为斜边，那么(3x)21 x 2，解得x4 〔如图 2-3〕．3所以当x5 4或x时，△ABC 是直角三角形．33例?如图图2-23-1，在平面直角坐标系中，点图2-3A 的坐标为〔-2,0〕，点B 是点A 对于原点的对称点，P 是函数y2 (x0)图象上的一点，且△ABP是直角三角形，求点P 的坐x标．图3-1【分析】A 、B 两点是确立的，以线段AB 为分类标准，分三种状况．?挑战中考数学压轴题?上海马学斌华东师大第一版社假设线段AB为直角边，那么过点A画AB的垂线，与第一象限内的一支双曲线没有交点；过点B画AB的垂线，有1个交点．以AB为直径画圆，圆与双曲线有没有交点呢？先假设是有交点，再列方程，方程有解那么就有交点．假设是一元二次方程，那么可能是一个交点，也可能是两个交点．由题意，得点B的坐标为〔2，0〕，且∠BAP不行能成为直角．①如图3-2，当∠ABP＝90°时，点P的坐标为〔2，1〕．②方法一：如图3-3，当∠APB＝90°时，OP是Rt△APB的斜边上的中线，OP＝2．设P(x,2244．解得x2．此时P(2,2)．)，由OP2＝4，得xx2x图3-2图3-3方法二：由勾股定理，得PA2＋PB2＝AB2．解方程(x2)2(2)2(x2)2(2)242，得x2．x x方法三：如图3-4，由△AHP∽△PHB，得PH2＝AH·BH．解方程(2)2(x2)(x2)，得x2．x图3-4图3-5这三种解法的方程貌似差异很大，转变为整式方程以后都是(x2－2)2＝0．这个四次方程的解是x1＝x2＝2，x3＝x4＝2，它的几何意义就是以AB为直径的圆与双曲线相切于P、P′两点〔如图3-5〕．例?如图4-1，直线y＝kx －6轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点经过点A(1,－4)，与Q的坐标．x轴订交于点B．假设点Q是y?挑战中考数学压轴题? 上海 马学斌华东师大第一版社图4-1【分析】和例题 3同样，过 A 、B 两点分别画 AB 的垂线，各有 1个点Q ． 和例题3不一样，以 AB 为直径画圆，圆与 y 轴有没有交点，了如指掌．而圆与双曲线有 没有交点，是徒手画双曲线没法一定的．将A(1,－4)代入y ＝kx －6，可得k ＝2．所以y ＝2x －6，B(3,0)．设OQ 的长为m ．分三种状况议论直角三角形 ABQ ：①如图4-2，当∠AQB ＝90°时，△BOQ ∽△QHA ，BOQH．所以3 4 m ．OQHAm 1解得m ＝1或m ＝3．所以Q(0,－1)或(0,－3)．②如图4-3，当∠BAQ ＝90°时，△QHA ∽△AGB ，QHAG ．所以4 m2．HAGB 14解得m7 ．此时Q(0,7)．2 2③如图4-4，当∠ABQ ＝90°时，△AGB ∽△BMQ ，AGBM ．所以2m ．GBMQ43解得m3 ．此时Q(0,3)．2 2图4-2图4-3 图4-4三种状况的直角三角形ABQ ，直角边都不与坐标轴平行， 我们以直角极点为公共极点，结构两个相像的直角三角形，这样列比率方程比拟简易．A(1,－4)、B(3,0)，设Q(0, n)，那么依据两点间的距离公式能够表示出AB 2，AQ 2和BQ 2，再依据斜边为分类标准列方程，就不用绘图进行“盲解〞了．例?如图5-1，抛物线y3 x 2 3 x3与x 轴交于A 、B 两点〔点A 在点B 的左边〕．假设84直线l 过点E(4,0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为极点所作的直角三角形有且只．．．有三个时，求直线 l 的分析式．．?挑战中考数学压轴题? 上海 马学斌华东师大第一版社图5-1【分析】有且只有三个直角三角形ABM 是什么意思呢？过A 、B 两点分别画AB 的垂线，与直线l 各有一个交点，那么第三个直角极点 M 在哪里？以AB 为直径的⊙G 与直线l 相切于点M 啊！由y3x 2 3x 3 3(x4)(x2)，得A(－4,0)、B(2,0)，直径AB ＝6．8 48如图5-2，连接GM ，那么GM ⊥l ．在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．所以tanGEM3．4设直线l 与y 轴交于点C ，那么OC ＝3．所以直线l 〔直线EC 〕为y3x 3．4依据对称性，直线l 还能够是y3x 3．4图5-2例?如图6-1，在△ABC中，CA ＝CB ，AB ＝8，cosA4．点D 是AB 边上的一个5动点，点E 与点A 对于直线 CD 对称，连接 CE 、DE ． 〔1〕求底边 AB 上的高； 〔2〕设CE 与AB 交于点F ，当△ACF 为直角三角形时，求 〔3〕连接AE ，当△ADE 是直角三角形时，求 AD 的长．AD的长；图6-1【分析】这道题目画表示图有技巧的，假设将点D 看作主动点，那么CE 就是从动线段．反过来绘图，点E 在以CA 为半径的⊙C 上，假设把点E 看作主动点，再画∠ACE 的均分线?挑战中考数学压轴题? 上海 马学斌华东师大第一版社就产生点D 了．〔1〕如图6-2，设AB 边上的高为CH ，那么AH ＝BH ＝4．在Rt △ACH 中，AH ＝4，cosA4，所以AC ＝5，CH ＝3．5〔2〕①如图6-3，当∠AFC ＝90°时，F 是AB 的中点，AF ＝4，CF ＝3．在Rt △DEF 中，EF ＝CE －CF ＝2，cosE4，所以DE5．此时ADDE5．5 22②如图6-4，当∠ACF ＝90°时，∠ACD ＝45°，那么△ACD 的条件切合“角边角〞． 作DG ⊥AC ，垂足为G ．设DG ＝CG ＝3m ，那么AD ＝5m ，AG ＝4m ． 由CA ＝5，得7m ＝5．解得m5．此时AD5m25．7 7图6-2图6-3图6-4〔3〕由于DA ＝DE ，所以只存在∠ADE ＝90°的状况．①如图6-5，当E 在AB 下方时，依据对称性， 知∠CDA ＝∠CDE ＝135°，此时△CDH是等腰直角三角形， DH ＝CH ＝3．所以AD ＝AH －DH ＝1．②如图6-6，当E 在AB 上方时，依据对称性，知∠CDA ＝∠CDE ＝45°，此时△CDH是等腰直角三角形，DH ＝CH ＝3．所以AD ＝AH ＋DH ＝7．图6-5 图6-6。
初中数学 九年级中考专题：角的存在性处理策略原卷
角的存在性处理策略1、如图1－1－1，点A （2，n ）和点D 是反比例函数my x=（m ＞0，x ＞0）图像上的两点，一次函数3y kx =+（k ≠0）的图像经过点A ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ，过点D 作DE ⊥x 轴，垂足为E ，连接OA 、O D . 已知△OAB 与△ODE 的面积满足S △OAB ：S △ODE ＝3：4.（1）S △OAB ＝______________，m ＝_________________；（2）已知点P （6，0）在线段OE 上，当∠PDE ＝∠CBO 时，求点D 的坐标.2、如图1－2－1，二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且关于直线x ＝1对称，点A 的坐标为（－1，0）. （1）求二次函数的表达式；（2）连接BC ，若点P 在y 轴上时，BP 和BC 的夹角为15°，求线段CP 的长度； （3）当a ≤x ≤a ＋1时，二次函数2y x bx c =++的最小值为2a ，求a 的值.变式；当a ≤x ≤a ＋1时，二次函数2y x bx c =++的最大值为2a ，求a 的值.3、如图1－3－1，已知二次函数：2(21)2y ax a x =+++（a ＜0）. （1）求证：二次函数的图像与x 轴有两个交点；（2）当二次函数的图像与x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且a 为负整数时，求a 的值及二次函数的解析式，并画出二次函数的图像（不用列表，只要求用其与x 轴的两个交点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴的交点C 及其顶点D 这四点画出二次函数的大致图像，同时标出A 、B 、C 、D 的位置）；（3）在（2）的条件下，二次函数的图像上是否存在一点P ，使∠PCA ＝75°？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由.图1-2-1备用图4、已知抛物线23y ax bx =++经过点A （1，0）和点B （－3，0），与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上的动点.（1）抛物线的解析式为_______________，抛物线的顶点坐标为___________；（2）如图1－4－1，连接OP 交BC 于点D ，当S △CPD ：S △bPD ＝1：2时，请求出点D 的坐标；（3）如图1－4－2，点E 的坐标为（0，－1），点G 为x 轴负半轴上的一点，∠OGE ＝15°，连接PE ，若∠PEG ＝2∠OGE ，请求出点P 的坐标；（4）如图1－4－3，是否存在点P ，使四边形BOCP 的面积为8？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.图1-4-25、如图1－5－1，顶点为P （3，3）的二次函数图像与x 轴交于点A （6，0），点B 在该图像上，OB 交其对称轴l 于点M ，点M 、N 关于点P 对称，连接BN 、ON . （1）求该二次函数的关系式；（2）若点B 在对称轴l 右侧的二次函数图像上运动，请解答下列问题：①连接OP ，当OP ＝12MN 时，请判断△NOB 的形状，并求出此时点B 的坐标；②求证：∠BNM ＝∠ONM .6、如图1－6－1，抛物线2542y mx mx =--与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，与y轴交于点C ，且x 2－x 1＝112（1）求抛物线的解析式；（2）若P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）是抛物线上的两点，当a ≤x 1≤a ＋2且x 2≥92时，均有y 1≤y 2，求a 的取值范围；（3）抛物线上一点D （1，－5），直线BD 与y 轴交于点E ，动点M 在线段BD 上，当∠BDC ＝∠MCE 时，求点M 的坐标.图1-5-17、如图1－7－1，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝2x －1的图像分别交x 、y 轴于点A ，B ，将直线AB 绕点B 按顺时针方向旋转45°，交x 轴于点C ，则直线BC 的函数表达式是________________.8、（1）如图1－8－1，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，点E 、F 分别在BC 、CD 上，若BE ＝1，∠EAF ＝45°，则DF 的长为_____________；（2）如图1－8－2，在平面直角坐标系中，点A （12，0），点B （0，4），点P 是直线1y x =--上一点，且∠ABP ＝45°，则点P 的坐标为_____________.9、如图1－9－1，矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，E 、F 分别在边AD 、BC 上，点A 与点C 关于EF 所在的直线对称，P 是边DC 上的一动点. （1）连接AF 、CE ，求证：四边形AFCE 是菱形； （2）当△PEF 的周长最小时，求DPCP的值； （3）连接BP 交EF 于点M ，当∠EMP ＝45°时，求CP 的长.图1-8-1BECFDABECFDA图1-9-110、如图1－10－1，在平面直角坐标系中，点A （3，0），B （－3，0），C （－3，8），以线段BC 为直径作圆，圆心为点E ，线段AC 交⊙E 于点D ，连接O D . （1）求证：直线OD 是⊙E 的切线；（2）点F 为x 轴上的一个动点，连接CF 交⊙E 于点G ，连接BG ，如图1－10－2所示.①当tan ∠ACF ＝17时，直接写出所有符合条件的点F 的坐标；②试求BGCF的最大值.11、如图1－11－1，若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与x 轴、y 轴分别交于点A （3，0）、B （0，－2），且过点C （2，－2）. （1）求二次函数表达式；（2）若点P 为抛物线上第一象限内的点，且S △PBA ＝4,求点P 的坐标；（3）在抛物线上（AB 下方）是否存在点M ，使∠ABO ＝∠ABM ？若存在，求出点M 到y 轴的距离；若不存在，请说明理由.12、如图1－12－1，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋5经过A （－5，0）、B （－4，－3）两点，与x 轴的另一个交点为C ，顶点为D ，连接CD . （1）求该抛物线的表达式；（2）点P 为该抛物线上一动点（与点B 、C 不重合），设点P 的横坐标为t . ①当点P 在直线BC 的下方运动时，求△PBC 的面积的最大值；②该抛物线上是否存在点P ，使得∠PBC ＝∠BCD ？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由.图1-11-1备用图13、如图1－13－1，抛物线C ：y ＝ax 2＋bx 经过点A （－4，0）、B （－1，3）两点，G 是其顶点，将抛物线C 绕原点O 旋转180°，得到新的抛物线C '. （1）求抛物线C 的函数解析式及顶点G 的坐标； （2）如图1－13－2，直线l ：y ＝kx －125经过点A ，D 是抛物线C 上的一点，设D 点的横坐标为m （m ＜－2），连接DO 并延长，交抛物线C '于点E ,交直线l 于点M ，若DE ＝2EM ，求m 的值；（3）如图1－13－3，在（2）的条件下，连接AG 、AB ，在直线DE 下方的抛物线C 上，是否存在点P ,使得∠DEP ＝∠GAB ？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由.图1-12-1图1-12-214、已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，其图像与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3）.（1）求b、c的值；（2）直线l与x轴交于点P.①如图1－14－1，若l∥y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E、F，点C关于直线x ＝1的对称点为D，求四边形CEDF面积的最大值；②如图1－14－2，若直线l与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求直线l的表达式.图1-14-1图1-14-215、如图1－15－1，二次函数y＝－x2＋bx＋3的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（－1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上.（1）b＝_____________;（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N.是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝2S△QRB,求点P的坐标.图1-15-1答案解析：1、简析：（1）由一次函数y ＝kx ＋3知，B （0，3）．又点A 的坐标是（2，n ）， ∴S △OAB ＝12×3×2＝3．S △ODE ＝4．故m ＝8． （2）连接PD ，易得故A （2，4），则AG ＝2，BG ＝1，故tan ∠PDE ＝tan ∠CBO ＝tan ∠ABG＝2AGBG;设DE ＝m ＞0，PE ＝2m ，则D （6＋2m ，m ），代入反比例函数的关系式，可得m （6＋2m ）＝8．解得 m ＝1（m ＝－4舍去），因此点D 的坐标为（8，1）．反思：本题第（2）问是一个角的存在性问题，且目标∠PDE 存在一条平行于坐标轴的边，基于确定性分析，只需借助其正切值，巧设边长列方程，本质上是△PDE ∽△ABG ； 此题若不提醒“点P （6，0）在线段．．OE 上”，则须分类讨论，点P 还有可能在DE 的右侧，方法同上，计算后发现无解，即这种情形不存在.2、简析：（1）二次函数的表达式为y ＝x 2－2x －3；（2）如图1－2－2， 由B （3，0），C （0，－3），则∠OBC ＝45°， ①当点P 在点C 上方，由∠CBP ＝15°，可得∠OBP ＝30°，则OP∴CP ＝3②当点P 在点C 下方，同理可得CP ＝3；综上所述：当BP 和BC 的夹角为15°时，线段CP 的长为33；（3）抛物线y ＝x 2－2x －3，即y ＝（x －1）2－4的对称轴为直线x ＝1，分以下三种情况： ①a ＋1＜1，即a ＜0，若a ≤x ≤a ＋1，则y 随x 的增大而减小，故当x ＝a ＋1时，y取得最图1-1-2小值，即（a＋1－1）2－4＝2a，解得a＝1（a＝1舍去）；②当a≤x≤a＋1，即0≤a≤1时，若a≤x≤a＋1，则x＝1时，y取得最小值，即－4＝2a，解得a＝－2（舍去）；则函数的最小值为1－2－3＝2a，③当a＞1，若a≤x≤a＋1，则y随x的增大而增大，故当x＝a时，y取得最小值，即a2－2a－3＝2a，解得a＝2a＝1舍去）；综上，a的值为1或2反思:本题第（2）问是一个角的存在性问题，这里借助角的加减法，将15°角转化为30°或60°的特殊角，而且存在一条平行于坐标轴的边，直接借助正切进行处理；后两问都涉及分类讨论，特别是第（3）问，还需利用数形结合来分析，考虑抛物线的对称轴的位置与自变量的取值范围之间的关系，然后借助增减性求最值；若将最小值改为最大值，则有如下精彩的变式：变式简析：借助对称性，当x＝a与x＝a＋1对应的函数值相等时，有112a a++=，解得a＝12；①当a≤12时，若a≤x≤a＋1，则x＝a，y取得最大值，即a2－2a－3＝2a，解得a＝2－（a＝2②当a＞12，时，若a≤x≤a＋1，则x＝a＋1，y取得最大值，即（a＋1－1）2－4＝2a，解得a＝1（a＝1舍去）；综上所述：a的值为21.反思：第（3）问中的最小值问题与变式中的最大值问题，看似相同，实则分类标准略有不同，前者须考虑对称轴位置与自变量范围之间的三类关系，而后者只需结合抛物线的对称性，找到自变量范围中两个端点对应函数值相等的临界位置，分两类解决.产生这种差别的主要原因是：对于开口向上的抛物线，最小值可能在自变量范围的两个端点处取得，也可能在顶点处取得，但最大位却只可能在自变量范围的两个端点处取得，不可能在顶点处取得；另外，对于开口向下的抛物线在自变量某一范围内的最值问题，分类的方法同上.3、简析：（1）由题得△＝(2a ＋1)2－8a ＝4a 2－4a ＋1＝(2a －1)2，又a ＜0，则△＞0 ∴二次函数的图像与x 轴有两个交点； （2）令0y =，得2(21)20ax a x +++=， 解得1(21)(21)12a a x a a -++-==-,2(21)(21)22a a x a -+--==-，因为0a <，所以10a->，故有点A (－2,0)，B (1a-，0)又a 为负整数且1a -为整数，则1a =-，故有点B （1,0），二次函数的关系式为22y x x =--+，即219++24y x =-（），从而有点C （0,2），D （1924-，），二次函数的图像如图1－3－2; （3）如图1－3－2，分以下两种情形： ∵OA ＝OC ＝2，∴∠ACO ＝45°，如图2，当点P 在直线AC 上方时，记直线PC 与x 轴的交点为E ，①当点P 在AC 的下方时，延长CP 交x 轴于点Q ，若∠PCA ＝75°，则∠OCQ ＝∠PCA －∠OCA ＝30°，故有点Q ），此时直线CQ 的函数关系式为2y =+，将其与抛物线联立，可得点P 1）；②当点P 在AC 的上方时，延长CP 交x 轴于点Q ，若∠PCA ＝75°，则∠OCQ ＝∠PCA －∠OCA ＝30°，故有点Q （），此时直线CQ 的函数关系式为2y =+，将其与抛物线联立，可得点P ）；综上，点P 1）．反思：第（1）问也可将二次函数化为(1)(2)y ax x =++，直接求得其图像与x 轴的两个交点坐标，进而解决问题，也为第（2）问做好铺垫；第（3）问是一个角的存在性问题，这里依然借助角的加减法，将75°角转化为30°或60°的特殊角，与例2有异曲同工之妙，当然，本问也可以过点P 向y 轴作垂线段，利用特殊角巧设边长，写出P 点坐标，再代入二次函数关系式求解.4、简析：（1）抛物线的解析式为：223y x x =--+，其顶点坐标为（－1，4）； （2）如图1－4－4，当S △CPD ：S △BPD ＝1：2，可得BD ＝2CD ，作DH ⊥y 轴于点H ，则△CDH ∽△CBO ，易得DH ＝13BO ＝1，OH ＝23OC ＝2，故点D （－1，2）；（3）如图1－4－5，设直线PE 交x 轴于点F ，由题得∠PEG ＝2∠OGE ＝30°，则∠OFE ＝∠PEG ＋∠OGE ＝45°，故OF ＝OE ＝1，直线EF 的表达式为：1y x =--，将其 与抛物线联立，可得2123x x x --=--+，解得xx =，因此点P； （4）不存在，理由如下：如图1－4－6，连接OP ，设点P （x ，－t 2－2t ＋3），则S四边形BOCP＝S △OBC ＋S △PBC ＝22333363(23)()()22228t t t t --++⋅-=-++，故当32t =-时，S 四边形BOCP 取得最大值为6388<，因此不存在点P ，使四边形BOCP 的面积为8．。
中考专题存在性问题解题策略 角的存在性处理策略
第1讲 角的存在性处理策略知识必备一、一线三等角1.如图1-1-1，o 90=∠=∠=∠E D ACB 且045=∠CAB →CBE ACD ∆∆≌，此为“一线三直角”全等，又称“K 字型”全等;图1-1-1 图1-1-2 图1-1-3 图1-1-42.如图1-1-2，o90=∠=∠=∠E D ACB →CBE ACD ∆∆∽，此为“一线三直角”相似，又称“K 字型”相似;3.如图1-1-3，o90=∠=∠=∠E D ACB →CBE ACD ∆∆∽，此为更一般的“一线三等角”.二、相似三角形的性质相似三角形的对应边成比例，其比值称为相似比； 相似三角形的对应线段成比例. 三、正切的定义如图1-1-4，在ABC Rt ∆中，baA =∠tan ，即A ∠的正切值等于A ∠的对边与A ∠的邻边之比；同理，abB =∠tan ，则1tan tan =∠⋅∠B A ，即互余两角的正切值互为倒数. 方法提炼一、基本策略：联想构造 二、构造路线方式(一)：构造“一线三等角”1.45o 角→构等腰直角三角形→造“一线三直角”全等，如图1-2-1；图1-2-12.30o 角→构直角三角形→造“一线三直角”相似，如图1-2-2；图1-2-2A3.tanα=k →构直角三角形→造“一线三直角”相似，如图1-2-3；4.“一线三等角”的应用分三重境界；一重境：当一条线上已有三个等角时，只要识别、证明，直接应用模型解题，如图1-2-4所示的“同侧型一线三等角”及图1-2-5所示的“异侧型一线三等角”；二重境：当一条线上已有两个等角时，需要再补上一个等角，构造模型解题； 三重境：当一条线上只有一个角时，需要再补上两个等角，构造模型解题，如图1-2-6及图1-2-7所示；方式（二）：构造“母子型相似”“角处理”，还可以在角的一边上某点处作水平或竖直辅助线，造成某水平边或竖直边对此角结构，然后在这条线上补出一个与此角相等的角，构造出“母子型相似”，其核心结构如图1-2-8所示.DAC DEA→DA 2=DC ∙DE →DG 2+AG 2=DC ∙DE定定定定定定定定AAA图1-2-3图1-2-4图1-2-5 图1-2-6 图1-2-7图1-2-10方式（三）：整体旋转法（*）前两种构造属静态构造方式，再介绍一种动态构造方式，即整体旋转法，其核心思想是“图形的旋转（运动）本质是图形上点旋转（运动）；反过来，点的旋转（运动）可以看成该点所在图形的旋转（运动）”.下面以三个问题说明此法：问题1 已知点A （3，4），将点A 绕原点O 顺时针方向旋转45º角，求其对应点A ’的坐标.简析 第一步 （“整体旋转”）：如图1-2-9，作AB ⊥y 轴于点B ，则AB =3，OB =4，点A 绕原点O 顺时针方向旋转45º得到点A ’，可看成Rt △OAB 绕原点O 顺时针方向旋转45º得到Rt △OA ’B ‘，则A ’B ’=8，OB ’=4，且∠BOB ’=45º；第二步（造“一线三直角”）：如图1-2-10,依托旋转后的Rt △OA B '',作系列“水平—竖直辅助线”，构造“一线三直角”，即Rt △OCB '∽Rt △B DA ''；事实上,Rt △OCB '与Rt △B DA ''都是等腰直角三角形,于是有OC =B C '=B D'=A D '=2,故点A '的坐标为(22； 问题2 已知点(4,6)A ,将点A 绕原点O 顺时针方向旋转a 角,其中tan a =12,求其对应点A '的坐标.简析 第一步（“整体旋转”）：如图1-2-11,作AB ⊥y 轴于点B,则AB =4,OB =6,将Rt △OAB 绕原点O 顺时针方向旋转a 角得到Rt △OA B '',则A B ''=4,OB '=6,且tan ∠BOB '=tan a =12；图1-2-8图1-2-9图1-2-11图1-2-12图1-2-13图1-2-14第二步（造“一线三直角”）：如图1-2-12,依托旋转后的Rt △OA B '',作系列“水平—竖直辅助线”，构造“一线三直角”，即Rt △OCB '∽Rt △B DA ''， 于是有B C '=5,OC=5A D '=5,B D '=5,故点A '的坐标为(,55.问题3 已知点(,)A a b ,将点A 绕原点O 顺时针方向旋转a 角,求其对应点A '的坐标. 简析 不是一般性，不妨都在第一象限内思考问题： 第一步（“整体旋转”）：如图1-2-13,作AB ⊥y 轴于点B,则AB=a ,OB =b ,将Rt △OAB 绕原点O 顺时针方向旋转a 角得到Rt △OA B '',则A B ''=a ,OB '=b ,且∠BOB '=a ；第二步（造“一线三直角”）：如图1-2-14,依托旋转后的Rt △OA B '',作系列“水平—竖直辅助线”，构造“一线三直角”，即Rt △OCB '∽Rt △B DA ''， 于是有B C '=sin b a ,OC =cos b a ,A D '=sin a a ,B D '=cos a a , 故点A '的坐标为(,)cos sin cos sin a a b a b a a a +-.例1(2017•日照)如图1-3-1，在平面直角坐标系中，经过点A 的双曲线同时经过点B ，且点A 在点B 的左侧，点A 的横坐标为，∠AOB=∠OBA=45°，则k 的值为_______。
角的存在性问题
角度的存在性（讲义）一、知识点睛 角度存在性的处理思路1. 和角度相关的存在性问题通常要放在直角三角形中处理，通过三角函数将角的特征转化为边的比例特征来列方程求解． 一般过定点构造直角三角形．2. 当两个角相等时，常转化为两个直角三角形相似的问题来处理． 二、精讲精练1. 如图，抛物线2y x bx c =-++与直线122y x =+交于C ，D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为(3，72)．点P 是y 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交CD 于点F ． （1）求抛物线的解析式．（2）若点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，以O ，C ，P ，F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．（3）若存在点P ，使∠PCF =45°，请直接写出．．．．相应的点P 的坐标．2.如图，抛物线2y ax bx c=++的开口向下，与x轴交于点A(-30)和点B(1，0)，与y轴交于点C，顶点为D．（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）．（2）若△ACD的面积为3．①求抛物线的解析式；点P，且∠PAB=∠DAC，求平移后抛物线的解析式．3.如图，抛物线(3)(1)y x x=-+与x轴交于A，B两点（点A B左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求点B及点D的坐标．（2）连接BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．①若线段BD上有一点P，使∠DCP=∠BDE，求点P②若抛物线上有一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N【参考答案】 二、精讲精练1．（1）2722y x x =-++（2）1或23）1722⎛⎫ ⎪⎝⎭，，236⎛ ⎝2．（1）(14)a --，（2）①223y x x =--+②2743y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭或21143y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭3．（1）B (3，0)，D (1，-4)（2）①92477⎛⎫- ⎪⎝⎭②72039⎛⎫- ⎪⎝⎭，，(54．（1）D (1，4-)（2）45°（3）1724⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，(23)-，学生做题前请先回答以下问题问题1：在分析特殊角的存在性问题，一般要将特殊角放在直角三角形中考虑，如何构造直角三角形？问题2：在处理特殊角的存在性问题时建等式的手段有哪些？问题3：角度的存在性问题的处理思路是什么？角度的存在性（一）1.如图1，在平面直角坐标系xOy中，点P为抛物线上一动点，点A的坐标为（4，2），若∠AOP=45°，则点P的坐标为( )A. B.（3，9） C.或（-3，9） D.（3，9）或2.如图2，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B右侧），与y轴交于点C．D为抛物线上的一点，且，连接BD，点P为抛物线上一点．若∠DBP=45°，则点P的坐标为A. B. C.或 D.或B.图1 图23.如图3，已知二次函数的图象经过A（-3，0），B （1，0），C（0，6）三点，直线与y轴交于点D，点P 为二次函数图象上一动点，若∠PAD=45°，则满足题意的点P的坐标为( )A. B.C.或D.或4.如图4已知二次函数的图象经过两点，点D的坐标为，点P为二次函数图象上一动点，若∠ADP=45°，则满足题意的点P的坐标为( )A. B.或C. D.或5.如图5，抛物线与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C，点D是抛物线的对称轴与x轴的交点，点P是抛物线上一点，且∠DCP=30°，则符合题意的点P的坐标为( )A.或B.或C. D.图3 图4 图5学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：在分析特殊角的存在性问题，一般要将特殊角放在直角三角形中考虑，如何构造直角三角形？问题2：在处理特殊角的存在性问题时建等式的手段有哪些？问题3：结合第1题考虑不变特征是什么？问题4：角度的存在性问题的处理思路是什么？学生做题前请先回答以下问题问题1：角度的存在性问题的处理思路是什么？问题2：当两个角相等时，常转化为_____问题来处理．问题3：当两个角相等时，一般要放在直角三角形中考虑，如何构造直角三角形？角度的存在性（二）1.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点分别为A（-3，0），B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H．若点P为抛物线上一动点，且满足∠ABP=∠ACH，则点P的坐标为( )A. B. C. D.2.如图2，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，点D为顶点，抛物线的对称轴与x 轴交于点E，连接BD，CD．P为对称轴右侧的抛物线上一点，若满足∠DCP=∠DBE，则点P的坐标为( )A. B. C.（4，-6） D.或（0，-8）3.如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，连接AC，AD．P是抛物线上一点，若∠ADP=∠ACO，则点P 的坐标为( )A. B.C. D.图1图2 图3学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：角度的存在性问题的处理思路是什么？问题2：当两个角相等时，常转化为_________问题来处理．问题3：当两个角相等时，一般要放在直角三角形中考虑，如何构造直角三角形？问题4：结合试题3考虑，如何研究不变特征？问题5：结合试题3考虑，如何构造直角三角形？学生做题前请先回答以下问题问题1：证明“若，则”这个结论．问题2：结合前面所学的存在性问题，思考对任意图形的存在性问题如何处理？问题3：结合课堂的示范，考虑计算时常用的解题技巧有哪些？角度的存在性（三）1.如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C．抛物线的顶点为D，若在抛物线的对称轴上存在点P使得∠APD=∠ACB，则点P的坐标为( )A. B.或 C. D.或2.如图2，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将此抛物线向右平移4个单位得到抛物线，两条抛物线相交于点C．若点P是x轴上的一动点，且满足∠CPA=∠OBA，则所有满足条件的点P的坐标为( )A. B. C. D.3.如图3，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴DF与x轴相交于点F．设点P为x轴上的一点，若∠DPO=∠ADO，则点P的坐标为( ) A. B. C. D.图1 图2 图34.如图4，经过点A(0，-4)的抛物线与x轴交于点B(-2，0)和点C，O为坐标原点．若点M在y轴上，且∠OMB+∠OAB=∠ACB，则点M的坐标为( )A. B. C. D.图4学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：结合第4题考虑利用结论“若，则”如何分析？问题2：结合第3题考虑如何分析不变特征？学生做题前请先回答以下问题问题1：角度的存在性问题的处理思路是什么？问题2：结合课堂示范，常用的计算技巧有哪些？角度的存在性（四）1.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线顶点为C，与x轴的两个交点分别为A（-3，0），B（1，0），连接AC．抛物线的对称轴交x轴于一点H，若P为对称轴左侧抛物线上的一个动点，过P作PQ⊥AC交AC于点Q，使得，则点P 的坐标为( )A. B. C. D.2.如图2，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为顶点，作直线CD．若P为抛物线上一个动点，过P作PQ⊥CD交直线CD于点Q，使∠CPQ=∠ACO，则点P的坐标为( )A. B. C. D.3.如图3，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接AC，BC．若M为对称轴左侧抛物线上一个动点，过点M作MN∥BC交直线AC于点N，使得，则点M的坐标为( ) A. B. C. D.图1图2 图3学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：角度的存在性问题的处理思路是什么？问题2：结合课堂示范，常用的计算技巧有哪些？问题3：结合试题2考虑，如何分析不变特征？问题4：结合试题3考虑，如何分析不变特征？问题5：结合前面所学的存在性问题，思考对任意图形的存在性问题如何处理？学生做题前请先回答以下问题问题1：如何研究函数背景？问题2：特殊角一般怎么用？问题3：斜直角的处理思路是什么？在处理特殊角的存在性问题时建等式的手段有哪些？问题4：角度的存在性问题的处理思路是什么？问题5：结合前面所学的存在性问题，思考对任意图形的存在性问题如何处理？角度的存在性（五）1.如图1,抛物线经过两点,与x轴交于另一点B.已知为第一象限抛物线上的一点,P为第四象限抛物线上的一点.若∠BAP=∠CBD,则点P的坐标为( )A. B. C. D.2.如图2,点A在x轴负半轴上,点B为x轴正半轴上一点,OA,OB(OA<OB)的长分别是关于x的一元二次方程的两根,,且.点P是y轴上一点,使得∠PBA=∠CAB,则点P的坐标为( )A. B. C. D.3.在直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于两点A,B,与y轴交于点C,其中A在B的左侧,B的坐标是,D为抛物线的顶点.将直线沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过点B,C.若点P为y轴负半轴上的一点,且∠APD=∠ACB,则点P的坐标为( )A. B.C. D.图1图24.如图4,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,四边形ABCO是平行四边形,直线经过点C,交x轴于点D.P是线段OB上的一个动点(点P不与O,B两点重合),过点P 作x 轴的平行线,分别交AB,OC,DC 于点E,F,G,连接BG交OC于点M,以OG为直径的圆恰好经过点M.点图4 H是线段OB上一点,若∠BFH=∠ABO,则点H的坐标为( )A. B. C. D.。
[中考数学压轴题的解题策略12讲之三]直角三角形的存在性问题解题策略
![[中考数学压轴题的解题策略12讲之三]直角三角形的存在性问题解题策略](https://img.taocdn.com/s3/m/8b53e4fb04a1b0717fd5ddc0.png)
1 所以OE � OA � 1 2
于是EB � 3, EC � 1.5
所以OC � 2.5, C (2.5,0)
三部曲：
——
先找分类标准； 再画示意图；
②当∠EAD＝90°
那么△AOE∽△BOA
后计算．
OA OB 因此 � �2 OE OA 1 所以OE � OA � 1 2
于是EB � 5, EC � 2.5
①C为直角顶点
后计算．
A(1.5,0),B(4,0),C(0,-3)
1 2 11 y � � x � x�3 2 4
1 2 11 设P( x,� x � x � 3) 2 4 1 2 11 那么x � 2( x � x) 2 4 13 解得x1 � 0, x2 � 2
三部曲：
——
先找分类标准； 再画示意图；
②Q为直角顶点 的Rt△QCP有2个
三部曲：
——
先找分类标准； 再画示意图；
后计算．
①C为直角顶点
NC OA 1 于是 � � NP OC 2
那么△AOC∽△CNP
因此NP � 2 NC
数形结合， xP � 2( yC � y N )
三部曲：
——
先找分类标准； 再画示意图；
数形结合， xP � 2( yC � y N )
①C为直角顶点
后计算．
13 解得x1 � 0, x2 � 2
x1 � 0的几何意义就是点 C
13 x2 � 的几何意义就是点 P 2
三部曲：
——
先找分类标准； 再画示意图；
后计算．
②Q为直角顶点
MP' OB' 1 于是 � � MB OB 2
数形结合， xB � xP ' � 2 yP '
中考方法技巧专题(09) 角的存在性问题
∴x=-6,∴C(-6,0),∴OC=6. 设 D(a,b),则 DE=b,PE=a-6. ∵∠PDE=∠CBO,∠COB=∠PED=90°, ∴△CBO∽△PDE, ∴ 㤵= ,即3= 6 ①,
-6
版权均属于北京全品文教科技股份有限公司，未经本公司授权，不得转载、摘编或任意方式使用上述作品，否则坚决追究转载方法律责任。
Word 版练习题
方法技巧专题(九) 角的存在性问题
这里所说的角的存在性问题主要涉及 45°角(或 135°角)、两角相等的存在性问题.45°角是一个非常 特殊的角,它不仅是直角的一半,也是等腰直角三角形的底角,解决此类问题的一般策略是构造等腰直角三角形 (见下图);角的相等问题常借助相似(全等)或等腰三角形求解.
又点 P 是 OB 中点,∴BP=OP= .在 y 轴负半轴上取点 D(0,-2),连结 CD,∴OC=OD=2,
2
∴∠OCD=∠ODC=45°=∠APC=∠ABO, 易证∠CPD=∠PAB,∴△CPD∽△PAB,
∴=.
㤵㤵
由勾股定理得 AB= 2m,CD=2 2,∴ 2+2= 2 2 ,解得 m=12 或 m=0(舍).
∴∠POA=∠OP'M.
又∵∠PHO=∠P'MO=90°,OP=OP',
∴△OPH≌△P'OM(AAS),
∴△OPH 的面积=△OP'M 的面积=3.
又∵OH=AH,∴△OPA 的面积为 6.故选 B.
Word 版练习题
2.29 [解析]方法一:如图①,在 BC 上取点 E,使 BE=AB,则∠BEA=45°,易证△CAD∽△AED,
的面积满足 S△OAB∶S△ODE=3∶4.
(1)S△OAB=
存在性问题
例谈2010年中考数学中的存在性问题随着新课改的不断深入，近年来各地中考数学试题不断推陈出新，“选拔性”及“能力性”兼容，命题由“知识性”立意向“素质性”、“能力性”立意转变，出现了一大批题型设计思路开阔、内涵丰富、立意深刻、发人深思的好试题，存在性问题恰恰是这些试题中突出考查学生能力的典型代表。
由于这类问题大多以函数图象为载体，来研究事物的存在性，理解起来比较抽象，涉及面较广，技巧性和综合性也较强，解决起来有一定的难度，对知识的迁移能力、灵活运用能力和分析问题的能力要求又高，所以一直是连续几年来全国各地中考数学试题的压轴型题目。
一、存在性问题的内涵所谓存在性问题是指根据题目所给的条件，探究是否存在符合要求的结论．存在性问题是相对于中学数学课本中有明确结论的封闭型问题而言的．存在性问题可抽象为“已知事项M，是否存在具有某种性质的对象Q。
”解题时要说明Q存在，通常的方法是将对象Q构造出来；若要说明Q不存在，可先假设存在Q，然后由此出发进行推论，并导致矛盾，从而否定Q的存在。
此类问题的叙述一般是“是否存在……，如果存在，请求出……（或请证明）；如果不存在，请说明理由．”二、存在性问题的解决策略1、直接求解法存在性问题是探索型问题中的一种典型性问题．存在性问题探索的方向是明确的．探索的结果有两种：一种是存在：另一种是不存在．直接求解法就是直接从已知条件入手，逐步试探，求出满足条件的对象，使问题得到解决的解法。
2、假设求解法先假设结论存在，再从已知条件和定义，定理，公理出发，进行演绎推理；若得到和题意相容的结论，则假设成立，结论也存在；否则，假设不成立，结论不存在。
即假设结论存在，根据条件推理、计算，如果求得出一个结果，并根据推理或计算过程每一步的可逆性，证得结论存在；如果推得矛盾的结论或求不出结果，则说明结论不存在．三、中考数学中的存在性问题的类型1、定性分类（1）肯定型存在性问题肯定型存在性问题是解决其余两类存在性问题的基础，具体地构造出（或求出，寻找出）满足条件的数学对象，是证明肯定型存在性问题的主要方法。
中考数学压轴题之--二次函数角度的存在性问题(一)(含答案)
中考数学压轴题之--二次函数角度的存在性问题（一）问题1：在分析特殊角的存在性问题，一般要将特殊角放在直角三角形中考虑，如何构造直角三角形？问题2：在处理特殊角的存在性问题时建等式的手段有哪些？问题3：角度的存在性问题的处理思路是什么？1.如图，在平面直角坐标系xOy中，点P为抛物线上一动点，点A的坐标为（4，2），若∠AOP=45°，则点P的坐标为( )A. B.（3，9）C.或（-3，9）D.（3，9）或答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图模型2.如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B右侧），与y 轴交于点C．D为抛物线上的一点，且，连接BD，点P为抛物线上一点．若∠DBP=45°，则点P的坐标为( )A. B.C.或D.或答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图模型3.如图，已知二次函数的图象经过A（-3，0），B（1，0），C（0，6）三点，直线与y轴交于点D，点P为二次函数图象上一动点，若∠PAD=45°，则满足题意的点P的坐标为( )A. B.C.或D.或答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图模型4.已知二次函数的图象经过两点，点D的坐标为，点P为二次函数图象上一动点，若∠ADP=45°，则满足题意的点P的坐标为( )A. B.或C. D.或答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图模型5.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的对称轴与x轴的交点，点P是抛物线上一点，且∠DCP=30°，则符合题意的点P的坐标为( )A.或B.或C. D.答案：C 解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数背景下的存在性问题学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：在分析特殊角的存在性问题，一般要将特殊角放在直角三角形中考虑，如何构造直角三角形？问题2：在处理特殊角的存在性问题时建等式的手段有哪些？问题3：结合第1题考虑不变特征是什么？问题4：角度的存在性问题的处理思路是什么？。
数学中考中几种问题的解决策略
数 学 中 考 中 几 种 问 题 的 解 决 策 略
盛 爱 霞
（ 南京市长城中学 ， 江苏 南京 ２ １ ０ ０ ０ ０ ）
摘 要 ：中考 数 学 中有 几 个 方 面 的 问题 学 生 丢 分 严 重 ， 课 堂教 学 中需 专 题 化 解 决 ． 本 文 对 存 在 性 问题 ， 数 学 建模 问题 ， 归纳 、 猜想型问题 ， 动 态 问题 等 方 面作探 讨 。 关键词 ： 数 学 中考 数 学 问题 解 决 策 略 “ 存在性问题” 解 题 策 略 存 在 性 问 题 是 根 据 已知 条 件 ， 探 索 制 定 适 合 某 个 问 题 的 结 论 的数 值 、 点、 直 线 或 其 图 形 是 否 存 在 的题 目 ， 常 见 类 型有 ： （ １ ） 等腰三角形存 在问题 ； （ ２ ） 直角三 角形存在 问题 ； （ ３ ） 平 行 四边 形 存 在 问题 ； （ ４ ） 相 似 三 角 形 存 在 问题 ． 在 中考 中 ， 函 数 图 像 中点 的 存 在 问 题 是 重 点 ， 其解 题 思 路 是 ： 先 对 结论 作 出 肯 定 的 假 设 ；然 后 由肯 定 假 设 出发 ，结 合 已知 条 件 进 行 正 确 的 计 算、 推理 ， 若 导 出矛 盾 ， 则否定 先前假设 ； 若推 出合理 的结论 ， 则说明假设正确 ， 由此 得 出 问题 的 结 论 ． 它 主 要 考 查 考 生 的 观 察、 分析 、 比较 、 归纳、 推理等方 面的能力 ． 由 于 这 类 题 目 的综 合性极强 ， 因 此 中 考 常 以压 轴 题 出 现 ． 几 何 与 代 数 相 结 合 的综 合 题 涵 盖 初 中 阶 段 所 学 的 代 数 与 几 何 的重 要 知 识 点 和 多 种 数 学 思 想 方 法 ．特 别 注 意 运 用 数 形 结 合 的思 想 方 法 沟 通几 何 与
九年级上学期期中备考热点专项(存在性问题)
存在性问题知识点睛1. 存在性问题的处理思路①分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素（判定等）考虑分类．②画图求解：分析各种状态的可能性，画出符合题意的图形． 通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形． ③结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果．巩固练习题组一：折叠背景下存在性问题1. 在菱形ABCD 中，AB =3，AC =5，点P 是AC 上的一个动点，过点P 作EP垂直于AC 交AD 于点E ，交AB 于点F ．将△AEF 沿EF 折叠，使点A 落在点A′处，则△A′CD 是直角三角形时，AP 的长为_________．2. 在矩形ABCD 中，BC =6，CD =8，点P 是线段AB 上（不含端点A ，B ）任意一点．若将△PBC 沿PC 折叠，使点B 的对应点B′落在矩形ABCD 对角线上时，BP 的长为_____________．3. 如图，矩形ABCD 中，AD =4，AB =7，点E 为DC 上一动点，△ADE 沿AE折叠，点D 落在矩形ABCD 内一点D′处，若△BCD′为等腰三角形，则DE 的长为___________．A'PFED CBADCBA D'EDCBA题组二：函数背景下存在性问题4.如图，在平面直角坐标系中，直线44033y x=-+与x轴、y轴分别交于点B，A，与直线34y x=相交于点C．动点P从O出发在x轴上以每秒5个单位长度的速度向B匀速运动，点Q从C出发在OC上以每秒4个单位长度的速度向O匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2）．（1）直接写出点C坐标及OC，BC长；（2）连接PQ，若△OPQ与△OBC相似，求t的值；（3）连接CP，BQ，若CP⊥BQ，直接写出点P坐标．5.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数myx（m为常数，m＞1，x＞0）的图象经过点P(m，1)和Q(1，m)，直线PQ与x轴、y轴分别交于C，D两点，点M(x，y)是该函数图象上的一个动点，过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A，B．（1）求∠OCD的度数；（2）当m=3，1＜x＜3时，存在点M使得△OPM∽△OCP，求此时点M的坐标；（3）当m=5时，矩形OAMB与△OPQ的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由．6. 如图，平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，直线CD 与x 轴、y 轴分别交于点C ，D ，AB 与CD 相交于点E ，线段OA ，OC 的长是一元二次方程x 2-18x +72=0的两根（OA ＞OC ），OB =43OA ，点E 的横坐标为3，反比例函数y kx的图象经过点E ．（1）求k 的值．（2）若直线AB 与反比例函数图象上除点E 外的另一交点为P ． ①求△ECP 的面积；②若点R 在x 轴上，点S 在y 轴上，求PR +RS +SE 的最小值．（3）若点M 在坐标轴上，在平面内是否存在一点N ，使以点C ，E ，M ，N 为顶点的四边形是矩形且线段CE 为矩形的一条边？若存在，直接写出符合条件的N 点坐标；若不存在，请说明理由．备用图7. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线AB ：123y x =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ．（1）如图1，若直线CD ：423y x =-与直线AB 相交于点M ，交x 轴于点C ，交y 轴于点D ．点P 是射线DM 上的一个动点，设点P 的横坐标是x ，△PBM 的面积是S ，求S 与x 之间的函数关系式．（2）如图2，四边形OEF A 是平行四边形，点F (8，2)，若点H 从点A 出发以2个单位/秒沿x 轴向左运动，同时点Q 从点O 出发以1个单位/秒沿x 轴向右运动，过点H ，Q 分别作x 轴垂线交直线AB 和直线OE 分别于点L ，K ，若点H 运动时间为t 秒，是否存在时间t 使四边形LHQK 是正方形？若存在，请求出符合条件的t 值；若不存在，请说明理由．图1 图2。
九年级中考专题：角的存在性处理策略原卷
角的存在性处理策略1、如图1－1－1，点A （2，n ）和点D 是反比例函数my x=（m ＞0，x ＞0）图像上的两点，一次函数3y kx =+（k ≠0）的图像经过点A ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ，过点D 作DE ⊥x 轴，垂足为E ，连接OA 、O D . 已知△OAB 与△ODE 的面积满足S △OAB ：S △ODE ＝3：4.（1）S △OAB ＝______________，m ＝_________________；（2）已知点P （6，0）在线段OE 上，当∠PDE ＝∠CBO 时，求点D 的坐标.2、如图1－2－1，二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且关于直线x ＝1对称，点A 的坐标为（－1，0）. （1）求二次函数的表达式；（2）连接BC ，若点P 在y 轴上时，BP 和BC 的夹角为15°，求线段CP 的长度； （3）当a ≤x ≤a ＋1时，二次函数2y x bx c =++的最小值为2a ，求a 的值.变式；当a ≤x ≤a ＋1时，二次函数2y x bx c =++的最大值为2a ，求a 的值.3、如图1－3－1，已知二次函数：2(21)2y ax a x =+++（a ＜0）. （1）求证：二次函数的图像与x 轴有两个交点；（2）当二次函数的图像与x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且a 为负整数时，求a 的值及二次函数的解析式，并画出二次函数的图像（不用列表，只要求用其与x 轴的两个交点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴的交点C 及其顶点D 这四点画出二次函数的大致图像，同时标出A 、B 、C 、D 的位置）；（3）在（2）的条件下，二次函数的图像上是否存在一点P ，使∠PCA ＝75°？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由.图1-2-1备用图4、已知抛物线23y ax bx =++经过点A （1，0）和点B （－3，0），与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上的动点.（1）抛物线的解析式为_______________，抛物线的顶点坐标为___________；（2）如图1－4－1，连接OP 交BC 于点D ，当S △CPD ：S △bPD ＝1：2时，请求出点D 的坐标；（3）如图1－4－2，点E 的坐标为（0，－1），点G 为x 轴负半轴上的一点，∠OGE ＝15°，连接PE ，若∠PEG ＝2∠OGE ，请求出点P 的坐标；（4）如图1－4－3，是否存在点P ，使四边形BOCP 的面积为8？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.图1-4-25、如图1－5－1，顶点为P（3，3）的二次函数图像与x轴交于点A（6，0），点B在该图像上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON.（1）求该二次函数的关系式；（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图像上运动，请解答下列问题：①连接OP，当OP＝12MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标；②求证：∠BNM＝∠ONM.6、如图1－6－1，抛物线254 2y mx mx=--与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且x2－x1＝11 2（1）求抛物线的解析式；（2）若P（x1，y1）、Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当a≤x1≤a＋2且x2≥92时，均有y1≤y2，求a的取值范围；（3）抛物线上一点D（1，－5），直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当∠BDC＝∠MCE时，求点M的坐标.7、如图1－7－1，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝2x －1的图像分别交x 、y 轴于点A ，B ，将直线AB 绕点B 按顺时针方向旋转45°，交x 轴于点C ，则直线BC 的函数表达式是________________.8、（1）如图1－8－1，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，点E 、F 分别在BC 、CD 上，若BE ＝1，∠EAF ＝45°，则DF 的长为_____________；（2）如图1－8－2，在平面直角坐标系中，点A （12，0），点B （0，4），点P 是直线1y x =--上一点，且∠ABP ＝45°，则点P 的坐标为_____________.9、如图1－9－1，矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，E 、F 分别在边AD 、BC 上，点A 与点C 关于EF 所在的直线对称，P 是边DC 上的一动点. （1）连接AF 、CE ，求证：四边形AFCE 是菱形； （2）当△PEF 的周长最小时，求DPCP的值； （3）连接BP 交EF 于点M ，当∠EMP ＝45°时，求CP 的长.图1-8-1BECFDABECFDA图1-9-110、如图1－10－1，在平面直角坐标系中，点A （3，0），B （－3，0），C （－3，8），以线段BC 为直径作圆，圆心为点E ，线段AC 交⊙E 于点D ，连接O D . （1）求证：直线OD 是⊙E 的切线；（2）点F 为x 轴上的一个动点，连接CF 交⊙E 于点G ，连接BG ，如图1－10－2所示. ①当tan ∠ACF ＝17时，直接写出所有符合条件的点F 的坐标； ②试求BGCF的最大值.11、如图1－11－1，若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与x 轴、y 轴分别交于点A （3，0）、B （0，－2），且过点C （2，－2）. （1）求二次函数表达式；（2）若点P 为抛物线上第一象限内的点，且S △PBA ＝4,求点P 的坐标；（3）在抛物线上（AB 下方）是否存在点M ，使∠ABO ＝∠ABM ？若存在，求出点M 到y 轴的距离；若不存在，请说明理由.12、如图1－12－1，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋5经过A （－5，0）、B （－4，－3）两点，与x 轴的另一个交点为C ，顶点为D ，连接CD . （1）求该抛物线的表达式；（2）点P 为该抛物线上一动点（与点B 、C 不重合），设点P 的横坐标为t . ①当点P 在直线BC 的下方运动时，求△PBC 的面积的最大值；②该抛物线上是否存在点P ，使得∠PBC ＝∠BCD ？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由.图1-11-1备用图13、如图1－13－1，抛物线C ：y ＝ax 2＋bx 经过点A （－4，0）、B （－1，3）两点，G 是其顶点，将抛物线C 绕原点O 旋转180°，得到新的抛物线C '. （1）求抛物线C 的函数解析式及顶点G 的坐标； （2）如图1－13－2，直线l ：y ＝kx －125经过点A ，D 是抛物线C 上的一点，设D 点的横坐标为m （m ＜－2），连接DO 并延长，交抛物线C '于点E ,交直线l 于点M ，若DE ＝2EM ，求m 的值；（3）如图1－13－3，在（2）的条件下，连接AG 、AB ，在直线DE 下方的抛物线C 上，是否存在点P ,使得∠DEP ＝∠GAB ？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由.图1-12-1图1-12-214、已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，其图像与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3）.（1）求b、c的值；（2）直线l与x轴交于点P.①如图1－14－1，若l∥y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E、F，点C关于直线x ＝1的对称点为D，求四边形CEDF面积的最大值；②如图1－14－2，若直线l与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求直线l的表达式.图1-14-1图1-14-215、如图1－15－1，二次函数y＝－x2＋bx＋3的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（－1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上.（1）b＝_____________;（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N.是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝2S△QRB,求点P的坐标.图1-15-1答案解析：1、简析：（1）由一次函数y ＝kx ＋3知，B （0，3）．又点A 的坐标是（2，n ）， ∴S △OAB ＝12×3×2＝3．S △ODE ＝4．故m ＝8． （2）连接PD ，易得故A （2，4），则AG ＝2，BG ＝1，故tan ∠PDE ＝tan ∠CBO ＝tan ∠ABG＝2AGBG;设DE ＝m ＞0，PE ＝2m ，则D （6＋2m ，m ），代入反比例函数的关系式，可得m （6＋2m ）＝8．解得 m ＝1（m ＝－4舍去），因此点D 的坐标为（8，1）．反思：本题第（2）问是一个角的存在性问题，且目标∠PDE 存在一条平行于坐标轴的边，基于确定性分析，只需借助其正切值，巧设边长列方程，本质上是△PDE ∽△ABG ； 此题若不提醒“点P （6，0）在线段．．OE 上”，则须分类讨论，点P 还有可能在DE 的右侧，方法同上，计算后发现无解，即这种情形不存在.2、简析：（1）二次函数的表达式为y ＝x 2－2x －3；（2）如图1－2－2， 由B （3，0），C （0，－3），则∠OBC ＝45°， ①当点P 在点C 上方，由∠CBP ＝15°，可得∠OBP ＝30°，则OP∴CP ＝3②当点P 在点C 下方，同理可得CP ＝3；综上所述：当BP 和BC 的夹角为15°时，线段CP 的长为33；（3）抛物线y ＝x 2－2x －3，即y ＝（x －1）2－4的对称轴为直线x ＝1，分以下三种情况： ①a ＋1＜1，即a ＜0，若a ≤x ≤a ＋1，则y 随x 的增大而减小，故当x ＝a ＋1时，y取得最图1-1-2小值，即（a＋1－1）2－4＝2a，解得a＝1（a＝1舍去）；②当a≤x≤a＋1，即0≤a≤1时，若a≤x≤a＋1，则x＝1时，y取得最小值，即－4＝2a，解得a＝－2（舍去）；则函数的最小值为1－2－3＝2a，③当a＞1，若a≤x≤a＋1，则y随x的增大而增大，故当x＝a时，y取得最小值，即a2－2a－3＝2a，解得a＝2a＝1舍去）；综上，a的值为1或2反思:本题第（2）问是一个角的存在性问题，这里借助角的加减法，将15°角转化为30°或60°的特殊角，而且存在一条平行于坐标轴的边，直接借助正切进行处理；后两问都涉及分类讨论，特别是第（3）问，还需利用数形结合来分析，考虑抛物线的对称轴的位置与自变量的取值范围之间的关系，然后借助增减性求最值；若将最小值改为最大值，则有如下精彩的变式：变式简析：借助对称性，当x＝a与x＝a＋1对应的函数值相等时，有112a a++=，解得a＝12；①当a≤12时，若a≤x≤a＋1，则x＝a，y取得最大值，即a2－2a－3＝2a，解得a＝2－（a＝2②当a＞12，时，若a≤x≤a＋1，则x＝a＋1，y取得最大值，即（a＋1－1）2－4＝2a，解得a＝1（a＝1舍去）；综上所述：a的值为21.反思：第（3）问中的最小值问题与变式中的最大值问题，看似相同，实则分类标准略有不同，前者须考虑对称轴位置与自变量范围之间的三类关系，而后者只需结合抛物线的对称性，找到自变量范围中两个端点对应函数值相等的临界位置，分两类解决.产生这种差别的主要原因是：对于开口向上的抛物线，最小值可能在自变量范围的两个端点处取得，也可能在顶点处取得，但最大位却只可能在自变量范围的两个端点处取得，不可能在顶点处取得；另外，对于开口向下的抛物线在自变量某一范围内的最值问题，分类的方法同上.3、简析：（1）由题得△＝(2a ＋1)2－8a ＝4a 2－4a ＋1＝(2a －1)2，又a ＜0，则△＞0 ∴二次函数的图像与x 轴有两个交点； （2）令0y =，得2(21)20ax a x +++=， 解得1(21)(21)12a a x a a -++-==-,2(21)(21)22a a x a -+--==-，因为0a <，所以10a->，故有点A (－2,0)，B (1a-，0)又a 为负整数且1a -为整数，则1a =-，故有点B （1,0），二次函数的关系式为22y x x =--+，即219++24y x =-（），从而有点C （0,2），D （1924-，），二次函数的图像如图1－3－2; （3）如图1－3－2，分以下两种情形： ∵OA ＝OC ＝2，∴∠ACO ＝45°，如图2，当点P 在直线AC 上方时，记直线PC 与x 轴的交点为E ，①当点P 在AC 的下方时，延长CP 交x 轴于点Q ，若∠PCA ＝75°，则∠OCQ ＝∠PCA －∠OCA ＝30°，故有点Q ），此时直线CQ 的函数关系式为2y =+，将其与抛物线联立，可得点P 1）；②当点P 在AC 的上方时，延长CP 交x 轴于点Q ，若∠PCA ＝75°，则∠OCQ ＝∠PCA －∠OCA ＝30°，故有点Q （），此时直线CQ 的函数关系式为2y =+，将其与抛物线联立，可得点P ）；综上，点P 1）．反思：第（1）问也可将二次函数化为(1)(2)y ax x =++，直接求得其图像与x 轴的两个交点坐标，进而解决问题，也为第（2）问做好铺垫；第（3）问是一个角的存在性问题，这里依然借助角的加减法，将75°角转化为30°或60°的特殊角，与例2有异曲同工之妙，当然，本问也可以过点P 向y 轴作垂线段，利用特殊角巧设边长，写出P 点坐标，再代入二次函数关系式求解.4、简析：（1）抛物线的解析式为：223y x x =--+，其顶点坐标为（－1，4）； （2）如图1－4－4，当S △CPD ：S △BPD ＝1：2，可得BD ＝2CD ，作DH ⊥y 轴于点H ，则△CDH ∽△CBO ，易得DH ＝13BO ＝1，OH ＝23OC ＝2，故点D （－1，2）；（3）如图1－4－5，设直线PE 交x 轴于点F ，由题得∠PEG ＝2∠OGE ＝30°，则∠OFE ＝∠PEG ＋∠OGE ＝45°，故OF ＝OE ＝1，直线EF 的表达式为：1y x =--，将其 与抛物线联立，可得2123x x x --=--+，解得xx =，因此点P； （4）不存在，理由如下：如图1－4－6，连接OP ，设点P （x ，－t 2－2t ＋3），则S四边形BOCP＝S △OBC ＋S △PBC ＝22333363(23)()()22228t t t t --++⋅-=-++，故当32t =-时，S 四边形BOCP 取得最大值为6388<，因此不存在点P ，使四边形BOCP 的面积为8．反思：第（3）问是一个角的存在性问题，这里通过角的加法，将15°角转化为45°特殊角，轻松获解；借助正切处理，不仅可解决相关的计算问题，还可用于证明等角。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第1讲角的存在性处理策略知识必备一、一线三等角1.如图1-1-1，o90=∠=∠=∠E D ACB 且045=∠CAB →CBE ACD ∆∆≌，此为“一线三直角”全等，又称“K 字型”全等;图1-1-1 图1-1-2 图1-1-3 图1-1-42.如图1-1-2，o 90=∠=∠=∠E D ACB →CBE ACD ∆∆∽，此为“一线三直角”相似，又称“K 字型”相似;3.如图1-1-3，o 90=∠=∠=∠E D ACB →CBE ACD ∆∆∽，此为更一般的“一线三等角”. 二、相似三角形的性质相似三角形的对应边成比例，其比值称为相似比； 相似三角形的对应线段成比例. 三、正切的定义如图1-1-4，在ABC Rt ∆中，b a A =∠tan ，即A ∠的正切值等于A ∠的对边与A ∠的邻边之比；同理，abB =∠tan ，则1tan tan =∠⋅∠B A ，即互余两角的正切值互为倒数. 方法提炼一、基本策略：联想构造 二、构造路线方式(一)：构造“一线三等角”1.45o 角→构等腰直角三角形→造“一线三直角”全等，如图1-2-1；图1-2-12.30o 角→构直角三角形→造“一线三直角”相似，如图1-2-2； 图1-2-23.tanα=k →构直角三角形→造“一线三直角”相似，如图1-2-3；4.“一线三等角”的应用分三重境界；一重境：当一条线上已有三个等角时，只要识别、证明，直接应用模型解题，如图1-2-4所示的“同侧型一线三等角”及图1-2-5所示的“异侧型一线三等角”；二重境：当一条线上已有两个等角时，需要再补上一个等角，构造模型解题；三重境：当一条线上只有一个角时，需要再补上两个等角，构造模型解题，如图1-2-6及图1-2-7所示；方式（二）：构造“母子型相似”“角处理”，还可以在角的一边上某点处作水平或竖直辅助线，造成某水平边或竖直边对此角结构，然后在这条线上补出一个与此角相等的角，构造出“母子型相似”，其核心结构如图1-2-8所示.方式（三）：整体旋转法（*）前两种构造属静态构造方式，再介绍一种动态构造方式，即整体旋转法，其核心思想是“图形的旋转（运动）本质是图形上点旋转（运动）；反过来，点的旋转（运动）可以看成该点所在图形的旋转（运动）”.下面以三个问题说明此法： 问题1 已知点A （3，4），将点A 绕原点O 顺时针方向旋转45º角，求其对应点A’的坐标.简析 第一步 （“整体旋转”）：如图1-2-9，作AB ⊥y 轴于点B ，则AB =3，OB =4，点A 绕原点O 顺时针方向旋转45º得到点A ’，可看成Rt △OAB 绕原点O 顺时针方向旋转45º得到Rt △OA ’B ‘，则图1-2-3 图1-2-4 图1-2-5 图1-2-6 图1-2-7图1-2-8A ’B ’=8，OB ’=4，且∠BOB ’=45º；第二步（造“一线三直角”）：如图1-2-10,依托旋转后的Rt △OA B '',作系列“水平—竖直辅助线”，构造“一线三直角”，即Rt △OCB '∽Rt △B DA ''；事实上,Rt △OCB '与Rt △B DA ''都是等腰直角三角形,于是有OC =B C '=22,B D '=A D '=232,故点A '的坐标为722(,)22； 问题 2 已知点(4,6)A ,将点A 绕原点O 顺时针方向旋转a 角,其中tan a =12,求其对应点A '的坐标.简析 第一步（“整体旋转”）：如图1-2-11,作AB ⊥y 轴于点B,则AB =4,OB =6,将Rt △OAB 绕原点O 顺时针方向旋转a 角得到Rt △OA B '',则A B ''=4,OB '=6, 且tan ∠BOB '=tan a =12；第二步（造“一线三直角”）：如图1-2-12,依托旋转后的Rt △OA B '',作系列“水平—竖直辅助线”，构造“一线三直角”，即Rt △OCB '∽Rt △B DA ''， 于是有B C '=565,OC =5125,A D '=545,B D '=585,故点A '的坐标为55(,)55148.问题3 已知点(,)A a b ,将点A 绕原点O 顺时针方向旋转a 角,求其对应点A '的坐标.简析 不是一般性，不妨都在第一象限内思考问题： 第一步（“整体旋转”）：如图1-2-13,作AB ⊥y 轴于点B,则AB=a ,OB =b ,将Rt △OAB 绕原点O 顺时针方向旋转a 角得到Rt △OA B '',则A B ''=a ,OB '=b ,且∠BOB '=a ；第二步（造“一线三直角”）：如图1-2-14,依托旋转后的Rt △OA B '',作系列“水平—竖直辅助线”，构造“一线三直角”，即Rt △OCB '∽Rt △B DA ''，于是有B C '=sin b a ,OC =cos b a ,A D '=sin a a ,B D '=cos a a , 故点A '的坐标为(,)cos sin cos sin a a b a b a a a +-.例1(2019•日照)如图1-3-1，在平面直角坐标系中，经过点A 的双曲线同时经过点B ，且点A 在点B 的左侧，点A 的横坐标为，图1-2-9∠AOB=∠OBA=45°，则k 的值为_______。
简析由题可知，△OAB 为等腰直角三角形；如图1-3-2，构造“一线三直角”结构，即Rt △OAD ≌Rt △ABC ； 设OD=AC=t ，则A(，t)，B(，)，从而有t=()()，解得； 因此有。
反思：见等腰直角三角形，造“一线三直角”，即“K 字型”全等。
例2如图1-3-3，已知反比例函数的图像经过点A(3，4)，在该图像上找一点P ，使∠POA=45°，则点P 的坐标为_______。
简析1（构造“一线三直角”）：如图1-3-4，作AB ⊥OA 交OP 于点B ，则△OAB 为等腰直角三角形；再造“一线三直角”结构，即Rt △OAD ≌Rt △ABC ，由A(3,4)，可得OD=AC=4，AD=BC=3，则B(7,1)，故直线OP 的解析式为，且反比例函数的解析式为，联立得，解得（负值舍去），故点P 的坐标为(，)。
简析2（构造“一线三等角”）：如图1-3-5，分别过点A 、P 作y 轴的垂线，垂足依次为点D 、E ，再在y 轴上分别找点B 、C ，使BD=AD ，CE=PE ，则∠ABO=∠PCO=45°； 由∠POA=45°，易证△ABO ∽△OCP ，则，即AB •CP=BO•OC ；由A(3，4)，可得，BO=BD+OD=7，k=12，再设点P(t ，)，则CP=，OC=CE-OE=PE-OE=，从而有，解得，故点P 的坐标为()。
450是一个神奇美妙、让人浮想联翩的角。
依托450角，自然联想到构造等腰直角三角形。
然后依托等腰直角三角形，再造“一线三直角”，这是处理450角的基本策略之一。
xy 图1-3-5CE PB D AO如图1-3-6，若∠C=450，一般有四种方式构造直角三角形，但建议将已知点作为直角顶点，相对而言会更简单。
这也体现出了“以不变应万变”的解题策略。
解法1，从头到尾几乎口算，不需要设元，原因在于构造等腰直角三角形时。
将已知点A 作为直角顶点，否则需要设元求解，很是麻烦。
解法2，将y 轴看成所谓“一线”。
利用一个450角，再补两个“450”角，构造“一线三等角”，设出坐标，巧妙解题，这是角的存在性问题另一种重要处理策略。
如图1-3-7，已知抛物线272y x x c =-++与x 轴交于A 、B 两点，且经过点()02C ，、732D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点P 是直线CD 上方抛物线上一动点，当0=45PCD ∠时，求点P 的坐标。
策略一：450 →构等腰直角三角形→造“一线三直角”.简析：易求抛物线的解析式为2722y x x =-++，直线CD 的解析式为122y x =+如图1-3-8，过点D 作DQ ⊥CQ ，交CP 的延长线于点Q ，过点D 作平行于y 轴 的直线，并分别过点C 、Q 向该直线上作垂线，垂图1-3-7 图1-3-9 图1-3-8足依次为点E 、F ，则△CDQ 为等腰直角三角形，△CED ≌△DFQ ，DF=CE=3,QF=DE=,故Q 点坐标为31322⎛⎫⎪⎝⎭， 利用C 、Q 两点，可以求出直线CP 的解析式32y x =+，在与抛物线联立得232722y x y x x =+⎧⎪⎨=-++⎪⎩ ，解得=02x y ⎧⎨=⎩（舍去），或1=272x y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，因此点P 坐标为1722⎛⎫ ⎪⎝⎭， 类似的，也可以过点P 作垂线等。
但不推荐，否则直角顶点未知。
需要设元求解，而简析1直角顶点D 已知，故而顺风顺雨。
理论上，在直线CD 上任取一个已知点，将之做为等腰直角三角形的直角顶点，都可顺利解决，如图1-3-9所示，可自行探究。
对比例2，还可以发现，双曲线与抛物线都是“幌子”，借助450角的处理策略，他们仅仅起到最后联立解方程组求交点的作用。
练就“慧眼”，便可以“识珠”，很多题目的命制套路就是如此. 策略二：一个45°→补两个45°→造“一线三等角”如图1－3－10，过点P 、D 向轴上做垂线，补出两个45°角，构出“一线三等角”结构，即∆PCE ∽∆CDF ，则有DFCECF PE =，即PE ·DF=CE ·CF ；由题可设P(t ，-t+27t+2),易得PE=2t ，DF=32,CE=-t+27t+2+t-2=-t ²+29t,CF=2-(27-3)=23,因此有2t ·32=23(-t ²+29t)，解得t=21（t=0舍去），故点坐标为（21，27）因本题数据的特殊性，最后可以看出，点P 、D 的纵坐标相等，故过点P 、D 向y 轴做垂线，垂足重合，即图中的G 点，其实巧合与否，对解题并无影响；此外，所谓“一线”，也可以做成“水平线，甚至于“斜线”，可自行探究，一般选择现有的“一线”比较合适。
策略三：一个45°→再补一个45°→造“母子型相似”如图1-3-11，过点D 作y 轴的平行线交CP 的延长线于点Q ，交x 轴于点G ，再作CE ⊥QG 于点E ，构造等腰RT ∆CEF ，则∠F=45°,EF=CE=3,DE=23由∠PCD=45°，可得∆QCD ∽∆QFC ，易证QC ²=QD ·QF ； 设QD=t ，则QC ²=QE ²+CE ²=(t+23)²+9，故有(t+23)²+9=t ·(t+29)，解得t=215，故点的坐标为(3,11) 再利用C 、Q 两点，可求出直线的解析式为y=3x+2，与抛物线联立得y=3x=2、y=-x ²+27x+2解得x=0、y=2，（舍去）或x=21、y=27，故点坐标为（21，27）。