高一数学上 第三章 数列：§3.5.2等比数列前n项和
高一数学人选择性必修课件等比数列的前n项和公式
首项a决定了等比数列的 起始值，对前n项和有直 接影响。
项数n决定了等比数列的 总长度，对前n项和有直 接影响。
公比q决定了等比数列的 增长速度，当|q|>1时， 数列增长迅速；当|q|<1 时，数列增长缓慢。
03
前n项和公式应用举例
利用前n项和公式求和问题
求等比数列前n项和
高一数学人选择性必 修课件等比数列的前n 项和公式
汇报人：XX 20XX-01-22
目 录
• 等比数列基本概念与性质 • 前n项和公式推导与理解 • 前n项和公式应用举例 • 拓展延伸：无穷等比数列求和公式 • 练习题与课堂互动环节
01
等比数列基本概念与性质
等比数列定义及通项公式
等比数列定义
一个数列，从第二项起，每一项 与它的前一项的比都等于同一个 常数（不为零），则这个数列叫 做等比数列。
例子3
求无穷等比数列3, -3/2, 3/4, ... 中前10项的和。首先确定公比r = -1/2，然后根据前n项和公式 S_n = a_1(1-r^n)/(1-r)，计算
得S_10 = 3[1-(1/2)^10]/(1+1/2) ≈ 2.99902。
05
练习题与课堂互动环节
练习题选讲
题目一
已知等比数列 {an} 中，a1 = 2，q = 3，求 S10。
将等比数列与其他数学知识相结合，如三角函数、概率统计等，通过前
n项和公式求解一些复杂的问题。这些问题需要综合运用多种数学知识
进行求解。
04
拓展延伸：无穷等比数列求和公式
无穷等比数列定义及性质
无穷等比数列定义
一个等比数列，如果项数无限，就称之为无穷等比数列。
高一数学上 第三章 数列：§3.5.2等比数列前n项和
2 .若 某 等 比 数 列 中 前 7 项 的 和 为 4 8 ,前 1 4 项 的 和 为 6 0 ,
则 前 2 1 项 的 和 为 _ _ 6_ 3_ ._ _
3.一 个 等 比 数 列 ,它 的 项 数 为 偶 数 ,全 部 各 项 和 是 偶 数 项 和 的 4倍 ,前 3项 之 积 为 64.
推导过程:
1当 q1 时 ,Snna 1,
Skka 1,S2kSkka 1,S3kS2kka 1,
2当q1时,
由性质1:SnSmqmSnm, S2k Sk qkSk, S3k S2k qkSk,
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例题讲解:
例1:已知一个项数时偶数的等比数列的首 项为1,其奇数项的和为85,偶数项的和为 170,求这个数列的公比和项数.
S偶
a2
1q2n 1q2
,
S奇
a1
1q2n 1q2
,
S偶 a2 q. S奇 a1
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3 . 若 等 比 数 列 a n 的 前 n 和 为 S n ,且 S n 0 .
则 : S k ,S 2 k k ,S 3 k 2 k ,成 等 比 数 列 , 且 公 比 为 q k .
求 公 比 q及 通 项 公 式 .q13,an 1213n1.
ppt课和的性质.
作业: 课本练习
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2当q1时,
Sn
a1 1qn 1q
,Sm
a1
1qm 1q
,
S n S m a 1q 1 m q q n q m a 1 1 1 q q n m q m S n m .
此 时 ,S m S m q m S n m 也 成 立 .
高一数学上 第三章 数列：§3.5.1等比数列前n项和
将上面两式相减,即(1)-(2)得:
(1q)Sna1a1qn.
接下来对q进行分类讨论
1当q1时, S n a 1 a 1 a 1 n a 1 ;
2当q1时, Sn
a1 1qn 1q
a1anq. 1q
Sn
naa11(1, qn 1q
q=1 ),
q 1
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另外: 当q 1时,
Sn
1 q
综上:
S
1 qn 1 q
,q
1
1, q 1
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课后小结:
本节课重点掌握等比数列的前n项和公式:
Sna111qqn
a1anq(q1) 1q
及推导方法:错位相减法
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课后作业: 习题3.5 1,3,6,7
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a1 a1q n 1 q
= a1 a1 q n A A q n , 1 q 1 q
其 中 A a1 . 1 q
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例题讲解:
例1:求等比数列 1 , 1 , 1 , 的前8项和. 248
解:由题知:a112,q12,
S8
121
1 28
1 1
1
1 256
255. 256
2
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一:求和公式:
G . P a n 的 首 项 为 a 1 ,公 比 为 q ,前 n 项 和 S n .
则 Sna 1a2 an.
又 an a1qn1,
S n a 1 a 1 q a 1 q 2 a 1 q n 1 . ( 1 )
在(1)式的两边同时乘以q得:
q S n a 1 q a 1 q 2 a 1 q n 1 a 1 q n . ( 2 )
等比数列的前n项和数列总结
等比数列的前n 项和 一、等比数列的前n 项和公式 1．乘法运算公式法∵S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1)＝a 1·1－q 1＋q ＋q 2＋…＋q n －11－q ＝a 11－q n1－q， ∴S n ＝a 11－q n1－q. 2．方程法 ∵S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －2)＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －1－a 1q n －1)＝a 1＋q (S n －a 1q n －1)，∴(1－q )S n ＝a 1－a 1q n .∴S n ＝a 11－q n1－q. 3．等比性质法∵{a n }是等比数列，∴a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝…＝a n a n －1＝q . ∴a 2＋a 3＋…＋a n a 1＋a 2＋…＋a n －1＝q ， 即S n －a 1S n －a n ＝q 于是S n ＝a 1－a n q 1－q ＝a 11－q n1－q. 二、等比数列前n 项和公式的理解(1)在等比数列的通项公式及前n 项和公式中共有a 1，a n ，n ，q ，S n 五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量．(2)当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 11－q n 1－q ，它可以变形为S n ＝－a 11－q ·q n ＋a 11－q ，设A ＝a 11－q，上式可写成S n ＝－Aq n ＋A .由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)．等比数列前n 项和性质（1）在等比数列{a n }中，连续相同项数和也成等比数列，即：S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…仍成等比数列．（2）当n 为偶数时，偶数项之和与奇数项之和的比等于等比数列的公比，即S 偶S 奇＝q . （3）若一个非常数列{a n }的前n 项和S n ＝－Aq n ＋A (A ≠0，q ≠0，n ∈N *)，则数列{a n }为等比数列，即S n ＝－Aq n ＋A ⇔数列{a n }为等比数列．题型一 等比数列前n 项和公式的基本运算（在等比数列{a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，a 1与q 是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a 1和q 表示a n 与S n ，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用；在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．）1、在等比数列{a n}中，(1)若S n＝189，q＝2，a n＝96，求a1和n；(2)若q＝2，S4＝1，求S8.2、设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q.题型二等比数列前n项和性质的应用3、一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项和为170，求出数列的公比和项数．4、等比数列{a n}中，若S2＝7，S6＝91，求S4.题型三等比数列前n项和的实际应用5、借贷10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051)[规范解答] 方法一设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款a n元(1≤n≤6)，则a0＝10 000，a1＝1.01a0－a，a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，……a6＝1.01a5－a＝……＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a.由题意，可知a6＝0，即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，a＝1.016×1021.016－1.因为1.016＝1.061，所以a＝1.061×1021.061－1≈1 739.故每月应支付1 739元．方法二一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝a[1＋0.016－1]1.01－1＝a[1.016－1]×102(元)．由S1＝S2，得a＝1.016×1021.016－1. 以下解法同法一，得a≈1 739.故每月应支付1 739元．方法技巧错位相减法求数列的和若数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n}，当求该数列的前n项的和时，常常采用将{a n b n}的各项乘以公比q，并向后错位一项与{a n b n}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．6、已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .数列归纳整合一、数列的概念及表示方法(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数．(2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法．(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列．(4)a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2. 等差数列 等比数列性质 ①设{a n }是等差数列，若s ＋t ＝m ＋n ，则a s＋a t ＝a m ＋a n ；②从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列；③等差数列中连续m 项的和组成的新数列是等差数列，即：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…是等差数列 ①设{a n }是等比数列，若s ＋t ＝m ＋n ，则a s ·a t ＝a m ·a n ； ②从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列； ③等比数列中连续m 项的和组成的新数列是等比数列，即：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…是等比数列(注意：当q ＝－1且m 为偶数时，不是等比数列)函数特性 ①等差数列{an}的通项公式是n 的一次函数，即an ＝an ＋b(a≠0，a ＝d ，b ＝a1－d)； ②等差数列{an}的前n 项和公式是一个不含常数项的n 的二次函数，即Sn ＝an2＋bn(d≠0) ①等比数列{an}的通项公式是n 的指数型函数，即an ＝c·qn ，其中c≠0，c ＝a1q ； ②等比数列{an}的前n 项和公式是一个关于n 的指数型函数，即Sn ＝aqn －a(a≠0，q≠0，q≠1)三、等差数列、等比数列的判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＋1a n＝q (q 为常数，q ≠0)⇔{a n }是等比数列． (2)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }是等差数列；a n ＋12＝a n ·a n ＋2(a n ≠0)⇔{a n }是等比数列．(3)通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＝c ·q n (c ，q 为非零常数)⇔{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；S n ＝aq n －a (a ，q 为常数，且a ≠0，q ≠0，q ≠1，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．专题一 数列通项公式的求法数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有解析式便可研究函数的性质，而有了数列的通项公式，便可求出数列中的任何一项及前n 项和．常见的数列通项公式的求法有以下几种：(1)观察归纳法求数列的通项公式就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与序号n 的内在联系，结合常见数列的通项公式，归纳出所求数列的通项公式．(2)利用公式法求数列的通项公式数列符合等差数列或等比数列的定义，求通项时，只需求出a 1与d 或a 1与q ，再代入公式a n ＝a 1＋(n －1)d 或a n ＝a 1q n －1中即可．(3)利用a n 与S n 的关系求数列的通项公式如果给出的条件是a n 与S n 的关系式，可利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2，先求出a 1＝S 1，再通过计算求出a n (n ≥2)的关系式，检验当n ＝1时，a 1是否满足该式，若不满足该式，则a n 要分段表示．(4)利用累加法、累乘法求数列的通项公式形如：已知a 1，且a n ＋1－a n ＝f (n )(f (n )是可求和数列)的形式均可用累加法；形如：已知a 1，且a n ＋1a n＝f (n )(f (n )是可求积数列)的形式均可用累乘法． (5)构造法(利用数列的递推公式研究数列的通项公式)若由已知条件直接求a n 较难，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差数列或等比数列，从而求出通项公式．1、已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋3n ＋2且a 1＝2，求a n .2、数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1n ＋2a n (n ∈N *)，求通项公式a n . 3、已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)，a 1＝1，求通项公式．4、设S n 为数列{a n }的前n 项的和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式． 专题二 数列求和求数列的前n 项和S n 通常要掌握以下方法：1、公式法：直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意对等比数列q ≠1的讨论．2、错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．3、分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列再求和．4、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．5、倒序相加法：把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广)．1、求数列214，418，6116，…，2n ＋12n ＋1的前n 项和S n . 2、在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项的和． 3、求和S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n .专题三 数列的交汇问题数列是高中代数的重点内容之一，也是高考的必考内容及重点考查的范围，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、方程、不等式等其他知识交汇进行命题．1、已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且 a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m 的取值范围． 2、数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n 2·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1<c n .。
等比数列的前n项和公式 学案(含答案)
第四章 数列4.3.2 等比数列的前n 项和公式学案一、学习目标1. 理解等比数列的前n 项和公式的推导方法；2. 掌握等比数列的前n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题. 二、基础梳理1.等比数列的前n 项和公式：当1q ≠时， ()11(1)1n n a q S q q-=≠-或1(1)1n n a a qS q q-=≠-. 2.等比数列的前n 项和的性质（1）当q =1时，n m s m s n =，当1q ≠±时，11nn mm s q s q-=-. （2）m n n m m n n m s s q s s q s +=+=+.（3）设s 偶与s 奇分别是偶数项的和与奇数项的和，若项数为2n ，则s q s =偶奇，若项数为2n +1，则1s a q s -=奇偶.（4）当1q ≠-时，连续m 项的和（232m m m m m s s s s s --⋅⋅⋅，，，）仍成等比数列，公比为2m q m ≥，，注意：连续m 项的和必须非零才能成立. 三、巩固练习1.已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，正项等比数列{}n b 满足1134,1b a b a ==+，则使61n b S +≥成立的n 的最大值为( ) A.5B.6C.7D.82.已知数列{}n a 为等比数列，11a =，2q =，且第m 项至第()n m n <项的和为112，则m n +的值为( ) A.11B.12C.13D.143.记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知{}n a 和{}n S k - (k 为常数)均为等比数列,则k 的值可能为( )A.1aB.2aC.3aD.13a a +4.5个数依次组成等比数列,且公比为2-,则其中奇数项和与偶数项和的比值为( ) A.2120-B.2-C.2110-D.215-5.已知n S 是等比数列{}n a 的前 n 项和,若存在*m ∈N ,满足22519,1m m mm S a m S a m +==-,则数列{}n a 的公比为( ) A.2-B.2C.3-D.36.已知等比数列{}n a 的公比2q =,前100项的和10090S =,则246100a a a a ++++=( )A.15B.30C.45D.607.（多选）已知等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，且满足11a >，9910010a a ->，99100101a a -<-，则以下结论正确的是( ) A.01q << B.9910110a a -<C.100T 的值是n T 中最大的D.使1n T >成立的最大正整数数n 的值为1988. （多选）设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件11a >，201920201a a ⋅>，20192020101a a -<-，则下列结论中正确的是( ) A.20192020S S <B.2019202110S S ⋅-<C.2019T 是数列{}n T 中的最大值D.数列{}n T 无最大值答案以及解析1.答案：D解析：设等比数列{}n b 的公比为q ， 由题意可知当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-； 当1n =时，112a S ==，2,1,21,2,n n a n n =⎧∴=⎨-≥⎩213412,18b b a b q ∴==+==. 0n b >，2,2n n q b ∴=∴=，66264b ∴==，2651n ∴≥+，8n ∴≤，∴n 的最大值为8，故选D.2.答案：B解析：由已知，得()()11121121121212n m -⨯-⨯--=--，即()11422127m n m --+⋅-=⨯，则14122217m n m --+⎧=⎨-=⎩，解得57m n =⎧⎨=⎩，所以12m n +=，故选B. 3.答案：C解析：若公比1q =,则{}1,n n S k na k S k -=--不可能为等比数列,因此1q ≠,此时1111111n nn a q a q S k a k k q q q ⎛⎫---=-=+- ⎪---⎝⎭,只需101a k q -=-即可.A 选项,{}1n S a -的首项为0,不满足题意；B 选项, 1211011a a a q q q ⎛⎫-=-=⎪--⎝⎭,即211300124q q q ⎛⎫-=⇒-+= ⎪-⎝⎭不成立；C 选项,21311011a a a q q q ⎛⎫-=-= ⎪--⎝⎭,即23210101q q q q -=⇒-+=-,该方程必然有解,成立；D 选项,()2113111011a a a a q q q ⎛⎫-+=--= ⎪--⎝⎭,即()221101001q q q q q q--=⇒-+=⇒=-,不成立. 4.答案：C解析：由题意可设这5个数分别为,2,4,8,16a a a a a --,其中0a ≠,故奇数项和与偶数项和的比值为416212810a a a a a ++=---,故选C.5.答案：B解析：设数列{}n a 的公比为 q ,若1q =,则22mmS S =,与题中条件矛盾,故1q ≠.()()21211119,811m m mm m m a q S q q q S a q q--==+=∴=--.2132111518,3,8,21m m m m m a a q m q m q q a a q m --+====∴=∴=∴=-. 6.答案：D 解析：1001210090S a a a =+++=,设1399S a a a =+++,则241002S a a a =+++,100290,30S S S S ∴+==∴=,故24100260a a a S +++==.故选D.7.答案：ABD解析：9910010a a ->，991001a a ∴>，0q ∴>.99100101a a -<-，()()99100110a a ∴--<，又11a >，01q ∴<<.故A 正确.由A 选项的分析可知991a >，10001a <<，2991011001a a a ∴=<，9910110a a ∴-<，1009910099T T a T =<，故B 正确，C 不正确.()()()()99198121981198219799100991001T a a a a a a a a a a a ===>，()()()1991991219819911992198991011001001T a a a a a a a a a a a a ===<，∴使1n T >成立的最大正整数数n 的值为198，故D 正确. 8.答案：AC解析：由题意，得20191a >，202001a <<，所以01q <<，等比数列{}n a 是各项都为正数的递减数列，即122019202010a a a a >>>>>>>.因为2020201920200S S a -=>，所以20192020S S <，故A 正确；因为20191220191S a a a =+++>，所以()()22201920212019201920202021201920192020202120191S S S S a a S S a a S ⋅=⋅++=+⋅+>>，即2019202110S S ⋅->，故B 错误；根据122019202010a a a a >>>>>>>，可知2019T 是数列{}n T 中的最大项，故C 正确，D 错误.故选AC.。
等比数列的前n项和公式经典教案
等比数列的前n项和公式【学习目标】1．掌握等比数列的前n项和公式及推导公式的思想方法和过程，能够熟练应用等比数列的前n项和公式解决相关问题，提高应用求解能力.2．通过对等比数列的前n项和公式的推导与应用，使学生掌握错位相减法、方程思想、划归思想等数学思想和方法.3．激情参与，惜时高效，感受数学思维的严谨性.1.“我1.2.Ⅱ.1.2.3.等比通项公式a=n1．设A．C2AC．－31D．331、答案 D解析由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，∴q＝－2，则＝＝－11.【我的疑惑】知识要点归纳：1．等比数列前n项和公式：(1)公式：S n＝=(q≠1).(q＝1).(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．2．若{a n}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和S n＝(1－q n)＝A(q n－1)．其中A＝.3．推导等比数列前n项和的方法叫法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．4．等比数列{a n}的前n项和为S n，当公比q≠1时，S n＝＝；当q＝1时，S n＝.5．等比数列前n项和的性质：(1)连续m项的和(如S m、S2m－S m、S3m－S2m)，仍构成数列．(注意：q≠－1或m为奇数)(2)S m＋n＝S m＋q m S n(q为数列{a n}的公比)．二、典型范例Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究探究点等比数列的前n项和公式问题1：怎么求等比数列{}n a的前n项和n S？写出公式的推导过程。
S n问题2当＝故当（1）（2（3）由(4)是数列求和的一种重要方法。
问题探究一错位相减法求和问题教材中推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．这种求和方法是我们应该掌握的重要方法之一，这种方法的适用范围可以拓展到一个等差数列{a n}与一个等比数列{b n}对应项之积构成的新数列求和．下面是利用错位相减法求数列{}前n项和的步骤和过程，请你补充完整．设S n＝＋＋＋…＋，∴S n＝，∴S n－S n＝，即S n＝＝∴S n＝＝2－.例1 在等比数列{a n }中，S 3＝，S 6＝，求a n . 解 由已知S 6≠2S 3，则q ≠1，又S 3＝，S 6＝， 即①,a 1(1－q 6)1－q ＝632.②))②÷①得1＋q 3＝9，∴q ＝2.可求得a 1＝，因此a n ＝a 1q n －1＝2n －2.问题探究二 等比数列前n 项和S n 与函数的关系问题 当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1，是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)．当q ＝1时，数列S 1，S 2，S 3，…，S n ，…的图象是正比例函数y ＝a 1x 图象上一些孤立的点．A ＝，的一个指问题1 证明 ＝S m ＋(a ＝S m ＋q m S ∴S m ＋n ＝S m 1A ．48 C ．50 2A ．C ．3．设S n A ．11 C ．－4．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则等于( )A ．2B ．4 C.D.5．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于 ( )A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n )C.(1－4－n )D.(1－2－n )6．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A. B. C.D.二、填空题7．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{a n}的公比为________．8．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.9．若等比数列{a n}中，a1＝1，a n＝－512，前n项和为S n＝－341，则n的值是________．三、解答题10．设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求a n和S n.11．在等比数列{a n}中，已知S n＝48，S2n＝60，求S3n.12.已知等比数列{a n}中，a1＝2，a3＋2是a2和a4的等差中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记13(1)(2)1A．332A．1.1C．103．已知{aA.和5C.4．程和是A．C．5．数列{a n n1n＋1n6A．3×44B．3×44＋1C．45D．45＋16．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还()A.万元B.万元C.万元D.万元二、填空题7．等比数列{a n}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.8．等比数列{a n}中，前n项和为S n，S3＝2，S6＝6，则a10＋a11＋a12＝________.9．某工厂月生产总值的平均增长率为q，则该工厂的年平均增长率为________．三、解答题10．在等比数列{a n}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，求S20的值．11．利用等比数列前n项和公式证明a n＋a n－1b＋a n－2b2＋…＋b n＝，其中n∈N*a，b是不为0的常数，且a≠b.12.已知{a n}是以a为首项，q为公比的等比数列，S n为它的前n项和．(1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；(2)当S m，S n，S l成等差数列时，求证：对任意自然数k，a m＋k，a n＋k，a l＋k也成等差数列．四、探究与拓展1312≈1.1)过关测试1．D7.8.310．解当a1S n当a1S n11．6312．(1)a n(2)S n13．(1)a课后练习。
9、等比数列前n项和公式(1)
例2：求和
1 1 1 2 n （x ) ( x 2 ) ( x n ) y y y ( x 0, x 1, y 1)。
分组求和法。
注意：在q≠0的前提条件下：
对含字母的题目一 般要分别讨论： q=1和q≠1两种情况。
若an 是等比数列,
且m n p q (m, n, p, q N )
则有am an a p aq
预备知识：
Sn = a1 + a2 +…+an Sn – Sn-1 (n 》2)
Sn-1=a1+a2+…+an-1(n 》2) an=
处理上节课重要习题：
a≠c,三数a, 1, c成等差数列，
ac 1 2 2 3 a c
问题：如何来求麦子的总量？
即求：1，2，22，··，263的和； ·· ··
令：S64=1+2+22+······+262+263 得: 2S64= 2+22+23+······ +263+264
，
错位相减得： S64= 264 – 1 > 1.8 ×1019
= a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an )
a1 ( 1 – q n )
1–q
Sn =
(q 1)
递推公式：
因式分解： Sn= a1+a1q +a1q2 +…+a1qn-2 + a1qn-1
= a1（1+q +q2 +…+qn-2 + qn-1）
高一数学上册 第三章 数列：§3.5.2等比数列前n项和优秀课件
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课后小结: 熟练掌握并灵活运用等比数列前n项 和的性质.
作业:
课本练习
此时,Sn
Sm
S
成立
nm
2当q 1时,
Sn
a1
1 qn 1 q
, Sm
a1
1 qm 1 q
,
Sn Sm a1
qm qn 1 q
qma1 1 qnm 1 q
qm Snm.
此时, Sm Sm qm Snm也成立.
推导过程:
1当q 1时, Sn na1,
Sk ka1, S2k Sk ka1, S3k S2k ka1,
2当q 1时,
由性质1:Sn Sm qmSnm , S2k Sk qk Sk , S3k S2k qk Sk ,
例题讲解:
例1:已知一个项数时偶数的等比数列的首 项为1,其奇数项的和为85,偶数项的和为 170,求这个数列的公比和项数.
解: 设此数列的公比为q,项数为2n.
则q= S偶 170 2.
又
S奇 85
S奇
a1
1 q2n 1 q2
85,即11qq22n 85.
2n 8,即此数列共有8项.
例2:已知等比数列an,a1+a2 +a3+a4 =4,
a9 +a10 +a11+a12 =16,求a17 +a18 +a19 +a20的值.
解 : 设等比数列an为q, a9 +a10 +a11+a12 a1+a2 +a3+a4 q8,
等比数列的前n项和的公式
等比数列的前n项和的公式等比数列是指一个数列中任意两项的比相等的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an。
求等比数列的前n项和，可以使用以下两种方法。
方法一：求和公式Sn=a*(1-r^n)/(1-r)其中，Sn表示前n项和，a表示首项，r表示公比。
证明：首先，排除r=1的特殊情况，当公比为1时，等比数列就变成公差为0的等差数列，求和公式为Sn=n*a。
当r不等于1时，我们可以通过以下方法推导求和公式：1. 首先，将等比数列的前n项表示为：a，ar，ar^2，...，ar^(n-1)。
2. 求和公式为Sn = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1)。
3. 将公式的各项乘以公比r得到：ar，ar^2，ar^3，...，ar^n。
4. 两个公式相减得到：Sn - rSn = a - ar^n。
5.整理得到：Sn*(1-r)=a*(1-r^n)。
6.由此，得到求和公式：Sn=a*(1-r^n)/(1-r)。
这就是等比数列的前n项和公式。
方法二：逐项相加除了使用求和公式，我们还可以通过逐项相加求等比数列的前n项和。
逐项相加的过程如下：S1=aS2 = a + ar = a(1+r)S3 = a + ar + ar^2 = a(1+r+r^2)...Sn = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1) = a(1+r+r^2+...+r^(n-1))综上所述，等比数列的前n项和公式为：Sn=a*(1-r^n)/(1-r)(r不等于1)Sn=n*a(r等于1)以上是两种方法求解等比数列前n项和的公式，可以根据具体情况选择适用的方法进行计算。
高一数学等比数列的前n项和
问题：等比数列｛an｝，如果已知a1 , q , n 怎样表示Sn?
解：Sn = a1 + a2 + ···+ an = a1 + a1q + a1q2 + ···+ a1 qn-1 = a1 ( 1 + q + q2 + ···+ qn-1 )
错项相减法：
Sn = a1 + a1q + a1q2 + ···+ a1 qn-1 相减
, an =
1 2
, 则Sn=
31 2
（4）等比数列 {an} 中，a1 = 2 ，S3=26 , 则 q =
-4或3
例 、在等比数列an 中， 1 (1)已知a1 4, q 1 2 , 求S10
(2)已知a1 1, ak 243, q 3, 求S k
例2、在等比数列an 中， （ ）a3 10, a6 80, 求an 1 (2) S3 7 2 , S6 63 2 , 求an
an - am = ( n – m ) d
①归纳猜想验证法 ②首尾相咬累加法 若 m+n=r+s , m、n、r、s∈N* 则 am + an = ar + as （ a1 + an ）n Sn = 2 = na1 + n(n – 1) d 2 化零为整法
⑵推导 方法
性质
前n项 和Sn
⑴公式 ⑵推导 方法
a1( 1 – qn ) a1 - an q = 当q≠1时 Sn = 1-q 1-q 当q＝1时 Sn = n a1
an - am = ( n – m ) d
①归纳猜想验证法 ②首尾相咬累加法 若 m+n=r+s , m、n、r、s∈N* 则 am + an = ar + as （ a1 + an ）n Sn = 2 = na1 + n(n – 1) d 2 化零为整法
高一数学教案：第三章“数列”教材分析
第三章“数列”教材分析本章是数列，特别是等差数列与等比数列，有着较为广泛的实际应用如各种产品尺寸常要分成若干等级，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级，比如鞋的尺码；当其中的最大尺寸与最小尺寸相差较大时(这种情况是多数)，常按等比数列进行分级，比如汽车的载重量、包装箱的重量等特别值得一提的是，数列在产品尺寸标准化方面有着重要作用数列在整个中学数学教学内容中，处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切联系，过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用，而学习数列又为后面学习数列与函数的极限等内容作了铺垫课本采取将代数、几何打通的混编体系的主要目的是强化数学知识的内在联系，而数列正是在将各知识沟通方面发挥了重要作用由于不少关于恒等变形、解方程(组)以及一些带有综合性的数学问题都与等差数列、等比数列有关，学习这一章便于对学生进行综合训练，从而有助于培养学生综合运用知识解决问题的能力本章教学约需17课时，具体分配如下：3.1 数列约2课时3.2 等差数列约2课时3.3 等差数列前n项和约2课时3.4 等比数列约2课时3.5 等比数列前n项和约2课时研究性课题：分期付款中的有关计算约3课时小结与复习约4课时一、内容与要求本章从内容上看，可以分为数列、等差数列、等比数列三个部分在数列这一部分，主要介绍数列的概念、分类，以及给出数列的两种方法关于数列的概念，先给出了一个描述性定义，尔后又在此基础上，给出了一个在映射、函数观点下的定义，指出：“从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值”这样就可以将数列与函数联系起来，不仅可以加深对数列概念的理解，而且有助于运用函数的观点去研究数列关于给出数列的两种方法，其中数列的通项公式，教材已明确指出它就是相应函数的解析式点破了这一点，数列与函数的内在联系揭示得就更加清楚此外，正如并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)，因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展递推是数学里的一个非常重要的概念和方法，数学归纳法证明问题的基本思想实际上也是“递推”在数列的研究中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出的，而且它也是获得一个数列的通项公式的途径：先得出较为容易写出的数列的递推公式，然后再根据它推得通项公式例如研究用递推公式给出的数列的性质，从数列的递推公式推导通项公式等，这样就会加重学生负担考虑到学生是在高一学习，我们必须牢牢把握教学要求，只要能初步体会一下用递推方法给出数列的思想，能根据递推公式写出一个数列的前几项就行了在等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线)在推导等差数列前n 项和的公式时，突出了数列的一个重要的对称性质：与任一项前后等距离的两项的平均数都与该项相等，认识这一点对解决问题会带来一些方便在等比数列这一部分，在讲等比数列的概念和通项公式时也突出了它与指数函数的联系这不仅可加深对等比数列的认识，而且可以对处理某类问题的指数函数方法和等比数列方法进行比较，从而有利于对这些方法的掌握二、本章的特点(一)在启发学生思维上下功夫本章内容，是培养学生观察问题、启发学生思考问题的好素材，使学生在获得知识的基础上，观察和思维能力得到提高在问题的提出和概念的引入方面，为了引起学生的兴趣，在本章的“前言”里用了一个有关国际象棋棋盘的古代传说作为引入的例子n 项和的麦粒数的计算问题给学生造成了一个不学本章知识、难获问题答案的悬念，又在学了等比数列后回过头来解开这个悬念；在讲等差数列与等比数列的概念时，都是先写出几个数列，让学生先观察它们的共同特点，然后在归纳共同特点的基础上给出相应的定义在推导结论时，注意发挥它们在启发学生思维方面的作用例如在讲等差数列前n 项和的公式时，没有平铺直叙地推导公式，而是先提出问题：1+2+3+...+100 = ?，并指出著名数学家高斯10岁时便很快算出它的结果，以激发学生的求解热情，然后让学生在观察高斯算法的基础上，发现上述数列的一个对称性质：任意第k 项与倒数第k 项的和均等于首末两项的和，从而为顺利地推导求和公式铺平了道路在例题、习题的表述方面，适当配备了一些采用疑问形式的题，以增加问题的启发成分如3.3 例4：“已知数列的通项公式为n a =pn 十q ，其中p 、q 是常数，那么这种数列是否一定是等差数列? 如果是，其首项与公差是什么?” 又如:“如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，那么这个数列有什么特点？”这样就增加了题目的研究性在讲有些例题时，加了一小段“分析”，通过不多的几句话点明解题的思路如对于上面提到的“3.3 例4”，加的一段“分析”是：“由等差数列定义，要判定 {n a }是不是等差数列，只要看 n n a a -+1是不是一个与n 无关的常数就行了” “从定义出发”这种最基本的证明方法(二)加强了知识的应用除了上面提到的“研究性课题”多具有应用性的特点以外还在教材中适当增加了一些应用问题如在“阅读材料”里介绍了有关储蓄的一些计算；在所增加的应用问题里还涉及房屋拆建规划、绕在圆盘上的线的长度等(三)呼应前面的逻辑知识，加强了推理论证的训练考虑到《新大纲》更加重视对学生逻辑思维能力的培养，且在前面第一章已介绍了“简易逻辑”，为进行推理论证作了准备，紧接着又在第二章“函数”里进行了一定的推理论证训练，因此本草在推理论证方面有所加强(四)注意渗透一些重要的数学思想方法由于本章处在知识交汇点的地位，所蕴含的数学思想方法较为丰富，教材在这方面也力求充分挖掘教材注意从函数的观点去看数列，在这种整体的、动态的观点之下使数列的一些性质显现得更加清楚，某些问题也能得到更好的解决，例如“复习参考题B 组第2题”便是一个典型例子方程或方程组的思想也是体现得较为充分的，不少的例、习题均属这种模式：已知数列满足某某条件，求这个数列这类问题一般都要通过列出方程或方程组．然后求解关于递推的思想方法，不仅在数列的递推公式里有所体现观察、归纳、猜想、证明等思想方法的组合运用在本章里得到了充分展示．为学生了解它们各自的作用、相互间的关系并进行初步运用提供了条件三、教学中应注意的几个问题(一)把握好本章的教学要求由于本章联系的知识面广，具有知识交汇点的特点，在应试教育的“一步到位”的教育思想的影响下，本章的教学要求很容易拔高，过早地进行针对“高考”的综合性训练，从而影响了基本内容的学习和加重了学生负担事实上，学习是一个不断深化的过程作为在高一(上)学习的这一章，应致力于打好基础并进行初步的综合训练，在后续的学习中通过对本章内容的不断应用来获得巩固和提高最后在高三数学总复习时，通过知识的系统梳理和进一步的综合训练使对本章内容的掌握上升到一个新的档次一些容易膨胀的地方例如在学习数列的递推公式时，不要去搞涉及递推公式变形的论证、计算问题，只要会根据递推公式求出数列的前几项就行了；在研究数列求和问题时，不要涉及过多的技巧.(二)有意识地复习和深化初中所学内容对于初中学过的多数知识．在高中没有系统深入学习的机会中数学的必要基础，因而在学习高中内容时有意识地复习、深化初中内容显得特别重要本章是高中数学的第三章，距离初中数学较近，与初中数学的联系最广，因而教学中应在沟通初、高中数学方面尽可能多地作一些努力(三)适当加强本章内容与函数的联系适当加强这种联系，不仅有利于知识的融汇贯通，加深对数列的理解，运用函数的观点和方法解决有关数列的问题，而且反过来可使学生对函数的认识深化一步比如，学生在此之前接触的函数一般是自变量连续变化的函数，而到本章接触到数列这种自变量离散变化的函数之后，就能进一步理解函数的一般定义，防止了前面内容安排可能产生的学生认识上的负迁移；本章内容与函数的联系涉及以下几个方面1．数列概念与函数概念的联系相应于数列的函数是一种定义域为正整数集(或它的前n个数组成的有限子集)的函数，它是一种自变量“等距离”地离散取值的函数从这个意义上看，它丰富了学生所接触的函数概念的范围但数列与函数并不能划等号，数列是相应函数的一系列函数值基于以上联系，数列也可用图象表示，从而可利用图象的直观性来研究数列的性质数列的通项公式实际上是相应因数的解析表达式而数列的递推公式也是表示相应函数的一种方式，因为只要给定一个自变量的值n，就可以通过递推公式确定相应的f(n)个函数并不一定存在直接表示因变量与自变量关系的解析式2．等差数列与一次函数、二次函数的联系是关于项数从等差数列的通项公式可以知道，公差不为零的等差数列的每一项ann的一次函数式于是可以利用一次函数的性质来认识等差数列是一条直线和直线由两个点唯一确定的性质，就容易理解为什么两项可以确定一个等差数列a、公差为d的等差数列前n项和的公式可以写为：此外，首项为1d n n na S n 2)1(1-+= 即当0≠d 时，n S 是n 的二次函数式，于是可以运用二次函数的观点和方法来认识求等差数列前n 项和的问题如可以根据二次函数的图象了解n S 的增减变化、极值等情况3．等比数列与指数型函数的联系由于首项为1a 、公比为q 的等比数列的通项公式可以写成 qq a S n n --=1)1(1 )1(≠q 它与指数函数y=x a 有着密切联系，从而可利用指数函数的性质来研究等比数列(四)注意等差数列与等比数列的对比，突出两类数列的基本特征等差数列与等比数列在内容上是完全平行的，包括：定义、性质(等差还是等比)、通项公式、前n 项和的公式、两个数的等差(等比)中项具体问题里成等差(等比)数列的三个数的设法等因此在教学与复习时可采用对比方法，以便于弄清它们之间的联系与区别顺便指出，一个数列既是等差数列又是等比数列的充要条件是它是非零的常数列教学中应强调，等差数列的基本性质是“等差”，等比数列的基本性质是“等比”，这是我们研究有关两类数列的主要出发点，是判断、证明一个数列是否为等差 (等比)数列和解决其他问题的一种基本方法要让学生注意，这里的“等差”(“等比”)，是对任意相邻两项来说的上述基本性质，引申出两类数列的一种对称性：即与数列中的任一项“等距离”的两项之和(之积)等于该项的2倍(平方).利用上述性质，常使一些问题变得简便对于学有余力的学生，还可指出等差数列与等比数列描述了两种最简单、最重要的变化：等差数列描述的是一种绝对均匀变化，等比数列描述的是一种相对均匀变化非均匀变化通常要转化或近似成均匀变化来进行研究，这就成为教材之所以重点研究等差数列与等比数列的主要原因所在(五)注意培养学生初步综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法的能力综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法研究数学，是一种非常重要的学习能力事实上，在问题探索求解中，常常是先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路；然后用归纳方法进行试探，提出猜想；最后采用证明方法(或举反例)来检验所提出的猜想应该指出，能够充分进行上述研究方法训练的素材在高中数学里并非很多，而在本章里却多次提供了这种训练机会，因而在教学中应该充分利用，不要轻易放过(六)在符号使用上与国家标准一致为便于与国际交流，关于量和单位的新国家标准中规定自然数集N ＝{0， l ，2．3，……}，即自然数从O 开始这与长期以来的习惯用法不同，会使我们感到别扭不与上述规定抵触，教学中还是要将过去的习惯用法改变过来，称数集{1，2，3，…}为正整数集.。
等比数列前n项和公式怎么求
等比数列前n项和公式怎么求等比数列是高中数学重点知识之一，那么等比数列前n项和公式怎么求呢?下面是由小编为大家整理的“等比数列前n项和公式怎么求”，仅供参考，欢迎大家阅读。
等比数列前n项和公式怎么求等比数列前n项和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
推导如下：因为an=a1q^(n-1)所以Sn=a1+a1*q^1+...+a1*q^(n-1)(1)qSn=a1*q^1+a1q^2+...+a1*q^n(2)(1)-(2)注意(1)式的第一项不变。
把(1)式的第二项减去(2)式的第一项。
把(1)式的第三项减去(2)式的第二项。
以此类推,把(1)式的第n项减去(2)式的第n-1项。
(2)式的第n项不变,这叫错位相减,其目的就是消去这此公共项。
于是得到(1-q)Sn=a1(1-q^n)即Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
拓展阅读：等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：=q(n≥2，q为非零常数).(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G=±。
2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an=a1qn-1;通项公式的推广：an=amqn-m.(2)等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1;当q≠1时，Sn==。
3.等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.(1)若k+l=m+n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al=am·an。
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak+m，ak+2m，…仍是等比数列，公比为qm。
(3)当q≠-1，或q=-1且n为奇数时，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…仍成等比数列，其公比为qn。
高一数学人必修课件等比数列的前n项和
等比数列与等差数列在概念和性质上有本质区别，需要仔 细区分。例如，等差数列中相邻两项之差为常数，而等比 数列中相邻两项之比为常数。
忽视题目中的限制条件
在求解等比数列前n项和时，需要注意题目中的限制条件 ，如首项、公比、项数等。忽略这些条件可能导致错误的 解答。
拓展延伸
等差数列前n项和
求等比数列1, -1, 1, -1, 1的前5项和。
合并求和法在求解前n项和中应用举例
对第一组进行合并
1 - 1 = 0。
对第二组进行合并
1 - 1 + 1 = 1。
将两组的结果相加
0 + 1 = 1。
优缺点比较及适用场景分析
01
优点
02
通过分组和合并操作，可以简化等比数列前n项和的求解过程。
对于一些具有特殊公比的等比数列，可以快速得出前n项和的结
求等比数列1, 3, 9, 27, ... 的前n 项和。
04
解
按照等比数列的通项公式，该数 列的通项为$a_n = 3^{n-1}$。 我们可以将数列按照指数分组， 即$(3^0), (3^1), (3^2), ...$。每 组的和可以方便地求出，分别为 $1, 3, 9, ...$。因此，整个数列的 前n项和为$1 + 3 + 9 + ... + 3^{n-1} = frac{3^n - 1}{2}$。
THANKS
感谢观看
适用范围与局限性讨论
适用范围
分组转化法适用于具有明显分组特征的等比数列前n项和求解 问题。通过分组转化法，可以将复杂的问题转化为简单问题 ，提高求解效率。
局限性
对于不具有明显分组特征的等比数列前n项和求解问题，分组 转化法可能不适用。此外，分组转化法需要一定的数学基础 和思维能力，对于初学者可能有一定的难度。
4.3.2等比数列的前n项和公式课件(人教版)
32
m
Sm 1 q
则
（
. q 1）
n
1
Sn 1 q
∴q .
不要忘记考
2
虑q=1与q≠1
两种情况.
跟踪训练
在等比数列{an}中，设前n项和为Sn，S3= ，S6= ，求公比q .
解 : (1)q 1时, S 6 6a1 , S3 3a1 , 则S 6 2S3 , 不符合题意.
3
课堂小结
获取知识的方法
知识内容
这节课
收获了什么
思想、素
养
课堂小结
，q 1
na1
n
S
a
1
q
a1 an q
➢ 数学知识：等比数列的前n项和公式 n 1
=
，
q 1
1
q
1
q
➢数学方法： 错位相减法
➢数学思想:
转化和化归
➢数学素养:
逻辑推理、数学抽象素养、数学运算、数学
学抽象素养。
2.通过等比数列的前n项和公式
的运用，培养数学运算素养。
3.借助等比数列的前n项和公式
解决简单的实际问题，培养数学
建模素养。
新课导入
数学小故事
相传，古印度的国王打算重赏国际象棋的发明者——宰相西
萨。问他想要什么。于是，这位宰相跪在国王面前说：
2
3
1 2 2 2 2
4
263
思考：
问题1：1,2,2 2 ,23 , ,263 构成什么数列？
1
高中数学《等比数列及其前n项和》共39页
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
ห้องสมุดไป่ตู้
高一数学《等比数列前n项和》(课件)
国际象棋起源于古代印度, 相传国王要奖赏国 际象棋的发明者, 问他想要什么, 发明者说: "请在 棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒, 第2个格子里放 上2颗麦粒, 第3个格子里放上4颗麦粒, 以此类推, 每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦 粒数的2倍, 直到第64个格子, 请给我足够的麦粒以 实现上述要求. "国王觉得这个要求不高, 就欣然同 意了, 假定千粒麦子的质量为40g, 据查, 目前世界 年度小麦产量约6亿t, 根据以上数据 , 判断国王是 否能实现他的诺言.
1 1 【练习】已知数列 {a n }满足a1 , 且a n a n1 n 2 2 (1) 求a 2 , a 3 , a4 ; ( 2) 求数列{a n }的通项a n .
湖南长郡卫星远程学校
制作 05
2011年上学期
《考一本》第17课时
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制 当q 1时，等比数列的前 n项和S n等于多少？
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制作 05
2011年上学期
【例1】求下列等比数列前 8项的和 : 1 1 1 (1) , , 2 4 8 1 ( 2) a1 27, a9 ,q0 243
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制作 05
2011年上学期
【例2】某商场今年销售计算 机 5000台，如果平均 每年的销售量比上一年 的销售量增加 10%，那么 从今年起，大约几年可 以使总销售量达到 30000台？ （结果保留到个位）
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制作 05
2011年上学期
课堂练习
在等比数列 {a n }中， （1）已知a1 1, a4 64, 求q与S 4 3 9 （2）已知a 3 , S 3 , 求a1与q 2 2
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精品课件
推导过程:
1当 q1 时 ,Snna 1,
Skka 1,S2kSkka 1,S3kS2kka 1,
2当q1时,
由性质1:SnSmqmSnm, S2k Sk qkSk, S3k S2k qkSk,
精品课件
例题讲解:
例1:已知一个项数时偶数的等比数列的首 项为1,其奇数项的和为85,偶数项的和为 170,求这个数列的公比和项数. 解 :设 此 数 列 的 公 比 为 q ,项 数 为 2 n .
1 2
,
an
1, 2
S
n
ห้องสมุดไป่ตู้
31. 2
2 . 求 等 比 数 列 1 ,2 ,4 ,从 第 5 项 到 第 1 0 项 的 和 .
S10S4 1008.
精品课件
讲授新课:
等比数列前n项和的性质
1.SnSmqmSnm
推导过程:
1当q1时 ,
Snna1, Smma1, Snm(nm)a1 此时,SnSmSnm成立
等比数列的前n项和(二)
郑州一中
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复习回顾:
等 比 数 列 a n 的 前 n 项 和 公 式
a1 1qn a1anqAAqn (q1)
Sn 1q 1q
,
na1 q1.
精品课件
学生演板:
1.求等比数列an的前n项和Sn
1a1 3,q 3,n 6;
S6 189
2a1
8,
q
精品课件
2当q1时,
Sn
a1 1qn 1q
,Sm
a1
1qm 1q
,
S n S m a 1q 1 m q q n q m a 1 1 1 q q n m q m S n m .
此 时 ,S m S m q m S n m 也 成 立 .
精品课件
2推.若 导G 过.P程a:n有 2n项 ,则 :S S奇 偶q.
则 前 2 1 项 的 和 为 _ _ 6_ 3_ ._ _
3.一 个 等 比 数 列 ,它 的 项 数 为 偶 数 ,全 部 各 项 和
是 偶 数 项 和 的 4倍 ,前 3项 之 积 为 64.
求 公 比 q及 通 项 公 式 .q13,an 1213n1.
精品课件
课后小结: 熟练掌握并灵活运用等比数列前n项 和的性质.
则q= S偶 170 2.
S奇 85
又S奇a111qq22n 85,即11qq22n 85. 2n8,即此数列共有8项 .
精品课件
课堂练习:
1.已 知 等 比 数 列 的 公 比 为 q1 2,且 a1+a3+a5+ +a9960
则 S100___ 9_ 0____.
2 .若 某 等 比 数 列 中 前 7 项 的 和 为 4 8 ,前 1 4 项 的 和 为 6 0 ,
S偶
a2
1q2n 1q2
,
S奇
a1
1q2n 1q2
,
S偶 a2 q. S奇 a1
精品课件
3 . 若 等 比 数 列 a n 的 前 n 和 为 S n ,且 S n 0 .
则 : S k ,S 2 k k ,S 3 k 2 k ,成 等 比 数 列 ,且 公 比 为 q k .