人教版 九年级数学讲义 反比例函数在几何图形中的应用(含解析)

第19讲 反比例函数在几何图形中的应用

知识定位

讲解用时：2分钟

A 、适用范围：人教版初三，基础一般

B 、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们首先复习反比例函数相关的概念、图像以及性质，重点学习反比例函数在几何图形中的应用，能够结合不同的几何图形应用反比例函数知识进行问题转化，这也是本节课的重点和难点，希望学生能够熟练掌握分析过程，并进行求解。

知识梳理

讲解用时：25分钟

反比例函数的定义

1. 定义：一般地，形如x k

y =（k 为常数，0≠k ）的函数称为反比例函数，x k y =

还可以写成1-=kx y 2. 反比例函数解析式的特征： （1）等号左边是函数y ，等号右边是一个分式，分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1； （2）比例系数k≠0； （3）一般情况下，自变量x 的取值为一切非零实数； （4）一般情况下，函数y 的取值是一切非零实数

（1）图像的画法：描点法

① 列表：应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反

的数

② 描点：由小到大的顺序

③ 连线：从左到右光滑的曲线

（2）反比例函数的图像是双曲线，x k y =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交 （3）反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是： 如图，设点P （a ，b ）是双曲线x k y =上任意一点，作PA⊥x 轴于A 点，则⊥PAO 的面积是||21k ；由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点Q 也在双曲线上，作QC⊥PA 的延长线于C ，则⊥PQC 的面积为k 2。

课堂精讲精练

【例题1】

如果等腰三角形的面积为10，底边长为x ，底边上的高为y ，则y 与x 的函数关系式为（ ）。

A ．y=

B ．y=

C ．y=

D ．y=

【答案】A

【解析】本题考查了根据实际问题抽象出反比例函数解析式，

⊥等腰三角形的面积为10，底边长为x ，底边上的高为y ， ⊥21xy=10，⊥y 与x 的函数关系式为：x

y 20=，故选：C 。 讲解用时：2分钟 解题思路：利用三角形面积公式得出

21xy=10，进而得出答案 教学建议：表示出三角形面积表达式即可。

难度：2 适应场景：当堂例题 例题来源：绥化模拟 年份：2018

【练习1】

已知一菱形的面积为12cm 2，对角线长分别为xcm 和ycm ，则y 与x 的函数关系式为 。 【答案】x

y 24= 【解析】本题考查了根据实际问题抽象出反比例函数解析式，

由题意得：y 与x 的函数关系式为x x y 242=⨯=

菱形面积，故本题答案为：x

y 24=。 讲解用时：2分钟

解题思路：根据菱形面积=对角线的积⨯21，可列出关系式x x y 242=⨯=菱形面积。 教学建议：熟记菱形面积与对角线之间的关系。

难度：2 适应场景：当堂练习 例题来源：邵阳县校级月考 年份：2017秋

【例题2】 如图，是双曲线x y 6=，x

y 2=在第一象限内的图象，直线AB⊥x 轴分别交双曲线于A 、B 两点，则⊥AOB 面积为（ ）。 A ．4 B ．3 C ．2

D ．1 【答案】C

【解析】本题主要考查了反比例函数的性质，

⊥A 在反比例函数线x y 2=

上，⊥⊥OAC 的面积是21×2=1， 同理⊥OBC 的面积是

21×6=3，则⊥AOB 面积为S ⊥OBC ﹣S ⊥OAC =3﹣1=2， 故选：C 。

讲解用时：3分钟

解题思路：根据反比例函数的几何意义，反比例函数x

k y =上一点P ，过p 作y 轴的垂线PC ，则⊥OPC 的面积是2

1|k|，据此即可求解。 教学建议：表示出三角形面积与反比例函数k 之间的关系。

难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：南岗区校级二模 年份：2016

【练习2】 如图，双曲线x

k y =

经过点A （2，2）与点B （4，m ），则⊥AOB 的面积为（ ）。

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 【答案】B

【解析】本题考查了反比例函数性质以及多边形面积公式等知识点， 过A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，如图， ⊥双曲线x

k y =

经过点A （2，2），⊥k=2×2=4， 而点B （4，m ）在x y 4=上，⊥4•m=4，解得m=1， 即B 点坐标为（4，1），

⊥S ⊥AOB =S ⊥AOC +S 梯形ABDC ﹣S ⊥BOD =21OC•AC+21×（AC+BD ）×CD ﹣2

1×OD×BD =21×2×2+21×（2+1）×（4﹣2）﹣2

1×4×1 =3．

故选：B 。

讲解用时：5分钟

解题思路：过A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，把点A （2，2）代入双曲线x k y =确定k 的值，再把点B （4，m ）代入双曲线x

k y =，确定点B 的坐标，根据S ⊥AOB =S ⊥AOC +S 梯形ABDC ﹣S ⊥BOD 和三角形的面积公式与梯形的面积公式进行计算即可。

教学建议：表示出多边形面积与反比例函数k 之间的关系。

难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：牡丹江 年份：2017秋

【例题3】

如图，在直角坐标系中，有菱形OABC ，A 点的坐标是（10，0），双曲线)0(>=x x

k y 经过点C ，且OB•AC=160，则k 的值为（ ）。

A ．40

B ．48

C ．64

D ．80 【答案】 B

【解析】此题考查了反比例函数与菱形的性质、勾股定理以及坐

标与图形性质等知识点，

⊥四边形OABC 是菱形，OB 与AC 为两条对角线，且OB•AC=160， ⊥菱形OABC 的面积为80，即OA•CD=80，

⊥OA=OC=10，⊥CD=8，

在Rt⊥OCD 中，OC=10，CD=8，

根据勾股定理得：OD=6，即C （6，8），则k 的值为48，

故选：B 。

讲解用时：5分钟