群论复习思考题
群论课后习题答案
群论课后习题答案群论是数学中的一个分支，研究的是群的性质和结构。
在学习群论的过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题可以加深对群论概念和定理的理解。
本文将给出一些群论课后习题的答案，希望能对读者在学习群论时有所帮助。
1. 证明：对于任意群G和H，如果存在同构映射f: G→H，则G和H具有相同的群性质。
证明：假设f: G→H是一个同构映射。
由同构的定义可知，f是一个双射，并且满足对于任意的g1, g2∈G，有f(g1g2) = f(g1)f(g2)。
首先证明G和H具有相同的单位元。
设eG和eH分别是G和H的单位元，则有f(eG) = eH。
对于任意的h∈H，存在g = f^(-1)(h)∈G，因此有f(g) = h。
由此可得f(eG) = f(geG) = f(g)f(eG) = hf(eG)，即eH = hf(eG)。
同理可证hf(eG) = eH，因此G和H具有相同的单位元。
其次证明G和H具有相同的逆元。
设g∈G，对应的元素f(g)∈H。
由于f是双射，存在g' = f^(-1)(f(g))∈G，使得f(g') = f(g)^(-1)。
因此有f(g)f(g') = f(gg') = eH。
同理可证f(g')f(g) = eH。
由此可知g' = g^(-1)，即G和H具有相同的逆元。
最后证明G和H具有相同的封闭性。
设g1, g2∈G，对应的元素f(g1), f(g2)∈H。
由于f是双射，存在g' = f^(-1)(f(g1)f(g2))∈G，使得f(g') = f(g1g2)。
因此有f(g') = f(g1)f(g2)。
由此可知g' = g1g2，即G和H具有相同的封闭性。
综上所述，如果存在同构映射f: G→H，则G和H具有相同的群性质。
2. 设G是一个有限群，证明：G的任意子群的阶数必整除G的阶数。
证明：设H是G的一个子群，记|G|为G的阶数，|H|为H的阶数。
群论期末考试复习题
群论期末考试复习题
一、概念题
1.群、群的阶、群元素的阶、群的生成元、群的秩
2.子群、不变子群
3.阿贝尔群
4.共轭元素和类
5.群的同构、同态
6.固有转动、固有点群、点群
7.群的恒等表示、真实表示、特征标
8.群函数、群空间、群的正则表示
9.等价表示、两个表示等价的充要条件
10.可约表示、完全可约表示
11.无限群、连续群、李群
12.并矢及其运算
13.极射赤面投影
计算题、证明题
1．给出三阶群的乘法表
2．阿贝尔群的不可约表示都是一维的。
3．除恒等表示外，有限群任意不可约表示的特征标对群元素求和等于零。
4．设E是群G的恒源，R和S是群G中的任意元素，R-1和S-1分别是R和S 的逆元，试由群的定义证明：
(1) RR-1 = E
(2) RE = R
(3) 若TR = R, 则 T = E
(4) 若TR = E, 则 T= R-1
(5) (RS)的逆元为S-1R-1
5．试证明，除恒元外，每个元素的阶都是2的群一定是阿贝尔群6．试用正交法求出三角形对称群D3的特征标表
7．证明：两个右陪集SX和SY，要么所含的元完全相同，要么完
全没有共同的元
8．试证明，陪集不包括属于子群的元，并证明陪集不是群。
9．试证明垂直于某轴的面上的镜像操作的并矢σ→→为
u u I →
→→→→→-=2σ 其中，u →
是沿该轴的单位矢量
10．试画出C 4、C 4v 、C 4h 、S 4、D 4的极射赤面投影
C 4 C 4v C 4h S 4
D 4。
第二章群论复习题答案
第二章群论复习题答案1. 群的定义是什么？答：群是一个集合G，配备一个二元运算*，满足以下四个条件：封闭性，即对于任意的a, b属于G，a*b也属于G；结合律，即对于任意的a, b, c属于G，(a*b)*c = a*(b*c)；存在单位元，即存在一个元素e 属于G，对于任意的a属于G，e*a = a*e = a；存在逆元，即对于任意的a属于G，存在一个元素b属于G，使得a*b = b*a = e。
2. 什么是子群？答：子群是群G的一个非空子集H，它本身在G的运算下也是一个群，即满足封闭性、结合律、单位元和逆元的条件。
3. 群的同构是什么？答：如果存在一个双射函数f: G → H，使得对于任意的a, b属于G，都有f(a*b) = f(a)*f(b)，则称群G和群H是同构的。
4. 什么是正规子群？答：如果群G的子群N满足对于任意的g属于G和n属于N，都有g*n*g^-1属于N，则称N是G的一个正规子群。
5. 群的直积是如何定义的？答：如果有两个群G和H，它们的直积G×H是所有有序对(g, h)的集合，其中g属于G，h属于H，并且定义运算为(g1, h1) * (g2, h2) = (g1*g2, h1*h2)。
6. 什么是群的阶？答：群的阶是指群中元素的数量。
7. 什么是拉格朗日定理？答：拉格朗日定理指出，对于任何有限群G和它的子群H，H的阶能整除G的阶。
8. 什么是群的同态？答：如果存在一个函数f: G → H，使得对于任意的a, b属于G，都有f(a*b) = f(a)*f(b)，则称f是群G到群H的一个同态。
9. 什么是阿贝尔群？答：如果群G的运算满足交换律，即对于任意的a, b属于G，都有a*b = b*a，则称G是一个阿贝尔群。
10. 什么是群的生成元？答：如果群G中的元素g可以通过它的幂次生成整个群，即存在整数n 使得G中的每个元素都可以表示为g的n次幂，那么称g是群G的一个生成元。
第二章群论复习题
第二章群论复习题一、填空题1、集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件： 。
2、设～是集合A 的元间的一个等价关系，它决定A 的一个分类：[][]b a ,是两个等价类。
则[][]⇔=b a 。
3、设G 是一个n 阶交换群，a 是G 的一个m （n m ≤）阶元，则商群()a G 的阶等于 。
4、设G =()a 是12阶循环群，则G 的生成元是 。
5、3S 的子群()()(){}132,123,1=H 的一切右陪集 。
6、设H 是群G 的子群，G b a ∈,，则⇔=Hb Ha 。
7、设G =()a 是循环群，则G 与模n 的剩余类加群同构的充要条件是 。
8、设G =)(a 是10阶循环群，则G 的子群的个数为_________.9、在5次对称群5S 中，.______)15423(_____,)125)(13(1==-10、设G =)(a 是15阶循环群，则G 的子群的个数为_________.11、整数加群Z 是一个循环群，它有且仅有两个生成元是______和_____.二、判断题1、（ ）若B A ,都是群G 的子群，则B A 也是G 的子群。
2、（ ）交换群的子群是循环群。
3、（ ）循环群的同态象是循环群。
4、（ ）一个阶是11的群只有两个子群。
5、（ ）有单位元且满足消去律的有限半群是群。
6、（ ）交换群的子群是不变子群。
7、（ ）全体整数的集合对于普通减法构成一个群8、（ ）群G 的指数是2的子群一定是不变子群。
三、计算题1：将置换(456)(567)(761)σ=写成不相交循环置换的乘积，并求σ的阶； 2：求三次对称群3S 的所有子群。
3：计算置换1211n n n σ⎛⎫= ⎪-⎝⎭的奇偶性。
4、求解模20剩余类20Z 的所有子群。
四、证明题1：令G 是实数对(,),0a b a ≠的集合，在G 上定义(,)(,)(,)a b c d ac ad bc =+，证明G 是群2：设(),,,,1a b ax b G f x a b c d R c d cx d ⎧⎫+⎪⎪==∈=⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，证明G 关于变换的乘法构成群。
群论复习思考题1
群论2006.121． 写出C 4v 对称性群的类、元素的阶及所有不变子群，并证明下述结论：（1） C 4v 的不变子群H 的不变子群K 不一定是C 4v 的不变子群。
（2） C 4v 的不变子群的交集仍是C 4v 的不变子群。
2． 试由⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0110和⎪⎪⎭⎫⎝⎛00i i 生成一矩阵群。
证明此群为8阶群，分五类，但与C 4v 不同构。
（提示：证明该矩阵群中四阶元有6个，而C 4v 中只有2个）3． 若一群的元素均为2阶，证明它可以是4阶Abel 群。
4． （1）设a 2=b 3=(ab)2=e,由a ，b 生成的群为几阶群？列举两个与其同构的群的例子。
（2）若a ，b 乘积可对易，且a 2=b 3=e,证明a ，b 生成的群定是循环群。
5． 叙述同态核定理，并加以证明。
6． 若G 群是2n 阶的，H 为G 的n 阶子群，则H 必为G 的不变子群。
其商群必为二阶循环群。
7． 若群G=H ⊗K ，试证明（1）商群G/H 与K 同构;（2）群G 的类数等于两因子群类数之积。
8． （1）证明有限群共轭类中所含元素数目也是群阶的因子。
（2）证明置换群S n 中属于同一配分的各种可能置换元素属于同一类。
9．（1）设a,b,c 为群元，试证 abc,bca,cab 同阶。
（2）证明下列循环积恒等式：()()()()y b X a y Xb a ab =10．证明在适当的基函数下，群G 可约表示的形式是()()()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A D A X O A D A D 21其中()()A D1和()()2D A 分别是m 阶和n 阶方阵； ()A X 是n 行m 列的矩阵，而O 是m 行n 列的零矩阵。
（提示：采用行矢量基矢，()00,1,0,0 i i =ϕ ）11．（1）在R 3空间中,平移用a T 表示。
定义为a r r r T a-=='，求平移算符a J 的形式。
（2）绕z 轴的定轴转动()()2SO R ∈θ,其算符表示可以由OXY 平面线性变换求得。
第二章群论复习题答案
第二章群论复习题答案第二章群论复习题答案群论是数学中的一个重要分支，研究的是群的性质和结构。
在群论的学习过程中，复习题是非常重要的一部分，通过解答复习题可以加深对群论的理解和应用。
本文将给出第二章群论复习题的答案，并对其中涉及的概念和定理进行解释和讨论。
1. 设G是一个群，证明单位元是唯一的。
解答：假设G中有两个单位元e和e'，则有e * e' = e' * e = e，其中*表示群的运算。
由于e是单位元，所以e * e' = e' * e = e'。
再由e'是单位元，可得e * e' = e'。
结合上述两个等式，可以得到e = e'。
因此，单位元是唯一的。
2. 设G是一个群，证明每个元素都有唯一的逆元。
解答：假设G中的元素a有两个逆元a'和a''，则有a * a' = a' * a = e和a * a'' = a'' * a = e，其中e表示单位元。
由于a'是a的逆元，所以a * a' = e。
再由a''是a的逆元，可得a * a'' = e。
结合上述两个等式，可以得到a' = a''。
因此，每个元素都有唯一的逆元。
3. 设G是一个群，证明对于任意的元素a和b，有(a * b)^-1 = b^-1 * a^-1。
解答：根据群的性质，对于任意的元素a和b，(a * b)^-1是(a * b)的逆元。
即(a * b) * (a * b)^-1 = (a * b)^-1 * (a * b) = e，其中e表示单位元。
将等式左边展开，得到a * b * (a * b)^-1 = e。
再将等式右边展开，得到(a * b)^-1 * a * b = e。
由于群的结合律，可以将等式左边重新排列为a * (b * (a * b)^-1) = e。
群论复习资料
则有：（1）当M≠0时，表示A和B 必等价； （2）当表示A和B不等价时，必有M≡0。 群上函数：设有限群 G ， g G ，元素 g 的群上函数定义为： f g C （ C 复数
7
域）
右正则表示 TR (h) ： 在 L (G) { f ( g )} ，以 h G 生成 L (G) 的一个线性变换 TR (h) ： TR (h) f ( g ) f ( gh1 )
(1)ha ,h H H , 有ha h H (2) ha H H , 有ha 1 H
n阶循环群
大学数学群论练习题及答案
大学数学群论练习题及答案一、群论概述群论是数学中极为重要的一个分支，它研究了集合和代数结构之间的关系。
群论的应用广泛，涉及到代数、几何、计算机科学等领域。
本文将介绍一些大学数学群论的练习题，并提供答案供读者参考。
二、基本概念1. 定义：集合G上的一个二元运算*，如果满足结合律、存在单位元和逆元，那么称< G, *>为一个群。
2. 练习题：a. 证明：一个群的单位元唯一。
答案：假设有两个单位元e1和e2，那么e1*e2=e1 (e2作为单位元)，但同时由于e1*e2=e2 (e1作为单位元)，所以e1=e2。
因此，群的单位元是唯一的。
b. 证明：群中的任意元素的逆元唯一。
答案：假设有两个逆元a和b，那么a*a^-1=e (a的逆元)，同时a*b^-1=e (b的逆元)。
根据群的结合律，我们有a^-1*(a*b^-1)=(a^-1*a)*b^-1=e*b^-1=b^-1。
因此，a^-1=b^-1，逆元是唯一的。
三、群的性质1. 半群：若集合G上的二元运算*满足结合律，但不存在单位元和逆元，则称< G, *>为一个半群。
2. 幺半群：若集合G上的二元运算*满足结合律和幺半性质（存在单位元），但不存在逆元，则称< G, *>为一个幺半群。
3. 练习题：a. 判断以下集合在给定的运算下是半群、幺半群还是群：i) 整数集合Z上的加法运算。
答案：整数集合Z上的加法运算满足结合律，存在单位元0，但不存在逆元。
因此，< Z, + >是一个幺半群。
ii) 实数集合R上的减法运算。
答案：实数集合R上的减法运算满足结合律，不存在单位元和逆元。
因此，< R, - >是一个半群。
b. 证明：每个群都是幺半群。
答案：对于一个群< G, *>，它满足结合律、存在单位元和逆元，因此也满足幺半性质。
所以每个群都是幺半群。
四、同态与同构1. 定义：设有两个群< G, *>和< H, @>，若存在一个满射f：G→H，且对任意的g1、g2∈G有f(g1*g2) = f(g1)@f(g2)，则称f为从群< G, *>到< H, @>的同态映射。
群论复习思考题
群论复习思考题2006.121． 写出C 4v 对称性群的类、元素的阶及所有不变子群，并证明下述结论：（1） C 4v 的不变子群H 的不变子群K 不一定是C 4v 的不变子群。
（2） C 4v 的不变子群的交集仍是C 4v 的不变子群。
2． 试由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0110和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00i i 生成一矩阵群。
证明此群为8阶群，分五类，但与C 4v 不同构。
（提示：证明该矩阵群中四阶元有6个，而C 4v 中只有2个）3． 若一群的元素均为2阶，证明它可以是4阶Abel 群。
4． （1）设a 2=b 3=(ab)2=e,由a ，b 生成的群为几阶群？列举两个与其同构的群的例子。
（2）若a ，b 乘积可对易，且a 2=b 3=e,证明a ，b 生成的群定是循环群。
5． 叙述同态核定理，并加以证明。
6． 若G 群是2n 阶的，H 为G 的n 阶子群，则H 必为G 的不变子群。
其商群必为二阶循环群。
7． 若群G=H ⊗K ，试证明（1）商群G/H 与K 同构;（2）群G 的类数等于两因子群类数之积。
8． （1）证明有限群共轭类中所含元素数目也是群阶的因子。
（2）证明置换群S n 中属于同一配分的各种可能置换元素属于同一类。
9．（1）设a,b,c 为群元，试证 abc,bca,cab 同阶。
（2）证明下列循环积恒等式：()()()()y b X a y Xb a ab =10．证明在适当的基函数下，群G 可约表示的形式是()()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A D A X O A D A D 21其中()()A D 1和()()2D A 分别是m 阶和n 阶方阵； ()A X 是n 行m 列的矩阵，而O 是m 行n 列的零矩阵。
（提示：采用行矢量基矢，()00,1,0,0 i i =ϕ ）11．（1）在R 3空间中,平移用a T 表示。
定义为a r r r T a-=='，求平移算符a J 的形式。
群论第二章考前复习总结
群论第⼆章考前复习总结第⼆章考前复习总结1.1节群1.对称变换：保持系统不变的变换。
（背）群，，所有对称变换只有6个：2. 群是⼀个集合，其中定义了元素的“乘积”法则，这个集合G满⾜4个条件：封闭性、结合律、存在恒元、逆元，这个集合就称为群。
（背）任何两个元素相乘还在这个集合中（背）任意元素乘恒元等于这个元素（背）元素乘逆元等于恒元。
（背）U(n)群：全体n维⼳正矩阵的集合。
⼳正：O(n)群：全体n维实正交矩阵的集合。
正交：，实正交：矩阵元是实数6)乘积的逆：9)有限群的阶：有限群中的元素数⽬4.循环群及其⽣成元1）循环群：由⼀个元素 Rn：循环群的阶，即有限群的元素个数。
R：循环群的⽣成元循环群的阶和其⽣成元的阶相等。
⽣成元的阶是满⾜的最⼩正整数n。
循环群都是阿贝尔群（阿贝尔群不⼀定是循环群）。
R⽣成的群是⼀个nn R是系统的对称变换，则轴称为n次固有转动轴（n次轴），此时转动R称为n次转动轴的⽅向：转动R由右⼿螺旋法则得到，⼤拇指指向轴的正⽅向。
1）元素R 的周期：由有限群的任⼀元素 R 及其幂次⽣成的集合。
2）有限群的⽣成元：有限群的群元素可以由最⼩数⽬个群元素的乘积⽣成3）有限群的秩：⽣成元的个数4）有限群⽣成元的选择并不唯⼀，但秩不变。
在验证B=DA 这种关系时，正三⾓形的三个字母必须画成：这种情况。
6.有限群的重排定理1）复元素：把有限群部分元素的集合2）群的重排定理（考试简答题）设T 是群G = {E, R, S, …}中任⼀确定元素，则下⾯三个集合与原群G 相同 （背）复元素的逆是每个元素取逆7.同构元素是对应的，在这种对应规则下，元素的乘积也是对应的。
群G3）循环群的乘法表4）四阶群（即有4群群：⼀个恒元加3个2阶元素。
其为：5a.含零个三阶元素，即群只含⼀个恒元加5个⼆阶元素。
这种情况不成⽴。
称），⼆阶、三阶、四阶、五阶的群都是阿贝尔群。
6）正N 边形对称变换群1个N 次轴，N 个⼆次轴。
群论课后答案
群论课后答案【篇一：群论习题】概念*1.1下列定义了乘法运算的集合，哪些构成了群，哪些不构成群，并说明理由。
（1）在复数加法下全体复数的集合（2）在矩阵乘法下所有幺正矩阵的集合（3）在数的减法下所有整数的集合（4）在数的乘法下所有正实数的集合提示：任二群元a和b：a?b?a?e?b?a??a?b?2?b?b?a。
1.3验证矩阵集合：??10??0??2???,,?????2?01??0???0????0??01??0?2??0?,? ?,?2?,?10????0???????????其中?，0??????ei2?3在矩阵乘法下构成群，并且与d3群同构。
提示：先写出该集合的乘法表，便可证得其自封闭性，并能找每个元素的逆元和单位元。
再和d3群的乘法表对比就可发现同构关系。
1.4验证集合????1?????1??21????????????i??,?c???c,c为光速在乘法l?l??l?,????12332?112??2????2?c1???c??c2之下构成abel群（注：改群成为lorentz群）提示：只需证明?c??3?c条件成立，则l??3?也必属于该集合，得到??0时l(0)对应单位元，的集合的封闭性。
?3中的?2和?1的地位对称，所以l??1?l??2??l??2?l??1?。
*1.5证明群的任何两个左陪集或者完全相等，或者没有任何公共元素。
1.6证明有限群g的非空子集h为子群的充要条件是：若a,b∈h，则ab∈h。
提示：易证必要条件成立，证充分条件时，要用到：c=a,c=b则cc∈h，进而cm∈h（m为正整数）。
*1.7证明指数为2的子群必是正规子群。
提示：先要理解子群指数这一概念*1.8证明群阶为质数的有限群必为abel群，并且必为循环群。
提示：证明中须用到子群的阶是该群的阶的因子，每一类中元素的数目也必为该群阶的因子，以及单位元自成一类等定理和推论。
1.9如果h是群g的正规子群，而n又是h的正规子群，那么是否n也一定是g的正规子群？提示：不一定是，例如，考虑c4v ，c2v和{e mx}三群的关系。
群论考试试题及答案
1、 一个集合构成群必须具备哪四个要素？什么是群的子群，陪集群和类。
本题书上可找到，略。
2、 试写出平面正三角形对称群即二面体群D3群的所有群元。
类分割和所含的所有子群，并且用其中一个子群写出D3群的左右陪集分割串。
解：D3={E,A,B,C,D,F} 其中，E ：恒等操作 A ：绕轴1旋转pai B ：绕轴2旋转pai C ：绕轴3旋转pai D ：绕Z 轴旋转2pai/3 F ：绕Z 轴放置4pai/3子群：{E}、{E ，A}、{E ，B}、{E ，C}、{E ，D ，F}、{E ，A ，B ，C ，D ，F} 类：{E}、{A ，B ，C}、{D ，F} 取H1={E ，A}，则DH1={D ，C}，FH1={F ，B}，故左陪集分割串为：{D ，C}、{F ，B} H1D={D ，B}，H1F={F ，C}，故右陪集分割串为：{D ，B}、{F ，C}3、 证明所有实数在数的加法运算下构成的群与所有正实数在数的乘法运算下构成的群同构。
首先，设所有实数S 的集合为G ，于是，集合对元素的加法运算是封闭的，数的加法满足结合律，实数0是此集合的恒元，-S 仍是实数，它是S 的逆元，因此，集合G 构成群，称为实数加法群；其次，设所有正实数R 的集合为H ，于是，集合对元素的乘积是封闭性的，数的乘积满足结合律，正实数1是此集合的恒元，R 的倒数1/R 仍为正实数，它是R 的逆元，因此，集合H 构成群，称为正实数乘法群；最后，通过指数函数建立群H 与G 的元素一一对应关系，且这种关系对元素的乘积保持不变。
R=e S R ’=e S ’ RR ’=e S+S ’因此，群H 与G 同构。
4、 证明由满足232()A B AB E ===的A,B 二元素生成的一个群，并写出其乘法表。
本题，老师课件上有原题，略。
5、 简述什么是群表示，等价表示和不可约表示。
教材中有原述，略。
6、 写出3阶置换群S3的所有群元，将每个群元写成相邻数码对换的乘积形式，并求出S3的所有共轭类所包含的元素（即S3的类分割）。
北京大学李新征老师《群论》课后作业 第一次作业
，B=
00
0100
0
至少需要添加几个矩阵才能构成一个群？求出这些需要添加的矩阵，及群的 共轭类。 1.10 考虑下列六个函数的集合： f1 (x) = x；f2 (x) = 1 − x；f3 (x) = x/(x − 1)； f4 (x) = 1/x；f5 (x) = 1/(1 − x)；f6 (x) = (x − 1)/x； 定 义两个 函 数 的 合 成 运 算 为 把 一个 函 数 替 换 到 另 一个中 ， 如(f1 f3 )(x) = f1 (f3 (x))。 证明该集合在此合成法则下是一个群，且该群与D3 群同构。 1.11 设Ci 为群中的一个类，Ci∗ 为Ci 中元素的逆的集合，证明：Ci∗ 也是一个 类。 1.12 求出下列置换的逆，
1
2 3 的循环群？ 231
1.14 求六阶循环群的所有不变子群，以及其对应的商群。 1.15 用 两个 元 素A和B生 成 一个 群 使 得 它 仅仅 遵 从 关 系 式 ：A2 = B k = (AB )2 = E ，式中k 是大于1的有限整数。 1.16 求D3 群的自同构群，它是内自同构群吗？ 1.17 设群只有一个阶为2的元素h，证明：对任意g ∈ G，有gh = hg 。 1.18 （同态核定理）若群G与群G 同态，P 是G的同态核，证明： • P 是G的不变子群； • G/P 与G 同构。 1.19 在D4 群中，取子群G1 = {e, r, r2 , r3 }，G2 = {e, a} ，证明：D4 = G1 ⊗s G2 。 1.20 若G = H ⊗ K ，证明： • 商群G/H 与K 同构； • G与H 和K 同态； 1.21 一个群与其子群是否总是同态？为什么？
p1 =
1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 ， p2 = 35712846 2568174
复习与思考题
复习与思考题1.如何认识和评价柏拉图的理想国2.亚里士多德是怎样论述城邦性质的3.为什么说亚里士多德是古希腊城邦时代政治文化的集大成者4.古希腊城邦时期政治思想的特点是什么5.试比较柏拉图与亚里士多德政治思想的异同.6.试分析希腊城邦制度与政治思想的关系.复习与思考题1.城邦的解体和世界帝国的建立给西方政治思想带来哪些变化2.试分析斯多葛派的理论贡献.3.波利比阿和西塞罗混和政体思想的主要内容.4.西塞罗怎样表达了罗马共和精神5.奥古斯丁双城论的内容及意义.复习与思考题1.霍布斯自然法契约论思想的意义何在2.试分析霍布斯的主权论.3.洛克是怎样论述个人权利与国家权力之间关系的4.洛克分权学说的主要内容.5.比较分析霍布斯和洛克的社会契约论思想.6.比较分析霍布斯和洛克的自然权利思想.7.如何认识洛克的自由观.复习与思考题1.如何认识孟德斯鸠的分权思想2.孟德斯鸠关于法的精神理论的价值和局限性.3.卢梭的社会契约论与人民主权思想的关系是怎样的4.试分析卢梭社会契约论的特点.复习与思考题1.杰斐逊的自然权利学说述评.2.联邦党人对分权学说的发展.3.18世纪美国政治思想形成的原因和特点.4.潘恩的美国独立思想及其意义.5.潘恩的人权理论述评.05政治综合二06政治综合二第二部分西方古代政治思想史(50分)简答题：(请将答案写在答题纸上，并写清题号。
每小题15分，共30。
分。
) l、罗马法、罗马法学对西方政治思想的影响。
2、简要说明基督教的政治价值观点。
论述题：（请将答案写在答题纸上，并写清题号。
20分。
)试分析Plato对“第二等好的国家”的政治设计。
第三部分:西方近代政治思想史(50分)论述题：（将答案写在答题纸上，并写清题号每题25分。
）1、阐述密尔对于代议制缺陷的提出及其应对措施。
2、阐述美国政治思想观的特点07政治综合二西方政治思想史答案要点与评分标准（总分45分）一、名词解释（每个5分，共lO分）1、三权分立18世纪法国政治思想家孟德斯鸠提出的政治主张。
社会学原理思考题
《社会学原理》复习思考题一、名词解释：1社会学11、社会群体21、集体行为2、社会12、差序格局22、社会分化3、社区13、过渡人23、时尚4、文化（广义与狭义）14、知识分子阶层24、社会分层5、现代化15、社会变迁25、代差6、制度化16、社会流动26、就业、失业7、城市化17、道德规范27、单位组织8、社会化18、舆论28、科层制9、角色扮演19、社会控制29、家长制10、精英20、社会地位30、家庭31、路径依赖32、生活方式33、竞争、冲突、合作34、雷同性格 35、人的双重属性 36、社会问题37、垂直分化、水平分化 38、结构性流动非结构性流动39、初级社会群体次级社会群体 40、血缘关系地缘关系业缘关系41、社会偏离、个人偏离42、社会化过度、社会化不足43、绝对贫困、相对贫困45、先赋角色与自致角色二、简答及论述题1、社会学产生的标志和条件是什么？2、什么是人的社会化？请简单叙述人的社会化有哪几种形式？3、社会的涵义。
4、转型期社会中青少年早期社会化的过程中常常会遇到哪些问题？5、从社会化的角度分析，文化怎样塑造人格？6、什么是社会互动？其主要的理论流派有哪些？7、什么是代差（广义与狭义）？什么是代差问题？8、你怎样看待大学生求职演变成父辈资源的竞争问题？9、怎样全面理解文化的涵义？10、文化与文明有区别吗？在哪里？11、什么是初级社会群体?初级社会群体有哪些功能？12、简述现代社会初级群体呈现出逐渐衰落的现象和原因。
13、请简要区分社会进化和社会革命这两种社会变迁的形式。
14、如何全面把握社会变迁概念的涵义？15、怎样全面理解现代化概念的内涵？并对社会现代化内涵进行具体界定。
16、曾经在世界处于领先地位的中国，近代经历了几次现代化努力，为什么没有率先走上现代化道路？（试分析近代中国近代社会几次现代化努力均告失败的原因。
）17、家长制的特征及其存在的条件是什么？18、什么是科层制？你能借鉴韦伯和默顿的观点，分别分析科层制组织的正功能和负功能吗？19、如何克服当代组织管理中的官僚主义？20、中国的单位组织的特点是什么？为什么要改革单位组织？21、如何全面把握制度化的内涵？22、简要分析水平分化与垂直分化的差别。
北师大结构化学第4章分子对称性和群论
(a) (b) 题6图 联苯C 6H 5-C 6H 5的构象 7. 写出ClHC=CHCl （反式）分子全部对称操作及其乘法表。 解：反式ClHC=CHCl 有1个过C=C 键中心、与分子平面垂直的 2C 轴，1个过分子平 面的h σ面，对称中心i 。对应的对称操作为：2 ????,,,h C i E σ，它们构成2h C 点群。其对称操作的乘法表为：
8. 写出下列分子所属的分子点群（用熊夫利斯符号表示），并指出它们是否有偶极矩和旋光性。 解：(1) HC CH ≡分子点群：h D ∞，无偶极矩和旋光性。 (2) 22H C CH =分子点群：2h D ，无偶极矩和旋光性。 (3) SiH 4分子点群：d T ，无偶极矩和旋光性。 (4) Ni(CO)4 （为平面结构）分子点群：4h D ，无偶极矩和旋光性。 (5) 重叠式Fe(C 5H 5)2分子点群：5h D ，无偶极矩和旋光性。 (6) 环丙烷C 3H 6分子点群：3h D ，无偶极矩和旋光性。 (7) OCS 分子点群：v C ∞，有偶极矩，但无旋光性。 (8) B 2H 6 分子点群：2h D ，无偶极矩和旋光性。 (9) IF 7（五角双锥）分子点群：5h D ，无偶极矩和旋光性。
???()yz xz C z σσ= 证明：(1) 因为对称操作2 ??(),xy C z σ的矩阵为： 2 1 00?()0100 01C z -=- 和 100?010001xy σ=- 所以2 1 00100100???()010010010001001001 xy C z i σ--=-=-=--，由此得证。 (2) 因对称操作22 ??(),()C x C y 的矩阵为： 2100?()010001C x =-- 和 2 100 ?()0100 01C y -=- 故222 1 00100100???()()0100 10010()001001001 C x C y C z --=-=-=--，即分子中若存在2()C x ，2()C y 轴时，则该分子一定存在2()C z 轴。由此得证。 (3) 对称操作?yz σ 和?xz σ的矩阵为： 100 ?010001yz σ -= 和 100?010001 xz σ =则21001 00100???010010010()001001001 yz xz C z σ σ--=-=-=，即分子中若存在yz σ和xz σ面时，则该分子一定存在过其交线的2()C z 轴。 6. 联苯C 6H 5—C 6H 5有三种不同构象，两苯环的二面角(α)分别为：(1) α = 0，(2) α = 90o ， (3) 0<α<90o ，试判断这三种构象的点群。 解： (1) α = 0（见题6图（a ））时，联苯C 6H 5-C 6H 5中有3个相互垂直的2C 轴（1个过C 1-C 7键，1个过C 1-C 7键中 心、与分子平面垂直，1个在分子平面内、垂直平分C 1-C 7键），3个σ面（1个h σ，2个v σ）（1个与分子平面重合，1个垂 直平分C 1-C 7键，1个过C 1-C 7键、与分子平面垂直），即该结构的联苯C 6H 5-C 6H 5属于2h D 点群。 (2) α = 90o 时（见题6图（b ）），该结构的联苯C 6H 5-C 6H 5中，有3个2C 轴（1个过C 1-C 7键，另2个分别为相互垂直的 二苯环面的角平分线），2个d σ面（分别为二苯环所在的面），即该结构的联苯C 6H 5-C 6H 5属于2d D 点群。 (3) 0<α<90o 时，该结构的联苯C 6H 5-C 6H 5分子中的对称面消失，仅存在3个2C 轴（1个过C 1-C 7键，另2个分别为夹角在 0~90o 间的二苯环面的角平分线），故该结构的联苯C 6H 5-C 6H 5属于2D 点群。
第二章群论复习题
第二章群论复习题群论是数学中的一个重要分支，它研究的是集合上的代数结构，特别是满足特定条件的集合和其上的运算。
以下是对群论的一些基本复习题，以帮助学生巩固和复习相关知识。
1. 群的定义：给出群的四个基本条件，并举例说明哪些集合和运算可以构成群。
2. 子群：解释什么是子群，并给出一个群的子群的例子。
3. 群的运算：说明群的运算必须满足封闭性、结合律、单位元存在以及每个元素都有逆元。
4. 群的同态和同构：定义群的同态和同构，并给出一个群同态的例子。
5. 循环群：解释什么是循环群，并给出一个循环群的例子。
6. 阿贝尔群：定义阿贝尔群，并说明所有循环群都是阿贝尔群。
7. 群的阶：解释群的阶是什么，并给出如何计算一个群的阶。
8. 拉格朗日定理：陈述拉格朗日定理，并解释它在群论中的重要性。
9. 正规子群和商群：定义正规子群和商群，并给出一个例子说明如何构造一个群的商群。
10. 群的表示：简要介绍群的表示是什么，以及它在数学和物理学中的应用。
11. 群的直积和自由群：解释群的直积和自由群的概念，并给出一个群的直积的例子。
12. 群的简单性：定义什么是群的简单性，并给出一个简单群的例子。
13. 群的分类问题：简要介绍有限群的分类问题，并说明为什么这是一个重要的数学问题。
14. 置换群：解释置换群的概念，并说明它在群论中的作用。
15. 群的生成集：定义群的生成集，并给出一个群的生成集的例子。
这些问题覆盖了群论的基本概念和理论，通过解答这些问题，学生可以加深对群论的理解，并为进一步的学习和研究打下坚实的基础。
希望这些复习题能够帮助学生更好地掌握群论的知识。
群论课后习题答案
群论课后习题答案群论课后习题答案在学习数学的过程中，群论是一门重要的分支。
群论的概念和理论对于理解和解决许多数学问题都有着重要的作用。
然而，群论的习题往往较为抽象和复杂，需要一定的思考和推理能力。
本文将为大家提供一些群论课后习题的解答，帮助大家更好地理解群论的概念和应用。
1. 证明：如果G是一个群，那么G中的单位元素是唯一的。
解答：设e1和e2都是G中的单位元素。
根据群的定义，单位元素e1满足对于任意的g∈G，都有e1 · g = g · e1 = g。
而e2也满足这个条件。
因此，我们有e1 = e1 · e2 = e2。
所以，G中的单位元素是唯一的。
2. 证明：如果G是一个群，那么G中的每个元素都有逆元素。
解答：设g是G中的一个元素。
根据群的定义，对于每个g∈G，存在g的逆元素g'，使得g · g' = g' · g = e，其中e是G中的单位元素。
因此，G中的每个元素都有逆元素。
3. 证明：如果G是一个群，那么对于任意的a，b∈G，有(a · b)' = b' · a'。
解答：设a，b是G中的元素。
根据群的定义，对于任意的a，b∈G，有(a · b)' = (b · a)'。
我们可以证明b' · a'是(b · a)'的逆元素。
首先，(b · a)' · (b' · a') =(b · a) · (a' · b') = b · (a · a') · b' = b · e · b' = b · b' = e。
同理，(b' · a') · (b · a)' = e。
群论.期末考试及参考答案
对称元素，象转轴一、指出下列分子的对称元素及基于这些对称元素的所有对称操作ONCl, H2O, NH3, CFClBrI1. ONCl {E, σ}2. H2O {E, C2 σv σv’}3. NH3 {E, C3 C32 σv σV’’}4. 具有畸变的四面体结构 {E}二、任何一个集合，如果按照某一个乘法的定义，满足如下的四个性质，就是一个群。
1。
封闭性2。
结合律3。
单位元素4。
逆元素三、用对称元素和他们的某种组合的符号，熊里夫符号1、只有一个n 次对称轴的分子为Cn, 如C1, C2, C3, 如果是直线型异核分子，有n 为无穷大，而且有任意多的通过主轴的对称面，所以叫做2、有一个最高n 次轴，而且有N 个经过主轴的对称面，这样的Cnv, 如果是没有2次以上的转动轴，只有一个对称面的，如ONCl ，则是C1v, C1h 或Cs3、一个分子除了有Cn 以外，还有n 个垂直于主轴的C2轴，是Dn4、如果除此之外，分子中还有σh ，所以也有Cn σh=Sn 轴，分子点群为Dnh5、同核双原子分子或具有对称中心的直线形多原子分子，为具有无穷多的C2和 σv 面6 、如果在含有Cn 轴和n 个C2轴的分子中,具有n 个包含Cn 轴并且平分相邻两个C2轴的平面叫做σd 平面,这样的点群是DndE C S C C S C C S σC S n E C S C C S C C S C C C C S C C C C S C σσC S n E C EC C C C C C C C S i C C S n C S n h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h ====================================44444343343422242444663632355353344343333333232322333233332222222222222222432 1σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ7、构型为正四面体的分子Td, 对称元素为与x,y,z轴重合的3个C2,3个S4, 4个化学键方向的C3, 6个σd8、构型AB6的分子Oh,四、判断下列分子有没有偶极距H2O, CO2, SO3和PH3有没有没有有五、从分子的角度看，有旋光活性的充分必要条件是看分子不能与他的镜像重合．如果这个条满足，那么分子以两种形式存在，并且具有相等而方向相反的旋光活性．这两种分子叫做对映异构体。
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群论复习思考题
2006.12
1． 写出C 4v 对称性群的类、元素的阶及所有不变子群，并证明下述结论：
（1） C 4v 的不变子群H 的不变子群K 不一定是C 4v 的不变子群。
（2） C 4v 的不变子群的交集仍是C 4v 的不变子群。
2． 试由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0110和⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛00i i 生成一矩阵群。
证明此群为8阶群，分五类，但与C 4v 不同构。
（提示：证明该矩阵群中四阶元有6个，而C 4v 中只有2个）
3． 若一群的元素均为2阶，证明它可以是4阶Abel 群。
4． （1）设a 2=b 3=(ab)2=e,由a ，b 生成的群为几阶群？列举两个与其同构的群的例子。
（2）若a ，b 乘积可对易，且a 2=b 3=e,证明a ，b 生成的群定是循环群。
5． 叙述同态核定理，并加以证明。
6． 若G 群是2n 阶的，H 为G 的n 阶子群，则H 必为G 的不变子群。
其商群必为二阶循环群。
7． 若群G=H ⊗K ，试证明（1）商群G/H 与K 同构;（2）群G 的类数等于两因子群类数之积。
8． （1）证明有限群共轭类中所含元素数目也是群阶的因子。
（2）证明置换群S n 中属于同一配分的各种可能置换元素属于同一类。
9．（1）设a,b,c 为群元，试证 abc,bca,cab 同阶。
（2）证明下列循环积恒等式：
()()()()y b X a y Xb a ab =
10．证明在适当的基函数下，群G 可约表示的形式是
()()()()()()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=A D A X O A D A D 21
其中()()A D 1和()()2D A 分别是m 阶和n 阶方阵； ()A X 是n 行m 列的矩阵，而O 是m 行n 列的零矩阵。
（提示：采用行矢量基矢，()00,1,0,0 i i =ϕ ）
11．（1）在R 3空间中,平移用a T 表示。
定义为a r r r T a
-=='，求平移算符a J 的形式。
（2）绕z 轴的定轴转动()()2SO R ∈θ,其算符表示可以由OXY 平面线性变换求得。
试求()θR 的表示。
12．叙述舒尔引理Ⅰ和Ⅱ，分别给出一种证明。
利用舒尔引理导出群的不可约表示的正交关
系:
()()jk il G g ij lk n g g D g D δδδμγμαγαμα=
∑∈)()*( 13．给定两个基函数,2)(,)(2221xy r b y x r b =-= 构成二维空间()
()xy b y x a F 2222+-= ()R b a ∈,。
求3D 群在2F 上的诱导算符表示。
14．若在三维空间中给定三个独立的基矢()3,2,1=i a i ，置换群3S 的元素S 对i a
的作用是()s A i a =s a 。
按照这一方法写出3S 所有元素的表示矩阵。
这种表示是否可约？如可约，它包含几个哪一类不等价不可约表示？
15．试用列表形式给出v C 5群的不可约表示特征标表。
并加简要推导和说明。
16．一个具有v C 4对称性的正四棱锥体系，沿一组相对面方向受到压缩，压缩后对称性群是v C 2，给出v C 4和v C 2的不可约表示特征标表，并利用其说明该体系受扰动前后的能级分裂情况。
17．对于幺正不可约表示)(μD ，)(λD ，)(γD ，证明直积表示)()(γμD D ⊗，)()(λγD D ⊗和
)()(λμD D ⊗中分别包含不可约表示)*(λD ，)*(μD ，)*(γD 的次数相等。
证明群的正则表示中包含其所有不可约表示，且每个不可约表示出现的次数等于该不可约表示的维数。
18．SU(2)群的元素可表示为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-**a b b a ()1**=+bb aa ，证明 a 的实部相同的元素属于同一类。
*19. 试用SO(3)与SU(2)的对应关系()⎪⎭
⎫ ⎝⎛≡-+2)(2)()
(')
('2sin ,2cos ,,γαβαββγβαi i j m m j m m e e D D 由()b a D j ,)( 给出转动矩阵元)('j m m D 的表达式。
20. 求3D 群的两个2维表示直积的约化C-G 系数。
21. 用对称化基函数法将D 3群在 F 3={ f(r
)=ax 2+by 2+c.2xy| a,b,c ∈R}上的诱导算符群的表
示T 约化(提示: D 3群的3维表示一定可约)。
22.采用Euler 角方法，写出SO(3)群元素()γβα,,R 的表示矩阵。
今有一定轴转动()()321,,e e e C k
ϕ=(231,,e e e ), 求转轴k 的取向和转角ϕ。
23．写出反映正四面体完全对称性的d T 群所包含的所有点操作，它分为几类？求相应的不可约表示特征标。
24．求nv C 群的不可约表示及相应的表示的特征标。
25．求立方体转动对称O 群的二个三维不可约表示的表示矩阵和特征标。
（提示：用对称化
基函数）
26．叙述晶体转轴制约定理，并证明之。
*27．空间平移矢量()3,2,1=s a s ，相应方向上的格点数为s N 。
求平移群的不可约表示)()(k n T ，
这种表示有多少个？各是几维的？
28．写出6243,,H C CH NH 分子的对称点操作群。
的杨算符。
试验证它们是原始幂等元。
29．写出标准杨盘
30．用标准杨盘（表）方法求置换群4S 的[]1,3不可约表示中元素（12），（23），及（14）的
表示矩阵。
31．用阶梯法求以下不可约表示的类特征标。
（1）[]2,4)2(3
χ （2）[]2221,3,4)1,2,3(χ 32．利用特征标表验证下列直积表示关系
[][][]1,211,23
D D D =⊗
[][][]2
41,211,3D D D =⊗ 推广到一般情况。
试论证：两个不可约表示的直积)()(γμD D
⊗仍为不可约表示的条件是什么？
33．求置换群3S 的不可约表示[]1,2D
的自身外积[]1,2D ⊙[]1,2D 的约化。
并用表示维数加以验
证。
34．（1）验证杨图等式
⊙ = ⊙ ⊙ - ⊙
（2）计算外积 ⊙ ，并验证维数。
（3）将下列外积表示成一系列与一维表示之外积的代数和
*35. 分别计算S 6群所有(K-1,K)对换在下列两个不可约表示中的实正交矩阵形式。
并计算它
们之间的相似变换矩阵X 。
]3,3[]1[]2[63⊗= （提示：]3,3[]1[X ]2[X 6
31⊗=- 结果：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=0000100010001000100
010000X ） *36. GL(5,C)群的4秩张量空间可约化为哪些不变的张量子空间，其子空间的维数各为多
少？（用Robinson 公式）。
(提示: 625=5+70+315+135+100)
*37. 由普通张量4321i i i i T , 写出[3，1]对称形张量具体形式。
*38. 约化GL(3,C)群的直积表示]1,3[]1,4[D D ⊗，并核对维数。
提示：[7，2], [7，12], 2⨯[6，2，1] 2⨯[5，3，1], [4，4，1], [5，2，2] 而[6,13], [5,14], [5,2,12], [4,2,13], [4,22,1] 不属于约化表示。