不等式组及其应用

合集下载

三个重要不等式及应用

n(n + 1) = (n + 1)a n +1 + d 2
（2）
n n(n + 1) an +1 − a1 ⋅ s = (n + 1)an +1 + 2 n n +1 = (3an +1 − a1 ) 2 由柯西不等式 S = n + 1 (3an +1 − a1 ) 2 n +1 2 ≤ [ 3 2 + ( − 1) 2 ]( a n +1 + a 12 ) 2 n +1 ≤ 10 M 2 a n +1 a1 2 2 = 当且仅当 a1 + a n+1 = M , 都满足时，上式等号成立 3 −1
= ( S1 + a )( S2 + b )
2 k 2 k
= S1S2 + S1bk2 + S2 ak2 + ak2bk2
≥ S32 + 2 ak2bk2 S1S2 + (ak bk )2
≥ S32 + 2ak bk S3 + (ak bk )2 = (S3 + ak bk )2
= ( ∑ a b + a b )2 i i k k
证明：先证左端设乱序和为Ｓ，要Ｓ最大
a L 我们证明必须 an 配bn ，n −1 配bn−1，，a 1 配 b1
设an 配 bi ( in < n ) ，配某个 ak ( k < n )， bn
n
则有 anbi + bn ak ≤ ak bi + anbn
n n
这是因为 anbn + ak bi − ak bn − anbi = ( an − ak ) ( bn − bi ) ≥ 0

不等式的解集和应用

不等式的解集和应用不等式是数学中常见的一种关系符号，用于描述数之间的大小关系。

与等式不同的是，不等式可以是大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）或小于等于（≤）的关系。

解不等式的过程需要确定符合不等关系的数值范围，得到的解集可以用数轴或集合来表示。

本文将介绍不等式的解集及其应用。

一、不等式的解集表示方式解不等式可以通过求解不等式的解集来得到。

解集可以用不等式的形式、数轴表示或集合表示。

1. 不等式形式表示对于简单的一元不等式，可以直接用不等式的解集形式表示。

例如，对于不等式2x + 1 > 5，解集可以表示为{x | x > 2}，其中“|”表示“使得”，“x > 2”表示x的取值范围大于2。

2. 数轴表示法数轴表示法是用数轴来表示不等式的解集。

在数轴上将解集表示出来，可以清晰地展示数的大小关系。

例如，对于不等式x + 3 ≥ 7，可以在数轴上标出x ≥ 4的区间。

3. 集合表示法集合表示法用集合的形式来表示不等式的解集。

解集用大括号{}表示，其中的元素满足不等式的条件。

例如，对于不等式3x - 2 < 4，可以表示为{x | x < 2}，表示x的取值范围小于2的整数集合。

二、不等式的应用不等式在实际问题中有着广泛的应用，下面将介绍不等式在几个常见问题中的运用。

1. 货币问题不等式可以用于描述货币问题中的收入和支出关系。

例如，某人的月收入为x元，月支出为y元，如果要求月储蓄不少于z元，则可以得到不等式x - y ≥ z，其中x、y、z为正实数。

2. 几何问题不等式在几何问题中常用于描述图形的范围和性质。

例如，对于一个正方形，设其边长为a，若要求正方形的面积不小于b，则可以得到不等式a² ≥ b，其中a、b为正实数。

3. 线性规划线性规划是一种优化问题，常需要通过不等式来描述约束条件。

例如，对于生产某种产品，设其产量为x1和x2，若要求生产量满足一定的限制条件，如总产量不小于100个单位，每单位的成本不超过10元，则可以得到一组不等式：x1 + x2 ≥ 100以及10x1 + 10x2 ≤ k，其中k为正实数。

2024年中考数学真题汇编专题10 不等式(组)及其应用+答案详解

2024年中考数学真题汇编专题10 不等式（组）及其应用+答案详解（试题部分）一、单选题1．（2024·河北·中考真题）下列数中，能使不等式516x −<成立的x 的值为（） A ．1B ．2C ．3D ．42．（2024·湖北·中考真题）不等式12x +≥的解集在数轴上表示为（） A ． B ． C ．D ．3．（2024·广东广州·中考真题）若a b <，则（） A ．33a b +>+B ．22a b −>−C ．a b −<−D ．22a b <4．（2024·四川乐山·中考真题）不等式20x −<的解集是（） A ．2x C ．<2x −D ．2x >−5．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）解不等式组()322211x x x x −<⎧⎪⎨+≥−⎪⎩①②时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（） A ．B ．C ．D ．6．（2024·四川南充·中考真题）若关于x 的不等式组2151x x m −<⎧⎨<+⎩的解集为3x <，则m 的取值范围是（）A ．m>2B ．2m ≥C ．2m <D ．2m ≤7．（2024·内蒙古包头·中考真题）若21m −，m ，4m −这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则m 的取值范围是（） A ．2m ，那么下列正确的是（） A ．55x y +<+B ．55x y −<−C ．55x y >D ．55x y −>−9．（2024·四川内江·中考真题）不等式34x x ≥−的解集是（） A ．2x ≥−B ．2x ≤−C ．2x >−D ．2x <−10．（2024·山东烟台·中考真题）实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（）A ．3b c +>B ．0a c −<C ．a c >D ．22a b −<−11．（2024·江苏苏州·中考真题）若1a b >−，则下列结论一定正确的是（）A ．1a b +D ．1a b +>12．（2024·四川眉山·中考真题）不等式组212321x x x x +>+⎧⎨+≥−⎩的解集是（）A ．1x >B ．4x ≤C ．1x >或4x ≤D ．14x <≤13．（2024·贵州·中考真题）不等式1x <的解集在数轴上的表示，正确的是（）A ．B ．C ．D ．14．（2024·河南·中考真题）下列不等式中，与1x −>组成的不等式组无解的是（）A ．2x >B ．0x <C ．<2x −D ．3x >−15．（2024·陕西·中考真题）不等式()216x −≥的解集是（）A ．2x ≤B ．2x ≥C ．4x ≤D ．4x ≥16．（2024·浙江·中考真题）不等式组()211326x x −≥⎧⎨−>−⎩的解集在数轴上表示为（）A ．B ．C ．D ．17．（2024·山东·中考真题）根据以下对话，给出下列三个结论：①1班学生的最高身高为180cm ； ②1班学生的最低身高小于150cm ；③2班学生的最高身高大于或等于170cm ．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③18．（2024·安徽·中考真题）已知实数a ，b 满足10a b −+=，011a b <++<，则下列判断正确的是（）A ．102a −<⎪⎩恰有3个整数解，则a 的取值范围是．22．（2024·吉林·中考真题）不等式组2030x x −>⎧⎨−<⎩的解集为．23．（2024·上海·中考真题）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是35，则袋子中至少有个绿球．24．（2024·福建·21x −<的解集是．25．（2024·广东·中考真题）关于x 的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是．26．（2024·四川内江·中考真题）一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称该数为“极数”．若偶数m 为“极数”，且33m是完全平方数，则m = ； 27．（2024·山东烟台·中考真题）关于x 的不等式12xm x −≤−有正数解，m 的值可以是（写出一个即可）．三、解答题28．（2024·江苏盐城·中考真题）求不等式113xx +≥−的正整数解． 29．（2024·四川凉山·中考真题）求不等式3479x −<−≤的整数解．30．（2024·江苏连云港·中考真题）解不等式112x x −<+，并把解集在数轴上表示出来． 31．（2024·甘肃·中考真题）解不等式组：()223122x x x x ⎧−<+⎪⎨+<⎪⎩ 32．（2024·四川眉山·中考真题）解不等式：12132x x+−−≤，把它的解集表示在数轴上．33．（2024·天津·中考真题）解不等式组213317x x x +≤⎧⎨−≥−⎩①② 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______；(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：(4)原不等式组的解集为______．34．（2024·北京·中考真题）解不等式组：()3142,92.5x x x x ⎧−<+⎪⎨−<⎪⎩35．（2024·湖北武汉·中考真题）求不等式组3121x x x +>⎧⎨−≤⎩①②的整数解．36．（2024·江西·中考真题）如图，书架宽84cm ，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚0.8cm ，每本语文书厚1.2cm ．(1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本； (2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？37．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的50%以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题：(1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？(2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？(3)在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案．38．（2024·江苏扬州·中考真题）解不等式组260412xxx−≤⎧⎪⎨−<⎪⎩，并求出它的所有整数解的和．39．（2024·山东威海·中考真题）定义我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离()AB a b a b=−≥．特别的，当0a≥时，表示数a的点与原点的距离等于0a−．当a<0时，表示数a的点与原点的距离等于0a−．应用如图，在数轴上，动点A从表示3−的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．(1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？(2)求点A，B40．（2024·湖南·中考真题）某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．(1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；(2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？41．（2024·贵州·中考真题）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生．根据以上信息，解答下列问题：(1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？(2)种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？2024年中考数学真题汇编专题10 不等式（组）及其应用+答案详解（答案详解）一、单选题1．（2024·河北·中考真题）下列数中，能使不等式516x −<成立的x 的值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．（2024·湖北·中考真题）不等式12x +≥的解集在数轴上表示为（） A ． B ． C ．D ．【答案】A【分析】本题考查了一元一次不等式的解法及在数轴上表示不等式的解集．根据一元一次不等式的性质解出未知数的取值范围，在数轴上表示即可求出答案．【详解】解：12x +≥，1x ∴≥．∴在数轴上表示如图所示：故选：A ．3．（2024·广东广州·中考真题）若a b <，则（） A ．33a b +>+ B ．22a b −>− C ．a b −<− D ．22a b <【答案】D【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．根据不等式的基本性质逐项判断即可得．【详解】解：A ．∵a b <，∴33a b +<+，则此项错误，不符题意； B ．∵a b <，∴22a b −<−，则此项错误，不符题意； C ．∵a b <，∴a b −>−，则此项错误，不符合题意； D ．∵a b <，∴22a b <，则此项正确，符合题意；故选：D ．4．（2024·四川乐山·中考真题）不等式20x −<的解集是（） A ．2x C ．<2x − D ．2x >−【答案】A【分析】本题考查了解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．移项可得一元一次不等式的解集．【详解】解：20x −<，解得，2x <，故选：A ．5．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）解不等式组()322211x x x x −<⎧⎪⎨+≥−⎪⎩①②时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（） A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．【详解】解：()322211x x x x −<⎧⎪⎨+≥−⎪⎩①② 解不等式①得，2x <，解不等式②得，3x ≥−，所以，不等式组的解集为：32x −≤<，在数轴上表示为：故选：C ．6．（2024·四川南充·中考真题）若关于x 的不等式组2151x x m −<⎧⎨<+⎩的解集为3x <，则m 的取值范围是（）A ．m>2B ．2m ≥C ．2m <D ．2m ≤【答案】B【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先解不等式组，再根据不等式组的解集，得到关于参数的不等式，进行求解即可．【详解】解：解2151x x m −<⎧⎨<+⎩，得：31x x m <⎧⎨<+⎩，∵不等式组的解集为：3x <， ∴13m +≥， ∴2m ≥；故选B ．7．（2024·内蒙古包头·中考真题）若21m −，m ，4m −这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则m 的取值范围是（） A ．2m ，那么下列正确的是（） A ．55x y +<+ B ．55x y −<− C ．55x y > D ．55x y −>−【答案】C【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【详解】解：A ．两边都加上5，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意； B ．两边都加上5−，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意； C ．两边同时乘上大于零的数，不等号的方向不改变，故正确，符合题意； D ．两边同时乘上小于零的数，不等号的方向改变，故错误，不符合题意；故选：C ．9．（2024·四川内江·中考真题）不等式34x x ≥−的解集是（） A ．2x ≥− B ．2x ≤− C ．2x >− D ．2x <−【答案】A【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤解答即可求解，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．【详解】解：移项得，34x x −≥−，合并同类项得，24x ≥−，系数化为1得，2x ≥−，故选：A ．10．（2024·山东烟台·中考真题）实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（）A ．3b c +>B ．0a c −<C ．a c >D ．22a b −<−11．（2024·江苏苏州·中考真题）若1a b >−，则下列结论一定正确的是（）A ．1a b +D ．1a b +>【答案】D【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．直接利用不等式的性质逐一判断即可．【详解】解：1a b >−，A 、1a b +>，故错误，该选项不合题意；B 、12a b −>−，故错误，该选项不合题意；C 、无法得出a b >，故错误，该选项不合题意；D 、1a b +>，故正确，该选项符合题意；故选：D ．12．（2024·四川眉山·中考真题）不等式组212321x x x x +>+⎧⎨+≥−⎩的解集是（）A ．1x >B ．4x ≤C ．1x >或4x ≤D ．14x <≤【答案】D【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【详解】解：212321x x x x +>+⎧⎨+≥−⎩①②，解不等式①，得1x >，解不等式②，得4x ≤，故不等式组的解集为14x <≤．故选：D ．13．（2024·贵州·中考真题）不等式1x <的解集在数轴上的表示，正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据小于向左，无等号为空心圆圈，即可得出答案．本题考查在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解题的关键．【详解】不等式1x <的解集在数轴上的表示如下：．故选：C ．14．（2024·河南·中考真题）下列不等式中，与1x −>组成的不等式组无解的是（）A ．2x >B ．0x <C ．<2x −D ．3x >−【答案】A【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．根据此原则对选项一一进行判断即可．【详解】根据题意1x −>，可得1x <−， A 、此不等式组无解，符合题意；B 、此不等式组解集为1x <−，不符合题意；C 、此不等式组解集为<2x −，不符合题意；D 、此不等式组解集为31x −<<−，不符合题意；故选：A15．（2024·陕西·中考真题）不等式()216x −≥的解集是（）A ．2x ≤B ．2x ≥C ．4x ≤D ．4x ≥16．（2024·浙江·中考真题）不等式组()211326x x −≥⎧⎨−>−⎩的解集在数轴上表示为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】本题考查解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示是解题的关键．【详解】解：()211326x x −≥⎧⎪⎨−>−⎪⎩①②，解不等式①，得：1x ≥，解不等式②，得：4x <， ∴不等式组的解集为14x ≤<．在数轴上表示如下：．故选：A ．17．（2024·山东·中考真题）根据以下对话，给出下列三个结论：①1班学生的最高身高为180cm ； ②1班学生的最低身高小于150cm ； ③2班学生的最高身高大于或等于170cm ．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】C【分析】本题考查了二元一次方程、不等式的应用，设1班同学的最高身高为cm x ，最低身高为cm y ，2班同学的最高身高为cm a ，最低身高为cm b ，根据1班班长的对话，得180x ≤，350x a +=，然后利用不等式性质可求出170a ≥，即可判断①，③；根据2班班长的对话，得140b >，290y b +=，然后利用不等式性质可求出150y <，即可判断②．【详解】解：设1班同学的最高身高为cm x ，最低身高为cm y ，2班同学的最高身高为cm a ，最低身高为cm b ，根据1班班长的对话，得180x ≤，350x a +=， ∴350x a =− ∴350180a −≤，解得170a ≥，故①错误，③正确；根据2班班长的对话，得140b >，290y b +=，∴290b y =−， ∴290140y −>， ∴150y <，故②正确，故选：C ．18．（2024·安徽·中考真题）已知实数a ，b 满足10a b −+=，011a b <++<，则下列判断正确的是（）A ．102a −<< B ．112b << C ．2241a b −<+< D ．1420a b −<+<二、填空题19．（2024·山东·中考真题）写出满足不等式组21215x x +≥⎧⎨−<⎩的一个整数解．【答案】1−（答案不唯一）【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，解题的关键是正确掌握解一元一次不等式组的步骤．先解出一元一次不等式组的解集为13x −≤<，然后即可得出整数解．【详解】解：21215x x +≥⎧⎨−<⎩①②，由①得：1x ≥−，由②得：3x <，∴不等式组的解集为：13x −≤<， ∴不等式组的一个整数解为：1−；故答案为：1−（答案不唯一）.20．（2024·广西·中考真题）不等式7551x x +<+的解集为．【答案】<2x −【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤解答即可求解，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．【详解】解：移项得，7515x x −<−，合并同类项得，24x <−，系数化为1得，<2x −，故答案为：<2x −．21．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x 的不等式组420102x x a −≥⎧⎪⎨−>⎪⎩恰有3个整数解，则a 的取值范围是．不等式组22．（2024·吉林·中考真题）不等式组230x x −>⎧⎨−<⎩的解集为．23．（2024·上海·中考真题）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是35，则袋子中至少有个绿球．∴0x >，且x 为正整数， ∴x 的最小值为1，∴绿球的个数的最小值为3， ∴袋子中至少有3个绿球，故答案为：3．24．（2024·福建·中考真题）不等式321x −<的解集是．【答案】1x <【分析】本题考查的是解一元一次不等式，通过移项，未知数系数化为1，求解即可解．【详解】解：321x −<，33x <， 1x <，故答案为：1x <．25．（2024·广东·中考真题）关于x 的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是．【答案】3x ≥/3x ≤【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．【详解】解：由数轴可知，两个不等式的解集分别为3x ≥，2x >， ∴不等式组的解集为3x ≥，故答案为：3x ≥．26．（2024·四川内江·中考真题）一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称该数为“极数”．若偶数m 为“极数”，且33m是完全平方数，则m = ；27．（2024·山东烟台·中考真题）关于x 的不等式12xm x −≤−有正数解，m 的值可以是（写出一个即可）．三、解答题28．（2024·江苏盐城·中考真题）求不等式113xx +≥−的正整数解．【答案】1，2．【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集以及正整数解，先求出不等式的解集，进而可得到不等式的正整数解，正确求出一元一次不等式的解集是解题的关键．【详解】解：去分母得，()131x x +≥−，去括号得，133x x +≥−，移项得，331x x −≥−−，合并同类项得，24x −≥−，系数化为1得，2x ≤， ∴不等式的正整数解为1，2．29．（2024·四川凉山·中考真题）求不等式3479x −<−≤的整数解．【答案】2,3,4【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键．先将3479x −<−≤变形为347479x x −<−⎧⎨−≤⎩，再解每一个不等式，取解集的公共部分作为不等式组的解集，再找出其中的整数解即可．【详解】解：由题意得347479x x −<−⎧⎨−≤⎩①②，解①得：1x >，解②得：4x ≤，∴该不等式组的解集为：14x <≤， ∴整数解为：2,3,430．（2024·江苏连云港·中考真题）解不等式112x x −<+，并把解集在数轴上表示出来．这个不等式的解集在数轴上表示如下：31．（2024·甘肃·中考真题）解不等式组：()223122x x x x ⎧−<+⎪⎨+<⎪⎩ 32．（2024·四川眉山·中考真题）解不等式：12132x x+−−≤，把它的解集表示在数轴上．33．（2024·天津·中考真题）解不等式组213317x x x +≤⎧⎨−≥−⎩①②请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______；(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：(4)原不等式组的解集为______．【答案】(1)1x ≤ (2)3x ≥− (3)见解析 (4)31x −≤≤【分析】本题考查的是解一元一次不等式，解一元一次不等式组；（1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案；（2）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案；（3）根据前两问的结果，在数轴上表示不等式的解集；（4）根据数轴上的解集取公共部分即可．【详解】（1）解：解不等式①得1x ≤，故答案为：1x ≤；（2）解：解不等式②得3x ≥−，故答案为：3x ≥−；（3）解：在数轴上表示如下：（4）解：由数轴可得原不等式组的解集为31x −≤≤，故答案为：31x −≤≤．34．（2024·北京·中考真题）解不等式组：()3142,92.5x x x x ⎧−<+⎪⎨−<⎪⎩ 【答案】17x −<<【分析】先求出每一个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”确定不等式组的解集．本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键．35．（2024·湖北武汉·中考真题）求不等式组3121x x x +>⎧⎨−≤⎩①②的整数解．【答案】整数解为：1,0,1−【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，进而求得整数解．【详解】解：3121x x x +>⎧⎨−≤⎩①②解不等式①得：2x >−解不等式②得：1x ≤∴不等式组的解集为：21x −<≤，∴整数解为：1,0,1−36．（2024·江西·中考真题）如图，书架宽84cm ，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚0.8cm ，每本语文书厚1.2cm ．(1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；(2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？【答案】(1)书架上有数学书60本，语文书30本．(2)数学书最多还可以摆90本【分析】本题主要考查了一元一次方程及不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．（1）首先设这层书架上数学书有x 本，则语文书有(90)x −本，根据题意可得等量关系：x 本数学书的厚度(90)x +−本语文书的厚度84=，根据等量关系列出方程求解即可；（2）设数学书还可以摆m 本，根据题意列出不等式求解即可．【详解】（1）解：设书架上数学书有x 本，由题意得：0.8 1.2(90)84x x +−=，解得：60x =，9030x −=．∴书架上有数学书60本，语文书30本．（2）设数学书还可以摆m 本，根据题意得：1.2100.884m ⨯+≤，解得：90m ≤，∴数学书最多还可以摆90本．37．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的50%以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题：(1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？(2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？(3)在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a （a 为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案．【答案】(1)特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元(2)有3种方案，详见解析(3)特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）正确计算求解．（1）设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x 元和y 元，根据“购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元”，列出方程组求解即可；（2）设商店计划购进特级鲜品猴头菇m 箱，则购进特级干品猴头菇()80m −箱，根据“获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，”列出不等式组求解即可；（3）根据（2）中三种方案分别求解即可；元和38．（2024·江苏扬州·中考真题）解不等式组260412x x x −≤⎧⎪⎨−<⎪⎩，并求出它的所有整数解的和．39．（2024·山东威海·中考真题）定义我们把数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值．数轴上表示数a ，b 的点A ，B 之间的距离()AB a b a b =−≥．特别的，当0a ≥时，表示数a 的点与原点的距离等于0a −．当a<0时，表示数a 的点与原点的距离等于0a −．应用如图，在数轴上，动点A 从表示3−的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B 从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．(1)经过多长时间，点A ，B 之间的距离等于3个单位长度？(2)求点A ，B 到原点距离之和的最小值．【答案】(1)过4秒或6秒(2)3【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的性质，绝对值的意义等知识，解题的关键是：（1）设经过x 秒，则A 表示的数为3x −+，B 表示的数为122x −，根据“点A ，B 之间的距离等于3个单位长度”列方程求解即可；≤40．（2024·湖南·中考真题）某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．(1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；(2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？【答案】(1)50元、30元(2)400棵【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x元/棵，y元/棵，根据“购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元”列方程组求解即可；（2）购买脐橙树苗a棵，根据“总费用不超过38000元”列不等式求解即可．【详解】（1）解：设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x元/棵，y元/棵，根据题意，得211023190x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得5030x y =⎧⎨=⎩，答：脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为50元/棵，30元/棵；（2）解：设购买脐橙树苗a 棵，则购买黄金贡柚树苗()1000a −棵，根据题意，得()5030100038000a a +−≤，解得400a ≤，答：最多可以购买脐橙树苗400棵．41．（2024·贵州·中考真题）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生．根据以上信息，解答下列问题：(1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？(2)种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？【答案】(1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生(2)至少种植甲作物5亩【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，（1）设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x 、y 名学生，根据“种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名”列方程组求解即可；（2）设种植甲作物a 亩，则种植乙作物()10a −亩，根据“所需学生人数不超过55人”列不等式求解即可．【详解】（1）解：设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x 、y 名学生，根据题意，得32272222x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得56x y =⎧⎨=⎩，答：种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生；（2）解：设种植甲作物a 亩，则种植乙作物()10a −亩，。

不等式的性质与应用

不等式的性质与应用不等式在数学中起到了重要的作用，它不仅仅只是一个数学概念，更是数学知识在实际生活中的应用。

本文将从不等式的基本性质出发，介绍不等式的常见类型及其应用。

一、不等式的基本性质不等式是数学中用于表示大小关系的一种关系式。

在不等式中，一般常用的符号有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。

不等式的性质主要包括以下几点：1. 传递性：如果a > b，b > c，那么a > c。

2. 反对称性：如果a > b，且a < b，则a = b。

3. 加减性：当a > b时，对两边同时加上（或者减去）同一个数c，不等号的方向不发生改变。

例如：若a > b，则a + c > b + c；若a > b，则a - c > b - c。

4. 乘除性：当a > b时，对两边同时乘以（或者除以）同一个正数c，不等号的方向不发生改变；当c为负数时，会改变不等号的方向。

例如：若a > b，则ac > bc；若a > b，则a/c > b/c。

5. 幂对数性：如果a > b，且c > 0，则a^c > b^c；如果a > b，且c< 0，则a^c < b^c。

二、常见的不等式类型及应用1. 一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次式构成的不等式。

常见的一元一次不等式类型有：（1）线性不等式，形如 ax + b > c 或 ax + b < c。

其解集通常表示为一个区间。

（2）带有绝对值的一元不等式，形如 |ax + b| > c 或 |ax + b| < c。

首先需要求得绝对值式子的值域，然后根据不等号的方向确定解集。

2. 一元二次不等式一元二次不等式是指只含有一个未知数的二次式构成的不等式。

常见的一元二次不等式类型有：（1）二次函数的不等式，形如 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0。

不等式与不等式组的解法

不等式与不等式组的解法不等式是数学中常见的一种关系表达式，它描述了变量之间的大小关系。

不等式的解集是使不等式成立的所有变量取值的集合。

解不等式的方法有很多种，下面我将介绍常用的不等式解法及其应用。

一、一元不等式的解法对于形如ax + b < 0的一元不等式，我们可以采用以下步骤进行求解：步骤一：将不等式转化为等价的形式，即ax + b = 0。

步骤二：求得等式的根x0，即x0 = -b/a。

步骤三：根据x0求得不等式在数轴上的解集。

例如，对于不等式2x - 1 < 5，我们可以按照上述步骤进行求解：步骤一：2x - 1 = 5。

步骤二：2x = 6，x = 3。

步骤三：不等式在数轴上的解集为(-∞, 3)。

二、一元不等式组的解法一元不等式组是由多个一元不等式构成的方程组。

解一元不等式组的方法可以通过解每个一元不等式，并求它们的交集得到。

具体步骤如下：步骤一：解每个一元不等式，得到它们的解集。

步骤二：求得不等式组的解集，即取所有一元不等式的解集的交集。

例如，解不等式组{2x - 1 < 5, x + 3 > 2}，我们可以按照上述步骤进行求解：步骤一：2x - 1 < 5的解集为(-∞, 3)，x + 3 > 2的解集为(-∞, -1)。

步骤二：不等式组的解集为(-∞, -1) ∩ (-∞, 3) = (-∞, -1)。

三、二元不等式组的解法二元不等式组是由多个二元不等式构成的方程组。

解二元不等式组的方法可以通过图像法或代数法来求解。

下面分别介绍两种方法。

1. 图像法通过将二元不等式转化为二维平面上的区域，将不等式的解集表示为区域内的点的集合。

例如，我们解不等式组{y > 2x, y < x + 2}：首先，将每个不等式转化为等式，得到y = 2x和y = x + 2；然后，在二维平面上绘制两条直线y = 2x和y = x + 2，分别用虚线表示；最后，确定满足题目要求的不等式组解集，即两条直线所围成的区域，如图所示。

不等式组_精品文档

不等式组1. 引言不等式组是数学中一个重要的概念，它由一组不等式组成。

不等式是数学中用于描述数值之间大小关系的工具，而不等式组则可以用于描述多个数值之间的复杂关系。

本文将介绍不等式组的定义、解法以及其在应用中的一些常见场景。

2. 不等式组的定义不等式组是由多个不等式组成的集合，每个不等式可以是大于（>）、小于(<)、大于等于（≥）或小于等于（≤）等符号连接的数学表达式。

一个不等式组的一般形式可表示为：{不等式1,不等式2,...不等式n}其中，每个不等式可以包含一或多个变量，表示了变量之间的大小关系，或者变量与常数之间的关系。

3. 不等式组的解法不等式组的解是使得每个不等式都成立的变量的取值范围。

要解决一个不等式组，可以通过以下步骤进行：- 确定每个不等式中的变量个数和类型。

- 找到每个不等式中变量的取值范围。

可以通过移项、合并同类项、因式分解等方法将不等式转化为形式更简单的不等式。

- 根据不等式符号的特性进行取值范围的确定。

例如，对于大于（>）或小于（<）的不等式，变量的取值范围应排除等号右侧的值；对于大于等于（≥）或小于等于（≤）的不等式，变量的取值范围应包括等号右侧的值。

- 根据每个不等式的取值范围求解整个不等式组的解。

可以通过求交集或并集的方式得到最终的解集。

4. 不等式组的表示方法不等式组可以用不等式图形表示法、解集表示法或区间表示法来表示，具体的表示方式取决于问题的要求和解的形式。

不等式图形表示法是通过绘制每个不等式的图形并表示它们的交集或并集来表示不等式组。

解集表示法是通过写出每个不等式的解集并表示它们的交集或并集来表示不等式组。

区间表示法是用数轴上的区间表示不等式组的解集。

5. 不等式组的应用不等式组在实际问题中具有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：- 经济领域：不等式组可以用于描述供需关系、利润最大化问题等经济学中的问题。

- 工程领域：不等式组可以用于描述工程中的约束条件，如最大承载能力、最短路径等。

一元一次不等式组及其应用

生产计划
制造商在有限的生产资源下，通过一元一次不等式组可以制定最优生产计划，以满足市场需求并最小化成本。
时间规划问题
项目进度安排
在项目管理中，一元一次不等式组可以帮助制定项目的时间表，确保各项任务在规定时间内完成。
时间分配
对于个人或团队来说，可以利用一元一次不等式组来合理规划时间，确保各项工作或活动得到合理安排，提高时间利用效率。
没有交集，则不等式组无解。
01
一元一次不等式组的解法
图形解法
优点
图形解法能够直观地展示不等式组的解集，特别适用于较为简单
的一元一次不等式组。
作图步骤
首先，分别画出各个一元一次不等式的解集图形；然后，找出各个解集的交集部分，即为不等式
组的解集。
适用范围
图形解法主要适用于一元一次不等式组的解集在数轴上能够直观
目标设定
通过一元一次不等式组，企业可以设定不同的营销目标（如销售额、市场份额、品牌知名度等），并在预算约束下求出最优解。
营销策略
根据不等式组的解，企业可以调整营销策略，实现预算内最优的营销效果。
个人理财中的投资规划问题
投资选择
个人理财过程中，投资者需要在多种投资品种（如股票、债券、基金、房产等）中选择合适的投资组合。
风险控制
通过一元一次不等式组，投资者可以设定不同的风险控制目标（如最大亏损限额、预期收益水平等），从而在各种投资品种中寻求最优配置。
投资决策
基于不等式组的解，投资者可以制定个性化的投资规划，实现风险可控前提下的投资收益最大化。
01
总结与展望
一元一次不等式组的重要性总结
基础数学知识
01
一元一次不等式组是初中数学的基础知识之一，对于后续学习

考点07 一元一次不等式(组)及其应用-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理(解析版)

考点07 一元一次不等式（组）及其应用中考数学中，一元一次不等式（组）的解法及应用时有考察，其中，不等式基本性质和一元一次不等式（组）解法的考察通常是以选择题或填空题的形式出题，还通常难度不大。

而对其简单应用，常会和其他考点（如二元一次方程组、二次函数等）结合考察，此时难度上升，需要小心应对。

对于一元一次不等式中含参数问题，虽然难度系数上升，但是考察几率并不大，复习的时候只需要兼顾即可！一、不等式的基本性质二、一元一次不等式（组）的解法三、求不等式（组）中参数的值或范围四、不等式（组）的应用考向一：不等式的基本性质【易错警示】1．若a ＞b ，则下列不等式中，错误的是（）A ．3a ＞3bB ．﹣＜﹣C ．4a ﹣3＞4b ﹣3D ．ac 2＞bc 2【分析】根据不等式的性质进行一一判断．【解答】解：A 、在不等式a ＞b 的两边同时乘以3，不等式仍成立，即3a ＞3b ，故本选项正确；B 、在不等式a ＞b 的两边同时除以﹣3，不等号方向改变，即﹣＜﹣，故本选项正确；C 、在不等式a ＞b 的两边同时先乘以4、再减去3，不等式仍成立，4a ﹣3＞4b ﹣3，故本选项正确；D 、当c ＝0时，该不等式不成立，故本选项错误．故选：D ．2．已知x ＜y ，下列式子不成立的是（）A ．x +1＜y +1B ．x ＜y +100C ．﹣2022x ＜﹣2022yD ．【分析】根据不等式的性质判断即可．【解答】解：A 、在不等式x ＝y 的两边同时加上1得x +1＜y +1，原变形成立，故此选项不符合题意；B 、在不等式x ＜y 的两边同时加上100得x +100＜y +100，原变形成立，故此选项不符合题意；C 、在不等式x ＜y的两边同时乘以﹣2022得﹣2022x ＞﹣2022y ，原变形不成立，故此选项符合题意；D 、在不等式x ＜y 的两边同时除以2022得x ＜y ，原变形成立，故此选项不符合题意；故选：C ．3．若x＞y，且（a+3）x＜（a+3）y，求a的取值范围　a＜﹣3　．【分析】根据题意，在不等式x＞y的两边同时乘以（a+3）后不等号改变方向，根据不等式的性质3，得出a+3＜0，解此不等式即可求解．【解答】解：∵x＞y，且（a+3）x＜（a+3）y，∴a+3＜0，则a＜﹣3．故答案为：a＜﹣3．4．已知3x﹣y＝1，且x≤3，则y的取值范围是　y≤8　．【分析】根据3x﹣y＝1求出x＝，根据x≤3得出≤3，再根据不等式的性质求出不等式的解集即可．【解答】解：∵3x﹣y＝1，∴3x＝1+y，∴x＝，∵x≤3，∴≤3，∴1+y≤9，∴y≤8，即y的取值范围是y≤8，故答案为：y≤8．5．已知a，b，c为三个非负实数，且满足，若W＝3a+2b+5c，则W的最大值为　130　．【分析】将方程组两个方程相加，得到3a+5c＝130﹣4b，整体替换可得W＝130﹣2b，再由b的取值范围即可求解．【解答】解：，①+②，得3a+4b+5c＝130，可得出a＝10﹣，c＝20﹣，∵a，b，c为三个非负实数，∴a ＝10﹣≥0，c ＝20﹣≥0，∴0≤b ≤20，∴W ＝3a +2b +5c ＝2b +130﹣4b ＝130﹣2b ，∴当b ＝0时，W ＝130﹣2b 的最大值为130，故答案为：130．考向二：一元一次不等式（组）的解法1. 一元一次不等式的解法2. 一元一次不等式（组）的解法①按照一元一次不等式的解法解出每个不等式的解集②依据数轴取各不等式解集的公共部分一元一次不等式组解法及解集的四种情况无解大大小小则无解1．不等式3（2﹣x）＞x+2的解在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：∵3（2﹣x）＞x+2，∴6﹣3x＞x+2，﹣3x﹣x＞2﹣6，﹣4x＞﹣4，x＜1，故选：C．2．在平面直角坐标系中，点A（a，2）在第二象限内，则a的取值可以是（）A．1B．﹣C．0D．4或﹣4【分析】根据第二象限内点的坐标特点列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．【解答】解：∵点A（a，2）是第二象限内的点，∴a＜0，四个选项中符合题意的数是，故选：B．3．关于x的方程ax＝2x﹣7的解为负数，则a的取值范围是　a＞2　．【分析】先解方程得到x＝，根据题意得到＜0，所以2﹣a＜0，然后解不等式即可．【解答】解：解方程ax＝2x﹣7的得x＝，∵方程ax＝2x﹣7的解为负数，∴＜0，∴2﹣a＜0，解得a＞2，即a的取值范围为a＞2．故答案为：a＞2．4．已知x＞2是关于x的不等式x﹣3m+1＞0的解集，那么m的值为　1　．【分析】先把m看作常数，求出不等式的解集，再根据不等式解集为x＞2，建立关于m的方程，求解即可．【解答】解：x﹣3m+1＞0x＞3m﹣1，∵x＞2 是关于x的不等式x﹣3m+1＞0 的解集，∴3m﹣1＝2，解得：m＝1，故答案为：1．5．若关于的不等式﹣ax＞bx﹣b（ab≠0）的解集为x＞，则关于x的不等式3bx＜ax﹣b的解集是　x＞﹣1　．【分析】根据已知不等式的解集，即可确定的值以及a+b的符号，进而求得a＝2b，进一步求得b＜0，从而解不等式即可．【解答】解：移项，得：（a+b）x＜b，根据题意得：a+b＜0且＝，即3b＝a+b，则a＝2b，又a+b＜0，即3b＜0，则b＜0，则关于x的不等式3bx＜ax﹣b化为：3bx＜2bx﹣b，解得x＞﹣1．故答案为：x＞﹣1．6．解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来．（1）﹣x+19≥2（x+5）；（2）．【分析】（1）先去括号，再移项、合并同类项，把x的系数化为1，再把不等式的解集在数轴上表示出来即可；（2）不等式两边都乘12去分母后，去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．【解答】解：（1）﹣x+19≥2（x+5），去括号，得）﹣x+19≥2x+10，移项，得﹣x﹣2x≥10﹣19，合并同类项，得﹣3x≥﹣9，系数化为1，得x≤3．将解集在数轴上表示为：（2），去分母，得3（x+4）﹣12＜4（4x﹣13），去括号，得3x+12﹣12＜16x﹣52，移项，得3x﹣16x＜﹣52﹣12+12，合并同类项，得﹣13x＜﹣52，系数化为1，得x＞4．解集在数轴上表示为：7．关于x的方程5x﹣2k＝6+4k﹣x的解是负数，求字母k的值．【分析】解方程得出x＝k+1，根据方程的解为负数得出关于k的不等式，解之可得．【解答】解：解方程5x﹣2k＝6+4k﹣x得x＝k+1，∵方程的解是负数，∴k+1＜0，∴k＜﹣1．8．不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可．【解答】解：，解不等式①，得：x≥1，解不等式②，得：x≥2，故原不等式组的解集是x≥2，其解集在数轴上表示如下：，故选：C．9．对于任意实数x，我们用{x}表示不小于x的最小整数．如：{2.7}＝3，{2022}＝2022，{﹣3.14}＝﹣3，若{2x+3}＝﹣2，则x的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】根据{x}表示不小于x的最小整数，可得﹣3＜2x+3≤﹣2，然后进行计算即可解答．【解答】解：∵{2x+3}＝﹣2，∴﹣3＜2x+3≤﹣2，∴﹣6＜2x≤﹣5，∴﹣3＜x≤﹣，故选：D．10．不等式组的解集是　x＜3　．【分析】先求出每个一元一次不等式的解集，再求出它们的公共部分即为不等式组的解集．【解答】解：，解①得：x≤8，解②得：x＜3，∴不等式组的解集为x＜3．故答案为：x＜3．11．解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来：（1）2（x﹣1）+2＜3x；（2）．【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：（1）∵2（x﹣1）+2＜3x，∴2x﹣2+2＜3x，∴2x﹣3x＜2﹣2，∴﹣x＜0，则x＞0，将解集表示在数轴上如下：（2）解不等式3x﹣（x﹣2）≥6，得：x≥2，解不等式x+1＞，得：x＜4，则不等式组的解集为2≤x＜4，将不等式组的解集表示在数轴上如下：考向三：求不等式组中参数的值或范围方法步骤总结：①解出不等式（组）的解集——用含参数的表达式表示；②根据题目要求，借助数轴，确定参数表达式的范围，必在两个相邻整数之间；③由空心、实心判断参数两边边界哪边可以取“=”，哪边不能取“=”。

初二-第06讲-不等式(组)及其应用(提高)-教案

学科教师辅导讲义学员编号：年级：八年级(下)课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第06讲-不等式（组）及其应用授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①了解一元一次不等式组的概念；②掌握一元一次不等式组的解法；③掌握一元一次不等式组的应用。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识梳理1、一元一次不等式组的概念：一般的，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。

（1）“一元”，所有的不等式必须是同一未知数的不等式，且未知数的实际意义相同；（2）“一次”，所有的不等式中未知数的次数为1；（3）“几个”，也就是指两个或者两个以上。

2、一元一次不等式组的解集的概念一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。

体系搭建3、一元一次不等式组的解法步骤一：根据不等式的性质求出每一个不等式的解集不等式的性质是对不等式进行变形的重要依据，是学好不等式的基础和关键。

（1）不等式两边加上（或减去）同一个数（或式），不等号方向不变。

如果a>b ，那么c b c a c b c a ->-+>+，。

（2）不等式两边乘（或除）以同一个正数，不等号的方向不变。

如果a>b ，c>0，那么 bc ac >或c b c a >。

（3）不等式两边乘（或除）以同一个负数，不等号的方向改变。

如果0c b a <>，，那么 bc ac <或cbc a < 。

性质（2）和（3）可简记为“负变正不变”。

步骤二：将每一个不等式的解集利用数轴进行合并得到不等式组的解由两个一元一次不等式组成的不等式组，可以归结为下述四种基本类型：(表中a b >)不等式图示解集 x ax b>⎧⎨>⎩ x a >(大大取大) x ax b <⎧⎨<⎩x b <(小小取小)x ax b <⎧⎨>⎩ b x a <<(大小小大中间找)x ax b >⎧⎨<⎩无解(大大小小解不了)4、一元一次不等式组的应用列不等式组解决实际问题的一般步骤（1）找：找出问题中的不等关系；（2）设：设出未知数；（3）列：根据前面的不等关系列出不等式组；（4）解：解不等式组；（5）答：检验后答出结果。

2023中考数学真题汇编08 不等式(组)及其应用(含答案与解析)

2023中考数学真题汇编·08不等式（组）及其应用一、单选题1.（2023·湖北宜昌）解不等式1413xx ，下列在数轴上表示的解集正确的是（）A ．B ．C ．D ．2.（2023·内蒙古）关于x 的一元一次不等式1x m 的解集在数轴上的表示如图所示，则m 的值为（）A ．3B ．2C ．1D ．03.（2023·广东）一元一次不等式组214x x的解集为()A ．14x B ．4x C ．3x D ．34x 4.（2023·湖南常德）不等式组32312x x x的解集是()A ．5x B ．15x C ．15x D ．1x 5.（2023·湖北）不等式组311442x x x x 的解集是（）A ．12x B ．1x C ．2x D ．12x 6.（2023·浙江宁波）不等式组1010x x的解在数轴上表示正确的是()A ．B ．C ．D ．7.（2023·四川眉山）关于x 的不等式组35241x m x x的整数解仅有4个，则m 的取值范围是（）A ．54m B ．54m C ．43m D ．43m8.（2023·四川遂宁）若关于x 的不等式组 4131532x x x x a的解集为3x ，则a 的取值范围是（）A ．3a B ．3a C ．3a D ．3a 二、填空题9.（2023·四川乐山）不等式10x 的解集是__________．10.（2023·全国）不等式480x 的解集为__________．11.（2023·湖南）关于x 的不等式1102x 的解集为_______．12.（2023·辽宁大连）93x 的解集为_______________．13.（2023·山东聊城）若不等式组12232x x x m x的解集为x m ，则m 的取值范围是______．14.（2023·山东滨州）不等式组242,378x x的解集为___________．15.（2023·浙江温州）不等式组323142x x的解是___________．16.（2023·四川凉山）不等式组 5231131722x x x x的所有整数解的和是_________．17.（2023·四川宜宾）若关于x 的不等式组2151922x x a x x①②所有整数解的和为14，则整数a 的值为___________．18.（2023·黑龙江）关于x 的不等式组501x x m有3个整数解，则实数m 的取值范围是__________．19.（2023·重庆）若关于x 的一元一次不等式组+34222x x a，至少有2个整数解，且关于y 的分式方程14222a y y有非负整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是___________．20.（2023·四川泸州）关于x ，y 的二元一次方程组23326x y ax y的解满足x y a 的一个整数值___________．21.（2023·广东）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打_______折．三、解答题22.（2023·浙江）解一元一次不等式组：23215x x23.（2023·湖南永州）解关于x 的不等式组 2203172x x x24.（2023·江苏苏州）解不等式组：210,11.3x x x25.（2023·山东）解不等式组： 5231,32232x x x x x26.（2023·福建）解不等式组：213,13 1.24x x x①②27.（2023·上海）解不等式组36152x x x x28.（2023·甘肃武威）解不等式组：6234x xxx29.（2023·湖北武汉）解不等式组24232x x x①②请按下列步骤完成解答．（1）解不等式①，得________；（2）解不等式②，得________；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；(4)原不等式组的解集是________．30.（2023·天津）解不等式组211412x x x x①②请结合题意填空，完成本题的解答．（1）解不等式①，得________________；（2）解不等式②，得________________；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：(4)原不等式组的解集为________________．31.（2023·湖南）解不等式组： 7140234x x x①②，并把它的解集在数轴上表示出来．32.（2023·江苏扬州）解不等式组 2113,11,3x x x并把它的解集在数轴上表示出来．33.（2023·广东深圳）某商场在世博会上购置A ，B 两种玩具，其中B 玩具的单价比A 玩具的单价贵25元，且购置2个B 玩具与1个A 玩具共花费200元．（1）求A ，B 玩具的单价；（2）若该商场要求购置B 玩具的数量是A 玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A 玩具？34.（2023·江西）今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵．（1）求该班的学生人数；（2）这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？35.（2023·内蒙古赤峰）某集团有限公司生产甲乙两种电子产品共8万件，准备销往东南亚国家和地区．已知2件甲种电子产品与3件乙种电子产品的销售额相同，3件甲种电子产品比2件乙种电子产品的销售多1500元．（1）求甲种电子产品与乙种电子产品销售单价各多少元？（2）若使甲乙两种电子产品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种电子产品多少件？36.（2023·四川眉山）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元：（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？37.（2023·山东聊城）今年五一小长假期间，我市迎来了一个短期旅游高峰．某热门景点的门票价格规定见下表：票的种类A B C购票人数/人1~5051~100100以上票价/元504540某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共102人（甲团人数多于乙团），在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元．（1）求两个旅游团各有多少人？（2）一个人数不足50人的旅游团，当游客人数最低为多少人时，购买B种门票比购买A种门票节省？38.（2023·湖南）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台500元，乙型自行车进货价格为每台800元．该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利650元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利350元．（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？（2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超过13000元，最少需要购买甲型自行车多少台？39.（2023·湖南怀化）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．（1）求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？（2）若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？（3）在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？40.（2023·云南）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买A B、两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元．（1）求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格；（2）若该景区需要购买A B、两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的13，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？41.（2023·河南）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种．活动一：所购商品按原价打八折；活动二：所购商品按原价每满．．300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）（1）购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由．（2）购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价．（3）购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围．42.（2023·湖北荆州）荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍，A种的进价比B种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍．（1）求A，B饰品每件的进价分别为多少元？（2）若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购A种超过150件时，A种超过的部分按进价打6折．设购进A种饰品x件，①求x的取值范围；②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．43.（2023·内蒙古通辽）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．（1）求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？（2）每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．44.（2023·四川广安）“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售A B、两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱A种盐皮蛋和6箱B种盐皮蛋共需390元；若购买5箱A种盐皮蛋和8箱B种盐皮蛋共需310元．（1）A种盐皮蛋、B种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？（2）若某公司购买A B、两种盐皮蛋共30箱，且A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用．【参考答案与解析】1.【答案】D【解析】解：1433x x 4331x x 4x ，解集在数轴上表示为：故选：D ．2.【答案】B【解析】解：1x m 解得1x m ，由数轴得：13m ，解得：2m ，故选：B ．3.【答案】D【解析】解：214x x ①②，解不等式①得：3x 结合②得：不等式组的解集是34x ，故选：D ．4.【答案】C【解析】32312x x x①②解不等式①，移项，合并同类项得，5x ；解不等式②，移项，合并同类项得，1x 故不等式组的解集为：15x ．故选：C ．5.【答案】A【解析】解：311442x x x x①②解不等式①得：1x ，解不等式②得：2x ，∴不等式组的解集为12x ，故选：A ．6.【答案】C【解析】解：1010x x①②，由①得1x ；由②得1x ；原不等式组的解集为11x ，在数轴上表示该不等式组的解集如图所示：，故选：C ．7.【答案】A【解析】解：35241x m x x①②，由②得：3x ，解集为33m x ，由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，1 ，∴231m ，∴54m ；故选：A ．8.【答案】D【解析】解： 4131532x x x x a①②解不等式①得：3x ，解不等式②得：x a ，∵关于x 的不等式组 4131532x x x x a的解集为3x ，∴3a ，故选：D ．9.【答案】1x【解析】解：∵10x ，∴1x ，故答案为：1x ．10.【答案】2x【解析】解：480x48x解得：2x ，故答案为：2x ．11.【答案】2x【解析】解：110 2x ，移项，得11 2x ，系数化为1，得2x ．故答案为：2x ．12.【答案】3x【解析】解：93x，解得：3x ，故答案为：3x ．13.【答案】1m【解析】解：12232x xx m x①②，解不等式①得：1x ，解不等式②得：x m，∵不等式组的解集为：x m ，∴1m ．故答案为：1m ．14.【答案】35x【解析】解：242 378xx①②，由①得：3x ，由②得：5x ，∴不等式组的解集为：35x ；故答案为：35x15.【答案】13x 【解析】解不等式组：323142x x①②解：由①得，1x ；由②得，3x 所以，13x ．故答案为：13x ．16.【答案】7【解析】解： 5231131722x x x x ①②，由①得：53>32x x ，∴2>5x ，解得：5>2x ；由②得：2143x x ，整理得：416x ，解得：4x ，∴不等式组的解集为：542x ，∴不等式组的整数解为：2 ，1 ，0，1，2，3，4；∴ 21012347 ，故答案为：717.【答案】2或1【解析】解：由①得：1x a ，由②得：5x ，不等式组的解集为：15a x ，∵所有整数解的和为14，①整数解为：2、3、4、5，112a ，解得：23a ，∵a 为整数，2a ．②整数解为：1 ，0，1，2、3、4、5，211a ，解得：10a ，∵a 为整数，1a ．综上，整数a 的值为2或1故答案为：2或1 ．18.【答案】32m /23m 【解析】解：解不等式组501x x m得：1x m ，∵关于x 的不等式组501x x m有3个整数解，∴这3个整数解为4 ，3 ，2 ，∴211m ，解得：32m ，故答案为：32m ．19.【答案】4【解析】解：+34222x x a ①②解不等式①得：5x ，解不等式②得：1+2a x ，∴不等式的解集为1+52a x ，∵不等式组至少有2个整数解，∴1+42a ，解得：6a ；∵关于y 的分式方程14222a y y有非负整数解，∴ 1422a y =解得：12a y，即102a 且122a ，解得：1a 且5a ∴a 的取值范围是16a ，且5a ∴a 可以取：1，3，∴134 ，故答案为：4．20.【答案】7（答案不唯一）【解析】将两个方程相减得3x y a ，∵x y∴3a∴3a ∵489 ，∴23 ，∴536 ，∴a 的一个整数值可以是7．故答案为：7（答案不唯一）．21.【答案】8.8【解析】解：设打x 折，由题意得5441010x％，解得：8.8 x ；故答案为：8.8．三、解答题22.【答案】解：23215x x ①②解不等式①，得1x ，解不等式②，得3x ，∴原不等式组的解是13x ．【解析】根据不等式的性质，解一元一次不等式，然后求出两个解集的公共部分即可．23.【答案】解： 2203172x x x①②，解①得，1x ，解②得，2x ，原不等式组的解集为12x ．【解析】分别解不等式组的两个不等式，再取两个不等式的解集的公共部分，即为不等式组的解集．24.【答案】解：210113x x x①②解不等式①得：12x解不等式②得：2x ∴不等式组的解集为：122x 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．25.【答案】解：解 5231x x 得：52x，解32232x x x 得：23x ，∴不等式组的解集为23x．【解析】分别求出各个不等式的解，再取各个解集的公共部分，即可．26.【答案】解：213,13 1.24x x x①②解不等式①，得1x ．解不等式②，得3x ．所以原不等式组的解集为31x ．【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．27.【答案】解：36152x x x x①②，解不等式①得：3x ，解不等式②得：103x ，则不等式组的解集为1033x．【解析】先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集．28.【答案】解：解不等式组：6234x x x x①②，解不等式①，得2x ．解不等式②，得1x ．因此，原不等式组的解集为21x ．【解析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集．29.【答案】（1）3x （2）1x （3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：(4)13x 【解析】（1）解：242x ，26x 3x ．故答案为：3x ．（2）解：32x x ，22x 1x ．故答案为：1x ．（3）在数轴上表示出①、②的解集即可；（4）解：由图可知原不等式组的解集是13x ．故答案为：13x ．30.【答案】（1）2x （2）1x （3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：(4)21x 【解析】（1）解：解不等式①，得2x ，故答案为：2x ；（2）解：解不等式②，得1x ，故答案为：1x ；（3）无（4）解：原不等式组的解集为21x ，故答案为：21x ．31.【答案】解： 7140234x x x①②，由①得：2x ，由②得：26>4x x ，∴>2x ，在数轴上表示其解集如下：∴不等式组的解集为：22x ．【解析】先解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，从而可得答案．32.【答案】解： 2113113x x x①②解不等式①得1x ·，解不等式②，得：2x ，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：则不等式组的解集为：12x ．【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．33.【答案】（1）解：设A 玩具的单价为x 元，则B 玩具的单价为 25x 元；由题意得： 225200x x ；解得：50x ，则B 玩具单价为2575x （元）；答：A 、B 玩具的单价分别为50元、75元；（2）设A 玩具购置y 个，则B 玩具购置2y 个，由题意可得：5075220000y y ，解得：100y ，∴最多购置100个A 玩具．【解析】（1）设A 玩具的单价为x 元每个，则B 玩具的单价为 25x 元每个；根据“购置2个B 玩具与1个A 玩具共花费200元”列出方程即可求解；（2）设A 玩具购置y 个，则B 玩具购置2y 个，根据“购置玩具的总额不高于20000元”列出不等式即可得出答案．34.【答案】（1）解：设该班的学生人数为x 人，由题意得，320425x x ，解得45x ，∴该班的学生人数为45人；（2）解：由（1）得一共购买了34520155 棵树苗，设购买了甲树苗m 棵，则购买了乙树苗 155m 棵树苗，由题意得， 30401555400m m ，解得80m ，∴m 得最小值为80，∴至少购买了甲树苗80棵，答：至少购买了甲树苗80棵．【解析】（1）设该班的学生人数为x 人，根据两种方案下树苗的总数不变列出方程求解即可；（2）根据（1）所求求出树苗的总数为155棵，设购买了甲树苗m 棵，则购买了乙树苗 155m 棵树苗，再根据总费用不超过5400元列出不等式求解即可．35.【答案】（1）解：设甲种电子产品的销售单价是x 元，乙种电子产品的单价为y 元．根据题意得：23321500x y x y ，解得：900600x y；答：甲种电子产品的销售单价是900元，乙种电子产品的单价为600元．（2）解：设销售甲种电子产品a 万件，则销售乙种电子产品 8a 万件．根据题意得： 90060085400a a ，解得：2a ．答：至少销售甲种电子产品2万件．【解析】（1）设甲种电子产品的销售单价x 元，乙种电子产品的销售单价y 元，根据等量关系：2①件甲种电子产品与3件乙种电子产品的销售额相同，3②件甲种电子产品比2件乙种电子产品的销售多1500元，列出方程组求解即可；（2）可设销售甲种电子产品a 万件，根据甲、乙两种电子产品的销售总收入不低于5400万元，列出不等式求解即可．36.【答案】（1）解：设甲种书的单价为x 元，乙种书的单价为y 元，可得方程210032165x y x y，解得3530x y ，原方程的解为3530x y ，答：甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元．（2）解：设购买甲种书a 本，则购买乙种书 100a 本，根据题意可得 35301003200a a ，解得40a ，故该校最多可以购买甲种书40本，答：该校最多可以购买甲种书40本．【解析】（1）设甲种书的单价为x 元，乙种书的单价为y 元，利用2本甲种书的价格 1本乙种书的价格100 ；3本甲种书的价格 2本乙种书的价格165 ，列方程解答即可；（2）设购买甲种书a 本，则购买乙种书 100a 本，根据购买甲种书的总价购买乙种书的总价3200 ，列不等式解答即可．37.【答案】（1）解：设甲团人数有x 人，乙团人数有y 人，由题意得：102455010240730x y x y，解得：5844x y ，答：甲团人数有58人，乙团人数有44人；（2）解：设游客人数为a 人时，购买B 种门票比购买A 种门票节省，由题意得：4551a ，解得：45.9a ，∵a 为整数，∴当游客人数最低为46人时，购买B 种门票比购买A 种门票节省．【解析】（1）设甲团人数有x 人，乙团人数有y 人，根据“甲、乙两个旅游团共102人，把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元”列方程组求解即可；（2）设游客人数为a 人时，购买B 种门票比购买A 种门票节省，根据“人数不足50人，购买B 种门票比购买A 种门票节省”列不等式求解即可．38.【答案】（1）解：该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为,x y 元，根据题意得，326502350x y x y ，解得：150100x y，答：该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为150,100元；（2）设需要购买甲型自行车a 台，则购买乙型自行车 20a 台，依题意得，5008002013000a a ，解得：10a ，∵a 为正整数，∴a 的最小值为10，答：最少需要购买甲型自行车10台．【解析】（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为,x y 元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）设需要购买甲型自行车a 台，则购买乙型自行车 20a 台，依题意列出不等式，解不等式求最小整数解，即可求解．39.【答案】（1）解：设原计划租用A 种客车x 辆，根据题意得，4530606x x ，解得：26x 所以 602661200 （人）答：原计划租用A 种客车26辆，这次研学去了1200人；（2）解：设租用A 种客车a 辆，则租用B 种客车 25a 辆，根据题意，得 2574560251200a a a，解得：1820a ，∵a 为正整数，则18,19,20a ，∴共有3种租车方案，方案一：租用A 种客车18辆，则租用B 种客车7辆，方案二：租用A 种客车19辆，则租用B 种客车6辆，方案三：租用A 种客车20辆，则租用B 种客车5辆，（3）∵A 种客车租金为每辆220元，B 种客车租金每辆300元，∴B 种客车越少，费用越低，方案一：租用A 种客车18辆，则租用B 种客车7辆，费用为1822073006060 元，方案二：租用A 种客车19辆，则租用B 种客车6辆，费用为1922063005980 元，方案三：租用A 种客车20辆，则租用B 种客车5辆，费用为2022053005900 元，∴租用A 种客车20辆，则租用B 种客车5辆才最合算．【解析】（1）设原计划租用A 种客车x 辆，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解；（2）设租用A 种客车a 辆，则租用B 种客车 25a 辆，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解；（3）分别求得三种方案的费用，进而即可求解．40.【答案】（1）解：设每顶A 种型号帐篷的价格为x 元，每顶B 种型号帐篷的价格为y 元．根据题意列方程组为：24520032800x y x y ，解得6001000x y，答：每顶A 种型号帐篷的价格为600元，每顶B 种型号帐篷的价格为1000元．（2）解：设A 种型号帐篷购买m 顶，总费用为w 元，则B 种型号帐篷为(20)m 顶，由题意得6001000(20)40020000w m m m ，其中 1203m m ，得5m ，故当A 种型号帐篷为5顶时，总费用最低，总费用为 6005100020518000w ，答：当A 种型号帐篷为5顶时，B 种型号帐篷为15顶时，总费用最低，为18000元．【解析】（1）根据题意中的等量关系列出二元一次方程组，解出方程组后得到答案；（2）根据购买A 种型号帐篷数量不超过购买B 种型号帐篷数量的13，列出一元一次不等式，得出A 种型号帐篷数量范围，再根据一次函数的性质，取A 种型号帐篷数量的最大值时总费用最少，从而得出答案．41.【答案】（1）解：购买一件原价为450元的健身器材时，活动一需付款：4500.8360 元，活动二需付款：45080370 元，∴活动一更合算；（2）设这种健身器材的原价是x 元，则0.880x x ，解得400x ，答：这种健身器材的原价是400元，（3）这种健身器材的原价为a 元，则活动一所需付款为：0.8a 元，活动二当0300a 时，所需付款为：a 元，当300600a 时，所需付款为： 80a 元，当600900a 时，所需付款为： 160a 元，①当0300a 时，0.8a a ，此时无论a 为何值，都是活动一更合算，不符合题意，②当300600a 时，800.8a a ，解得300400a ，即：当300400a 时，活动二更合算，③当600900a 时，1600.8a a ，解得600800a ，即：当600800a 时，活动二更合算，综上：当300400a 或600800a 时，活动二更合算．【解析】（1）分别计算出两个活动需要付款价格，进行比较即可；（2）设这种健身器材的原价是x 元，根据“选择活动一和选择活动二的付款金额相等”列方程求解即可；（3）由题意得活动一所需付款为0.8a 元，活动二当0300a 时，所需付款为a 元，当300600a 时，所需付款为 80a 元，当600900a 时，所需付款为 160a 元，然后根据题意列出不等式即可求解．42.【答案】（1）设A 种饰品每件的进价为a 元，则B 种饰品每件的进价为 1a 元．由题意得：140063021a a ，解得：10a ，经检验，10a 是所列方程的根，且符合题意．A 种饰品每件进价为10元，B 种饰品每件进价为9元．（2）①根据题意得：6003906004x x x，解得：120210x 且x 为整数；②设采购A 种饰品x 件时的总利润为w 元．当120150x 时， 156********w x x ，即3600w x ，10 ∵，w 随x 的增大而减小．当120x 时，w 有最大值3480．当150210x 时， 15600101501060%1509600w x x ，整理得：33000w x ，30 ∵，w 随x 的增大而增大．当210x 时，w 有最大值3630．36303480 ∵，w 的最大值为3630，此时600390x ．即当采购A 种饰品210件，B 种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元．【解析】（1）分别设出A ，B 饰品每件的进价，依据数量列出方程求解即可；（2）①依据题意列出不等式即可；②根据不同的范围，列出不同函数关系式，分别求出最大值，比较即可得到李荣最大值．43.【答案】（1）解：设每台B 型机器每天搬运x 吨，则每台A 型机器每天搬运 10x 吨,由题意可得：45050010x x，解得：100x 经检验，100x 是分式方程45050010x x 的解每台A 型机器每天搬运101001090x 吨答：每台A 型机器，B 型机器每天分别搬运货物90吨和100吨（2）解：设公司计划采购A 型机器m 台，则采购B 型机器 30m 台由题意可得： 901003028801.523055m m m m,解得：412m ，公司采购金额： 1.52300.560w m m m∵0.50∴w 随m 的增大而减小∴当12m 时，公司采购金额w 有最小值，即0.5126054w ，∴当购买A 型机器人12台，B 型机器人18台时，购买总金额最低是54万元．【解析】（1）设每台B 型机器每天搬运x 吨，则每台A 型机器每天搬运 10x 吨，根据题意列出分式方程，解方程、检验后即可解答；（2设公司计划采购A 型机器m 台，则采购B 型机器 30m 台，再题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出m 的取值范围，再列出公司计划采购A 型机器m 台与采购支出金额w 的函数关系式，最后利用一次函数的增减性求最值即可．44.【答案】（1）解：设A 种盐皮蛋每箱价格是x 元，B 种盐皮蛋每箱价格是y 元，由题意得：9639058310x y x y，解得3020x y ，答：A 种盐皮蛋每箱价格是30元，B 种盐皮蛋每箱价格是20元．（2）解：设购买A 种盐皮蛋m 箱，则购买B 种盐皮蛋 30m 箱，∵购买A 种的数量至少比B 种的数量多5箱，又不超过B 种的2倍， 305230m m m m ，解得35202m ，又m ∵为正整数，m 所有可能的取值为18，19，20，①当18m ，3012m 时，购买总费用为30182012780 （元），②当19m ，3011m 时，购买总费用为30192011790 （元），③当20m ，3010m 时，购买总费用为30202010800 （元），所以购买A 种盐皮蛋18箱，B 种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元．【解析】（1）设A 种盐皮蛋每箱价格是x 元，B 种盐皮蛋每箱价格是y 元，根据题意建立方程组，解方程组即可得；（2）设购买A 种盐皮蛋m 箱，则购买B 种盐皮蛋 30m 箱，根据题意建立不等式组，解不等式组可得m 的取值范围，再结合m 为正整数可得m 所有可能的取值，然后根据（1）的结果逐个计算总费用，找出总费用最少的购买方案即可．。

一元一次不等式(组)及应用

一元一次不等式（组）及其应用不等式与不等式组课标要求①能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质。

②会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。

会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集。

③能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的问题。

考点透视1. 熟练掌握一元一次不等式（组）的解法。

2.能够根据具体问题中的数量关系，列出不等式（组），并检验结果是否合理。

3. 体会不等式（组）是刻画现实世界的一个有效的数学模型，理解不等式与方程、函数的内在联系。

知识梳理1、不等式：2、不等式的基本性质3、解一元一次不等式的一般步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1（熟记）◆求不等式（组）的解集的方法：（1）利用数轴来求（数形结合）（2）利用口诀（同大取大，同小取小；大小小大，解在中间；大大小小，无解可找。

）4、列不等式（组）解应用题一般步骤：审题、设未知数、找不等关系、列不等式（组）、解不等式（组）、检验作答。

考题例析（独立完成后小组讨论并展示）例1、解不等式（组），并将它的解集在数轴上表示出来：（1）（2）训练大本营（独立完成后小组交流）(1) 代数式值为正数，的范围是 .(2) 不等式组的整数解的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个（3）如果不等式组的解集是，那么的值为．（4）若不等式组的解集是，则．（5）已知关于的不等式组只有四个整数解，则实数的取值范围是．拓展延伸（1）已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列四条线段中能作为第三边的是（）A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm（2）若方程组的解是负数，那么a的取值范围是．典型应用题1、从2008年12月1日起，国家开始实施家电下乡计划，国家按照农民购买家电金额的13％予以政策补贴，某商场计划购进A、B两种型号的彩电共100台，已知该商场所筹购买的资金不少于222000元，但不超过222800元，国家规定这两种型号彩电的进价和售价如下表：（注：利润=售价-进价）。

第9讲不等式(组)及其应用

3（x＋1）>x－1
正解解：令：－32x＋3≥4
，
解不等式①得 x>－2，
解不等式②得－23x≥1，不等式两边同乘以－32得 x≤－23.∴原不等式组的
解集为－2<x≤－32.
∴原不等式组的最小整数解是－1
请完成考点精练
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月3日星期四2022/3/32022/3/32022/3/3 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/32022/3/32022/3/33/3/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/32022/3/3March 3, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/32022/3/32022/3/32022/3/3
剖析 (1)在解不等式的过程注意不等式性质3的使用，即给不等式两边同时乘以(或除以)一个负数，不等号要改变方向；(2)求不等式组的整数解时，“实心”点所表示的实数如果是整数，则该点也是所求整数解，如果不是整数，要从离该点最近的整数点开始算起；“空心”点所在的实数如果是整数，则该点不是整数解，如果不是整数，则要从解集中离该点最近的整数点开始算起．
[对应训练]
1．(2016·西宁)某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格
售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售
出，销售总额超过了5.5万元．这批电话手表至少有( C )
A．103块
B．104块

第09讲不等式(组)及其应用(跟踪训练解析)

第09讲不等式（组）及其应用二、考点分析【考点1 不等式的概念及性质】【解题技巧】不等式的基本性质是不等式变形的重要依据，性质3——不等号的方向会发生改变这是不等式独有的性质．（1）不等式的基本性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：若a＞b，那么a±m＞b±m；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜；（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．【规律方法】1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．【例1】（2019 上海中考）如果m＞n，那么下列结论错误的是（）A．m+2＞n+2B．m﹣2＞n﹣2C．2m＞2n D．﹣2m＞﹣2n【答案】D．【分析】根据不等式的性质即可求出答案．【解答】解：∵m＞n，∴﹣2m＜﹣2n，故选：D．【一领三通1-1】（2019 山东淄博中考模拟）若x＞y，则下列式子中错误的是(D)A．x－3＞y－3 B．3x＞3y C．x＋3＞y＋3 D．－3x＞－3y【答案】D．【分析】根据不等式的性质即可求出答案．【解答】A 是在不等式x ＞y 的两边都减去3，是正确的B 是在不等式x ＞y 的两边都乘以3，是正确的C 是在不等式x ＞y 的两边都加上3，是正确的D 是在不等式x ＞y 的两边都乘以-3，是错误的故选：D ．【一领三通1-2】（2019辽宁葫芦岛中考模拟）四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P 、Q 、R 、S ，如图3所示，则他们的体重大小关系是（）A P R S Q >>>B Q S P R >>>C S P Q R >>>D S P R Q >>>【答案】D ．【分析】根据不等式的性质即可求出答案．【解答】跷跷板不平衡时是不等量关系，要注意较低的那边重些，解决此类问题常通过不等式(组)来转换，由图知 S>P ，P>R ，P+R>Q+S ，所以S>P>R>S选D【一领三通1-3】（2019•广东佛山中考模拟）现有不等式的性质：①在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；②在不等式的两边都乘以同一个数（或整式），乘的数（或整式）为正时不等号的方向不变，乘的数（或整式）为负时不等式的方向改变．请解决以下两个问题：（1）利用性质①比较2a 与a 的大小（a ≠0）；（2）利用性质②比较2a 与a 的大小（a ≠0）．【分析】根据不等式的性质即可求出答案．【解答】（1）a ＞0时，a+a ＞a+0，即2a ＞a ，a ＜0时，a+a ＜a+0，即2a ＜a ；（2）a ＞0时，2＞1，得2•a ＞1•a ，即2a ＞a ；a ＜0时，2＞1，得2•a ＜1•a ，即2a ＜a ．【考点2 一元一次不等式及其解法】【解题技巧】(1)已知一元一次不等式(组)的解集，确定其中字母的取值范围的方法是：①逆用不等式(组)的解集确定；②分类讨论确定；③从反面求解确定；④借助于数轴确定．(2)根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．【例2】（2019 辽宁大连中考）不等式5x+1≥3x﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】B．【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【解答】解：5x+1≥3x﹣1，移项得5x﹣3x≥﹣1﹣1，合并同类项得2x≥﹣2，系数化为1得，x≥﹣1，在数轴上表示为：故选：B．【一领三通2-1】（2019•呼和浩特）若不等式﹣1≤2﹣x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）成立，则m的取值范围是（）A．m＞﹣B．m＜﹣C．m＜﹣D．m＞﹣【答案】C．【分析】求出不等式﹣1≤2﹣x的解，求出不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）的解集，得出关于m 的不等式，求出m即可．【解答】解：解不等式﹣1≤2﹣x得：x≤，∵不等式﹣1≤2﹣x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）成立，∴x＜，∴＞，解得：m＜﹣，故选：C．【一领三通2-2】（2019•长春）不等式﹣x+2≥0的解集为（）A．x≥﹣2B．x≤﹣2C．x≥2D．x≤2【答案】D．【分析】直接进行移项，系数化为1，即可得出x的取值．【解答】解：移项得：﹣x≥﹣2系数化为1得：x≤2．故选：D．【一领三通2-3】（2019吉林中考）不等式3x﹣2＞1的解集是．【答案】x＞1．【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时加上2再除以3，不等号的方向不变．【解答】解：∵3x﹣2＞1，∴3x＞3，∴x＞1，∴原不等式的解集为：x＞1．故答案为x＞1．【一领三通2-4】（2019 河北保定中考模拟）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝a(a－b)＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5＝2×(2－5)＋1＝2×(－3)＋1＝－6＋1＝－5.若3⊕x 的值小于13，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来．【分析】利用不等式的基本性质，按照解不等式的步骤给以变形．【解答】由3⊕x小于13，得3(3－x)＋1<13，去括号，得9－3x＋1＜13，移项合并，得－3x＜3，解得x>－1.在数轴上表示如图．【一领三通2-5】（2019 江苏南京中考）已知一次函数y1＝kx+2（k为常数，k≠0）和y2＝x﹣3．（1）当k＝﹣2时，若y1＞y2，求x的取值范围．（2）当x＜1时，y1＞y2．结合图象，直接写出k的取值范围．【分析】（1）解不等式﹣2x+2＞x﹣3即可；（2）先计算出x＝1对应的y2的函数值，然后根据x＜1时，一次函数y1＝kx+2（k为常数，k≠0）的图象在直线y2＝x﹣3的上方确定k的范围．【解答】解：（1）k＝﹣2时，y1＝﹣2x+2，根据题意得﹣2x+2＞x﹣3，解得x＜；（2）当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，把（1，﹣2）代入y1＝kx+2得k+2＝﹣2，解得k＝﹣4，当﹣4≤k＜0时，y1＞y2；当0＜k≤1时，y1＞y2．【考点3 一元一次不等式组及其解法】【解题技巧】解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．【例3】（2019 山西中考）不等式组的解集是（）A．x＞4B．x＞﹣1C．﹣1＜x＜4D．x＜﹣1【答案】A．【分析】首先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出其公共解集．【解答】解：，由①得：x＞4，由②得：x＞﹣1，不等式组的解集为：x＞4，故选：A．【一领三通3-1】（2019 甘肃中考）不等式组的最小整数解是．【答案】0．【分析】求出不等式组的解集，确定出最小整数解即可．【解答】解：不等式组整理得：，∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，则最小的整数解为0，故答案为：0【一领三通3-2】（2019 河南中考）不等式组的解集是．【答案】x≤﹣2．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式≤﹣1，得：x≤﹣2，解不等式﹣x+7＞4，得：x＜3，则不等式组的解集为x≤﹣2，故答案为：x≤﹣2．【一领三通3-3】（2019 湖北黄石中考）若点P的坐标为（，2x﹣9），其中x满足不等式组，求点P所在的象限．【分析】先求出不等式组的解集，进而求得P点的坐标，即可求得点P所在的象限．【解答】解：，解①得：x≥4，解②得：x≤4，则不等式组的解是：x＝4，∵＝1，2x﹣9＝﹣1，∴点P的坐标为（1，﹣1），∴点P在的第四象限．【一领三通3-4】（2019天津中考）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（Ⅳ）原不等式组的解集为．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣2；（Ⅱ）解不等式②，得x≤1；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣2≤x≤1．故答案为：x≥﹣2，x≤1，﹣2≤x≤1．【一领三通3-5】（2019浙江温州中考）不等式组的解为．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：，由①得，x＞1，由②得，x≤9，故此不等式组的解集为：1＜x≤9．故答案为：1＜x≤9．【考点4 一元一次不等式（组）的应用】【解题技巧】（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．【例4】（2019•哈尔滨）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元；（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？【分析】（1）设每副围棋x元，每副中国象棋y元，根据题意得：，求解即可；（2）设购买围棋z副，则购买象棋（40﹣z）副，根据题意得：16z+10（40﹣z）≤550，即可求解；【解答】解：（1）设每副围棋x元，每副中国象棋y元，根据题意得：，∴，∴每副围棋16元，每副中国象棋10元；（2）设购买围棋z副，则购买象棋（40﹣z）副，根据题意得：16z+10（40﹣z）≤550，∴z≤25，∴最多可以购买25副围棋；【一领三通4-1】（2019•台湾）阿慧在店内购买两种蛋糕当伴手礼，如图为蛋糕的价目表．已知阿慧购买10盒蛋糕，花费的金额不超过2500元．若他将蛋糕分给75位同事，每人至少能拿到一个蛋糕，则阿慧花多少元购买蛋糕？（）A．2150B．2250C．2300D．2450【答案】D．【分析】可设阿慧购买x盒桂圆蛋糕，则购买（10﹣x）盒金爽蛋糕，根据不等关系：①购买10盒蛋糕，花费的金额不超过2500元；②蛋糕的个数大于等于75个，列出不等式组求解即可．【解答】解：设阿慧购买x盒桂圆蛋糕，则购买（10﹣x）盒金爽蛋糕，依题意有，解得2≤x≤3，∵x是整数，∴x＝3，350×3+200×（10﹣3）＝1050+1400＝2450（元）．答：阿慧花2450元购买蛋糕．故选：D．【一领三通4-2】（2015 .河北中考）水平放置的容器内原有210 mm高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4 mm，每放入一个小球水面就上升3 mm，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y mm.(1)只放入大球，且个数为x大，求y与x大的函数关系式；(不必写出x大的范围)(2)仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x小．①求y与x小的函数关系式；(不必写出x小的范围)②限定水面高不超过260 mm，最多能放入几个小球？【分析】水面高度与球的个数是一次函数关系【解答】(1)y ＝4x 大＋210；(2)①当x 大＝6时，y ＝4×6＋210＝234，∴y ＝3x 小＋234；②依题意，得3x 小＋234≤260，解得x 小≤823， ∵x 小为自然数，∴x 小最大为8，即最多能放入8个小球．【一领三通4-3】（2019 湖北孝感中考）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A 、B 两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套B 型一体机的价格比每套A 型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A 型一体机和200套B 型一体机．（1）求今年每套A 型、B 型一体机的价格各是多少万元？（2）该市明年计划采购A 型、B 型一体机共1100套，考虑物价因素，预计明年每套A 型一体机的价格比今年上涨25%，每套B 型一体机的价格不变，若购买B 型一体机的总费用不低于购买A 型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？【分析】（1）直接利用今年每套B 型一体机的价格比每套A 型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A 型一体机和200套B 型一体机，分别得出方程求出答案；（2）根据题意表示出总费用进而利用一次函数增减性得出答案．【解答】解：（1）设今年每套A 型一体机价格为x 万元，每套B 型一体机的价格为y 万元，由题意可得：，解得：，答：今年每套A 型的价格各是1.2万元、B 型一体机的价格是1.8万元；（2）设该市明年购买A 型一体机m 套，则购买B 型一体机（1100﹣m ）套，由题意可得：1.8（1100﹣m ）≥1.2（1+25%）m ，解得：m ≤600，设明年需投入W 万元，W ＝1.2×（1+25%）m +1.8（1100﹣m ）＝﹣0.3m +1980，∵﹣0.3＜0，∴W随m的增大而减小，∵m≤600，∴当m＝600时，W有最小值﹣0.3×600+1980＝1800，故该市明年至少需投入1800万元才能完成采购计划．【一领三通4-4】（2019 福建中考）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元．根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元．（1）求该车间的日废水处理量m；（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．【分析】（1）求出该车间处理35吨废水所需费用，将其与350比较后可得出m＜35，根据废水处理费用＝该车间处理m吨废水的费用+第三方处理超出部分废水的费用，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设一天产生工业废水x吨，分0＜x≤20及x＞20两种情况考虑，利用每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论．【解答】解：（1）∵35×8+30＝310（元），310＜350，∴m＜35．依题意，得：30+8m+12（35﹣m）＝370，解得：m＝20．答：该车间的日废水处理量为20吨．（2）设一天产生工业废水x吨，当0＜x≤20时，8x+30≤10x，解得：15≤x≤20；当x＞20时，12（x﹣20）+8×20+30≤10x，解得：20＜x≤25．综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围为15≤x≤20．11。

不等式基本不等式实际应用

最优策略问题
总结词
不等式可以用于最优策略问题，通过建立不等式关系，确定最优策略的取值范围。
详细描述
在决策和规划中，最优策略问题是非常常见的问题。不等式可以用来描述策略变量之间的关系，从而建立不等式模型。通过解不等式，可以得到策略变量的可行区间，并确定最优策略的取值范围。例如，在市场调研中，可以利用不等式关系来分析市场需求和竞争状况之间的平衡，从而制定最优的市场策略。
时取等号） • 排序不等式：对于两组实数a_1 \le a_2 \le a_3 \le ... \le a_n和b_1 \le b_2 \le b_3 \le ... \le b_n，有
a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+...+a_nb_n \le a_1b_n+a2b{n-1}+...+a_nb_1 （当且仅当a_1=a_2=...=a_n和 b_1=b_2=...=b_n时取等号）
不等式的性质
它是解不等式和不等式组的基础，包括传递性、加法单调性、乘法单调性、正值不等式、正值不等式、正值不等式等。
重要不等式
• 算术平均数与几何平均数的不等式：$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ （当且仅当a=b时取等号） • 柯西不等式：$(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2) \geq (a_1b_1+a_2b_2)^2$ （当且仅当a_1b_2=a_2b_1
总结词
不等式可以用于资源分配问题，通过建立不等式关系，确定资源的最优分配方案。
详细描述
在生产和运营管理中，资源分配是一个非常重要的问题。不等式可以用来描述资源限制和需求之间的关系，从而建立不等式模型。通过解不等式，可以得到资源的最优分配方案，使得资源得到充分利用，并满足各种需求。例如，在物流管理中，可以利用不等式关系来分析运输成本和交货时间之间的平衡，从而制定最优的运输计划。

专题10一元一次不等式(组)及其应用(知识点总结+例题讲解)-2021届中考数学一轮复习

2021年中考数学专题10 一元一次不等式(组)及其应用（知识点总结+例题讲解）一、不等式及其性质：1.不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式；2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值；3.不等式的解集：（1）对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解；（2）对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集；4.解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式；5.不等式基本性质：（1）不等式两边加(或减)同一个数(或同一个整式)，不等号的方向不变；若a＞b，则a±c＞b±c；（2）不等式两边乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；若a＞b，c＞0，则ac＞bc(或a b＞)；c c（3）不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变；若a＞b，c＜0，则ac＜bc(或a b＜)；c c【例题1】下列式子：（1）4＞0；（2）2x+3y＜0；（3）x＝3；（4）x≠y；（5）x+y；（6）x+3≤7中，不等式的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】主要依据不等式的定义，用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，所以（1），（2），（4），（6）为不等式，共有4个．故选：C．【变式练习1】据气象台预报，2019年某日武侯区最高气温33℃，最低气温24℃，则当天气温（℃：）的变化范围是（）A．t＞33 B．t≤24 C．24＜t＜33 D．24≤t≤33【答案】D【解析】已知某日武侯区的最高气温和最低气温，可知某日武侯区的气温的变化范围应该在最高气温和最低气温之间，且包括最高气温和最低气温．解：由题意知：武侯区的最高气温是33℃，最低气温24℃，所以当天武侯区的气温（t℃）的变化范围为：24≤t≤33．故选：D．【例题2】（2020•贵港）如果a＜b，c＜0，那么下列不等式中不成立的是（）A．a+c＜b+c B．ac＞bc C．ac+1＞bc+1 D．ac2＞bc2【答案】D【解析】根据不等式的性质解答即可．解：A、由a＜b，c＜0得到：a+c＜b+c，原变形正确，故此选项不符合题意；B、由a＜b，c＜0得到：ac＞bc，原变形正确，故此选项不符合题意；C、由a＜b，c＜0得到：ac+1＞bc+1，原变形正确，故此选项不符合题意；D、由a＜b，c＜0得到：ac2＜bc2，原变形错误，故此选项符合题意．故选：D．【变式练习2】（2019•济南）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（）A．a﹣5＞b﹣5 B．6a＞6b C．﹣a＞﹣b D．a﹣b＞0【答案】C【解析】根据数轴判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小，然后解答即可．解：由图可知，b＜0＜a，且|b|＜|a|，∴a﹣5＞b﹣5，6a＞6b，﹣a＜﹣b，a﹣b＞0，∴关系式不成立的是选项C．故选：C．【例题3】已知x≥5的最小值为a，x≤﹣7的最大值为b，则ab＝．【答案】-35【解析】解答此题首先根据已知得出理解“≥”“≤”的意义，判断出a和b的最值即可解答．解：因为x≥5的最小值是a，a＝5；x≤﹣7的最大值是b，则b＝﹣7；则ab＝5×（﹣7）＝﹣35．故答案为：﹣35．【变式练习3】关于x的一元一次不等式m−2x3≤−2的解集为x≥4，则m的值为（）A．14 B．7 C．﹣2 D．2【答案】D【解析】本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得不等式的解集，再根据x≥4，求得m的值．解：m−2x3≤−2；所以：m﹣2x≤﹣6；则：﹣2x≤﹣m﹣6；即：x≥12m+3；∵关于x的一元一次不等式m−2x3≤−2的解集为x≥4；∴12m+3＝4，解得m＝2．故选：D．二、一元一次不等式及其解法：1.一元一次不等式的定义：不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的2.一元一次不等式的解法一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）将未知项的系数化为1。

第8讲一元一次不等式(组)及其应用

3m－n≥10 1.(1)m的3倍与n的差不小于10，用不等式表示为__________________；(2)已＜知a＞b，则－3－2a________ －3－2b.(填＞、＝或＜)
考点2一元一次不等式(组)及其解法(2017.12，2015.5，2014.10，2013.6) 1．一元一次不等式(组)的解法
(1－20%)×200×16＋200a－8000≥3200×90%，解得：a≥41.6.
答：大樱桃的售价最少应为41.6元/千克．
解决一元一次不等式的实际应用问题时，首先应该设出合理的未知数，将题
中各量用含有未知数的代数式表示，并理清各量之间的关系，根据不等关系
列不等式(要特别注意端点值是否包含其中)，解不等式，并注意所求解是否符合实际意义．
(2)通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问A种设备购进数量至多减少多少套？
解：(1)设该商场计划购进 A，B 两种品牌的教学设备分别为 x 套、y 套，则
x＝20. 1.5x＋1.2y＝66，解得： y＝30. （1.65－1.5）x＋（1.4－1.2）y＝9，
答：该商场计划购进 A，B 两种品牌的教学设备分别为 20 套，30 套；
(2)设A种设备购进数量减少a套，则B种设备购进数量增加1.5a套，
1．5(20－a)＋1.2(30＋1.5a)≤69，解得：a≤10. 答：A种设备购进数量至多减少10套．
3（x＋1）＞x－1 试题解不等式组 2 ，并求出其最小整数解．－3x＋3≥4
易错分析 (1)在解不等式的过程注意不等式性质 3 的使用，即给不等式两边同时乘以(或除以)一个负数时，不等号要改变方向；(2)求不等式组的整数解时， “实心”点所表示的实数如果是整数，则该点也是所求整数解，如果不是整数，要从解集内离该点最近的整数点开始算起；“空心”点所在的实数如果是整数，则该点不是整数解．

初中数学中的不等式如何确定解集的范围

初中数学中的不等式如何确定解集的范围不等式是数学中常见的一种关系式，它的解集代表了满足条件的数值范围。

在初中数学中，学生需要学习如何通过不等式来确定解集的范围，这是一个重要的数学技能。

本文将以此为主题，讨论初中数学中不等式如何确定解集的范围及其应用。

一、一元一次不等式对于一元一次不等式，其形式通常为ax + b < c或ax + b > c，其中a、b、c为已知数，x为未知数。

要确定解集的范围，我们需要先解出等号的情况，即ax + b = c。

以不等式2x + 3 < 7为例，我们可以通过减去常数项3，得到2x < 4。

接下来，我们将不等式除以系数2，即x < 2。

这样我们就得到了等号的解集范围。

接下来，我们需要判断不等号的方向。

由于原始不等式是小于号，而等号的解集范围是x < 2，因此最终的解集范围为x ∈ (-∞, 2)。

二、一元二次不等式对于一元二次不等式，其形式通常为ax^2 + bx + c < 0或ax^2 + bx+ c > 0。

同样地，我们先需要解出等号的情况，即ax^2 + bx + c = 0。

以不等式x^2 - 4x + 3 < 0为例，我们可以通过因式分解或配方法将其转化为(x - 1)(x - 3) < 0。

然后我们可以得到等号的解集范围为x = 1, 3。

接下来，我们需要找出不等号的方向。

由于原始不等式是小于号，而等号的解集范围中的数值是1和3，因此最终的解集范围是1 < x < 3。

三、不等式组在初中数学中，我们还需要学习如何解决不等式组。

不等式组是多个不等式的集合，需要找出满足所有不等式的解集范围。

以以下不等式组为例：2x + 3 < 7x - 1 > 0我们可以分别求解每个不等式的解集范围。

对于第一个不等式，我们可以得到x < 2。

而对于第二个不等式，我们可以得到x > 1。

几个重要不等式及其应用

几个重要不等式及其应用一、几个重要不等式以下四个不等式在数学竞赛中使用频率是最高的，应用极为广泛。

1、算术-几何平均值（AM-GM ）不等式设12,,,n a a a 是非负实数，则12nn a a a n+++≥2、柯西（Cauchy ）不等式设,(1,2,)i i a b R i n ∈=，则222111.n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑等号成立当且仅当存在R λ∈，使,1,2,,.i i b a i n λ==变形（Ⅰ）：设+∈∈R b R a i i ,，则∑∑∑===⎪⎭⎫⎝⎛≥ni in i i ni ii b a b a 12112；等号成立当且仅当存在R λ∈，使,1,2,,.i i b a i n λ==变形（Ⅱ）设i i b a ,同号，且0,≠i i b a ，则∑∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛≥n i ii n i i ni ii b a a b a 1211。

等号成立当且仅当nb b b === 213．排序不等式设n n n j j j b b b a a a ,,,,,212121⋯≤⋯≤≤≤⋯≤≤是n ,,2,1⋯的一个排列，则n n j j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n ++≤+++≤+++-2211321112121. 等号成立当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21。

（用调整法证明）.4．琴生（Jensen ）不等式若()x f 是区间()b a ,上的凸函数，则对任意的点()b a x x x n ,,,,21∈ *()n N ∈有()()()12121().nn x x x f f x f x f x nn +++≤+++⎡⎤⎣⎦等号当且仅当n x x x === 21时取得。

（用归纳法证明）二、进一步的结论运用以上四个不等式可得以下更一般的不等式和一些有用的结论，有时用这些结论也会起到意想不到的效果。

专题05 不等式(组)及不等式的应用(5大考点)-2023年中考数学总复习真题探究与变式训练解析版)

第二部分方程（组）与不等式（组）专题05 不等式（组）及不等式的应用核心考点一不等式的基本性质核心考点二一元一次不等式（组）的解法核心考点核心考点三含参不等式（组）问题核心考点四不等式的实际应用核心考点五方程与不等式结合的实际应用新题速递核心考点一不等式的基本性质例1（2022·内蒙古包头·中考真题）若，则下列不等式中正确的是（）A．B．C．D．∴，故本选项不合题意；∴，故本选项不合题意；∴，故本选项不合题意；∴，故本选项符合题意；数轴上的点分别表示实数、，则______．（填“>”、“=”或“<”）【答案】【分析】由图可得：，再根据不等式的性质即可判断．【详解】解：由图可得：，由不等式的性质得：，故答案为：．【点睛】本题考查了数轴，不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．江苏淮安·中考真题）解不等式．解：去分母，得．……（1）请完成上述解不等式的余下步骤：（2）解题回顾：本题“去分母”这一步的变形依据是（填“A”或“B”）A．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；B．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【答案】（1）余下步骤见解析；（2）A．【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项的步骤进行补充即可；（2）根据不等式的性质即可得．【详解】（1）去分母，得去括号，得移项，得合并同类项，得；（2）不等式的性质：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变两边同乘以正数2，不等号的方向不变，即可得到故选：A．【点睛】本题考查了解一元一次不等式、不等式的性质，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．知识点：不等式及其基本性质1、定义：用不等号（>,≥,<,≤或≠）表示不等关系的式子叫做不等式。

2、基本性质性质1不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变，即如果，那么性质2不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果，，那么，性质3不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果，，那么，性质4如果，那么性质5如果，，那么【变式1】．（2022·安徽·合肥市五十中学西校三模）已知实数a，b，c满足，．则下列结论正确的是（）A．若，则B．若，则C．a，b，c不可能同时相等D．若，则【答案】B【分析】A.根据，则，根据，得出；B.根据，得出，把代入得：，即可得出答案；C.当时，可以使，，即可判断出答案；D.根据解析B可知，，即可判断．【详解】A.∵，∴，∵，∴，∴，故A错误；B.∵，即，∴，把代入得：，，解得：，故B正确；C.当时，可以使，，∴a，b，c可能同时相等，故C错误；D.根据解析B可知，，把代入得：，故D错误．故选：B．【点睛】本题主要考查了分式的化简，等式基本性质和不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质和等式的性质，是解题的关键．【变式2】（2022·江苏南通·一模）若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集为x＜2，则关于x 的不等式（m+n）x＞m﹣n的解集是（）A．x<13B．x>13C．x<-13D．x>-13【答案】C【分析】根据不等式的性质，利用不等式的解集是得到，，然后把代入不等式中求解即可．【详解】解：∵不等式的解集是，∴（），，∴，不等式变形为，即，∵，∴．故选C．【点睛】本题考查了解一元一次不等式．解题的关键在于熟练掌握不等式的性质．【变式3】（2022·江苏宿迁·三模）若不等式，两边同除以m，得，则m的取值范围为__________．【答案】【分析】由不等式的基本性质知，据此可得答案．【详解】解：若不等式，两边同除以，得，则．故答案为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质．【变式4】（2022·安徽·模拟预测）已知关于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集为x＜，化简：|1﹣a|﹣a＝_____．【答案】【分析】根据不等式的基本性质得出1﹣a＜0，再由绝对值的性质去绝对值符号、合并同类项即可．【详解】解：∵关于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集为，∴1﹣a＜0，解得a＞1，即，∴原式＝a﹣1﹣a＝﹣1，故答案为：﹣1．【点睛】本题主要考查了不等式的性质及绝对值的化简求值，解题的关键是掌握不等式的基本性质和绝对值的化简．【变式5】（2022·浙江杭州·一模）已知，，请比较M和N的大小．以下是小明的解答：∵，，∴．小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答．【答案】有错；时，；时，；时，；【分析】先求出M与N的差，根据不等式的性质对M与N的差进行分类讨论即可求解．【详解】解：有错，正确解答如下．∵，，∴．∴当x>0时，2x>0，即，此时M>N；当x=0时，2x=0，即，此时M=N；当x<0时，2x<0，即，此时M<N．∴时，；时，；时，．【点睛】本题考查作差法比较大小，不等式的性质，正确应用分类讨论思想是解题关键．核心考点二一元一次不等式（组）的解法例1（2022·辽宁大连·中考真题）不等式的解集是（）A．B．C．D．【详解】解：，移项，合并同类项得：本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握中考真题）若在实数范围内有意义，则实数___________．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式是解题的关键．中考真题）解不等式组并将其解集在数轴上表示出来．【答案】x≤1，图见解析【分析】先分别求出不等式组中每一个不等式解集，再求出其公共解集即可求解，然后把解集用数轴表示出来即可．【详解】解：解①得：x≤1，解②得：x<6，∴x≤1，解集在数轴上表示为：【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集．也考查了用数轴表示不等式的解集．知识点：一元一次不等式及其解法定义含有一个未知数，未知数的次数是1、且不等号两边都是整式的不等式叫做一元一次不等式。

自学初中数学资料不等式(组)及其应用

第1页共8页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训自学资料一、不等式及其基本性质【知识探索】1．一般地，用不等号“>”、“<”、“”或“”表示的关系式，叫做不等式．【说明】（1）用不等号“”表示的关系式也是不等式；（2）五种不等号的读法及其意义：【错题精练】例1．若关于x 的不等式组{x −a ＞0x ＞3的解集为x ＞a ，则字母a 的取值范围是（）第2页共8页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训A. a ＞3B. a=3C. a≤3D. a≥3例2．若关于x 的不等式组{x ＜2x ＞m x ≥−1有解，则m 的取值范围是（）A. m ＜2B. m≤2C. m ＜-1D. -1≤m ＜2例3．如图，已知直线y 1=x+m 与y 2=kx-1相交于点P （-1，2），则关于x 的不等式x+m ＜kx-1的解集在数轴上表示正确的是（） A.B. C.D.例4．不等式组{x +9＜5x +1x ＞a +1的解集是x ＞2，则a 的取值范围是（）A. a≤2B. a≥2C. a≤1D. a ＞1例5．已知a ，b 为实数，则解集可以为-2014＜x ＜2014的不等式组是（） A. {ax ＞1bx ＞1B. {ax ＜1bx ＜1 C. {ax ＜1bx ＞1D. {ax ＞1bx ＜1例6．把不等式组{x ＞−1x +2≤3的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（）A.B. C. D.例7．解不等式或不等式组第3页共页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训第4页共8页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训6．若不等式组{2x −a ＜1x −2b ＞3的解集为-1＜x ＜1，那么（a-3）（b+3）的值等于______．7．解不等式组：{2（x +1）＜3x +44x 3−3x−14≤2.，并把解集在数轴上表示出来．8．关于x 的不等式组{x −m ＜0x +3≥1有且只有3个整数解，则m 的取值范围是______．二、一元一次不等式（组）【知识探索】1．解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）化为（或）的形式（其中）；（5）两边同时除以未知数的系数，得到不等式的解集．【错题精练】例1．把一些书分给几名同学，若______；若每人分11本，则有剩余．依题意，设有x 名同学，可列不等式7（x+8）＞11x ，则横线的信息可以是（） A. 每人分7本，则剩余8本 B. 每人分7本，则可多分8个人 C. 每人分8本，则剩余7本 D. 其中一个人分7本，则其他同学每人可分8本例2．小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本3元，每支钢笔5元，求小明最多能买几支钢笔．设小明买了x 支钢笔，依题意可列不等式为（）A. 3x+5（30-x ）≤100B. 3（30-x ）+5≤100C. 5（30-x ）≤100+3xD. 5x≤100-3（30-x ）例3．已知：[x]表示不超过x 的最大整数．例：[3.9]=3，[-1.8]=-2．令关于k 的函数f （k ）=[k+14]-[k4]（k是正整数）．例：f （3）=[3+14]-[34]=1．则下列结论错误的是（）A. f （1）=0B. f （k+4）=f （k ）C. f （k+1）≥f （k ）D. f （k ）=0或1第5页共8页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训例4．某超市销售甲、乙两种糖果，购买3千克甲种糖果和1千克乙种糖果共需44元，购买1千克甲种糖果和2千克乙种糖果共需38元．（1）求甲、乙两种糖果的价格；（2）若购买甲、乙两种糖果共20千克，且总价不超过240元，问甲种糖果最少购买多少千克？例5．某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产、两种型号的冰箱100台．经预算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于 4.75万元，不高于4.8万元，两种型号的冰箱生产成本和售价如下表：型号 A 型 B 型成本（元/台）2200 2600 售价（元/台）2800 3000（1）冰箱厂有哪几种生产方案？（2）该冰箱厂按哪种方案生产，才能使投入成本最少？“家电下乡”后农民买家电（冰箱、彩电、洗衣机）可享受13%的政府补贴，那么在这种方案下政府需补贴给农民多少元？（3）若按（2）中的方案生产，冰箱厂计划将获得的全部利润购买三种物品：体育器材、实验设备、办公用品支援某希望小学．其中体育器材至多买4套，体育器材每套6000元，实验设备每套3000元，办公用品每套1800元，把钱全部用尽且三种物品都购买的情况下，请你直接写出实验设备的买法共有多少种．例6．对于三个数a ，b ，c ，用M{a ，b ，c}表示这三个数的平均数，用min{a ，b ，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{-1，0，2}=−1+0+23=13；min{-1，0，2}=-1；min{-1，0，a}={a （a ≤−1）−1（a ＞−1）．如果M{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，则x 的值是______．【举一反三】1．某学校计划租用6辆客车送一批师生参加一年一度的哈尔滨冰雕节，感受冰雕艺术的魅力．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表．设租用甲种客车辆，租车总费用为元．甲种客车乙种客车载客量（人/辆）45 30 租金（元/辆）280 200（1）求出（元）与（辆）之间的函数关系式，指出自变量的取值范围；（2）若该校共有240名师生前往参加，领队老师从学校预支租车费用1650元，试问预支的租车费用是否可以结余？若有结余，最多可结余多少元？第6页共8页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训2．已知一件文化衫价格为18元，一个书包的价格是一件文化衫的2倍还少6元．（1）求一个书包的价格是多少元？（2）某公司出资1800元，拿出不少于350元但不超过400元的经费奖励山区小学的优秀学生，剩余经费还能为多少名山区小学的学生每人购买一个书包和一件文化衫？3．对于x ，符号[x]表示不大于x 的最大整数．如：[3.14]=3，[-7.59]=-8，则满足关系式[3x+77]=4的x 的整数值有（） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4．阅读下列材料，解决材料后的问题：材料一：对于实数x 、y ，我们将x 与y 的“友好数”用f （x ，y ）表示，定义为：f （x ）=x y+2，例如17与16的友好数为f （17，16）=1716+2=1718．材料二：对于实数x ，用[x]表示不超过实数x 的最大整数，即满足条件[x]≤x ＜[x]+1，例如： [-1.5]=[-1.6]=-2，[0]=[0.7]=0，[2.2]=[2.7]=2，…… （1）由材料一知：x 2+2与1的“友好数”可以用f （x 2+2，1）表示，已知f （x 2+2，1）=2，请求出x 的值；（2）已知[12a-1]=-3，请求出实数a 的取值范围；（3）已知实数x 、m 满足条件x-2[x]=72，且m≥2x+112，请求f （x ，m 2-32m ）的最小值．5．对于实数x ，我们规定[x]表示不大于x 的最大整数，例如[1.2]=1，[3]=3，[-2.5]=-3，若[1-x−12]=5，则x 的取值范围是（） A. -7＜x≤-5 B. -7≤x ＜-5C. -9≤x ＜-7D. -9＜x≤-76．对于三个互不相同的数a 、b 、c ，我们用max{a 、b 、c}表示三个数中的最大数，如：max{-1，0，2}=2．若max{0，x-1，2}=x-1，则x 的取值范围为______．1．若（m-3）x ＜3-m 的解集为x ＞-1，则m______．第7页共8页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训2．解不等式组：{3x +2＞2（x −1）,①4x −2≤3x −2②并把解集在数轴上表示出来．3．若不等式组{−2x +a ≤0x −b ≤0的解集为-1≤x≤2，（1）求a 、b 的值（2）解不等式ax+b ＜0，并把它的解集在下面的数轴上表示出来．4．解下列不等式组，并在数轴上表示解集．（1）{2x +3＞53x −2≤4（2）{2x +3≤3（x +2）3x −1＞2x（3）{2x −1＞113x+12−1≤x（4）{x −3（x −2）≥42x−15＞x+12．5．试确定使不等式组{x2+x+13＞0x +5a+43＞43（x +1）+a恰有两个整数解的实数a 的取值范围．6．某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需320元，购买3个篮球和2个足球共需540元.(1)求每个篮球和每个足球的售价；(2)如果学校计划购买这两种共50个，总费用不超过5500元，那么最多可购买多少个足球？7．某超市销售甲、乙两种糖果，购买3千克甲种糖果和1千克乙种糖果共需44元，购买1千克甲种糖果和2千克乙种糖果共需38元．（1）求甲、乙两种糖果的价格；（2）若购买甲、乙两种糖果共20千克，且总价不超过240元，问甲种糖果最少购买多少千克？第8页共8页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训8．某次知识竞赛共有30道选择题，答对一题得10分，若答错或不答一道题，则扣3分，要使总得分不少于70分则应该至少答对几道题？若设答对x 题，可得式子为（） A. 10x-3（30-x ）＞70 B. 10x-3（30-x ）≤70 C. 10x-3x≥70 D. 10x-3（30-x ）≥709．现在有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满．若设宿舍间数为x ，则可以列得不等式组为______．10．若关于x 的不等式组{4−3x ≥0x ≥m 有2个整数解，则m 的取值范围是（）A. m ＞-1B. m≥0C. -1＜m≤0D. -1≤m≤0。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

不等式(组)及其应用
一、选择题
1．(2016·常州)若x>y ，则下列不等式中不一定成立的是(D )
A ．x ＋1>y ＋1
B ．2x>2y
C .x 2>y 2
D ．x 2>y 2 2．(2016·六盘水)不等式3x ＋2<2x ＋3的解集在数轴上表示正确的是(D )
3．(2016·乐山)不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋2>02x －1≤0的所有整数解是(A ) A ．－1、0 B ．－2、－1
C ．0、1
D ．－2、－1、0
4．(2016·长沙)不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧2x －1≥58－4x<0的解集有数轴上表示为(C ) 5．(2016·绵阳)在关于x ，y 的方程组⎩
⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝m ＋7x ＋2y ＝8－m 中，未知数满足x ≥0，y ＞0，那么m 的取值范围在数轴上应表示为(C )
6．(2016·聊城)不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋5<5x ＋1x －m>1的解集是x>1，则m 的取值范围是(D ) A ．m ≥1 B ．m ≤1 C ．m ≥0 D ．m ≤0
7．(2016·遵义)三个连续正整数的和小于39，这样的正整数中，最大一组的和是(B )
A ．39
B ．36
C ．35
D ．34
二、填空题
8．(2016·陕西)不等式－12
x ＋3<0的解集是x ＞6． 9．(2016·广东)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤2－2x 2x 3>x －12
的解集是－3<x ≤1． 10．(2016·烟台)已知不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧x ≥－a －1 ①－x ≥－b ②，在同一条数轴上表示不等式①，②的解集如图所示，则b －a 的值为13
． 11．(2016·凉山州)已知关于x 的不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧4x ＋2>3（x ＋a ）2x>3（x －2）＋5 仅有三个整数解，则a 的取值范围是－13
≤a<0． 12．今年三月份甲、乙两个工程队承包了面积1800 m 2的区域绿化，已知甲队每天能完成100 m 2，需绿化费用为0.4万元；乙队每天能完成50 m 2，需绿化费用为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作10天．
13．(2016·黄冈)解不等式x ＋12
≥3(x －1)－4. 解：去分母得，x ＋1≥6(x －1)－8，
去括号得，x ＋1≥6x －6－8，
移项得，x －6x ≥－6－8－1，
合并同类项得，－5x ≥－15.
系数化为1，得x ≤3.
14．(2016·深圳)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x －1<3（x ＋1）2x －13
－1≤5x ＋12. 解：令⎩⎪⎨⎪⎧5x －1<3（x ＋1） ①2x －13－1≤5x ＋12 ②
，解①得x<2，②得x ≥－1，
则不等式组的解集是－1≤x<2.
15．(2016·南京)解不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧3x ＋1≤2（x ＋1）－x<5x ＋12，并写出它的整数解．解：令⎩
⎪⎨⎪⎧3x ＋1≤2（x ＋1） ①－1<5x ＋12 ②，解①得：x ≤1，②得x>－2，
则不等式组的解集是－2<x ≤1，其整数为－1，0，1.
16．(2016·雅安)解下列不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来⎩⎪⎨⎪⎧x －1>2x x －13≤x ＋19
. 解：由第一个不等式得：x<－1，
由第二个不等式得：x ≤2，
在数轴上表示如图，
∴该不等式组的解集为：x<－1.
17．(2016·绥化)某商场计划购进A 、B 两种商品，若购进A 种商品20件和B 种商品15件需380元；若购进A 种商品15件和B 种商品10件需280元．
(1)求A 、B 两种商品的进价分别是多少元？
(2)若购进A 、B 两种商品共100件，总费用不超过900元，问最多能购进A 种商品多少件？
解：(1)设A 两种商品的进价是a 元，B 两种商品的进价是b 元，
根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧20a ＋15b ＝38015a ＋10b ＝280，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝16b ＝4
，答：A 商品的进价是16元，B 商品的进价是4元；
(2)设购进A 种商品x 件，则购进B 种商品(100－x)件，
根据题意得：16x ＋4(100－x)≤900，解得：x ≤4123
，
∴x 的最大整数解为41，
∴最多能购进A 种商41件．
18．(2016·株洲)某市对初二综合素质测评中的审美与艺术进行考核，规定如下：考核综合评价得分由测试成绩(满分100分)和平时成绩(满分100分)两部分组成，其中测试成绩占80%，平时成绩占20%，并且当综合评价得分大于或等于80分时，该生综合评价为A 等．
(1)孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分，则孔明同学测试成绩和平时成绩各得多少分？
(2)某同学测试成绩为70分，他的综合评价得分有可能达到A 等吗？为什么？
(3)如果一个同学综合评价要达到A 等，他的测试成绩至少要多少分？
解：(1)设孔明同学测试成绩为x 分，平时成绩为y 分，
依题意得：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝18580%x ＋20%y ＝91，解之得：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝90y ＝95，答：孔明同学测试成绩为90分，平时成绩为95分；
(2)由题意可得：80－70×80%＝24，
24÷20%＝120＞100，故不可能．
(3)设平时成绩为满分，即100分，综合成绩为100×20%＝20，
设测试成绩为a 分，根据题意可得：20＋80%a ≥80，
解得：a ≥75
答：他的测试成绩应该至少为75分．。