§3.03 典型周期信号的傅里叶级数
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周期函数的傅里叶级数
f (t ) f (t )，原点对称（奇函数）
4 t0 T an 0，bn 2 f (t ) sin n1tdt T t0
T f ( t ) f ( t )，半周重叠（偶谐函数 ） 无奇次谐波，只有直流 和偶次谐波 2
F
f (t ) f (t
T )， 半 周 镜 像 （ 奇 谐 函 数 ） 无偶次谐波，只有奇次 谐波分量 2
f (t )
1
T t
求其傅立叶展开式并画 出其频谱图
解:
f ( t )在一个周期内可写为如 下形式 2 T T f (t ) t t T 2 2
f (t )是奇函数，故 an 0
§ 周期信号的傅立叶级数
4 T bn 2 f (t ) sin n1tdt T 0 4 T 2 2 t sin n1tdt T 0 T
§ 周期信号的傅立叶级数 例3，有一奇谐函数，其波 形如图所示， 求其傅立叶展开式并画 出其频谱图
f (t )在一个周期内可写为如 下形式
f (t )
解:
f (t )
T T t 4 2 4 T T t t T 4 4 4 T T 2 t t T 2 4 2
T 2 T 2
2E 1 T 1 3T ( sin n1 sin n1 T n1 4 n1 4 T sin n1 ) n1 2 E n 3n (sin sin )0 n 2 2 1
E
f (t )
0
T 4
T 2
T
t
§ 周期信号的傅立叶级数
3T 2 T bn ( 4 E sin n1tdt T 4 E sin n1tdt) T 0 2
n Sa( ) cos(n1t ) T n 1
4 t0 T an 0，bn 2 f (t ) sin n1tdt T t0
T f ( t ) f ( t )，半周重叠（偶谐函数 ） 无奇次谐波，只有直流 和偶次谐波 2
F
f (t ) f (t
T )， 半 周 镜 像 （ 奇 谐 函 数 ） 无偶次谐波，只有奇次 谐波分量 2
f (t )
1
T t
求其傅立叶展开式并画 出其频谱图
解:
f ( t )在一个周期内可写为如 下形式 2 T T f (t ) t t T 2 2
f (t )是奇函数，故 an 0
§ 周期信号的傅立叶级数
4 T bn 2 f (t ) sin n1tdt T 0 4 T 2 2 t sin n1tdt T 0 T
§ 周期信号的傅立叶级数 例3，有一奇谐函数，其波 形如图所示， 求其傅立叶展开式并画 出其频谱图
f (t )在一个周期内可写为如 下形式
f (t )
解:
f (t )
T T t 4 2 4 T T t t T 4 4 4 T T 2 t t T 2 4 2
T 2 T 2
2E 1 T 1 3T ( sin n1 sin n1 T n1 4 n1 4 T sin n1 ) n1 2 E n 3n (sin sin )0 n 2 2 1
E
f (t )
0
T 4
T 2
T
t
§ 周期信号的傅立叶级数
3T 2 T bn ( 4 E sin n1tdt T 4 E sin n1tdt) T 0 2
n Sa( ) cos(n1t ) T n 1
(完整版)周期信号傅里叶级数
C e dt T0 n0
j(nk )0t
n =
由{en (t)}的正交性得：
T0
0
e
dt j(nk )0t
T0
[n k]
T0 n=k 0 n不等于k
Ck
1 T
T
2 T
fT (t)e jk 0t dt
2
2. 指数形式傅立叶级数
连续时间周期信号可以用指数形式傅立叶级数表示为
f (t)
bn
2 T
T
2 T
2
f (t)sin n0tdt
(n = 1,2 )
纯余弦形式傅立叶级数
其中
f（t）
a0 2
n1
An
co（ s n0t
）
n
An an2 bn2
n
arctg
bn an
a0 2
称为信号的直流分量，
An cos(n0+ n)称为信号的n次谐波分量。
例题1 试计算图示周期矩形脉冲信号的傅立叶级数展 开式。
Cn e jn0t
jn 2 t
Cn e T
n =
n =
物理含义：周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和。
其中
Cn
1 T
T
2 T
fT (t)e jn0t dt
（傅立叶系数）
2
n 1 两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量
n 2 的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量
若 f (t)为实函数，则有 Cn Cn
利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为
1
f (t) C0
Cne jn0t
周期信号的傅里叶级数分析
29
cos(1t)
4
a1 T1
T1 2
0
f (t) cos(1t)dt
sin(1t)
b1
4 T1
T1 2
0
f (t) sin(1t)dt
cos(21t)
a2
2 T1
T1
2 T1
2
f (t) cos(21t)dt 0
sin(21t)
b2
2 T1
T1
2 T1
E
T1
2E
T1
n1
Sa(
n1
2
)
cos(n1t
)
23
二、周期锯齿脉冲信号
f
(t
)
E
(sin
1t
1 2
sin
21t
1 3
sin
31t
....)
24
三、周期三角脉冲信号
f
(t)
E 2
4E
2
(cos1t
1 9
cos31t
1 25
c
os51t
.....)
a0 c0
an cn cosn bn cn sin n cn
tan n
bn an
n
arctan
bn an
an2 bn2
2
f (t) c0 cn cosn1t n n1
cn an2 bn2 幅度谱
n
arctan
f (t) a0 (an cos n1t bn sin n1t) n1
周期信号的傅里叶级数表
傅里叶级数与复变函数的关系
傅里叶级数可以看作是复数域中的三角函数，即复数域中的正弦和余弦。在复数域中，正弦和余弦函数表现为复指数函数的 形式。
复数的使用使得傅里叶级数的系数可以表示为实数，从而简化了计算。此外，复数的共轭也提供了相位信息，这在信号处理 中非常重要。
傅里叶级数与小波分析的关系
小波分析是傅里叶分析的进一步发展，它提供了更灵活的时频分析工具。小波变 换可以看作是傅里叶变换的一种扩展，它允许我们在不同的频率段使用不同的基 本函数。
三角函数形式
傅里叶级数的另一种表示形式，利用三角函数来表示周期信号。
傅里叶级数的三角函数形式
01
02
03
正弦形式
余弦形式
系数
傅里叶级数的正弦函数形式，用 于表示只包含正弦波的周期信号。
傅里叶级数的余弦函数形式，用 于表示只包含余弦波的周期信号。
在傅里叶级数中，每个正弦或余 弦函数都对应一个系数，表示该 函数在周期信号中的贡献程度。
03
傅里叶级数的性质
傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数在数学上具有收敛性，意味着它可以将一个 周期函数表示为无穷级数，每个项都是正弦或余弦函数。
收敛的速度取决于函数的特性，例如，对于具有快速衰 减的周期函数，傅里叶级数收敛得更快。
傅里叶级数的对称性
傅里叶级数的对称性质是指，对于一个周期函数，其傅里叶级数的正弦和余弦项具有对称性。 这意味着，对于一个给定的周期函数，其傅里叶级数的正弦和余弦项的系数是相同的。
周期信号的傅里叶级 数表
目录
• 傅里叶级数简介 • 周期信号的傅里叶级数表示 • 傅里叶级数的性质 • 傅里叶级数的应用实例 • 傅里叶级数与其他数学工具的关系
01
周期信号傅里叶级数
07
分析公式 （正变换）
连续时间傅里叶级数对：
称为傅里叶系数或频谱系数
综合公式 （反变换）
3.三角形式傅立叶级数
若 f (t)为实函数，则有 利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为 令 由于C0是实的，所以b0=0，故 由此可以推出：
三角形式傅立叶级数
傅里叶系数 连续时间周期信号三角形式傅立叶级数为：
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四、周期信号的功率谱
周期信号属于功率信号，周期信号f(t)在1欧姆电阻上消耗的平均功率为：
单击此处添加小标题
由下面关系可以推导出，帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理：
单击此处添加小标题
01
02
四、周期信号的功率谱
物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。
[解] 周期矩形脉冲的傅立叶系数为
将A=1，T=1/4，=1/20，w0=2p/T=8p 代入上式 功率谱
信号的平均功率为 包含在有效带宽(0~2p/t)内的各谐波平均功率为 周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各谐波平均功率之和占整个信号平均功率的90%。
求f (t)的功率。
分析公式 （正变换）
连续时间傅里叶级数对：
称为傅里叶系数或频谱系数
综合公式 （反变换）
3.三角形式傅立叶级数
若 f (t)为实函数，则有 利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为 令 由于C0是实的，所以b0=0，故 由此可以推出：
三角形式傅立叶级数
傅里叶系数 连续时间周期信号三角形式傅立叶级数为：
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四、周期信号的功率谱
周期信号属于功率信号，周期信号f(t)在1欧姆电阻上消耗的平均功率为：
单击此处添加小标题
由下面关系可以推导出，帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理：
单击此处添加小标题
01
02
四、周期信号的功率谱
物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。
[解] 周期矩形脉冲的傅立叶系数为
将A=1，T=1/4，=1/20，w0=2p/T=8p 代入上式 功率谱
信号的平均功率为 包含在有效带宽(0~2p/t)内的各谐波平均功率为 周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各谐波平均功率之和占整个信号平均功率的90%。
求f (t)的功率。
信号与系统3.3典型信号的傅里叶级数
1 2
sin2ω1t
1 3
sin3ω1t
1 4
sin4ω1t
E
(1) n1
n 1
1 n
sin(n1t)
周期锯齿脉冲信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅
度以 1 的规律收敛。 n
第3章 傅里叶变换
四、周期三角脉冲信号
周期三角脉冲信号如图3-10所示。
f (t)
E
tT1ຫໍສະໝຸດ T1 20T1 2
第3章 傅里叶变换
三、周期锯齿脉冲信号
周期锯齿脉冲信号如图3-9所示。
f (t)
E
2
T1
2
t
T1
0
2
E
2
图3-9 周期锯齿脉冲信号
显然它是奇函数，因而an=0，由式(3-4)可以求出傅里
叶级数的系数bn。这样，便可得到周期锯齿脉冲信号的傅 里叶级数为
第3章 傅里叶变换
f(t)
E π
sinω1t
1 5
cos51t
2E
cos1t
1 3
cos31t
1 5
cos51t
其频谱函数如图3-8所示 由于对称方波的偶次谐波恰恰落在频谱包络线的零值 点，所以它的频谱只包含基波和奇次谐波。 该信号既是偶函数，又是奇谐函数，因此在它的频谱 中只包含基波和奇次谐波的余弦分量。
第3章 傅里叶变换 图3-8 对称方波频谱
T1
E
为ω１。脉冲间隔
T1
越大，谱线越密。
信号的周期T1增大 时，谱线的间隔变
小。反之变大
2
n
谱线包络 按抽样函 数衰减
4
2
4
第3章 傅里叶变换
周期信号的傅里叶级数分析
实验三周期信号的傅里叶级数分析一、实验目的熟悉连续时间周期信号的傅里叶级数分解原理及方法，掌握周期信号的傅里叶频谱的概念及计算方法，熟悉相应MATLAB 函数的调用格式和作用，掌握利用MATLAB 计算傅里叶级数系数及绘制频谱图的方法。
二、实验原理（一）周期信号的傅里叶级数分析原理按傅里叶分析的原理，任何周期信号都可以用一组三角函数)}cos(),{sin(t n t n ΩΩ的组合表示。
1、三角函数形式的傅里叶级数∑∞=Ω+Ω+=+Ω+Ω+Ω+Ω+=1022110)]sin()cos([2...)2sin()2cos()sin()cos(2)(n n n t n b t n a a t b t a t b t a a t f （1） 式中，n n b a a ,,0称为傅里叶系数。
()dt t f T a TT ⎰-=22012()...3,2,1)cos(222=Ω=⎰-n dt t n t f T a TT n ，(),...3,2,1,)sin(222=Ω=⎰-n dt t n t f T b TT n即可以用一组正弦波和余弦波合成任意的周期信号。
式（1）的三角函数形式傅里叶级数可以写成余弦函数的形式：∑∞=+Ω+=10)cos(2)(n n n t n A A t f ϕ其中：00a A =，22n n n b a A +=,nn n a b arctan -=ϕ 2、指数函数形式的傅里叶分析其中系数3、周期信号的频谱（1）三角函数形式频谱w A n ~关系曲线称为幅度频谱图关系曲线称为相位频谱图（2）指数函数形式频谱 w F n ~关系曲线称为幅度频谱图关系曲线称为相位频谱图（二）周期信号的傅里叶级数的MATLAB 实现例1：试用MATLAB 求如图1所示的周期方波信号的傅里叶级数分解。
解：周期方波信号是一个偶函数，又是一个奇谐函数，因此其傅里叶级数只含有奇次谐波的余弦项，即周期方波信号可以分解为： ()...5,3,1)cos(5.04)cos(244-22=Ω=Ω=⎰⎰-n dt t n T dt t n t f T a TT T T n ， 求傅里叶系数的程序如下：syms t n T;∑∞-∞==n t jn n F t f Ωe )(⎰-=22-Ωd e )(1T T t jn n t t f T F w n ~ϕw n ~ϕy=0.5*cos(n*2*pi/T*t);an=(4/T)*int(y,-T/4,T/4);运行结果为：an=2*sin(1/2*pi*n)/pi/n则此周期方波信号可以分解为：）（,...5,3,1)2sin(2,0===n n n a b n n ππ 将其展开为三角函数形式的傅里叶级数：,...)3,2,1()cos(2sin 2)(...])5cos(51)3cos(31)[cos(2(12==-+-=∑∞-=j nwt n n t f wt wt wt t f j n πππ） 例2：根据例1的结果，试用正弦信号的叠加近似合成一频率为50Hz ，幅值为3的方波。
信号与系统第5讲第3章周期信号的傅里叶级数表示
a0
1, a1
a1
1 4
, a2
a2
1 2
, a3
a3
1 3
x(t) 1 1 (e j2t e j2t ) 1 (e j4t e j4t ) 1 (e j6t e j6t )
4
2
3
用欧拉公式改写
x(t) 1 1 cos 2t cos 4t 2 cos6t
2
3
2024/6/10
信号与系统－第5讲
基波频率为 0 2 / T ，任取一个周期计算系数
为方便计算，计算周期取为-T / 2 t T / 2
a0
1 T
T1 dt 2T1
T1
T
ak
1 T
T1 e jk0t dt
1
T1
e jk0t
2
e e jk0T1
jk0T1
(
)
T1
jk0T
T1 k0T
2j
2sin(k0T1) sin(k0T1) , k 0
y(t) (e e j12 j4t e e j12 j4t e e j21 j7t e j21e j7t )/2
改写得到：y(t) (e j4(t3) e j4(t3) e j7(t3) e ) j7(t3) / 2
cos(4(t - 3)) cos(7(t - 3))
2024/6/10
（2）复指数信号的基波、谐波信号
x(t) x(t T ),基波周期T，基波频率0 2 /T x(t) cos0t, x(t) e j0t ,基波周期T=2 /0,基波频率0
e j0t的谐波信号集：k (t) e jk0t e jk (2 /T )t , k 1, 1, 2,
信号与系统第三章
语音信号 音乐信号 频率大约为 300~3400Hz， 50~15,000Hz，
语音信号0~6MHz 频率大约为 300~3400Hz ， ， 电视信号 ; 电视伴音 30~10kHz
例：试计算图示信号在频谱第一个零点以内各分 量的功率所占总功率的百分比。 1
f (t )
0.1 0.1
1
t
解：1）先求信号的总功率：
4、周期半波余弦信号
f (t ) = E + p E = p E 4 4 [cos(w1t ) + cos(2w1t ) cos(4w1t ) + ...] 2 3p 15p 2E ¥ 1 np cos( ) cos(nw1t ) å 2 p n= 1 (n - 1) 2
T1
T1 0 2
f (t )
2π （4)第一个零点坐标： τ
（5）Fn是复函数（此处为实函数），幅度 / 相位
Fn > 0，相位为 0，Fn < 0, 相位为 π。
双边谱
E T1
单边谱
2 4
Fn
1 21
2 E T1 E T1
cn
n
4
121 2
4
2
2 4
w1 2w1
第一个零点在n = 5,即在第一个过零点内包含五个谐波
其功率和为:
P5 n = F0 + 2å Fn
2 n= 1 5 2
O
P5 n
(0.2) 2
2(0.2) 2 [ Sa 2 (0.2 )
Sa 2 (0.4 )
频谱第一个零点以内各分量的功率占总功率90.3% 0.04 0.07 0.046 0.02 0.00438 0
语音信号0~6MHz 频率大约为 300~3400Hz ， ， 电视信号 ; 电视伴音 30~10kHz
例：试计算图示信号在频谱第一个零点以内各分 量的功率所占总功率的百分比。 1
f (t )
0.1 0.1
1
t
解：1）先求信号的总功率：
4、周期半波余弦信号
f (t ) = E + p E = p E 4 4 [cos(w1t ) + cos(2w1t ) cos(4w1t ) + ...] 2 3p 15p 2E ¥ 1 np cos( ) cos(nw1t ) å 2 p n= 1 (n - 1) 2
T1
T1 0 2
f (t )
2π （4)第一个零点坐标： τ
（5）Fn是复函数（此处为实函数），幅度 / 相位
Fn > 0，相位为 0，Fn < 0, 相位为 π。
双边谱
E T1
单边谱
2 4
Fn
1 21
2 E T1 E T1
cn
n
4
121 2
4
2
2 4
w1 2w1
第一个零点在n = 5,即在第一个过零点内包含五个谐波
其功率和为:
P5 n = F0 + 2å Fn
2 n= 1 5 2
O
P5 n
(0.2) 2
2(0.2) 2 [ Sa 2 (0.2 )
Sa 2 (0.4 )
频谱第一个零点以内各分量的功率占总功率90.3% 0.04 0.07 0.046 0.02 0.00438 0
周期信号的傅里叶级数分析
n
2 2e j0t
2e j0t
4e
j
2
e
j
30t
4e
j
2
e
j
30t
j t
j
j ( 3 t )
j ( 3 t )
2 2e 4 2e 4 4e 4 2 4e 4 2
仿真 源码
连续时间信号与系统的频域分析
三、周期信号频谱的特点
f(t) E
-T -/2
/2 T
t
Fn
E T
0 0 20
信号与系统分析
周期信号的傅里叶级数分析 一、三角函数形式的傅里叶级数
若周期信号 的周期f为(t) 角频率 T 狄里赫利条件，即
，且0 满 2足T
（1）在一周期内，若有间断点存在，则间断点的数 目应为有限个。
（2）在一周期内，极大值和极小值的数目为有限个。
（3）在一周期内，信号绝对可积。即 为有限值。
指数型傅 里叶级数
n 为整数，Fn ( jn0 ) 为复傅里叶系数。其中
Fn
(
jn0
)
1 T
t0 T f (t)e jn0t dt
t0
连续时间信号与系统的频域分析
指数型傅里叶系数与三角形傅里叶系数的关系：
F0 a0 A0
Fn ( jn0 )
1 2
(an
jbn )
Fn
e jn
1
Fn
2
an2
二者共同组成信号的复频谱。（双边谱）
连续时间信号与系统的频域分析
单边谱的每条谱线代表一个分量的振幅，而双边谱是 将单边谱的每个频率分量一分为
二、对应到正、负频率处各为一半而得。即
An Fn Fn
第三章周期信号的傅里叶级数表
2T1 T0
Sa k
2
T0
T1
谱线为离散的（谐波性），在
k0
k
2
T0
时取值，
脉冲周期越大，谱线间隔 0 越小，越密；
各点频谱大小与脉宽 T1 成正比，与周期 T0 成反比；
频谱包络线形状：抽样函数，过零点为最大值为 2T1
T0
主要能量在第一过零点内，第一个零点坐标为:
k 1, kω0T1
k
k
ak
1 T
x(t)e jk0tdt 1
T
T
x(t)e jk(2 T )tdt
T
28
29
解：方法一：直接利用公式进行求解
ak
1 T
x(t)e jk0t dt 1
T
T
x(t)e jk(2 T )t dt
T
方法二：
x(t)
a k e jk0t
a e jk(2 T )t k
k
46
47
48
这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级 数收敛的充分条件。相当广泛的信号都能满足这 两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期 信号具有相当的普遍适用性。
49
50
三 、吉伯斯（Gibbs）现象 满足Dirichlet条件的信号，其傅里叶级数
是如何收敛于 的x。t 特别当 具有xt间
7
补充例题：
例:对单位冲激响应 h(t) 的 (LtT) I系统，其特征函数，
相应的特征值是什么?
解：Q h(t) (t) 的 LTI 系统是恒等系统，所以任何函 数都是它的特征函数，其特征值为 1。
例:如果一个LTI系统的单位冲激响应为， h(t) (t T)
典型周期信号的傅里叶级数
sin
ωτ
2
ωτ
2
sin
ωτ
2 =0
与横轴的交点由下式决定： 与横轴的交点由下式决定： 即：
ωτ
2
ωτ
2
= π ,2π ,3π L
2π 4π 6π
ω = ω0 =
τ τ τ
L
2mπ
τ
1 2 3 Q ω = 2π f ∴ f = f 0 = , , ...
τ τ τ
)
( f 0表示过零点的谐波频率
若这些频率恰好是基波频率的整数倍，则相应的谐波 为零。 ( f1表示基波频率)
Fn
1 25
8π
2
− 40π
40π
nω 0
周期信号的功率谱
三.
τ
T1
的比值改变时，对频谱结构的影响。 的比值改变时，对频谱结构的影响。
P105.图(3-11)和p106.图（3－12） 图 和 图 － ） 1.T不变， 变 不变， 不变 τ
aQ 1 . ↓ 则 n的 敛 度 慢 . , c 收 速 变 2τ . 不 ，变 变 T 时
b(ω ) Q = −ωT a (ω ) ω = ±∞ K ∴ a (ω ) = b(ω ) 2 [ ] +1 a (ω )
2 2
b(ω )
ω =0
1 K 2
a (ω )
1 2 2 K 2 a (ω ) + b (ω ) − Ka (ω ) = 0 [a(ω) − K] +b (ω) = ( ) 2 2
设
k f (t ) = e T
1 − t T
k − T1 t − 则 F ( jω ) = ∫ e e −∞T
k T 1 2 ( ) + ω T
典型周期信号的傅里叶级数
d
X(j)ejt
X(jk0)ej0t
x(t)21 X(j)ejtd1
0
2 T
k 0
0
于是,对非周期信号,有傅里叶变换对:
x(t)
1
2
X( j)ejtd 1
反
X( j)
x(t)e jtdt
2正
(e j t )
复 杂 信 号 ＝ 系 数 （ ） 基 本 信 号 （ ）
系 数 （ ） ＝ 复 杂 信 号 （ 与 ） 基 本 信 号 （ ）
F(j)ejtd
F( ) f(t)ejtdt
也是常用的形式
傅立叶变换的理解
周期信号的叶 指级 f数 T(t数 )型 Fn傅 ejn1t表 里明，
n
周期信号可限 以多 分个 解 n 频 1、 为 复率 无 振为 F幅 n的为 指
数分 ejn1t量 的离散和；
非周期信 傅号 里的 叶变 f(t)换 1
周期矩形脉冲信号的三角形式傅里叶级数为
f(t)E T 1 2 T E 1n 1Sa(n 2 1 )cosn1t
F n1 2(anjn b )1 2anE T 1 S(n a 21 )
f(t)的指数形式的傅里叶级数为
f(t)E S(an 1 )ejn 1t
T1 n
2
2、频谱 c0
E T1
规律收. 敛
例1：试将图示周期矩形脉冲信号 展开为(1)三角型和(2)指数型傅里 叶级数。
T
f (t)
A
T
22
t
解(： 1) f (t)是偶函数，故只含 数有 项常 和余弦项。
T
a0T 1
2 T
f(t)d t 2 T
2AdtA
信号与系统中典型周期信号的傅里叶级数
1 = ∑(−1) sin( nw t) 1 π n=1 n 此信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛。 此信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛。 1/n的规律收敛
三周期三角脉冲信号的傅里叶级数求解
周期三角脉冲信号，是偶函数。 周期三角脉冲信号，是偶函数。 f (t) 解：Q 它是偶函数 E
四、周期半波余弦信号的傅里叶级数求解
周期半波余弦信号，是偶函数。 周期半波余弦信号，是偶函数。 f (t) 解：Q 它是偶函数 E
∴ bn = 0
−T 1
− T0 1 2 T 1 2
T 1
t
可求出傅里叶级数的系数a 可求出傅里叶级数的系数a0,an, 留给同学们做。 留给同学们做。
其傅里叶级数表达式为： 其傅里叶级数表达式为： E E 4 4 f (t) = + cos(w t) + cos(2w t) − cos(4w t) +L 1 1 1 π 2 3π 15 E 2E ∞ 1 nπ 2π = − ∑(n2 −1) cos( 2 ) cos(nw1t) w1 = T π π n=1 1 此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量， 此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度 的规律收敛。 以1/n2的规律收敛。
4π
τ
w
幅度谱与相位谱合并
Cn c0
2π 4π
实数频谱： 实数频谱：
τ
τ
0 w2w 1 1
w
Fn
Eτ T1
2π 2π 4π
复数频谱： 复数频谱：
−
τ
τ
τ
0 w 2w1 1
w
举例： （3）举例：周期对称方波信号的傅里叶级数
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X
三、周期信号频谱特点总结
谐波性、离散性
第 第
14 14 页 页
所有周期信号的频谱都是由间隔为 1的谱线组成
信号周期 T1 越大，基频 1越小，谱线越密；
信号周期 T1 越小，基频 1越大，谱线越疏；
收敛性（谐波幅度衰减性）
不同形状的周期信号衰减速度不同：
平滑函数，谐波幅度衰减快 函数有不连续点或变化急剧，谐波幅度衰减慢
7 7 页 页
X
二、其他典型周期信号
1、方波的傅里叶级数（1）
( 1)
E
f 1 (t )
第 第 8 8 页 页
T1 2 E
T1
T1
2
0
E a0 T1 2
2
t
2E n an sin( ) n T1 2E n sin( ) n 2
E 2E 1 1 f 1 (t ) cos( 1t ) cos(3 1t ) cos(5 1t ) ... 2 3 5
X
第 第
周期信号的傅里叶级数展开
复指数形式展开式
f (t )
n j n 1 t F ( n ) e 1
3 3 页 页
其中,系数
1 F n 1 T1
T1
0
f (t ) e
j n 1 t
dt
也可写为 Fn
周期信号可分解为 , 区间上的指数信号e j n 1t 的线性组合。
n 1
n1
周期信号可分解为直流 ，基波（ 1）和各次谐波 （n 1 : 基波角频率的整数倍） 的线性组合。
直流分量
1 t 0 T 1 a0 f (t ) d t t T1 0
2 t 0 T 1 f ( t ) cosn 1 t d t 余弦分量的幅度 a n t T1 0 2 t 0 T 1 f ( t ) sinn 1 t d t 正弦分量的幅度 bn t T1 0
X
第 第
1、方波的傅里叶级数（2）
(2)
E 2
9 9 页 页
f 2 (t )
T1
2
0
2
直流分量: 0
T1
t
f 2 (t ) f 1 (t )
E f 2 ( t )是f 1 ( t )下移 的结果 E 2
2
基波幅度 :
2E
二次谐波幅度: 0
2E 3
三次谐波幅度 : 2E 1 1 cos( 1t ) cos(3 1t ) cos(5 1t ) ... 3 5
第 第
5．信号的有效带宽
在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围 的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。 一般把第一个零点作为周期矩形信号的频带宽度： 2π 1 B 或B f ，带宽与脉宽成反比。 1 对于一般周期信号，将幅度下降为10 F n1 max 的 频率区间定义为频带宽度。 信号的带宽是信号频率特性的重要指标,在信号的带 宽内集中了信号的绝大部分谐波能量,换句话说,若信号 丢失有效带宽外的谐波成分,不会对信号产生明显影响.
E T1
2 1. 三角函数形式的谱系数 a n T1
T1 2 T 1 2
2E n f ( t ) cosn 1 t d t sin( ) n T1
2. 指数函数形式的谱系数
3. 频谱特点
E F (n1 ) Sa n1 T1 2
X
E n 1 3．频谱及其特点 F n 1 T Sa 2 1
§3.3 典型周期信号的傅里叶级数
中国计量学院光学与电子科技学院 2011.8
第 第
周期信号的傅里叶级数展开
三角函数形式 f ( t ) a 0 a n cosn 1 t bn sinn 1 t
2 2 页 页
= c0 cn cos(n 1 t n )
X
4、周期半波余弦信号
频谱特点:
•频谱只包含直流、 基波、偶次谐波余弦 分量
第 第
13 13 页 页
(偶函数, bn 0 )
•谐波幅度以 1 的规 2 n 律收敛
展开式:
E f (t ) 2 E 4 4 cos( 1t ) cos(2 1t ) cos(4 1t ) ... 3 15
波形沿t轴平移 谐波项数和幅度不变，仅引入相移， 相位移与谐波次数成正比。 X
2、周期锯齿脉冲信号
频谱特点:
•频谱只包含正弦分 量
第 第
11 11 页 页
(奇函数, an 0 )
•谐波幅度以 1 的规 n n 律收敛
展开式:
E 1 1 1 f ( t ) sin( 1t ) sin( 2 1t ) sin( 3 1t ) sin( 4 1t ) ... 2 3 4
X
第 第
3、周期三角脉冲信号
频谱特点:
•频谱只包含直流、 基波和奇次谐波余弦 分量
1 •谐波幅度以 2 的规 n
12 12 页 页
(偶函数, bn 0 )
律收敛
展开式:
E 4E 1 1 f ( t ) 2 cos( 1t ) 2 cos(3 1t ) 2 cos(5 1t ) ... 2 3 5
X
第 第
周期信号的傅里叶级数展开
频谱图
三角函数形式： cn ~ ， n ~
指数函数形式： Fn ~ ， n ~
1 关系 F ( n 1 ) cn n 0 2
4 4 页 页
单边频谱
双边频谱
F0 c0 a0
周期信号频谱特点
收敛性、谐波性、唯一性
利用函数对称性简化频谱分析
偶函数：不含正弦项，bn 0
奇函数：不含余弦项 a n 0
X
一．周期矩形脉冲信号
f (t )
第 第 5 5 页 页
E
脉宽为 脉冲高度为E 周期为T1
T1
T1
2
0
t T1 2 b 0, 只有a , a a 1 0 n 0 n
T1 2 T 1 2
f ( t )dt
波形沿纵轴上下移动A 直流分量改变A，基波、谐波分量不变；
X
第 第
1、方波的傅里叶级数（3）
( 3)
E 2
10 10 页 页
f 3 (t )
T1
2
0
2
T1
t
T1 f 3 ( t )是f 2 ( t )右移 4 (滞后90 0 )的结果
T1 奇函数 f 3 (t ) f 2 (t ) 4 奇谐函数 2E 1 3 1 5 cos( 1t ) cos(3 1t ) cos(5 1t ) ... 2 3 2 5 2 2E 1 1 sin( 1t ) sin( 3 1t ) sin( 5 1t ) ... 3 5
X
第 第 6 6 页 页
图中T 5
E T1
F ( n 1 )
若T 5
2
1 2 则 5 1
5
2π
O 1 2 1
E ( 2)其最大值在 n 0处，为 。 (1)离散谱（谐波性） T1 2 π 当 n 1时取值 （ 4)第一个零点坐标： 2 π (3)包络线形状：抽样函数 令 ＝ 2 j n （ 5 ）F (n 1 ) | Fn | e , 此处为实 函 数，幅度/ 相位 Fn 0，相位为 0，Fn 0, 相位为 π 。 X
三、周期信号频谱特点总结
谐波性、离散性
第 第
14 14 页 页
所有周期信号的频谱都是由间隔为 1的谱线组成
信号周期 T1 越大，基频 1越小，谱线越密；
信号周期 T1 越小，基频 1越大，谱线越疏；
收敛性（谐波幅度衰减性）
不同形状的周期信号衰减速度不同：
平滑函数，谐波幅度衰减快 函数有不连续点或变化急剧，谐波幅度衰减慢
7 7 页 页
X
二、其他典型周期信号
1、方波的傅里叶级数（1）
( 1)
E
f 1 (t )
第 第 8 8 页 页
T1 2 E
T1
T1
2
0
E a0 T1 2
2
t
2E n an sin( ) n T1 2E n sin( ) n 2
E 2E 1 1 f 1 (t ) cos( 1t ) cos(3 1t ) cos(5 1t ) ... 2 3 5
X
第 第
周期信号的傅里叶级数展开
复指数形式展开式
f (t )
n j n 1 t F ( n ) e 1
3 3 页 页
其中,系数
1 F n 1 T1
T1
0
f (t ) e
j n 1 t
dt
也可写为 Fn
周期信号可分解为 , 区间上的指数信号e j n 1t 的线性组合。
n 1
n1
周期信号可分解为直流 ，基波（ 1）和各次谐波 （n 1 : 基波角频率的整数倍） 的线性组合。
直流分量
1 t 0 T 1 a0 f (t ) d t t T1 0
2 t 0 T 1 f ( t ) cosn 1 t d t 余弦分量的幅度 a n t T1 0 2 t 0 T 1 f ( t ) sinn 1 t d t 正弦分量的幅度 bn t T1 0
X
第 第
1、方波的傅里叶级数（2）
(2)
E 2
9 9 页 页
f 2 (t )
T1
2
0
2
直流分量: 0
T1
t
f 2 (t ) f 1 (t )
E f 2 ( t )是f 1 ( t )下移 的结果 E 2
2
基波幅度 :
2E
二次谐波幅度: 0
2E 3
三次谐波幅度 : 2E 1 1 cos( 1t ) cos(3 1t ) cos(5 1t ) ... 3 5
第 第
5．信号的有效带宽
在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围 的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。 一般把第一个零点作为周期矩形信号的频带宽度： 2π 1 B 或B f ，带宽与脉宽成反比。 1 对于一般周期信号，将幅度下降为10 F n1 max 的 频率区间定义为频带宽度。 信号的带宽是信号频率特性的重要指标,在信号的带 宽内集中了信号的绝大部分谐波能量,换句话说,若信号 丢失有效带宽外的谐波成分,不会对信号产生明显影响.
E T1
2 1. 三角函数形式的谱系数 a n T1
T1 2 T 1 2
2E n f ( t ) cosn 1 t d t sin( ) n T1
2. 指数函数形式的谱系数
3. 频谱特点
E F (n1 ) Sa n1 T1 2
X
E n 1 3．频谱及其特点 F n 1 T Sa 2 1
§3.3 典型周期信号的傅里叶级数
中国计量学院光学与电子科技学院 2011.8
第 第
周期信号的傅里叶级数展开
三角函数形式 f ( t ) a 0 a n cosn 1 t bn sinn 1 t
2 2 页 页
= c0 cn cos(n 1 t n )
X
4、周期半波余弦信号
频谱特点:
•频谱只包含直流、 基波、偶次谐波余弦 分量
第 第
13 13 页 页
(偶函数, bn 0 )
•谐波幅度以 1 的规 2 n 律收敛
展开式:
E f (t ) 2 E 4 4 cos( 1t ) cos(2 1t ) cos(4 1t ) ... 3 15
波形沿t轴平移 谐波项数和幅度不变，仅引入相移， 相位移与谐波次数成正比。 X
2、周期锯齿脉冲信号
频谱特点:
•频谱只包含正弦分 量
第 第
11 11 页 页
(奇函数, an 0 )
•谐波幅度以 1 的规 n n 律收敛
展开式:
E 1 1 1 f ( t ) sin( 1t ) sin( 2 1t ) sin( 3 1t ) sin( 4 1t ) ... 2 3 4
X
第 第
3、周期三角脉冲信号
频谱特点:
•频谱只包含直流、 基波和奇次谐波余弦 分量
1 •谐波幅度以 2 的规 n
12 12 页 页
(偶函数, bn 0 )
律收敛
展开式:
E 4E 1 1 f ( t ) 2 cos( 1t ) 2 cos(3 1t ) 2 cos(5 1t ) ... 2 3 5
X
第 第
周期信号的傅里叶级数展开
频谱图
三角函数形式： cn ~ ， n ~
指数函数形式： Fn ~ ， n ~
1 关系 F ( n 1 ) cn n 0 2
4 4 页 页
单边频谱
双边频谱
F0 c0 a0
周期信号频谱特点
收敛性、谐波性、唯一性
利用函数对称性简化频谱分析
偶函数：不含正弦项，bn 0
奇函数：不含余弦项 a n 0
X
一．周期矩形脉冲信号
f (t )
第 第 5 5 页 页
E
脉宽为 脉冲高度为E 周期为T1
T1
T1
2
0
t T1 2 b 0, 只有a , a a 1 0 n 0 n
T1 2 T 1 2
f ( t )dt
波形沿纵轴上下移动A 直流分量改变A，基波、谐波分量不变；
X
第 第
1、方波的傅里叶级数（3）
( 3)
E 2
10 10 页 页
f 3 (t )
T1
2
0
2
T1
t
T1 f 3 ( t )是f 2 ( t )右移 4 (滞后90 0 )的结果
T1 奇函数 f 3 (t ) f 2 (t ) 4 奇谐函数 2E 1 3 1 5 cos( 1t ) cos(3 1t ) cos(5 1t ) ... 2 3 2 5 2 2E 1 1 sin( 1t ) sin( 3 1t ) sin( 5 1t ) ... 3 5
X
第 第 6 6 页 页
图中T 5
E T1
F ( n 1 )
若T 5
2
1 2 则 5 1
5
2π
O 1 2 1
E ( 2)其最大值在 n 0处，为 。 (1)离散谱（谐波性） T1 2 π 当 n 1时取值 （ 4)第一个零点坐标： 2 π (3)包络线形状：抽样函数 令 ＝ 2 j n （ 5 ）F (n 1 ) | Fn | e , 此处为实 函 数，幅度/ 相位 Fn 0，相位为 0，Fn 0, 相位为 π 。 X