Mindlin解均化应力分层总和法计算群桩基础沉降_刘金砺
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（ 中国建筑科学研究院，北京 100013 ）
摘要： 对考虑桩径因素的 Mindlin 解群桩应力场剖析表明 ： 端阻应力在桩端下 2 d 范围呈现明显的应力集中现象 ， 在 竖向和水平向衰减迅速 ； 侧阻应力在桩端平面分布明显不均 ， 至桩端下 1 d 平面趋于均匀， 沿深度和水平向衰减较 致使按实体深基法计算的桩基沉降需乘以 慢。按半无限体表面荷载下的 Boussinesq 解计算的群桩应力显著偏大 ， 0． 25 ～ 0． 5 经验系数折减。桩基沉降计算采用 Mindlin 解计算附加应力的合理性是明显的 ， 但按习用的自由荷载下 边角点偏小。基于群桩 Mindlin 解附加应力场和群桩基础变形特征 ， 考虑承 应力叠加法计算将导致中点沉降偏大 、 台和上部结构刚度对沉降变形的均化效应 ， 提出 Mindlin 解均化应力分层总和法计算群桩基础沉降 。 该方法具有 如下特点： 一是可反映桩端应力集中贯入变形 ； 二是可近似反映承台和上部结构刚度的影响 ； 三是可查表或采用程 序进行计算， 操作简便； 四是计算值与实测值、 规范统计值接近， 初步预计无需修正。 关键词： Mindlin 解； 群桩； 应力场； 均化应力； 沉降计算 中图分类号： TU473 文献标识码： A 131X（ 2014 ） 05011810 文章编号： 1000-
1
群桩 Mindlin 解应力场和群桩基础沉降变 形特征
群桩 Mindlin 解应力场特征 按弹性理 论 分 析， 群桩桩顶荷载分布受承台刚
1． 1
度、 桩距诸因素的影响， 图 1 所示为粉土层中桩径 d = 250mm、 6d 二 桩长 l = 18d、 桩数 n = 3 × 3 、 桩距 s a = 3 d、
引
： “十二五” 基金项目 国家科技支撑计划项目 （ 2012BAJ07B01 ） 作者简介： 刘金砺， 学士， 研究员 0502 收稿日期： 2013-
言
群桩基础的沉降计算长期以来成为桩基设计中 人们关注的重点之一， 而沉降计算的核心问题是桩基
第 47 卷
第5 期
刘金砺等·Mindlin 解均化应力分层总和法计算群桩基础沉降
DOI:10.15951/j.tmgcxb.2014.05.018
第 47 卷第 5 期 2 0 1 4 年5 月
土
木
工
程
学
Leabharlann Baidu
报
CHINA CIVIL ENGINEEＲING JOUＲNAL
Vol． 47 May
No． 5 2014
Mindlin 解均化应力分层总和法计算群桩基础沉降
刘金砺 邱明兵 秋仁东 高文生
［ 6 ］ 上给出了解析式， 中轴线以外给出了数值积分解 ， 取代原 MindlinGeddes 集中力解。
（ 3 ） 改进 Mindlin 解附加应力表达式 Geddes 解的地基附加应力计算式 鉴于原 Mindlin为以桩顶荷载与桩长平方之比乘以附加应力影响系 2 I sr ， I st ） ， 数表述 （ Q / l ） · I（ I p ， 其附加应力影响系数 Ip 、 I sr 、 I st 变幅极大， 无法从数值上评价应力分布变化特 7］ 征。为此文献［ 将地基附加应力计算表达式改造为 端阻、 侧阻与附加应力系数相乘的计算表达式： q p·k p ， q sr ·k sr ， q st ·k st ， k sr 、 k st 以深径比 其中的附加应力系数 k p 、 h / d 和距径比 ρ / d 为自变量， 附加应力系数即单位端 阻 qp 、 单位矩形分布侧阻 q sr 、 单位三角形分布侧阻 q st 作用下的附加应力。 由于改进后的考虑桩径因素的
·119·
附加应力的计算确定。 传统方法是借助弹性半无限 体表面荷载下的 Boussinesq 应力解进行附加应力计 算。对群 桩 基 础， 通 常 将 其 视 为 实 体 深 基 础， 利用 Bussinesq 解求得基底分布荷载下的土中附加应力， 按 单向压缩分层总和法计算沉降。 由于其沉降计算值 为实测统计值的 2 ～ 4 倍， 不得不将沉降计算值乘以 0． 5 ～ 0． 25 经验系数予以修正。 由此可见， 桩基沉降 计算中的附加应力计算是一个极为重要的课题 。 1936 年 Mindlin 给出了作用于半无限弹性体内部 ［1 ］ 竖向集中 力 对 任 一 点 产 生 的 应 力 和 位 移 解 ； 1966 Geddes 将桩端阻力简化为作用于桩端的集中力， 年， 将桩侧阻力简化为分布于桩中轴线上的集中力 ， 并假 由 Mindlin 解 设侧阻力强度呈矩形和正三角形分布， 积分分 别 得 到 了 三 种 受 力 情 况 下 的 土 中 应 力 解 析 ［2 ］ 式 。这一研究成果的出现， 为探讨符合桩基实际的 Mindlin 解 应力场的沉降计算开启了希望之窗。从此， 在桩基沉降计算中的应用便处在不断探索和演进之 中， 其进展可分为以下几方面。 （ 1 ） MindlinGeddes 集 中 力 解 应 力 叠 加 沉 降 计 算法 20 世纪 80 年代， Geddes 集中力 提出采用 Mindlin解析解按叠加原理计算附加应力、 分层总和法计算群
（ China Academy of Building Ｒesearch，Beijing 10013 ，China）
Abstract： Based on the Mindlin stress solution with the pilediameter effect considered，it is seen that piletip stress concentration may appear within the range of two pile diameters below the pile tip，but the piletip stress attenuates in the horizontal and vertical directions． The side resistance of the pile group is not uniformly distributed at the pile tip，but it is well distributed at one pile diameter above the pile tip，and the side resistance attenuates slightly along the vertical and horizontal directions． Since the settlement calculation results based on the Boussinesq stress theory are larger than the realistic ones， an empirical coefficient of 0． 25 ～ 0． 5 should be multiplied to the pilegroup settlement calculated from solid foundation approach． It is reasonable to apply the Mindlin stress theory to calculate the additional stress of the pilegroup foundation． However， calculating the additional stress of pilegroup foundation with the traditional stress superposition method under free loads may lead to the larger settlement at the center and the smaller settlement at the corners． Based on the stress field calculated by the Mindlin stress theory with the pile diameter effect considered，the deformation behavior of the pilegroup foundation as well as the homogenization effect of pile cap and the superstructure stiffness on the settlement deformation， a layerwise summation method for settlement calculation of pile group is presented based on the Mindlin stress theory． The advantages of this method are summarized as follows： （ 1 ） the penetration deformation due to stress concentration at the pile tip may be reflected； （ 2 ） the stiffness effect of pile cap and superstructure may be approximately modeled； （ 3 ） table lookup and computer program may be utilized and the processes can be readily done； （ 4 ） the calculation results have good agreements with the measured ones and statistical ones without the necessity of revisions． Keywords： Mindlin stress solution； pile group； stress field； homogenized stress； settlement calculation Email： qiurend@ 163． com
［3 ］ 组群桩试验的的桩顶荷载分布 。 从中看出， 对于桩 距 3 d 群桩的角、 边、 中心桩的桩顶荷载实测分布与理
论计算（ 半无限弹性体中刚性承台群桩 ） 分布差异较 大， 实测分布为基本均匀； 对于桩距 6 d 群桩的角、 边、
（ GB 50007 —2002 ） 中［4-5］。鉴于叠加应力法是自由荷 对于较大面积群桩的中、 边、 角点的沉降 载下的沉降， 计算值差异过大（ 详见下文） 。 （ 2 ） 考虑桩径因素的 Mindlin 解取代集中力解 Geddes 集中力作用下的解， 鉴于 Mindlin在桩端处出 现无穷大值， 且桩端以下应力集中现象明显， 将其应用于小 《 （ JGJ 桩群沉降计算误差较大， 为此在 建筑桩基技术规范》 94—2008） 中给出了考虑桩径影响的 Mindlin 解， 桩中轴线
［3 ］ 《上海地基基础设计规范 》 桩基础沉降 ， 并先后列入 （ DG J08 —11 —1999 ） 和《建 筑 地 基 基 础 设 计 规 范 》
Mindlin 应力解包含桩径 d 自变量， 故附加应力系数改 进为深径比、 距径比为自变量也更切合应用实际， 且 物理意义明晰。 7］ Mindlin 解单桩竖向附加应力系 本文基于文献［ 数计算的群桩应力场和群桩基础的沉降变形特征 ， 考 虑承台、 上部结构刚度对沉降变形的均化效应， 提出 Mindlin 解均化应力分层总和法计算群桩基础沉降 。
A layerwise summation method for settlement calculation of pile group based on the homogenized Mindlin stress
Liu Jinli Qiu Mingbing Qiu Ｒendong Gao Wensheng
摘要： 对考虑桩径因素的 Mindlin 解群桩应力场剖析表明 ： 端阻应力在桩端下 2 d 范围呈现明显的应力集中现象 ， 在 竖向和水平向衰减迅速 ； 侧阻应力在桩端平面分布明显不均 ， 至桩端下 1 d 平面趋于均匀， 沿深度和水平向衰减较 致使按实体深基法计算的桩基沉降需乘以 慢。按半无限体表面荷载下的 Boussinesq 解计算的群桩应力显著偏大 ， 0． 25 ～ 0． 5 经验系数折减。桩基沉降计算采用 Mindlin 解计算附加应力的合理性是明显的 ， 但按习用的自由荷载下 边角点偏小。基于群桩 Mindlin 解附加应力场和群桩基础变形特征 ， 考虑承 应力叠加法计算将导致中点沉降偏大 、 台和上部结构刚度对沉降变形的均化效应 ， 提出 Mindlin 解均化应力分层总和法计算群桩基础沉降 。 该方法具有 如下特点： 一是可反映桩端应力集中贯入变形 ； 二是可近似反映承台和上部结构刚度的影响 ； 三是可查表或采用程 序进行计算， 操作简便； 四是计算值与实测值、 规范统计值接近， 初步预计无需修正。 关键词： Mindlin 解； 群桩； 应力场； 均化应力； 沉降计算 中图分类号： TU473 文献标识码： A 131X（ 2014 ） 05011810 文章编号： 1000-
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群桩 Mindlin 解应力场和群桩基础沉降变 形特征
群桩 Mindlin 解应力场特征 按弹性理 论 分 析， 群桩桩顶荷载分布受承台刚
1． 1
度、 桩距诸因素的影响， 图 1 所示为粉土层中桩径 d = 250mm、 6d 二 桩长 l = 18d、 桩数 n = 3 × 3 、 桩距 s a = 3 d、
引
： “十二五” 基金项目 国家科技支撑计划项目 （ 2012BAJ07B01 ） 作者简介： 刘金砺， 学士， 研究员 0502 收稿日期： 2013-
言
群桩基础的沉降计算长期以来成为桩基设计中 人们关注的重点之一， 而沉降计算的核心问题是桩基
第 47 卷
第5 期
刘金砺等·Mindlin 解均化应力分层总和法计算群桩基础沉降
DOI:10.15951/j.tmgcxb.2014.05.018
第 47 卷第 5 期 2 0 1 4 年5 月
土
木
工
程
学
Leabharlann Baidu
报
CHINA CIVIL ENGINEEＲING JOUＲNAL
Vol． 47 May
No． 5 2014
Mindlin 解均化应力分层总和法计算群桩基础沉降
刘金砺 邱明兵 秋仁东 高文生
［ 6 ］ 上给出了解析式， 中轴线以外给出了数值积分解 ， 取代原 MindlinGeddes 集中力解。
（ 3 ） 改进 Mindlin 解附加应力表达式 Geddes 解的地基附加应力计算式 鉴于原 Mindlin为以桩顶荷载与桩长平方之比乘以附加应力影响系 2 I sr ， I st ） ， 数表述 （ Q / l ） · I（ I p ， 其附加应力影响系数 Ip 、 I sr 、 I st 变幅极大， 无法从数值上评价应力分布变化特 7］ 征。为此文献［ 将地基附加应力计算表达式改造为 端阻、 侧阻与附加应力系数相乘的计算表达式： q p·k p ， q sr ·k sr ， q st ·k st ， k sr 、 k st 以深径比 其中的附加应力系数 k p 、 h / d 和距径比 ρ / d 为自变量， 附加应力系数即单位端 阻 qp 、 单位矩形分布侧阻 q sr 、 单位三角形分布侧阻 q st 作用下的附加应力。 由于改进后的考虑桩径因素的
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附加应力的计算确定。 传统方法是借助弹性半无限 体表面荷载下的 Boussinesq 应力解进行附加应力计 算。对群 桩 基 础， 通 常 将 其 视 为 实 体 深 基 础， 利用 Bussinesq 解求得基底分布荷载下的土中附加应力， 按 单向压缩分层总和法计算沉降。 由于其沉降计算值 为实测统计值的 2 ～ 4 倍， 不得不将沉降计算值乘以 0． 5 ～ 0． 25 经验系数予以修正。 由此可见， 桩基沉降 计算中的附加应力计算是一个极为重要的课题 。 1936 年 Mindlin 给出了作用于半无限弹性体内部 ［1 ］ 竖向集中 力 对 任 一 点 产 生 的 应 力 和 位 移 解 ； 1966 Geddes 将桩端阻力简化为作用于桩端的集中力， 年， 将桩侧阻力简化为分布于桩中轴线上的集中力 ， 并假 由 Mindlin 解 设侧阻力强度呈矩形和正三角形分布， 积分分 别 得 到 了 三 种 受 力 情 况 下 的 土 中 应 力 解 析 ［2 ］ 式 。这一研究成果的出现， 为探讨符合桩基实际的 Mindlin 解 应力场的沉降计算开启了希望之窗。从此， 在桩基沉降计算中的应用便处在不断探索和演进之 中， 其进展可分为以下几方面。 （ 1 ） MindlinGeddes 集 中 力 解 应 力 叠 加 沉 降 计 算法 20 世纪 80 年代， Geddes 集中力 提出采用 Mindlin解析解按叠加原理计算附加应力、 分层总和法计算群
（ China Academy of Building Ｒesearch，Beijing 10013 ，China）
Abstract： Based on the Mindlin stress solution with the pilediameter effect considered，it is seen that piletip stress concentration may appear within the range of two pile diameters below the pile tip，but the piletip stress attenuates in the horizontal and vertical directions． The side resistance of the pile group is not uniformly distributed at the pile tip，but it is well distributed at one pile diameter above the pile tip，and the side resistance attenuates slightly along the vertical and horizontal directions． Since the settlement calculation results based on the Boussinesq stress theory are larger than the realistic ones， an empirical coefficient of 0． 25 ～ 0． 5 should be multiplied to the pilegroup settlement calculated from solid foundation approach． It is reasonable to apply the Mindlin stress theory to calculate the additional stress of the pilegroup foundation． However， calculating the additional stress of pilegroup foundation with the traditional stress superposition method under free loads may lead to the larger settlement at the center and the smaller settlement at the corners． Based on the stress field calculated by the Mindlin stress theory with the pile diameter effect considered，the deformation behavior of the pilegroup foundation as well as the homogenization effect of pile cap and the superstructure stiffness on the settlement deformation， a layerwise summation method for settlement calculation of pile group is presented based on the Mindlin stress theory． The advantages of this method are summarized as follows： （ 1 ） the penetration deformation due to stress concentration at the pile tip may be reflected； （ 2 ） the stiffness effect of pile cap and superstructure may be approximately modeled； （ 3 ） table lookup and computer program may be utilized and the processes can be readily done； （ 4 ） the calculation results have good agreements with the measured ones and statistical ones without the necessity of revisions． Keywords： Mindlin stress solution； pile group； stress field； homogenized stress； settlement calculation Email： qiurend@ 163． com
［3 ］ 组群桩试验的的桩顶荷载分布 。 从中看出， 对于桩 距 3 d 群桩的角、 边、 中心桩的桩顶荷载实测分布与理
论计算（ 半无限弹性体中刚性承台群桩 ） 分布差异较 大， 实测分布为基本均匀； 对于桩距 6 d 群桩的角、 边、
（ GB 50007 —2002 ） 中［4-5］。鉴于叠加应力法是自由荷 对于较大面积群桩的中、 边、 角点的沉降 载下的沉降， 计算值差异过大（ 详见下文） 。 （ 2 ） 考虑桩径因素的 Mindlin 解取代集中力解 Geddes 集中力作用下的解， 鉴于 Mindlin在桩端处出 现无穷大值， 且桩端以下应力集中现象明显， 将其应用于小 《 （ JGJ 桩群沉降计算误差较大， 为此在 建筑桩基技术规范》 94—2008） 中给出了考虑桩径影响的 Mindlin 解， 桩中轴线
［3 ］ 《上海地基基础设计规范 》 桩基础沉降 ， 并先后列入 （ DG J08 —11 —1999 ） 和《建 筑 地 基 基 础 设 计 规 范 》
Mindlin 应力解包含桩径 d 自变量， 故附加应力系数改 进为深径比、 距径比为自变量也更切合应用实际， 且 物理意义明晰。 7］ Mindlin 解单桩竖向附加应力系 本文基于文献［ 数计算的群桩应力场和群桩基础的沉降变形特征 ， 考 虑承台、 上部结构刚度对沉降变形的均化效应， 提出 Mindlin 解均化应力分层总和法计算群桩基础沉降 。
A layerwise summation method for settlement calculation of pile group based on the homogenized Mindlin stress
Liu Jinli Qiu Mingbing Qiu Ｒendong Gao Wensheng