充要条件 教案

充分条件、必要条件、充要条件

本节需要将逻辑推理关系这点重点掌握，把逻辑推理关系熟记。

知识提炼

“若p,则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们说，由p可推出q记作：p⇒q，并且说p叫q的充分条件，同时q叫p的必要条件。

例题：指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：

（1）p：x=y；q：x2=y2;

（2）p:三角形的三条边相等；q:三角形的三个角相等；

解：（1）因x=y⇒x2=y2,即p⇒q.所以p是q的充分条件，q是p的必要条件；

（2）因三角形的三条边相等⇒三角形的三个角相等，即p⇒q，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件。又因：三角形的三个角相等⇒三角形的三条边相等，即q⇒p。则q也是p的充分条件，p也是q的必要条件；

变式：

（a）p：x=1或x=2,q:x2-3x+2=0；

（b）p：x=2或x=3,q:x-3=x-3.

解：（a）因x=1或x=2⇒x2-3x+2=0,即p⇒q。则p是q的充分条件，q是p 的必要条件又因x2-3x+2=0⇒x=1或x=2.则q也是p的充分条件，p也是q的必要条件。

（b）因x=2或x=3/⇒x-3=x-3，但x-3=x-3⇒x=2或x=3.即p/⇒q，而q⇒p。所以q是p的充分条件，p是q的必要条件。

特征：

①充分条件的特征是：“有它就行，没它未必不行”；

当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我

的妈妈．”那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”

呢？为什么？

因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于说明你是她的孩子

②必要条件的特征是：“没它不行，有它未必行”；

例：没有氧气，人类就不能生存；有了氧气，人类未必就能生存．我们说，氧气是

人类生存的必要条件．

③充要条件的特征是：“有它就行，没它不行”．

1、从逻辑推理关系看：

①若条件p⇒结论q，但结论q条件p，则条件p是结论q的充分不必要条

件；

②若结论q⇒条件p，但结条件p结论q，则条件p是结论q的必要不充分

条件；

③若条件p⇒结论q，且结论q⇒条件p，则条件p是结论q的充要条件；

④若条件p结论q，但结论q条件p，则条件p是结论q的既不充分又不

必要条件；

注意：逻辑推理关系用来判断充分条件、必要条件、充要条件的依据。需要重点掌握

例、如果A⇒B⇔C，那么A、B、C之间有什么关系？

A⇒B说明A是B的充分条件，B⇔C说明B与C互为充要条件，又由A⇒B⇔C知A⇒C，

2、从集合与集合之间的关系上看：

若条件p以集合A的形式出现，结论q以集合B的形式出现，则

①若A⊆B，则A是B的充分条件；

②若A⊇B，则A是B的必要条件；

③若A = B，则A是B的充要条件；

注意：集合关系用来判断小范围可以退出大范围，但大范围推不出小范围。

例、p:m能被6整除，q:m能被3整除，p是q的什么条件？

解析：因为m能被6整除范围小，而m能被3整除范围大，p⇒q，但q p，所以p是q的充分但不必要条件。

变式：

1、x2－1＜0是（x＋2）（x－3）＜0的什么条件？

2、x≤－1是x≤1 的条件．

小结：

对于两个不等式而言：

（ⅰ）解集范围小的成立，则解集范围大的也成立；但是，反过来不能成立．（ⅱ）若两个不等式的解集无包含与被包含关系，则它们相互都不能推得

3、充要条件的判断方法

（1）定义法：

①分清条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论；

②找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假；

③下结论：根据推式及定义下结论.

（2）等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题.

（3）逆否法（这是等价法的一种特殊情况）

①若┒p⇒┒q，则p是q的必要条件, q是p的充分条件；

②若┒p⇒┒q，且┒q┒p，则p是q的必要非充分条件；

③若┒p⇔┒q，则p与q互为充要条件；

④若┒p┒q，且┒q┒p,则p是q的既不充分，也不必要条件.

注意：对比“p⇒q，则p是q的充分条件”和“┒p⇒┒q，则p是q的必要条件”

例：“p：x≠2或y≠3”是“q：x+y≠5”的什么条件？

解析：因为┒p：x=2且y=3，┒q：x+y=5，而┒p⇒┒q，且┒q┒p，所以q⇒ p

且p q，即p是q的必要不充分条件。

练习2：指出下列各组命题中，p是q的什么条件（在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种）？

即A是C的充分条件。

（1）p:(x-2)(x-3)=0；q:x-2=0；

（2）p：同位角相等；q：两直线平行。

（3）p：x=3，q：x2=9；

（4）p：四边形的对角线相等；q：四边形是平形四边形。

（5）2

3

+；q：2x+3=x2 .

x

p=

2

:x

x

解：（1）因x-2=0⇒(x-2)(x-3)=0,而(x-2)(x-3)=0/⇒x-2=0.所以p是q的必要

而不充分条件。

（2）因同位角相等⇔两直线平行，所以p是q的充要条件。

（3）因x=3⇒x2=9,而x2=9/⇒x=3，所以p是q的充要分而不必要条件。

（4）因四边形的对角线相等/⇒四边形是平行四边形，又四边形是平四边形/⇒四

边形的对角线相等。所以p是q的既不充分也不必要条件。

（5）因0

3

:2=

(

2

2

3

)

x

x

p,解得x=0或x=3.q:2x+3=x2得

x

x

+x

-

+

⇔

=

x

x=-1或x=3。则有p/⇒q,且q/⇒p,所以p是q的既不充分也不必要条件。

例2：设集合M={x|x>2},P={x|x<3},则“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的什么

条件？

解：由“x∈M或x∈P”可得知：x∈P，又由“x∈M∩P”可得：x∈{x|2

则由x∈P⇏x∈{x|2