2-2-1综合法与分析法
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选修1-2 2.2.1
一、选择题
1．分析法证明问题是从所证命题的结论出发，寻求使这个结论成立的( )
A ．充分条件
B ．必要条件
C ．充要条件
D ．既非充分条件又非必要条件
[答案] A
[解析] 分析法证明是从所证命题的结论出发，寻求使结论成立的充分条件．
2．要证明3＋7<25可选择的方法有以下几种，其中最合理的为( )
A ．综合法
B ．分析法
C ．反证法
D ．归纳法
[答案] B
[解析] 要证明3＋7<25最合理的方法是分析法．
3．a >0，b >0，则下列不等式中不成立的是( )
A ．a ＋b ＋1ab ≥2 2
B ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4
≥a ＋b
≥ab
[答案] D
[解析] ∵a >0，b >0，∴2ab a ＋b
≤ab . 4．下面的四个不等式：
①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ；②a (1－a )≤14；③b a ＋a b
≥2；④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2. 其中恒成立的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
[答案] C
[解析] ∵a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ，
a (1－a )－14＝－a 2＋a －14＝－(a －12)2≤0，
(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2
≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2，
只有当b a >0时，才有b a ＋a b
≥2，∴应选C. 5．若a ，b ∈R ，则1a 3>1b 3成立的一个充分不必要条件是( ) A ．ab >0
B ．b >a
C ．a
D ．ab (a －b )<0
[答案] C
[解析] 由a 1b 3，但1a 3>1b 3⇒/ a 1b 3的一个充分不必要条件． 6．若x 、y ∈R ，且2x 2＋y 2＝6x ，则x 2＋y 2＋2x 的最大值为( )
A ．14
B ．15
C ．16
D ．17 [答案] B
[解析] 由y 2＝6x －2x 2≥0得0≤x ≤3，从而x 2＋y 2＋2x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝3时，最大值为15.
7．设a 与b 为正数，并且满足a ＋b ＝1，a 2＋b 2≥k ，则k 的最大值为( )
D ．1 [答案] C
[解析] ∵a 2＋b 2≥12(a ＋b )2＝12(当且仅当a ＝b 时取等号)，∴k max ＝12
. 8．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭
⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( )
A ．A ≤
B ≤C
B ．A ≤
C ≤B C ．B ≤C ≤A
D ．C ≤B ≤A
[答案] A
[解析] ∵a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b
， 又函数f (x )＝(12)x 在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f (a ＋b 2)≤f (ab )≤f (2ab a ＋b )．
9．已知a >0，b >0，1a ＋3b
＝1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．7＋2 6
B ．2 3
C ．7＋2 3
D ．14
[答案] A [解析] a ＋2b ＝(a ＋2b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋3b ＝7＋3a b ＋2b a
. 又∵a >0，b >0，∴由均值不等式可得：a ＋2b ＝7＋3a b ＋2b a ≥7＋23a b ·2b a
＝7＋2 6.当且仅当3a b ＝2b a 且1a ＋3b ＝1，即3a 2＝2b 2且1a ＋3b
＝1时等号成立，故选A. 10．已知f (x )＝a x