2021年《概率论与数理统计》考研复习笔记与辅导讲义

2021年《概率论与数理统计》考研复习笔记与辅导

讲义

第1章随机事件和概率

一、考研辅导讲义

1．随机现象与样本空间

（1）随机现象

在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象．

（2）样本空间

随机现象的一切可能的基本结果，组成的集合，称是由基本结果构成的样本空间，记作，又称样本点．

（3）随机事件

样本空间的子集称为随机事件，简称事件，常用大写字母A，B，C等表示．注：

①随机事件是由样本空间中的样本点组成，由一个样本点组成的子集是最简单件，称为基本事件．

②随机事件既然由样本点组成，因此，随机事件是由基本事件组成．

③如果一次试验的结果为某一基本事件出现，就称该基本事件出现或发生．如果组成事件A的一个基本事件出现或发生，也称事件A出现或发生．

④把Ω看成一事件，则每次试验必有Ω中某一基本事件（即样本点）发生，也就是每次试验Ω必然发生，称Ω为必然事件．

⑤把不包含任何样本点的空集看成一个事件，称为不可能事件．

（4）随机变量

表示随机现象结果的变量称为随机变量，常用大写字母X，Y，Z，或者ξ，η等表示．2．事件间的关系

（1）包含关系

如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，或称事件A包含于事件B，记为或．

（2）事件相等

若与同时成立，则称事件A与事件B相等，记作A＝B．

（3）互斥事件（互不相容事件）

若事件A与事件B满足关系，即A与B同时发生是不可能事件，则称事件A和事件B为互斥或互不相容，即两互斥事件没有公共样本点．

注：事件的互斥可以推广到有限多个事件或可数无穷多个事件的情形：

①若n个事件中任意两个事件均互斥，即，i≠j，i，j ＝1，2，…，n，则称这n个事件是两两互斥或两两互不相容．

②如果可数无穷多个事件…中任意两个事件均互斥，即

，i≠j，i，j＝1，2，…，n，…，则称这可数无穷个事件是两两互斥或两两互不相容．

【例】对任意两个互不相容的事件A与B，必有（）．

A．如果P（A）＝0，则P（B）＝0

B．如果P（A）＝0，则P（B）＝1

C．如果P（A）＝1，则P（B）＝0

D．如果P（A）＝1，则P（B）＝1

【答案】C查看答案

【解析】．

（4）对立事件

如果事件A与事件B有且仅有一个发生，则称事件A与事件B为对立事件或互逆事件，记为或．

注：①如果A与B为对立事件，则A，B不能同时发生，且必有一个发生，即A、B满足A∪B＝Ω且．

②在样本空间中，集合是由所有不属于事件A的样本点构成的集合．

【例】设随机事件A和B满足条件，则（）．

A．

B．

C．

D．

【答案】A查看答案

【解析】，所以即而，故，也就有即A∪B＝Ω．

3．事件间的运算

（1）事件的交（积）

如果事件A与事件B同时发生，则称这样的一个事件为事件A与事件B的交或积，记为A∩B或AB，即集合A∩B是由同时属于A与B的所有公共样本点构成．注：事件的交可以推广到有限多个事件或可数无穷多个事件的情形：

（2）事件的并

如果事件A与事件B至少有一个发生，则称这样一个事件为事件A与事件B的并或和，记为A∪B，即集合A ∪B是由属于A与B的所有样本点构成．

注：事件的并可推广到有限多个事件或可数无穷多个事件的情形：

（3）完备事件组

如果有限个事件满，且，则称

为Ω的一个完备事件组或完全事件组．

注：可以推广完备事件组到可数无穷多个事件的情形：

且．

（4）事件的差

事件A发生而事件B不发生的事件称为事件A与事件B的差，记为A－B．即在样本空间中集合A－B是由属于事件A而不属于事件B的所有样本点构成的集合．显然．

（5）事件的运算规律

交换律

结合律

分配律

对偶律

【例】A，B，C为任意三随机事件，则事件（A－B）∪（B－C）等于事件（）．A．A－C

B．A∪（B－C）

C．（A∪B）－C

D．（A∪B）－BC

【答案】D查看答案

【解析】因，故．而

图1-1

4．概率的概念及基本性质

（1）概率的公理化定义

设为一个样本空间，F为的某些子集组成的一个事件域．如果对任一事件F,定义在F上的一个实值函数满足：

①非负性公理：若F,则，

②正则性公理：

③可列可加性公理：若互不相容，则，则称

为事件A的概率，

称三元素F为概率空间．

（2）概率性质

①；

②若两两互斥，则有

③；

④，则P（A）≤P（B）；

⑤0≤P（A）≤1

【例】若A，B为任意两个随机事件，则（）．【2015数一、数三】

A．

B．

C．

D．

【答案】C查看答案

【解析】由于，按概率的基本性质，有且

，从而．

（3）事件独立性

设A，B两事件满足等式P（AB）＝P（A）P（B），则称A与B相互独立．注：对n个事件，如果对任意k（1＜k≤n），任意

满足等式

则称为相互独立的事件．

事实上，n个事件相互独立需要个等式成立．

（4）相互独立的性质

①A与B相互独立A与或与B或与相互独立．

将相互独立的n个事件中任何几个事件换成它们相应的对立事件，则新组成的n个事件也相互独立．

【例】设，，为三个随机事件，且与相互独立，与相互独立，则与相互独立的充分必要条件是（）．[数三2017研]

A．与相互独立B．与互不相容

C．与相互独立 D．与互不相容

【答案】C查看答案

【考点】相互独立

【解析】由，得．【例】已知随机事件A，B，C中，满足P（AB）＝1．则事件（）．A．相互独立