八年级数学竞赛专题讲义
八年级数学竞赛培优讲义
1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】假如多项式的各项有公因式，依据乘法分派律的逆运算，能够把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。
它的理论依据就是乘法分派律。
多项式的公因式确实定方法是：（1）当多项式有同样字母时，取同样字母的最低次幂。
（2）系数和各项系数的最大条约数，公因式能够是数、单项式，也能够是多项式。
下边我们经过例题进一步学惯用提公因式法因式分解【分类分析】1.把以下各式因式分解（1）a2 x m 2abx m 1acx m ax m3（2）a(a b) 32a2 (b a) 22ab(b a)分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。
解： a 2 x m 2abx m 1acx m ax m 3ax m (ax 2bx c x 3 )（2）有时将因式经过符号变换或将字母从头摆列后可化为公因式，如：当 n 为自然数时，(a b) 2n(b a) 2n； (a b) 2n 1(b a) 2 n 1，是在因式分解过程中常用的因式变换。
解： a(a b)3 2a 2 (b a) 2 2ab(b a)2. 利用提公因式法简化计算过程987 987 987 987 例：计算 1232684565211368136813681368分析：算式中每一项都含有987，能够把它当作公因式提拿出来，1368再算出结果。
解：原式987 (123 268 456 521)13683. 在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组2x y 3 ，求代数式 (2 xy)(2 x3y) 3x( 2x y) 的5x 3y2值。
分析：不要求解方程组，我们能够把2xy 和 5x 3y 当作整体，它们的值分别是 3 和2 ，察看代数式，发现每一项都含有2x y ，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有 2x y 和 5x 3y 的式子，即可求出结果。
初二数学竞赛辅导资料(共12讲)
初二数学竞赛辅导资料(共12讲)目录本内容适合八年级学生竞赛拔高使用重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高本内容难度适中讲练结合由浅入深讲解与练习同步重在提高学生的数学分析能力与解题能力另外在本次培训中内容的编排和讲解可以根据学生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和增删内容其中《因式分解》为初二下册内容但是考虑到它的重要性和工具性将在本次培训进行具体解读注有标注的为选做内容本次培训具体计划如下以供参考第一讲实数一第二讲实数二第三讲平面直角坐标系函数第四讲一次函数一第五讲一次函数二第六讲全等三角形第七讲直角三角形与勾股定理第八讲株洲市初二数学竞赛模拟卷未装订在内另发第九讲竞赛中整数性质的运用第十讲不定方程与应用第十一讲因式分解的方法第十二讲因式分解的应用第十三讲考试未装订在内另发第十四讲试卷讲评第1讲实数一知识梳理一非负数正数和零统称为非负数1几种常见的非负数1实数的绝对值是非负数即a≥0在数轴上表示实数a的点到原点的距离叫做实数a的绝对值用a来表示设a为实数则绝对值的性质①绝对值最小的实数是0②若a与b互为相反数则a＝ba＝ba＝b③对任意实数a则a≥a a≥－a④a·b＝ab b≠0⑤a－b≤a±b≤a＋b2实数的偶次幂是非负数如果a为任意实数则≥0n为自然数当n＝1≥03算术平方根是非负数即≥0其中a≥0算术平方根的性质 a≥0 ＝2非负数的性质1有限个非负数的和积商除数不为零是非负数2若干个非负数的和等于零则每个加数都为零3若非负数不大于零则此非负数必为零3对于形如的式子被开方数必须为非负数4推广到的化简5利用配方法来解题开平方或开立方时将被开方数配成完全平方式或完全立方例题精讲◆专题一利用非负数的性质解题例1已知实数xyz满足求x＋y＋z的平方根巩固1已知则的值为______________2若的值拓展设abc是实数若求abc的值◆专题二对于的应用例2已知xy是实数且例3已知适合关系式求的值巩固1已知b＝且的算术平方根是的立方根是试求的平方根和立方根2已知则拓展在实数范围内设＝求的个位数字◆专题三的化简及应用常用方法利用配方法将被开方数配成完全平方式或者立方式例4化简例5若实数x满足方程那么巩固1若且则2已知实数a满足a＋＝03设1求y的最小值2求使6＜y＜7的x的取值范围拓展若求的值课后练习1如果a 0 那么2已知和是数的平方根则求的值3设abc是△ABC的三边的长则＝4已知xy是实数且则＝5若0 a 1 且则为6代数式的最小值是7已知实数满足＝则＝8已知△ABC的三边长为和满足求的取值范围9已知求的值10实数满足求的值第2讲实数二知识梳理一实数的性质1设x为有理数y为无理数则x＋yx－y都为无理数当x≠0时xy都是无理数当x＝0xy 就是有理数了2若xy都是有理数是无理数则要使＝0x＝y＝03xymn都是有理数都是无理数则要使成立须使x＝ym＝n常用方法直接法利用数轴比较平方法同次根式下比较被开方数法作差法作商法三证明一个数是有理数的方法证明这个数是一个有限小数或无限循环小数或可表示成几个有理数的和差积商的形式例题精讲◆例1比较下列两数的大小1 2 34 5 6巩固设◆例2若的小数部分为的小数部分为则的值为巩固1已知为的整数部分是9的平方根且求的值2设的整数部分为小数部分为试求的值拓展已知的整数部分为m小数部分为n的整数部分为a小数部分为b试计算的值◆例3已知是有理数且求的值巩固1已知ab是有理数且求ab的值2已知是有理数并且满足求的值◆例4设试用的代数式表示巩固已知试用的代数式表示◆例5求证是有理数◆例6a与b是两个不相等的有理数试判断实数是有理数还是无理数并说明理由拓展证明是无理数◆例5若ab满足的取值范围巩固已知求x和y的取值范围课后练习1比较大小2设ab是正有理数且满足求ab的值3设的整数部分为小数部分为试求的值4已知与的小数部分分别是ab求ab－3a＋4b＋8的值5已知ab为有理数xy分别表示的整数部分和小数部分且求a＋b的值6证明是无理数第3讲平面直角坐标系函数知识梳理1平面直角坐标系是在数轴的基础上为了实际问题的需要而建立起来的是学习函数的基础数形结合是本节最显著的特点2坐标平面内任意一点P都有唯一的一对有序实数xy和它对应反过来对于任何一对有序实数xy在平面内都有唯一的点P和它对应与点P相对应的有序实数对xy叫做点P的坐标3平面直角坐标系内的点的特征1若点Pxy在第一象限内2若点Pxy在第二象限内3若点Pxy在第三象限内 4若点Pxy在第四象限内5若点Pxy在x轴上 6若点Pxy在y轴上4对称点的坐标特征1点Pxy关于x轴对称或成轴反射的点的坐标为Px－y2点Pxy关于y轴对称或成轴反射的点的坐标为P－xy3点Pxy关于原点对称的点的坐标为P－x－y5函数的有关定义1函数的定义在一个变化过程中如果有两个变量x与y并且对于每一个x确定的值y都有唯一确定的值与其对应则x是自变量y是的函数2函数关系式用来表示函数关系的等式叫函数关系式也称函数解析式6函数自变量的取值范围自变量的取值范围必须使含自变量的代数式都有意义所以1使分母不为零2开平方时被开方数为非负数3为整式时其自变量的范围是全体实数另外当函数关系表示实际问题时自变量的取值必须使实际问题有意义例题精讲◆例1若点M1＋a2b－1在第二象限则点N a－11－2b 在第象限巩固1点Q3－a5－a在第二象限则＝2若点P2a＋43－a关于y的对称点在第三象限求a的取值范围为◆例2方程组的解在平面直角坐标系中对应的点在第一象限内求m的取值范围巩固已知点Mab在第四象限且ab是二元一次方程组的解求点M关于坐标原点的对称点的坐标◆例3在直角坐标系中已知A11在轴上确定点P使△AOP为等腰三角形则符合条件的点P共有个A1 B2 C3 D4拓展在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD它的4个顶点为A100B 010C －100D 0－10 则该正方形内及边界上共有_______个整点即横纵坐标都是整数的点◆例4求下列函数中自变量的取值范围◆例5如图在靠墙墙长为18m的地方围建一个矩形的养鸡场另三边用竹篱笆围成如果竹篱笆总长为35m求鸡场的一边长y m与另一边长x m的函数关系式并求自变量的取值范围巩固1求下列函数中自变量的取值范围①②③2周长为10cm的等腰三角形腰长y cm 与底边长x cm 之间的函数关系式是______________自变量x的取值范围为_________________．拓展若函数y＝的自变量x的取值范围为一切实数求c的取值范围◆例6已知函数的图像如图所示求点AB的坐标巩固若点P在函数的图象上那么点P应在平面直角坐标系中的A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限升又知单开进水管20分钟可把空水池注满若同时打开进出水管20分钟可把满水池的水放完现已知水池内有水升先打开进水管分钟再打开出水管两管同时开放直至把水池中的水放完则能确定反映这一过程中水池的水量升随时间分钟变化的函数图象是巩固如图小亮在操场上玩一段时间内沿的路径匀速散步能近似刻画小亮到出发点的距离与时间之间关系的函数图象是课后练习1汽车由北京驶往相距120千米的天津它的平均速度是30千米时•则汽车距天津的路程S千米与行驶时间t时的函数关系及自变量的取值范围是 • AS＝120－30t0≤t≤4 BS＝30t0≤t≤4CS＝120－30tt 0 DS＝30tt＝42图1是韩老师早晨出门散步时离家的距离与时间之间的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置则韩老师散步行走的路线可能是3函数自变量的取值范围为___________________4如图水以恒速即单位时间内注入水的体积相同注入下图的四种底面积相同的容器中下面那种方案能准确体现各容器所对应的水高度和时间的函数关系图象A．1～甲2～乙3～丁4～丙 B．1～乙2～甲3～丁4～丙C．1～乙2～甲3～丙4～丁 D．1～丁2～甲3～乙4～丙5平面直角坐标系内点An1－n一定不在A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限6若P a＋b－5 与Q 13a－b 关于原点对称则a＋b a－b 的值为6已知点P3p－153－p在第三象限如果其坐标为整数点求点M的坐标第4讲一次函数一姓名知识梳理一一次函数和正比例函数的概念若两个变量xy间的关系式可以表示成y＝kx＋bkb为常数k≠0的形式则称y是x的一次函数x为自变量特别地当b＝0时称y是x的正比例函数二一次函数的图象由于一次函数y＝kx＋bkb为常数k≠0的图象是一条直线所以一次函数y＝kx＋b的图象也称为直线y＝kx＋b．由于两点确定一条直线因此在今后作一次函数图象时只要描出适合关系式的两点再连成直线即可一般选取两个特殊点直线与y轴的交点0b直线与x轴的交点－0但也不必一定选取这两个特殊点画正比例函数y＝kx的图象时只要描出点001k即可三一次函数y＝kx＋bkb为常数k≠0的性质1k的正负决定直线的倾斜方向①k＞0时y的值随x值的增大而增大②k＜O时y的值随x值的增大而减小．2k大小决定直线的倾斜程度即k越大直线与x轴相交的锐角度数越大直线陡k越小直线与x轴相交的锐角度数越小直线缓3b的正负决定直线与y轴交点的位置①当b＞0时直线与y轴交于正半轴上②当b＜0时直线与y轴交于负半轴上③当b＝0时直线经过原点是正比例函数．4由于kb的符号不同直线所经过的象限也不同①如图11－181所示当k＞0b＞0时直线经过第一二三象限直线不经过第四象限②如图11－182所示当k＞0b＞O时直线经过第一三四象限直线不经过第二象限③如图11－183所示当k＜Ob＞0时直线经过第一二四象限直线不经过第三象限④如图11－184所示当k＜Ob＜O时直线经过第二三四象限直线不经过第一象限．5由于k决定直线与x轴相交的锐角的大小k相同说明这两个锐角的大小相等且它们是同位角因此它们是平行的．另外从平移的角度也可以分析例如直线y ＝x＋1可以看作是正比例函数y＝x向上平移一个单位得到的．四正比例函数y＝kxk≠0的性质1正比例函数y＝kx的图象必经过原点2当k＞0时图象经过第一三象限y随x的增大而增大3当k＜0时图象经过第二四象限y随x的增大而减小．五用函数的观点看方程与不等式1方程2x＋20＝0与函数y＝2x＋20观察思考二者之间有什么联系从数上看方程2x＋20＝0的解是函数y＝2x＋20的值为0时对应自变量的值从形上看函数y＝2x＋20与x轴交点的横坐标即为方程2x＋20＝0的解关系由于任何一元一次方程都可转化为kx＋b＝0kb为常数k≠0的形式．所以解一元一次方程可以转化为当一次函数值为0时求相应的自变量的值从图象上看这相当于已知直线y＝kx＋b确定它与x轴交点的横坐标值．2解关于xy的方程组从数的角度看•相当于考虑当自变量为何值时两个函数的值相等以及这个函数值是多少从形的角度看相当于确定两条直线y＝kx＋b与y＝mx＋n的交点坐标两条直线的交点坐标•就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解3解一元一次不等式可以看作是当一次函数值大于或小于0时求自变量相应的取值范围．解关于x的不等式kx＋b mx＋n可以转化为当自变量x取何值时直线y＝k－mx＋b－n上的点在x轴的上方或2求当x 取何值时直线y＝kx＋b上的点在直线y＝mx＋n上相应的点的上方．不等号为时是同样的道理例题精讲◆例1已知一次函数则这样的一次函数的图象必经过第象限巩固1一次函数的图象如图则下面结论正确的是A BC D2若直线经过点Am－1B1m其中则这条直线不经过第象限拓展已知≠并且那么一定经过A第一二象限 B第二三象限 C第三四象限 D第一四象限◆例2若直线y＝kx＋6与两坐标轴所围成的三角形面积是24求常数k的值是多少巩固过点P3作直线使它与两坐标轴围成的三角形面积为5这样的直线可以作几条拓展设直线是正整数与两坐标轴所围成的图形的面积为则◆例3如图所示直线y＝x＋2与x轴交于点A直线y＝－2x＋6与x轴交于点B且两条直线的交点为P试求出△PAB的面积巩固1如图在直角坐标系中长方形OABC的顶点B的坐标为 156 直线恰好将长方形OABC分成面积相等的两部分那么2如图所示已知直线y＝x＋3的图象与x轴y轴交于AB两点直线l经过原点与线段AB交于点C把△AOB的面积分为21的两部分求直线l的解析式．拓展若直线和直线k是正整数及x轴围成的三角形面积为则值为___________◆例4一次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示则下列结论①k1＞0b＜0②k2＞0③关于x的不等式的解集是④关于xy的二元一次方程组的解为其中正确的结论有____________巩固1已知关于x的不等式kx－2 0k≠0的解集是x －3则直线y＝－kx＋2与x 轴的交点是_______．2如右图直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示则关于的不等式的解集为◆例5一个一次函数的图像与直线平行与轴轴的交点分别为AB并且过点－1－25则线段AB上包括端点AB横坐标纵坐标都是整数的点有几个巩固如图一次函数的图象经过点和则的值为◆例6如图直线的解析式为且与轴交于点D直线经过点AB直线交于点C1求直线的解析式2求△ADC的面积3在直线上存在异于点C的另一点P使得△ADP与△ADC的面积相等请直接写出点P的坐标课后练习1点A为直线上的一点点A到两坐标轴的距离相等则点A的坐标为________ 2直线经过一二四象限那么直线经过象限3一次函数是常数的图象如图所示则不等式的解集是A．B．C．D．4如图一直线L经过不同三点AabB ba C那么直线L经过A．第二四象限 B．第一三象限 C．第二三四象限 D．第一三四象限5设直线为自然数与两坐标轴围成的三角形面积为＝1232000 则1＋2＋3＋＋2000的值为A B C D6如图直线与轴轴分别交于AB两点以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC∠BAC＝90°如果在第二象限内有一点P且△ABP的面积与△ABC的面积相等求a的值第5讲一次函数二知识梳理一次函数的应用就是从给定的材料中抽象出函数关系构建一次函数模型再利用一次函数的性质求出问题的解例题精讲◆例1我市一种商品的需求量y1万件供应量y2万件与价格x元／件分别近似满足下列函数关系式y1＝x＋60y2＝2x36需求量为时即停止供应当y1 ＝ y2 1求该商品的稳定价格与稳定需求量2价格在什么范围该商品的需求量低于供应量3当需求量高于供应量时政府常通过对供应方提供价格补贴来提高供货价格以提高供应量现若要使稳定需求量增加4万件政府应对每件商品提供多少元补贴才能使供应量等于需求量巩固图11－30表示甲乙两名选手在一次自行车越野赛中路程y千米随时间x分变化的图象全程根据图象回答下列问题．1当比赛开始多少分时两人第一次相遇2这次比赛全程是多少千米3当比赛开始多少分时两人第二次相遇◆例2在购买某场足球赛门票时设购买门票数为张总费用为元．现有两种购买方案方案一若单位赞助广告费10000元则该单位所购门票的价格为每张60元总费用＝广告赞助费＋门票费方案二购买门票方式如图所示．解答下列问题1方案一中与的函数关系式为方案二中当时与的函数关系式为当时与的函数关系式为2如果购买本场足球赛超过100张你将选择哪一种方案使总费用最省请说明理由3甲乙两单位分别采用方案一方案二购买本场足球赛门票共700张花去总费用计58000元求甲乙两单位各购买门票多少张．元一月用水超过10吨的用户10吨水仍按每吨元收费超过10吨的部分按每吨元收费设一户居民月用水吨应收水费元与之间的函数关系如图13所示1求的值某户居民上月用水8吨应收水费多少元2求的值并写出当时与之间的函数关系式3已知居民甲上月比居民乙多用水4吨两家共收水费46元求他们上月分别用水多少吨◆例3抗震救灾中某县粮食局为了保证库存粮食的安全决定将甲乙两个仓库的粮食全部转移到具有较强抗震功能的AB两仓库已知甲库有粮食100吨乙库有粮食80吨而A库的容量为70吨B库的容量为110吨从甲乙两库到AB两库的路程和运费如下表表中元吨·千米表示每吨粮食运送1千米所需人民币1若甲库运往A库粮食吨请写出将粮食运往AB两库的总运费元与吨的函数关系式2当甲乙两库各运往AB两库多少吨粮食时总运费最省最省的总运费是多少巩固我市某乡两村盛产柑桔村有柑桔200吨村有柑桔300吨．现将这些柑桔运到两个冷藏仓库已知仓库可储存240吨仓库可储存260吨从村运往两处的费用分别为每吨20元和25元从村运往两处的费用分别为每吨15元和18元．设从村运往仓库的柑桔重量为吨两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为元和元．1请填写下表并求出与之间的函数关系式总计吨200吨300吨总计240吨260吨500吨2试讨论两村中哪个村的运费较少3考虑到村的经济承受能力村的柑桔运费不得超过4830元．在这种情况下请问怎样调运才能使两村运费之和最小求出这个最小值．◆例4我国铁路第六次大提速在甲乙两城市之间开通了动车组高速列车．已知每隔1h有一列速度相同的动车组列车从甲城开往乙城．如图所示OA是第一列动车组列车离开甲城的路程s 单位在km 与运行时间t 单位h 的函数图象BC 是一列从乙城开往甲城的普通快车距甲城的路程s 单位km 与运行时间t 单位h 的函数图象．请根据图中信息解答下列问题1点B的横坐标05的意义是普通快车发车时间比第一列动车组列车发车时间_________h点B的纵坐标300的意义是_______________________ 2请你在原图中直接画出第二列动车组列车离开甲城的路程s与时间t的函数图象3若普通快车的速度为100 kmh①求BC的解析式并写出自变量t的取值范围②求第二列动车组列车出发后多长时间与普通列车相遇③直接写出这列普通列车在行驶途中与迎面而来的相邻两列动车组列车相遇的间隔时间．巩固某物流公司的快递车和货车每天往返于AB两地快递车比货车多往返一趟图中表示快递车距离A地的路程y 单位千米与所用时间x 单位时的函数图象．已知货车比快递车早1小时出发到达B地后用2小时装卸货物然后按原路原速返回结果比快递车最后一次返回A地晚1小时．1请在图中画出货车距离A地的路程y 千米与所用时间x 时的函数图象2求两车在途中相遇的次数直接写出答案3求两车最后一次相遇时距离A地的路程和货车从A地出发了几小时课后练习1某车站客流量大旅客往往需长时间排队等候购票．经调查统计发现每天开始售票时约有300名旅客排队等候购票同时有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票新增购票人数人与售票时间分的函数关系如图所示每个售票窗口票数人与售票时间分的函数关系如图所示．某天售票厅排队等候购票的人数人与售票时间分的函数关系如图所示已知售票的前分钟开放了两个售票窗口．1求的值2求售票到第60分钟时售票厅排队等候购票的旅客人数3该车站在学习实践科学发展观的活动中本着以人为本方便旅客的宗旨决定增设售票窗口．若要在开始售票后半小时内让所有排队购票的旅客都能购到票以便后来到站的旅客能随到随购请你帮助计算至少需同时开放几个售票窗口2如图工地上有AB两个土墩洼地E和河滨F两个土墩的土方数分别是781方1584方洼地E填上1025方河滨F可填上1390方要求挖掉两个土墩把这些土先填平洼地E余下的图填入河滨F填入F实际只有1340方如何安排运土方案才能使劳力最省提示把土方米作为运土花费劳力的单位第6讲全等三角形知识梳理1全等三角形全等三角形能够完全重合的两个三角形2全等三角形的判定方法有SASASAAASSSSHL3 全等三角形的性质1全等三角形的对应角相等对应线段边高中线角平分线相等2全等三角形的周长面积相等4全等三角形常见辅助线的作法有以下几种遇到等腰三角形可作底边上的高利用三线合一的性质解题思维模式是全等变换中的对折．遇到三角形的中线倍长中线使延长线段与原中线长相等构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的旋转．遇到角平分线可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线利用的思维模式是三角形全等变换中的对折所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．过图形上某一点作特定的平分线构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的平移或翻转折叠截长法与补短法具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等或是将某条线段延长是之与特定线段相等再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法适合于证明线段的和差倍分等类的题目．特殊方法在求有关三角形的定值一类的问题时常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来利用三角形面积的知识解答．例题精讲◆例1已知如图△ABC中AB＝5AC＝3则中线AD的取值范围是_________巩固如图所示已知在△ABC中AD是BC边上的中线E是AD上一点且BE＝AC 延长BE交AC于F求证 AF＝EF◆例2已知等腰直角三角形ABC中AC＝BCBD平分∠ABC求证AB＝BC＋CD巩固1已知△ABC中AD平分∠BACAB＞AC求证AB－AC＝BD－DC2如图所示已知四边形ABCD中AB＝AD∠BAD＝60°∠BCD＝120°求证 BC＋DC＝AC◆例3如图已知在△ABC中∠B＝60°△ABC的角平分线ADCE相交于点O求证OE＝OD◆例4如图在△ABC中∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ的垂直平分线PQ相交于点P过点P分别作PN⊥AB于NPM ⊥AC于点M求证BN＝CM◆例5AD为△ABC的角平分线直线MN⊥AD于AE为MN上一点△ABC周长记为△EBC周长记为求证＞拓展正方形ABCD中E为BC上的一点F为CD上的一点BE＋DF＝EF求∠EAF 的度数课后练习1如图∠BAC＝60°∠C＝40°AP平分∠BAC交BC于PBQ平分∠ABC交AC于Q求证AB＋BP＝BQ＋AQ2如图△ABC中EF分别在ABAC上DE⊥DFD是中点试比较BE＋CF与EF的大小3如图△ABC中AD平分∠BACDG⊥BC且平分BCDE⊥AB于EDF⊥AC于F1说明BE＝CF的理由2如果AB＝AC＝求AEBE的长第7讲直角三角形与勾股定理知识梳理一直角三角形的判定1有两个角互余的三角形是直角三角形2勾股定理逆定理二直角三角形的性质1直角三角形两锐角互余．2直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半．。
初中数学(初二)竞赛讲义(知识点难点梳理、重点题型分类举一反三)(家教、补习、竞赛专用)
初二数学竞赛讲义重难点有效突破知识点梳理及重点题型举一反三练习专题01 整式的乘除阅读与思考指数运算律是整式乘除的基础，有以下5个公式：，，，，，．学习指数运算律应注意：1．运算律成立的条件；2．运算律中字母的意义：既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者多项式；3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用．多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是：1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位；2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐；3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止．例题与求解【例1】（1）若为不等式的解，则的最小正整数的值为．（“华罗庚杯”香港中学竞赛试题）（2）已知，那么．（“华杯赛”试题）（3）把展开后得，则．（“祖冲之杯”邀请赛试题）（4）若则．（创新杯训练试题）解题思路：对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），目前无法求值，可考虑高次多项式用低次多项式表示；对于（3），它是一个恒等式，即在允许取值范围内取任何一个值代入计算，故可考虑赋值法；对于（4），可考虑比较系数法．【例2】已知，，则等于（）A．2 B．1 C．D．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：为指数，我们无法求出的值，而，所以只需求出的值或它们的关系，于是自然想到指数运算律．【例3】设都是正整数，并且，求的值．（江苏省竞赛试题）解题思路：设，这样可用的式子表示，可用的式子表示，通过减少字母个数降低问题的难度．【例4】已知多项式，求的值．解题思路：等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应系数对应相等，从而可考虑用比较系数法．【例5】是否存在常数使得能被整除？如果存在，求出的值，否则请说明理由．解题思路：由条件可推知商式是一个二次三项式（含待定系数），根据“被除式=除式×商式”，运用待定系数法求出的值，所谓是否存在，其实就是关于待定系数的方程组是否有解．【例6】已知多项式能被整除，求的值．（北京市竞赛试题）解题思路：本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．本题关键是能够通过分析得出当和时，原多项式的值均为0，从而求出的值．当然本题也有其他解法．能力训练A级1．（1）．（福州市中考试题）（2）若，则．（广东省竞赛试题）2．若，则．3．满足的的最小正整数为．（武汉市选拔赛试题）4．都是正数，且，则中，最大的一个是．（“英才杯”竞赛试题）5．探索规律：，个位数是3；，个位数是9；，个位数是7；，个位数是1；，个位数是3；，个位数是9；…那么的个位数字是，的个位数字是．（长沙市中考试题）6．已知，则的大小关系是（）A．B．C．D．7．已知，那么从小到大的顺序是（）A．B．C．D．（北京市“迎春杯”竞赛试题）8．若，其中为整数，则与的数量关系为（）A．B．C．D．（江苏省竞赛试题）9．已知则的关系是（）A．B．C．D．（河北省竞赛试题）10．化简得（）A．B．C．D．11．已知，试求的值．12．已知．试确定的值．13．已知除以，其余数较被除所得的余数少2，求的值．（香港中学竞赛试题）B级1．已知则= ．2．（1）计算：= ．（第16届“希望杯”邀请竞赛试题）（2）如果，那么．（青少年数学周“宗沪杯”竞赛试题）3．（1）与的大小关系是（填“＞”“＜”“＝”）．（2）与的大小关系是：（填“＞”“＜”“＝”）．4．如果则= ．（“希望杯”邀请赛试题）5．已知，则．（“五羊杯”竞赛试题）6．已知均为不等于1的正数，且则的值为（）A．3 B．2 C．1 D．（“CASIO杯”武汉市竞赛试题）7．若，则的值是（）A．1 B．0 C．—1 D．28．如果有两个因式和，则（）A．7 B．8 C．15 D．21（奥赛培训试题）9．已知均为正数，又，，则与的大小关系是（）A．B．C．D．关系不确定10．满足的整数有（）个A．1 B．2 C．3 D．411．设满足求的值．12．若为整数，且，，求的值．（美国犹他州竞赛试题）13．已知为有理数，且多项式能够被整除．（1）求的值；（2）求的值； （3）若为整数，且．试比较的大小．（四川省竞赛试题）专题01 整式的乘除例1(1)(n 2)100＞(63)100，n 2＞216，n 的最小值为15．(2)原式＝x 2(x 2＋x )＋x (x 2 ＋x )－2(x 2＋x ) ＋2005＝ x 2＋x －2＋2005＝2004 (3)令x ＝1时，a 12＋a 11＋a 10＋…＋a 2＋a 1＋a 0＝1， ① 令x ＝－1时，a 12 –a 11＋a l 0－…＋n 2－a l ＋a 0 ＝729 ② 由①＋②得：2(a 12＋a l 0＋a 8＋…＋a 2 ＋a 0)＝730． ∴a 12 ＋a 10 ＋a 8 ＋a 6＋a 4 ＋a 2＋a 0 ＝365．(4)所有式子的值为x 3项的系数，故其值为7．例2 B 提示：25xy ＝2 000y， ①80x y＝2 000x ， ② ①×②，得：(25×80)x y ＝2000x ＋y，得：x ＋ y ＝xy ．例3 设a ＝m 4，b ＝m 5，c ＝n 2，d ＝n 3，由c －a ＝19得，n 2－m 4＝19，即(n ＋m 2) (n －m 2)＝19，因19是质数，n ＋m 2，n －m 2是自然数，且n ＋m 2＞n －m 2，得＝12＝19，解得n ＝10，m ＝3，所以d －b ＝103－35＝757例4 －87 提示：由题意知：2x 2＋3xy －2y 2－x ＋8y －6＝2x 2＋3x y －2y 2＋(2m ＋n )x ＋(2n －m )y ＋m n ．∴mn ＝－62n －m ＝8，解得n ＝3m ＝－2，∴－13＋1＝－87倒5提示：假设存在满足题设条件的p ，q 值，设(x 4＋p x 2＋q )＝(x 2＋2x ＋5)(x 2＋mx ＋n )，即x 4＋p x 2＋q ＝x 4＋(m ＋2)x 3＋(5＋n ＋2m )x 2＋(2n ＋5m )x ＋5n ，得5n ＝q 2n ＋5m ＝0，解得q ＝25p ＝6， 故存在常数p ，q 且p ＝6，q ＝25，使得x 4＋p x 2＋q 能被x 2＋2x ＋5整除．例6解法1 ∵x 2＋x －2＝(x ＋2) (x －1)，∴2x 4－3x 3＋ax 2＋7x ＋b 能被(x ＋2)(x －1)整除，设商是A ．则2x 4－3x 3＋a x 2＋7x ＋b ＝A (x ＋2)(x －l )，则x ＝－2和x ＝1时，右边都等于0，所以左边也等于0．当x ＝－2时，2x 4－3x 3＋a x 2＋7x ＋b ＝32＋24＋4a －14＋b ＝4a ＋b ＋42＝0， ①当x ＝1时， 2x 4－3x 3＋a x 2＋7x ＋b ＝2－3＋a ＋7＋b ＝a ＋b ＋6＝0． ② ①－②，得3a ＋36＝0，∴ a ＝－12， ∴ b ＝－6－a ＝6． ∴b a ＝6－12＝－2解法2 列竖式演算，根据整除的意义解∵2x 4－3x 3＋a x 2＋7x ＋b 能被x 2＋x －2整除，∴＝0－12－a ＝0，即b ＝6a ＝－12，∴b a ＝－2A 级1．(1) －5 (2)53 2．8 3．7 4．6 5．7 9 6．A 7．D 提示：a ＝(25)11，b －(34)11，c ＝(53)11，d ＝(62)11 8．A 9．B 10．C 11．4800 12．a ＝4．b ＝4，c ＝113． 提示：令x 3 ＋k x 2＋3＝(x ＋3) (x 2＋a x ＋6)＋r 1，x 3＋kx 2＋3＝( x ＋1) (x 2＋cx ＋d )＋r 2，令x ＝－3，得r 1＝9k －24．令x ＝－1，得r 2＝k ＋2，由9k －24＋2＝k ＋2， 得k ＝3．B 级1． 1251892． (1)499 提示：原式＝19987×20002000＝19987×20003＝499(2)123．(1) ＜ 1516 ＜1615＝264，3 313 ＞3213＝265 ＞264．(2) ＞ 提示：设32 000＝x ．4．4 5．512 提示：令x ＝±2． 6．C 提示：由条件得a ＝c －3 ，b ＝c 2 ，abc ＝c －3·c 2·c ＝1 7．C 8．D9．C 提示：设a 2＋a 3＋…a 1996＝x ，则M ＝（a 1＋x ）(x ＋a 1997)＝a 1x ＋x 2＋a 1a 1997＋a 1 997x ．N ＝(a 1＋x ＋a 1 997)x ＝a l x ＋x 2＋a 1997x ．M ＝N ＝a 1a 1997＞0． 10．D11．由a x2＋by2＝7，得(ax2＋b y2)(x＋y)＝7(x＋y)，即ax3－a x2y＋b x y2＋by3＝7(x＋y)，(a x3＋by3)－xy(ax＋by)－7(x＋y)．∴16＋3xy＝ 7(x＋y)．①由a x3＋by3＝16，得(ax3＋by3)(x＋y) ＝16(x＋y)，即ax4 ＋a x3 y＋b x y3＋by4 ＝16(x＋y)，（a x4＋by4)＋xy(a＋b)＝16(x＋y）．∴42＋7xy＝16(x＋y）．②由①②可得，x＋y＝－14，xy＝－38．由a＋b＝42，得（a＋b）（x＋y）＝42×（－14），（a＋b）＋xy（a＋b）＝－588，＋16×（－38）＝－588．故＝20．12．两边同乘以8得＋＋＋＝165．∵x＞y＞z＞w且为整数，∴x＋3＞y＋3＞z＋3＞w＋3，且为整数．∵165是奇数，∴w＋3＝0，∴w＝－3．∴＋＋＝164．∴＋＋＝41，∴z＋1＝0，∴z＝－1．∴＋＝40．两边都除以8得：＋＝5．∴y－2＝0，∴y＝2．∴＝4．∴x－2＝2，∴x＝4．∴＝＝1．13．（1）∵（x－1）（x＋4)＝＋3x－4，令x－1＝0，得x＝1；令x＋4＝0，得x＝－4．当x＝1时，得1＋a＋b＋c＝0；①当x＝－4时，得－64＋16a－4b＋c＝0．②②－①，得15a－5b＝65，即3a－b＝13．③①＋③，得4a＋c＝12．（2）③－①，得2a－2b－c＝14．（3）∵c≥a＞1，4a＋c＝12，a，b，c为整数，∴1＜a≤，则a＝2，c＝4．又a＋b＋c＝－1，∴b＝－7，．∴c＞a＞b．专题02 乘法公式阅读与思考乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：1．熟悉每个公式的结构特征；2．正用即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用；3．逆用即将公式反过来逆向使用；4．变用即能将公式变换形式使用；5．活用即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．例题与求解【例1】1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是．（全国初中数字联赛试题）解题思路：因，而的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整除．【例2】（1）已知满足等式，则的大小关系是( ) 14．B．C．D．（山西省太原市竞赛试题）（2）已知满足，则的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5（河北省竞赛试题）解题思路：对于（1），作差比较的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．【例3】计算下列各题：（1）；（天津市竞赛试题）（2）；（“希望杯”邀请赛试题）（3）．解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征．【例4】设，求的值．（西安市竞赛试题）解题思路：由常用公式不能直接求出的结构，必须把表示相关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果．【例5】观察：（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；（2）根据（1），计算的结果（用一个最简式子表示）．（黄冈市竞赛试题）解题思路：从特殊情况入手，观察找规律．【例6】设满足求：（1）的值；（2）的值．（江苏省竞赛试题）解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．能力训练A级1．已知是一个多项式的平方，则．（广东省中考试题）2．数能被30以内的两位偶数整除的是．3．已知那么．（天津市竞赛试题）4．若则．5．已知满足则的值为．（河北省竞赛试题）6．若满足则等于．7．等于（）A．B．C．D．8．若，则的值是（）A．正数B．负数C．非负数D．可正可负9．若则的值是（）A．4 B．19922 C．21992 D．41992（“希望杯”邀请赛试题）10．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？（“CASIO”杯全国初中数学竞赛试题）11．设，证明：是37的倍数．（“希望杯”邀请赛试题）12．观察下面各式的规律：写出第2003行和第行的式子，并证明你的结论．B级1．展开式中的系数，当1，2，3…时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图），借助“杨辉三角”求出的值为．（《学习报》公开赛试题）2．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13，9，3的对面的数分别为，则的值为．（天津市竞赛试题）3．已知满足等式则．4．一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为．（全国初中数学联赛试题）5．已知，则多项式的值为（）A．0 B．1 C．2 D．36．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（）A．16种B．14种C．12种D．10种（北京市竞赛试题）7．若正整数满足，则这样的正整数对的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4（山东省竞赛试题）8．已知，则的值是（）A．3 B．9 C．27 D．81（“希望杯”邀请赛试题）9．满足等式的整数对是否存在？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．10．数码不同的两位数，将其数码顺序交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方数，求所有这样的两位数．（天津市竞赛试题）11．若，且，求证：．12．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如因此4，12，20这三个数都是神秘数．（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为和（其中取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正值）是神秘数吗？为什么？（浙江省中考试题）专题02 乘法公式例1 73 提示：满足条件的整数是奇数或是4的倍数．例2 （1）B x－y＝（＋4a＋a）＋（－8b＋16）＝＋≥0，x≥y．（2）B 3个等式相加得：＋＋＝0，a＝3，b＝－1，c＝1．a＋b ＋c＝3－1＋1＝3．例3 （1）（2）4 （3）－5050例4 提示：由a＋b＝1，＋＝2得ab＝－，利用＋＝（＋）（a＋b)－ab(＋)可分别求得＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，＋＝．例5 （1）设n为自然数，则n（n＋1)(n＋2)(n＋3）＋1＝（2）由①得，2000×2001×2002×2003＋1＝．例6（1）设－②，得ab＋b c＋a c＝，∵－3ab c＝（a＋b＋c）（－ab－b c－a c），∴ab c＝（）－（a＋b＋c）（－ab－b c－a c）＝×3－×1×（2＋）＝．（2）将②式两边平方，得∴＝4－2＝4－2＝．A级1．0或6 2．26，28 3．2 4．40 5．34 6．0 7．D 8．A 9．C10.原有136或904名学生．设m，n均为正整数，且m＞n，①－②得（m＋n）（m－n）＝240＝．，都是8的倍数，则m，n能被4整除，m＋n，m－n均能被4整除．得或，∴或8x＝－120＝904或8x＝－120＝136．11.因为a＝＋－2＝（－1）＋（－1）＝999 999 999＋37×（＋38＋1），而999 999 999＝9×111 111 111＝9×3×37 037 037＝27×37×1 001 001＝37×（27×1 001 001）．所以37|999 999 999，且37|37×（＋38＋1），因此a是37的倍数．12.第2003行式子为：＝．第n行式子为：＝．证明略B级1．1．0942．76 提示：由13＋a＝9＋b＝3＋c得a－b＝－4，b－c＝－6，c－a＝103．13 4．156 5．D6.C 提示：（x＋y）（x－y）＝2009＝7×7×41有6个正因数，分别是1，7，41，49，287和2009，因此对应的方程组为：故（x，y）共有12组不同的表示．7．B 8．C9．提示：不存在符合条件的整数对（m，n），因为1954不能被4整除．10．设所求两位数为，由已知得＝（k为整数），得而得或解得或，即所求两位数为65，5611. 设, 则由得③②③, 得, 即或分别与联立解得或12. (1), 故28和2012都是神秘数（2）为4的倍数（3）神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数. ,故两个连续奇数的平方差不是神秘数专题3 和差化积----因式分解的方法（1）阅读与思考提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法，有公因式的先提公因式，分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止．一些复杂的因式分解问题经常用到以下重要方法：1．换元法：对一些数、式结构比较复杂的多项式，可把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新字母代替，从而可达到化繁为简的目的．从换元的形式看，换元时有常值代换、式的代换；从引元的个数看，换元时有一元代换、二元代换等．2．拆、添项法：拆项即把代数式中的某项拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，因式分解中进行拆项与添项的目的是相同的，即经过拆项或添项后，多项式能恰当分组，从而可以运用分组分解法分解．例题与求解【例l】分解因式___________．（浙江省中考题）解题思路：把看成一个整体，用一个新字母代换，从而简化式子的结构．【例2】观察下列因式分解的过程：（1）；原式＝；（2）．原式＝．第（1）题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式．仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：（1）；（西宁市中考试题）（2）．（临沂市中考试题）解题思路：通过分组，使每一组分组因式后，整体能再分解，恰当分组是关键，经历“实验－－失败－－再试验－－再失败－－直至成功”的过程．【例3】分解因式（1）；（重庆市竞赛题）（2）；（“缙云杯”邀请赛试题）（3）．（“五羊杯”竞赛试题）解题思路：（1）式中系数较大，直接分解有困难，不妨把数字用字母来表示；（2）式中、反复出现，可用两个新字母代替，突出式子的特点；（3）式中前两项与后一项有密切联系．【例4】把多项式因式分解后，正确的结果是（）．A． B．C． D．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：直接分组分解困难，可考虑先将常数项拆成几个数的代数和，比如－3＝－4＋1．【例5】分解因式：（1）；（扬州市竞赛题）（2）；（请给出多种解法）（“祖冲之杯”邀请赛试题）（3）．解题思路：按次数添上相应的项或按系数拆项法分解因式的基本策略．【例6】分解因式：．（河南省竞赛试题）解题思路：拆哪一项？怎样拆？可有不同的解法．能力训练A 级1．分解因式：（1）＝___________________________．（泰安市中考试题）（2）＝__________________________．（威海市中考试题）2．分解因式：（1）＝_________________________；（2）＝_____________________________．3．分解因式：＝____________________________．4．多项式与多项式的公因式是____________________．5．在1~100之间若存在整数，使能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的有_______个．6．将多项式分解因式的积，结果是（）．A． B．C． D．7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是（）．A． B．C． D．（“希望杯”邀请赛试题）8．把分解因式，其中一个因式是（）．A． B． C． D．9．多项式有因式（）．A． B．C． D．（“五羊杯”竞赛试题）10．已知二次三项式可分解成两个整系数的一次因式的积，那么（）．A．一定是奇数 B．一定是偶数C．可为奇数也可为偶数 D．一定是负数11．分解因式：（1）；（2）；（3）；（“祖冲之杯”邀请赛试题）（4）；（重庆市竞赛试题）（5）；（6）．12．先化简，在求值：，其中，．B 级1．分解因式：＝_______________．（重庆市竞赛试题）2．分解因式：＝_____________．（“五羊杯”竞赛试题）3．分解因式：＝_________________________．（“希望杯”邀请赛试题）4．分解因式：＝______________________．（“五羊杯”竞赛试题）5．将因式分解得（）．A． B．C． D．（陕西省竞赛试题）6．已知是△ABC三边的长，且满足，则此三角形是（）．A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．不能确定7．的因式是（）．A． B． C． D． E.（美国犹他州竞赛试题）8．分解因式：（1）；（湖北省黄冈市竞赛试题）（2）；（江苏省竞赛试题）（3）；（陕西省中考试题）（4）；（“祖冲之杯”邀请赛试题）（5）；（“五羊杯”竞赛试题）（6）．（太原市竞赛试题）9．已知乘法公式：利用或者不利用上述公式，分解因式：．（“祖冲之杯”邀请赛试题）10．分解因式：（1）；（2）；（3）．11．对方程，求出至少一组正整数解．（莫斯科市竞赛试题）12．已知在△ABC中，，求证：．（天津市竞赛试题）专题03 和差化积-------因式分解的方法(1)例1.例2. (1) 原式(2) 原式例3.(1)(2)(3)例4. D例5.(1)提示: 原式(2) 提示: 原式(3) 提示: 原式例6. 解法1原式解法2 原式A级1. (1)(2)2. (1)(2)3.4.5. 96. D7. A8. D9. A10. A11. (1)提示: 令(2)(3) \(4) 提示: 原式(5) 提示: 原式(6)12. 原式当原式B 组1. (1)(2)3.5. D6. B7. A 提示: 原式8. (1)(2) 提示: 令(3)(4) 提示: 原式(5)(6)9. 由公式有10. (1)(2)(3)11. 有或解得或12.是三角形三边长,由条件只有,故专题04 和差化积----因式分解的方法（2）阅读与思考因式分解还经常用到以下两种方法1．主元法所谓主元法，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式按降幂排列重新整理成关于这个字母的多项式，使问题获解的一种方法．2．待定系数法即对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出一个或几个待定的字母系数，把所求问题用式子表示，然后再利用已知条件，确定或消去所设系数，使问题获解的一种方法，用待定系数法解题的一般步骤是：（1）在已知问题的预定结论时，先假设一个等式，其中含有待定的系数；（2）利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；（3）解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构中去，得出需求问题的解．例题与求解【例l】因式分解后的结果是（）． A． B．C． D．（上海市竞赛题）解题思路：原式是一个复杂的三元二次多项式，分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母的多项式并按降幂排列，改变原式结构，寻找解题突破口．【例2】分解因式：（1）；（“希望杯”邀请赛试题）（2）．（天津市竞赛题）解题思路：两个多项式的共同特点是：字母多、次数高，给分解带来一定的困难，不妨考虑用主元法分解．【例3】分解因式．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：因的最高次数低于的最高次数，故将原式整理成字母的二次三项式．【例4】为何值时，多项式有一个因式是（“五羊杯”竞赛试题）解题思路：由于原式本身含有待定系数，因此不能先分解，再求值，只能从待定系数法入手．【例5】把多项式写成一个多项式的完全平方式.（江西省景德镇市竞赛题）解题思路：原多项式的最高次项是，因此二次三项式的一般形式为，求出即可．【例6】如果多项式能分解成两个一次因式，的乘积（为整数），则的值应为多少？（江苏省竞赛试题）解题思路：由待定系数法得到关于的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出的值．能力训练A 级1．分解因式：＝___________________________．（“希望杯”邀请赛试题）2．分解因式：＝_______________________（河南省竞赛试题）3．分解因式：＝____________________________．（重庆市竞赛试题）4．多项式的最小值为____________________．（江苏省竞赛试题）5．把多项式分解因式的结果是（）A． B．C． D．6．已知能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数的个数是（）．A．3 个B．4 个C．5 个D．6个7．若被除后余3，则的值为（）．A．2 B．4 C．9 D．10（“CASIO杯”选拔赛试题）8．若，，则的值是（）．A． B． C． D．0（大连市“育英杯”竞赛试题）9．分解因式：（1）；（吉林省竞赛试题）（2）；（昆明市竞赛试题）（3）；（天津市竞赛试题）（4）；（四川省联赛试题）（5）（天津市竞赛试题）10．如果能够分割成两个多项式和的乘积（为整数），那么应为多少？（兰州市竞赛试题）15．已知代数式能分解为关于的一次式乘积，求的值．（浙江省竞赛试题）B 级1．若有一个因式是，则＝_______________．（“希望杯”邀请赛试题）2．设可分解为一次与二次因式的乘积，则＝_____________．（“五羊杯”竞赛试题）3．已知是的一个因式，则＝________________________．（“祖冲之杯”邀请赛试题）4．多项式的一个因式是，则的值为__________．（北京市竞赛试题）5．若有两个因式和，则＝（）．A．8 B．7 C．15 D．21 E．22（美国犹他州竞赛试题）6．多项式的最小值为（）．A．4 B．5 C．16 D．25（“五羊杯”竞赛试题）7．若（为实数），则M的值一定是（）．A．正数B．负数C．零D．整数(“CASIO杯”全国初中数学竞赛试题）8．设满足，则＝（）A．（2，2）或（－2，－2）B．（2，2）或（2，－2）C．（2，－2）或（－2，2）D．（－2，－2）或（－2，2）（“希望杯”邀请赛试题）9．为何值时，多项式能分解成两个一次因式的积？（天津市竞赛试题）10．证明恒等式：．（北京市竞赛试题）11．已知整数，使等式对任意的均成立，求的值．（山东省竞赛试题）12．证明：对任何整数，下列的值都不会等于33．（莫斯科市奥林匹克试题）专题04 和差化积-------因式分解的方法(2)例1. A 提示: 将原式重新整理成关于的二次三项式例2. (1) 提示: 原式(2) 提示: 原式例3. 原式例 4. 提示: 可设原式展开比较对应项系数得解得k＝12．例5原式＝．例6设x2－（a＋5）x＋5a－1＝（x＋b）（x＋c）＝x2＋（b＋c）x＋bc．∴①×5＋2得bc＋5（b＋c）＝－26，bc＋5（b＋c）＋25＝－1，（b＋5）（c＋5）＝－1．∴或∴或故a＝5．A级1．（3a＋2b－c）（3a－2b＋c）2．（x＋3y）（x＋2y＋1）3．（x＋y＋1）（x－y＋3）4．－185．C6．D7．D8．D9．（1）（2a＋b）（a－b＋c）；（2）（a＋c－2b）2；（3）（x－2）（x2－x＋a）；（4）（x－2y＋3）（2x－3y－4）；（5）（x＋1）（y＋1）（x－1）（y－1）．10．提示：由题意得①×4＋②，得（b＋4）（c＋4）＝－1，推得或故a＝4．11．∵x2－3xy－4y＝（x＋y）（x－ 4y），∴可设原式＝（x＋y＋m）（x－4y＋n），展开比较对应项系数得b＝－6或9．B级1．k＝－52．－2提示：原式＝x（x2＋3x－k）－2y（x＋2），令x＝－2．3．5提示：令原式＝（x－y＋4）·A，取一组x，y的值代入上式．4．－35．C提示：x＝－1，x＝－2是方程x3＋ax2＋bx＋8＝0的解．6．C提示：原式＝（x－2y）2＋（2x＋3）2＋167．A提示：原式＝2（x－2y）2＋（x－2）2＋（y＋3）2≥0，且这三个数不能同时为零，M ＞0．8．C9．k＝－3 提示：因x2＋3x＋2＝（x＋1）（x＋2），故可令原式＝（x＋my＋1）·（x十ny＋2），展开比较对应项系数求出k．10．提示：左边＝（a2＋b2）2－2a2b2＋（a2＋b2＋2ab）2＝（a2＋b2）2－2a2b2＋（a2＋b2）2＋4ab（a2＋b2）＋4a2b2＝2（a2＋b2）＋4ab（a2＋b2）＋2a2b2＝2（a2＋b2＋ab）2＝右边．11．将原等式展开x2＋（a＋b＋c）x＋ab－l0c＝x2－10x－11．∴①×10＋②得ab＋10a＋10b＝－111．∴（a＋10）（b＋10）＝－11．∴或或或∴或或或代入①得c＝0或20．12．原式＝（x5＋3x4y）－（5x3y＋15x2y3）＋（4xy4＋12y5）＝x4（x＋3y）－5x2y2（x＋3y）＋4y4（x＋3y）＝（x＋3y）（x4－5x2y2＋4y2）＝（x＋3y）（x2－4y2）＝（x＋3y）（x＋y）（x－y）（x＋2y）（x－2y）．当y＝0时，原式＝x5≠33;当y≠0时，x＋3y，x－y，x－2y，x＋2y，x＋y互不相同，而33不可能分解为4个以上不同因数的积，所以，当x取任意整数，y取不为0的任意整数，原式≠33．专题05 和差化积——因式分解的应用阅读与思考：因式分解是代数变形的有力工具，在以后的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，其应用主要体现在以下几个方面：1．复杂的数值计算；2．代数式的化简与求值；3．简单的不定方程（组）；4．代数等式的证明等.有些多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉这些结果：1. ;2. ;3. ；4.；5. ．例题与求解【例1】已知，，那么的值为___________ .（全国初中数学联赛试题）解题思路：对已知等式通过因式分解变形，寻求a，b之间的关系，代入关系求值．【例2】a，b，c是正整数，a＞b，且，则等于( ).A. －1 B．－1或－7 C．1 D.1或7（江苏省竞赛试题）解题思路：运用因式分解，从变形条件等式入手，在字母允许的范围内，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称代数式的恒等变形，它是研究代数式、方程和函数的重要工具，换元、待定系数、配方、因式分解又是恒等变形的有力工具．求代数式的值的基本方法有；(1)代入字母的值求值；(2)代入字母间的关系求值；(3)整体代入求值．【例3】计算：(1) （“希望杯”邀请赛试题）（2）（江苏省竞赛试题）解题思路：直接计算，则必然繁难，对于(1)，不妨用字母表示数，通过对分子、分母分解因式来探求解题思路；对于(2)，可以先研究的规律．【例4】求下列方程的整数解．(1); （上海市竞赛试题）(2). （四川省竞赛试题）解题思路：不定方程、方程组没有固定的解法，需具体问题具体分析，观察方程、方程组的特点，利用整数解这个特殊条件，从分解因式入手．解不定方程的常用方法有：(1)穷举法； (2)配方法； (3)分解法； (4)分离参数法．用这些方程解题时，都要灵活地运用质数合数、奇数偶数、整除等与整数相关的知识.【例5】已知，，求下列各式的值：(1) ； (2) ； (3)．解题思路：先分解因式再代入求值.【例6】一个自然数恰等于另一个自然数的立方，则称自然数为完全立方数，如27＝33，27就是一个完全立方数．若＝19951993×199519953－19951994×199519923，求证：是一个完全立方数．（北京市竞赛试题）解题思路：用字母表示数，将分解为完全立方式的形式即可．能力训练A 级1. 如图，有三种卡片，其中边长为的正方形卡片1张，边长分别为，的长方形卡片6张，边长为的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 ________．（烟台市初中考试题）2．已知，则的值为__________．（江苏省竞赛试题）3．方程的整数解是__________．（“希望杯”邀请赛试题）4. 如果是完全平方式，那么的值为__________．（海南省竞赛试题）5. 已知()，则的值是( )．A．2， B．2 C． D．6．当，的值为( )．A. －1 B．0 C．2 D．17．已知，，则M与N的大小关系是( )．A. M＜N B．M＞N C．M＝N D．不能确定（“希望杯”邀请赛试题）8．为某一自然数，代入代数式中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是( )．A. 388944B.388945C.388954D.388948（五城市联赛试题）9．计算：(1) （北京市竞赛试题）(2) (安徽省竞赛试题)10. 一个自然数恰好等于另一个自然数的平方，则称自然数为完全平方数，如64＝82，64就是一个完全平方数，若＝19982＋19982×19992＋19992，求证：是一个完全平方数．（北京市竞赛试题）16．已知四个实数，，，，且，，若四个关系式，，，同时成立.(1)求的值；(2)分别求，，，的值．（湖州市竞赛试题）B 级1．已知是正整数，且是质数，那么____________ .（“希望杯”邀请赛试题）2．已知三个质数的乘积等于这三个质数的和的5倍，则＝________ .（“希望杯”邀请赛试题）3．已知正数，，满足，则＝_________ . （北京市竞赛试题）4．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取＝9，＝9时，则各个因式的值是：，于是就可以把“0181 62”作为一个六位数的密码，对于多项式，取＝10，＝10时，用上述方法产生的密码是：__________．（写出一个即可）．（浙江省中考试题）5．已知，，是一个三角形的三边，则的值( )．A.恒正 B．恒负 C．可正可负 D．非负(太原市竞赛试题)6．若是自然数，设，则( )．A. 一定是完全平方数 B．存在有限个，使是完全平方数C. 一定不是完全平方数 D．存在无限多个，使是完全平方数7．方程的正整数解有( )组．A.3 B．2 C．1 D．0（“五羊杯”竞赛试题）8．方程的整数解有( )组．A.2 B．4 C．6 D.8（”希望杯”邀请赛试题）9．设N＝695＋5×694＋10×693＋10×692＋5×69＋1.试问有多少个正整数是N的因数？（美国中学生数学竞赛试题）10．当我们看到下面这个数学算式时，大概会觉得算题的人用错了运算法则吧，因为我们知道．但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我们还可以写出任意多个这种算式：，，，，…你能发现以上等式的规律吗？11.按下面规则扩充新数：已有，两数，可按规则扩充一个新数，而以，，三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…每扩充一个新数叫做一次操作. 现有数1和4，求：(1) 按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；(2) 能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由．（重庆市竞赛试题）12.设，，为正整数．被整除所得的商分别为，.(1)若，互质，证明与互质；(2)当，互质时．求的值；( 3)若，的最大公约数为5，求的值．（江苏省竞赛试题）。
八年级数学竞赛辅导培训讲义设计
培训讲义（数学）第一讲 计算技巧例1、规定运算yx Axy y x 54+=*，且121=*，求32*的值． 解：易见125142121=⨯+⨯⨯⨯=*A ，解得7=A ， ∴y x xy y x 547+=* ∴23191352432732=⨯+⨯⨯⨯=* 例2、求=S ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++99989997992991434241323121ΛΛ的值． 解： 将括号内各项反序排列，则有⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=99199299979998414243313221ΛΛS 两式相加，得99983212+++++=ΛS 4950299)991(=⨯+= 试一试：计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++602524232601413121ΛΛ+ 6059605859586035343+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ΛΛ (答案885) 例3、计算：1091981871761651541431321211⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 解：因为 2111211-=⨯， 3121321-=⨯， 4131431-=⨯， 可见，原式109101110191413131212111=-=-++-+-+-=Λ 这种方法叫分项相消法．一般地n n n n 111)1(1--=-试一试： ∴计算： 4213012011216121----- ∴计算：200019981531421311⨯++⨯+⨯+⨯Λ 答案∴71，∴79960005993001 例4、计算：20003222221+++++Λ解：设20003222221+++++=ΛS ，两边乘2得2001200032222222+++++=ΛS ，两式相减，得122001-=S例5、计算：=S 10210164834221+++++Λ 解：在原式两边乘以21得，111021029163824121+++++=ΛS ，与原式相减得 11102102116181412121-+++++=ΛS ， 设 10/21161814121+++++=ΛS ， 则 1110/2121161814121+++++=ΛS ，∴11/212121-=S ，10/211-=S ，111021021121--=S 10112612121-=-= ∴8232-=S 2562531= 试一试：∴计算：2005327777++++Λ∴计算：111032222221-++-+-Λ (答案: ∴6772006-，∴1365-．)第二讲 绝对值例1、化简：1213-++x x解：当31-<x 时，原式x x x 5)12()13(-=--+-= 当2131<≤-x 时，原式2)12()13(+=--+=x x x 当21≥x 时，原式x x x 5)12()13(=-++= 试一试：化简x x ---212思考练习1、数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简：b a c b a --++2、若2=a ，5=b ，且0>ab ，求=-b a ？答案： 1、a c 2-． 2、3．例2、(1) 求21++-x x 的最小值 解：1-x 表示数轴上一点x 与1之间的距离，2+x 表示数轴上一点x 与2-之间的距离．求21++-x x 的最小值，就是在数轴上找一点x ，使x 到－2与1两点的距离之和最小．从图可知，x 可取－2与1当中的任一点，其和的最小值是3，即21++-x x 的最小值是3．(2) 求321-+-+-x x x 的最小值解：本题实际上就是在数轴上找一点x ，使得该点到1、2、3的距离之和最小，从图可知，当x 与2重合时，距离之和最小，这个最小值是2．思考练习：∴求4321-+-+-+-x x x x 的最小值．∴求54321-+-+-+-+-x x x x x 的最小值． (答案: ∴4 ∴6)例3、含绝对值的一元一次方程∴解方程413=+x ∴解方程3112=--x ∴解方程x x -=-515解：∴∴413±=+x ，∴由413=+x ，得1=x ，由413-=+x ，得35-=x ． ∴1=x 35-=x 是原方程的解 ∴∴3112±=--x ，∴412=-x ，或212-=-x (舍去) 即412=-x ，得412±=-x ，由412=-x ，得25=x ， 由412-=-x ，得23-=x ． ∴25=x 、23-=x 是原方程的解． ∴)5(15x x -±=-， 由x x -=-515，得1=x ；由)5(15x x --=-， 得1-=x ，∴1,1-==x x 是原方程的解．思考练习: 解下列方程1、232=-x2、413=+x3、3121-=-x x 4、x x -=-515 5、 x x x +=--+113 6、3112=--x答案；1、21,25==x x ； 2、1、1=x ，35-=x ； 3、4=x 4、1±=x ； 5、(用零点分段法法讨论去掉绝对值) 3,1,5=-=-=x x x ， 6、25=x ，23-=x ；第三讲 数的大小比较例1 设a 、b 、c 的平均数为M, a 、b 的平均数为N ，N 、C 的平均数为P,若c b a >>. 讨论M 与P 的大小关系. 解：122423c b a c b a c b a P M -+=++-++=-（c b a >>） ∴0122122=-+>-+c c c c b a ， 故0>-P M ,即P M >. 例2 已知d c b a ,,,是四个不相等的正数，其中a 最大，d 最小，且满足条件d c b a =，试比较d a +与c b +的大小关系. 解：设k dc b a ==，则bk a =，dk c =，∴a 最大，d 最小，且d c b a ,,,都为正数， ∴k ＞1，b ＞d ，)1)(()()(--=--+=+-+k d b dk b d bk c b d a ＞0，∴d a +＞c b +.思考练习1、已知1=ab ，b a m +++=1111， bb a a n +++=11， 试讨论m 、n 的大小关系. 2、已知c b a ,,都是实数，并且a ＞b ＞c ，给出四个式子：“∴ab ＞bc ；∴b a +＞c b +；∴b a -＞c b -；∴c a ＞cb .试判断哪个是正确的. 3、553=a ，444=b ，335=c ，比较c b a ,,的大小. 4、若b a ,是正数且满足)111)(111(12345b a -+=,比较a 与b 的大小关系.5、已知12-=a ，622-=b ，26-=c ，比较a 、b 、c 的大小.6、已知0＜a ＜b ＜1，且1=+b a ，比较a ，b ，22b a +，21 的大小 答案提示 1、∴0)1)(1(221111=++-=+-++-=-b a ab b b a a n m ， ∴n m =. 2、∴ c a c b b a -=+-+)()(＞0， ∴b a +＞c b +.3、11115243)3(==a ，11114256)4(==b ，11113125)5(==c ，∴c ＜a ＜b4、∴0,0>>b a ，由)111)(111(12345b a -+=,得11124ab b a +=-＞0，b a > 5、∴3＞22, ∴2133216--+=--=-b a ＞21223--+＝21)12(2--+＝0又b a a c -=--=-216＞0, ∴ b ＜a ＜c.6、∴a ＜b ，∴2)(b a -＞0，∴22b a +＞ab 2，不等式两边同加上22b a +，得)(222b a +＞1)(2=+b a ，∴22b a +＞21；又∴0＜a ＜b ，∴2a ＜ab ，而 1=+b a ，∴2)(b ab b a b b +=+=＞22b a +， ∴a ＜21＜22b a +＜b第四讲 奇偶分析基本原理奇数±奇数＝偶数；偶数±偶数＝偶数；奇数±偶数＝奇数.奇数×奇数＝奇数；偶数×偶数＝偶数；奇数×偶数＝偶数.b a ,为整数，若b a ±为偶数，则b a ,奇偶性相同；b a ,为整数，若b a ±为奇数，则b a ,奇偶性相异.例1 若q p ,为质数，且2975=+q p ，求22q p +的值.解：若q p ,都为奇质数，则q p 75+是偶数，若q p ,都为偶质数2，则q p 75+≠29，所以q p ,中必有一个为偶质数2，另一个为奇质数，若2=p ，则q 不是整数，故只有2=q ，此时3=p ，22q p +＝13. 例2 若19962-a 是整数，求整数a 的最小值. 解：m a =-19962（m 是正整数），则221996m a =-，199622=-m a ， ∴1996))((=-+m a m a ，∴m a +与m a -有相同的奇偶性，而1996是偶数，∴m a +与m a -同为偶数，又499221996⨯⨯=，499是质数，∴⎩⎨⎧=-=+2998m a m a 解得 500=a ，∴整数a 的最小值是500. 例3 若正整数y x ,满足方程199722=+y x ,求y x +的值. 解:因为199722=+y x 为奇数, 所以y x ,为一奇一偶,不妨设x 为奇数,y 为偶数,又因为22y x +的个位数字是7, 所以2x 的个位数字必为1,2y 的个位数字必为6. 从而x 的个位数字是1或9,y 的个位数字是4或6.又2x ＜1997,故x ＜45. 因此x 的可能值是1, 9, 21, 29,41.经检验, 仅当34,29==y x 有时，使1997342922=+, 所以633429=+=+y x .思考练习:1、如果质数q p ,满足关系式3153=+q p ，则=),(q p _______.2、王、李两人卖了m 只猪，每头卖价又恰是m 元钱，两人分钱方法是，先由王拿10元，再由李拿10元，如此轮流，拿到最后剩下不足10元，轮到李拿，为平均分配，王应补回李多少元钱？3、在21，22，23，…，295这95个数中，十位数字为奇数的数共有多少个？答案提示:1、p 3和q 5中恰有一个偶数，故q p ,中恰有一个为2，∴（2，5），（7，2）.2、令b a m +=10，则222)5(210)10(b b a a b a m ++⨯=+=，因王先拿10元，而李最后一次取钱不足10元，所以2m 中有奇数个10元，而)5(210b a a +⨯中含有偶数个10元，故2b 中必会有奇数个10元，因b ＜10，所以2b 只可能是1、4、9、16、25、36、49、64、81，而这9个数中只有16和36会有奇数个10元，因此2b ＝16或36，这两个数的个位数都是6，这就是说，李最后所拿的钱是6元，由此可知，王比李多拿了4元钱，王应补回李2元钱.3、在21，22，23，……，210中，十位数字是奇数的只有366,16422==， 而一个两位数22220100)10(b ab a b a ++=+，2)10(b a +与2b 的十位数字的奇偶性相同，b 只能取4、6两个数，∴在21，22，23，......，290这90个数中，十位数字为奇数的数共有1892=⨯个，在291， (2)95中，十位数字为奇数的数有1个，总共有19个.第五讲 整数的讨论例1 当a 取遍0到5的所有实数时，求满足)83(3-=a a b 的整数b 的个数.解: ∴916)34(3822--=-=a a a b ，又50≤≤a ， ∴b 的最小值是916-， 又当0=a 时,0=b ，当5=a 时,3211=b ， ∴3211916≤≤-b ，故b 取到的整数是-1, 0, 1, 2, …, 11,共13个.例2 若两个数的平方和为637，最大公约数与最小公倍数之和为49，求这两个数. 解：∴两个数的平方和为637，∴这两个数不可能是1，49，∴7749⨯=∴所求的两数的最大公约数是7，最小公倍数是42， 设两数为a ，b ，则m a 7=，n b 7=，（m ＜n ，m 、n 是自然数，（m ,n ）＝1）由[]b a b a ab ,),(=得，42749⨯=mn ，∴6=mn ，∴m ＜n ，（m ,n ）＝1，∴m ＝2，n ＝3，∴14=a ，21=b ，经检验，637211422=+，∴所求的两数是14，21.例3 某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m 个男生和11个女生的捐款总数与乙班9个男生和n 个女生的捐款总数相等，都是145119+++n m mn 元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元。
初二数学竞赛辅导资料(共12讲)讲义
目录本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。
重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。
本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。
另外，在本次培训中，内容的编排和讲解可以根据学生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和增删内容。
其中《因式分解》为初二下册内容，但是考虑到它的重要性和工具性，将在本次培训进行具体解读。
注：有(*)标注的为选做内容。
本次培训具体计划如下，以供参考：第一讲实数（一）第二讲实数（二）第三讲平面直角坐标系、函数第四讲一次函数（一）第五讲一次函数（二）第六讲全等三角形第七讲直角三角形与勾股定理第八讲株洲市初二数学竞赛模拟卷（未装订在内，另发）第九讲竞赛中整数性质的运用第十讲不定方程与应用第十一讲因式分解的方法第十二讲因式分解的应用第十三讲考试（未装订在内，另发）第十四讲试卷讲评第1讲 实数（一）【知识梳理】一、非负数：正数和零统称为非负数 1、几种常见的非负数（1）实数的绝对值是非负数，即|a |≥0在数轴上，表示实数a 的点到原点的距离叫做实数a 的绝对值，用|a |来表示设a 为实数，则⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0)0(0)0(||a a a a a a绝对值的性质：①绝对值最小的实数是0②若a 与b 互为相反数，则|a |＝|b |；若|a |＝|b |，则a ＝±b ③对任意实数a ，则|a |≥a ， |a |≥－a ④|a ·b |＝|a |·|b |，||||||b a b a =(b ≠0) ⑤||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |（2）实数的偶次幂是非负数如果a 为任意实数，则n a 2≥0（n 为自然数），当n ＝1时，2a ≥0（3）算术平方根是非负数，即a ≥0，其中a ≥0.算术平方根的性质：()a a =2（a ≥0）||2a a =＝⎪⎩⎪⎨⎧<-=>0)0(0)0(a a a a a2、非负数的性质（1）有限个非负数的和、积、商（除数不为零）是非负数 （2）若干个非负数的和等于零，则每个加数都为零 （3）若非负数不大于零，则此非负数必为零 3的式子，被开方数必须为非负数； 4a =5、利用配方法来解题：开平方或开立方时，将被开方数配成完全平方式或完全立方。
八年级数学暑假竞赛培训讲义
第一讲：如何做几何证明题【知识梳理】1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。
几何证明有两种根本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。
这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。
2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：〔1〕综合法〔由因导果〕，从条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；〔2〕分析法〔执果索因〕从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到事实为止；〔3〕两头凑法：将分析与综合法合并使用，比拟起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后到达证明目的。
3、掌握构造根本图形的方法：复杂的图形都是由根本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成根本图形。
在更多时候需要构造根本图形，在构造根本图形时往往需要添加辅助线，以到达集中条件、转化问题的目的。
【例题精讲】【专题一】证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最根本也是最重要的一种相等关系。
很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。
证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。
【例1】：如下图，∆ABC 中，∠=︒===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。
求证：DE ＝DF 【稳固】如下图，∆ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，并且使AE ＝BD ，连结CE 、DE 。
求证：EC ＝ED【例2】：如下图，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF 。
求证：∠E ＝∠F【专题二】证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。
证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。
初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题15 全等三角形
初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题15 全等三角形专题15：全等三角形全等是指两个几何图形之间的一种关系，其中最基本的关系是点的对应关系，以及对应边之间、对应角之间的相等关系。
全等三角形是研究三角形、四边形等图形性质的主要工具，是解决有关线段、角等问题的一个出发点。
证明线段相等、线段和差相等、角相等、两直线位置关系等问题总要直接或间接用到全等三角形，我们把这种应用全等三角形来解决问题的方法称为全等三角形法。
我们实际遇到的图形，两个全等三角形并不重合在一起，而是处于各种不同的位置，但其中一个是由另一个经过平移、翻折、旋转等变换而成的。
了解全等变换的这几种形式，有助于发现全等三角形、确定对应元素。
善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键，应熟悉涉及有关共边、公共角的以下两类基本图形：1.三角形2.四边形例题与求解例1】考查下列命题：①全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；②两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等；③两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等；④两边和其中一边上的高（或第三边上高）对应相等的两个三角形全等。
其中正确命题的个数有（）解题思路：真命题给出证明，假命题举出一个反例。
例2】如图，已知BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB。
求证：（1）AP＝AQ；（2）AP⊥AQ。
解题思路：（1）证明对应的两个三角形全等；（2）证明∠PAQ＝90°。
例3】如图，已知AD为△ABC的中线，求证：AD＜(AB AC)。
解题思路：三角形三边关系定理是证明线段不等关系的基本工具，关键是设法将AB，AC，AD集中到同一个三角形中，从构造2AD入手。
例4】如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA，CD过点E。
求证：AB＝AC＋BD。
解题思路：本例是线段和差问题的证明，截长法（或补短法）是证明这类问题的基本方法，即在AB上截取AF，使AF＝AC，以下只要证明FB＝BD即可，于是将问题转化为证明两线段相等。
初二数学竞赛辅导共30讲
第一讲：因式分解(一) (1)第二讲：因式分解(二) (4)第三讲实数的若干性质和应用 (7)第四讲分式的化简与求值 (10)第五讲恒等式的证明 (13)第六讲代数式的求值 (16)第七讲根式及其运算 (18)第八讲非负数 (22)第九讲一元二次方程 (26)第十讲三角形的全等及其应用 (29)第十一讲勾股定理与应用 (33)第十二讲平行四边形 (36)第十三讲梯形 (39)第十四讲中位线及其应用 (42)第十五讲相似三角形(一) (45)第十六讲相似三角形(二) .............................................. 48 第十七讲* 集合与简易逻辑. (51)第十八讲归纳与发现 (56)第十九讲特殊化与一般化 (59)第二十讲类比与联想 (63)第二十一讲分类与讨论 (67)第二十二讲面积问题与面积方法 (70)第二十三讲几何不等式 (73)第二十四讲* 整数的整除性 (77)第二十五讲* 同余式 (80)第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题 (83)第二十七讲列方程解应用问题中的量 (86)第二十八讲怎样把实际问题化成数学问题 (90)第二十九讲生活中的数学(三) ——镜子中的世界 (94)第三十讲生活中的数学(四)──买鱼的学问 (99)第一讲：因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n 为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n 为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n 为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c ＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．第二讲：因式分解(二)1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］ =(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解(1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n 的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)． 原式=(x 3-2x 2)-(2x 2-4x)+(2x-4) =x 2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2) =(x-2)(x 2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x 2-2x+2)．说明 在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x 4-3x 3+7x 2-3x-2．分析 因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x 2-3x-2． 解 9x 4-3x 3+7x 2-3x-2 =9x 4-3x 3-2x 2+9x 2-3x-2 =x 2(9x 3-3x-2)+9x 2-3x-2 =(9x 2-3x-2)(x 2+1) =(3x+1)(3x-2)(x 2+1)说明 若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x 2-3x-2，这样可以简化分解过程． 总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了． 3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用． 在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法． 例4 分解因式：x 2+3xy+2y 2+4x+5y+3． 分析 由于(x 2+3xy+2y 2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m 和x ＋y ＋n 的形式，应用待定系数法即可求出m 和n ，使问题得到解决． 解 设x 2+3xy+2y 2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n)=x 2+3xy+2y 2+(m+n)x+(m+2n)y+mn ， 比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明 本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例5 分解因式：x 4-2x 3-27x 2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．第三讲实数的若干性质和应用实数是高等数学特别是微积分的重要基础．在初中代数中没有系统地介绍实数理论，是因为它涉及到极限的概念．这一概念对中学生而言，有一定难度．但是，如果中学数学里没有实数的概念及其简单的运算知识，中学数学也将无法继续学习下去了．例如，即使是一元二次方程，只有有理数的知识也是远远不够用的．因此，适当学习一些有关实数的基础知识，以及运用这些知识解决有关问题的基本方法，不仅是为高等数学的学习打基础，而且也是初等数学学习所不可缺少的．本讲主要介绍实数的一些基本知识及其应用．用于解决许多问题，例如，不难证明：任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数，或者说，有理数对加、减、乘、除(零不能做除数)是封闭的．性质1 任何一个有理数都能写成有限小数(整数可以看作小数点后面为零的小数)或循环小数的形式，反之亦然．例1分析要说明一个数是有理数，其关键要看它能否写成两个整数比的形式．证设两边同乘以100得②-①得99x=261.54-2.61=258.93，无限不循环小数称为无理数．有理数对四则运算是封闭的，而无理是说，无理数对四则运算是不封闭的，但它有如下性质．性质2 设a为有理数，b为无理数，则(1)a+b，a-b是无理数；有理数和无理数统称为实数，即在实数集内，没有最小的实数，也没有最大的实数．任意两个实数，可以比较大小．全体实数和数轴上的所有点是一一对应的．在实数集内进行加、减、乘、除(除数不为零)运算，其结果仍是实数(即实数对四则运算的封闭性)．任一实数都可以开奇次方，其结果仍是实数；只有当被开方数为非负数时，才能开偶次方，其结果仍是实数．例2分析证所以分析要证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的事．由于有理数与无理数共同组成了实数集，且二者是矛盾的两个对立面，所以，判定一个实数是无理数时，常常采用反证法．证用反证法．所以p一定是偶数．设p=2m(m是自然数)，代入①得4m2＝2q2，q2＝2m2，例4 若a1+b1a=a2+b2a(其中a1，a2，b1，b2为有理数，a为无理数)，则a1=a2，b1=b2，反之，亦成立．分析设法将等式变形，利用有理数不能等于无理数来证明．证将原式变形为(b1-b2)a=a2-a1．若b1≠b2，则反之，显然成立．说明本例的结论是一个常用的重要运算性质．是无理数，并说明理由．整理得：由例4知a＝Ab，1=A，说明本例并未给出确定结论，需要解题者自己发现正确的结有理数作为立足点，以其作为推理的基础．例6 已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，求证：a与b之间存在着无穷多个有理数(即有理数集具有稠密性)．分析只要构造出符合条件的有理数，题目即可被证明．证因为a＜b，所以2a＜a+b＜2b，所以说明构造具有某种性质的一个数，或一个式子，以达到解题和证明的目的，是经常运用的一种数学建模的思想方法．例7 已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，问是否存在无理数α，使得a＜α＜b成立？即由①，②有存在无理数α，使得a＜α＜b成立．b4+12b3+37b2+6b-20的值．分析因为无理数是无限不循环小数，所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定下来，这样涉及无理数小数部分的计算题，往往是先估计它的整数部分(这是容易确定的)，然后再寻求其小数部分的表示方法．14=9+6b+b2，所以b2+6b=5．b4+12b3+37b2+6b-20=(b4+2·6b3+36b2)+(b2+6b)-20=(b2+6b)2+(b2+6b)-20=52+5-20=10．例9 求满足条件的自然数a，x，y．解将原式两边平方得由①式变形为两边平方得例10 设a n是12+22+32+…+n2的个位数字，n=1，2，3，…，求证：0.a1a2a3…a n…是有理数．分析有理数的另一个定义是循环小数，即凡有理数都是循环小数，反之循环小数必为有理数．所以，要证0.a1a2a3…a n…是有理数，只要证它为循环小数．因此本题我们从寻找它的循环节入手．证计算a n的前若干个值，寻找规律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5，6，0，9，5，0，6，5，9，0，0，1，5，4，0，5，1，0，4，…发现：a20=0，a21=a1，a22=a2，a23=a3，…，于是猜想：a k+20=a k，若此式成立，说明0.a1a2…a n…是由20个数字组成循环节的循环小数，即下面证明a k+20=a k．令f(n)=12+22+…+n2，当f(n+20)-f(n)是10的倍数时，表明f(n+20)与f(n)有相同的个位数，而f(n+20)-f(n)=(n+1)2+(n+2)2+…+(n+20)2=10(2n2+42·n)+(12+22+…+202)．由前面计算的若干值可知：12+22+…+202是10的倍数，故a k+20=a k成立，所以0.a1a2…a n…是一个有理数．第四讲分式的化简与求值分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值．例1 化简分式：分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式．例2 求分式当a=2时的值．分析与解先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．例3 若abc=1，求分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．解法1 因为abc=1，所以a，b，c都不为零．解法2 因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0．例4 化简分式：分析与解三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．说明互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧．例5 化简计算(式中a，b，c两两不相等)：似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c)，而分子又恰好凑成(a-b)+(a-c)，因此有下面的解法．解说明本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用例6 已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求分析本题字母多，分式复杂．若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么题目只与x-a，y-a，z-a 有关，为简化计算，可用换元法求解．解令x-a=u，y-a=v，z-a=w，则分式变为u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0．由于x，y，z不全相等，所以u，v，w不全为零，所以u2+v2+w2≠0，从而有说明从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化．例7 化简分式：适当变形，化简分式后再计算求值．(x-4)2=3，即x2-8x+13＝0．原式分子=(x4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+13)+10=x2(x2-8x+13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8x+13)+10=10，原式分母=(x2-8x+13)+2=2，说明本例的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化．解法1 利用比例的性质解决分式问题．(1)若a+b+c≠0，由等比定理有所以a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，于是有(2)若a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，于是有说明比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．解法2 设参数法．令则a+b=(k+1)c，①a+c=(k+1)b，②b+c=(k+1)a．③①+②+③有2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，所以 (a+b+c)(k-1)=0，故有k=1或 a+b+c=0．当k=1时，当a+b+c=0时，说明引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．第五讲恒等式的证明代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．本讲主要介绍恒等式的证明．首先复习一下基本知识，然后进行例题分析．两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧．1．由繁到简和相向趋进恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)．例1 已知x+y+z=xyz，证明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz．分析将左边展开，利用条件x+y+z=xyz，将等式左边化简成右边．证因为x+y+z=xyz，所以左边=x(1-z2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y2-x2+x2y2) =(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx) =xyz+xyz+xyz+xyz=4xyz=右边．说明本例的证明思路就是“由繁到简”．例2 已知1989x2=1991y2=1993z2，x＞0，y＞0，z＞0，且证令1989x2=1991y2=1993z2=k(k＞0)，则又因为所以所以说明本例的证明思路是“相向趋进”，在证明方法上，通过设参数k，使左右两边同时变形为同一形式，从而使等式成立．2．比较法a=b(比商法)．这也是证明恒等式的重要思路之一．例3 求证：分析用比差法证明左-右=0．本例中，这个式子具有如下特征：如果取出它的第一项，把其中的字母轮换，即以b代a，c代b，a代c，则可得出第二项；若对第二项的字母实行上述轮换，则可得出第三项；对第三项的字母实行上述轮换，可得出第一项．具有这种特性的式子叫作轮换式．利用这种特性，可使轮换式的运算简化．证因为所以所以说明本例若采用通分化简的方法将很繁．像这种把一个分式分解成几个部分分式和的形式，是分式恒等变形中的常用技巧．全不为零．证明：(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．同理所以所以(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．说明本例采用的是比商法．3．分析法与综合法根据推理过程的方向不同，恒等式的证明方法又可分为分析法与综合法．分析法是从要求证的结论出发，寻求在什么情况下结论是正确的，这样一步一步逆向推导，寻求结论成立的条件，一旦条件成立就可断言结论正确，即所谓“执果索因”．而综合法正好相反，它是“由因导果”，即从已知条件出发顺向推理，得到所求结论．证要证 a2+b2+c2=(a+b-c)2，只要证a2+b2+c2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc，只要证 ab=ac+bc，只要证 c(a+b)=ab，只要证这最后的等式正好是题设，而以上推理每一步都可逆，故所求证的等式成立．说明本题采用的方法是典型的分析法．例6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正数，求证：a=b=c=d．证由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0，(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0，所以(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．因为(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以a2-b2=c2-d2=ab-cd=0，所以 (a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)＝0．又因为a，b，c，d都为正数，所以a+b≠0，c+d≠0，所以a＝b，c=d．所以ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0，所以a＝c．故a=b＝c=d成立．说明本题采用的方法是综合法．4．其他证明方法与技巧求证：8a+9b+5c=0．a+b=k(a-b)，b+c=2k(b-c)，(c+a)=3k(c-a)．所以6(a+b)=6k(a-b)，3(b+c)=6k(b-c)，2(c+a)=6k(c-a)．以上三式相加，得6(a+b)+3(b+c)+2(c+a)=6k(a-b+b-c+c-a)，即 8a+9b+5c=0．说明本题证明中用到了“遇连比设为k”的设参数法，前面的例2用的也是类似方法．这种设参数法也是恒等式证明中的常用技巧．例8 已知a+b+c=0，求证2(a4+b4+c4)＝(a2+b2+c2)2．分析与证明用比差法，注意利用a+b+c=0的条件．左-右=2(a4+b4+c4)-(a2+b2+c2)2=a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2=(a2-b2-c2)2-4b2c2=(a2-b2-c2+2bc)(a2-b2-c2-2bc)=[a2-(b-c)2][a2-(b+c)2]=(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)(a+b+c)=0．所以等式成立．说明本题证明过程中主要是进行因式分解．分析本题的两个已知条件中，包含字母a，x，y 和z，而在求证的结论中，却只包含a，x和z，因此可以从消去y着手，得到如下证法．证由已知说明本题利用的是“消元”法，它是证明条件等式的常用方法．例10 证明：(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．分析与证明此题看起来很复杂，但仔细观察，可以使用换元法．令y+z-2x=a，①z+x-2y=b，②x+y-2z=c，③则要证的等式变为a3+b3+c3=3abc．联想到乘法公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)，所以将①，②，③相加有a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0，所以 a3+b3+c3-3abc=0，所以(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．说明由本例可以看出，换元法也可以在恒等式证明中发挥效力．例11 设x，y，z为互不相等的非零实数，且求证：x 2y 2z 2=1．分析 本题x ，y ，z 具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的所以x 2y 2=1．三元与二元的结构类似． 证 由已知有①×②×③得x 2y 2z 2=1．说明 这种欲进先退的解题策略经常用于探索解决问题的思路中．总之，从上面的例题中可以看出，恒等式证明的关键是代数式的变形技能．同学们要在明确变形目的的基础上，深刻体会例题中的常用变形技能与方法，这对以后的数学学习非常重要．第六讲 代数式的求值代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．1．利用因式分解方法求值因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．分析 x 的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x 后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件． 解 已知条件可变形为3x 2+3x -1=0，所以 6x 4+15x 3+10x 2=(6x 4+6x 3-2x 2)+(9x 3+9x 2-3x)+(3x 2+3x -1)+1 =(3x 2+3x -1)(2z 2+3x+1)+1 =0+1=1．说明 在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答． 例2 已知a ，b ，c 为实数，且满足下式： a 2+b 2+c 2=1，①求a+b+c 的值．解 将②式因式分解变形如下即所以a+b+c=0或bc+ac+ab=0． 若bc+ac+ab=0，则(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2(bc+ac+ab)=a 2+b 2+c 2=1，所以 a+b+c=±1．所以a+b+c 的值为0，1，-1． 说明 本题也可以用如下方法对②式变形：。
八年级数学数学竞赛培训讲义
目录本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。
注重中考与竞赛的有机结合，重点落实在与中考中难以上题，奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。
本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。
另外在本次培训中，内容的编排大多大于80分钟的容量，因此在实际教学过程中可以根据学生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和选择内容。
由于《相似三角形》与其他知识的衔接较多，因此本讲义补充了初三的《相似三角形》，可根据实际情况进行必要的讲解。
注：有(*) 标注的为选做内容。
本次培训具体计划如下，以供参考：第一讲分式的运算第二讲分式的化简求值第三讲分式方程及其应用第四讲二次根式的运算第五讲二次根式的化简求值第六讲相似三角形（基础篇）第七讲相似三角形（提高篇）第八讲平行四边形（基础篇）第九讲平行四边形（提高篇）第十讲梯形、中位线及其应用第十一讲结业考试（未装订在内，另发）第十二讲试卷讲评第一讲：分式的运算【知识梳理】一、分式的意义 形如BA （B A 、为整式），其中B 中含有字母的式子叫分式。
当分子为零且分母不为零时，分式的值为零，而当分母为零时，分式没有意义。
二、分式的性质（1）分式的基本性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=（其中M 是不为零的整式）。
（2）分式的符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。
（3）倒数的性质：1、()()011011>=⋅≠=⋅a aa a a a ，； 2、若11=⋅a a ，则11=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅n n a a （0≠a ，n 是整数）； 3、()021>≥+a aa 。
三、分式的运算分式的运算法则有：bdbc ad d c b a c b a c b c a ±=±±=±，； n nn ba b a bc ad d c b a bd ac d c b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛=÷=⋅，，（n 是正整数）。
八年级数学竞赛精品讲义--数据分析初步(含答案)
数学竞赛精品讲义 数据分析初步知识要点1、平均数、中位数和众数① 有n 个数x 1, x 2, …, x n , 则x = 叫这n 个数的平均数. 若x 1, x 2, …, x n 的平均数是x , 则ax 1, ax 2, …, ax n 的平均数是 ; x 1+b, x 2+b, …, x n +b 的平均数是 ; ax 1+b, ax 2+b, …, ax n +b 的平均数是 .② 一组数据中 叫这组数据的众数.③ 将一组数据按大小依次排列, 把处在 或 叫这组数据的中位数.注: 平均数、中位数和众数它们都有各自的的特点:平均数: (1) 需要全组所有数据来计算; (2) 唯一的; (3) 易受数据中极端数值的影响.中位数: (1) 仅需把数据按顺序排列后即可确定; (2) 唯一的; (3) 不易受数据中极端数值的影响. 众 数: (1) 通过计数得到; (2) 不一定唯一; (3) 不易受数据中极端数值的影响.2、加权平均值、算数平均值、几何平均值的计算方法① 加权平均值: 一般地, 对于f 1个x 1, f 2个x 2, …, f n 个x n , 共f 1＋f 2＋…＋f n 个数组成的一组数据的加权平均数为 . 其中f 1, f 2, …, f n 叫做权, 这个“权”, 含有权衡所占份量的轻重之意, 即i f (i ＝1, 2, …k )越大, 表明i x 的个数越 , “权”就越 . ② 有n 个数x 1, x 2, …, x n , 则x = 叫这n 个数的算数平均值. ③ 有n 个数x 1, x 2, …, x n , 则x = 叫这n 个数的几何平均值. 典例分析1、(2011苏州)有一组数椐: 3, 4, 5, 6, 6, 则下列四个结论中正确的是( ) A . 这组数据的平均数、众数、中位数分别是4.8, 6, 6 B . 这組数据的平均数、众数、中位数分别是5, 5, 5 C . 这组数据的平均数、众数、中位数分别是4.8, 6, 5 D . 这组数据的平均数、众数、中位数分别是5, 6, 62、(2008佳木斯)若正数的平均数是, 则数据的平均数和中位数是( ) A .B .C .D .3、(2011凉山)为离家某班学生每天使用零花钱的使用情况, 张华随机调查了15名同学, 结果如下表:每天使用零花钱(单位: 元)0 1 3 4 5 人数1 3 5 42 关于这15名同同学每天使用的零花钱, 下列说法正确的是( )A . 众数是5元B . 平均数是2.5元C . 极差是4元D . 中位数是3元 4、(2011百色)我们知道: 一个正整数p (p ＞1)的正因数有两个: 1和p , 除此之外没有别的正因数, 这样的数p 称为素数, 也称质数. 如图是某年某月的日历表, 日期31个数中所有的素数的中位数是( ) A . 11 B . 12 C. 13 D . 175、(2011舟山)多多班长统计去年1～8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量(单位: 本), 绘制了如图折线统计图, 下列说法正确的是()A. 极差是47B. 众数是42C. 中位数是58D. 每月阅读数量超过40的有4个月6、(2008衢州)汶川大地震牵动每个人的心, 一方有难, 八方支援, 5位衢州籍在外打工人员也捐款献爱心. 已知5人平均捐款560元(每人捐款数额均为百元的整数倍), 捐款数额最少的也捐了200元, 最多的(只有1人)捐了800元, 其中一人捐600元, 600元恰好是5人捐款数额的中位数, 那么其余两人的捐款数额分别是.7、(2011衢州)下列材料来自2006年5月衢州有关媒体的真实报道: 有关部门进行民众安全感满意度调查, 方法是: 在全市内采用等距抽样, 抽取32个小区, 共960户, 每户抽一名年满16周岁并能清楚表达意见的人, 同时, 对比前一年的调查结果, 得到统计图如下:写出2005年民众安全感满意度的众数选项是; 该统计图存在一个明显的错误是.8、(2011日照)卫生部修订的《公共场所卫生管理条例实施细则》从今年5月1日开始正式实施, 这意味着“室内公共场所禁止吸烟”新规正式生效. 为配合该项新规的落实, 某校组织了部分同学在“城阳社区”开展了“你最支持哪种戒烟方式”的问卷调查, 并将调查结果整理后分别制成了如图所示的扇形统计图和条形统计图, 但均不完整.请你根据统计图解答下列问题:(1) 这次调查中同学们一共调查了多少人? (2) 请你把两种统计图补充完整;(3) 求以上五种戒烟方式人数的众数.9、(2011咸宁)某公司为了调动员工的积极性, 决定实行目标管理, 即确定个人年利润目标,根据目标完成的情况对员工进行适当的奖惩. 为了确定这一目标, 公司对上一年员工所创的年利润进行了抽样调查, 并制成了如右的统计图.(1) 求样本容量, 并补全条形统计图; (2) 求样本的众数, 中位数和平均数;(3) 如果想让一半左右的员工都能达到目标, 你认为个人年利润定为多少合适? 如果想确定一个较高的目标, 个人年利润又该怎样定才合适? 并说明理由.提高训练1、(2011台湾)下表为某班成绩的次数分配表. 已知全班共有38人, 且众数为50分, 中位数为60分, 求x2－2y之值为何( )成绩(分) 20 30 40 50 60 70 90 100次数(人) 2 3 5 x 6 y 3 4A. 33B. 50C. 69D. 902、(2011江西)一组数据: 2, 3, 4, x中, 若中位数与平均数相等, 则数x不可能是()A、1B、2C、3D、53、(2011泰安)甲. 乙两人在5次体育测试中的成绩(成绩为整数, 满分为100分)如下表, 其中乙的第5次4、(2011三明市)某校为庆祝中国共产党90周年, 组织全校1800名学生进部分学生的成绩进行统计分析, 得到如下统计表:根据统计表提供的信息, 回答下列问题:(1) a=, b=, c=;(2) 上述学生成绩的中位数落在组范围内;(3) 如果用扇形统计图表示这次抽样成绩, 那么成绩在89.5～100.5范围内的扇形的圆心角为度;(4) 若竞赛成绩80分(含80分)以上为优秀, 请估计该校本次竞赛成绩优秀的学生有人.5、(2011淄博)“十年树木, 百年树人”, 教师的素养关系到国家的未来. 我市某区招聘音乐教师采用笔试、专业技能测试、说课三种形式进行选拔, 这三项的成绩满分均为100分, 并按2: 3: 5的比例折合纳入总分,最后, 按照成绩的排序从高到低依次录取. 该区要招聘2名音乐教师, 通过笔试、专业技能测试筛选出前说课成绩85 78 86 88 94 85(1) 笔试成绩的极差是多少?(2) 写出说课成绩的中位数、众数;(3) 已知序号为1, 2, 3, 4号选手的成绩分别为84.2分, 84.6分, 88.1分, 80.8分, 请你判断这六位选手中序号是多少的选手将被录用? 为什么?6、某校260名学生参加植树活动, 要求每人植4～7棵, 活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量, 并分为四种类型, A: 4棵; B: 5棵; C: 6棵; D: 7棵. 将各类的人数绘制成扇形图(如图14－1)和条形图(如图14－2), 经确认扇形图是正确的, 而条形图尚有一处错误.回答下列问题:(1) 写出条形图中存在的错误, 并说明理由;(2)写出这20名学生每人植树量的众数、中位数;(3) 在求这20名学生每人植树量的平均数时, 小宇是这样分析的:①小宇的分析是从哪一步开始出现错误的?②请你帮他计算出正确的平均数, 并估计这260名学生共植树多少棵.7、为了解某校学生的身高情况, 随机抽取该校男生、女生进行抽样调查. 已知抽取的样本中, 男生、女生的人数相同, 利用所得数据绘制如下统计图表: 身高情况分组表(单位: cm)根据图表提供的信息, 回答下列问题:(1) 样本中, 男生的身高众数在组, 中位数在组;(2) 样本中, 女生身高在E组的人数有人;(3) 已知该校共有男生400人, 女生380人, 请估计身高在160≤x＜170之间的学生约有多少人?8、某单位招聘员工, 采取笔试与面试相结合的方式进行, 两项成绩的原始分均为项目 1 2 3 4 5 6笔试成绩/分85 92 84 90 84 80面试成绩/分90 88 86 90 80 85根据成绩的满分仍为100分)(1) 这6名选手笔试成绩的中位数是多少分? 众数是多少分?(2) 现得知1号选手的综合成绩为88分, 求笔试成绩和面试成绩各占的百分比.(3) 求出其余五名选手的综合成绩, 并以综合成绩排序确定前两名人选.参考答案典例分析)有一组数椐: 3, 4, 5, 6, 6, 则下列四个结论中正确的是()A. 这组数据的平均数、众数、中位数分别是4.8, 6, 6B. 这組数据的平均数、众数、中位数分别是5, 5, 5C. 这组数据的平均数、众数、中位数分别是4.8, 6, 5D. 这组数据的平均数、众数、中位数分别是5, 6, 6解: 数椐: 3, 4, 5, 6, 6的平均数=(3+4+5+6+6)÷5=24÷5=4.8. 6出现的次数最多, 故众数是6.2、(2008佳木斯)若正数的平均数是, 则数据的平均数和中位数是( D )A. B. C. D.3、(2011凉山)为离家某班学生每天使用零花钱的使用情况, 张华随机调查了15名同学, 结果如下表:每天使用零花钱(单位: 元) 0 1 3 4 5人数 1 3 5 4 2关于这15名同同学每天使用的零花钱, 下列说法正确的是( )A. 众数是5元B. 平均数是2.5元C. 极差是4元D. 中位数是3元解: ∵众数为3元; 极差为: 5－0＝5; 一共有15人, ∴中位数为第8人所花钱数, ∴中位数为3元.24531524435131++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x≈2.93, 故选D.4、(2011百色)我们知道: 一个正整数p(p＞1)的正因数有两个: 1和p, 除此之外没有别的正因数, 这样的数p称为素数, 也称质数. 如图是某年某月的日历表, 日期31个数中所有的素数的中位数是()A. 11B. 12C. 13D. 17解: 根据素数的定义, 日历表中的素数有:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31, 共11个,∴这组数据的中位数是13. 故选C.5、(2011舟山)多多班长统计去年1～8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量(单位: 本), 绘制了如图折线统计图, 下列说法正确的是()A. 极差是47B. 众数是42C. 中位数是58D. 每月阅读数量超过40的有4个月解: A. 极差为: 83－28＝55, 故本选项错误;B. 众数为: 58, 故本选项错误;C. 中位数为: (58＋58)÷2＝58, 故本选项正确;D. 每月阅读数量超过40本的有2月、3月、4月、5月、7月、8月, 共六个月, 故本选项错误; 故选C.6、(2008衢州)汶川大地震牵动每个人的心, 一方有难, 八方支援, 5位衢州籍在外打工人员也捐款献爱心. 已知5人平均捐款560元(每人捐款数额均为百元的整数倍), 捐款数额最少的也捐了200元, 最多的(只有1人)捐了800元, 其中一人捐600元, 600元恰好是5人捐款数额的中位数, 那么其余两人的捐款数额分别是___________;答案: 500元、700元或600元、600元7、(2011浙江衢州)下列材料来自2006年5月衢州有关媒体的真实报道: 有关部门进行民众安全感满意度调查, 方法是: 在全市内采用等距抽样, 抽取32个小区, 共960户, 每户抽一名年满16周岁并能清楚表达意见的人, 同时, 对比前一年的调查结果, 得到统计图如下:写出2005年民众安全感满意度的众数选项是安全; 该统计图存在一个明显的错误是2004年满意度统计选项总和不到100%.8、(2011日照)卫生部修订的《公共场所卫生管理条例实施细则》从今年5月1日开始正式实施, 这意味着“室内公共场所禁止吸烟”新规正式生效. 为配合该项新规的落实, 某校组织了部分同学在“城阳社区”开展了“你最支持哪种戒烟方式”的问卷调查, 并将调查结果整理后分别制成了如图所示的扇形统计图和条形统计图, 但均不完整.请你根据统计图解答下列问题:(1) 这次调查中同学们一共调查了多少人? (2) 请你把两种统计图补充完整;(3) 求以上五种戒烟方式人数的众数.解: (1) 这次调查中同学们调查的总人数为20÷10%=200(人);(2) 由(1)可知, 总人数是300人. 药物戒烟: 200×15%=45(人);警示戒烟: 200×30%=60, 强制戒烟: 70÷200=35%. 完整的统计图如图所示:(3) 以上五种戒烟方式人数的众数是20.9、(2011咸宁)某公司为了调动员工的积极性, 决定实行目标管理, 即确定个人年利润目标,根据目标完成的情况对员工进行适当的奖惩. 为了确定这一目标, 公司对上一年员工所创的年利润进行了抽样调查, 并制成了如右的统计图.(1) 求样本容量, 并补全条形统计图; (2) 求样本的众数, 中位数和平均数;(3) 如果想让一半左右的员工都能达到目标, 你认为个人年利润定为多少合适? 如果想确定一个较高的目标, 个人年利润又该怎样定才合适? 并说明理由.解: (1)设样本容量为x , 则5360120=⨯x , 所以x =15. 即样本容量为15. (补全条形统计图如图) (2) 样本的众数为4万元; 中位数为6万元; 平均数为(万元);(3) 如果想让一半左右的员工都能达到目标, 个人年利润可以定为6万元. 因为从样本情况看, 个人年利润在6万元以上的有7人, 占总数的一半左右. 可以估计, 如果个人年利润定为6万元, 将有一半左右的员工获得奖励.如果想确定一个较高的目标, 个人年利润可以定为7.4万元.因为在样本的众数, 中位数和平均数中, 平均数最大.可以估计, 如果个人年利润定为7.4万元, 大约会有的员工获得奖励.提高训练1、(2011台湾)下表为某班成绩的次数分配表. 已知全班共有38人, 且众数为50分, 中位数为60分, 求x 2－2y 之值为何( )成绩(分)20 30 40 50 60 70 90 100 次数(人)2 3 5 x 6 y 3 4 A . 33 B . 50 C . 69 D . 90解: ∵全班共有38人, ∴x ＋y ＝38－(2＋3＋5＋6＋3＋4)＝15, 又∵众数为50分, ∴x ≥8,当x ＝8时, y ＝7, 中位数是第19, 20两个数的平均数, 都为60分, 则中位数为60分, 合题意; 当x ＝9时, y ＝6, 中位数是第19, 20两个数的平均数, 则中位数为(50＋60)÷2＝55分, 不合题意; 同理当x ＝10, 11, 12, 13, 14, 15时, 中位数都不等于60分, 不符合题意. 则x ＝8, y ＝7. 则x 2－2y ＝64－14＝50. 故选B.2、(2011江西)一组数据: 2, 3, 4, x 中, 若中位数与平均数相等, 则数x 不可能是( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、5解: (1) 将这组数据从大到小的顺序排列为2, 3, x , 4, 处于中间位置的数是3, x , 中位数是(3+x )÷2, 平均数为(2+3+4+x )÷4, ∴(3+x )÷2=(2+3+4+x )÷4,解得x =3, 大小位置与3对调, 不影响结果, 符合题意;(2) 将这组数据从大到小的顺序排列后2, 3, 4, x , 中位数是(3+4)÷2=3.5, 此时平均数是(2+3+4+x )÷4=7, 解得x =5, 符合排列顺序;(3) 将这组数据从大到小的顺序排列后x , 2, 3, 4, 中位数是(2+3)÷2=2.5, 平均数(2+3+4+x )÷4=2.5, 解得x =1, 符合排列顺序. ∴ x 的值为1、3或5. 故选B.3、(2011泰安)甲. 乙两人在5次体育测试中的成绩(成绩为整数, 满分为100分)如下表, 其中乙的第5次成绩的个位数被污损. 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次甲90 88 87 93 92 乙84 87 85 98 9■ 则乙的平均成绩高于甲的平均成绩的概率是________. 解: 甲的平均成绩为:9059293878890=++++,乙的被污损的成绩可能是90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99共10中可能, 乙的成绩为97, 98, 99的时候, 平均成绩大于甲的成绩, 乙的平均成绩高于甲的平均成绩的概率是103. 故答案为: 103.4、(2011三明市)某校为庆祝中国共产党90周年, 组织全校1800名学生进行党史知识竞赛. 为了解本次知识竞赛成绩的分布情况, 从中随机抽取了部分学生的成绩进行统计分析, 得到如下统计表:根据统计表提供的信息, 回答下列问题:(1) a = , b = , c = ;(2) 上述学生成绩的中位数落在 组范围内;(3) 如果用扇形统计图表示这次抽样成绩, 那么成绩在89.5～100.5范围内的扇形的圆心角为 度; (4) 若竞赛成绩80分(含80分)以上为优秀, 请估计该校本次竞赛成绩优秀的学生有 人. 解: (1) a =1﹣0.05﹣0.40﹣0.35=0.2, b =3÷0.05×0.40=24, c =3÷0.05=60. (2) 从频率分表可看出中位数在79.5～89.5内. (3) 360°×0.35=126° (4) 1800×(0.40+0.35)=1350.5、(2011淄博)“十年树木, 百年树人”, 教师的素养关系到国家的未来. 我市某区招聘音乐教师采用笔试、专业技能测试、说课三种形式进行选拔, 这三项的成绩满分均为100分, 并按2: 3: 5的比例折合纳入总分, 最后, 按照成绩的排序从高到低依次录取. 该区要招聘2名音乐教师, 通过笔试、专业技能测试筛选出前6名选手进入说课环节, 这6名选手的各项成绩见下表:序号1 2 3 4 5 6 笔试成绩66 90 86 64 65 84 专业技能测试成绩95 92 93 80 88 92 说课成绩85 78 86 88 94 85 (1) 笔试成绩的极差是多少?(2) 写出说课成绩的中位数、众数;(3) 已知序号为1, 2, 3, 4号选手的成绩分别为84.2分, 84.6分, 88.1分, 80.8分, 请你判断这六位选手中序号是多少的选手将被录用? 为什么?解: (1) 笔试成绩的最高分是90, 最低分是64, ∴极差=90﹣64=26. (2) 将说课成绩按从小到大的顺序排列: 78、85、85、86、88、94, ∴中位数是(85+86)÷2=85.5, 85出现的次数最多, ∴众数是85. (3) 5号选手的成绩为: 65×0.2+88×0.3+94×0.5=86.4分; 6号选手的成绩为: 84×0.2+92×0.3+85×0.5=86.9分.∵序号为1, 2, 3, 4号选手的成绩分别为84.2分, 84.6分, 88.1分, 80.8分, ∴3号选手的成绩最高, 应被录取.6、某校260名学生参加植树活动, 要求每人植4～7棵, 活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量, 并分为四种类型, A : 4棵; B : 5棵; C : 6棵; D : 7棵. 将各类的人数绘制成扇形图(如图14－1)和条形图(如图14－2), 经确认扇形图是正确的, 而条形图尚有一处错误. 回答下列问题:分组 频数 频率59.5～69.53 0.05 69.5～79.512 a 79.5～89.5b 0.40 89.5～100.5 21 0.35 合计c 1(1) 写出条形图中存在的错误, 并说明理由; (2)写出这20名学生每人植树量的众数、中位数;(3) 在求这20名学生每人植树量的平均数时, 小宇是这样分析的:①小宇的分析是从哪一步开始出现错误的?②请你帮他计算出正确的平均数, 并估计这260名学生共植树多少棵.解: (1)D有错, 理由: 10%20⨯=2≠3;(2) 众数为5; 中位数为5;(3) ①第二步; ②4458667220x⨯+⨯+⨯+⨯==5.3.估计学生共植树: 5.3⨯260=1378(棵).7、为了解某校学生的身高情况, 随机抽取该校男生、女生进行抽样调查. 已知抽取的样本中, 男生、女生的人数相同, 利用所得数据绘制如下统计图表: 身高情况分组表(单位: cm)根据图表提供的信息, 回答下列问题:(1) 样本中, 男生的身高众数在组, 中位数在组;(2) 样本中, 女生身高在E组的人数有人;(3) 已知该校共有男生400人, 女生380人, 请估计身高在160≤x＜170之间的学生约有多少人?解: ∵B组的人数为12, 最多, ∴众数在B组, 男生总人数为4+12+10+8+6=40,按照从低到高的顺序, 第20、21两人都在C组, ∴中位数在C组;(2) 女生身高在E组的频率为: 1﹣17.5%﹣37.5%﹣25%﹣15%=5%,∵抽取的样本中, 男生、女生的人数相同, ∴样本中女生身高在E组的人数有40×5%=2人;(3) 400×+380×(25%+15%)=180+152=332(人). 估计160≤x＜170之间的学生约有332人.8、某单位招聘员工, 采取笔试与面试相结合的方式进行, 两项成绩的原始分均为项目 1 2 3 4 5 6笔试成绩/分85 92 84 90 84 80面试成绩/分90 88 86 90 80 85根据成绩的满分仍为100分)(1) 这6名选手笔试成绩的中位数是多少分? 众数是多少分?(2) 现得知1号选手的综合成绩为88分, 求笔试成绩和面试成绩各占的百分比.(3) 求出其余五名选手的综合成绩, 并以综合成绩排序确定前两名人选.解: (1) 把这组数据从小到大排列为, 80, 84, 84, 85, 90, 92, 最中间两个数的平均数是(84+85)÷2=84.5(分), 则这6名选手笔试成绩的中位数是84.5, 84出现了2次, 出现的次数最多, 则这6名选手笔试成绩的众数是84; 故答案为: 84.5, 84;(2) 设笔试成绩和面试成绩各占的百分比是x, y, 根据题意得:1, 859088.x yx y+=⎧⎨+=⎩解得:0.4,0.6.xy=⎧⎨=⎩故试成绩和面试成绩各占的百分比是40%, 60%;(3) 2号选手的综合成绩是92×0.4+88×0.6=89.6(分),3号选手的综合成绩是84×0.4+86×0.6=85.2(分), 4号选手的综合成绩是90×0.4+90×0.6=90(分),5号选手的综合成绩是84×0.4+80×0.6=81.6(分), 6号选手的综合成绩是80×0.4+85×0.6=83(分), 则综合成绩排序前两名人选是4号和2号.。
八年级数学全等三角形综合培优竞赛讲义(38页)
全等三角形培优竞赛讲义(一)知识点全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．例题精讲板块一、截长补短【例1】 已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．4321FDOE CB A【解析】BE CD BC +=， 理由是：在BC 上截取BF BE =，连结OF ， 利用SAS 证得BEO ∆≌BFO ∆，∴12∠=∠，∵60A ∠=︒，∴1901202BOC A ∠=+∠=，∴120DOE ∠=，∴180A DOE ∠+∠=，∴180AEO ADO ∠+∠=，∴13180∠+∠=， ∵24180∠+∠=，∴12∠=∠，∴34∠=∠，利用AAS 证得CDO ∆≌CFO ∆，∴CD CF =，∴BC BF CF BE CD =+=+．【例2】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?GNEB M A D【解析】 猜测DM MN =.过点M 作MG BD ∥交AD 于点G ，AG AM =，∴GD MB =又∵120ADM DMA +∠=∠，120DMA NMB +=∠∠ ∴ADM NMB =∠∠，而120DGM MBN ==∠∠， ∴DGM MBN ∆∆≌，∴DM MN =．【变式拓展训练】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？NCDEB M A【解析】 猜测DM MN =.在AD 上截取AG AM =，∴DG MB =，∴45AGM =∠∴135DGM MBN ==︒∠∠，∴ADM NMB =∠∠， ∴DGM MBN ∆∆≌，∴DM MN =．【例3】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .M F EDCB A【解析】 延长CB 至M ，使得BM =DF ，连接AM .∵AB =AD ，AD ⊥CD ，AB ⊥BM ，BM =DF ∴△ABM ≌△ADF∴∠AFD =∠AMB ，∠DAF =∠BAM ∵AB ∥CD∴∠AFD =∠BAF =∠EAF +∠BAE =∠BAE +∠BAM =∠EAM ∴∠AMB =∠EAM∴AE =EM =BE +BM =BE +DF .【例4】 以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠． 【解析】 因为ABD ∆、ACE ∆是等边三角形，所以AB AD =，AE AC =，CAE ∠=60BAD ∠=，则BAE DAC ∠=∠，所以BAE DAC ∆∆≌，则有ABE ADC ∠=∠，AEB ACD ∠=∠，BE DC =．在DC 上截取DF BO =，连结AF ，容易证得ADF ABO ∆∆≌，ACF AEO ∆∆≌． 进而由AF AO =．得AFO AOF ∠=∠；由AOE AFO ∠=∠可得AOF ∠=AOE ∠，即OA 平分DOE ∠．【例5】 如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．EABC DM N【解析】 如图所示，延长AC 到E 使CE BM =.在BDM ∆与CDE ∆中，因为BD CD =，90MBD ECD ∠=∠=，BM CE =， 所以BDM CDE ∆∆≌，故MD ED =.因为120BDC ∠=，60MDN ∠=，所以60BDM NDC ∠+∠=. 又因为BDM CDE ∠=∠，所以60MDN EDN ∠=∠=.在MND ∆与END ∆中，DN DN =，60MDN EDN ∠=∠=，D M D E =， 所以MND END ∆∆≌，则NE MN =，所以AMN ∆的周长为2.【例6】 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDEABDEFC【解析】 延长DE 至F ，使得EF =BC ，连接AC .∵∠ABC +∠AED =180°，∠AEF +∠AED =180° ∴∠ABC =∠AEF ∵AB =AE ，BC =EF ∴△ABC ≌△AEF ∴EF =BC ，AC =AF∵BC +DE =CD ∴CD =DE +EF =DF ∴△ADC ≌△ADF ∴∠ADC =∠ADF 即AD 平分∠CDE .板块二、全等与角度【例7】如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.【解析】 如图所示，延长AB 至E 使BE BD =，连接ED 、EC .由AC AB BD =+知AE AC =，而60BAC ∠=，则AEC ∆为等边三角形.注意到EAD CAD ∠=∠，AD AD =，AE AC =， 故AED ACD ∆∆≌.从而有DE DC =，DEC DCE ∠=∠，故2BED BDE DCE DEC DEC ∠=∠=∠+∠=∠.所以20DEC DCE ∠=∠=，602080ABC BEC BCE ∠=∠+∠=+=.【另解】在AC 上取点E ，使得AE AB =，则由题意可知CE BD =.在ABD ∆和AED ∆中，AB AE =，BAD EAD ∠=∠，AD AD =，则ABD AED ∆∆≌，从而BD DE =，进而有DE CE =，ECD EDC ∠=∠，AED ECD EDC ∠=∠+∠=2ECD ∠. 注意到ABD AED ∠=∠，则：1318012022ABC ACB ABC ABC ABC BAC ∠+∠=∠+∠=∠=-∠=，故80ABC ∠=︒.【点评】由已知条件可以想到将折线ABD “拉直”成AE ，利用角平分线AD 可以构造全等三角形.同样地，将AC 拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的.需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想.上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考 虑的方法.【例8】在等腰ABC ∆中，AB AC =，顶角20A ∠=︒，在边AB 上取点D ，使AD BC =，求BDC ∠.【解析】 以AC 为边向ABC ∆外作正ACE ∆，连接DE .在ABC ∆和EAD ∆中，AD BC =，AB EA =，2060EAD BAC CAE ∠=∠+∠=+= 80ABC =∠，E D CB AED CB AD CBADCB AED CBA则ABC EAD ∆∆≌.由此可得ED EA EC ==，所以EDC ∆是等腰三角形. 由于20AED BAC ∠=∠=，则602040CED AEC AED ∠=∠-∠=-=，从而70DCE ∠=，706010DCA DCE ACE ∠=∠-∠=-=， 则201030BDC DAC DCA ∠=∠+∠=+=.【另解1】以AD 为边在ABC ∆外作等边三角形ADE ∆，连接EC .在ACB ∆和CAE ∆中，6020CAE ACB ︒︒∠=+=∠，AE AD CB ==，AC CA =， 因此ACB CAE ∆∆≌，从而CAB ACE ∠=∠，CE AB AC ==.在CAD ∆和CED ∆中，AD ED =，CE CA =，CD CD =， 故CAD CED ∆∆≌， 从而ACD ECD ∠=∠，2CAB ACE ACD ∠=∠=∠， 故10ACD ︒∠=，因此30BDC ︒∠=. 【另解2】如图所示，以BC 为边向ABC ∆内部作等边BCN ∆，连接NA 、ND .在CDA ∆和ANC ∆中，CN BC AD ==，20CAD ∠=， ACN ACB BCN ∠=∠-∠=806020-=， 故CAD ACN ∠=∠，而AC CA =，进而有CDA ANC ∆∆≌. 则10ACD CAN ∠=∠=，故30BDC DAC DCA ∠=∠+∠=. 【点评】上述三种解法均是向三边作正三角形，然后再由三角形全等得到边长、角度之间的关系.【例9】如图所示，在ABC ∆中，AC BC =，20C ∠=︒，又M 在AC 上，N 在BC 上，且满足50BAN ∠=︒，60ABM ∠=︒，求NMB ∠.【解析】 过M 作AB 的平行线交BC 于K ，连接KA 交MB 于P .连接PN ，易知APB ∆、M KP ∆均为正三角形.因为50BAN ∠=︒，AC BC =，20C ∠=︒，所以50ANB ∠=︒，BN AB BP ==，80BPN BNP ∠=∠=︒，则40PKN ∠=︒，180608040KPN ∠=︒-︒-︒=︒， 故PN KN =.从而MPN MKN ∆∆≌.进而有PMN KMN ∠=∠，1302NMB KMP ∠=∠=︒.【另解】如图所示，在AC 上取点D ，使得20ABD ∠=︒，由20C ∠=︒、AC BC =可知80BAC ∠=︒. 而20ABD ∠=︒，故80ADB ∠=︒，BA BD =. 在ABN ∆中，50BAN ︒∠=，80ABN ∠=︒，故50ANB ∠=︒，从而BA BN =，进而可得BN BD =.E DCBA N DC B APA BCM NK NMCBA D NMCBA而802060DBN ABC ABD ∠=∠-∠=︒-︒=︒， 所以BDN ∆为等边三角形.在ABM ∆中，180180806040AMB ABM BAM ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， 804040DBM ADB AMB ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故DM B DBM ∠=∠，从而D M D B =.我们已经得到DM DN DB ==，故D 是BMN ∆的外心，从而1302NMB NDB ∠=∠=︒.【点评】本题是一道平面几何名题，加拿大滑铁卢大学的几何大师Ross Honsberger 将其喻为“平面几何中的一颗明珠”.本题的大多数解法不是纯几何的，即使利用三角函数也不是那么容易.【例10】在四边形ABCD 中，已知AB AC =，60ABD ︒∠=，76ADB ︒∠=，28BDC ︒∠=，求DBC ∠的度数.【解析】 如图所示，延长BD 至E ，使DE DC =，由已知可得：180********ADE ADB ︒︒︒︒∠=-∠=-=， 7628104ADC ADB BDC ︒︒︒∠=∠+∠=+=，故ADE ADC ∠=∠.又因为AD AD =，DE DC =，故ADE ADC ∆∆≌，因此AE AC =，E ACD ∠=∠，EAD CAD ∠=∠.又因为AB AC =， 故AE AB =，ABC ACB ∠=∠. 而已知60ABD ︒∠=，所以ABE ∆为等边三角形. 于是60ACD E EAB ∠=∠=∠=︒，故18016CAD ADC ACD ∠=︒-∠-∠=︒， 则28CAB EAB CAD EAD ∠=∠-∠-∠=︒，从而1(180)762ABC CAB ∠=︒-∠=︒，所以16DBC ABC ABD ∠=∠-∠=︒.【例11】 如图所示，在四边形ABCD 中，12DAC ︒∠=，36CAB ︒∠=，48ABD ︒∠=，24DBC ︒∠=，求ACD ∠的度数.【解析】 仔细观察，发现已知角的度数都是12︒的倍数，这使我们想到构造60︒角，从而利用正三角形.在四边形ABCD 外取一点P ，使12PAD ︒∠=且AP AC =，连接PB 、PD . 在ADP ∆和ADC ∆中，12PAD CAD ︒∠=∠=，AP AC =，AD AD =，故ADP ADC ∆∆≌. 从而APD ACD ∠=∠.CDB A DC BA EC D B A PDC在ABC ∆中，36CAB ∠=︒，72ABC ∠=︒， 故72ACB ︒∠=，AC AB =， 从而AP AB =.而12123660PAB PAD DAC CAB ∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒， 故PAB ∆是正三角形，60APB ︒∠=，PA PB =.在DAB ∆中，123648DAB DAC CAB DBA ︒︒︒∠=∠+∠=+==∠， 故DA DB =.在PD A ∆和PDB ∆中，PA PB =，PD PD =，DA DB =， 故PDA PDB ∆∆≌，从而1302APD BPD APB ︒∠=∠=∠=，则30ACD ︒∠=.【例12】 在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =， 在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.【解析】 如图所示，连接DC .因为AD BD =，AC BC =，CD CD =，则ADC BDC ∆∆≌， 故30BCD ∠=.而DBE DBC ∠=∠，BE AB BC ==，BD BD =， 因此BDE BDC ∆∆≌，故30BED BCD ∠=∠=.【例13】 如图所示，在ABC ∆中，44BAC BCA ︒∠=∠=，M 为ABC ∆内一点，使得30MCA ︒∠=，16MAC ︒∠=，求BMC ∠的度数.D E CB AD E CB A OM B MCAB【解析】 在ABC ∆中，由44BAC BCA ︒∠=∠=可得AB AC =，92ABC ︒∠=.如图所示，作BD AC ⊥于D 点，延长CM 交BD 于O 点，连接OA ， 则有30OAC MCA ︒∠=∠=，443014BAO BAC OAC ︒︒︒∠=∠-∠=-=， 301614OAM OAC MAC ︒︒︒∠=∠-∠=-=， 所以BAO MAO ∠=∠.又因为90903060AOD OAD COD ︒︒︒︒∠=-∠=-==∠， 所以120AOM AOB ∠=︒=∠.120BOM ∠=︒ 而AO AO =，因此ABO AMO ∆∆≌， 故OB OM =.由于120BOM ︒∠=，则180302BOMOMB OBM ︒-∠∠=∠==︒，故180150BMC OMB ︒︒∠=-∠=.全等三角形培优竞赛讲义（二）【知识点精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。
初二竞赛班数学辅导讲义
初二竞赛班讲义一次函数与反比例函数一、直角坐标系与点的坐标1.有公共原点,并且互相垂直的两条数轴构成直角坐标系.如图:x 轴也叫横轴,y 轴也叫纵轴.2.如图,P 点垂直对着x 轴上的数a 叫做P 点的横坐标,P 点垂直对着y 轴上的数b 叫做P 点的纵坐标,P 点的坐标记为:(a,b).注意:横坐标必须写在前面.3.x 轴上的点,_____坐标都是0;y 轴上的点,_____坐标都是0.练习11.如图,A 、B 、C 、D 四点的坐标分别是________、_________、________、_______; A 点在笫____象限,B 点在笫____象限;A 点和_____点关于原点对称.2.在图中描出下列各点:E(3,2)、F(3,-2)、G(-3,-2)、H(-3,2)、M(2,0)、N(0,-3);E 点和H 点关于____轴对称.3.已知点P(a,b).①若a>0且b<0,则点P 在笫____象限;②若a<0且b>0,则点P 在第_____象限.③若a=0,则点P 在_____轴上.二、函数1.例子:汽车每小时行驶60千米,那么路程s(千米)与时间t(小时)的关系为s=60t,s 随着t 的变化而变化,我们把t 叫做自变量,s 叫做t 的函数.自变量t 的取值范围是________.2.已知ΔABC 的两边为4cm 和5cm,那么它的周长y(cm)与笫三边x(cm)之间的函数关系式y=______________,自变量x 的取值范围是____<x<____.3.甲、乙两地的路程是100千米,汽车以每小时50千米的速度从甲地开往乙地,设x 小时后余下的路程为y 千米,则y 与x 之间的函数关系式为y=____________,x 的取值范围是-________.4.下列函数:y=-3x+2,y=226x -,自变量x 的取值范围分别是:_____________、___________、________________、____________________.三、一次函数的图象和性质1.y=kx+b(k 和b 是常数,且k ≠0)这样的函数叫做一次函数.当b=0时,y=kx 又叫做正比例函数.例1 已知y 是x 的一次函数,并且x=2时,y=1;x=-1,时y=5,求这个一次函数的解析式.练习2 1.当m=____时,函数y=3x+m-2是正比例函数.2.当m=______时,函数y=(m+1)x 丨m 丨+7是一次函数.3.已知y+2与x-1成正比例,且x=2时y=-5,求x=5时y的值.例2用描点法画一次函数y=x+2和y=-3x的图象.性质1 一次函数y=kx+b的图象是经过点(0,b)的一条_____线.正比例函数y=kx的图象是经过_____点的一条直线.练习3 在右图中,用两点法(描两个点)画一次函数y=-2x+3和y=-2x-2的图象.性质2 在一次函数y=kx+b中:①当k>0时,y随x的增大而______.(直线从左向右______).②当k<0时,y随x的增大而_______.(直线从左向右_________).的练习31.函数y=-3x+6的图象是经过点A(0,____)和B(_____,0)的一条直线,y随x的增大而________.2.已知函数y=(a-3)x+7的值随x的增大而增大,则a的取值范围是_________.3.已知直线y=kx+14经过点p(5,4),则k的值为______,y随x的增大而________.[提示:点在函数图象上点的坐标满足函数解析式]4.若直线y=kx+b经过一、三、四象限,则k_____0,b_____.[提示:当b>0时,直线与y轴的交点在原点上方;当b<0时,直线与y轴的交点在原点下方] 例3 如图,直线y=x+2与x轴交于C点,与直线y=2x相交于A点,求ΔAOC的面积例4在直角坐标系中,A、B两点的坐标分别是(-2,1)和(1,5),点P在x轴上,且点P到A、B两点的距离之和最小,求点P的坐标.练习4 1.求直线y=2x+6与两坐标轴围成的三角形的面积.2.已知两点A(1,2)、B(-1,4).问直线AB是否经过点C(3,-1)?为什么?3.求直线y=3x+5与y=2x的交点坐标,并求这个交点到原点的距离.4.甲、乙两地相距24千米,若每小时走4千米.①求剩余路程y(千米)与行走时间x(小时)之间的函数关系式.②求自变量x的取值范围.③画出函数的图象.四、定义 函数y = k x(常数k ≠____)叫做反比例函数.(即 y = kx -1 是反比例函数) 例5 已知122)2(-++=m m x m m y ,当m 为何值时:(1)y 是x 的正比例函数? (2)y 是x 的反比例函数?例6 已知y=y 1-y 2,y 1与x 成反比例,y 2与(x-2)成正比例,并且当x=1时,y=4;当x=-1时,y=4. 求x=2时y 的值.练习51.已知y=(n-1)x m是反比例函数,则n ≠______,且m=______;2.已知y 与x 成反比例,并且x=4时,y=3,则y 与x 之间的函数关系式为___________.3.已知反比例函数y=k x的图象经过点(-2,3),则k=______. 4.若函数y=6x的图象经过点P(a,b),则ab=___. 5.已知反比例函数y=k x的图象经过点(-2,6)和(4,m),则k=______,m=______. 6.若y=y 1+y 2,y 1与x 成正比例,y 2与x 成反比例,并且当x=1时,y=4;当x=2时,y=5.求x=4时y 的值.7.先填写下表,再用描点法画函数y=(x ≠0)的图象.五、性质: 反比例函数y=k x的图象叫做双曲线. ①当k>0时,双曲线在一、三象限内,从左向右下降,y 随x 的增大而______.(如图1)(注意:x>0时,图象在y 轴右侧的笫一象限内; x<0时,图象在___________笫______象限内) ②当k<0时,双曲线在二、四象限内,从左向右_____, y 随x 的增大而______.(如图2) 例7 己知关于x 的方程x 2-4x+2t=0有两个实数根两个根的倒数之和为s.求s 与t 之间的函数关系式及t 的取值范围.例8 已知反比例函数y=m x与一次函数y=kx+b 的图象的一个交点为A(-2,-1),并且在x=3时,这两个函数的值相等,求这两个函数的解析式.例9.如图,点A 是双曲线y=12x上任意一点,延长AO 交双曲线另一支于B,求Rt ΔACB 的面积.例10. A 市有化肥200吨,B 市有化肥300吨.现要把化肥运往C 、D 两农村.已知从A 市运往C 、D 两地的运费分别为20元/吨与25元/吨,从B市运往C、D两地的运费分别为15元/吨和23元/吨.现已知C地需要220吨,D 地需要280吨.设总的运费为y(元),从A市运往C地x(吨).(1)求y与x的函数关系式,并求自变量x的取值范围. (2)怎样调运,总运费最少?练习61.当x>0时,函数y=-6x的图象在笫_____象限,y随x的增大而______.2.若反比例函数y=3mx-中,y随x的增大而减小,则m的取值范围是_________,它的图象在笫_________象限.4.如果反比例函数y=mx2m+3m-6的图象在二、四象限内,那么m的值为_____.5.若反比例函数y=1bx+的图象在一、三象限内,则b的取值范围是_________.6.如图,点A是双曲线y=12x上任意一点,AB⊥x轴于B,则RtΔABO的面积为________.7.若点P(y1,y2)在双曲线y=kx上,且y1和y2是方程y2-4y-2=0的两点,则k=____.8.若点A(-2,y1)、B(-1,y2)在反比例函数y=3x的图象上,则y1与y2的大小关系是______.9.如图,RtΔAOB的顶点A是直线y=x+m与双曲线y=mx在笫一象限的交点,且SΔAOB=3.(1)求m的值.(2)求ΔACB的面积.10.某厂现有甲种原料360千克,乙种原料290千克,计划利用这两种原料生产A、B两种产品,共50件.已知生产一件A种产品,需用甲种原料9千克,乙种原料3千克,可获利润700元;生产一件B种产品,需用甲种原料4千克,乙种原料10千克,可获利润1200元.(1)按要求安排A、B两种产品的生产件数,有哪几种方案?请你给设计出来.(2)设生产A、B两种产品获总利润为y(元),其中生产A种产品x件,求y与x之间的函数关系式,并利用函数的性质说明:(1)中哪种生产方案获总利润最大?最大利润是多少元?。
初二数学竞赛讲义一
初二数学竞赛讲义一初二数学竞赛讲义一分式1. 分式有意义的应用例1. 若ab a b +--=10，试判断1111a b -+，是否有意义。
2. 结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。
例2. 解方程：11765556222-++=-+-+x x x x x x3. 在代数求值中的应用例3已知a a 269-+与||b -1互为相反数，求代数式()42222222222a b a b ab a b a ab b a b abb a -++-÷+-++的值。
4 在数学、物理、化学等学科的学习中，都会遇到有关公式的推导，公式的变形等问题。
而公式的变形实质上就是解含有字母系数的方程。
例4. 已知x y y =+-2332，试用含x 的代数式表示y ，并证明()()323213x y --=。
5、中考原题： 例5．已知M x y xy y x yx y x y 222222-=--+-+，则M ＝__________。
例6．已知x x 2320--=，那么代数式()x x x --+-11132的值是_________。
5、题型展示：例7. 当x 取何值时，式子||x x x -++2322有意义？当x 取什么数时，该式子值为零？例8. 求x m n x mn x m n x mn x m x n 222222---+--⋅--()()的值，其中x m n ===-2312。
例9.32148521761543103--+--=--+--x x x x x x x x例10．已知51=+x x , 求1539222++--x x x 的值。
【实战模拟】1. 当x 取何值时，分式2111x x+-有意义？4. 解方程：x x x x x x xx ++-++=++-++214365876.已知43602700x y z x y z xyz --=+-=≠，，，求x y zx y z +--+2的值。
八年级(下)数学竞赛班辅导讲义.docx
八年级（下）数学竞赛班辅导资料（1）原班级：姓名：等腰三角形的性质（ 1）【一】等腰三角形有哪些性？（1）等腰三角形两底角 ____________；（2）等腰三角形具有“三合一”的性；“三”指_____________________________________.(3)称性：等腰三角形是 ______ 称形 .A 【二】例精例 1（1）等腰三角形两个内角的度数之比1:2 ，个等腰三角形底角的度数_______________；45 或 72（ 2）等腰△ ABC的三 a、 b、 c 均整数，且足 a bc b ca 24 ，的三角形共有 ___________个 . 3个例 2如，若AB=AC,BG=BH,AK=KG,∠ BAC的度数 ________________.BCHK36G例 3（2012?淮安）理解如 1，△ ABC中，沿∠ BAC的平分AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分A1B2折叠，剪掉重复部分；⋯；将余下部分沿∠B n A n C 的平分A n B n+1折叠，点B n与点 C 重合，无折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ ABC的好角．小展示了确定∠BAC是△ ABC的好角的两种情形．情形一：如2，沿等腰三角形ABC角∠ BAC的平分 AB1折叠，点 B 与点 C 重合；情形二：如3，沿∠ BAC的平分AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠ B1A1C的平分A1B2折叠，此点B1与点 C重合．探究（1）△ ABC中，∠ B=2∠ C，两次折叠，∠BAC是不是△ ABC的好角？ ________（填“是”或“不是”）．（2）小三次折叠了∠ BAC是△ ABC的好角，探究∠ B 与∠ C（不妨∠ B＞∠ C）之的等量关系．根据以上内容猜想：若 n 次折叠∠ BAC是△ ABC的好角，∠ B 与∠ C（不妨∠ B＞∠ C）之的等量关系_____________________ ．（3）小找到一个三角形，三个角分 15°、 60°、 105°， 60°和 105°的两个角都是此三角形的好角．你完成，如果一个三角形的最小角是 4°，求出三角形另外两个角的度数，使三角形的三个角均是此三角形的好角．分析：（ 1）在小丽展示的情形二中，如图3，根据根据三角形的外角定理、折叠的性质推知∠B=2∠ C；（ 2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠ C+∠ A2B2C=2∠C；根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠ B- 2C=180°①，根据三角形 ABC的内角和定理知∠BAC+∠ B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C；利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：∠B=n∠ C；（3）利用（ 2）的结论知∠ B=n∠ C，∠ BAC是△ ABC的好角，∠ C=n∠ A，∠ ABC是△ ABC的好角，∠ A=n∠ B，∠ BCA是△ ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是4、 172； 8、 168； 16、160； 44、 132；88°、 88°．解答：解：（1）△ ABC中，∠ B=2∠ C，经过两次折叠，∠BAC是△ ABC的好角；理由如下：小丽展示的情形二中，如图3，∵沿∠ BAC的平分线AB1折叠，∴∠ B=∠ AA1B1；又∵将余下部分沿∠B1A1C 的平分线 A1B2折叠，此时点B1与点 C 重合，∴∠ A1B1C=∠ C；∵∠ AA1B1=∠ C+∠ A1B1C（外角定理），∴∠ B=2∠ C，∠ BAC是△ ABC的好角．故答案是：是；（ 2）∠ B=3∠ C；如图所示，在△ ABC中，沿∠ BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线 A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C 的平分线 A2B3折叠，点 B2与点 C 重合，则∠ BAC是△ ABC的好角．证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠ C=∠ A2B2C，∠ A1B1C=∠A1A2B2，∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠ C+∠A2B2C=2∠ C；∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠ B+∠ AA1B1- ∠A1 B1C=∠ BAC+2∠ B-2 ∠C=180°，根据三角形 ABC的内角和定理知，∠ BAC+∠ B+∠C=180°，∴∠ B=3∠ C；由小丽展示的情形一知，当∠B=∠ C 时，∠ BAC是△ ABC的好角；由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠ C 时，∠ BAC是△ ABC的好角；由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠ C 时，∠ BAC是△ ABC的好角；故若经过 n 次折叠∠ BAC是△ ABC的好角，则∠ B 与∠ C（不妨设∠ B＞∠ C）之间的等量关系为∠B=n∠ C；（ 3）由（ 2）知设∠ A=4°，∵∠ C 是好角，∴∠ B=4n°；∵∠ A 是好角，∴∠ C=m∠B=4mn°，其中m、 n 为正整数得4+4n+4mn=180∴如果一个三角形的最小角是4°，三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．点评：本题考查了翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质．难度较大．【三】练一练1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的角36 ，等腰三角形的底角的度数___________.63 或272.如， AA、 BB 分是EAB、 DBC 的平分，若 AA BB AB,BAC 的度数_____.EA C B'B DA 'E, 且 AE=1BD.求：3.如，在△ ABC中，AC=BC,ACB 90,D 是 AC上一点，AE BD 交的延于BD是ABC的角平分 .2AED4. 某数学趣小开展了一次活，程如下：C B ∠ BAC=θ(0 °＜θ＜ 90° ) ．把小棒依次放在两射之，并使小棒两端分落在射AB， AC上．活一：如甲所示，从点A1开始，依次向右放小棒，使小棒与小棒在端点互相垂直，A1A2第 1 根小棒．数学思考：(1)小棒能无限下去？答：______． ( 填“能”或“不能” )(2)11223AA=A A =A A =1．① θ =______度；②若小棒A2n-1 A2n的度a n(n 正整数，如 A1A2=a1，A3A4=a2，⋯)求出此a2，a3的，并直接写出a n( 用含 n 的式子表示 ) ．活二：如乙所示，从点A1开始，用等的小棒依次向右放，其中A1A2第 1 根小棒，且A1A2=AA1．数学思考：(3)若已放了 3 根小棒，θ1=______，θ2=______，θ3=______； ( 用含θ的式子表示 )(4)若只能放 4 根小棒，求θ的范．解：（ 1）∵根据已知条件∠BAC=θ（ 0°＜θ＜ 90°）小棒两端能分落在两射上，（2）①∵ A1A2 =A2A3， A1A2⊥ A2A3，∴∠ A2A1A3=45°，∴∠ AA2A1+∠θ=45°，∵∠ AA2A1=∠ θ，∴∠ θ=22.5 °；②∵ AA=A A=AA=1，AA⊥AA∴AA=， AA=1+，112231223133又∵ A A ⊥A A ，A A ∥AA ，同理； A A ∥A A ，∴∠ A=∠AAA =∠AAA =∠AAA ，∴ AA=A A ，AA=A A 23341234345621436533455623433335235352356522+1)2∴ a =A A =AA=1+， a =AA+AA =a +A A ，∵ A A = a ，∴ a =A A =AA=a + a =(∴ a n=(+1) n-1；（3）∵ A1A2=AA1，∴∠ A1AA2=∠ AA2A1=θ，∴∠ A2A1A3=θ1=θ+θ，∴θ1=2θ同理可得：θ2 =3θ，θ3=4θ；（4）如图：∵A4A3=A4A5，∴∠ A4A3A5=∠ A4A5A3=4θ °，∵根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，当∠ A5A4B 是钝角或直角时，不能继续摆放小棒了，∴当∠ A4A3A5是锐角，∠ A5A4B=5θ是钝角或直角时，只能摆放 4 根小棒，∴ 5θ ≥ 90°， 4θ＜90°，即，∴18°≤ θ＜ 22.5 °．（ 1）能；（2）①∠θ =22.5 °；② a =(n-1；（ 3） 2θ；3θ； 4θ；+1)n（4） 18°≤ θ＜ 22.5 °．本题主要考查了相似三角形的判定和性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与相似三角形的性质相结合八年级（下）数学竞赛班辅导资料（2）原班级：姓名：等腰三角形的性质（ 2）一、例题讲解：如图，已知内角度数的三个三角形，请用直尺和圆规作一条直线，把△ABC分割成两个等腰三角形．C C90°84°24°A 24°A B B36°C104°72°52°BBA C二、练一练1．如图，点 O 是等边△ ABC 内一点．将△ BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转60°得△ ADC ，连接 OD ．已知∠ AOB=110 °．（1）求证：△ COD 是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△ AOD 的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△ AOD 是等腰三角形．解：（ 1）证明：∵ CO=CD ，∠ OCD=60 °，∴△ COD 是等边三角形；（3 分）（2）解：当α=150°，即∠ BOC=150 °时，△ AOD 是直角三角形．（ 5 分）∵△ BOC≌△ ADC ，∴∠ ADC= ∠BOC=150 °，又∵△ COD 是等边三角形，∴∠ODC=60 °，∴∠ ADO=90 °，即△ AOD 是直角三角形；（ 7 分）（3）解：①要使 AO=AD ，需∠ AOD= ∠ ADO ．∵∠ AOD=360 °﹣∠ AOB ﹣∠ COD ﹣α=360 °﹣ 110°﹣ 60°﹣α=190°﹣α，∠ ADO= α﹣ 60°，∴190°﹣α=α﹣ 60°，∴ α=125°；②要使 OA=OD ，需∠ OAD= ∠ ADO ．∵∠ AOD=190 °﹣α，∠ ADO= α﹣ 60°，∴∠ OAD=180 °﹣（∠ AOD+ ∠ADO ）=50 °，∴α﹣ 60°=50 °，∴ α=110°；③要使 OD=AD ，需∠ OAD= ∠ AOD ．∵190°﹣α=50 °，∴α=140 °．综上所述：当α的度数为125°，或 110°，或 140°时，△ AOD 是等腰三角形．（12 分）点评：本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力2．（ 2014?宁波）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成 3 张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．我们有多少种剪法，图 1 是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成 3 个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（ 1）请你在图 2 中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成 3 对全等三角形，则视为同一种）（ 2）△ ABC 中，∠B=30 °，AD 和 DE 是△ ABC 的三分线，点 D 在 BC 边上，点 E 在 AC 边上，且 AD=BD ，DE=CE ，设∠ C=x °，试画出示意图，并求出 x 所有可能的值；（3）如图 3，△ ABC 中， AC=2 ， BC=3 ，∠ C=2 ∠B ，请画出△ ABC 的三分线，并求出三分线的长．考点：相似形综合题；图形的剪拼分析：（ 1） 45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形，则易得一种情况．第二种情形可以考虑题例中给出的方法，试着同样以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底脚被分为45°和 22.5°，再以 22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形．即又一三分线作法．（ 2）用量角器，直尺标准作30°角，而后确定一边为BA ，一边为 BC，根据题意可以先固定BA 的长，而后可确定 D 点，再标准作图实验﹣﹣分别考虑 AD 为等腰三角形的腰或者底边，兼顾 AEC 在同一直线上，易得 2 种三角形 ABC ．根据图形易得 x 的值．（3）因为∠ C=2∠ B ，作∠ C 的角平分线，则可得第一个等腰三角形．而后借用圆规，以边长画弧，根据交点，寻找是否存在三分线，易得如图 4 图形为三分线．则可根据外角等于内角之和及腰相等等情况列出等量关系，求解方程可知各线的长．解答：解：（ 1）如图 2 作图，（2）如图 3 ①、②作△ ABC ．①当 AD=AE 时，∵2x+x=30+30 ，∴ x=20 ．②当 AD=DE 时，∵30+30+2x+x=180 ，∴ x=40 ．（ 3）如图 4， CD、 AE 就是所求的三分线．设∠ B=a，则∠ DCB= ∠ DCA= ∠ EAC=a ，∠ ADE= ∠ AED=2a ，此时△ AEC ∽△ BDC ，△ ACD ∽△ ABC ，设 AE=AD=x ，BD=CD=y ，∵△ AEC ∽△ BDC ，∴ x： y=2： 3，∵△ ACD ∽△ ABC ，∴ 2：x= （ x+y ）： 2，x : y 2 :3，即三分线长分别是和．所以联立得方程组，解得2 : x( x y) :2点评：本题考查了学生学习的理解能力及动手创新能力，知识方面重点考查三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，是一道很锻炼学生能力的题目．八年级（下）数学竞赛班辅导资料（3）原班级：姓名：等腰三角形的判定（ 1）一、知识要点1．等腰三角形的判定方法：（1）两 _____相等的三角形是等腰三角形．简称__________________ ；（ 2）两 _____相等的三角形是等腰三角形．简称______________________ ．2．解题技巧：构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用方法有：（ 1）“角平分线+平行线”构造等腰三角形；（2）“角平分线+垂线”构造等腰三角形；（ 3）用“垂直平分线”构造等腰三角形；（4）用“三角形中角的 2 倍关系”构造等腰三角形．3．等腰三角形中长作的辅助线：（1）底边上的高；（2）底边上的中线；（3）顶角的平分线．二、例题精讲例 1 在△ ABC中 AB=AC ，∠ BAC=80°， O为△ ABC内一点，且∠ OBC=10°，∠ OCA=20° .求∠ BAO的度数.A70°OB C例 2 如图，在△ ABC中， AB=7， AC=11，点 M是 BC的中点， AD是∠ BAC的平分线， MF∥ AD，求 FC的长 .A9FB D M C三、练一练1.如图，已知 Rt △ ABC中，∠ C=90°，∠ BAC=30°，在直线 BC或 AC上取一点 P，使得△ PAB是等腰三角形，则符合条件的P 点有（）C AA.2个B.4个C.6个D.8个2. 如图，△ ABC中， AD平分∠ BAC,AB+BD=AC,求B : C 的值. 2：1A B CB D C2. 如图，在△ ABC 中，BAC BCA44 ,M为△ABC内一点，使得MCA 30 , MAC 16 .求BMC 的度数.（北京市竞赛题）150°BMA C八年级（下）数学竞赛班辅导资料（4）原班级：姓名：等腰三角形的判定（ 2）一、例题精讲两个全等的含 30°， 60°角的三角板 ADE 和三角板 ABC 如图所示放置， E， A ，C 三点在一条直线上，连接 BD ，取 BD 的中点 M ，连接 ME ， MC ．试判断△ EMC 的形状，并说明理由．解：△ EMC 是等腰直角三角形．理由如下：连接MA ．∵∠ EAD=30 °，∠ BAC=60 °，∴∠ DAB=90 °，∵△ EDA ≌△ CAB ，∴ DA=AB ， ED=AC ，∴△ DAB 是等腰直角三角形．又∵M 为 BD 的中点，∴∠MDA= ∠ MBA=45 °， AM ⊥ BD （三线合一），1AM=BD=MD ，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）∴∠EDM= ∠ MAC=105 °，2在△ MDE 和△ CAM 中， ED=AC ，∠ MDE= ∠ CAM ，MD=AM ，∴△ MDE ≌△ MAC ．∴∠ DME= ∠ AMC ，ME=MC ，又∵∠ DMA=90 °，∴∠ EMC= ∠ EMA+ ∠ AMC= ∠ EMA+ ∠ DME= ∠DMA=90 °．∴△ MEC 是等腰直角三角形．二、练一练1．如图 (1)， Rt△ABC 中，∠ ACB=-90 °， CD ⊥AB ，垂足为 D． AF 平分∠ CAB ，交 CD 于点 E，交 CB 于点F（1）求证： CE=CF．（2）将图（ 1）中的△ AD E 沿 AB 向右平移到△ A’D ’E’的位置，使点 E’落在 BC 边上，其它条件不变，如图（ 2）所示．试猜想： BE'与 CF 有怎样的数量关系 ?请证明你的结论．（ 1）证明：略（ 2）解：相等证明：如图，过点 E 作 EG⊥ AC 于 G．又∵AF 平分∠ CAB ， ED⊥ AB ，∴ ED=EG ．由平移的性质可知：D’E’=DE ，∴ D’E’=GE ．∵∠ ACB=90 °．∴∠ ACD+ ∠DCB=90 °[来源:Z|xx|]∵CD⊥AB 于 D．∴∠ B+ ∠ DCB=90 °．∴ ∠ ACD= ∠ B在 Rt△ CEG 与 Rt△ BE’D’中，∵∠ GCE= ∠ B ，∠ CGE= ∠BD ’E’， CE=D ’E’∴△ C EG≌△BE ’D’∴ CE=BE ’由（ 1）可知 CE=CF， (其它证法可参照给分 )．2．如图，已知△BAD 和△ BCE 均为等腰直角三角形，∠BAD= ∠ BCE=90 °，点 M 为 DE 的中点，过点E 与 AD 平行的直线交射线AM 于点 N．（ 1）当 A ， B， C 三点在同一直线上时（如图1），求证： M 为 AN 的中点；（ 2）将图 1 中的△ BCE 绕点 B 旋转，当 A ，B ， E 三点在同一直线上时（如图 2），求证：△ ACN 为等腰直角三角形；（3）将图 1 中△ BCE 绕点 B 旋转到图 3 位置时，（ 2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．DMA B图 3C(1 ）证明：如图1，∵EN∥ AD ，∴∠ MAD= ∠MNE ，∠ ADM= ∠NEM ．∵点 M 为 DE 的中点，∴ DM=EM ．在△ ADM 和△ NEM 中，∴．∴△ ADM ≌△ NEM ．∴ AM=MN ．∴ M 为 AN 的中点．（ 2）证明：如图2，∵△ BAD 和△ BCE 均为等腰直角三角形，∴AB=AD ， CB=CE ，∠ CBE= ∠ CEB=45 °．∵AD ∥ NE，∴∠ DAE+ ∠ NEA=180 °．∵∠ DAE=90 °，∴∠ NEA=90 °．∴∠ NEC=135 °．∵A ， B， E 三点在同一直线上，∴∠ ABC=180 °﹣∠ CBE=135 °．∴∠ ABC= ∠ NEC ．∵△ ADM ≌△ NEM （已证），∴ AD=NE ．∵ AD=AB ，∴ AB=NE ．在△ ABC 和△ NEC 中，∴△ ABC ≌△ NEC ．∴ AC=NC ，∠ ACB= ∠ NCE．∴∠ ACN= ∠ BCE=90 °．∴△ ACN 为等腰直角三角形．（ 3）△ ACN 仍为等腰直角三角形．证明：如图3，此时 A 、 B、 N 三点在同一条直线上．∵AD ∥ EN，∠ DAB=90 °，∴∠ ENA= ∠ DAN=90 °．∵∠ BCE=90 °，∴∠ CBN+ ∠ CEN=360 °﹣ 90°﹣ 90°=180 °．∵ A 、 B、 N 三点在同一条直线上，∴∠ABC+ ∠ CBN=180 °．∴∠ ABC= ∠ NEC ．∵△ ADM ≌△ NEM （已证），∴ AD=NE ．∵AD=AB ，∴ AB=NE ．在△ ABC 和△ NEC 中，N E∴△ ABC ≌△ NEC ．∴ AC=NC ，∠ ACB= ∠ NCE．∴∠ ACN= ∠ BCE=90 °．八年级（下）数学竞赛班辅导资料（5）原班级：姓名：等边三角形（ 1）一、知识要点1．等边三角形的性质：（ 1）三边相等，三角相等，每个角等于60°；（ 2）每条边上的高线、中线、所对角的平分线互相重合．简称“” ；（ 3）等边三角形内任意一点到三边距离和是一个定值，等于一边上的高．2．判定等边三角形的基本方法：（ 1）从边入手，证明三边相等；（2）从角入手，证明三角相等或证明两个角都为60°；（3）从边角入手，有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形．二、例题精讲如图，△ ABC 中，∠ B=60 °，延长 BC 到 D，延长 BA 到 E，使 AE=BD ，连 CE、DE，若 CE=DE ．求证：△ ABC 是等边三角形．EAB C D三、练一练1．如图，一个六边形的每个角都是120°，连续四边的长依次是 2.7, 3,5，2，则该六边形的周长是____． 20.72．如图， P 是等边△ ABC 内部一点，∠ APB 、∠ BPC 、∠ CPA的大小之比是 5:6:7，则以 PA、PB、PC 为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是______________．2:3:4A5232.7PB C3．（2013?北京）在△ ABC 中， AB=AC ，∠ BAC= α（ 0°＜α＜60°），将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60°得到线段 BD．（1）如图 1，直接写出∠ ABD 的大小（用含α的式子表示）；（2）如图 2，∠ BCE=150 °，∠ ABE=60 °，判断△ABE 的形状并加以证明；（3）在（ 2）的条件下，连接 DE，若∠ DEC=45 °，求α的值．解：（ 1）∵ AB=AC ，∠ A= α，∴∠ ABC= ∠ ACB=（180°﹣∠ A）=90°﹣α，∵∠ ABD= ∠ ABC ﹣∠ DBC ，∠ DBC=60 °，即∠ ABD=30 °﹣α；（ 2）△ ABE 是等边三角形，证明：连接AD ， CD ，ED，∵∠ ABE=60 °，∴∠ ABD=60 °﹣∠ DBE= ∠ EBC=30 °﹣α，且△BCD为等边三角形，在△ ABD 与△ ACD 中∴△ ABD≌△ ACD，∴∠ BAD=∠ CAD=∠ BAC=α，∵∠ BCE=150 °，∴∠ BEC=180 °﹣（ 30°﹣α）﹣150°=α=∠ BAD，在△ABD 和△EBC 中∴△ ABD ≌△ EBC，∴ AB=BE ，∴△ ABE 是等边三角形；（3）∵∠ BCD=60 °，∠ BCE=150 °，∴∠ DCE=150 °﹣ 60°=90 °，∵∠ DEC=45 °，∴△ DEC 为等腰直角三角形，∴DC=CE=BC ，∵∠ BCE=150 °，∴∠ EBC=（180°﹣150°）=15°，∵∠ EBC=30 °﹣α=15°，∴ α=30°．4．【探究发现】如图 1，△ ABC 是等边三角形，∠ AEF=60 °， EF 交等边三角形外角平分线 CF 所在的直线于点F，当点 E 是 BC 的中点时，有 AE=EF 成立；【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE 、EF 的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点 E 是直线 BC 上（ B ，C 除外）任意一点时（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立．假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点 E 是线段 BC 上的任意一点”；“点E时线段BC延长线上的任意一点”；“点 E 时线段 BC 反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在图 2 中画出图形，并证明 AE=EF ．解答：证明：如图一，在 B 上截取 AG ，使 AG=EC ，连接 EG，∵△ ABC 是等边三角形，∴AB=BC ，∠ B=∠ ACB=60 °．∵ AG=EC ，∴ BG=BE ，∴△ BEG 是等边三角形，∠BGE=60 °，∴∠ AGE=120 °．∵ FC 是外角的平分线，∠ECF=120 °=∠ AGE ．∵∠ AEC 是△ ABE 的外角，∴∠AEC= ∠ B+ ∠GAE=60 °+∠GAE ．∵∠ AEC= ∠ AEF+ ∠ FEC=60 °+∠ FEC，∴∠ GAE= ∠FEC．在△AGE 和△ECF 中，∴△ AGE ≌△ ECF（ ASA ），∴ AE=EF ；八年级（下）数学竞赛班辅导资料（6）原班级：姓名：等边三角形（ 2）1.背景：某外学小在一次学研中，得到如下两个命：①如 1，在正三角形 ABC中，M、N分是 AC、AB 上的点， BM与 CN相交于点 O，若∠ BON=60°， BM=CN．②如 2，在正方形 ABCD中， M、N 分是 CD、AD上的点， BM与 CN相交于点 O，若∠ BON=90°， BM=CN．然后运用比的思想提出了如下的命：③如 3，在正五形 ABCDE中， M、N 分是 CD、 DE上的点， BM与 CN相交于点 O，若∠ BON=108°，BM=CN．任要求：（1）你从①、②、③三个命中一个行明；（2）你完成下面的探索：①如 4，在正 n（ n≥ 3）形 ABCDEF⋯中， M、N分是 CD、DE上的点， BM与 CN相交于点 O，当∠ BON 等于多少度，BM=CN成立？（不要求明）②如 5，在五形ABCDE中， M、 N 分是 DE、 AE上的点， BM与 CN相交于点 O，当∠ BON=108° ，BM=CN是否成立？若成立，予明；若不成立，明理由．解：（ 1）命①明：在 1 中，∵∠ BON=60°，∴∠ CBM+∠ BCN=60°，∵∠ BCN+∠ACN=60°，∴∠ CBM=∠ ACN，又∵ BC=CA，∠ BCM=∠ CAN=60°，∴△ BCM≌△ CAN，∴ BM=CN，命②，明：在 2 中，∵∠ BON=90°，∴∠ CBM+∠ BCN=90°，∵∠ BCN+∠DCN=90°，∴∠ CBM=∠ DCN，又∵ BC=CD，∠ BCM=∠ CDN=90°，∴△ BCM≌△ CDN，∴ BM=CN，命③ 明：在 3 中，∵∠ BON=108°，∴∠ CBM+∠BCN=108°，∵∠ BCN+∠DCN=108°，∴∠ CBM=∠ DCN，又∵ BC=CD，∠ BCM=∠ CDN=108°，∴△ BCM≌△ CDN，∴ BM=CN；（ 2）①当∠ BON=，BM=CN成立，② BM=CN成立，明：如5， BD、CE，在△ BCD和△ CDE中，∵ BC=CD，∠ BCD=∠ CDE=108°，CD=DE，∴△ BCD≌△ CDE，∴ BD=CE，∠ BDC=∠ CED，∠ DBC=∠ ECD，∵∠ OBC+∠ OCB=108°，∠ OCB+∠ OCD=108°，∴∠ MBC=∠ NCD，又∵∠ DBC=∠ ECD=36°，∴∠ DBM=∠ ECN，∴△ BDM≌△ ECN。
初中数学(初二)竞赛讲义(知识点难点梳理、重点题型分类举一反三)(家教、补习、竞赛专用)
初二数学竞赛讲义重难点有效突破知识点梳理及重点题型举一反三练习专题01 整式的乘除阅读与思考指数运算律是整式乘除的基础，有以下5个公式：，，，，，．学习指数运算律应注意：1．运算律成立的条件；2．运算律中字母的意义：既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者多项式；3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用．多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是：1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位；2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐；3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止．例题与求解【例1】（1）若为不等式的解，则的最小正整数的值为．（“华罗庚杯”香港中学竞赛试题）（2）已知，那么．（“华杯赛”试题）（3）把展开后得，则．（“祖冲之杯”邀请赛试题）（4）若则．（创新杯训练试题）解题思路：对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），目前无法求值，可考虑高次多项式用低次多项式表示；对于（3），它是一个恒等式，即在允许取值范围内取任何一个值代入计算，故可考虑赋值法；对于（4），可考虑比较系数法．【例2】已知，，则等于（）A．2 B．1 C．D．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：为指数，我们无法求出的值，而，所以只需求出的值或它们的关系，于是自然想到指数运算律．【例3】设都是正整数，并且，求的值．（江苏省竞赛试题）解题思路：设，这样可用的式子表示，可用的式子表示，通过减少字母个数降低问题的难度．【例4】已知多项式，求的值．解题思路：等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应系数对应相等，从而可考虑用比较系数法．【例5】是否存在常数使得能被整除？如果存在，求出的值，否则请说明理由．解题思路：由条件可推知商式是一个二次三项式（含待定系数），根据“被除式=除式×商式”，运用待定系数法求出的值，所谓是否存在，其实就是关于待定系数的方程组是否有解．【例6】已知多项式能被整除，求的值．（北京市竞赛试题）解题思路：本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．本题关键是能够通过分析得出当和时，原多项式的值均为0，从而求出的值．当然本题也有其他解法．能力训练A级1．（1）．（福州市中考试题）（2）若，则．（广东省竞赛试题）2．若，则．3．满足的的最小正整数为．（武汉市选拔赛试题）4．都是正数，且，则中，最大的一个是．（“英才杯”竞赛试题）5．探索规律：，个位数是3；，个位数是9；，个位数是7；，个位数是1；，个位数是3；，个位数是9；…那么的个位数字是，的个位数字是．（长沙市中考试题）6．已知，则的大小关系是（）A．B．C．D．7．已知，那么从小到大的顺序是（）A．B．C．D．（北京市“迎春杯”竞赛试题）8．若，其中为整数，则与的数量关系为（）A．B．C．D．（江苏省竞赛试题）9．已知则的关系是（）A．B．C．D．（河北省竞赛试题）10．化简得（）A．B．C．D．11．已知，试求的值．12．已知．试确定的值．13．已知除以，其余数较被除所得的余数少2，求的值．（香港中学竞赛试题）B级1．已知则= ．2．（1）计算：= ．（第16届“希望杯”邀请竞赛试题）（2）如果，那么．（青少年数学周“宗沪杯”竞赛试题）3．（1）与的大小关系是（填“＞”“＜”“＝”）．（2）与的大小关系是：（填“＞”“＜”“＝”）．4．如果则= ．（“希望杯”邀请赛试题）5．已知，则．（“五羊杯”竞赛试题）6．已知均为不等于1的正数，且则的值为（）A．3 B．2 C．1 D．（“CASIO杯”武汉市竞赛试题）7．若，则的值是（）A．1 B．0 C．—1 D．28．如果有两个因式和，则（）A．7 B．8 C．15 D．21（奥赛培训试题）9．已知均为正数，又，，则与的大小关系是（）A．B．C．D．关系不确定10．满足的整数有（）个A．1 B．2 C．3 D．411．设满足求的值．12．若为整数，且，，求的值．（美国犹他州竞赛试题）13．已知为有理数，且多项式能够被整除．（1）求的值；（2）求的值； （3）若为整数，且．试比较的大小．（四川省竞赛试题）专题01 整式的乘除例1(1)(n 2)100＞(63)100，n 2＞216，n 的最小值为15．(2)原式＝x 2(x 2＋x )＋x (x 2 ＋x )－2(x 2＋x ) ＋2005＝ x 2＋x －2＋2005＝2004 (3)令x ＝1时，a 12＋a 11＋a 10＋…＋a 2＋a 1＋a 0＝1， ① 令x ＝－1时，a 12 –a 11＋a l 0－…＋n 2－a l ＋a 0 ＝729 ② 由①＋②得：2(a 12＋a l 0＋a 8＋…＋a 2 ＋a 0)＝730． ∴a 12 ＋a 10 ＋a 8 ＋a 6＋a 4 ＋a 2＋a 0 ＝365．(4)所有式子的值为x 3项的系数，故其值为7．例2 B 提示：25xy ＝2 000y， ①80x y＝2 000x ， ② ①×②，得：(25×80)x y ＝2000x ＋y，得：x ＋ y ＝xy ．例3 设a ＝m 4，b ＝m 5，c ＝n 2，d ＝n 3，由c －a ＝19得，n 2－m 4＝19，即(n ＋m 2) (n －m 2)＝19，因19是质数，n ＋m 2，n －m 2是自然数，且n ＋m 2＞n －m 2，得＝12＝19，解得n ＝10，m ＝3，所以d －b ＝103－35＝757例4 －87 提示：由题意知：2x 2＋3xy －2y 2－x ＋8y －6＝2x 2＋3x y －2y 2＋(2m ＋n )x ＋(2n －m )y ＋m n ．∴mn ＝－62n －m ＝8，解得n ＝3m ＝－2，∴－13＋1＝－87倒5提示：假设存在满足题设条件的p ，q 值，设(x 4＋p x 2＋q )＝(x 2＋2x ＋5)(x 2＋mx ＋n )，即x 4＋p x 2＋q ＝x 4＋(m ＋2)x 3＋(5＋n ＋2m )x 2＋(2n ＋5m )x ＋5n ，得5n ＝q 2n ＋5m ＝0，解得q ＝25p ＝6， 故存在常数p ，q 且p ＝6，q ＝25，使得x 4＋p x 2＋q 能被x 2＋2x ＋5整除．例6解法1 ∵x 2＋x －2＝(x ＋2) (x －1)，∴2x 4－3x 3＋ax 2＋7x ＋b 能被(x ＋2)(x －1)整除，设商是A ．则2x 4－3x 3＋a x 2＋7x ＋b ＝A (x ＋2)(x －l )，则x ＝－2和x ＝1时，右边都等于0，所以左边也等于0．当x ＝－2时，2x 4－3x 3＋a x 2＋7x ＋b ＝32＋24＋4a －14＋b ＝4a ＋b ＋42＝0， ①当x ＝1时， 2x 4－3x 3＋a x 2＋7x ＋b ＝2－3＋a ＋7＋b ＝a ＋b ＋6＝0． ② ①－②，得3a ＋36＝0，∴ a ＝－12， ∴ b ＝－6－a ＝6． ∴b a ＝6－12＝－2解法2 列竖式演算，根据整除的意义解∵2x 4－3x 3＋a x 2＋7x ＋b 能被x 2＋x －2整除，∴＝0－12－a ＝0，即b ＝6a ＝－12，∴b a ＝－2A 级1．(1) －5 (2)53 2．8 3．7 4．6 5．7 9 6．A 7．D 提示：a ＝(25)11，b －(34)11，c ＝(53)11，d ＝(62)11 8．A 9．B 10．C 11．4800 12．a ＝4．b ＝4，c ＝113． 提示：令x 3 ＋k x 2＋3＝(x ＋3) (x 2＋a x ＋6)＋r 1，x 3＋kx 2＋3＝( x ＋1) (x 2＋cx ＋d )＋r 2，令x ＝－3，得r 1＝9k －24．令x ＝－1，得r 2＝k ＋2，由9k －24＋2＝k ＋2， 得k ＝3．B 级1． 1251892． (1)499 提示：原式＝19987×20002000＝19987×20003＝499(2)123．(1) ＜ 1516 ＜1615＝264，3 313 ＞3213＝265 ＞264．(2) ＞ 提示：设32 000＝x ．4．4 5．512 提示：令x ＝±2． 6．C 提示：由条件得a ＝c －3 ，b ＝c 2 ，abc ＝c －3·c 2·c ＝1 7．C 8．D9．C 提示：设a 2＋a 3＋…a 1996＝x ，则M ＝（a 1＋x ）(x ＋a 1997)＝a 1x ＋x 2＋a 1a 1997＋a 1 997x ．N ＝(a 1＋x ＋a 1 997)x ＝a l x ＋x 2＋a 1997x ．M ＝N ＝a 1a 1997＞0． 10．D11．由a x2＋by2＝7，得(ax2＋b y2)(x＋y)＝7(x＋y)，即ax3－a x2y＋b x y2＋by3＝7(x＋y)，(a x3＋by3)－xy(ax＋by)－7(x＋y)．∴16＋3xy＝ 7(x＋y)．①由a x3＋by3＝16，得(ax3＋by3)(x＋y) ＝16(x＋y)，即ax4 ＋a x3 y＋b x y3＋by4 ＝16(x＋y)，（a x4＋by4)＋xy(a＋b)＝16(x＋y）．∴42＋7xy＝16(x＋y）．②由①②可得，x＋y＝－14，xy＝－38．由a＋b＝42，得（a＋b）（x＋y）＝42×（－14），（a＋b）＋xy（a＋b）＝－588，＋16×（－38）＝－588．故＝20．12．两边同乘以8得＋＋＋＝165．∵x＞y＞z＞w且为整数，∴x＋3＞y＋3＞z＋3＞w＋3，且为整数．∵165是奇数，∴w＋3＝0，∴w＝－3．∴＋＋＝164．∴＋＋＝41，∴z＋1＝0，∴z＝－1．∴＋＝40．两边都除以8得：＋＝5．∴y－2＝0，∴y＝2．∴＝4．∴x－2＝2，∴x＝4．∴＝＝1．13．（1）∵（x－1）（x＋4)＝＋3x－4，令x－1＝0，得x＝1；令x＋4＝0，得x＝－4．当x＝1时，得1＋a＋b＋c＝0；①当x＝－4时，得－64＋16a－4b＋c＝0．②②－①，得15a－5b＝65，即3a－b＝13．③①＋③，得4a＋c＝12．（2）③－①，得2a－2b－c＝14．（3）∵c≥a＞1，4a＋c＝12，a，b，c为整数，∴1＜a≤，则a＝2，c＝4．又a＋b＋c＝－1，∴b＝－7，．∴c＞a＞b．专题02 乘法公式阅读与思考乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：1．熟悉每个公式的结构特征；2．正用即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用；3．逆用即将公式反过来逆向使用；4．变用即能将公式变换形式使用；5．活用即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．例题与求解【例1】1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是．（全国初中数字联赛试题）解题思路：因，而的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整除．【例2】（1）已知满足等式，则的大小关系是( ) 14．B．C．D．（山西省太原市竞赛试题）（2）已知满足，则的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5（河北省竞赛试题）解题思路：对于（1），作差比较的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．【例3】计算下列各题：（1）；（天津市竞赛试题）（2）；（“希望杯”邀请赛试题）（3）．解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征．【例4】设，求的值．（西安市竞赛试题）解题思路：由常用公式不能直接求出的结构，必须把表示相关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果．【例5】观察：（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；（2）根据（1），计算的结果（用一个最简式子表示）．（黄冈市竞赛试题）解题思路：从特殊情况入手，观察找规律．【例6】设满足求：（1）的值；（2）的值．（江苏省竞赛试题）解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．能力训练A级1．已知是一个多项式的平方，则．（广东省中考试题）2．数能被30以内的两位偶数整除的是．3．已知那么．（天津市竞赛试题）4．若则．5．已知满足则的值为．（河北省竞赛试题）6．若满足则等于．7．等于（）A．B．C．D．8．若，则的值是（）A．正数B．负数C．非负数D．可正可负9．若则的值是（）A．4 B．19922 C．21992 D．41992（“希望杯”邀请赛试题）10．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？（“CASIO”杯全国初中数学竞赛试题）11．设，证明：是37的倍数．（“希望杯”邀请赛试题）12．观察下面各式的规律：写出第2003行和第行的式子，并证明你的结论．B级1．展开式中的系数，当1，2，3…时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图），借助“杨辉三角”求出的值为．（《学习报》公开赛试题）2．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13，9，3的对面的数分别为，则的值为．（天津市竞赛试题）3．已知满足等式则．4．一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为．（全国初中数学联赛试题）5．已知，则多项式的值为（）A．0 B．1 C．2 D．36．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（）A．16种B．14种C．12种D．10种（北京市竞赛试题）7．若正整数满足，则这样的正整数对的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4（山东省竞赛试题）8．已知，则的值是（）A．3 B．9 C．27 D．81（“希望杯”邀请赛试题）9．满足等式的整数对是否存在？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．10．数码不同的两位数，将其数码顺序交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方数，求所有这样的两位数．（天津市竞赛试题）11．若，且，求证：．12．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如因此4，12，20这三个数都是神秘数．（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为和（其中取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正值）是神秘数吗？为什么？（浙江省中考试题）专题02 乘法公式例1 73 提示：满足条件的整数是奇数或是4的倍数．例2 （1）B x－y＝（＋4a＋a）＋（－8b＋16）＝＋≥0，x≥y．（2）B 3个等式相加得：＋＋＝0，a＝3，b＝－1，c＝1．a＋b ＋c＝3－1＋1＝3．例3 （1）（2）4 （3）－5050例4 提示：由a＋b＝1，＋＝2得ab＝－，利用＋＝（＋）（a＋b)－ab(＋)可分别求得＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，＋＝．例5 （1）设n为自然数，则n（n＋1)(n＋2)(n＋3）＋1＝（2）由①得，2000×2001×2002×2003＋1＝．例6（1）设－②，得ab＋b c＋a c＝，∵－3ab c＝（a＋b＋c）（－ab－b c－a c），∴ab c＝（）－（a＋b＋c）（－ab－b c－a c）＝×3－×1×（2＋）＝．（2）将②式两边平方，得∴＝4－2＝4－2＝．A级1．0或6 2．26，28 3．2 4．40 5．34 6．0 7．D 8．A 9．C10.原有136或904名学生．设m，n均为正整数，且m＞n，①－②得（m＋n）（m－n）＝240＝．，都是8的倍数，则m，n能被4整除，m＋n，m－n均能被4整除．得或，∴或8x＝－120＝904或8x＝－120＝136．11.因为a＝＋－2＝（－1）＋（－1）＝999 999 999＋37×（＋38＋1），而999 999 999＝9×111 111 111＝9×3×37 037 037＝27×37×1 001 001＝37×（27×1 001 001）．所以37|999 999 999，且37|37×（＋38＋1），因此a是37的倍数．12.第2003行式子为：＝．第n行式子为：＝．证明略B级1．1．0942．76 提示：由13＋a＝9＋b＝3＋c得a－b＝－4，b－c＝－6，c－a＝103．13 4．156 5．D6.C 提示：（x＋y）（x－y）＝2009＝7×7×41有6个正因数，分别是1，7，41，49，287和2009，因此对应的方程组为：故（x，y）共有12组不同的表示．7．B 8．C9．提示：不存在符合条件的整数对（m，n），因为1954不能被4整除．10．设所求两位数为，由已知得＝（k为整数），得而得或解得或，即所求两位数为65，5611. 设, 则由得③②③, 得, 即或分别与联立解得或12. (1), 故28和2012都是神秘数（2）为4的倍数（3）神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数. ,故两个连续奇数的平方差不是神秘数专题3 和差化积----因式分解的方法（1）阅读与思考提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法，有公因式的先提公因式，分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止．一些复杂的因式分解问题经常用到以下重要方法：1．换元法：对一些数、式结构比较复杂的多项式，可把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新字母代替，从而可达到化繁为简的目的．从换元的形式看，换元时有常值代换、式的代换；从引元的个数看，换元时有一元代换、二元代换等．2．拆、添项法：拆项即把代数式中的某项拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，因式分解中进行拆项与添项的目的是相同的，即经过拆项或添项后，多项式能恰当分组，从而可以运用分组分解法分解．例题与求解【例l】分解因式___________．（浙江省中考题）解题思路：把看成一个整体，用一个新字母代换，从而简化式子的结构．【例2】观察下列因式分解的过程：（1）；原式＝；（2）．原式＝．第（1）题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式．仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：（1）；（西宁市中考试题）（2）．（临沂市中考试题）解题思路：通过分组，使每一组分组因式后，整体能再分解，恰当分组是关键，经历“实验－－失败－－再试验－－再失败－－直至成功”的过程．【例3】分解因式（1）；（重庆市竞赛题）（2）；（“缙云杯”邀请赛试题）（3）．（“五羊杯”竞赛试题）解题思路：（1）式中系数较大，直接分解有困难，不妨把数字用字母来表示；（2）式中、反复出现，可用两个新字母代替，突出式子的特点；（3）式中前两项与后一项有密切联系．【例4】把多项式因式分解后，正确的结果是（）．A． B．C． D．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：直接分组分解困难，可考虑先将常数项拆成几个数的代数和，比如－3＝－4＋1．【例5】分解因式：（1）；（扬州市竞赛题）（2）；（请给出多种解法）（“祖冲之杯”邀请赛试题）（3）．解题思路：按次数添上相应的项或按系数拆项法分解因式的基本策略．【例6】分解因式：．（河南省竞赛试题）解题思路：拆哪一项？怎样拆？可有不同的解法．能力训练A 级1．分解因式：（1）＝___________________________．（泰安市中考试题）（2）＝__________________________．（威海市中考试题）2．分解因式：（1）＝_________________________；（2）＝_____________________________．3．分解因式：＝____________________________．4．多项式与多项式的公因式是____________________．5．在1~100之间若存在整数，使能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的有_______个．6．将多项式分解因式的积，结果是（）．A． B．C． D．7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是（）．A． B．C． D．（“希望杯”邀请赛试题）8．把分解因式，其中一个因式是（）．A． B． C． D．9．多项式有因式（）．A． B．C． D．（“五羊杯”竞赛试题）10．已知二次三项式可分解成两个整系数的一次因式的积，那么（）．A．一定是奇数 B．一定是偶数C．可为奇数也可为偶数 D．一定是负数11．分解因式：（1）；（2）；（3）；（“祖冲之杯”邀请赛试题）（4）；（重庆市竞赛试题）（5）；（6）．12．先化简，在求值：，其中，．B 级1．分解因式：＝_______________．（重庆市竞赛试题）2．分解因式：＝_____________．（“五羊杯”竞赛试题）3．分解因式：＝_________________________．（“希望杯”邀请赛试题）4．分解因式：＝______________________．（“五羊杯”竞赛试题）5．将因式分解得（）．A． B．C． D．（陕西省竞赛试题）6．已知是△ABC三边的长，且满足，则此三角形是（）．A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．不能确定7．的因式是（）．A． B． C． D． E.（美国犹他州竞赛试题）8．分解因式：（1）；（湖北省黄冈市竞赛试题）（2）；（江苏省竞赛试题）（3）；（陕西省中考试题）（4）；（“祖冲之杯”邀请赛试题）（5）；（“五羊杯”竞赛试题）（6）．（太原市竞赛试题）9．已知乘法公式：利用或者不利用上述公式，分解因式：．（“祖冲之杯”邀请赛试题）10．分解因式：（1）；（2）；（3）．11．对方程，求出至少一组正整数解．（莫斯科市竞赛试题）12．已知在△ABC中，，求证：．（天津市竞赛试题）专题03 和差化积-------因式分解的方法(1)例1.例2. (1) 原式(2) 原式例3.(1)(2)(3)例4. D例5.(1)提示: 原式(2) 提示: 原式(3) 提示: 原式例6. 解法1原式解法2 原式A级1. (1)(2)2. (1)(2)3.4.5. 96. D7. A8. D9. A10. A11. (1)提示: 令(2)(3) \(4) 提示: 原式(5) 提示: 原式(6)12. 原式当原式B 组1. (1)(2)3.5. D6. B7. A 提示: 原式8. (1)(2) 提示: 令(3)(4) 提示: 原式(5)(6)9. 由公式有10. (1)(2)(3)11. 有或解得或12.是三角形三边长,由条件只有,故专题04 和差化积----因式分解的方法（2）阅读与思考因式分解还经常用到以下两种方法1．主元法所谓主元法，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式按降幂排列重新整理成关于这个字母的多项式，使问题获解的一种方法．2．待定系数法即对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出一个或几个待定的字母系数，把所求问题用式子表示，然后再利用已知条件，确定或消去所设系数，使问题获解的一种方法，用待定系数法解题的一般步骤是：（1）在已知问题的预定结论时，先假设一个等式，其中含有待定的系数；（2）利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；（3）解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构中去，得出需求问题的解．例题与求解【例l】因式分解后的结果是（）． A． B．C． D．（上海市竞赛题）解题思路：原式是一个复杂的三元二次多项式，分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母的多项式并按降幂排列，改变原式结构，寻找解题突破口．【例2】分解因式：（1）；（“希望杯”邀请赛试题）（2）．（天津市竞赛题）解题思路：两个多项式的共同特点是：字母多、次数高，给分解带来一定的困难，不妨考虑用主元法分解．【例3】分解因式．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：因的最高次数低于的最高次数，故将原式整理成字母的二次三项式．【例4】为何值时，多项式有一个因式是（“五羊杯”竞赛试题）解题思路：由于原式本身含有待定系数，因此不能先分解，再求值，只能从待定系数法入手．【例5】把多项式写成一个多项式的完全平方式.（江西省景德镇市竞赛题）解题思路：原多项式的最高次项是，因此二次三项式的一般形式为，求出即可．【例6】如果多项式能分解成两个一次因式，的乘积（为整数），则的值应为多少？（江苏省竞赛试题）解题思路：由待定系数法得到关于的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出的值．能力训练A 级1．分解因式：＝___________________________．（“希望杯”邀请赛试题）2．分解因式：＝_______________________（河南省竞赛试题）3．分解因式：＝____________________________．（重庆市竞赛试题）4．多项式的最小值为____________________．（江苏省竞赛试题）5．把多项式分解因式的结果是（）A． B．C． D．6．已知能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数的个数是（）．A．3 个B．4 个C．5 个D．6个7．若被除后余3，则的值为（）．A．2 B．4 C．9 D．10（“CASIO杯”选拔赛试题）8．若，，则的值是（）．A． B． C． D．0（大连市“育英杯”竞赛试题）9．分解因式：（1）；（吉林省竞赛试题）（2）；（昆明市竞赛试题）（3）；（天津市竞赛试题）（4）；（四川省联赛试题）（5）（天津市竞赛试题）10．如果能够分割成两个多项式和的乘积（为整数），那么应为多少？（兰州市竞赛试题）15．已知代数式能分解为关于的一次式乘积，求的值．（浙江省竞赛试题）B 级1．若有一个因式是，则＝_______________．（“希望杯”邀请赛试题）2．设可分解为一次与二次因式的乘积，则＝_____________．（“五羊杯”竞赛试题）3．已知是的一个因式，则＝________________________．（“祖冲之杯”邀请赛试题）4．多项式的一个因式是，则的值为__________．（北京市竞赛试题）5．若有两个因式和，则＝（）．A．8 B．7 C．15 D．21 E．22（美国犹他州竞赛试题）6．多项式的最小值为（）．A．4 B．5 C．16 D．25（“五羊杯”竞赛试题）7．若（为实数），则M的值一定是（）．A．正数B．负数C．零D．整数(“CASIO杯”全国初中数学竞赛试题）8．设满足，则＝（）A．（2，2）或（－2，－2）B．（2，2）或（2，－2）C．（2，－2）或（－2，2）D．（－2，－2）或（－2，2）（“希望杯”邀请赛试题）9．为何值时，多项式能分解成两个一次因式的积？（天津市竞赛试题）10．证明恒等式：．（北京市竞赛试题）11．已知整数，使等式对任意的均成立，求的值．（山东省竞赛试题）12．证明：对任何整数，下列的值都不会等于33．（莫斯科市奥林匹克试题）专题04 和差化积-------因式分解的方法(2)例1. A 提示: 将原式重新整理成关于的二次三项式例2. (1) 提示: 原式(2) 提示: 原式例3. 原式例 4. 提示: 可设原式展开比较对应项系数得解得k＝12．例5原式＝．例6设x2－（a＋5）x＋5a－1＝（x＋b）（x＋c）＝x2＋（b＋c）x＋bc．∴①×5＋2得bc＋5（b＋c）＝－26，bc＋5（b＋c）＋25＝－1，（b＋5）（c＋5）＝－1．∴或∴或故a＝5．A级1．（3a＋2b－c）（3a－2b＋c）2．（x＋3y）（x＋2y＋1）3．（x＋y＋1）（x－y＋3）4．－185．C6．D7．D8．D9．（1）（2a＋b）（a－b＋c）；（2）（a＋c－2b）2；（3）（x－2）（x2－x＋a）；（4）（x－2y＋3）（2x－3y－4）；（5）（x＋1）（y＋1）（x－1）（y－1）．10．提示：由题意得①×4＋②，得（b＋4）（c＋4）＝－1，推得或故a＝4．11．∵x2－3xy－4y＝（x＋y）（x－ 4y），∴可设原式＝（x＋y＋m）（x－4y＋n），展开比较对应项系数得b＝－6或9．B级1．k＝－52．－2提示：原式＝x（x2＋3x－k）－2y（x＋2），令x＝－2．3．5提示：令原式＝（x－y＋4）·A，取一组x，y的值代入上式．4．－35．C提示：x＝－1，x＝－2是方程x3＋ax2＋bx＋8＝0的解．6．C提示：原式＝（x－2y）2＋（2x＋3）2＋167．A提示：原式＝2（x－2y）2＋（x－2）2＋（y＋3）2≥0，且这三个数不能同时为零，M ＞0．8．C9．k＝－3 提示：因x2＋3x＋2＝（x＋1）（x＋2），故可令原式＝（x＋my＋1）·（x十ny＋2），展开比较对应项系数求出k．10．提示：左边＝（a2＋b2）2－2a2b2＋（a2＋b2＋2ab）2＝（a2＋b2）2－2a2b2＋（a2＋b2）2＋4ab（a2＋b2）＋4a2b2＝2（a2＋b2）＋4ab（a2＋b2）＋2a2b2＝2（a2＋b2＋ab）2＝右边．11．将原等式展开x2＋（a＋b＋c）x＋ab－l0c＝x2－10x－11．∴①×10＋②得ab＋10a＋10b＝－111．∴（a＋10）（b＋10）＝－11．∴或或或∴或或或代入①得c＝0或20．12．原式＝（x5＋3x4y）－（5x3y＋15x2y3）＋（4xy4＋12y5）＝x4（x＋3y）－5x2y2（x＋3y）＋4y4（x＋3y）＝（x＋3y）（x4－5x2y2＋4y2）＝（x＋3y）（x2－4y2）＝（x＋3y）（x＋y）（x－y）（x＋2y）（x－2y）．当y＝0时，原式＝x5≠33;当y≠0时，x＋3y，x－y，x－2y，x＋2y，x＋y互不相同，而33不可能分解为4个以上不同因数的积，所以，当x取任意整数，y取不为0的任意整数，原式≠33．专题05 和差化积——因式分解的应用阅读与思考：因式分解是代数变形的有力工具，在以后的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，其应用主要体现在以下几个方面：1．复杂的数值计算；2．代数式的化简与求值；3．简单的不定方程（组）；4．代数等式的证明等.有些多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉这些结果：1. ;2. ;3. ；4.；5. ．例题与求解【例1】已知，，那么的值为___________ .（全国初中数学联赛试题）解题思路：对已知等式通过因式分解变形，寻求a，b之间的关系，代入关系求值．【例2】a，b，c是正整数，a＞b，且，则等于( ).A. －1 B．－1或－7 C．1 D.1或7（江苏省竞赛试题）解题思路：运用因式分解，从变形条件等式入手，在字母允许的范围内，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称代数式的恒等变形，它是研究代数式、方程和函数的重要工具，换元、待定系数、配方、因式分解又是恒等变形的有力工具．求代数式的值的基本方法有；(1)代入字母的值求值；(2)代入字母间的关系求值；(3)整体代入求值．【例3】计算：(1) （“希望杯”邀请赛试题）（2）（江苏省竞赛试题）解题思路：直接计算，则必然繁难，对于(1)，不妨用字母表示数，通过对分子、分母分解因式来探求解题思路；对于(2)，可以先研究的规律．【例4】求下列方程的整数解．(1); （上海市竞赛试题）(2). （四川省竞赛试题）解题思路：不定方程、方程组没有固定的解法，需具体问题具体分析，观察方程、方程组的特点，利用整数解这个特殊条件，从分解因式入手．解不定方程的常用方法有：(1)穷举法； (2)配方法； (3)分解法； (4)分离参数法．用这些方程解题时，都要灵活地运用质数合数、奇数偶数、整除等与整数相关的知识.【例5】已知，，求下列各式的值：(1) ； (2) ； (3)．解题思路：先分解因式再代入求值.【例6】一个自然数恰等于另一个自然数的立方，则称自然数为完全立方数，如27＝33，27就是一个完全立方数．若＝19951993×199519953－19951994×199519923，求证：是一个完全立方数．（北京市竞赛试题）解题思路：用字母表示数，将分解为完全立方式的形式即可．能力训练A 级1. 如图，有三种卡片，其中边长为的正方形卡片1张，边长分别为，的长方形卡片6张，边长为的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 ________．（烟台市初中考试题）2．已知，则的值为__________．（江苏省竞赛试题）3．方程的整数解是__________．（“希望杯”邀请赛试题）4. 如果是完全平方式，那么的值为__________．（海南省竞赛试题）5. 已知()，则的值是( )．A．2， B．2 C． D．6．当，的值为( )．A. －1 B．0 C．2 D．17．已知，，则M与N的大小关系是( )．A. M＜N B．M＞N C．M＝N D．不能确定（“希望杯”邀请赛试题）8．为某一自然数，代入代数式中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是( )．A. 388944B.388945C.388954D.388948（五城市联赛试题）9．计算：(1) （北京市竞赛试题）(2) (安徽省竞赛试题)10. 一个自然数恰好等于另一个自然数的平方，则称自然数为完全平方数，如64＝82，64就是一个完全平方数，若＝19982＋19982×19992＋19992，求证：是一个完全平方数．（北京市竞赛试题）16．已知四个实数，，，，且，，若四个关系式，，，同时成立.(1)求的值；(2)分别求，，，的值．（湖州市竞赛试题）B 级1．已知是正整数，且是质数，那么____________ .（“希望杯”邀请赛试题）2．已知三个质数的乘积等于这三个质数的和的5倍，则＝________ .（“希望杯”邀请赛试题）3．已知正数，，满足，则＝_________ . （北京市竞赛试题）4．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取＝9，＝9时，则各个因式的值是：，于是就可以把“0181 62”作为一个六位数的密码，对于多项式，取＝10，＝10时，用上述方法产生的密码是：__________．（写出一个即可）．（浙江省中考试题）5．已知，，是一个三角形的三边，则的值( )．A.恒正 B．恒负 C．可正可负 D．非负(太原市竞赛试题)6．若是自然数，设，则( )．A. 一定是完全平方数 B．存在有限个，使是完全平方数C. 一定不是完全平方数 D．存在无限多个，使是完全平方数7．方程的正整数解有( )组．A.3 B．2 C．1 D．0（“五羊杯”竞赛试题）8．方程的整数解有( )组．A.2 B．4 C．6 D.8（”希望杯”邀请赛试题）9．设N＝695＋5×694＋10×693＋10×692＋5×69＋1.试问有多少个正整数是N的因数？（美国中学生数学竞赛试题）10．当我们看到下面这个数学算式时，大概会觉得算题的人用错了运算法则吧，因为我们知道．但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我们还可以写出任意多个这种算式：，，，，…你能发现以上等式的规律吗？11.按下面规则扩充新数：已有，两数，可按规则扩充一个新数，而以，，三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…每扩充一个新数叫做一次操作. 现有数1和4，求：(1) 按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；(2) 能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由．（重庆市竞赛试题）12.设，，为正整数．被整除所得的商分别为，.(1)若，互质，证明与互质；(2)当，互质时．求的值；( 3)若，的最大公约数为5，求的值．（江苏省竞赛试题）。
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八年级数学竞赛专题讲义八年级数学竞赛例题专题讲解：坐标平面上的直线阅读与思考我们知道,任意一个一次函数的图象都是平面上的一条直线,那么,是不是平面上的任意一条直线都是某个一次函数的图象呢？请读者思考.一次函数、二元一次方程、直线三者有着紧密的联系,我们既可以用函数的方法来处理方程的问题,也可以从方程的观点来讨论函数；既可以用坐标平面上的直线来表示一次函数与二元一次方程,也可以用方程和函数的思想来研究直线的性质,以及直线与直线之间的关系.数形结合是解函数问题的重要思想方法,它包括两方面内容：（1）由数定形即通过函数解析式的系数符号,确定图象的大致位置.（2）由形导数即从给定的函数图象上获得解的信息,如图象的大致位置；确定解析式中系数符号；图象上的点的坐标等.一次函数的图象是一条直线,对于实际问题,由于自变量的取值范围受实际意义的限制,因此,作出的函数图象是常见直线的一部分,相应函数值就有最大值或最小值.一次函数是表示日常生活中匀速变化的两个变量之间关系的数学模型,是最基本的函数,有着广泛的应用价值. 运用一次函数解题时应注意：1. 一次函数的图象是一条直线.2. 函数解析式y kx b=+中的系数符号,确定图象的大致位置及y随x变化的性质.(0,0)k b>>(0,0)k b><(0,0)k b<>(0,0)k b<<3. 确定一次函数解析式,通常需要两个独立的条件.4. 一次函数与二元一次方程有着密切的联系,任意一个一次函数y kx b=+都可以看做是一个关于x,y的二元一次方程0kx y b-+=；反过来,任意一个二元一次方程0ax by c++=,当0b≠时,可化为形如a cy xb b=--的函数形式.例题与求解【例1】（1）如图,已知A 点坐标为(5,0),直线(0)y x b b =+>与y 轴交于点B ,连接AB ,75α∠=︒,则b = .（苏州市中考试题）（2）一次函数y ax b =+的图象l 1关于直线y x =-轴对称的图象l 2的函数解析式是 .（太原市竞赛试题）解题思路：对于（1）,先求出相应函数解析式；对于（2）,l 1与x 轴、y 轴交点的坐标分别为(,0)bA a-,(0,)B b ,求出A ,B 两点分别关于直线y x =-对称点的坐标,这是解题的关键.【例2】已知0abc ≠,并且a b b c c ap c a b+++===,则直线y px p =+一定通过（ ） A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限（全国初中数学竞赛试题）解题思路：求出p 的值,大致画出函数图象位置,从而作出判断.【例3】如图,△AOB 为正三角形,点B 的坐标为(2,0),过点C (2,0)-作直线l 交AO 于D ,交AB 于E ,且使△ADE 和△DCO 的面积相等,求直线l 的函数解析式.（太原市竞赛试题）解题思路：由ADE DCO S S =△△得AOB CBE S S =△△,设法求出E 点的坐标.【例4】某科技公司在甲地、乙地分别生产了17台、15台同一种型号的检测设备,全部运往大运会赛场A,B两馆,其中运往A馆18台、运往B馆14台. 运往A,B两馆的运费如下表：（1）设甲地运往的设备有x台,请填写下表,并求出总运费y（元）与x（台）的函数关系式；（2）要使总运费不高于20200元,请你帮助该公司设计调配方案,并写出有哪几种方案；（3）当x为多少时,总运费最小,最小值是多少？（深圳市中考试题）解题思路：将设计方案转化为求不等式组的整数解,为此需求出自变量的取值范围.当一次函数图象与两坐标轴有交点时,就与直角三角形联系在一起. 求两交点坐标并能发掘隐含条件是解相关综合题的基础.当自变量受限制时,一次函数图象可能是射线、线段、折线或点. 当一次函数自变量取值受限制时,存在最大值与最小值,根据图象求最值直观明了.【例5】已知长方形ABCO,O为坐标原点,B的坐标为(8,6),A,C分别在坐标轴上,P是线段BC 上的动点,设PC m=,已知点D在第一象限且是直线26=+上的一点,若△APD是等腰直角三y x角形.（1）求点D的坐标；（2）直线26=+向右平移6个单位后,在该直线上是否存在点D,使△APD是等腰直角三y x角形？若存在,请求出这些点的坐标；若不存在,请说明理由.（浙江省中考试题）解题思路：构造全等三角形,注重坐标与线段的转化,并由动点讨论,这是解本题的关键.例5颠覆了传统意义上的动点问题与存在性问题,探索过程是尝试画图,找到可能存在的点,再计算验证. 综合了坐标、方程、函数、矩形、特殊三角形、全等三角形等丰富的知识,渗透了分类讨论、数形结合等思想方法.【例6】如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图,乙槽中有一圆柱体铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）. 现将甲槽中的水匀速注人乙槽,甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息,解答下列问题：甲乙（1）图2中折线ABC表示槽中水的深度与注水时间之间的关系,线段DE表示槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选塡“甲”或“乙”）,点B的纵坐标表示的实际意义是；（2）注水多长时间时,甲、乙两个水槽中水的深度相同？（3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计）,求乙槽中铁块的体积；（4）若乙槽中铁块的体积为112立方厘米,求甲槽底面积（壁厚不计）．（直接写出结果）（扬州市中考试题）解题思路：观察乙槽的特征可知,水面上升速度应是先快后慢,图象的“转折点”即对应容器的“水面刚好漫过铁块”这个时刻,由此确定,图象与器具的对应关系. 对于（3）、（4）,根据注水时间与注水速度求解,而解题的关键是挖掘出隐含信息.例6是图象信息题. 函数图象以直观、形象的特征融合了显性与隐性的信息,解题的关键是获取数据、数量关系信息,并能整合信息,还原到问题的情境之中.能力训练A 级1. 已知a b c a b c a b ck c b a+--+-++===,296n n +=,则关于自变量x 的一次函数y kx m n =++的图象一定经过第 象限.（湖北省黄冈市竞赛试题）2. 某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李,如果超过规定,则需要购买行李票,其图象如图所示,旅客最多可免费携带行李 千克.（南京市中考试题）3. 如图,一次函数y kx b =+的图象经过A ,B 两点,则△AOC 的面积为.行李重量行李票费用（第2题） （第3题） （第4题）4. 如图,直线122y x =+与两坐标轴分别交于A ,B 两点,直线BC 与直线AB 垂直,垂足为B ,则直线BC 所对应的函数解析式为 .5. 某市为了鼓励节约用水,按以下规定收取水费：（1）每户每月用水量不超过20m 3,则每立方米水费1.2元；（2）每户每月用水量超过20m 3,则超过的部分每立方米水费2元. 设某户一个月所交水费为y （元）,用水量为x （m 3）,则y 与x 的函数关系用图象表示为（ ）3)3)3)3)A B C D（荆州市中考试题）6. 下列图象中,不可能是关于x的一次函数(3)y mx m=--的图象是（）（北京市中考试题）7. 如图,点A,B,C在一次函数2y x m=-+的图象上,它们的横坐标依次为1-、1、2,分别过这些点作x轴与y轴的垂线,则图中阴影部分的面积之和是（）A.1B.3C.3(1)m- D.3(2)2m-（宁波市中考试题）8. 点(4,0)A-,(2,0)B是坐标平面上两定点,C是122y x=-+的图象上的动点,则满足上述条件的直角△ABC可以画出（）A.1个B.2个C.3个D.4个（北京市竞赛试题）9. 随着我国人口增长速度的减慢,小学入学儿童数量有所减少,下表中的数据近似地呈现了某地区入学儿童人数的变化趋势. 试用你学过的函数知识解决下列问题：（1）求入学儿童人数y（人）与年份x（年）的函数关系式；（2）利用所求函数关系式,预测该地区从哪一年起入学儿童的人数不超过1000人.（沈阳市中考试题）10. 已知直线26x y k-=-+和341x y k+=+,若它们的交点在第四象限.（1）求k的取值范围；（2）若k为非整数,点A的坐标为(2,0),点P在直线26x y k-=-+上,求使△P AO为等腰三角形的点P的坐标.（大连市中考试题）11. 如图,已知直线2y x=-+与x轴,y轴分别交于点A和点B,另一直线(0)y kx b k=+≠经过点(1,0)C,且把△AOB分成两部分.（1）若△AOB被分成的两部分面积相等,求k和b的值；（2）若△AOB被分成的两部分的面积比为1:5,求k和b的值.（厦门市中考试题）12. 某车站客流量大,旅客往往需长时间排队等候购票. 经调查统计发现,每天开始售票时,约有300名旅客排队等候购票,同时有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票,新增购票人数y （人）与售票时间x（分）的函数关系如图1所示；每个售票窗口票数y（人）与售票时间x （分）的函数关系如图2所示. 某天售票厅排队等候购票的人数y（人）与售票时间x（分）的函数关系如图3所示. 已知售票的前a分钟开放了两个售票窗口,求：/ 分分分图1 图2 图3 （1）a的值；（2）售票到第60分钟时,售票厅排队等候购票的旅客人数；（3）该车站在学习实践科学发展观的活动中,本着“以人为本,方便旅客”的宗旨,决定增设售票窗口. 若要在开始售票后半小时内让所有排队购票的旅客都能购到票,以便后来到站的旅客能随到随购,请你帮助计算,至少需同时开放几个售票窗口？（咸宁市中考试题）13. 2011年4月28日,以“天人长安,创意自然——城市与自然和谐共生”为主题的世界园艺博览会在西安隆重开园. 这次园艺会的门票分为个人票、团体票两大类,其中个人票设置有三种：某社区居委会为奖励“和谐家庭”,欲购买个人票100张,其中B 种票的张数是A 种票张数的3倍还多8张,设需购A 种票张数为x ,C 种票张数为y .（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）设购票总费用为w 元,求出w （元）与x （张）之间的函数关系式；（3）若每种票至少购买1张,其中购买A 种票不少于20张,则有几种购票方案？并求出购票总费用最少时,购买A ,B ,C 三种票的张数.（陕西省中考试题）B 级1. 如图,在直角坐标系中,直角梯形OABC 的顶点(3,0)A ,(2,7)B ,P 为线段OC 上一点,若过B ,P 两点的直线为111y k x b =+,过A ,P 两点的直线为222y k x b =+,且BP ⊥AP ,则1212()k k k k += .（绍兴市竞赛试题）2. 设直线(1)1kx k y ++=（k 是自然数）与两坐标轴围成的图形的面积为S 1,S 2,…,S 2000,则122000S S S +++=.（湖北省选拔赛试题）)（第1题） （第3题） （第4题）3. 如图,直线210y x =-+与x 轴,y 轴分别交于A 、B 两点,把△AOB 沿AB 翻折,点O 落在C 处,则点C 的坐标是 . （黄冈市竞赛试题）4. 如图,在直角坐标系中,矩形OABC 的顶点B 的坐标为(15,6),直线13y x b =+恰好将矩形OABC 分成面积相等的两部分,那么b = . （全国初中数学竞赛试题）5. 在直角坐标系中,有两点(1,1)P -和(3,3)Q ,M 是x 轴上任意点,则PM QM +的长度的最小值是（ ）A. B.4C. D.36. 某航空公司规定,旅客乘机所携带行李的质量x （kg ）与其运费y （元）由如图所示的一次函数图象确定,那么旅客可携带的免费行李的最大质量为（ ）kg ()A.20kgB.25kgC.28kgD.30kg（成都市中考试题）7. 一个一次函数的图象与直线59544y x =+平行,与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ,并且过点(1,25)--,则在线段AB 上（包括端点A 、B ）,横、纵坐标都是整数的点有（ ）A.4个B.5个C.6个D.7个（全国初中数学竞赛试题）8. 设b a >,将一次函数y bx a =+与y ax b =+的图象画在同一平面直角坐标系内,则有一组a ,b 的取值,使得下列4幅图中正确的是（ ）A B C D（全国初中数学联赛试题）9. 求证：不论k 为何值,一次函数(21)(3)(11)0k x k y k --+--=的图象恒过一定点.（江苏省竞赛试题）10. 已知四条直线3y mx =-,1y =-,3y =和1x =所围成的四边形面积是12,求m 的值.（“祖冲之杯”邀请赛试题）11. 在直角坐标系xOy 中,一次函数2(0)y kx b k =++≠的图象与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点A ,B ,且使得3OAB S OA OB =++△. （1）用b 表示 k ；（2）求△AOB 面积的最小值.（浙江省竞赛试题）12. 如图,一次函数y =+的图象与x 轴,y 轴分别交于点A ,B ,以线段AB 为直角边在第一象限内作Rt △ABC ,且使∠ABC =30°.（1）求△ABC 的面积；（2）如果在第二象限内有一点(P m ,试用含m 的代数式表示四边形AOPB 的面积,并求出当△ABP 与△ABC 的面积相等时m 的值；（3）是否存在使△QAB 为等腰三角形并且在坐标轴上的点Q ？若存在,写出点Q 所有可能的坐标；若不存在,请说明理由.（“希望杯”邀请赛试题）AD八年级数学竞赛例题专题讲解：正方形阅读与思考矩形、菱形、正方形都是平行四边形,但它们都是有特殊条件的平行四边形,正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是邻边相等的特殊矩形,也是有一个角是直角的菱形,因此,我们可以利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题．正方形问题常常转化为三角形问题解决,在正方形中,我们最容易得到特殊三角形、全等三角形,熟悉以下基本图形．例题与求解【例l 】 如图,在正方形纸片ABCD 中,对角线AC ,BD 交于点O ,折叠正方形纸片ABCD ,使AD 落在BD 上,点A 恰好与BD 上的点F 重合,展开后,折痕DE 分别交AB ,AC 于点E ,G .下列结论：①05.112=∠AGD ；②2=AEAD；③OGD AGD S S ∆∆=；④四边形AEFG 是菱形；⑤OG BE 2=. 其中,正确结论的序号是______________． （重庆市中考试题） 解题思路：本题需综合运用轴对称、菱形判定、数形结合等知识方法．【例2】如图1,操作：把正方形CGEF 的对角线CE 放在正方形ABCD 的边BC 的延长线上)(BC CG >,取线段AE 的中点M .连MD ,MF ．（1）探究线段MD ,MF 的关系,并加以证明．（2）将正方形CGEF 绕点C 旋转任意角后（如图2）,其他条件不变． 探究线段MD ,MF 的关系,并加以证明．（大连市中考题改编）解题思路：由M 为AE 中点,想到“中线倍长法”再证三角形全等．图2图1EABEBA【例3】如图,正方形ABCD 中,E ,F 是AB ,BC 边上两点,且FC AE EF +=,EF DG ⊥于G ,求证：DA DG =.（重庆市竞赛试题）解题思路：构造FC AE +的线段是解本例的关键．B AE【例4】 如图,正方形ABCD 被两条与边平行的线段EF 、GH 分割成四个小矩形,P 是EF 与GH 的交点,若矩形PFCH 的面积恰是矩形AGPE 面积的2倍,试确定HAF ∠的大小,并证明你的结论．（北京市竞赛试题）解题思路：先猜测HAF ∠的大小,再作出证明,解题的关键是由条件及图形推出隐含的线段间的关系．ABCD E FGHP【例5】 如图,在正方形ABCD 中,E ,F 分别是边BC ,CD 上的点,满足DF BE EF +=,AF AE ,分别与对角线BD 交于点N M ,．求证：（1）045=∠EAF ；（2）222DN BM MN +=． （四川省竞赛试题） 解题思路：对于（1）,可作辅助线,创造条件,再通过三角形全等,即可解答；对于（2）,很容易联想到直角三角形三边关系．BAF【例6】已知 ：正方形ABCD 中,045=∠MAN ,MAN ∠绕点A 顺时针旋转,它的两边分别交CB ,DC （或它们的延长线）于点N M ,．当MAN ∠绕点A 旋转到DN BM =时（如图1）,易证MN DN BM =+．（1）当MAN ∠绕点A 旋转到DN BM ≠时（如图2）,线段DN BM ,和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想,并加以证明；（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时,线段DN BM ,和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．（黑龙江省中考试题）解题思路：对于（2）,构造BM DN -是解题的关键．能力训练A 级1. 如图,若四边形ABCD 是正方形,CDE ∆是等边三角形,则EAB ∠的度数为__________.（北京市竞赛试题）2. 四边形ABCD 的对角线BD AC 、相交于点O ,给出以下题设条件： ①DA CD BC AB ===；②BD AC DO CO BO AO ⊥===,； ③BD AC DO BO CO AO ⊥==,,； ④DA CD BC AB ==,．其中,能判定它是正方形的题设条件是______________. （把你认为正确的序号都填在横线上） （浙江省中考试题）3．如图,边长为1的两个正方形互相重合,按住一个不动,将另一个绕顶点A 顺时针旋转030,则这两个正方形重叠部分的面积是__________.（青岛市中考试题）ABC D MN图1ABCD MN图2ABCDM N图3BA E第1题图 第3题图 第4题图4.如图,P 是正方形ABCD 内一点,将ABP ∆绕点B 顺时针方向旋转至能与'CBP ∆重合,若3=PB ,则'PP =__________. （河南省中考试题）5.将n 个边长都为cm 1的正方形按如图所示摆放,点n A A A ,,21分别是正方形的中心,则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为( )A .241cmB ．24cm n C.241cm n - D. 2)41(cm n （晋江市中考试题）第5题图 第6题图6. 如图,以BCA Rt ∆的斜边BC 为一边在BCA ∆的同侧作正方形BCEF ,设正方形的中心为O ,连接AO ,如果26,4==AO AB ,则AC 的长为( )A . 12B ．8 C.34 D. 28（浙江省竞赛试题）7．如图,正方形ABCD 中,035,=∠=MCE MN CE ,那么ANM ∠是( ) A .045 B ．055 C. 065D. 075B'D 'ABCDPP ''8．如图,正方形ABCD 的面积为256,点F 在AD 上,点E 在AB 的延长线上,CEF Rt ∆的面积为200,则BE 的值是( )A ．15B ．12C ．11D ．10第8题图第7题图ABAD E F9．如图,在正方形ABCD 中,E 是AD 边的中点,BD 与CE 交于F 点,求证：BE AF ⊥．B A10. 如图,在正方形ABCD 中,E 是AB 边的中点,F 是AD 上的一点,且AD AF 41= ． 求证：CE 平分BCF ∠．BAE11. 如图,已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点,F E BC PF DC PE ,,,⊥⊥分别是垂足． 求证：EF AP =．（扬州市中考试题）EBA12.（1）如图1,已知正方形ABCD 和正方形)(BC CG CGEF >,G C B ,,在同一条直线上,M 为线段AE 的中点．探究：线段MF MD ,的关系．（2）如图2,若将正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转045,使得正方形CGEF 的对角线CE 在正方形ABCD 的边BC 的延长线上,M 为AE 的中点．试问：（1）中探究的结论是否成立？若成立,请证明；若不成立,请说明理由．（大连市中考试题）图1 图2B 级1. 如图,在四边形ABCD 中,090,=∠=∠=ABC ADC DC AD ,AB DE ⊥于E ,若四边形ABCD 的面积为8,则DE 的长为__________.2.如图,M 是边长为1的正方形ABCD 内一点,若02290,21=∠=-CMD MB MA ,则=∠MCDABCDEFGMABCDEFGM__________.（北京市竞赛试题）第3题图第1题图第2题图CBAAAC3.如图,在ABC Rt ∆中,3,900==∠AC C ,以AB 为一边向三角形外作正方形ABEF ,正方形的中心为O ,且24=OC ,则BC 的长为__________.（“希望杯”邀请赛试题）4.如图：边长一定的正方形ABCD ,Q 是CD 上一动点,AQ 交BD 于M ,过M 作AQ MN ⊥交BC 于N 点,作BD NP ⊥于点P ,连接NQ ,下列结论：①MN AM =；②BD MP 21=； ③NQ DQ BN =+；④BMBNAB +为定值,其中一定成立的是( ) A . ①②③ B ．①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 5.如图,ABCD 是正方形,AC BF //,AEFC 是菱形,则ACF ∠与F ∠度数的比值是( ) A . 3 B ．4 C. 5 D. 不是整数 6.一个周长为20的正方形内接于一个周长为28的正方形,那么从里面正方形的顶点到外面正方形的顶点的最大距离是( )A .58 B ．527C. 8D. 65E.35（美国高中考试题）第7题图第5题图第4题图第6题图Q BANBADAQP7.如图,正方形ABCD 中,8=AB ,Q 是CD 的中点,设α=∠DAQ ,在CD 上取一点P ,使α2=∠BAP ,则CP 的长度等于 ( )A . 1B ．2 C. 3 D.3（“希望杯”邀请赛试题）8.已知正方形ABCD 中,M 是AB 中点,E 是AB 延长线上一点,DM MN ⊥且交CBE ∠平分线于N （如图1）（1）求证：MN MD =；（2）若将上述条件中的“M 是AB 中点”改为“M 是AB 上任意一点”其余条件不变（如图2）,（1）中结论是否成立？如果成立,请证明；如果不成立,请说明理由；（3）如图2,点M 是AB 的延长线上（除B 点外）的任意一点,其他条件不变,则（1）中结论是否成立？如果成立,请证明；如果不成立,请说明理由；（临汾市中考试题）图3图2图1AM ABADDDE M`9.已知,10,10<<<<b a 求证：22)1()1()1()1(22222222≥-+-+-+++-++b a b a b a b a ．10.如果,点N M ,分别在正方形ABCD 的边CD BC ,上,已知MCN ∆的周长等于正方形ABCD 周长的一半,求MAN ∠的度数． （“祖冲之杯”邀请赛试题）ADM11.如图,两张大小适当的正方形纸片,重叠地放在一起,重叠部分是一个凸八边形ABCDEFGH ,对角线CG AE ,分这个八边形为四个小的凸四边形,请你证明：CG AE ⊥,且CG AE =．（北京市竞赛试题）12.如图,正方形MNBC 内有一点A ,以AC AB ,为边向ABC ∆外作正方形ABRT 和正方形ACPQ ,连接BP RM ,．求证：RM BP //．（武汉市竞赛试题）PR八年级数学竞赛例题专题讲解：整体与完形阅读与思考许多几何问题,常因图形复杂、不规则而给解题带来困难,这些复杂、不规则的图形,从整体考虑,可看作某种图形的一部分,如果将它们补充完整,就可得到常见的特殊图形,那么就能利用特殊图形的特殊性质转化问题,这就是解几何问题的补形法,常见的补形方法有：1.将原图形补形为最能体现相关定理、推论、公理的基本图形；2.将原图形补形为等腰三角形、等边三角形、直角三角形等特殊三角形；3.将原图形补形为平行四边形、矩形、正方形、梯形等特殊四熟悉以下图形：例题与求解【例1】如图,已知CD∥AF,∠CDE＝∠BAF,AB⊥BC,∠E＝080,∠C＝0124,则∠AFE＝_________度. (北京市竞赛试题)解题思路：有平行的条件,不妨将六边形补形为较为规整的平行四边形.B【例2】设,,a b c分别是△ABC的三边长, 且满足a a bb a b c+=++,则它的内角∠A、∠B的关系是（）.A.∠B＞2∠AB.∠B＝2∠AC.∠B＜2∠AD.不确定（全国初中数学竞赛试题）解题思路：从化简已知等式入手,并补出相应的图形.【例3】如图1,BD,CE分别是△ABC的外角平分线,过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别为F ,G ,连结FG ,延长AF ,AG ,与直线BC 相交,易证()12FG AB BC AC =++. 若（1）BD ,CE 分别是△ABC 的内角平分线（如图2）；（2）BD 为∠ABC 的内角平分线；（3）CE 为△ABC 的外角平分线（如图3）,则在图2、图3两种情况下,线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想,并对其中的一种情况给予证明.（黑龙江省中考试题）解题思路：既有平分线又有垂线,联想到等腰三角形性质,考虑将图形补成等腰三角形.图3图2图1【例4】 如图,四边形ABCD 中,∠ABC ＝0135,∠BCD ＝0120,AB BC ＝5CD ＝6,求AD 的长.（全国初中数学竞赛试题）解题思路：由于四边形ABCD是一般四边形,所以直接求AD 比较困难,应设法将AD 转化为特殊三角形的边.DA23A 54例4题图 例5题图 【例5】 如图,凸八边形1238...A A A A 中,∠1A ＝∠5A ,∠2A ＝∠6A ,∠3A ＝∠7A ,∠4A ＝∠8A ,试证明：该凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值.（山东省竞赛试题）解题思路：本例是一个几何定值证明问题,关键是将八边形问题转化为三角形或四边形问题来解决,若连结对角线,则会破坏一些已知条件,应当考虑向外补形.【例6】 如图,在△ABC 中,∠ABC ＝045,点D 在边BC 上,∠ADC ＝060,且12BD CD =.将△ACD 以直线AD 为轴作轴对称变换,得到△AC D ',连结BC '. (1) 证明：BC '⊥BC ; (2) 求∠C 的大小.（全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题）解题思路：本题分别考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及轴对称的性质,解题的关键是利用角平分线的性质与判定构造全等三角形,然后利用全等三角形的性质即可解决问题.D能力训练1.如图,在四边形ABCD 中,∠A ＝∠C ＝090,AB ＝AD ,若这个四边形的面积为12,则BC ＋CD ＝_____________. （山东省竞赛试题）2. 如图,凸五边形ABCDE 中,∠A ＝∠B ＝0120,EA ＝AB ＝BC ＝2,CD ＝DE ＝4,则这个五边形的面积为_______________.（美国AHSME 试题）3. 如图,一个凸六边形六个内角都是0120,其中连续四条边的长依次为1,9,9,5,则该六边形的周长为______________.第1题图第2题图第3题图B4. 如图,ABCDEF 是正六边形,M ,N 分别是边CD ,DE 的中点,线段AM 与BN 相交于P ,则BPPN ＝_________. （浙江省竞赛试题）5. 如图,长为2的三条线段,,AA BB CC '''交于O 点,并且∠B OA '＝∠C OB '＝∠A OC '＝060,则三个三角形的面积和123S S S ++,“＝”,或“＞”）.（“希望杯”邀请赛试题）6. 如图,在四边形ABCD 中,∠A ＝060,∠B ＝∠D ＝090,BC ＝2,CD ＝3,则AB ＝ ( ). A. 4 B. 5C.D.3（广西壮族自治区中考试题）第6题图第5题图第4题图DBB7. 如图,在△ABC 中,M 为BC 中点,AN 平分∠A ,AN ⊥BN 于N ,且AB ＝10,AC ＝16,则MN 等于（ ）.A. 2B. 2.5C. 3D. 3.58. 如图,在四边形ABCD 中,AB ＝BC ,∠ABC ＝∠CDA ＝090,BE ⊥AD 于E ,8ABCD S =四边形,则BE的长为（ ）A. 2B. 3C.D.第7题图第8题图第9题图A9. 如图,在四边形ABCD 中,AB ＝4BC ＝1,CD ＝3,∠B ＝0135,∠C ＝090,则∠D 等于（ ）A. 060B. 067.5C. 075D.条件不够,无法求出（重庆市竞赛试题）10. 如图,在△ABC 中,E 是AC 中点,D 是BC 边上一点,若BC ＝1,∠ABC ＝060,∠BAC ＝0100,∠CED ＝080,求2ABC CDE S S ∆∆+的值.CB11. 如图,设c 是Rt ABC ∆的斜边长,,a b 是直角边,求证：a b +≤.（加拿大中学生竞赛试题）A12. 如图,已知八边形ABCDEFGH 所有的内角都相等,而且边长都是整数.求证：这个八边形的对边相等.FB C13. 如图,设P 为△ABC 的中位线DE 上的一点,BP 交AC 于N ,CP 交AB 于M ,求证：1AN AMNC MB+=. （齐齐哈尔市竞赛试题）B14. 一个圆内接八边形相邻的四条边长是1,另四条边长是2,求八边形的面积.八年级数学竞赛例题专题讲解：心中有数阅读与思考现代社会是一个数字化的社会,我们每个人每天都要和各种各样的数字打交道,从国民生产总值、人均消费水平、人口自然增长率、股市综合指数,到家庭的水、电、煤气的月平均数,学生的身高、体重、考试成绩,都与数字有关.“用数据说话”已成为从事许多工作的基本要求,能用数据说话的人必须具备一定的统计知识.对数据进行收集、整理、计算、分析,并在此基础上作出科学的推断,这就是数据分析,是统计学研究的基本范畴和方法,收集数据、量化处理的目的在于运用统计结果进行判断和决策.统计学的基本思想就是用样本对总体进行估计、推理,即用样本的平均水平、波动情况、分布规律等特征估计总体的平均水平、波动情况和分布规律,是从局部看整体的思想方法.例题与求解【例l】在对某班的一次数学测试成绩进行统计分析中,各分数段的人数如图所示（分数取正整数,满分100分）.请观察图形,并回答下列问题：（1）该班有________名学生.（2）69.5~79.5这一组的频数是_________,频率是_________.（3）请估算该班这次测验的平均成绩.（黄冈市中考试题）解题思路：从频率直方图中捕捉相关信息.39.549.559.569.579.589.599.5。