虚位移原理

30
MA XA A
δyA YA
Mq
EB
δyE δyB
l
l
P1 α C
l
P2
δyD D
l
⑵给δyA ，而令δxA 、 A =0， δyB = l =δyD ， δyC = 0
虚功方程为
则δyA =δyE =δyB ，
－YAδyA + 2qlδyE +P1sinαδyB － P2δyD＝0
(YA －2ql －P1sinα +P2)δyA＝0
在稳定几何约束下，质点系无限小的实位移是其 虚位移之一
9
说明
虚位移常用r、 x、s、等表示； 关于符号δ
①δ---等时变分算子符号（变分符号）；
②δ---表示无限小的变更； ③δ的运算规则与微分算子“d ”的 运算规则相同。
10
实位移是力学现象，虚位移是几何概念
物块M置于固定的斜面上，斜面对于物块M的约束是定常约束。
90°－(＋)
rB
P
x
B
[δrA]AB=[δrB]AB
且δrA= r
∴ r cos[90°－(＋)]=δrB cos
rB
r sin1
r cos l 2 r 2 sin2
20
[法2]用虚速度法。
y
90°－(＋)
由速度投影定理
[vA]AB=[vB]AB
A
rB
且
v A rOA
r
dt
(MA +M－2ql 2－2lP1sinα +2lP2)δφ＝0
∴ MA ＝－M＋2ql 2＋2lP1sinα－2lP2 ＝3.0 (kN·m)
32
图示机构中各杆之间均用铰连连接，杆长AE=BD=2l，
DH = EH = l。D、E间连着一刚度系数为K、原长为l
的弹簧，杆和弹簧的自重及各处摩擦均不计。今在铰
1)
F'x F' kl(2cos 1)
代入虚功方程得
yQ
H
D
F' F
C
A
θ
－Q3lcos －kl(2cos －1)(－2lsin )= 0
E
B
x
∴ 2kl(2cos －1)sin － 3Qcos = 0
于是得平衡时Q与θ应 满足的关系为：
Q 2 kl(2cos 1)tan
3
35
建立虚位移之间的关系的方法
曲柄滑块机构如图，已知曲柄OA = r，连杆AB = l，曲柄上作用力偶M，滑块上作用力P，求 系统在图示位置平衡时，M与P的关系。
y
MA
φ o
P
x
B
19
⑴ 给OA以虚位移 ， 相应地滑块B有rB
由 ∑δWF = 0
PδrB － M = 0
M rB P
y
M
o
rA
A
⑵ 求虚位移间的关系 [法一:投影定理]
C
M A
DP a
B
a
a
分析
三铰拱是受有完全约束的系统，必须解除 部分约束，赋予运动自由度，才能应用虚 位移原理。
26
(1)求B铰水平约束力：
解除B支座的水平约束，代之以水平反力FBx
C’
给虚位移，
(AC作定轴转动； BCD作平面运 动，瞬心为C’。)
则相应有
rC 2a rB 2a A
rD a
非定常约束 ------约束方程中显含时间 t的约束。
不稳定约束 如 f (x , y , z ，t )=0
在任意瞬时t，其约束方程为
x2 y2 (l0 vt)2
o
x
v
φl
y
M
6
⒊双面约束和单面约束
双面约束 ------如果约束不仅限制质点在某一 方向的运动，而且能限制其在相反方向的运动， 称之为双面约束，或固执约束
根据虚位移原理，有 WF M FByrB PrD cos 0
cos
5 5
解得
FBy
1 P 2
M a
28
图示ABCD为一静定连续梁，作用于其上 的载荷M=5kN.m，P1 = P2 = 4kN，q= 2kN/m，α=30°，l= 2m， 求支座A的反力。
q
P1
P2
A
α
ME
B
C
D
l
l
几何约束---只限制质点或质点系在空间的位置
实
例o
x
φl
y
M
x2 y2 l2
y
A
ωr
l
o
B x
xA2 yA2 r2
yB 0
( xA xB )2 ( yA yB )2 l 2 5
⒉定常约束和非定常约束
定常约束 ------约束方程中不显含时间 t 的约束 。
稳定约束
如 f (x , y , z ) = 0
1. 作图给出机构的微小运动，直接由几何关系来定 2. 给出各主动力作用点的坐标方程，求变分，各变分间 的比例。 即为虚位移间的比例； 3 .“虚速度”法
设质点系由n个质点组成， 第i个质点Mi平衡，受力有
i1
Fi -----主动力的合力 Ni -----约束反力的合力
则 Fi + Ni = 0
（i = 1, 2 , …，n）
∴ WFi+WNi = ( Fi + Ni ) ·ri= 0
0
n
n
n个方程求和得
Fi ri Ni ri 0
i1
用虚位移原理处理平衡问题
只在需要求解约束反力（包括内力）时， 才有针对性地解除约束
3
§1 约束 虚位移 虚功 约束的定义
质点系分为自由质点系和非自由质点系
非自由质点系受到的预先给定的限制称为约束
约束方程
用数学方程来表示的限制条件称为约束方程
如 f (x, y, z, x, y, z,t) 0
4
约束的分类 ⒈几何约束和运动约束
l
l
29
δyA =0！ AB不能有转动
A=0！ A不能有竖直向位移
q
AM E
l
l
P1 α
B
C
l
P2
D l
MA
q
XA
A
E
YA δxA M
解:将固定端约束解除
P1
α
B
C
δxB
P2 D
δxD
⑴给δxA ，而令δyA =0 、 A=0，
则：δxB =δxA
虚功方程为 XAδxA－P1cosαδxA＝0
(XA－Plcosα)δxA＝0 ∴XA ＝ P1cosα ＝ 3.46 (kN)
Oθ
C
A
Q
K
lB
P
23
给杆OC以虚位移 ，
rC a
B点有虚位移δrB， 虚功方程为
PrB QrC 0
Q P rB rC
以OC为动系，A为动点， 则有虚速度合成式为
O
rAe
θ
rAa rC
C
A rAr
Q
K
rAa rAe rAr
dt dt dt
lB
δrB
rAe
l
cos
∵AB杆作平动,
rB
rAa
15
虚位移原理的应用
研究平衡状态
1、确定主动力之间的关系或平衡位置 2、求解其内力或约束反力
16
螺 旋 千 斤 顶 中 ， 旋 转 手 柄 OA=l=0.6m ， 螺 距 h=12mm。今在OA的水平面内作用一垂直手 柄的力P=160N，试求举起重物B的重量。不 计各处摩擦。
WB
o
A
P
l
17
千斤顶受理想约束，
单面约束 ------如果约束仅限制质点在某一方向 的运动，称之为单面约束，或非固执约束
如单摆
约束方程分别为：
刚性摆杆约束
……双面约束
x2 y2 l2
不可伸长的绳约束 ……单面约束
x2 y2 l2
7
⒋完整约束和非完整约束
完整约束 ------约束方程中不含导数或可积分
为有限形式。 非完整约束 ------约束方程总是微分形式。
xD 0
y
xE 2l sin
yH 3l cos
D
弹簧的伸长量为
Δ = 2lcosθ－l = (2cosθ－1) l
A
Q H
K
C θ
Q
H
F' F
C
θ
∴弹性力的大小为 F = F' = kΔ = k l (2cosθ－1)
E B
E B
x
34
各主动力在坐标轴上的投影为
Qy Q
Fx
F
kl (2 cos
sin sin
OA AB
cos AB cos OA
xB
OA sin
sin
cos cos
AB 2
OA
22
图示机构中，当曲柄OC绕O轴摆动时，滑块A沿OC 滑动，从而带动杆AB沿铅直槽K滑动。OC=a，OK= l， 在C点垂直曲柄作用一力Q，AB上作用力P沿AB方向， 求机构在图示位置平衡时力Q、P的关系。
所有作用于该质点系上的主动力在任何虚位移中所作的 虚功之和等于零。
矢量表达式为 坐标分解式为
n
n
WF i Fi δ ri 0
i 1
i 1
n
( X i xi Yi yi Zi zi ) 0
i 1
虚功原理 虚功方程 静力学普遍方程
13
虚功原理的证明
n
⑴必要性的证明： 质点系平衡
Fi ri 0
o
x
B
vB
rB
dt
∴ rωOAcos[90°－(＋ )]=vBcos
rB vB OA
r sin1
r cos l 2 r 2 sin2
M P
r1
l2
r cos r 2 sin2
sin
21
[法3]方程变分法
y
A
M
o
xB OA cos AB cos
P
x
B
xB OA sin AB sin
WB
给P力点A虚位移δrA = lδφ
相应地W力点B有δrB
δrB o
δφ
由虚功方程 ∑δWF =0
δrA
A
P
l
Pl －W rB =0
Pl
W
rB
δrB : = h : 2π，
rB
h
2
W 2l P 50.27103 N
h
可知，当P=160N时，能举起50.27KN的重物， 是P 的314倍！ 18
l
cos2
P
rAa
rAe cos
l cos 2
Fra Baidu bibliotek
于是得
Q
l
a cos2
P
24
用虚位移原理，求 B 处的反力
a
P
b
①、用反力代替B支座
A
C
B ②、给结构一虚位移
P
NB
B
a
a
b
C
C
B ③、写虚功方程
A
C1
B1 C P N B B 0
NB
NB
a
a
b
P
25
已知三铰拱上作用有集中载荷P及力偶M，求B支座的约 束反力。
∴YA =2ql +P1sinα－P2＝6.0 (kN)
31
MA XA A
YA
Mq
E B
δyE
δyB
l
l
P1 α C
P2
δyD
D
l
l
⑶ 给 ，而令δxA 、δyA=0， 则δyE = l , δyB=2l ，
∵δyC = 0， 2 ∴δyD =l= 2l ，
虚功方程为
－MA－M +2qlδyE +P1sinαyB－ P2δyD＝0
☆本章只讨论： 完整的、定常的、 双面的、几何约束！
8
二、虚位移
在某瞬时，质点系在约束所允许的条件下，可能 实现的、任何无限小的位移称为虚位移
虚位移的特点：
虚位移仅与约束条件有关，是纯粹的几何量 与实位移相比：
虚位移是无限小的位移；实位移可为无限小， 也可为有限值
虚位移是假想的位移，与时间、力、质点系的 运动情况无关
链H上加一力Q，使机构处于静止平衡状态，试确定Q
与θ的关系。
Q H
K
D
E
C
Aθ
B
33
解：解除弹簧约束，代之以弹性力F、 F’，并视为主动力。
由 ∑δWF = 0
D
QyδyH + FxδxE + F'xδxD = 0，
各主动力作用 点的坐标为
求变分得
A
xD 0
xE 2l cos yH 3l sin
δr
的功称为虚功，用δW 表示。
m φF
δW = F ·δr = Fδr cosφ
y A
M
δφ o
于是， 力偶 M 的虚功： δW = M δφ 力 F 的虚功： δW =－ F δrB
δrB
F
x B
12
§2 虚位移原理
具有完整、双面、定常、理想约束的质点系，在给定位置保
持平衡的必要和充分条件是：
Fj+Nj＝ Rj ≠ 0
由静止开始运动，质点Mj实位移 drj 应沿着Rj的方向
该质点的合力在实位移中的元功为
Rj ·dr j = （Fj+Nj） ·dr j ＞0
∵质点系受定常约束， ∴ dr j ∈δr j
∴∑（Fj+Nj）·r j ＞0
∴ ∑Fi · r i ＞0 这与假设矛盾！
∴质点系必然平衡。
2020年10月24日星期六
引言
静力学分为刚体静力学和分析静力学
刚体静力学（几何静力学）: 用几何的方法研究刚体的平衡.直接研究主动力和约
束反力的关系
分析静力学:
考虑约束的限制运动方面，通过主动力在约束所容许的 微小位移上的元功
2
刚体静力学解题步骤
⑴ 选取研究对象，取分离体； ⑵ 进行受力分析，画受力图； ⑶ 建立平衡方程； ⑷ 求解平衡方程。
M dr
在图示瞬时，物块M在dt内发生 的无限小的实位移dr沿斜面向下。
δr2 M
δr1
物块M的虚位移可以是沿斜面
向下的δr1， 也 可 以 是 沿 斜 面 向 上的δr2， 因为δr1，δr2都是约 束所容许的。
可见， 在定常几何约束下，质点系无限小
的实位移是其虚位移之一。
11
三、虚功
质点或质点系所受的力在虚位移上所作
根据虚位移原理，有
a C a DP
M
rC
rD
a
FBx
B
rB
WF M FBxrB PrD 0
FBx
1 2
M a
P
27
(2)求B支座的垂直约束反力：
a
M
解除B铰的垂直约束，代 之以垂直反力FBy
给虚位移
（AC作定轴转动； BCD作平面运动，瞬心为A。）
a DP
rC
rD
FBy
rB
则相应有 rC 2a rB 2a rD 5a
i1
∵系统的约束为理想约束， ∴ ∑ Ni· r i=0
n
n
WF i Fi ri 0
i1
i1
14
⑵充分性的证明：
n
Fi ri 0
用反证法
i1
质点系平衡
设质点系由n个质点组成，作用于该质点系的主动力在给 定的位置的任意虚位移中所作的虚功之和等于零，但该 质点系不平衡，即至少有一个质点Mj不平衡，