代数余子式之和的性质及应用

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齐文博： 代数余子式之和的性质及应用 " " … "
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代数余子式之和在行列式计算、 判定二次型正定中有其独特的应用。本文中给出了代数余子式之和的概念、 性质及 其在判定二次型正定中的巧妙应用+ 为行列式 43 其中 是 的代数余子式+ 定义： 称 !! 5 ! ! 5 ! ! 1 #6#的代数余子式之和， 1 1 #6#的元素$ ! 2 2 43 2 " " ，
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甘肃广播电视大学学报
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代数余子式之和的性质及应用
齐文博
（甘肃广播电视大学 庆阳分校， 甘肃 庆阳 * ） & # " " "
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［摘要］ 给出有关代数余子式之和的几个性质并予以证明， 且给出利用代数余子式之和计算行列式的方法+ ［关键词］代数余子式； 行列式； 方式 ［中图分类号］ , % # % + ! % ［文献标识码］ ［文章编号］ （ ） % " " . / & ( ) " ! " " # " ) / " " % ) / " )
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同理可证： 性质： 若行列式某一行元素都等于" ， 则行列式等于其所有代数余子式之和( " 证明： 设. & ! # " … " … " … ! ! # # # $ … … … " % " … % " ! % " ! % " ! # " # # # $ … … … … " % " " % " …
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! ! ! % ! $ "% " " ! $ #% " # … ! $ $ " $ （ ） ： 若行列式的所有元素都加上同一个数， 则其代数余子式之和不变( # ! ! ! # "% " " ! # #% " # $ )* ! # ")* ! # #)* … ! # $ 证明： 由性质" ， ! % ! ! % ! % ! ( & ’ " " " ’ # " # … ! ’ $ " $ & !+ , ， + & " , … … … … ! ! ! % ! $ "% " " ! $ #% " # … ! $ $ " $ （ ） ： 若行列式 .& ! 的每行元素的和及每列元素的和都等于零， 则各元素的代数余子式都相等， 代数余子式之 ’ + , $ * $ ! )* $ ")* ! $ #)* … ! $ $ ! " ")* ! " #)* … ! )* " $ " " … " … ! % ! # $ " $
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是一个负定二次型.
…， 证明： 设7 （ ( ( # ( "， ’， %） ) / -
/ # " # " 1 4 ! 也为对称正定矩阵， 为对称正定矩阵， 则 ! $!! 也为对称负定矩阵. !5!
（!! ） 其中 !! 是 ! 的伴随矩阵， ， 则 $ !! 8 1# $1 8 !!1， !# ( ( , # $1 8 / / -
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证明： 将4 % 展开，
收稿日期： ! " " # $ " % $ " & 作者简介： 齐文博 （ —） ， 男， 甘肃庆阳人， 讲师， 主要从事数学教学与研究工作。 % ’ ( )