(完整版)高中极限基本知识点
各类极限知识点总结
各类极限知识点总结一、函数的极限1. 定义：给定函数f(x)，当x趋近于某一点a时，如果函数值f(x)无论怎么接近a都会趋于一个确定的值L，则称L为函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。
通常情况下，我们也会将x趋近于a的这一过程称为x趋近于a时的极限，即x→a。
2. 性质：函数的极限有一些基本的性质，这些性质有助于我们计算和理解函数的极限。
比如极限的唯一性、极限的局部有界性、函数的连续性等。
3. 一些特殊函数的极限：（1）常数函数的极限；（2）幂函数的极限；（3）指数函数和对数函数的极限；（4）三角函数的极限；（5）复合函数的极限等。
二、无穷大和无穷小1. 定义：在极限的理论中，无穷大和无穷小是两个非常重要的概念。
当x趋近于某一点a 时，如果函数值f(x)可以任意增大，并且没有上界，则称f(x)是当x趋近于a时的无穷大。
反之，如果函数值f(x)可以任意接近于0，并且没有下界，则称f(x)是当x趋近于a时的无穷小。
2. 性质：无穷大和无穷小也有一些基本的性质，包括无穷大和无穷小的性质、无穷大与有界性的关系、无穷小的运算规律等。
3. 一些特殊函数的无穷大和无穷小：（1）常数函数的无穷大和无穷小；（2）幂函数的无穷大和无穷小；（3）指数函数和对数函数的无穷大和无穷小；（4）三角函数的无穷大和无穷小；（5）复合函数的无穷大和无穷小等。
三、极限的运算规律1. 四则运算的极限性质：加减乘除都有着相应的极限运算规律。
比如两个函数的极限之和等于它们的极限之和、两个函数的极限之积等于它们的极限之积等。
2. 复合函数的极限性质：当函数与另一个函数进行复合时，它们的极限也满足一定的规律。
比如复合函数的极限等于内函数的极限等。
3. 一些特殊函数的极限运算：（1）三角函数的加减角极限性质；（2）指数函数和对数函数的极限性质；（3）特殊组合函数的极限性质等。
四、常见的极限形式1. 0/0型：在计算函数的极限时，经常会遇到0/0型的不定式形式。
高数极限知识点
一、微积分基础知识1. 函数，导数与微分函数：自变量，因变量，定义域，值域等；函数的一些基本性质（如连续性，对称性，周期性，奇偶性等），（基本）初等函数等。
导数：设函数y=F(x )当自变量在点x 处有一增量△x 时，函数y 相应的有一改变量△y=F(x + △x )-F(x )，那么当△x 趋于零时，若比值△y/ △x 的极限存在（为一确定的有限值），则这个极限为函数y=F(x )在点x 处导数，记作：xx F x x F x y dx dy x F y x x ∆-∆+=∆∆=='='→∆→∆)()(lim lim )(00这时称函数y=F(x )在点x 处是可导的。
y=F(x )x x+△xy=F(x +△x )△y)(x F y =函数y=F(x )在x 处的导数等于曲线y=F(x )在点x 处的切线的斜率，即：导数的几何意义：αtan )('=x F 力学中质点的位置矢量对时间的一阶导数就是该质点的速度矢量；位置矢量对时间的二阶导数（也是：速度矢量对时间的一阶导数）是质点的加速度矢量，即：, ,22dt r d dt d a dt r d===υυy=F(x)注意：以下是易混淆的两个表示：'y 和y前者：只要是在上面加一点的，都是对时间的一阶导数，即：，当然加两点，则是对时间的二阶导数，即：dt dyy =∙22dty d dy dy dt d dt y d y =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∙∙∙后者：永远是函数对自变量的导数。
如对于函数y=y(x) ，则dxdy y ='要优先掌握的基本求导公式：xx 1)'(ln =)'(=C 1)'(-=n nnxx x x cos )'(sin =xx sin )'(cos -=xx e e =)'(;举例：1)'(-=+n n Anx C Ax tt 6)'103(2=+236)'52(x x =+;;;;;xx x 12)6()52(23='=''+函数的和、差、积、商的求导法则：(1) (u ±v )'=u '±v '，(2) (Cu )'=Cu '(C 是常数)，(3) (uv )'=u 'v +u v '，(4) 2)(v v u v u v u '-'=' (v ≠0)。
极限概念知识点总结
极限概念知识点总结一、极限的基本概念1.1 极限的引入极限的概念最早是在微积分的发展过程中被引入的。
当人们试图解决一些问题时，发现需要对一些数列、函数、变量等的趋势进行描述和分析。
例如，当我们用一个数列的前几项来逼近某个数时，我们希望能够明确当数列的项数趋于无穷时，该数列是否真的能够逼近这个数；再如，当我们试图分析一个函数在某一点的性质时，我们也会遇到极限的概念。
因此，为了能够更加准确地描述数学对象在某个方面的性质，人们引入了极限的概念。
1.2 极限的定义数列的极限是极限的最基本形式之一。
对于一个数列{an}，当n趋于无穷时，如果an可以无限地地接近某个确定的数a，则称a为数列{an}的极限，记作lim（n→∞）an=a。
这个定义也可以推广到函数的极限、变量的极限等其他情形，如对于函数f(x)，当x趋于某一点c时，如果f(x)可以无限地地接近某个确定的数L，则称L为函数f(x)当x→c时的极限，记作lim（x→c）f(x)=L。
这就是极限的基本定义形式。
1.3 极限的性质极限具有一系列重要的性质，在实际应用中，这些性质被广泛地用于求解各种问题。
以下是一些极限的基本性质：1）唯一性：如果数列an有极限a，则这个极限是唯一的。
也就是说，一个数列只能有一个极限。
类似地，函数f(x)当x→c时的极限也是唯一的。
2）保号性：如果数列an的极限a>0（或a<0），则对于充分大的n，an>0（或an<0）。
3）夹逼准则：如果数列{an}、{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，且lim（n→∞）an=lim（n→∞）cn=a，那么必有lim（n→∞）bn=a。
这个性质在确定一些数列的极限时常常会被用到。
4）四则运算法则：如果lim（n→∞）an=a，lim（n→∞）bn=b，那么有lim（n→∞）（an±bn）=a±b，lim（n→∞）（an×bn）=a×b，lim（n→∞）（an÷bn）=a÷b（b≠0）。
函数极限相关知识点总结
函数极限相关知识点总结一、函数极限的定义1. 函数极限的定义在数学中，函数极限是描述函数在某一点附近的行为的概念。
具体来说，对于给定的函数f(x)，当自变量x趋于某一点a时，如果函数值f(x)无限接近某个确定的数L，那么我们就称函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim_{x→a}f(x) = L。
换句话说，当x在逼近a时，f(x)的取值会趋于L。
这一定义可以用数学符号严格表述为：对于任意正数ε，存在一个正数δ，使得当0＜ |x-a| ＜δ时，都有 |f(x)-L| ＜ε成立。
2. 函数极限的右极限和左极限如果函数f(x)在点a的左侧和右侧分别有极限，则称这两个极限为函数f(x)在点a处的左极限和右极限。
左极限记作lim_{x→a^-}f(x)，右极限记作lim_{x→a^+}f(x)。
当左极限、右极限和函数值在点a处都存在且相等时，我们称函数f(x)在点a处存在极限，且极限为此值。
3. 函数极限的无穷极限当自变量x趋于无穷大时，函数f(x)的极限称为无穷极限。
具体来说，若对于任意正数M，存在一个正数N，使得当|x|＞N时，都有|f(x)|＞M成立，则我们称lim_{x→∞}f(x) = ∞。
类似地，若对于任意正数M，存在一个正数N，使得当|x|＞N时，都有|f(x)|＜M成立，则我们称lim_{x→∞}f(x) = -∞。
4. 函数极限的存在性函数极限在很多情况下是存在的，但也有一些特殊的函数，它们在某些点处的极限并不一定存在。
比如，当函数在某一点的左右极限不相等时，该点处的极限可能不存在；当函数在某一点的极限为无穷大时，该点处的极限也可能不存在。
因此，在研究函数极限时，我们需要考虑函数在极限点处的性质，以确定函数极限是否存在。
二、函数极限的求解方法1. 用极限的定义求解函数极限函数极限的定义是要求对任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-L|<ε成立。
有关极限知识点总结
有关极限知识点总结一、极限的概念1.1 极限的定义在微积分中，我们通常用极限来描述函数在某一点附近的行为。
如果一个函数f(x)在x趋向于a的过程中，当x足够接近a时，f(x)的取值也趋向于一个确定的常数L，那么我们就说f(x)在x趋向于a时的极限存在，记作lim(x→a)f(x)=L。
这个定义还可以用符号ε和δ来表达，即对任意给定的ε>0，都存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立。
1.2 极限的几何意义极限可以理解为函数在某一点附近的局部平均值。
当x趋向于a时，函数f(x)在a点的极限就是当x趋近a时，f(x)对应的y值所形成的一个集合，而这个集合的平均值即为该点的极限值。
这也可以理解为函数在某一点附近的近似值，通过这个近似值，我们可以更好地了解函数在该点的行为。
1.3 极限的存在性极限并不是所有函数都存在的，有些函数在某些点处可能不存在极限。
一般来说，函数在某一点处的极限是否存在取决于该点的邻域内函数的性质和变化规律。
我们需要通过一些定理和性质来判断函数在某一点的极限是否存在。
二、极限的性质2.1 极限的唯一性如果函数f(x)在x趋向于a时的极限存在且是唯一的，那么这个极限值是确定的，记作lim(x→a)f(x)=L。
这说明函数在某一点的极限只可能有一个值，如果存在多个值，则说明函数在该点的极限不存在。
2.2 极限的局部性极限具有局部性的特点，即函数在某一点的极限与该点的邻域内的函数值相关。
当x趋向于a时，函数f(x)的极限值只与a点邻域内的函数值有关，与该点的邻域外的函数值无关。
这也说明了极限可以通过邻域内的近似值来确定。
2.3 极限的分段性如果一个函数可以分成若干个区间，每个区间内函数的极限存在且是确定的，那么这个函数在整个定义域内的极限也是存在的。
这说明了极限的存在性与区间的分割是有密切关系的，通过区间的极限可以得到整个函数的极限。
极限公式知识点总结
极限公式知识点总结一、极限的定义在微积分中，对于一个函数f(x)，当x趋于某一个特定的值a时，可以用极限的概念来描述。
具体的定义如下：若对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0＜|x-a|＜δ时，都有|f(x)-L|＜ε成立，那么就称函数f(x)当x趋于a时的极限为L，记作lim┬(x→a) f(x) = L。
这个定义描述了当自变量x趋于a时，函数f(x)的取值趋于L。
其中ε为任意给定的正数，δ为与ε对应的正数。
当|x-a|小于δ时，|f(x)-L|也小于ε。
二、极限的性质极限具有一些基本的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解极限概念，也可以用于极限的计算中。
下面是极限的一些基本性质：1. 极限的唯一性：若lim┬(x→a) f(x)存在，则极限唯一。
2. 极限的局部有界性：若lim┬(x→a) f(x) = L，则存在邻域U(a, δ)，使得f(x)在U(a, δ)上有界。
3. 极限的局部保号性：若lim┬(x→a) f(x) = L，且L＞0（或L＜0），则存在邻域U(a, δ)，使得f(x)在U(a, δ)上恒大于0（或小于0）。
这些性质对于理解极限以及进行极限的计算都具有重要的意义，可以帮助我们更好地掌握极限的概念。
三、极限的计算方法在实际应用中，需要对极限进行计算，以便求解问题或证明定理。
对于一些常见的函数，可以通过一些特定的计算方法来求解极限。
下面是一些常见的极限计算方法：1. 代入法：对于一些简单的函数，可以直接将自变量代入函数中，从而得到极限的值。
例如lim┬(x→2) (x²-4) = 2²-4 = 0。
2. 夹逼准则：当极限存在时，如果存在另外两个函数g(x)和h(x)，使得g(x)≤f(x)≤h(x)对于x∈(a-d, a+d)成立，并且l im┬(x→a) g(x) = lim┬(x→a) h(x) = L，则有lim┬(x→a) f(x) = L。
极限分析知识点归纳总结
极限分析知识点归纳总结极限是微积分的基础概念之一，它在数学中有广泛的应用。
极限的概念可以帮助我们理解函数的性质和行为，帮助我们解决实际问题。
本文将对极限的基本概念、极限的性质、常见的极限计算方法以及极限在微积分中的应用进行总结和归纳，希望对读者有所帮助。
一、极限的基本概念1. 极限的定义在数学中，对于一个函数f(x)来说，当x趋向于某个数a时，如果当x充分接近a时，f(x)的取值可以任意接近一个确定的数L，那么我们就说f(x)在x趋于a时的极限是L，记作lim┬(x→a)f(x)=L。
2. 极限的图像理解当x趋于a时，我们可以将f(x)的变化用图像来表示。
在x充分接近a时，如果f(x)的取值可以无限接近于一个点L，说明这个点L就是函数f(x)在x趋于a时的极限值。
3. 极限存在的条件极限存在的条件是指，当x趋于a时，函数f(x)的取值能够无限接近于某个值L。
这个条件成立的前提是，函数f(x)在x趋于a时有定义，并且f(x)的取值不会无限增加或无限减小。
二、极限的性质1. 唯一性函数f(x)在x趋于a时的极限值是唯一的。
也就是说，当x趋于a时，函数f(x)的取值只能无限接近于一个数L。
2. 有界性如果函数f(x)在x趋于a时的极限存在且有限，那么函数f(x)在x充分接近a时的取值也是有界的，也就是说，f(x)的取值不能无限增加或无限减小。
3. 保号性在x趋于a时，如果函数f(x)的极限存在且大于0（或小于0），那么我们可以得出结论：在x充分接近a时，f(x)的取值也大于0（或小于0）。
三、常见的极限计算方法1. 无穷小与无穷大当x趋于无穷大时，我们可以通过无穷小与无穷大的性质来计算函数f(x)在x趋于无穷大时的极限。
2. 复合函数的极限如果函数f(x)和g(x)在x趋于a时的极限都存在，我们可以通过复合函数的极限性质来计算复合函数的极限。
3. 有理函数的极限有理函数是指形式为P(x)/Q(x)的函数，其中P(x)和Q(x)都是多项式函数。
高中数学极限入门教程
高中数学极限入门教程一、引言数学极限是高中数学的重要概念之一，也是后续学习微积分和数学分析等领域的基础。
本文旨在为高中生介绍数学极限的基本概念和基本性质，帮助读者初步理解和掌握这一概念。
二、数学极限的定义与基本概念1. 极限的定义对于数列或函数而言，当自变量趋近某个特定值时，如果相应的函数值或数列项逐渐逼近某个确定的数，那么我们称其极限存在，并用数学符号表示。
例如，当自变量x趋近于a时，函数f(x)的极限为L可以用符号表示为：lim(x→a)f(x)=L。
2. 极限的基本概念- 左极限和右极限：当自变量趋近于某个特定的值a时，如果函数只从左侧逼近某个数L，那么称之为左极限；如果函数只从右侧逼近某个数L，那么称之为右极限。
- 无穷极限：当自变量趋近无穷大或无穷小时，函数的极限称之为无穷极限。
例如，当x趋近于正无穷时，函数f(x)的极限为L可以用符号表示为：lim(x→+∞)f(x)=L。
- 极限的存在性：极限存在的充分必要条件是左极限等于右极限，即左极限=右极限=L。
三、极限的性质和运算法则1. 唯一性函数的极限如果存在，那么极限值唯一。
2. 有界性如果函数在某一点的极限存在，则它在该点附近有界。
3. 四则运算法则极限具有四则运算的性质。
对于已知的两个函数f(x)和g(x)，它们的极限存在时，有以下运算法则：- 两个函数的和的极限等于这两个函数极限之和。
- 两个函数的差的极限等于这两个函数极限之差。
- 两个函数的乘积的极限等于这两个函数极限之积。
- 两个函数的商的极限等于这两个函数极限之商（前提是分母函数的极限不等于0）。
四、求极限的基本方法1. 直接代入法当函数在某一点连续时，可以直接将自变量代入函数，并计算函数值即可得到极限。
2. 图示法对于一些较为复杂的函数，可以通过绘制图形来观察函数在某一点的极限。
3. 运算法则和基本极限值的运用可以利用极限的四则运算法则和基本极限值，将复杂的函数化简成可以直接求解的形式。
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第一章~~第三章一、极限数列极限lim n n x ->∞函数极限lim ()x f x ->∞，lim ()x f x →+∞，lim ()x f x →-∞lim ()x x f x ->，0lim ()x x f x -->，0lim ()x x f x +->求极限（主要方法）：（１）100sin 1lim1,lim(1),lim(1)x xx x x xe x e x x->->∞->=+=+=（２）等价无穷小替换（P76）。
当()0x ϕ→时，代换时要注意，只有乘积因子才可以代换。
（3）洛必达法则（000,,0,,0,1,0∞∞⋅∞∞-∞∞∞），只有0,0∞∞可以直接用罗比达法则。
幂指函数求极限：()lim ()ln ()lim ()v x v x u x u x e =；或，令()()v x y u x =，两边取对数ln ()ln ()y v x u x =，若lim ()ln ()v x u x a =，则()lim ()v x a u x e =。
结合变上限函数求极限。
二、连续 00lim ()()x x f x f x ->=左、右连续 000lim ()(),lim ()()x x x x f x f x f x f x -+->->==函数连续⇔函数既左连续又右连续闭区间上连续函数性质：最值，有界，零点（结合证明题），介值，推论。
三、导数 0000000()()()()'()limlim x x x f x f x f x x f x f x x x x->->-+-==-V V V 左导数 0000000()()()()'()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x---->->-+-==-V V V右导数 0000000()()()()'()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x+++->->-+-==-V V V 微分 ()'y A x z dy Adx y dx ο∆=⋅∆+==可导⇒连续 可导⇔可微 可导⇔既左可导又右可导求导数：（１） 复合函数链式法则[]()'[]'()dy dy du y f u u g x f u g x dx du dx====[()]''[()]'()'[()]([()])'y f g x y f g x g x f g x f g x ==≠（２） 隐函数求导法则两边对x 求导，注意y 、y '是x 的函数。
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第一章~~第三章一、极限数列极限lim n n x ->∞函数极限lim ()x f x ->∞，lim ()x f x →+∞，lim ()x f x →-∞lim ()x x f x ->，0lim ()x x f x -->，0lim ()x x f x +->求极限（主要方法）：（１）100sin 1lim1,lim(1),lim(1)x xx x x xe x e x x->->∞->=+=+=（２）等价无穷小替换（P76）。
当()0x ϕ→时，代换时要注意，只有乘积因子才可以代换。
（3）洛必达法则（000,,0,,0,1,0∞∞⋅∞∞-∞∞∞），只有0,0∞∞可以直接用罗比达法则。
幂指函数求极限：()lim ()ln ()lim ()v x v x u x u x e =；或，令()()v x y u x =，两边取对数ln ()ln ()y v x u x =，若lim ()ln ()v x u x a =，则()lim ()v x a u x e =。
结合变上限函数求极限。
二、连续 00lim ()()x x f x f x ->=左、右连续 000lim ()(),lim ()()x x x x f x f x f x f x -+->->==函数连续⇔函数既左连续又右连续闭区间上连续函数性质：最值，有界，零点（结合证明题），介值，推论。
三、导数 0000000()()()()'()limlim x x x f x f x f x x f x f x x x x->->-+-==-V V V 左导数 0000000()()()()'()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x---->->-+-==-V V V右导数 0000000()()()()'()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x+++->->-+-==-V V V 微分 ()'y A x z dy Adx y dx ο∆=⋅∆+==可导⇒连续 可导⇔可微 可导⇔既左可导又右可导求导数：（１） 复合函数链式法则[]()'[]'()dy dy du y f u u g x f u g x dx du dx====[()]''[()]'()'[()]([()])'y f g x y f g x g x f g x f g x ==≠（２） 隐函数求导法则两边对x 求导，注意y 、y '是x 的函数。
极限值知识点总结
极限值知识点总结极限是微积分中的重要概念，它在求导、积分、级数等方面都有重要的应用。
极限的概念描述了一个变量趋于某个值时的行为特征，是描述数学对象在某一点附近的性质的一个工具。
下面将对极限的基本概念、性质和应用进行总结。
一、极限的基本概念1. 无穷接近当自变量x趋于某一个值a时，如果函数f(x)的取值无限接近于一个确定的值L，那么我们称L为函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim(f(x)) = L，或者lim f(x) = L。
2. 左右极限当自变量x从左侧趋近于某一个值a时，记作lim(f(x)) = L。
当自变量x从右侧趋近于某一个值a时，记作lim(f(x)) = L。
3. 无穷极限当自变量x趋于无穷大的时候，如果函数f(x)的取值无限接近于一个确定的值L，那么我们称L为函数f(x)当x趋于无穷大时的极限，记作lim(f(x)) = L。
4. 注意事项当求极限时，应该注意函数的定义域，不能出现无意义的情况。
还应考虑函数表达式是否可以化简或者变换形式，来便于求出极限值。
二、极限的重要性质1. 唯一性当自变量x趋于某一个值a时，函数f(x)的极限L是唯一确定的。
2. 局部性一个函数在某一点的极限值与它在该点的函数值无关，而只与该点的邻域内的函数值有关。
3. 有界性如果函数f(x)在某一点的极限存在，那么函数f(x)在该点的邻域内是有界的。
4. 保号性如果函数f(x)在某一点的极限存在且为正（负）数L，那么在该点的某一邻域内，函数f(x)的取值都大于（小于）0。
5. 四则运算性质如果函数f(x)和g(x)在某一点的极限值分别为L和M，那么f(x)±g(x)、f(x)×g(x)、f(x)/g(x)在该点的极限值分别为L±M、L×M、L/M（M≠0）。
三、极限的计算方法1. 无穷小代换当函数f(x)在a点的极限不存在，但在a点的领域内，函数值一定可以无限接近某个数L 时，可以将f(x)进行变形，使其符合使用无穷小代换来求极限的情况。
高中数学知识点精讲——极限和导数
[证明] 令F(x)=f(x)- ,则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且F(a)=F(b)，所以由13知存在ξ∈(a,b)使 =0，即
15．曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数，（1）如果对任意x∈I, ,则曲线y=f(x)在I内是下凸的；（2）如果对任意x∈I, ,则y=f(x)在I内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。
12．极值的第二充分条件：设f(x)在x0的某领域(x0-δ,x0+δ)内一阶可导，在x=x0处二阶可导，且 。（1）若 ，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若 ，则f(x)在x0处取得极大值。
13．罗尔中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使
9.导数与函数的性质：（1）若f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上连续；（2）若对一切x∈(a,b)有 ，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x∈(a,b)有 ，则f(x)在(a,b)单调递减。
10．极值的必要条件：若函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则
11.极值的第一充分条件：设f(x)在x0处连续，在x0邻域(x0-δ,x0+δ)内可导，（1）若当x∈(x-δ,x0)时 ，当x∈(x0,x0+δ)时 ，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若当x∈(x0-δ，x0)时 ，当x∈(x0,x0+δ)时 ，则f(x)在x0处取得极大值。
⑥ 已知数列 的首项 ，其前 项的和为 ，且 ，则 =.
2、函数极限：
（1）公式： （C为常数）； （p>0）；
极限分析知识点总结
极限分析知识点总结一、极限的定义1.1 函数极限的定义对于一个函数$f(x)$，当$x$无限接近于某一点$a$时，如果$f(x)$的取值无限接近于一个常数$L$，那么我们就说$f(x)$在$x$趋向于$a$时的极限为$L$，记作$\lim_{x \rightarrowa}f(x)=L$。
其中$a$可以是有限的实数，也可以是无穷大的符号$\infty$。
1.2 极限的准确定义设函数$f(x)$在点$a$的某个去心邻域内有定义，如果存在一个常数$A$，对于任意一个给定的正数$\varepsilon$（无论它多么小），总存在着正数$\delta$，使得当$x$满足不等式$0<|x-a|<\delta$时，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$|f(x)-A|<\varepsilon$。
那么我们就称常数$A$是$f(x)$当$x$趋近于$a$时的极限，记作$\lim_{x \rightarrow a}f(x)=A$。
1.3 极限的图像理解从图像上看，函数$f(x)$在$x$趋向于$a$时的极限$A$，意味着当$x$在$a$的邻域内运动时，$f(x)$的取值将无限接近于$A$，并且可以在无穷远的位置处（例如无穷远处的水平渐近线）取得值$A$。
1.4 极限的两个重要性质（1）极限唯一性：如果$\lim_{x \rightarrow a}f(x)$存在，那么它的值是唯一确定的。
（2）函数极限与数列极限的关系：对于一个函数$f(x)$，当$x$趋向于$a$时的极限$\lim_{x \rightarrow a}f(x)=A$存在的充要条件是，对于任何一个以$a$为极限的数列$\{x_n\}$，函数序列$\{f(x_n)\}$的极限都存在且都等于$A$。
1.5 极限的一些特殊情况（1）无穷限的极限：$\lim_{x \rightarrow \infty}f(x)=A$，意味着当$x$趋向于无穷大时，函数$f(x)$的取值无限接近于$A$。
高数极限讲解
二、 函数的间断点
一、 函数连续性的定义
第八节
函数的连续性与间断点
第一章
可见 , 函数
在点
一、 函数连续性的定义
定义:
在
的某邻域内有定义 ,
则称函数
(1)
在点
即
(2) 极限
(3)
设函数
连续必须具备下列条件:
存在 ;
且
有定义 ,
存在 ;
continue
若
在某区间上每一点都连续 ,
在其定义域内连续
一、连续函数的运算法则
定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,
( 利用极限的四则运算法则证明)
商(分母不为 0) 运算,
结果仍是一个在该点连续的函数 .
例如,
例如,
在
上连续单调递增，
其反函数
(递减).
(证明略)
在 [－1 , 1] 上也连续单调递增.
递增
(递减)
同样可证: 函数
在
内连续 .
在
在
二、 函数的间断点
(1) 函数
(2) 函数
不存在;
(3) 函数
存在 ,
但
不连续 :
设
在点
的某去心邻域内有定义 ,
则下列情形
这样的点
之一函数 f (x) 在点
虽有定义 , 但
虽有定义 , 且
称为间断点 .
在
无定义 ;
间断点分类:
第一类间断点:
及
均存在 ,
若
称
若
基本初等函数在定义区间内连续
连续函数经四则运算仍连续
连续函数的复合函数连续
极限重要知识点总结
极限重要知识点总结一、极限的定义1.1 函数的极限在数学中，函数的极限描述了当自变量趋于某一特定值时，函数的取值趋于的某一确切值。
数学上用符号“lim”表示函数的极限，具体定义如下：对于函数f(x)，当x趋于a时，如果存在一个确定的常数L，使得对于任意小的正数ε，总存在着另一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-L|<ε成立，那么就称函数f(x)在x趋于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
1.2 数列的极限除了函数的极限，数列的极限也是极限的一种特殊情况。
对于数列{an}，当n趋于无穷大时，如果存在一个确定的常数a，使得对于任意小的正数ε，总存在着自然数N，使得当n>N时，就有|an-a|<ε成立，那么就称数列{an}在n趋于无穷大时的极限为a，记作lim(n→∞)an=a。
1.3 极限的重要性极限对于微积分的发展具有非常重要的意义，它为导数和积分的定义提供了理论基础。
在实际问题中，极限也具有很高的应用价值，它可以帮助我们研究和描述诸如速度、加速度、概率等问题，因此对于学习微积分和实际问题的解决都具有非常重要的意义。
二、极限的性质2.1 极限的唯一性如果函数f(x)在x=a的极限存在，那么这个极限是唯一的。
这意味着在某一点的极限值是确定的，不会有多个不同的极限值。
2.2 极限的有界性如果函数f(x)在x=a的极限存在且有限，那么函数f(x)在x=a的某个邻域内是有界的。
在实际应用中，有界性可以帮助我们判断函数在某个点附近的变化规律。
2.3 极限的保号性如果函数f(x)在x=a的某个邻域内恒大于（或小于）一个有限数L，则函数f(x)在x=a的极限也恒大于（或小于）L。
这个性质在实际问题中也具有很高的应用价值，可以帮助我们快速判断函数在某一点附近的变化规律。
2.4 极限的四则运算法则如果函数f(x)和g(x)在x=a的极限分别存在，那么它们的和、差、积、商的极限也分别存在，并且有如下关系：lim(x→a)(f(x)±g(x))=lim(x→a)f(x)±lim(x→a)g(x)，lim(x→a)(f(x)×g(x))=lim(x→a)f(x)×lim(x→a)g(x)，lim(x→a)(f(x)÷g(x))=lim(x→a)f(x)÷lim(x→a)g(x)（其中lim(x→a)g(x)≠0）。
高数极限的知识点笔记总结
高数极限的知识点笔记总结一、数列极限的概念1.1、数列的概念1.1.1、若给定一个从自然数集合N到实数集合R的函数an=f(n),则称序列{an}为数列。
1.1.2、数列是数学中的一个重要概念，它是指有序的一串数的集合。
比如，1,2,3,4,5,6,... 就是一个数列，其中每一个数都有一个位置，称之为该数在数列中的项。
这个位置通常用自然数n表示，称为项数。
1.2、数列极限的概念1.2.1、若数列{an}的项在某一项之后，无论距离这一项多近，都能无限地接近某一个确定的常数A，则称常数A为数列{an}的极限。
极限通过记号lim(an)=A来表示。
1.2.2、数列极限的概念是指当n趋于无穷大时，数列中的项an的极限值。
1.2.3、形式化定义：对于数列{an}，若对于任意给定的正数ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，|an-A|<ε，则称A是数列{an}的极限。
1.3、无穷大数列1.3.1、若数列{an}满足：对于任何实数M，存在正整数N，使得当n>N时，有|an|>M，则称数列{an}为无穷大数列。
1.3.2、无穷大数列的极限是无穷大。
1.4、数列极限的性质1.4.1、唯一性：数列的极限若存在，则唯一。
1.4.2、有界性：如果数列有极限，则这个数列一定是有界的。
1.4.3、保号性：如果数列{an}有极限A, 且A>0（或A<0），则存在正整数N1，当n>N1时，有an>0（或an<0）。
二、函数极限的概念2.1、函数极限的概念2.1.1、在自然数集N上定义的函数f(n)，若当n趋于无穷大时，f(n)的极限存在，则称函数f(n)在n趋于无穷大时有极限。
2.1.2、形式化定义：对于函数f(x)，若对于任意给定的正数ε>0，存在正数δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称A是f(x)当x趋于a时的极限。
山西高中数学极限基础知识
山西高中数学极限基础知识一、注意点1.函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。
定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件，无此条件，函数就没意义。
对应法则是正确理解函数概念的关键。
函数关系不同于一般的依赖关系，“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。
函数关系也不同于因果关系。
例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系，但时间变化并不是气温变化的实际原因。
y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则，“f”是一个记号，不是一个数，不能把f(x)看作f乘以x。
如果函数是用公式给出的，则“f”表示公式里的全部运算。
2.函数与函数表达式不同。
函数表达式是表示函数的一种形式，表示函数还可以用其他的形式，不要以为函数就是式子。
3.f(x)与f(a)是有区别的。
f(x)是函数的记号，f(a)是函数值的记号，是f(x)当x=a时的函数值。
4.两个函数，当其定义域相同，对应法则一样时，此二函数才是相同的。
二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点： 1.并不是函数都具有这些特性，而是在研究函数时，常要研究函数是否具有这些特性。
2.函数是否“有界”或“单调”，与所论区间有关系。
3.具有奇、偶性的函数，其定义域是关于原点对称的。
如果f(x)是奇函数，则f(0)=0。
存在着既是奇函数，又是偶函数的函数，例f(x)=0。
f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。
4.周期函数的周期通常是指其最小正周期，但不是任何周期函数都有最小周期。
三、求函数极限的方法1.利用函数连续性：lim f(x) = f(a) x->a（就是直接将趋向值带出函数自变量中，此时要要求分母不能为0）2.恒等变形当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决：（1）因式分解，通过约分使分母不会为零。
（2）若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。