高一数学任意角的三角函数3_图
6.1 任意角的正弦、余弦、正切、余切(第3课时)(课件)高一数学(沪教版2020必修第二册)
6.1 任意角的正弦、余弦、正切、余切（第3课时）
学习目标
1.借助单位圆理解任意角 (正弦、余弦、正切)的定义．
(重点、难点)
2．掌握任意角 (正弦、余弦、正切)在各象限的符号．
(易错点)
情境导入
在初中,我们通过直角三角形的边角关系,学习了锐角的正弦、余弦、正切这三个三角函数,如图所示.
所以角所在的象限是第三象限.
).
【变式】(1)若三角形的两内角，满足 ∙ < 0,则此三角形必为(
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
).
D.以上三种情况都有可能
答案：B.三角形的两内角，的终边一定落在第一、第二象限或轴正半轴上，
∙ < 0，所以 > 0， < 0 ，
例7. 已知角 α 的终边经过点 P（ １ ， －２ ）， 求角 α 的
正弦 、余弦 、 正切及余切值
解 ： 由 x 1, y 2 , 有 r =
12 ( 2 ) 2
y
2 5
x
5
s in a
, cos a
,
r
5
r
5
y
x
1
ta n a
2, cot a
．
【解析】解：由题意可得，x=4
故答案为：- ．
3.已知角α的终边经过点P(3，4)，则cosa=
．
【解析】解：由题意得角α的终边经过点P(3，4)，则|OP|=5，
所以cosa=
||
= ，
单位圆与任意角的三角函数课件-高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册
分析：如图设角的终边与单位圆交于点，则点
, ，且 = 1。点 , 在角的终边上，
则 = 2 + 2 ，分别过点, 作轴的垂线, ，
垂足为, ，易知△ ∽△ ，所以
点 , ，那么：
三角函数
的正弦函
数
的余弦函
数
定义
记法
符号表示
点的纵坐标
=
点的横坐标
=
概念剖析：
（1）是一个任意角，也就是实数（弧度数）所以，设是一个任意角实际上就
是说明它是一个任意的实数
（2）终边与单位圆的交点 , ，实际上给出了两对对应关系
2 11
,
3
6
上的最值。
例7、比较函数值的大小
（1）下列结论正确的是（ ）
A、400 > 50
B、220 < 590
C、130 > 500
D、 −40 < 310
（2）比较下列各组数的大小
6
6
①3, 4
② ,
对 点 练 习
1、在单位圆中， = − ：（1）画出角；（2）求角的正弦函数值和余弦函数
4
值。
2、若角的终边过点
1 3
,
2 2
，求，。
3、已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若 4, 是角终边上一
点，且 =
2 5
− ，求的值。
5
3、常见的特殊角的三角函数值
实数对应点的纵坐标，实数对应点的横坐标。
由于对于任意一个角，它的终边是唯一确定的，所以交点 , 唯一确定，也
【课件】任意角课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
“角α”或“ ∠α”可以
简记成“α”
概念引入（1）
图5.1-3（1）中的角是一个正角，它等于750°；图5.1-3（2）中，
正角α=210°，负角β=-150°，γ=-660°.正常情况下，如果以零
时为起始位置，那么钟表的时针或分针在旋转时所形成的角总是
负角.
图5.1-3
概念理解（1）
都有着循环往复、周而复始的规
律，这种变化规律称为周期性，
例如：地球自转引起的昼夜交替
变化和公转引起的四季交替变化，
月亮圆缺，潮汐变化，物体做匀
速圆周运动时的位置变化，物体
做简谐运动时的位移变化，交变
电流变化等，这些现象都可以用
三角函数刻画.
复习引入
初中所学的角是如何定义的?角的取值范围如何?
角可以看成平面内
角的加法：设α，β是任意两个角，我们规
定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对
应的角是a+β.
相反角：类似于实数a的相反数是-a，我
们引入任意角α的相反角的概念.
如图，我们把射线OA绕端点0按不同方向旋
转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，
概念的理解（1）
两个角也能像两个实数那样进行加减运算吗？
角的减法：像实数减法的“减去一个数等于
第二象限
O
第三象限
第一象限
x
第四象限
270°+k·360°
(-90°+k·360°)
k·360°
深化与思考
思维升华
表示区间(域)角的三个步骤
第一步：先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的
5-4-1正弦函数、余弦函数的图象 课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
3
2
2
x -4
-3
-2
-
o
-1
2
3
4
5
6
x
思考：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？
在函数 = ，
∈［0,2π］的图象上，以下五个点： 2
0,0 ， ，1 ， ，0
2
3
， − 1 ，（2，0）
2
y
1
o
2
3
2
2
x
1
在确定图象形状时起关键作用．描出这五个点，函数 = ， ∈［0,2π］的图象形状就基本确定了．因
y
1
O
-1
1
y
2
3 2
π
5 2π
2 3
0
，
3
x
5
，
2
3
例3
求函数 f(x)＝lg sin x＋ 16－x 的定义域.
2
sin x>0，
解析：由题意，得 x 满足不等式组
2
16－x ≥0，
－4≤x≤4，
即
作出 y＝sin x 的图象，如图所示.
3.注意与诱导公式、三角函数定义等知识的联系；
4.巩固图象变换的规律：对自变量x“左加右减”，对函数值f(x) “上加下减”.
布置作业
课后习题1、2
余弦函数的“五点画图法”
x
cosx
y
0
2
1
0
-1
1
o
3
2
2
0
1
y=cosx，x[0, 2]
高一数学人教A版必修一5.2.2同角三角函数的基本关系课件
cos 5 4 4
如果α是第四象限角,那么 cos 4 , tan 3
5
4
例3、 已 知tan 3，为 第 三 象 限 角 ， 求sin ,cos的 值 。
4
联 立 方 程 组
tan sin cos
方程(组)思想
si n2 cos2 1
练 习1、 已 知sin cos 5 ，180 270， 求tan的 值 。
5
所 以tan sin 2 cos
类型二：应用同角三角函数的基本关系化简三角函数式
例4、 化 简(：1) sin cos tan 1
切化弦
si n si n
co s
1
co s
si n si n
cos cos
2cos2 1
(2)
1 2sin2
“1”的代换
2cos2 (sin2 cos2 )
(2)求
s
i
n2 5
si
sin cos n cos si
n2
3co
s2 1
(3)求2sin2 sin cos 3cos2
小结 1、同角三角函数的基本关系
平方关系: sin2 cos2 1
商数关系: tan si n ( k , k Z )
cos
2
2、已知sinα(或cosα)求其它
4
3
例2、 已 知sin 3 ,求cos , tan的 值 。
5
解：因为sinα<0，sinα≠-1, 所以α是第三或第四象限角
由sin2α+cos2α=1得 cos2 1 sin2 1 ( 3)2 16 .
5 25
如果α是第三象限角,那么 cos 16 4
5.3三角函数诱导公式课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
任意负角的 三角函数
正角
0~2π
锐角
作业
必做题 课本习题 A组2,3,4.
选做题 课本习题B组1.
课后探究
探究角 - 的终边与 有什么关系？
2 它们的三角函数值有什么关系？
cos(180 ) cos[(180 )]
cos(180 )
cos
所以,原式 cos sin 1. sin (cos)
小结
1、通过例题，你能说说诱导公式的作用以及化任 意角的三角函数为锐角三角函数的一般思路吗？
任意负角的 三角函数
用公式 三或一
锐角的三 角函数
用公式 二或四
cos( ) cos tan( ) tan
y
O P' (-x, -y)
P(x, y) x
合作探究 请大家回顾一下，刚才我们是如何获得这组公式的?
公式二
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
角间关系
对称关系
坐标关系
三角函数值关系
温故而知新
xx
于是我们得到一组公式(公式三)： sin( ) sin
cos( ) cos tan( ) tan
合作探究
研究角 与 的三角函数值之间的关系。
公式四
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
合作探究
第一象限
锐角
sin( 2k ) sin (k Z)
复习回顾 1、任意角的三角函数的定义 y
sin y cos x tan y (x 0)
2、公式一x
sin(2k ) sin
P(x,y)
O
x
作用：可以把求任意角的三
cos(2k ) cos
任意角的三角函数
y
（- ） +） （ o x （+） - ） （
tan cos y x y tan cos sin ； ； ( x 0) x r r
sin
口诀
一全正
二正弦
三正切
四余弦
三、三角函数值在各象限的符号
y
正弦值为正
o
三角函数值全为正
x
正切值为正
余弦值为正
例3：确定下列各三角函数值的符号
对任意角 , P ( x, y ) 是 终边上除原点外 任意一点， x 2 y 2 ( r 0) ，我们规定： r
y （1）比值 叫做 的正弦，记作 sin ，即 r
y sin 正弦函数 r x （2）比值 叫做 的余弦，记作 cos ，即 r x cos 余弦函数 r y （3）比值 ( x 0) 叫做 的正切，记作 tan ，即 x y tan ( x 0) 正切函数 x
(1) cos 260
0
(2) sin( ) 3 0 ' (3) t an(672 20 ) 10 (4) t an 3
小结
同学们，你们今天学到了什么？
（1）任意角的三角函数的定义
设 为任意角, P ( x, y )是 终边上除原点 外任意一点，r
x 2 y 2 ( r 0)
例1. 已知角α的终边经过点P(2,3),求α的六个三角函数值.
因为 x = 2, y =－3， 解： 所以 r
2 2 ( 3) 2 13
y 3 3 13 所以 sin r 13 13 x 2 2 13 cos r 13 13 y 3 tan x 2
1.2.1 任意角的三角函数
任意角 课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
例4 S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.ຫໍສະໝຸດ 写出Ｓ中适合的元素
• Ｓ中适合 • 45°—2x180°= -- 315° • 45°—1x180°= -- 135° • 45°+0x180°= 45° • 45°+1x180°= 225° • 45°+2x180°= 405° • 45°+3x180°= 585°
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制 5.1.1 任意角
1.初中所学角是如何定义的？ 具有公共顶点的两条 射线组成的图形
2.初中学习过哪些角？
锐角、直角、钝角、 平角、和周角
3.初中学习的角的范围？
0º<α≤360º
我们学过的角
0 90 90
90 180
观察一组图片
自行车的车轮周而 复始地转动
S=｛β︱β=α+k·360°,k∈Z｝
即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与 周角的整数倍的和.
写出与－60°终边相同的角的集合
写出与0°终边相同的角的集合
｛β︱β= －60 °＋ k·360°,k∈Z｝ ｛β︱β= 0 °＋ k·360°,k∈Z｝
S={ β| β=a+k.3600 , K∈ Z}
3
能
数 法
k 1时, (1200,1500 ) 第二象限
3
k 2时, (2400 ,2700 ) 第三象限
方
法 3
k 3时, (3600 ,3900 ) 第一象限（重复）
3
α／3在第1、2、3象限
例6：已知α在第一象限，α／3在第几象限？
几 step1：把各象限n等分 何 step2：从x轴正方向起逆时 法 针依次 标上Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ
高一数学任意角的三角函数
sin y
cos x
y tan ( x 0) x
思考3：综上分析，各三角函数在各个象限 的取值符号如下表：
三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
cos
sin
cos sin
+
+
+
－
－
－
cos
tan
－ +
+ －
+
－
你有什么办法记住这些信息？
思考4：如果角α 与β 的终边相同，那么 sinα 与sinβ 有什么关系？cosα 与cosβ 有 什么关系？tanα 与tanβ 有什么关系？
x
cos x ， 思考7：对应关系 sin y ， y tan ( x 0) 都是以角为自变量，以单位圆
x
上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数， 分别称为正弦函数、余弦函数和正切函数， 并统称为三角函数，在弧度制中，这三个三 角函数的定义域分别是什么？ 正、余弦函数的定义域为R，
作业：
P15 练习：1，2，5，7.
3，4，6 做在书上
1.2
任意角的三角函数
1.2.1
任意角的三角函数
第二课时
问题提出
cos x
1.设α 是一个任意角，它的终边与单位 圆交于点P（x，y），角α 的三角函数 是怎样定义的？ y sin y cos x tan ( x 0)
x
思考5：设角α 的终边与单位圆的交点 为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，称 有向线段MP，OM分别为角α 的正弦线和 余弦线.当角α 的终边在坐标轴上时， 角α 的正弦线和余弦线的含义如何？ y y
任意角 课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
所有与角α终边 相同的角，连同 角α在内，可构 成一个集合S＝ {β|β＝α＋k·360°， k∈Z}
合作探究
例 2 (2)写出终边落在 x 轴上的角的集合 S.
解 S＝{α|α＝k1·360°，k1∈Z}
∪{α|α＝k2·360°＋180°，k2∈Z} ＝{α|α＝2k1·180°，k1∈Z} ∪{α|α＝(2k2＋1)·180°，k2∈Z} ＝{α|α＝n·180°，n∈Z}.
①420°.②855°.③－510°.
解难释疑
12
【例 1】(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，
作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
①420°.②855°.③－510°.
[解] 作出各角的终边，如图所示：
由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角． ③－510°是第三象限角．
D.－60°，－180°
合作探究
类型二 终边相同的角的表示及应用
【例 2】在与角 10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的 角. ①最大的负角；②最小的正角；③[360°，720°)内的角.
解 与10 030°终边相同的角的一般形式为 β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)， ①由－360°<k·360°＋10 030°<0°， 得－10 390°<k·360°<－10 030°， 解得k＝－28， 故所求的最大负角为β＝－50°.
边所对应的角是__α_+_β___.
(3)相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的 两个角叫做互为__相__反__角___，角α的相反角记为__-_α____，α－ β＝α＋_(_-_β_)__.
预习检测
人教版正弦函数、余弦函数的图像-河南省新乡市第一中学高中数学(共17张PPT)教育课件
•
•
•
•
之前有个网友说自己现在紧张得不得了 ，获得 了一个 大公司 的面试 机会， 很不想 失去这 个机会 ，一天 只吃一 顿饭在 恶补基 础知识 。不禁 要问， 之前做 什么去 了？机 会当真 就那么 少？在 我看来 到处都 是机会 ，关键 看你是 否能抓 住。运 气并非 偶然， 运气都 是留给 那些时 刻准备 着的人 的。只 有不断 的积累 知识， 不断的 进步。 当机会 真的到 来的时 候，一 把抓住 。相信 学习真 的可以 改变一 个人的 运气。
O MA x
三角函数
三角函数线
正弦函数 余弦函数 正切函数
sin=MP cos=OM
tan=AT
正弦线MP 余弦线OM 正切线AT
4.问题与思考
4.回顾三角函数的定义
三角函数
定义域
sin
cos
tan
R
R
{ | k , k Z}
2
值域
[-1,1] [-1,1] R
那我们是如何研究一个函数的？
•
•
学习重要还是人脉重要?现在是一 个双赢 的社会 ，你的 价值可 能更多 的决定 了你的 人脉， 我们所 要做的 可能更 多的是 专心打 造自己 ，把自 己打造 成一个 优秀的 人、有 用的人 、有价 值的人 ，当你 真正成 为一个 优秀有 价值的 人的时 候，你 会惊喜 地发现 搞笑人 脉会破 门而入 。从如 下方 面改进 ：1、专 心做可 以提升 自己的 事情； 2、学 习并拥 有更多 的技能 ；3、成 为一个 值得交 往的人 ；4学 会独善 其身， 尽量少 给周围 的人制 造麻烦 ，用你 的独立 赢得尊 重。
凡 事 都 是 多 棱 镜 ， 不 同 的 角度 会
高一数学1[1].2.1任意角三角函数_教学课件
![高一数学1[1].2.1任意角三角函数_教学课件](https://img.taocdn.com/s3/m/d87492eb6294dd88d0d26ba2.png)
主页
x
P0
1. 2. 1任意角的三角函数 (一) 任意角的三角函数 一
的终边过点P(【2】已知角 的终边过点 -12, 5), 则 】已知角θ的终边过点
5 sin θ = _____; 13
12 cos θ = _____; 13
5 tan θ = _____ . 12
求角α 例2.已知角 终边经过点 0(-3, -4),求角 的正 2.已知角α 终边经过点P 已知角 求角 余弦和正切值. 弦,余弦和正切值.
解: ∵x= -3, y=- 4, = =
∴ r = (3) + (4) = 5.
2 2
y
O
y 4 sin ∴ α = = = 4; r 5 5
cos α = x = 3 = 3 ; r 5 5
C.±3 ±
D. 5
b = 3 , ∴ cos α = x = 2 r 5 b + 16
解得 b = 3.
主页
1. 2. 1任意角的三角函数 (一) 任意角的三角函数 一
知识结构
三角函数的定义 任意角的 三角函数 三角函数的符号 定义域和值域 诱导(周角 公式一 诱导 周角)公式一 周角
主页
1. 2. 1任意角的三角函数 (一) 任意角的三角函数 一
α
O x 角 的终边在第一象限上
α
M
角的正弦,余弦,正切与 点的选取有关吗 点的选取有关吗? 角的正弦,余弦,正切与P点的选取有关吗?为 什么
答案
思考:角的终边如果在第二象限,第三象限,第四象限 思考:角的终边如果在第二象限,第三象限, 呢? 如果角的终边落在坐标轴上呢? 如果角的终边落在坐标轴上呢?
高中数学 1.2.1任意角的三角函数的定义及应用练习(含解析)苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试题
1．2 任意角的三角函数1．2.1 任意角的三角函数的定义及应用在初中我们已经学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量、边的比值为函数值的三角函数．你能用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？改变终边上的点的位置，这个比值会改变吗？把角扩充为任意角，结论成立吗？一、任意角的三角函数1．单位圆：在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆称为________．2．三角函数的定义：设角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合．在平面直角坐标系中，角α终边与单位圆交于一点P (x ，y )，则r ＝|OP |＝1.那么：(1)y 叫做________，记作sin α，即y ＝sin α； (2)x 叫做________，记作cos α，即x ＝cos α； (3)y x 叫做________，记作tan α，即y x＝tan α(x ≠0)．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们把它们统称为________．答案：1.单位圆2．(1)α的正弦 (2)α的余弦 (3)α的正切 三角函数二、三角函数值在各个象限内的符号1．由三角函数的定义，以及各象限内的点的坐标的符号，可以确定三角函数在各象限的符号．sin α＝y r，其中r >0，于是sin α的符号与y 的符号相同，即：当α是第________象限角时，sin α>0；当α是第________象限角时，sin α<0.cos α＝x r，其中r >0，于是cos α的符号与x 的符号相同，即：当α是第__________象限角时，cos α>0；当α是第________象限角时，cos α<0.tan α＝y x，当x 与y 同号时，它们的比值为正，当x 与y 异号时，它们的比值为负，即：当α是第________象限角时，tan α>0；当α是第 ________象限角时，tan α<0.2．根据终边所在位置总结出形象的识记口诀1：“sin α＝yr ：上正下负横为0；cos α＝x r ：左负右正纵为0；tan α＝y x：交叉正负．” 形象的识记口诀2：“一全正、二正弦、三正切、四余弦．” 答案：1.一、二 三、四 一、四 二、三 一、三 二、四三、诱导公式一由定义可知，三角函数值是由角的终边的位置确定的，因此，终边相同的角的同一三角函数的值________，这样就有下面的一组公式(诱导公式一)：sin(2k π＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cos α，tan(2k π＋α)＝tan α，k ∈Z. 答案：相等四、三角函数线1．有向线段：有向线段是规定了方向(即起点、终点)的线段，它是________、 ________的．在平面直角坐标系中，和坐标轴同向的有向线段为正，反向的为负．2．正弦线、余弦线、正切线：三角函数线是用来形象地表示三角函数值的有向线段．有向线段的________表示三角函数值的________，有向线段的________表示三角函数值的绝对值的________．三角函数线的作法如下：设角α的终边与单位圆的交点为P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有向线段MP ，OM 就分别是角α的正弦线与余弦线，即MP ＝y ＝sin α，OM ＝x ＝cos α.过点A (1，0)作单位圆的切线，设这条切线与角α的终边(或终边的反向延长线)交于点T ，则有向线段AT 就是角α的正切线，即AT ＝tan α.3．填写下表中三角函数的定义域、值域：函数定义域值域 y ＝sin α y ＝cos α y ＝tan α答案：1.有长度 有正负 2.方向 正负 长度 大小 3.函 数定 义 域值 域 y ＝sin α R [－1，1] y ＝cos α R[－1，1]y ＝tan α⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α≠π2＋k π，k ∈ZR任意角的三角函数的定义1．正弦、余弦、正切可分别看成是从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．2．三角函数值是比值，是一个实数．这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，而是由角α的终边位置所决定．对于确定的角α，其终边的位置也是唯一确定的．因此，三角函数是角的函数．(1)三角函数值只与角α的终边所在的位置有关，与点P 在终边上的位置无关． (2)三角函数值是一个比值，没有单位．三角函数值的符号三角函数值在各象限的符号取决于终边所在的位置，具体说取决于x，y的符号，记忆时结合三角函数定义式记，也可用口诀只记正的“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．三角函数线对于三角函数线，须明确以下几点：(1)当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．(2)当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点．(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆．(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点．(5)三种有向线段的正负与坐标轴正负方向一致，三种有向线段的长度与三种三角函数值相同．三角函数的定义域1．由三角函数的定义式可以知道，无论角α终边落在哪里，sin α，cos α都有唯一的值与之对应，但对正切则要求α终边不能落在y轴上，否则正切将无意义．2．角和实数建立了一一对应关系，三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数，所以就可以借助单位圆，利用终边相同的角的概念求出任意角的三角函数．基础巩固1．sin 810°＋tan 765°＋tan 1125°＋cos 360°＝________．答案：42．若α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值为________．答案：－3 23．若角α的终边过点P (3cos θ，－4cos θ)(θ为第二象限角)，则sin α＝________．答案：454．cos θ·tan θ＜0，则角θ是________象限角． 答案：第三或第四5．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限． 答案：二6．角α的正弦线与余弦线长度相等，且符号相同，那么α(0＜α＜2π)的值为________．答案：π4或54π7．sin 1，sin 1.2，sin 1.5三者的大小关系是________． 答案：sin 1.5＞sin 1.2＞sin 1能力升级8．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，－cos x ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤0，即角x 的终边落在第二象限内和两个半轴上．∴2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z)9．已知角α的终边在直线y ＝kx 上，若sin α＝－255，cos α<0，则k ＝________．解析：∵sin α＝－255，cos α<0，∴α的终边在第三象限．令角α的终边上一点的坐标为(a ，ka )，a <0，则r ＝－1＋k 2·a ，sin α＝－ka 1＋k 2a＝－255，∴k ＝2. 答案：210．在(0，2π)内，满足tan 2α＝－tan α的α的取值X 围是________． 解析：由tan 2α＝－tan α，知tan α≤0，在单位圆中作出角α的正切线，知π2＜α≤π或3π2＜α＜2π. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π11．解不等式2＋2cos x ≥0. 解析：2＋2cos x ≥0⇔cos x ≥－22，利用单位圆，借助三角函数线(如图)可得出解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－34π，2k π＋34π(k ∈Z)．12．若π4＜θ＜π2，则下列不等式中成立的是( )A ．sin θ＞cos θ＞tan θB ．cos θ＞tan θ＞sin θC ．sin θ＞tan θ＞cos θD ．tan θ＞sin θ＞cos θ解析：作出角θ的三角函数线(如图)，数形结合得AT ＞MP ＞OM ，即tan θ>sin θ>cosθ.答案：D13．函数y ＝sin x |sin x |＋cos x |cos x |＋tan x|tan x |的值域是( C )A ．{－1，0，1，3}B ．{－1，0，3}C ．{－1，3}D ．{－1，1}14．若0＜α＜π2，证明：(1)sin α＋cos α＞1； (2)sin α＜α＜tan α.证明：(1)在如图所示单位圆中， ∵0＜α＜π2，|OP |＝1，∴sin α＝MP ，cos α＝OM . 又在△OPM 中，有 |MP |＋|OM |＞|OP |＝1. ∴sin α＋cos α＞1.(2)如图所示，连接AP ，设△OAP 的面积为S △OAP ，扇形OAP 的面积为S 扇形OAP ，△OAT 的面积为S △OAT .∵S △OAP ＜S 扇形OAP ＜S △OAT ， ∴12OA ·MP ＜12AP ︵·OA ＜12OA ·AT .∴MP <AP ︵<AT ，即sin α＜α＜tan α.15．已知f (n )＝cosn π5(n ∈Z)，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 014)的值．解析：角n5π(n ＝1，2，…，10)表示10个不同终边的角，这10条终边分成五组，每组互为反向延长线．∴f (1)＋f (2)＋…＋f (10)＝0，f (11)＋f (12)＋…＋f (20)＝0，…f (2 001)＋f (2 002)＋…＋f (2 010)＝0.∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)＝0.∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)＝f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＝cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5.由定义知cos π5与cos 4π5，cos 2π5与cos 3π5互为相反数，故f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)＝0.。