北京工业大学大学物理竞赛辅导竞赛：4-力学2015--刚体

m, L
O mv
（刚体的动量、角动量守恒）
解：(1) 碰撞过程中, 球－杆系统角动量守恒, 有
m
v
L 2
[
1 12
m
L2
m
(
L 2
)
2
]
0
0
3v 2L
碰撞后，系统以角速度0=3v/2L绕轴 作逆时针匀角速转动.
(2) 碰撞过程中，球－杆系统动量守恒， 且在质心系中角动量守恒，有
m v (m m )vc
试通过定量推导判断质点与刚体P
部位在 vr 0 方向线上的碰后分离速率
是否等于碰前接近速率？
解：在图示惯性系中，凡涉及角动量定理的内 容，均取刚体质心C尚未运动时在此惯性 系中所在点为参考点。碰撞前后可列三个 方程：
结果是要比较
和v0 的大小。
计算结果请参照参考资料。
9. 转动惯量为J、半径为R的圆盘正在以角 速度0旋转，突然其最下方的边缘掉下 一小碎块m ( 设m的线度远远小于R )， 设碎块掉下时与圆盘边缘的切向相对速
ao R
环心系： a t a t R a n a n R 2 R 2 t 2
地面系： 最低点
a t a t a o 0 a n a n R 2 t 2
a
a
2 t
a
2 n
R
2tLeabharlann Baidu2
最高点
a t a t a o 2 R
a n a n R 2 t 2
a
解：Ip miri2 r2dm
Ic md2
6. 圆心记为O，半径R，质量4m的匀质圆板 ，内切地割去半径为R/2的小圆板后，剩 余的板块如图所示，其质心位置记为C( 图中未示出). 过O、C分别设置垂直于板 面的转轴，则相对这两个转轴的转动惯 量分别为IO=， IC= . （平行轴定理）
O
a
2 t
a
2 n
R
4 2t4
2. 在光滑水平面上有一质量为M，长为L的
匀vv 0 质与细杆杆的。一今端有碰一撞小，球此以后垂随直着于杆杆的的运速动度
，杆的另一端又与小球碰撞。设碰撞是弹
性的，问：要使第二次碰撞后小球速度仍
为 vv 0 ，小球质量m应为多大？
解：设第一次碰撞后，细杆质心的运动速
体在同一水平面内。刚体相对过质心的转轴的转动惯
量为Ic，质点的速度 vr r0 对准刚体边界点P，且与过P点 的边界切线方向矢量 e 切 垂直，刚体中的两个几何参量 l， 心1、碰速l2度后的v瞬r含C 间义、，图绕质中过点示质速出心度。转v设r轴m 质、转点刚动与体角刚质速体的碰撞是弹性的
度，均在图中用虚线箭矢示出。
I(A3) m R 2 m R 2 2m R2
5. 平行轴定理（2011年竞赛题） 如图所示，由三根相同的均匀细杆连成的等边
三角形刚体框架每边长为a，总质量为M。将框 架相对于过框边上任意一点P且垂直于框架平 面的转轴的转动惯量记为IP。所有IP中最小者 Imin所对应的P点必定在_________，所有IP中最 大者Imax与最小者Imin之差为_________，
度为vc，整个细杆围绕质心转动的角速度 为，小球速度为v1，则因碰撞前后球－杆 系统动量守恒，系统对过细杆质心并垂直
于水平面的轴的角动量守恒，系统动能守
恒，分别有
m0vm1vMcv （1）
m0vL 2m1vL 2112M2L （2） 1 2m 0 2 v 1 2m 1 2 v 1 2M c 2 v 1 21 1M 22L 2（3）
杆如图，图中A1、A2、A3代表3根垂直于曲杆 所在平面的固定转轴，则其中曲杆相对转轴
的转动惯量最大；若曲杆质量为m、半径
为R，则它相对转轴A3的转动惯量为. （平行轴定理） A2
A1
R A3
O1
R O2
解：(1) 曲杆质心在A3处，A1离质心最远，故 答案为：A1
(2) 设想将右侧半圆环翻转到左侧，则系 统对A3轴的转动惯量不变，故有
此外，要使第二次碰撞后小球仍在原方向
上运动，则碰撞时细杆应与小球运动方向
垂直，这就要求第一次碰撞后细杆质心的
运动速度与小球运动速度相等，有
vc v1
（4）
在第二次碰撞前后，系统的动量、角动
量和动能仍然守恒，且碰撞后小球速度恢复 为 vv 0 ，守恒关系式与上面的（1）～（3） 式相同，不产生新的方程。
由（1）～（4）式可得
m M 2
3. 两根长度均为L的匀质细杆连成T形尺， 其上任取一点P，记I(P)为T形尺对过P点 且垂直于T形尺所在平面的轴的转动惯量. 试在尺上准确标出P1、P2点的位置，使 I(P1)为所有I(P)中最小者，I(P2)为所有 I(P)中最大者. （平行轴定理）
L
P L
解：由转动惯量的平行轴定理
解：(1)
IO
1 2
(4
m
)R
2
[
1 2
m
(
R 2
)2
m
(
R 2
)
2
]
13 8
m
R2
(2)
设OC= x
OC
则有
3m x m R 0
x
R 6
2
IO
IC
3m
(
R 6
)
2
IC
37 24
m
R
2
7. 如图，一长为L、质量为m的匀质细杆置于光
滑水平面上，可绕过杆中点O的光滑固定竖直 轴转动，初始时杆静止，有一质量与杆相同的 小球以与杆垂直的速度v飞来，与杆端点碰撞 并粘附其上. ⑴定量分析系统碰撞后的运动状 态；⑵若去掉固定轴，杆中点不固定，再求碰 后系统的运动状态.
m
v
L 4
{
[
1 12
m
L2
m
(
L 4
)
2
]
m
(
L 4
)
2
}
由上两式解得：
vc
v 2
6v
5L
碰撞后，系统质心以速度vc=v/2向右 作匀速直线运动，同时系统以角速度
=6v/5L绕过质心(位于距杆端L/4处) 的竖直轴作逆时针匀角速转动.
8 （2013年，20分）
如图，质量为m的运动质点与质量为M的静止平面刚
I(P ) IC M d 2
可知：过质心的轴，I最小；离质心最远 的轴，I最大.
T形尺的质心在竖杆上，设其距横杆为x
，则有
m x m(L x) 2
x L 4
——P1点确定
P2点应距质心最远，易知其位于竖杆下 端.
在图中标出：
L
P1 L/4
P2 L
4. 由两个相同的匀质半圆环相切连接成的平面曲
刚体
1. 半径为R的圆环静止在水平地面上，t=0 时刻开始以恒定的角加速度沿直线作 纯滚动. 任意t>0时刻，环上最低点的加 速度大小为，最高点的加速 度大小为. （纯滚动）
解：
an at
ao
at an
纯滚动特点： ⑴环心速度大小＝环上一 点绕环转动的线速度大小 ⑵环心加速度大小＝环上 一点绕环转动的切向加速 度大小