费马点模型(1)

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2024年中考数学几何模型之动点最值之费马点模型(讲+练)(原卷版[001]

专题12 动点最值之费马点模型费马点模型：如图，在△ABC内部找到一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小.当点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º，则PA＋PB＋PC的值最小，P点称为三角形的费马点.特别地，△ABC中，最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）费马点的性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。

2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。

费马点最小值解法：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值证明过程：将△APC边以A为顶点逆时针旋转60°，得到AQE，连接PQ，则△APQ为等边三角形，PA=PQ。

即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，当B、P、Q、E四点共线时取得最小值BE例题1. 已知：△ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。

△AGC=△AGB=△BGC=120°.求证：GA+GB+GC的值最小.例题2. 已知正方形ABCD 内一动点E 到A 、B 、C 26求正方形的边长．【变式训练1】已知点P 是△ABC 内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P 点叫△ABC 的费马点。

已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC 中，当∠APB ＝∠APC ＝∠BPC ＝120°时，P 就是△ABC 的费马点。

若点P 的等腰直角三角形DEF 的费马点，则PD ＋PE ＋PF ＝ .【变式训练2】如图，已知矩形ABCD ，AB =4，BC =6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA +MD +ME 的最小值为______．【变式训练3】如图，P 是锐角△ABC 所在平面上一点，如果∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ＝120°，则点P 就叫做△ABC 费马点。

费马点模型经典例题

费马点模型经典例题费马点模型是一个经典的几何问题，涉及到费马点（Fermat point）的位置。

费马点是指一个三角形内部的一个点，使得从该点到三个顶点的距离之和最短。

下面是几个经典的费马点模型例题：例题1：在一个等边三角形ABC中，求费马点的位置。

解答：由于等边三角形的三个角都是60度，所以费马点位于三个顶点的正中间，即三条边的交点。

费马点是等边三角形的重心和垂心的重合点。

例题2：在一个直角三角形ABC中，角C为90度，AC=5，BC=12，求费马点的位置。

解答：费马点位于斜边AB上，使得ACF和BCF的角度相等。

首先，连接点C和点F，并延长CF至点D，使得CD=AC=5。

然后，以点D为圆心，CD为半径，画一个圆，该圆与斜边AB相交于点F。

点F即为费马点。

例题3：在一个任意形状的三角形ABC中，已知AB=8，BC=10，AC=12，求费马点的位置。

解答：为了确定费马点的位置，可以使用几何构造的方法。

步骤如下：以边AB为直径，画一个圆。

以边AC为直径，画一个圆。

以边BC为直径，画一个圆。

三个圆的交点即为费马点。

例题4：在一个正三角形ABC中，内部有一点P，使得∠APB = 120度，∠APC = 135度，求费马点的位置。

解答：由于正三角形的三个角都是60度，所以费马点位于三个顶点的正中间，即三条边的交点。

费马点是正三角形的重心和垂心的重合点。

以下是一些例题可供练习：1.在一个等边三角形ABC中，求费马点的位置。

2.在一个直角三角形ABC中，角C为90度，AC=5，BC=12，求费马点的位置。

3.在一个任意形状的三角形ABC中，已知AB=8，BC=10，AC=12，求费马点的位置。

4.在一个正三角形ABC中，内部有一点P，使得∠APB = 120度，∠APC = 135度，求费马点的位置。

5.在一个等边三角形ABC中，点P在边AB上，使得AP=3，BP=4，求费马点的位置。

6.在一个等边三角形ABC中，点P在边AB上，使得AP=8，BP=5，求费马点的位置。

2023年中考数学常见几何模型之最值模型费马点问题

专题12 最值模型-费马点问题最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想。

在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。

本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。

【模型解读】结论1：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。

注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。

（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）【模型证明】以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．在△AMB 与△ENB 中，∵AB BEABM EBN BM BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AMB ≌△ENB （SAS ）．连接MN ．由△AMB ≌△ENB 知，AM ＝EN ．∵∠MBN ＝60°，BM ＝BN ，∴△BMN 为等边三角形．∴BM ＝MN ．∴AM +BM +CM ＝EN +MN +CM ．∴当E 、N 、M 、C 四点共线时，AM +BM +CM 的值最小．此时，∠BMC ＝180°﹣∠NMB ＝120°；∠AMB ＝∠ENB ＝180°﹣∠BNM ＝120°；∠AMC ＝360°﹣∠BMC ﹣∠AMB ＝120°．费马点的作法：如图3，分别以△ABC 的AB 、AC 为一边向外作等边△ABE 和等边△ACF ，连接CE 、BF ，设交点为M ，则点M 即为△ABC 的费马点。

费马点数学模型

费马点数学模型
摘要：
1.费马点的概念
2.费马点的数学模型
3.费马点的应用
正文：
1.费马点的概念
费马点，又称费马素数，是指形如$F_p=2^p+1$的素数。

其中，$p$为正整数，$F_p$是由法国数学家皮埃尔·德·费马首先提出的。

费马点具有许多独特的性质，因此在数论、代数几何等领域有着广泛的应用。

2.费马点的数学模型
费马点的数学模型可以通过以下方式描述：
设$F_p=2^p+1$，其中$p$为正整数，$2^p$表示$p$的二进制表示，$+1$表示对$2^p$进行加一操作。

费马点的数学模型可以推广到其他素数，例如：$F_3=2^3+1=9$，
$F_5=2^5+1=33$等。

3.费马点的应用
费马点在数学领域具有广泛的应用，以下是其中两个典型的应用：
（1）费马素数在数论中的应用
费马素数在数论中有许多重要的应用，例如：它们是唯一一种已知其所有正约数的整数，也就是说，任何一个大于1 的正整数，如果它的质因数分解后
只包含费马素数，那么它就是一个费马素数。

（2）费马点的椭圆曲线应用
费马点在代数几何中的应用也相当重要。

例如，在椭圆曲线上，费马点可以表示为：$y^2=x^3+ax+b$。

这里的$x,y$是椭圆曲线上的点，$a,b$是常数。

费马点在椭圆曲线上的分布具有许多有趣的性质，这些性质对椭圆曲线上的加密算法（如椭圆曲线密码学）有着重要的影响。

初中几何模型费马点最值模型

几何模型：费马点最值模型费马尔问题思考：如何找一点P 使它到△ABC 三个顶点的距离之和PA+PB+PC 最小？当B 、P 、Q 、E 四点共线时取得最小值费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。

它是这样确定的：1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。

费马点的性质：费马点有如下主要性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。

2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。

费马点最小值快速求解：费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．秘诀：以△ABC 任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值=BP AP CP BP PQ QE BE++++≥典题探究启迪思维探究重点例题1. 已知：△ABC 是锐角三角形，G 是三角形内一点。

∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°.求证：GA+GB+GC 的值最小.证明：将△BGC 逆时针旋转60°，连GP,DB.则 △CGB ≌△CPD ；∴ ∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠GCB=∠PCD.∵ ∠GCP=60°,∴ ∠BCD=60°,∴ △GCP 和△BCD 都是等边三角形。

∵ ∠AGC=120°, ∠CGP=60°.∴ A 、G 、P 三点一线。

∵ ∠CPD=120°, ∠CPG=60°.∴ G 、P 、D 三点一线。

∴ AG 、GP 、PD 三条线段同在一条直线上。

∵ GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD.∴ G 点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的那一点变式练习>>>1．如图，P 是边长为1的等边ABC ∆内的任意一点，求t PA PB PC =++的取值范围.解：将BPC ∆绕点B 顺时针旋转60°得到''BP C ∆，易知'BPP ∆为等边三角形.从而''''PA PB PC PA PP P C AC ++=++≥（两点之间线段最短），从而3t ≥.过P 作BC 的平行线分别交AB AC 、于点M N 、，易知MN AN AM ==.因为在BMP ∆和PNC ∆中，PB MP BM <+①，PC PN NC <+②。

几何最值模型之费马点模型(解析版)

几何最值模型之费马点模型皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。

费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。

本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型分析模型：费马点模型1.费马点模型概念：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。

2.解题依据：旋转变换。

3.解题策略：构造等边三角形共顶点旋转，通过旋转把三条线段凑在一起顺次相连。

4.解题思路：化折为直，共线时求最值。

5.费马点的作法：分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。

模型展示模型①：费马点模型【模型解读】结论1：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。

注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。

(这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°)【模型解析①】构造等边三角形共顶点旋转以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．∵△ABE 为等边三角形，∴AB =BE ，∠ABE =60°．而∠MBN =60°，∴∠ABM =∠EBN ．在△AMB 与△ENB 中，∵AB =BE∠ABM =∠EBN BM =BN，∴△AMB ≌△ENB (SAS )．连接MN ．由△AMB ≌△ENB 知，AM =EN ．∵∠MBN =60°，BM =BN ，∴△BMN 为等边三角形．∴BM =MN ．∴AM +BM +CM =EN +MN +CM ．∴当E 、N 、M 、C 四点共线时，AM +BM +CM 的值最小．此时，∠BMC =180°-∠NMB =120°；∠AMB =∠ENB =180°-∠BNM =120°；∠AMC =360°-∠BMC -∠AMB =120°．【模型解析②】“手拉手模型”原理在△ABC 的外侧，分别作等边△ABT 、等边△ACE ，连接CT 、BE 相交于点P，此时∠BPT =60°，∠APB =∠BPC =∠CPA =120°(参见“手拉手模型-全等”)，点P 就是△ABC 的费马点，费马距离等于CT 或BE ．【模型解析③】费马点的作法如图，分别以△ABC 的AB 、AC 为一边向外作等边△ABE 和等边△ACF ，连接CE 、BF ，设交点为M ，则点M 即为△ABC 的费马点。

费马点模型基本结论

浙江省绍兴市2021届英语八年级上学期期末检测试题一、选择题1．Did your mother cook _________ for you on your birthday？A.everything differentB.different somethingC.anything differentD.different anything2．─Now，we can see _________ trees on the hill.─Oh，the students planted them yesterday.A.hundreds ofB.hundredC.hundredsD.hundred of3．-How soon will you finish your homework?- ____________ two hours.A.AtB.ForC.OnD.In4．Finally, we all decided to ________ a concert for the coming New Year's Day.anizeB.drawC.serveD.forward5．—I'm busy with my schoolwork these days.—That's great！You won't get good grades ________ you study hard.A.untilB.becauseC.unlessD.though6．What is she going to do when she _____the news?A.is going to hearB.hearC.hearsD.will hear7．I want _____________ a drum player and I'm going to take drum lessons.A.beB.to beC.doD.going to be8．Li Wei is a __________ student, but his brother is even __________ than him.A.best；betterB.better；betterC.good；bestD.good；better9．—What a heavy rain! Will it last long?—We’re getting into the rainy season now.A．Certainly not. B．I’m afraid so.C．I don’t think so.D．That’s good enough.10．First, open the box. Next, take it out. _____________, eat it.A.NextB.SecondC.FirstD.Finally11．He isn’t sure if he _____ rich when he grows up. If he ______ rich, he may have problems ______ who his real friends are.A.is; is; knowingB.is; will be; to knowC.will be; is; to knowD.will be; is; knowing12．—Why not go out and take a walk?—Sorry,I have homework to do.A．much too B．too much C．many too D．too many13．I’m looking forward to ____ you.A．hear from B．hearing from C．hear of D．hearing of14．We _________ for a picnic if it _________ rain this Sunday.A．go, doesn’t B．will go, won’tC．wi ll go, doesn’t D．go, won’t15．I want to be a scientist like Tu Youyou when I ________ in the future.A．grow up B．wake up C．stay up二、单词填空16．A)根据句意及所给汉语提示，写出句中所缺单词。

【范例】线段最值系列--费马点模型(

线段最值系列—费马点模型学号：姓名：【问题背景】“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点.若给定一个三角形△ABC的话，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起的都要小.这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个.若三角形有一内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是距离和最小的点.【构图模型】问题：如图1，如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？图文解析：如图1，把△APC绕C点顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′．则△CPP′为等边三角形，CP= PP′，P A =P′A′，∴P A+PB+PC= P′A′+ PB+ PP′≥B C′．∵点A′可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60°而得的定点，BA′为定长，∴当B、P、P′、A′ 四点在同一直线上时，P A+PB+PC最小．最小值为BA.′【如图1和图2，利用旋转、等边等条件转化相等线段.】∴∠APC=∠A′ P′C=180°-∠CP′P=180°-60°=120°，∠BPC=180°-∠P′PC=180°-60°=120°，∠APC=360°-∠BPC-∠APC=360°-120°-120°=120°.因此，当△ABC的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．费马点问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．【构图总结】利用旋转、等边等条件转化相等线段，将三条线段转化成首尾相连的三条线段，利用两点之间线段最短进而解决该问题.【典型例题】例1（2019⋅武汉）如图，在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG=42，点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是______．例2如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．ON G图2AB CDME图1图2例1图例2图例3 如图1，已知一次函数y =x +3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线c bx x y ++-=2过A 、B 两点，且与x 轴交于另一点C ．（1）求b 、c 的值；*（2）点D 为AC 的中点，点E 在线段BD 上，且BE =2ED ，连接CE 并延长交抛物线于点M ，求点M 的坐标；（3）将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ，连接CG ，如图2，P 为△ACG 内一点，连接P A 、PC 、PG ，分别以AP 、AG 为边，在他们的左侧作等边△APR ，等边△AGQ ，连接QR ，求P A +PC +PG 的最小值．例4 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（－1,0），点B 的坐标为（4，0），经过点A 点B 抛物线y =x ²+bx +c 与y 轴交于点C . （1）求抛物线的关系式.*（2）△ABC 的外接圆与y 轴交于点D ，在抛物线上是否存在点M 使S △MBC =S △DBC ，若存在，请求出点M 的坐标.（3）点P 是直线y = -x 上一个动点，连接PB ，PC ，当PB +PC +PO 最小时，求点P 的坐标及其最小值.图1 图2备用图线段最值系列—费马点模型课堂检测学号：姓名：1.如图，四个村庄坐落在矩形ABCD 的四个顶点上，AB ＝10公里，BC ＝15公里，现在要设立两个车站E ，F ，则EA +EB +EF +FC +FD 的最小值为公里．2.小颖在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现：ABC ∆内总存在一点P 与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小．【特例】如图1，点P 为等边ABC ∆的中心，将ACP ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到ADE ∆，从而有DE PC =，连接PD 得到PD PA =，同时12060180APB APD ∠+∠=︒+︒=︒，180ADP ADE ∠+∠=︒，即B 、P 、D 、E 四点共线，故：PA PB PC PD PB DE BE ++=++=．在ABC ∆中，另取一点P '，易知点P '与三个顶点连线的夹角不相等，可证明B 、P '、D '、E 四点不共线，所以P A P B P C PA PB PC '+'+'>++，即点P 到三个顶点距离之和最小．【探究】（1）如图2，P 为ABC ∆内一点，120APB BPC ∠=∠=︒，证明PA PB PC ++的值最小；【拓展】（2）如图3，ABC ∆中，6AC =，8BC =，30ACB ∠=︒，且点P 为ABC ∆内一点，求点P 到三个顶点的距离之和的最小值．。

中考数学解题技巧6：费马点问题模型

D
E P
A
B
C
此时 CD 与 BE 交点 P 点还是我们的费马点吗？显然这时候就不是了，显然 P 点
到 A、B、C 距离之和大于 A 点到 A、B、C 距离之和．所以咧？是的，你想得没
错，此时三角形的费马点就是 A 点！当然这种情况不会考的，就不多说了．
03.为什么是这个点
为什么 P 点满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，PA+PB+PC 值就会最小呢？归根结底，还是要重组这里 3 条线段：PA、PB、PC 的位置，而重组的方法是构造旋转！在上图 3 中，如下有△ADC≌△ABE，可得：CD=BE．
D
A E
P
B
C
类似的手拉手，在图 4 中有 3 组，可得：AF=BE=CD．
D
A E
P
B
C
F
巧的嘞，它们仨的长度居然一样长！更巧的是，其长度便是我们要求的 PA+PB+PC 的最小值，这一点是可以猜想得到的，毕竟最小值这个结果，应该也是个特别的值！
接下来才是真正的证明：考虑到∠APB=120°，∴∠APE=60°，则可以 AP 为边，在 PE 边取点 Q 使得 PQ=AP，则△APQ 是等边三角形． △APQ、△ACE 均为等边三角形，且共顶点 A，故△APC≌△AQE ，PC=QE．以上两步分别转化 PA=PQ，PC=QE，故 PA+PB+PC=PB+PQ+QE =BE
则点 O 到△MNG 三个顶点的距离和的最小值是______．
E M
A
B
P
C
D
图1
O
N
G
图2
【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路，构造 60°的旋转，当然如果已经了解了费马点问题，直接来解决就好了！如图，以 MG 为边作等边△MGH ，连接 NH ，则 NH 的值即为所求的点 O 到△MNG 三个顶点的距离和的最小值．（此处不再证明）

费马点模型基本结论

费马点模型基本结论费马点模型是一种用于解释城市发展和城市空间结构的理论模型，由法国数学家费马在17世纪提出。

该模型基于最小化人口出行成本的原则，通过假设人们会选择最短路径来到达他们想去的地方，从而预测城市中不同区域的人口密度分布、交通流量等现象。

一、费马点模型概述1.1 费马点模型的基本原理费马点模型是一种基于最小化人口出行成本的原则来解释城市发展和城市空间结构的理论模型。

该模型假设人们会选择最短路径来到达他们想去的地方，从而预测城市中不同区域的人口密度分布、交通流量等现象。

1.2 费马点模型的应用领域费马点模型主要应用于城市规划、交通规划等领域。

通过对城市中各个区域之间距离和交通流量等因素进行分析和计算，可以更好地指导城市规划和交通规划。

二、费马点模型基本结论2.1 费马点存在性定理费马点存在性定理指出，在满足一定条件的情况下，城市中存在一个费马点，即使得到达城市中任意一点的最短路径长度最小的点。

2.2 费马点和交通网络费马点模型认为，城市中的道路网络和人口分布是相互影响的。

在一个给定的道路网络上，如果人口分布不均匀，则会导致费马点位置发生变化。

2.3 费马点和城市形态费马点模型认为，城市形态也会影响费马点的位置。

在一个给定的人口分布下，如果城市形态发生变化，则会导致费马点位置发生变化。

2.4 费马点和交通流量费马点模型认为，交通流量也会影响费马点的位置。

在一个给定的人口分布和道路网络下，如果交通流量发生变化，则会导致费马点位置发生变化。

三、总结通过对费马点模型基本结论的分析可以看出，在城市规划和交通规划等领域中应用该模型可以更好地指导实际工作。

同时，在实际应用过程中还需要考虑其他因素对模型结果产生的影响，并进行综合分析。

初中数学费马点模型

初中数学费马点模型
费马点模型是一种求解几何问题的方法，由法国数学家费马提出。

它基于一个重要的定理：在一条直线到两个点的距离之和为定值时，这条直线必定经过这两个点连线的垂线的交点。

在初中数学中，费马点模型常用于解决两个点和一个点到这两个点距离之和为定值的问题。

例如，从一个点到两座岛屿的距离之和为定值，求这个点的位置。

解题步骤：
1. 根据题目给出的条件，确定两个点所在的位置，并连线。

2. 以两个点为圆心，以它们的距离为半径分别画两个圆。

3. 找到这两个圆的交点，即为费马点，表示到两个点距离之和为定值时到达岛屿的最短路径。

4. 验证费马点是否符合题目所给的条件，即到两座岛屿的距离之和是否等于定值。

5. 如果符合题目要求，就可以得出答案。

需要注意的是，当两个点的距离很小，或距离为0时，费马点不一定存在。

此时应根据具体题目情况进行判断。

费马点数学模型

费马点数学模型摘要：一、费马点数学模型简介1.费马点的概念2.费马点的数学模型二、费马点的历史背景1.费马点的起源2.费马点的早期发展三、费马点在数学领域的应用1.费马点与最小曲面2.费马点与最小生成树四、费马点在实际生活中的应用1.费马点在计算机科学中的应用2.费马点在生物学中的应用五、费马点的未来研究方向1.费马点与人工智能2.费马点与其他领域的交叉研究正文：费马点数学模型是一种在数学和计算机科学中广泛应用的模型，它的概念起源于17世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名问题。

费马点是指在一个给定的凸多边形中，连接各顶点与对角线的交点中，有一个点距离所有顶点的距离之和最小的点。

这个点被称为费马点，因为它最早由费马提出。

费马点数学模型的建立基于距离的概念。

假设我们有一个凸多边形P，我们想要找到一个点F，使得F到P中所有顶点的距离之和最小。

这个问题可以通过将凸多边形P的每个顶点看作一个坐标系的原点，然后计算所有原点到F 的距离之和来求解。

通过求导和最优化方法，我们可以找到使距离之和最小的点F，即费马点。

费马点的历史背景可以追溯到17世纪，当时费马提出费马点问题，并声称自己找到了一个绝妙的证明，但由于篇幅有限，并未公布。

费马点的早期发展主要集中在寻找费马点的各种算法和几何解释。

费马点在数学领域有许多应用，其中一个重要的应用是费马点与最小曲面问题。

在计算机图形学中，最小曲面问题是一个重要的研究领域，它关注如何在给定的边界条件下找到曲面面积最小化的解决方案。

费马点可以用于求解这类问题，因为它可以找到凸多边形中距离之和最小的点，从而得到最小曲面。

另一个应用是费马点与最小生成树。

在图论中，最小生成树是一个重要的概念，它是指连接一个无向图的所有顶点的一棵生成树，使得该生成树的边权值之和最小。

费马点可以用于求解最小生成树问题，因为它可以找到连接凸多边形各顶点的最短路径，从而得到最小生成树。

专题21 费马点模型

费马点模型【模型专题】费马点模型【模型分析】费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离．若三角形内有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点．若三角形的内角均小于120°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；1、若三角形有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点如图在△ABC中，∠BAC≥120°，求证：点A为△ABC的费马点证明：如图，在△ABC内有一点P延长BA至C，使得AC＝AC，作∠CAP＝∠CAP，并且使得AP＝AP，连结PP 则△APC≌△APC，PC＝PC因为∠BAC≥120°所以∠PAP′＝∠CAC≤60所以在等腰△PAP中，AP≥PP′所以PA＋PB＋PC≥PP′＋PB＋PC＞BC＝AB＋AC所以点A为△ABC的费马点2、若三角形的内角均小于120°，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点．如图，在△ABC中三个内角均小于120°，分别以AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点为O，求证：点O为△ABC的费马点证明：在△ABC内部任意取一点O，；连接OA、OB、OC将△AOC绕着点A逆时针旋转60°，得到△AO′D连接OO′则O′D＝OC所以△AOO′为等边三角形，OO′＝AO所以OA＋OC＋OB＝OO′＋OB＋O′D则当点B、O、O′、D四点共线时，OA＋OB＋OC最小此时AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O3、如图，在△ABC中，若∠BAC、∠ABC、∠ACB均小于120°，O为费马点，则有∠AOB＝∠BOC＝∠COA ＝120°，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心类型一线段的系数都相同求线段的和的情况（费马点）考法1：费马点在三角形中运用例11．如图，在△ABC中，P为平面内一点，连结PA，PB，PC，分别以PC和AC为一边向右作等边三角形△PCM和△ACD．【探究】求证：PM＝PC，MD＝PA【应用】若BC＝a，AC＝b，∠ACB＝60°，则PA+PB+PC的最小值是（用a，b表示）【变式】2．问题提出（1）如图①，在△ABC中，BC＝2，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△A′B′C′，则CC′＝；问题探究（2）如图②，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝30°，点P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，求PA＋PB ＋PC的最小值，并说明理由；问题解决（3）如图③，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，AD＝4，∠ABC＝∠BCD＝60°．在四边形ABCD内部有一点，满足∠APD＝120°，连接BP、CP，点Q为△BPC内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得PQ＋BQ＋CQ有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【变式】3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF=；（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当BD=2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最小．当PA+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．考法2：费马点在四边形中运用例24．如图，P为正方形ABCD内的动点，若AB＝2，则PA＋PB＋PC的最小值为_____．【变式】5．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接BN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）若正方形的边长为2，正方形内是否存在一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，说明理由．【变式】6．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E、F分别是AB、BC上的动点，连接DE、DF、EF．（1）如图1，连接AF，若AF⊥BC，E为AB的中点，且EF＝2，求DF的长；（2）如图2，若BE＝BF，G为DE的中点，连接AF、AG、FG，求证：AG⊥FG；（3）如图3，若AB＝4，将△BEF沿EF翻折得到△EFP（始终保持点P在菱形ABCD的内部），连接AP、BP 及CP，请直接写出当PA＋PB＋PC值最小时PB的长．考法3：费马点在二次函数中运用例37．如图，在平面直角坐标系xoy中，点B的坐标为(0，2)，点D在x轴的正半轴上，∠ODB=30°，OE为△BOD的中线，过B、E两点的抛物线y=ax2++c与x轴相交于A、F两点（A在F的左侧）.（1）求抛物线的解析式；（2）等边△OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长；（3）点P为△ABO内的一个动点，设m=PA+PB+PO，请直接写出m的最小值,以及m取得最小值时，线段AP的长.【变式】8．如图，抛物线y=ax2+bx+5经点A1,0,B5,0，与y轴相交于点C．2(1)求抛物线的解析式；(2)定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的垂直距离．如：点O到二次函数图象的垂直距离是线段OC的长．已知点E为抛物线对称轴上的一点，且在x轴上方，点F为平面内一点，当以A,B,E,F为顶点的四边形是边长为4的菱形时，请求出点F到二次函数图象的垂直距离．(3)在(2)中，当点F到二次函数图象的垂直距离最小时，在A,B,E,F为顶点的菱形内部是否存在点Q，使得AQ,BQ,FQ之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．类型二线段的系数都不相同求线段的和的情况（加权费马点）【模型通解】第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大．如：保持BP不变，xAP＋yBP＋zCP＝y(xy AP+BP+zyCP)，如图所示，B、P、P2、A2四点共线时，取得最小值．例4：9．点P为锐角△ABC内任意一点，∠ACB＝30°，BC＝6，AC＝5，连接AP、BP、CP，求3AP＋4BP＋5CP的最小值例5：10．如图，在△ABC中，∠ACB=30°,BC=6,AC=5，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC．（加权费马点）求：（1）PA+PB+PC的最小值；（2）PA+PB+2PC的最小值（3）PA+PB+3PC的最小值；（4）2PA+PB+3PC的最小值PA+PB的最小值；（5）12（6）2PA+4PB+23PC的最小值（7）4PA+2PB+23PC的最小值；（8）3PA+4PB+5PC的最小值【变式】（1）11．如图，△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝30°，P为平面内一点，（1）求CP+2AP+BP最小值（2）在（1）条件下，求CP+5AP+2BP最小值（3）在（1）条件下，求CP+3AP+22BP最小值（4）在（1）条件下，求3CP+5AP+4BP最小值【变式】12．如图，△ABC中，AB＝3，AC＝25，∠BAC＝60°，P为平面内一点，求5BP＋7AP＋8CP最小值．8【变式】13．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P为平面内一点，求22BP+5AP+3PC最小值【变式】14．如图，△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝6，AC＝4，求4BP+13AP+3CP最小值【变式】15．如图，ABCD为矩形，AB＝43，AD＝4，EF为ABCD内两点，求（AF＋DF＋FE＋CE＋BE）的最小值．谢谢观看。