2020版高考数学(理)刷题小卷练： 13 Word版含解析

刷题增分练 13 三角函数的图象与变换
刷题增分练⑬ 小题基础练提分快 一、选择题
1．[2019·陕西质检]为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象( )
A ．向左平移π3个单位长度
B ．向右平移π
3个单位长度
C ．向左平移π6个单位长度
D ．向右平移π
6个单位长度 答案：D
解析：函数y ＝sin2x 的图象向右平移π
6个单位长度，可得到函数
y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －π3的图象．故选D.
2．[2019·四川绵阳诊断]如图是函数f (x )＝cos(πx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的部
分图象，则f (3x 0)＝( )
A.12 B ．－12
C.32 D ．－32 答案：D
解析：∵f (x )＝cos(πx ＋φ)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，32，∴32＝cos φ，结
合0<φ<π2，可得φ＝π6.∴由图象可得cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫πx 0＋π6＝32，πx 0＋π6＝2π－π6，解得x 0＝5
3.
∴f (3x 0)＝f (5)＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π＋π6＝－3
2.故选D.
3．[2019·石家庄检测]若ω>0，函数y ＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π
3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图象重合，则ω的最小值为( )
A ．－32
B ．－2
2 C.
3 D ．－ 3 答案：D
解析：∵f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数，∴f (0)＝A cos φ＝0.
∵A >0,0<φ<π，∴φ＝π
2，∴f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx .
∵△EFG 是边长为2的等边三角形，∴y E ＝3＝A .
又∵函数f (x )的最小正周期T ＝2FG ＝4，∴ω＝2π4＝π
2.∴f (x )＝－3sin π
2x .∴f (1)＝－ 3.故选D.
6．[2019·贵阳监测]函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝
⎛
⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则φ的值为( )
A ．－π6 B.π6
C ．－π3 D.π3 答案：D
解析：根据图象可知，函数f (x )的最小正周期T ＝2π
ω＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＋π6＝
π，则ω＝2，当x ＝12×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6＋π3＝π
12时，函数取得最大值，所以
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝1⇒π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ⇒φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，又－π2<φ<π2，所以φ＝π3.
7．[2019·合肥模拟]已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π
2)的最小正周
函数，所以π4＋φ＝k π(k ∈Z )，又－π<φ<0，所以φ＝－π
4.
10．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有
一个横坐标为π
3的交点，则φ＝________.
答案：π6
解析：两图象交点的横坐标为π3，有等式cos π
3＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2×π3＋φ成立，
由φ的条件可知φ＝π
6.
11．[2019·保定模拟]已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝
3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．
答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－32，3
解析：由两个三角函数的图象的对称中心完全相同，可知两函数
的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π
6
≤2x －π6≤5π6，所以－1
2≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.
12．[2019·江苏盐城模拟]设函数f (x )＝A sin(ωx ＋
φ)⎝ ⎛
⎭
⎪⎫其中A ，ω，φ为常数且A >0，ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示．若f (α)＝65⎝ ⎛
⎭⎪⎫0<α<π2，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α＋π6的值为________．
答案：4＋33
5
解析：由函数f (x )的图象知，A ＝2，最小正周期T ＝2×⎣
⎢⎡⎦⎥
⎤
2π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝2π，∴ω＝2π
T ＝1，∴f (x )＝2sin(x ＋φ)．
又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3＋φ＝2，且－π2<φ<π2，∴φ＝－π6，
答案：D
解析：因为函数f (x )＝4x －3tan x 是奇函数，排除B 、C ；通过特殊值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝π－3>0，且f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＝4π
3－33＝4π－933<0，故选D. 8.
[2019·河北武邑中学调研]已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π3x ＋φ⎝
⎛
⎭⎪⎫A >0，0<φ<π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，P ，Q 分别为该图象的
最高点和最低点，作PR ⊥x 轴于点R ，点R 的坐标为(1,0)．若∠PRQ
＝2π
3，则f (0)＝( )
A.12
B.32
C.34
D.24 答案：B 解析：过点Q 作QH ⊥x 轴于点H .设P (1，A )，Q (a ，－A )．由函
数图象得2|a －1|＝2ππ3
＝6，即|a －1|＝3.因为∠PRQ ＝2π
3，所以∠HRQ
＝π6，则tan ∠QRH ＝A 3＝3
3，解得A ＝ 3.又P (1，3)是图象的最高
点，所以π3×1＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z .又因为0<φ<π2，所以φ＝π
6，所以f (x )
＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3x ＋π6，f (0)＝3sin π6＝3
2.故选B.
二、非选择题
9．已知函数y ＝5cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2k ＋13πx －π6(其中k ∈N )，对任意实数a ，
在区间[a ，a ＋3]上要使函数值5
4出现不少于4次且不多于8次，则k 的值为________．
答案：2或3
解析：令y ＝5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2k ＋13
πx －π6＝54，得cos 2k ＋13πx －π6＝14.因为函数y ＝cos x 在每个周期内出现函数值1
4的有2次，而区间[a ，a ＋3]的
长度为3，所以为了使长度为3的区间内出现函数值1
4不少于4次且不多于8次，必须使长度3不小于2个周期长度且不大于4个周期长
度，即2×2π2k ＋13π≤3且4×2π2k ＋13π≥3，解得32≤k ≤7
2，又k ∈N ，故
k 的值为2或3.
10．[2019·河北邯郸教学质量检测]已知函数f (x )＝－4cos (ωx ＋φ)
e |x |
(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则ω
φ＝________.
答案：2
解析：∵f (0)＝0，∴cos φ＝0.∵0<φ<π.∴φ＝π2.∵2π
ω＝2，∴ω＝π.∴ωφ＝2.
11．[2019·安徽示范中学模拟]已知a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，sin x )，f (x )＝2a ·b .
(1)求f (x )的最小正周期和最大值；
(2)若g (x )＝f (x )，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2，画出函数y ＝g (x )的图象，讨论y ＝g (x )－m (m ∈R )的零点个数．
解析：(1)∵f (x )＝2a ·b ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝sin2x －cos2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －π4＋1， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝π，最大值为f (x )max ＝2＋1.
(2)g (x )＝f (x )，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2，利用“五点法”列表为： x －π2 －3π8 －π8 π8 3π8 π2
2x －π4 －5π4 －π －π2 0 π2 3π4 sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －π4 22 0 －1 0 1 22 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －π4＋1 2 1 1－2 1 1＋2 2 描点作图如下．
函数y ＝g (x )－m (m ∈R )的零点个数，即函数y ＝g (x )的图象与直。