二次型及矩阵形式-标准型

x3 y3
.
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第十五讲：配方法与正定二次型
就把 f 化成标准形 f y12 y22
所用变换矩阵为
1 1 1 P 0 1 2,
0 0 1
（|P|=1≠0）
.
6
第十五讲：配方法与正定二次型
二、正定二次型的概念
1.惯性定理： 定理11 设有实二次型 f xTAx,它的秩为 r ，有两个实可逆
第十五讲：配方法与正定二次型
班级：
时间：
年 月 日；星期
教学目的
重点 难点 讲授方法 讲授内容 主线 时间安排
掌握二次型及标准型定义，掌握二次型的矩阵表 达式，理解合同矩阵定义与性质，理解二次型化 成标准型的基本原理和方法，会用配方法化二次 型为标准型
作业
二次型化成标准型
同上
讲练结合
对称矩阵对角化方法－二次型及矩阵形式－标准 型、合同矩阵与性质－化标准型的基本方法－练 习－配方法练习
x1x2x32x2 2x3 22x2x32x2 25x3 26x2x3
x 1 x 2 x 3 2 x 2 2 4 x 3 2 4 x 2 x 3
x 1 x 2 x 3 2 x 2 2 x 3 2
令
y1x1x2x3 y2x22x3
即
x1y1y2y3 x2y22y3
y3 x3
.
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第十五讲：配方法与正定二次型
2.正定二次型的定义：
定义9 设有实二次型 fxxTA, x如果对任何 x，0
都有 f x >0 （显然 f (0) = 0）， 则称 f 为正定二次型，
并称对称矩阵 A 是正定的； 如果对任何 x，0 都有
fx0则称为负定二次型, 并称对称矩阵 A 是负定的.
三、正定二次型的判定方法：
.
10
第十五讲：配方法与正定二次型
（2）主子式判定定理
定理13 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的各阶主
子式都为正，即
a11 0,
a11 a12 0, ,
a a 21
22
a11 a12 a1n
a 21
a 22
a2n
0;
a n1 a n 2 a nn
例4: 判断二次型 f 6 x 1 2 5 x 2 2 7 x 3 2 4 x 1 x 2 4 x 1 x 3
练习册
第39 页－41页
第10题 至
第13题
复习对称矩阵对角化方法：15分钟；二次型概念： 15分钟；合同矩阵及性质：30分钟；二次型化标 准型方法：35分钟；机动：5分钟
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1
第十五讲：配方法与正定二次型
本次课讲完大纲规定全部内容， 下次课进行全书总结并讲授一套模拟 训练题 本次上课交作业P49—P50,T20可暂不 做，课堂上讲
( P 0)
标准型为: fy1 2y2 29y3 2
.
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第十五讲：配方法与正定二次型
例2 化二次型 f x 1 2 2 x 2 2 5 x 3 2 2 x 1 x 2 2 x 1 x 3 6 x 2 x 3 成标准型，并求所用的变换矩阵.
解 f x 1 2 2 x 1 x 2 2 x 1 x 3 2 x 2 2 5 x 3 2 6 x 2 x 3
变换
x Cy 及 xPz
使
f k 1 y 1 2 k 2 y 2 2 k r y r 2 k i 0
及
f 1 z 1 2 2 z 2 2 r z r 2
i 0
则 k1,k2,,kr中正数的个数与1,2,,r中正数的个数相等.
这个定理称为惯性定理.
标 准 化 后 正 系 数 称的 为个 正数 惯 性 指 数 p ， 记
1.标准型系数法：
定理12 实二次型f x正TA定x的充分必要条件是：它的标 准形的 n 个系数全为正.
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第十五讲：配方法与正定二次型
2.特征值判定方法
推论 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的特
征值全为正 分析：由于二次型可合同为标准型，标准型的系数即组成 了对角矩阵，主对角线的元素是由特征值构成的，所以特
征值即标准型系数，由以上定理即可得出结论。 3.主子式判定方法：
（1）什么是主子式
沿主对a 角 1开 1 线 始， ，从 a 11依 1、 a21、 2 次 n阶 计 a 1 n行 算列 的式
a11 a11
a 11 a 21
a 12 a 22
,
a 21 a 22 a 2 n
分别称 1,2为 ,n阶主子式a n 1 a n 2 a nn
x 1 x 2 2 x 3 2 2 x 2 x 3 2 9 x 3 2
.
3
第十五讲：配方法与正定二次型
y1x1x22x3 令 y22x2x3
y3 x3
1 1 5
2 2
P
0
1 2
1 2
0 0Fra Baidu bibliotek1
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即
x1 x2
y1 2y2 2y3
11
2
y2
2y3
x3 y3
负 （ 含 零 ） 系 数 称的 为个 负数 惯 性 指 数
.
7
第十五讲：配方法与正定二次型 该定理说明了：
（1）二次型的标准形不是唯一的，但标准形中所
含的项数是确定的（即是二次型的秩）。
（2）在限定变换为实变换时，标准形中正系数的个 数（即正惯性指数）是不变的，同理，负惯性指数也 不变
（3）在二次型标准化的各类变换中，通过练习已知， 一种典型的变换是正交变换，变换后标准型的系数恰好 是特征值。根据惯性定理，所有特征值中，正特征值的 个数等于正惯性指数，负（含零）特征值个数等于负惯 性指数
[ x 1 2 2 x 1 ( x 2 2 x 3 ) x 2 2 x 3 2 ] x 2 2 x 3 2 5 x 2 2 4 x 3 2
x 1 x 2 2 x 3 2 4 x 2 2 4 x 2 x 3 8 x 3 2
x 1 x 2 2 x 3 2 [ 2 x 2 2 2 ( 2 x 2 ) x 3 x 3 2 ] 9 x 3 2
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第十五讲：配方法与正定二次型
一、配方法化标准型
例1 化二次型 f x 1 2 5 x 2 2 4 x 3 2 2 x 1 x 2 4 x 1 x 3
成标准型，并求所用的变换矩阵.
解: f x 1 2 5 x 2 2 4 x 3 2 2 x 1 x 2 4 x 1 x 3
x 1 2 2 x 1 ( x 2 2 x 3 ) 5 x 2 2 4 x 3 2