WJF8-9差分方程简介

x( n) = x( x − 1)( x − 2)L( x − n + 1) , x( 0) = 1
例2 设 求 ∆x (n)
解： ∆x (n) = ( x + 1)(n) − x(n)
= ( x + 1) x( x − 1)L( x + 1 − n + 1) − x( x − 1)L( x − n + 1) = [( x + 1) − ( x − n + 1)]x( x − 1)L( x − n + 2) = nx(n−1)
简单差分方程的解
(1) ∆yx = 0
yx+1 − yx = 0 ⇒ yx+1 = yx = yx−1 = L = y0 = C
(2) ∆yx = C
是任何实常数） 它的通解是 yx = A （ A 是任何实常数）.
yx+1 − yx = C ⇒ yx+1 = yx + C= yx−1 + 2C = L = y0 + xC
= y x+2 − 2 y x+1 + y x = ∆2 y x 同样定义 ∆3 y x = ∆(∆2 y x ) , ∆4 y x = ∆(∆3 y x ) , LL
∆
二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分 二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分. 高阶差分
例1 求 ∆( x2 ) ,
∆2 ( x 2 ) ,
解∶齐次方程的通解为 Pt = A[1 − λ (b + d )]t
a ≠ 1 设 ~t = k 则有 k − [1 − λ (b + d )]k = λ (a + c ) p a+c 即 k= b+d ~ = a+c 特解∶ 方程 特解∶ pt b+d
例3 求 ∆λx ;
∆lnx
解：∆λx = λx+1 − λx = (λ − 1)λx 补充差分的性质： 补充差分的性质： 1. ∆cux = c∆ux (c为常数)
1 = ln( x + 1) − lnx = ln 1 + x
2. ∆ ( u x + v x ) = ∆ u x + ∆ v x
(ii) f ( x) = cbx (其中 c, b ≠ 1 均为常数 其中 均为常数)
y b ≠ a 设 ~x = kbx 代入方程 kb x+1 − akbx = cb x C k= 即 b−a ~ = c bx 的特解为∶ 故方程 的特解为∶ y x b − a ~ = kxbx y b=a
x 为二阶差分方程， 如 y x+2 − 2 y x+1 − y x = 3 为二阶差分方程，
它等价于 ∆2 y x − 2 y x = 3 x 定义3 如果一个函数代入差分方程后， 定义 如果一个函数代入差分方程后，方程两边恒 则称此函数为该差分方程的解. 等，则称此函数为该差分方程的解 对差分方程附加的一定条件称为初始条件 初始条件. 对差分方程附加的一定条件称为初始条件 满足初 特解. 始条件的解称为特解 始条件的解称为特解 如果差分方程的解中含有相 互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数， 互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数，则 称它为差分方程的通解 通解. 称它为差分方程的通解
是任何实常数） 它的通解是 yx = Cx + A （ A 是任何实常数）. ( 3) ∆y x = Pn−1 ( x ) ( n − 1次多项式 ) 通解 y x = Pn ( x ) ( n次多项式 ）
(４) ∆ x =０ y
ｎ
次多项式 通解 y x是 n − 1次多项式 .
二、一阶常系数线性差分方程
∆3 ( x 2 )
解：设 y x = x 2 ，那么
∆y x = ∆( x 2 ) = ( x + 1)2 − x 2 = 2 x + 1 ∆2 y x = ∆2 ( x 2 ) = ∆(2 x + 1) = [2( x + 1) + 1] − (2 x + 1) = 2
∆3 y x = ∆(∆2 y x ) = ∆(2) = 2 − 2 = 0
8.9
差分方程简介
差分、 差分、差分方程基本概念 一阶常系数线性差分方程 二阶常系数线性差分方程 小结
一、差分方程的基本概念
dy 连续变化的时间内， 来刻画; 连续变化的时间内，变量 y 的变化速度用 来刻画; dt 但有时,变量要按一定的离散时间取值. 但有时,变量要按一定的离散时间取值. ∆y 来刻画变化速度． 来刻画变化速度． 常取在规定的时间区间上的差商 ∆t
整理得 (− B0 + B1 + B2 ) + (− B1 + 2B2 ) x − B2 x = 3 x B0 = −9 , − B0 + B1 + B2 = 0 比较系数 − B1 + 2B2 = 0 解得 B1 = −6 , B = −3 − B2 = 3 2 y 即特解 ~x = −9 − 6 x − 3 x 2
Pt = Pt −1 − λ ( St −1 − Dt −1 )
为常数）， （ λ 为常数），
即
Pt − [1 − λ (b + d )]Pt −1 = λ (a + c)
这样的方程就是差分方程. 这样的方程就是差分方程
定义2 含有自变量、 定义 含有自变量、未知函数以及未知函数差分的 方程称为差分方程. 方程称为差分方程 方程中含有未知函数差分的最高阶数称为差分 方程的阶. 方程的阶 n 阶差分方程的一般形式为： 阶差分方程的一般形式为： H( x , yx , ∆yx , ∆2 yx , L, ∆n yx ) = 0 将 ∆y x = y x+1 − y x
， 定义1 定义 设函数 y = f ( x) 记为 yx
取遍非负整数时，函数值可以排成一个数列： 当 x 取遍非负整数时，函数值可以排成一个数列：
y0 , y1,L , yx ,L L L
则差 yx+1 − yx 称为 yx 的差分，也称为一阶差分， 的差分，也称为一阶差分， 记为 ∆yx ，即 ∆yx = yx+1 − yx . 二阶差分 一阶差分的差分 ∆(∆yx ) = ∆( yx+1 − yx ) = ( yx+2 − y x+1 ) − ( yx+1 − yx )
x
kx + k − kx = C 即 k = C 故方程的特解为： y 故方程的特解为：~x = Cx
例4
yx+1 − 2 yx = 3 x 2的通解. 的通解. 求差分方程
x 解 yx+1 − 2 yx = 0 的通解为Yx = A2 yx+1 − 2 yx = 3 x 2 的特解为 Qa = 2 ≠ 1, 设 ~ = B + B x + B x 2 代入方程，则有 yx 代入方程， 0 1 2 B0 + B1 ( x + 1) + B2 ( x + 1)2 − 2B0 − 2B1 x − 2B2 x 2 = 3 x 2
1 5 所以方程的特解为 y x = 2 2
x
x
1 5 1 差分方程的通解为 y x = + A 2 2 2
x
x
例8 本节引例的差分方程为
Pt +1 − [1 − λ (b + d )]Pt = λ (a + c )
a， b， c， d > 0，λ ≠ 0
设
x
代入方程 即
k( x + 1)b x+1 − akxbx = cb x
y x = cxbx−1 方程 特解∶ 特解∶
c k ( x + 1)b − bkx = c ⇒ kb = c ⇒ k = b
1 5 的通解. 例7 求差分方程 y x+1 − 2 y x = 2 的通解 x 1 1 解∶ y x+1 − y x = 0 的通解为 Y = A x 2 2 x 1 5 5 Q ≠ 设 ~x = k 代入方程 y 2 2 2 x+1 x x 1 1 5 5 5 1 5 k − k = ⇒ k − k = 1 ⇒ k = 2 2 2 2 2 2 2
yx+1 − yx = 3 x 2 + x + 4 的特解. 的特解. 例6 求差分方程 解 设特解为 ~ = x( B + B x + B x 2 ) 代入原方程得 y
x 0 1 2
3B2 x 2 + (2B1 + 3B2 ) x + ( B0 + B1 + B2 ) = 3 x 2 + x + 4 3B2 = 3 B0 = 4 比较系数得 2B1 + 3B2 = 1 ⇒ B1 = −1 B + B + B = 4 B = 1 0 1 2 2 ~ = x(4 − x + x 2 ) 差分方程的特解为 yx
形如： 形如： yx+1 − ayx = f ( x) 齐次方程： 齐次方程： yx+1 − ayx = 0
(a ≠ 0，常数） 常数） (a ≠，常数） 0 常数）
(1)
的方程称为一阶常系数线性差分方程 的方程称为一阶常系数线性差分方程. 一阶常系数线性差分方程 (2) 1.齐次方程通解 yx+1 − ayx = 0 1.齐次方程通解 yx+1 = a, 通解为 y x = Aa x（ A 是任何实常数）. a≠0 是任何实常数） yx 例3 yx+1 − 3 yx = 0 是任何实常数） y x = A3 x （ A 是任何实常数）. 通解： 通解：