高三数学天天练3 函数的概念及其表示
高中高三数学函数知识点
高中高三数学函数知识点函数是高中数学中的重要内容，是数学研究中最为基础和有着广泛应用的数学概念之一。
在高三的数学学习中，函数的知识点非常重要，掌握好函数的概念、性质和应用，对于学习和应对高考都有着积极的影响。
下面将对高中高三数学函数的知识点进行详细介绍。
一、函数的概念和性质1. 函数的定义函数是一种特殊的关系，指的是每一个自变量（输入）对应唯一的因变量（输出）。
通常用f(x)来表示函数，其中x为自变量，f(x)为对应的因变量。
2. 定义域和值域函数的定义域是自变量所有可能取值的集合，值域是因变量所有可能取值的集合。
3. 函数的表示方法函数可以通过方程、图像、表格或文字描述等多种方式表示。
4. 奇偶性函数的奇偶性是指当自变量变为-x时，函数值的对应关系。
若有f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数；若有f(-x)=f(x)，则函数为偶函数；若既不满足奇函数的条件，也不满足偶函数的条件，则为既非奇函数也非偶函数。
二、常见函数类型1. 一次函数一次函数的表达式为y=ax+b（a≠0），是一种呈直线形状的函数。
其中a代表直线的斜率，b是函数的常数项。
2. 二次函数二次函数的表达式为y=ax²+bx+c（a≠0），是一种呈抛物线形状的函数。
其中a代表抛物线开口的方向和开口度，b是抛物线与y轴的交点，c是抛物线与x轴的交点。
3. 幂函数幂函数的表达式为y=ax^b（a≠0, b为有理数），是一种以指数为变量的函数。
其中a和b都是常数。
4. 指数函数指数函数的表达式为y=a^x（a>0, a ≠ 1），是幂函数的一种特殊形式。
其中a为常数，x为指数变量。
5. 对数函数对数函数的表达式为y=loga(x)（a>0, a ≠ 1），是指数函数的反函数。
其中a为底数，x为对数变量。
6. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们的表达式分别为y=sin(x)、y=cos(x)和y=tan(x)。
高中数学 第三章 函数概念与性质 3.1 函数的概念及其表示 3.1.2 第2课时 分段函数精品练习
第2课时 分段函数必备知识基础练知识点一分段函数求值1.设函数f (x )＝⎩⎨⎧x －1，x ≥1，1，x <1，则f {f [f (2)]}＝( )A ．0B ．1C ．2 D. 22．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >0，x －1，x <－1，则函数f (x )的定义域是( )A ．(0，＋∞) B．(－∞，－1)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤1，1－x 2，x >1，若f (x )＝－3，则x ＝________.知识点二分段函数的图象4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，x 2＋1，x ∈0，1]，则函数f (x )的图象是( )5．下列图形是函数y ＝x |x |的图象的是( )6．已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式是________．知识点三 分段函数的实际应用7.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水量为( )A ．13立方米B ．14立方米C ．18立方米D ．26立方米8．电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元；超过3分钟后，每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟按1分钟计费．通话收费S (元)与通话时间t (分钟)的函数图象可表示为下图中的( )关键能力综合练 一、选择题1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x <0，10x ，x ≥0，则f [f (－7)]的值为( )A ．100B ．10C ．－10D ．－1002．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >0，x 2，x ≤0，则满足f (a )＝1的实数a 的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．23．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( )4．已知函数f (x )的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13等于( ) A ．－13 B.13 C ．－23 D.235．函数f (x )＝x ＋|x |x的图象是( )6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f x ＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43等于( )A ．－2B ．4C ．2D ．－4 二、填空题7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，2－x ，－2≤x <0的值域是________．8．(易错题)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤－2，x ＋1，－2＜x ＜4，3x ，x ≥4，若f (a )＜－3，则a 的取值X 围是________．三、解答题10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ∈[－1，0]，－12x ，x ∈0，2，3，x ∈[2，＋∞.(1)求f (－1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f (4)的值； (2)求函数的定义域、值域．学科素养升级练1．(多选题)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，2x ，x ≥2若f (x )＝1，则x 的值是( )A ．－1 B.12C ．－ 3D ．12．(情境命题—生活情境)某商贸公司售卖某种水果．经市场调研可知：在未来20天内，这种水果每箱的销售利润r (单位：元)与时间t (1≤t ≤20，t ∈N ，单位：天)之间的函数关系式为r ＝14t ＋10，且日销售量y (单位：箱)与时间t 之间的函数关系式为y ＝120－2t①第4天的销售利润为________元；②在未来的这20天中，公司决定每销售1箱该水果就捐赠m (m ∈N *)元给“精准扶贫”对象．为保证销售积极性，要求捐赠之后每天的利润随时间t 的增大而增大，则m 的最小值是________．3．某市出租车的现行计价标准是：路程在2 km 以内(含2 km)按起步价8元收取，超过2 km 后的路程按1.9元/km 收取，但超过10 km 后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85元/km)．(1)将某乘客搭乘一次出租车的费用f (x )(单位：元)表示为行程x (0<x ≤60，单位：km)的分段函数；(2)某乘客的行程为16 km，他准备先乘一辆出租车行驶8 km后，再换乘另一辆出租车完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆出租车完成全部行程更省钱？(现实中要计等待时间且最终付费取整数，本题在计算时都不予考虑)第2课时分段函数必备知识基础练1．解析：由题意，f(2)＝2－1＝1，f[f(2)]＝f(1)＝1－1＝0，f{f[f(2)]}＝f(0)＝1，故选B.答案：B2．解析：分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，即(0，＋∞)∪(－∞，－1)，选D.答案：D3．解析：若x≤1，由x＋1＝－3得x＝－4.若x>1，由1－x2＝－3得x2＝4，解得x＝2或x＝－2(舍去)．综上可得，所求x的值为－4或2.答案：－4或24．解析：当x＝－1时，y＝0，即图象过点(－1,0)，D错；当x＝0时，y＝1，即图象过点(0,1)，C错；当x＝1时，y＝2，即图象过点(1,2)，B错．故选A.答案：A5．解析：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，分别画出y ＝x 2(取x ≥0部分)及y ＝－x 2(取x <0部分)即可．答案：D6．解析：由图可知，图象由两条线段(其中一条不含右端点)组成， 当－1≤x <0时，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，b ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.∴f (x )＝x ＋1.当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx (k ≠0)， 将(1，－1)代入，则k ＝－1.∴f (x )＝－x .即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－x ，0≤x ≤1.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－x ，0≤x ≤17．解析：该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0≤x ≤10，2mx －10m ，x >10.由y ＝16m ，可知x ＞10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13.答案：A8．解析：结合题意，易知B 正确，故选B. 答案：B关键能力综合练1．解析：因为f (－7)＝10，所以f [f (－7)]＝f (10)＝10×10＝100，故选A. 答案：A2．解析：当a ＞0时，f (a )＝2不符合，当a ≤0时，a 2＝1， ∴a ＝－1，故选A. 答案：A3．解析：根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A ，D ，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C ，故选B.答案：B4．解析：由图可知，函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，0<x <1，x ＋1，－1<x <0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13－1＝－23，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－23＋1＝13.答案：B5．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，x －1，x <0，故选C.答案：C6．解析：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f x ＋1，x ≤0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23×2＝43，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2×43＝83，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝43＋83＝4. 答案：B7．解析：当x ≥0时，f (x )≥1； 当－2≤x ＜0时，2＜f (x )≤4. ∴值域为[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞)8．易错分析：题目中f (x )为分段函数，在求值时需要根据定义域取值X 围不同代入不同的解析式，本题极易误以为1－a <1＋a 而忘记分类讨论导致结果错误．解析：当a >0时，1－a <1,1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不符合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，满足题意．答案：－349．解析：当a ≤－2时，f (a )＝a ＜－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)；当－2＜a ＜4时，f (a )＝a ＋1＜－3，此时不等式无解； 当a ≥4时，f (a )＝3a ＜－3，此时不等式无解． 所以a 的取值X 围是(－∞，－3)． 答案：(－∞，－3)10．解析：(1)易知f (－1)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－12×32＝－34，f (4)＝3. (2)作出图象如图所示．利用“数形结合”，易知f (x )的定义域为[－1，＋∞)，值域为(－1,2]∪{3}．学科素养升级练1．解析：根据题意，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，2x ，x ≥2若f (x )＝1，分3种情况讨论：①当x ≤－1时，f (x )＝x ＋2＝1，解可得x ＝－1； ②当－1<x <2时，f (x )＝x 2＝1，解可得x ＝±1， 又由－1<x <2，则x ＝1；③当x ≥2时，f (x )＝2x ＝1，解可得x ＝12，舍去．综合可得：x ＝1或－1； 故选AD. 答案：AD2．解析：①因为r (4)＝14×4＋10＝11，y (4)＝120－2×4＝112，所以该天的销售利润为11×112＝1 232；②设捐赠后的利润为W 元，则W ＝y (r －m )＝(120－2t )⎝ ⎛⎭⎪⎫14t ＋10－m ，化简可得，W ＝－12t 2＋(2m ＋10)t ＋1 200－120m .令W ＝f (t )，因为二次函数的开口向下，对称轴为t ＝2m ＋10，为满足题意， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋10≥20，f 1>0，n ∈N *解得m ≥5，故答案为：①1232；②5. 答案：①1232 ②53．解析：(1)由题意得，车费f (x )关于路程x 的函数为： f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧8，0<x ≤2，8＋1.9x －2，2<x ≤10，8＋1.9×8＋2.85x －10，10<x ≤60＝⎩⎪⎨⎪⎧8，0<x ≤2，4.2＋1.9x ，2<x ≤10，2.85x －5.3，10<x ≤60.(2)只乘一辆车的车费为：f (16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)；换乘2辆车的车费为：2f (8)＝2×(4.2＋1.9×8)＝38.8(元)．∵40.3>38.8，∴该乘客换乘比只乘一辆车更省钱.。
高三数学必修三函数知识点
高三数学必修三函数知识点函数是数学中非常重要的概念，它被广泛应用在各个领域。
在高中数学的必修三课程中，我们学习了许多与函数相关的知识点，下面将对其中的几个重要概念进行介绍和总结。
一、函数的定义和性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。
一般来说，函数可以用公式、图像或者表格来表示。
函数的定义包括定义域、值域和对应关系。
其中，定义域是指函数的输入集合，值域是函数的输出集合。
函数的性质包括单调性、奇偶性和周期性等。
二、线性函数与二次函数线性函数是一种特殊的函数，它的图像是一条直线。
线性函数的一般形式为f(x)=kx+b，其中k和b为常数。
线性函数的图像是一条直线，斜率k决定了直线的斜率大小，截距b决定了直线与y轴的交点位置。
二次函数的一般形式为f(x)=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数且a≠0。
二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，a决定了抛物线的开口方向，b决定了抛物线的平移，c决定了抛物线与y轴的交点位置。
三、指数函数与对数函数指数函数是形如f(x)=aˣ的函数，其中a为常数且a>0且a≠1。
指数函数的图像是一条递增或递减的曲线，a决定了曲线的变化速度。
对数函数是指数函数的逆运算，它可以表示为f(x)=logₐ(x)，其中a为底数，x为正实数。
对数函数的图像是一条递增的曲线，底数a决定了曲线的陡峭程度。
四、三角函数与反三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
正弦函数的一般形式为f(x)=asin(bx+c)+d，其中a、b、c、d为常数。
正弦函数的图像是一条波动的曲线，振幅a决定了波动的大小，角频率b 决定了波动的周期，c决定了波动的相位，d决定了波动的垂直平移。
反三角函数是三角函数的逆运算，表示为sin⁻¹(x)、cos⁻¹(x)和tan⁻¹(x)等。
反三角函数的定义域和值域与原三角函数相反。
高三第三章函数参考答案
高三第三章函数参考答案高三第三章函数参考答案函数是高中数学中的重要概念，也是数学学习中的重要内容之一。
在高三的第三章函数中，我们学习了函数的定义、性质以及一些常见的函数类型。
下面将给出一些高三第三章函数的参考答案，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这一章的知识。
一、函数的定义和性质1. 函数的定义：函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。
函数通常用符号表示为y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量，f(x)表示自变量x经过函数f的变换后得到的值。
2. 函数的性质：(1) 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
(2) 单调性：函数的单调性指函数在定义域内的增减性质。
如果对于任意的x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则函数为增函数；如果当x1<x2时，有f(x1)>f(x2)，则函数为减函数。
(3) 奇偶性：函数的奇偶性指函数的对称性质。
如果对于任意的x，有f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数；如果对于任意的x，有f(-x)=f(x)，则函数为偶函数。
二、常见的函数类型1. 线性函数：线性函数是最简单的函数类型之一，它的函数表达式为y=kx+b，其中k和b为常数。
线性函数的图像是一条直线，斜率k表示直线的倾斜程度，常数b表示直线与y轴的截距。
2. 幂函数：幂函数是形如y=x^n的函数，其中n为常数。
幂函数的图像随着n的不同而变化，当n>1时，函数图像呈现上升的曲线；当0<n<1时，函数图像呈现下降的曲线。
3. 指数函数：指数函数是形如y=a^x的函数，其中a为常数且a>0且a≠1。
指数函数的图像呈现递增或递减的曲线，斜率随着a的大小而变化，当a>1时，函数图像呈现上升的曲线；当0<a<1时，函数图像呈现下降的曲线。
4. 对数函数：对数函数是指数函数的逆运算，它的函数表达式为y=loga(x)，其中a为底数，x为真数。
高三基础知识天天练3-3. 数学 数学doc人教版
第3模块 第3节[知能演练]一、选择题1．函数y ＝xsin x，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的()解析：∵y ＝xsin x 是偶函数，排除A ，当x ＝2时，y ＝2sin2>2，排除D. 当x ＝π6时，y ＝π6sin π6＝π3>1，排除B.答案：C2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)图象的相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f (π4)的值是( )A ．0B ．1C ．－1D.π4解析：由题意知T ＝π4，由πω＝π4得ω＝4，∴f (x )＝tan4x ，∴f (π4)＝tan π＝0.答案：A3．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A ．[－π，－5π6]B ．[－5π6，－π6]C ．[－π3，0]D ．[－π6，0]解析：f (x )＝sin x －3cos x ＝2sin(x －π3)∵－π≤x ≤0，∴－4π3≤x －π3≤－π3当－π2≤x －π3≤－π3时，即－π6≤x ≤0时，f (x )递增．答案：D4．对于函数f (x )＝sin x ＋1sin x(0<x <π)，下列结论中正确的是( )A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值解析：f (x )＝sin x ＋1sin x ＝1＋1sin x ，∵0<x <π，∴0<sin x ≤1，∴1sin x ≥1，∴1＋1sin x≥2.∴f (x )有最小值而无最大值． 答案：B 二、填空题 5．函数y ＝lgsin x ＋ cos x －12的定义域为____________，函数y ＝12sin(π4－23x )的单调递增区间为________．解析：(1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2kπ<x <π＋2kπ－π3＋2kπ≤x ≤π3＋2kπ(k ∈Z )， ∴2kπ<x ≤π3＋2kπ，k ∈Z ，∴函数的定义域为{x |2kπ<x ≤π3＋2kπ，k ∈Z }．(2)由y ＝12sin(π4－23x )得y ＝－12sin(23x －π4)，由π2＋2kπ≤23x －π4≤32π＋2kπ，得 98π＋3kπ≤x ≤21π8＋3kπ，k ∈Z ，故函数的单调递增区间为 [98π＋3kπ，21π8＋3kπ](k ∈Z )． 答案：{x |2kπ<x ≤π3＋2kπ，k ∈Z }[98π＋3kπ，21π8＋3kπ](k ∈Z ) 6．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x cos x ，sin x >cos x ，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋kπ(k ∈Z )时，该函数取得最小值－1； ③该函数的图象关于x ＝5π4＋2kπ(k ∈Z )对称；④当且仅当2kπ<x <π2＋2kπ(k ∈Z )时，0<f (x )≤22.其中正确命题的序号是________．(请将所有正确命题的序号都填上) 解析：画出f (x )在一个周期[0,2π]上的图象．由图象知，函数f (x )的最小正周期为2π，在x ＝π＋2kπ(k ∈Z )和x ＝32π＋2kπ(x ∈Z )时，该函数都取得最小值－1，故①②错误，由图象知，函数图象关于直线x ＝54π＋2kπ(k ∈Z )对称，在2kπ<x <π2＋2kπ(k ∈Z )时，0<f (x )≤22.故③④正确．答案：③④ 三、解答题7．已知函数y ＝f (x )＝2sin x1＋cos 2x －sin 2x.(1)求函数定义域；(2)用定义判断f (x )的奇偶性； (3)在[－π，π]上作出f (x )的图象； (4)写出f (x )的最小正周期及单调区间． 解：(1)∵f (x )＝2sin x 2cos 2x＝sin x|cos x |， ∴函数的定义域是{x |x ≠kπ＋π2，k ∈Z }．(2)由(1)知f (－x )＝sin(－x )|cos(－x )|＝－sin x|cos x |＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． (3)f (x )＝⎩⎨⎧tan x (－π2<x <π2)－tan x (－π≤x <－π2或π2<x ≤π)，y ＝f (x )(x ∈[－π，π])的图象如图所示．(4)f (x )的最小正周期为2π，单调递增区间是(－π2＋2kπ，π2＋2kπ)(k ∈Z )，单调递减区间是(π2＋2kπ，3π2＋2kπ)(k ∈Z )．8．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈[0，π2]时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f (x ＋π2)且lg[g (x )]>0，求g (x )的单调区间．解：(1)∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π6∈[π6，7π6]，∴sin(2x ＋π6)∈[－12，1]，∴－2a sin(2x ＋π6)∈[－2a ，a ]，∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又－5≤f (x )≤1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－53a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－5. (2)f (x )＝－4sin(2x ＋π6)－1，g (x )＝f (x ＋π2)＝－4sin(2x ＋7π6)－1＝4sin(2x ＋π6)－1，又由lg[g (x )]>0，得g (x )>1， ∴4sin(2x ＋π6)－1>1，∴sin(2x ＋π6)>12，∴π6＋2kπ<2x ＋π6<56π＋2kπ，k ∈Z ，由π6＋2kπ<2x ＋π6≤2kπ＋π2，得 kπ<x ≤kπ＋π6，k ∈Z .由π2＋2kπ≤2x ＋π6<56π＋2kπ得 π6＋kπ≤x <π3＋kπ，k ∈Z . ∴函数g (x )的单调递增区间为(kπ，π6＋kπ](k ∈Z )，单调递减区间为[π6＋kπ，π3＋kπ)(k ∈Z )．[高考·模拟·预测]1．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C.3＋1D.3＋2解析：因为f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2cos(x －π3)，当x ＝π3时，函数取得最大值为2.故选B.答案：B2．若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，则ω的最小值为( )A.16 B.14 C.13D.12解析：将函数y ＝tan(ωx ＋π4)的图象向右平移π6个单位后，得到的函数为y ＝tan[ω(x －π6)＋π4]＝tan(ωx －πω6＋π4)，这个函数的图象与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，根据正切函数的周期是kπ，故其充要条件是－πω6＋π4＝kπ＋π6(k ∈Z )，即ω＝－6k ＋12(k ∈Z )，当k ＝0时，ω的最小值为12，故选D.答案：D3．已知函数f (x )＝sin(x －π2)(x ∈R )，下面结论中错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间[0，π2]上是增函数C ．函数f (x )在图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数解析：∵f (x )＝－cos x ，∴f (x )为偶函数，故选D. 答案：D4．已知α∈(0，π4)，a ＝(sin α)cos α，b ＝(sin α)sin α，c ＝(cos α)sin α，则a 、b 、c 的大小关系是________．解析：α∈(0，π4),1>cos α>sin α>0，y ＝(sin α)x 为减函数，∴a <b .而y ＝x sin α在(0，＋∞)上为增函数，∴c >b .故c >b >a .答案：a <b <c5．已知函数f (x )＝3(sin 2x －cos 2x )－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)设x ∈[－π3，π3]，求f (x )的值域和单调递增区间．解：(1)∵f (x )＝－3(cos 2x －sin 2x )－2sin x cos x ＝－3cos2x －sin2x ＝－2sin(2x ＋π3)∴f (x )的最小正周期为π.(2)∵x ∈[－π3，π3]，∴－π3≤2x ＋π3≤π，∴－32≤sin(2x ＋π3)≤1. ∴f (x )的值域为[－2，3]．∵当y ＝sin(2x ＋π3)递减时，f (x )递增，令2kπ＋π2≤2x ＋π3≤2kπ＋3π2，则kπ＋π12≤x ≤kπ＋7π12，k ∈Z ，又x ∈[－π3，π3]，∴π12≤x ≤π3.故f (x )的递增区间为[π12，π3]．[备选精题]6．设函数f (x )＝sin(π4x －π6)－2cos 2π8x ＋1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43]时y ＝g (x )的最大值．解：(1)f (x )＝sin π4x cos π6－cos π4x sin π6－cos π4x ＝32sin π4x －32cos π4x ＝3sin(π4x －π3)，故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(2)解法一：在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))，它关于x ＝1的对称点为(2－x ，g (x ))．由题设条件，点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上，可知g (x )＝f (2－x )＝3sin[π4(2－x )－π3]＝3sin(π2－π4x －π3)＝3cos(π4x ＋π3)．当0≤x ≤43时，π3≤π4x ＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32.解法二：因区间[0，43]关于x ＝1的对称区间为[23，2]，且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于x＝1对称，故y ＝g (x )在[0，43]上的最大值即为y ＝f (x )在[23，2]上的最大值．由(1)知f (x )＝3sin(π4x －π3)，当23≤x ≤2时，－π6≤π4x －π3≤π6. 因此y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3sin π6＝32.。
狂刷03 函数的概念及其表示-学易试题君之小题狂刷2020年高考数学(理)(解析版)
专题二 函数狂刷03 函数的概念及其表示1．函数02lg(2)(1)12x y x x x -=+-+-的定义域是A ．{|31}x x -<<B ．{|32x x -<<且1}x ≠C ．{|02}x x <<D ．{|12}x x <<【答案】B【解析】由题意得：22012010x x x x ->⎧⎪+->⎨⎪-≠⎩2341x x x <⎧⎪⇒-<<⎨⎪≠⎩32x ⇒-<<且1x ≠，∴函数的定义域为：{32x x -<<且}1x ≠.本题正确选项为B.【名师点睛】本题考查具体函数定义域的求解问题，属于基础题.根据定义域的基本要求得到不等式组，解不等式组求得结果.2．若函数()y f x =的定义域为{|385}x x x -≤≤≠，，值域为{|120}y y y -≤≤≠，，则()y f x =的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】对于A 中，当5x =时，函数有意义，不满足函数的定义域为{|385}x x x -≤≤≠，，所以不正确；对于B 中，函数的定义域和值域都满足条件，所以是正确的；对于C 中，当5x =时，函数有意义，不满足函数的定义域为{|385}x x x -≤≤≠，，所以不正确； 对于D 中，当5x =时，函数有意义，不满足函数的定义域为{|385}x x x -≤≤≠，，所以不正确. 故选B.【名师点睛】本题主要考查了函数的定义域、值域，以及函数的表示方法，其中解答中熟记函数的定义域、值域，以及函数的表示方法，逐项进行判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．下列函数中，值域为[)0,+∞的是 A ．2xy = B ．12y x = C ．tan y x =D ．cos y x =【答案】B【解析】A 选项：2xy =的值域为()0,+∞，不符合题意；B 选项：12y x =的值域为[)0,+∞，符合题意； C 选项：tan y x =的值域为R ，不符合题意； D 选项：cos y x =的值域为[]1,1-，不符合题意. 本题正确选项为B.【名师点睛】本题考查初等函数的值域问题，属于基础题.求解时，依次判断各个函数的值域，从而得到结果.4．设函数()()2log 1,04,0xx x f x x ⎧-<=⎨≥⎩，则()()23log 3f f -+=A ．9B ．11C ．13D ．15【答案】B【解析】∵函数2log (1),0()4,0xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩，∴()2l 23og 2(3)log 3log 44f f -+=+=2+9=11．故选B ．【名师点睛】本题考查函数值的求法，考查指对函数的运算性质，是基础题．根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案. 5．下列函数中，不满足()()22f x f x ＝的是 A ．()f x x =B ．()f x x x =-C ．()1f x x =+D ．()f x x =-【答案】C【解析】本题考查代入法求函数的解析式．选项C 中因为()1f x x =+，所以()221f x x =+，而()()22122f x x x =+=+．所以()()22f x f x ≠．故选C ．6．已知函数f (x )＝10xx x a x -≤⎧⎨>⎩,,，若f (1)＝f (－1)，则实数a 的值等于 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】B【解析】根据题意，由f (1)＝f (－1)可得a ＝1－(－1)＝2，故选B ． 7．已知函数()22xaf x -=，()134f=，则()2f -= A ．1 B ．18-C ．12D ．18【答案】D 【解析】依题意()3213224a f --===，故32a -=-，解得5a =.故()252x f x -=， 所以()25312228f ---===.故选D.【名师点睛】本小题主要考查函数解析式的求法——待定系数法，考查函数求值，属于基础题.求解时，利用()134f=求得a 的值，即求得函数()f x 的解析式，由此来求()2f -的值. 8．若函数f (x )＝()()lg 2212x x f x x -<⎧⎪⎨--≥⎪⎩,,，则f (f (8))＝A．lg 2 B．0C．lg 3 D．lg 4【答案】A【解析】由题意知f(8)＝f(－8)－1＝lg[2－(－8)]－1＝0，故f(f(8))＝f(0)＝lg 2．故选A．【名师点睛】本题综合考查了分段函数、对数函数及复合函数的知识，以分段函数为载体进行考查是高考命题者的惯用手段，望引起重视．对于复合函数的计算问题，一般遵循从内算到外的原则．9．已知集合M＝{x|y＝2x-}，N＝{x|y＝ln x}，则M∩N＝A．{x|x≤2}B．{x|0＜x≤2}C．{x|0＜x＜2} D．{x|0≤x≤2}【答案】B【解析】集合M＝{x|x≤2}，集合N＝{x|x＞0}，故M∩N＝{x|0＜x≤2}．故选B．【名师点睛】本题考查函数的定义域、交集的运算等知识．解决本题的关键是求出两个函数的定义域．10．函数，若，则的值为__________．【答案】0或1【解析】，，当时，；当时，，或，解得或，故答案为或.【名师点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求参数，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.11．函数2221xyx+=+的值域为_______________．【答案】(1，2]【解析】因为22221111xyx x+==+++，x2＋1≥1，所以21011x<≤+，所以211+121x<≤+，所以函数2221x y x +=+的值域为(1，2]．故填(1，2]．12．已知函数()f x 的定义域是[1,1]-，则函数(21)()ln(1)f xg x x -=-的定义域是A ．[0,1]B ．(0,1)C ．[0,1)D ．(0,1]【答案】B【解析】由题意，函数()f x 的定义域为[1,1]-，即11x -≤≤， 令1211x -≤-≤，解得01x ≤≤，又由()f x 满足10x ->且11x -≠，解得1x <且0x ≠， 所以函数()f x 的定义域为(0,1)， 故选B ．【名师点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解问题，其中熟记抽象函数的定义域的求解方法和对数函数的性质是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．13．函数()e 1e 1x x f x -=+的值域为A ．()1,1-B ．()2,2-C ．()3,3-D ．()4,4-【答案】A【解析】()e 121e 1e 1x x xf x -==-++， 因为e 11x +>，所以101e 1x <<+，所以202e 1x <<+， 所以2111e 1x-<-<+， 所以()f x 的值域为()1,1-，故选A.【名师点睛】该题考查的是有关函数的值域的求解问题，涉及的知识点有指数函数的值域，不等式的性质，属于简单题目.求解时，首先将函数解析式进行化简，得到()21e 1x f x =-+，之后结合指数函数的值域以及不等式的性质，得到结果.14．已知函数f (x )＝23123,25x x x x ⎧--≤≤⎨-<≤⎩,，则方程f (x )＝1的解是A ．2或2B ．2或3C ．2或4D ．±2或4【答案】C【解析】当x ∈[－1，2]时，由3－x 2＝1，解得x ＝2；当x ∈(2，5]时，由x －3＝1，解得x ＝4．所以方程f (x )＝1的解为2或4．故选C ．15．已知()f x 满足()12()3f x f x x+=，则()f x 等于A ．12x x-- B ．12x x-+ C ．12x x +D ．12x x-【答案】D【解析】本题主要考查求函数的解析式，根据方程求函数的解析式，把()12()3f x f x x+= ①中的x 换成1x ，得()132()f f x x x += ②，2⨯-①②得()()31362f x x f x x x x=-⇒=-．故选D ． 16．已知函数()223,0,0x x f x x x ->⎧=⎨≤⎩．若0a >，0b <，且()()f a f b =，则()f a b +的最小值为A ．3-B ．1-C ．0D ．1【答案】B【解析】设()()f a f b t ==，则2230a b t -==>，32t a +∴=，b t =-， ()21232120222t t t t a b t -++-++∴+=-==>，()()233232f a b a b t t t t ∴+=+-=+--=-，当1t =时，()min2121t t -=-=-，即()min 1f a b +=-⎡⎤⎣⎦，本题正确选项为B.【名师点睛】本题考查函数最值的求解，关键是能够通过换元的方式将问题变为二次函数最值的求解问题.求解时，令()()f a f b t ==，用t 表示出,a b ，进而可得0a b +>，代入函数解析式可将()f a b +变为二次函数，根据二次函数图象求得最值.17．若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是A ．B ．C ． 或D ． 或【答案】B【解析】因为函数 的定义域为 ，所以 >0恒成立， 因为 成立，所以若 ，则由 得 ，因此 ， 故选B.【名师点睛】研究形如 恒成立问题，注意先讨论 的情况，再研究 时，开口方向，判别式正负，对称轴与定义区间位置关系，列不等式解得结果. 18．设函数f （x ）=−x +2，则满足f （x −1）+f （2x ）＞0的x 的取值范围是______．【答案】5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】根据题意，函数()2f x x =-+，则()()()][()12122235f x f x x x x ⎡⎤-+=--++-+=-+⎣⎦， 若()()120f x f x -+>，即350x -+>，解得：53x <， 即x 的取值范围为5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故答案为：5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．【名师点睛】本题考查函数的解析式的应用，涉及不等式的解法，属于基础题．求解时，由函数的解析式可得()()1235f x f x x -+=-+，据此解不等式即可得答案．19．若一次函数满足，则的值域为_______________．【答案】【解析】由已知可设，则，又，所以，故； 从而，当且仅当，即时等号成立． 故的值域为． 故填．【规律总结】已知函数的类型时，可用待定系数法求函数的解析式．20．如图，点M 是边长为1的正方形ABCD 的边CD 的中点．当点P 在正方形的边上沿A →B →C 运动时，点P 经过的路程为x ，APM △的面积为y ，则y 关于x 的函数关系式为_______________．【答案】1,0123,124x x y x x ⎧<≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪⎩ 【解析】利用分段函数建立函数关系式．当点P 在线段AB 上，即0＜x ≤1时，y ＝12x ； 当点P 在线段BC 上，即1＜x ≤2时，y ＝11111(1)1(1)1(2)2232224xx x ⨯+⨯-⨯-⨯-⨯=--⨯．所以所求函数关系式为1,0123,124x x y x x ⎧<≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪⎩．故填1,0123,124x x y x x ⎧<≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪⎩．()f x [()]1f f x x =+2()()(0)f x g x x x=>),2[+∞)0()(≠+=a b ax x f b ab x a b b ax a x f f ++=++=2)()]([[()]1f f x x =+⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=211112b a b ab a 21)(+=x x f 21412141)21()(2=+⋅≥++=+=xx x x x x x g )0(41>=x x x 21=x )(x g ),2[+∞),2[+∞21．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】∵(1) 2 ()f x f x +=，()2(1)f x f x ∴=-． ∵(0,1]x ∈时，1()(1)[,0]4f x x x =-∈-；∴(1,2]x ∈时，1(0,1]x -∈，1()2(1)2(1)(2),02f x f x x x ⎡⎤=-=--∈-⎢⎥⎣⎦； ∴(2,3]x ∈时，1(1,2]x -∈，()2(1)4(2)(3)[1,0]f x f x x x =-=--∈-， 如图：当(2,3]x ∈时，由84(2)(3)9x x --=-解得173x =，283x =， 若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则73m ≤.则m 的取值范围是7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选B.【名师点睛】本题考查了函数的解析式、图象.解题的关键是能够得到(2,3]x ∈时函数的解析式，并求出函数值为89-时对应的自变量的值. 22．【2017年高考山东理数】设函数24y x =-的定义域为A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ,则A B =A ．（1,2）B ．(1,2]C ．（-2,1）D ．[-2,1)【答案】D【解析】由240x -≥得22x -≤≤， 由10x ->得1x <， 故{|22}{|1}{|21}A B x x x x x x =-≤≤<=-≤<.选D.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应把集合先化简再计算，常借助数轴或韦恩图进行求解. 23．【2019年高考江苏】函数276y x x =+-的定义域是 ▲ .【答案】[1,7]-【解析】由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域. 由已知得2760x x +-≥,即2670x x --≤，解得17x -≤≤， 故函数的定义域为[1,7]-.【名师点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．24．【2018年高考江苏】函数()2log 1f x x =-的定义域为________．【答案】[2，+∞）【解析】要使函数()f x 有意义，则需2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[)2,+∞. 【名师点睛】求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.求解本题时，根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域. 25．【2018年高考江苏】函数()f x 满足()()()4fx f x x +=∈R ，且在区间(]2,2-上，()πcos ,02,21,20,2x x f x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩则()()15f f 的值为________． 【答案】22【解析】由()()4f x f x +=得函数()f x 的周期为4，所以()()()111516111,22f f f =-=-=-+= 因此()()1π215cos .242f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 【名师点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现()()f f a 的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.26．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________. 【答案】1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】令()()12g x f x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 当0x ≤时，()()13222g x f x f x x ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭； 当102x <≤时，()()11222x g x f x f x x ⎛⎫=+-=++ ⎪⎝⎭； 当12x >时，()()()112222x g x f x f x -⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭，写成分段函数的形式：()()()132,021112,02221222,2x x x x g x f x f x x x x -⎧+≤⎪⎪⎪⎛⎫=+-=++<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪+>⎪⎩， 函数()g x 在区间(]11,0,0,,,22⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭三段区间内均单调递增， 且()001111,201,222142g -⎛⎫-=++>+⨯> ⎪⎝⎭， 可知x 的取值范围是1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【名师点睛】（1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值.（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.。
函数概念与知识点总结
函数概念与知识点总结一、函数的概念1.1 函数的定义函数是数学中的一个基本概念，它描述了一种对应关系，将一个或多个输入参数映射到一个输出结果。
在数学中，函数通常表示为f(x)，其中x是输入参数，f(x)是输出结果。
函数也可以表示为y=f(x)，其中y是输出结果，x是输入参数。
函数还可以表示为y=f(x1,x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是多个输入参数。
1.2 函数的特性函数具有一些特性，包括单值性、有限性、定义域和值域。
单值性表示对于每个输入参数，函数有且只有一个输出结果。
有限性表示函数的定义域和值域都是有限的。
定义域是函数能接受的输入参数的集合，而值域是函数输出结果的集合。
1.3 函数的分类函数可以根据其形式、性质和用途进行分类。
常见的函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、双曲函数等。
函数还可以根据其定义域和值域的不同进行分类，如有界函数、无界函数、周期函数等。
二、函数的性质与图像2.1 函数的奇偶性函数可以根据其图像的对称性来判断奇偶性。
若函数的图像关于原点对称，则函数是奇函数；若函数的图像关于y轴对称，则函数是偶函数。
2.2 函数的增减性函数的增减性描述了函数在定义域内的增加和减少情况。
若对于定义域内的任意两个值x1和x2，若x1<x2，则f(x1)<f(x2)，则函数是单调递增的；若x1<x2，则f(x1)>f(x2)，则函数是单调递减的。
2.3 函数的最值函数的最值指在定义域内的最大值和最小值。
函数的最值可以通过求导数或利用一阶导数的性质进行判断。
2.4 函数的图像函数的图像是函数在平面直角坐标系中的表示。
通过绘制函数的图像，可以直观地理解函数的性质和变化规律。
例如，线性函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一个抛物线。
三、函数的运算3.1 函数的加减运算当两个函数f(x)和g(x)相加或相减时，可以将它们的对应项相加或相减，得到一个新的函数h(x)=f(x)±g(x)。
高三数学专题复习-函数概念及其表示专题练习带答案
04 函数概念及其表示1．函数f (x )＝log 2(1－2x )＋1x ＋1的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 C ．(－1，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12 D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－1，12 【答案】D.要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ＞0，x ＋1≠0，解得x ＜12且x ≠－1，故函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，12)．2.已知集合A={x|x 2-2x ≤0},B={y|y=log 2(x+2),x ∈A },则A ∩B 为( ) A.(0,1) B.[0,1] C.(1,2) D.[1,2]【答案】D由题意,集合A={x|x 2-2x ≤0}=[0,2], 因为x ∈A ,则x+2∈[2,4],所以B={y|y=log 2(x+2),x ∈A }=[1,2], 所以A ∩B=[1,2].故选D .3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （－x ），x ＞2，ax ＋1，－2≤x ≤2，f （x ＋5），x ＜－2，若f (2 019)＝0，则a ＝( )A ．0B ．－1C ．1D ．－2【答案】B.由于f (2 019)＝f (－2 019)＝f (－404×5＋1)＝f (1)＝a ＋1＝0，故a ＝－1.4.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A.y=x B.y=lg x C.y=2x D.y=【答案】Dy=10lg x =x ,定义域与值域均为(0,+∞).A 项中,y=x 的定义域和值域均为R;B 项中,y=lg x 的定义域为(0,+∞),值域为R;C 项中,y=2x 的定义域为R,值域为(0,+∞);D 项中,y=的定义域与值域均为(0,+∞).故选D . 5．若函数f (x )满足f (1－ln x )＝1x，则f (2)等于( )A.12 B ．e C.1e D ．－1【答案】B.解法一：令1－ln x ＝t ，则x ＝e 1－t ，于是f (t )＝1e1－t ，即f (x )＝1e1－x ，故f (2)＝e.解法二：由1－ln x ＝2，得x ＝1e ，这时1x ＝11e ＝e ，即f (2)＝e.6.若函数y=f (x )的值域是[1,3],则函数F (x )=1-f (x+3)的值域是( ) A.[-8,-3] B.[-5,-1]C.[-2,0]D.[1,3]【答案】C∵1≤f (x )≤3,∴1≤f (x+3)≤3,-3≤-f (x+3)≤-1,∴-2≤1-f (x+3)≤0.故F (x )的值域为[-2,0].7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ， x ＜1，2x ， x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b ＝( ) A ．1 B ．78C.34 D ．12【答案】D.f ⎝⎛⎭⎫56＝3×56－b ＝52－b ， 当52－b ≥1，即b ≤32时，f ⎝⎛⎭⎫52－b ＝252－b ， 即252－b ＝4＝22，得到52－b ＝2，即b ＝12；当52－b ＜1，即b ＞32时，f ⎝⎛⎭⎫52－b ＝152－3b －b ＝152－4b ， 即152－4b ＝4，得到b ＝78＜32，舍去． 综上，b ＝12，故选D.8. 若任意都有，则函数的图象的对称轴方程为A ．，B ．，C ．，D ．，【答案】A令，代入则联立方程得解方程得=所以对称轴方程为解得所以选A 。
函数的概念及其表示讲义- 高考一轮复习
§2.1 函数的概念及其表示课标要求 1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．知识梳理1．函数的概念一般地，设A ，B 是________________，如果对于集合A 中的________一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有__________的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A .2．函数的三要素(1)函数的三要素：__________、____________、____________.(2)如果两个函数的______________相同，并且____________完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有____________、图象法和____________．4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．常用结论1．直线x ＝a 与函数y ＝f (x )的图象至多有1个交点．2．在函数的定义中，非空实数集A ，B ，A 即为函数的定义域，值域为B 的子集．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．课前预习1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．( )(2)任何一个函数都可以用图象法表示．( )(3)直线y ＝a 与函数y ＝f (x )的图象可以有多个交点．( )(4)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥0，x 2，x <0的定义域为R .( )高三数学062．(多选)下列图象中，是函数图象的是( )3．(多选)下列选项中，表示的不是同一个函数的是( )A ．y ＝x ＋33－x 与y ＝x ＋33－xB ．y ＝x 2与y ＝(x －1)2C ．y ＝x 2与y ＝xD ．y ＝1与y ＝x 04．已知函数f (x －1)＝x 2＋4x －5，则f (x )的解析式是________________________. 典例精讲题型一 函数的概念例1 (1)(多选)下列说法中正确的有( )A ．f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0表示同一个函数 B ．函数f (x )＝x ＋1－1x的定义域是[－1,0)∪(0，＋∞) C ．f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一个函数D ．若f (x )＝|x －1|－x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0(2)已知函数f (x )的定义域为[－2,3]，则函数f (2x －1)的定义域为____________________．变式训练1 (1)下列各组函数表示同一个函数的是( )A ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝1x －1，g (x )＝1x －1C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，g (t )＝|t | D ．f (x )＝x ＋1，g (x )＝x 2－1x －1 (2)已知函数f (x )的定义域为[2,8]，则函数h (x )＝f (2x )＋9－x 2的定义域为( )A ．[4,16]B ．(－∞，1]∪[3，＋∞)C ．[1,3]D ．[3,4]题型二 函数的解析式例2 (1)已知f (x+1)＝x ，求f (x )的解析式；(2)已知f ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2＝x 4＋1x 4，求f (x )的解析式； (3)已知f (x )是一次函数且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式；(4)若对任意实数x ，均有f (x )－2f (－x )＝9x ＋2，求f (x )的解析式．变式训练2 (1)若f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1－x ，则f (x )＝________________________.(2)已知f (f (x ))＝4x ＋9，且f (x )为一次函数，则f (x )＝_____________________.题型三 分段函数例3 (1)(多选)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－2≤x <1，－x ＋2，x ≥1，则下列关于函数f (x )的结论正确的是( ) A ．f (x )的定义域为R B ．f (x )的值域为(－∞，4]C ．若f (x )＝2，则x 的值是－2D ．f (x )<1的解集为(－1,1)(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋2，x <－1，2x －3，x ≥－1，若f (a )＝4，则实数a 的值是________；若f (a )≥2，则实数a 的取值范围是_____________________________________．变式训练3 (1)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(2－x )，x ≤0，f (x －3)，x >0， 则f (2 023)等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2) ※.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________. 课堂小结课后反思函数的概念及其表示限时训练1.函数f (x )＝lg(x －2)＋1x －3的定义域是( ) A.(2，＋∞) B.(2，3) C.(3，＋∞) D.(2，3)∪(3，＋∞)2.(多选)下列各图中，能表示函数y ＝f (x )的图象的是( )3.已知函数f (x ＋2)＝x 2－3x ＋4，则f (1)＝( )A.4B.6C.7D.84.(多选)下列函数中，与函数y ＝x ＋2是同一个函数的是( )A.y ＝(x ＋2)2B.y ＝3x 3＋2C.y ＝x 2x＋2 D.y ＝t ＋2 5.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，x ＋1x，x >0，若f (f (a ))＝2，则a 等于( ) A.0或1 B.－1或1 C.0或－2 D.－2或－16.已知函数f (x )对任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝2x ，则f (x )＝________.7.(1)已知f (x ＋1)＝2x 2－x ＋3，求f (x ).(2)已知f (f (x ))＝4x ＋9，且f (x )为一次函数，求f (x ).(3)已知函数f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，求f (x ).8. ※已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x，则函数g (x )＝f (x －1)＋2x －1的定义域是( ) A.{x |x >2，或x <0} B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x <2 C.{x |x >2} D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12 9. ※已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >1，x 2－1，x ≤1，则f (x )<f (x ＋1)的解集为________. 10. ※用max{a ，b }表示a ，b 两个数中的最大值，设函数f (x )＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫|x |，1x (x >0)，若f (x )≥m －1恒成立，则m 的最大值是________。
【最新】高考数学天天练3—函数的概念及其表示(含解析)
④f(x)＝，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．故选C.
6．DA：取x＝0，可知f(sin0)＝sin0，即f(0)＝0，再取x＝，可知f(sinπ)＝sin，即f(0)＝1，矛盾，∴A错误；同理可知B错误；C：取x＝1，可知f(2)＝2，再取x＝－1，可知f(2)＝0，矛盾，∴C错误，D：令t＝|x＋1|(t≥0)，
∴f(t2－1)＝t(t≥0)⇔f(x)＝，符合题意，故选D.
7．C令x＝cosθ，θ∈[0，π]，则函数f(x)即g(θ)＝＝，而的几何意义是单位圆(在x轴及其上方)上的点与点(2,1)连线的斜率，所以函数f(x)＝的值域为[0,1]，故选C.
8．C因为函数f(x)的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝－lnx－x＝f(x)，同理，当x＜0时，也有f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．因为f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝－ln2－2＝ln－2，所以，当m＞0时，由f()＜ln－2，得f()＜f(2)，所以＞2，解得0＜m＜.根据偶函数的性质知当m＜0时，得－＜m＜0，故选C.
(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
12．对于每个实数x，设f(x)取y＝4x＋1，y＝x＋2，y＝－2x＋4三个函数中的最小值，用分段函数写出f(x)的解析式，并求f(x)的最大值．
天天练
1．D按f(3)＝f(1)＋f(2)的要求寻找．
2．A不要忘了1，－1,2.这种的类型的情况，还有1，－1,2，－2的情况．
【最新】高考数学天天练
一、选择题
1．集合A＝{1,2,3}，B＝{－1,0,1}，满足条件f(3)＝f(1)＋f(2)的映射f：A→B的个数是()
高中数学必修3第二章知识点总结及练习
高中数学必修3第二章知识点总结及练习高中数学必修3第二章主要讲解了函数的相关知识。
下面是对第二章的知识点进行总结，并附上一些相关练习题，希望能够帮助同学们更好地学习与掌握这一部分内容。
1. 函数的概念函数是一种特殊的映射关系，是一种对应关系，是具有唯一性的。
函数通常用f(x)或y来表示，其中x称为自变量，表示函数的输入值，y称为因变量，表示函数的输出值。
2. 函数的定义域、值域与对应关系函数的定义域是所有自变量取值的集合，对应的值域是函数所有可能的取值集合。
对于给定的自变量，函数能够唯一地确定一个因变量，这种关系称为对应关系。
3. 函数的表示函数可以通过函数图象、解析式、列表和数列等方式来表示。
4. 函数的性质函数可以分为奇函数和偶函数。
奇函数满足f(-x)=-f(x)，而偶函数满足f(-x)=f(x)。
奇偶函数在函数图象上有对称特点。
5. 反函数若函数f(x)的定义域D和值域R满足：对于f(x1)=y1，必存在唯一的x2使得f(x2)=y2，则函数f(x)存在反函数g(x)，满足g(y1)=x1，g(y2)=x2。
反函数的图象是原函数的图象关于y=x 的对称。
6. 复合函数给定两个函数f(x)和g(x)，则两个函数可以进行复合运算。
复合函数的定义域为g(x)的定义域，值域为f(x)的值域。
7. 隐函数隐函数是由x和y之间的关系方程所确定的函数。
对于隐函数，可以通过求导和解方程等方式来求解。
8. 指数函数与对数函数指数函数是以一个固定底数为底的幂函数，可表示为y=a^x，其中a是底数，x是指数，a>0且a≠1。
对数函数是指数函数的反函数，可表示为y=loga(x)，其中a>0且a≠1。
练习题：1. 判断下列函数是奇函数还是偶函数：a) f(x) = x^2 + 2x + 1b) g(x) = sin(x)c) h(x) = |x|d) k(x) = x^3 - x2. 求下列函数的反函数：a) f(x) = 2x + 1b) g(x) = 3x^23. 求下列复合函数：a) f(x) = 2x + 1，g(x) = x^2b) f(x) = sin(x)，g(x) = x^24. 求解下列隐函数：a) x + y = 5b) x^2 + y^2 = 95. 求下列指数函数和对数函数的值：a) y = 2^3b) y = log2(8)以上是关于高中数学必修3第二章的知识点总结及练习题。
高三数学函数的概念
4.提高题
例5、 设M a, b, c, N 1,0,1
(1)求从M到N的映射的个数； 27
(2)从M到N的映射满足f(a)+f(b)+f(c)=0，试确定 这样的映射f的个数。 7 练习： 设集合M 1,0,1 , N 2,3,5, 映射 f : M N , 使对任意的 x M 都有 x+f(x)+xf(x)是奇数，这样的映射f共有（
1 u 1 v D f u , g v 1 u 1 v
2.关于函数（映射）定义
例2、集合 A 3,4, B 5,6,7 ，那么从A→B的映射 有 9 个，从B→A的映射 8 个,从B→A，且A中 每个元素都有原像的映射有 6 个，。
变式一
设集合A和B都是自然数集合N，映射f： A→B 把集合A中的元素n映射到集合B中的元素 2n+n，则在映射f下，像20的原象是 4 .
2 ( x 1 ) ,x 1 练习2.（2004. 人教版理科）设函数 f ( x ) ， 4 x 1, x 1
7 1求f f f =1 2若f a 3, 求 a的值. 1.5或 4 6
作业 优化设计P11 闯关训练
伏天氏 /ddxs/143670/ 伏天氏
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一下慕容凌娢。拜托，是你先提出这个话题的好不好，难得我这么有灵感，配你演了一出史诗级虐心催泪大剧，你怎么能一句话就跳到片尾 了呢？我还没演够呢！慕容凌娢突然又了一种棺材盖按不住了的感觉，好心塞啊。“说起来，上次还真要多谢妹妹帮我摆脱困境呢。”柳茗 十分机智的转移了话题，“我呢，无以为报，倒是有一物，想赠与妹妹，若是妹妹能赏脸收下，我心里也好受些。”说着，她向一直立在他 身后的侍女示意。慕容凌娢这时才发现，那是女手里一直捧着一个狭长的木质盒子。(古风一言)醉酒惜花音 欲问梦何处 身在峰转处 洽如 此生 扭转暂不停焉。(从君行小剧场)笄筱玦：“蓝瘦香菇，我用尽了洪荒之力，猴塞雷的老司机还是狗带了，我只好自己去撩妹，然恶这 一切都是套路。感觉身体被掏空的我在家里沙发上来了个葛优瘫。”慕容凌娢：“你是脑残片嗑多了吗？”韩哲轩：“这貌似是2016网络用 语的盘点。”慕容凌娢：“对呀，按照先后顺序排名，仅用于娱乐。大家不要想多。”第062章 钓鱼，捕鲸都可以了！“说起来，上次还真 要多谢妹妹帮我摆脱困境呢。”柳茗十分机智的转移了话题，“我呢，无以为报，倒是有一物，想赠与妹妹，若是妹妹能赏脸收下，我心里 也好受些。”说着，她向一直立在他身后的侍女示意。慕容凌娢这时才发现，那是女手里一直捧着一个狭长的木质盒子。看不出具体是什么 木料，但很有光泽，盒盖上还可有几株惟妙惟肖的兰花，让人仿佛能嗅到淡淡的清香。盒子都这么高大上了，一定不会是买椟还珠的套路， 毕竟如此单纯的古代人应该还不知道什么叫“过度包装”。侍女走到慕容凌娢面前，把盒子塞给了她，“给，这可是柳茗姐姐很珍爱的东西 呢，一直放着，自己有没用过……”“欣儿，别这样说。”柳茗语气严厉了许多，随即又转过脸来笑道，“欣儿这丫头不懂事，妹妹不会介 意吧。”“无妨无妨。”慕容凌娢高频率的摇头，她可不想再立FLAG了。“姐姐如此客气作何，平日里你待我不薄，互帮互助是应该的，如 此贵重的礼物白绫实在是不能接受。”“妹妹倒是太客气了呢。”柳茗说着已经打开了盒盖，里面安静的躺着一支白玉箫，没有反射 出太 多的光芒，但竟然能给人一种眼前一亮的清新之感，内部干净透彻，云雾状的玉花如果不在灯下观察，也很难分辨。都说美玉无瑕，可真正 没有瑕疵的玉可真是少之又少，以至于慕容凌娢有了一种真玉有瑕的错觉。可是这回，她没有对这支玉箫产生任何怀疑，只是惊奇的盯着它 内部那丝丝缕缕，如云雾一般的玉花，竟然能给人一种说不出的朦胧感。“好神奇。”慕容凌娢小声嘟囔。“妹妹也是精通音律之人，这白 玉箫若是归来妹妹，也算是锦上添花了。”柳茗笑
全国通用版高中数学第三章函数的概念与性质必考知识点归纳
(名师选题)全国通用版高中数学第三章函数的概念与性质必考知识点归纳单选题>0，1、已知函数f(x)=(m2−m−1)x m3−1是幂函数，对任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2，满足f(x1)−f(x2)x1−x2若a,b∈R,a+b<0，则f(a)+f(b)的值（）A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断答案：B解析：根据函数为幂函数以及函数在(0,+∞)的单调性，可得m，然后可得函数的奇偶性，结合函数的单调性以及奇偶性，可得结果.由题可知：函数f(x)=(m2−m−1)x m3−1是幂函数则m2−m−1=1⇒m=2或m=−1>0又对任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2，满足f(x1)−f(x2)x1−x2所以函数f(x)为(0,+∞)的增函数，故m=2所以f(x)=x7，又f(−x)=−f(x)，所以f(x)为R单调递增的奇函数由a+b<0，则a<−b，所以f(a)<f(−b)=−f(b)则f(a)+f(b)<0故选：B>小提示：本题考查幂函数的概念以及函数性质的应用，熟悉函数单调递增的几种表示，比如f(x1)−f(x2)x1−x20,[f(x1)−f(x2)]⋅(x1−x2)>0，属中档题.2、若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上F(x)有（）A．最小值－8B．最大值－8C．最小值－6D．最小值－4答案：D分析：根据f(x)和g(x)都是奇函数，可得函数y=f(x)+g(x)为奇函数，再根据F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，可得函数y=f(x)+g(x)在(0，＋∞)上有最大值6，从而可得函数y=f(x)+g(x)在(－∞，0)上有最小值，即可得出答案.解：因为若f(x)和g(x)都是奇函数，所以函数y=f(x)+g(x)为奇函数，又F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，所以函数y=f(x)+g(x)在(0，＋∞)上有最大值6，所以函数y=f(x)+g(x)在(－∞，0)上有最小值−6，所以在(－∞，0)上F(x)有最小值－4.故选：D.3、函数的y=√−x2−6x−5值域为（）A．[0,+∞)B．[0,2]C．[2,+∞)D．(2,+∞)答案：B分析：令u=−x2−6x−5，则u≥0，再根据二次函数的性质求出u的最大值，进而可得u的范围，再计算y=√u的范围即可求解.令u=−x2−6x−5，则u≥0且y=√u又因为u=−x2−6x−5=−(x+3)2+4≤4，所以0≤u≤4，所以y=√u∈[0,2]，即函数的y=√−x2−6x−5值域为[0,2]，故选：B.4、已知函数f(x)的定义域为R，f(x+2)为偶函数，f(2x+1)为奇函数，则（）)=0B．f(−1)=0C．f(2)=0D．f(4)=0A．f(−12答案：B分析：推导出函数f(x)是以4为周期的周期函数，由已知条件得出f(1)=0，结合已知条件可得出结论.因为函数f(x+2)为偶函数，则f(2+x)=f(2−x)，可得f(x+3)=f(1−x)，因为函数f(2x+1)为奇函数，则f(1−2x)=−f(2x+1)，所以，f(1−x)=−f(x+1)，所以，f(x+3)=−f(x+1)=f(x−1)，即f(x)=f(x+4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，因为函数F(x)=f(2x+1)为奇函数，则F(0)=f(1)=0，故f(−1)=−f(1)=0，其它三个选项未知.故选：B.5、函数f(x)=−x2+2(1−m)x+3在区间(−∞,4]上单调递增，则m的取值范围是（）A．[−3,+∞)B．[3,+∞)C．(−∞,5]D．(−∞,−3]答案：D=1−m，而抛物线的开口向下，且在区间(−∞,4]上单调递增，所分析：先求出抛物线的对称轴x=−2(1−m)−2以1−m≥4，从而可求出m的取值范围=1−m，解：函数f(x)=−x2+2(1−m)x+3的图像的对称轴为x=−2(1−m)−2因为函数f(x)=−x2+2(1−m)x+3在区间(−∞,4]上单调递增，所以1−m≥4，解得m≤−3，所以m的取值范围为(−∞,−3]，故选：D6、现有下列函数：①y =x 3；②y =(12)x；③y =4x 2；④y =x 5+1；⑤y =(x −1)2；⑥y =x ；⑦y =a x (a >1)，其中幂函数的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B分析：根据幂函数的定义逐个辨析即可幂函数满足y =x a 形式，故y =x 3，y =x 满足条件，共2个故选：B7、已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且x >1时，满足f(2−x)=−f(x)，当x ∈(0,1]时，f(x)=x 2，则f(−2021)+f(2022)=（ ）A ．−4B ．4C ．−1D ．1答案：C分析：由已知条件可得x >1时f(x +2)=f(x)，然后利用f(−2021)+f(2022)= −f(1)+f(0)求解即可. 因为函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且x >1时，满足f(2−x)=−f(x)，所以f(0)=0，f(2−x)=−f(x)=f(−x)，即可得x >1时f(x +2)=f(x)，因为当x ∈(0,1]时，f(x)=x 2，所以f(−2021)+f(2022)=−f(2×1010+1)+f(2×1011+0)=−f(1)+f(0)=−1+0=−1，故选：C8、已知函数f(x)在定义域R 上单调，且x ∈(0,+∞)时均有f(f(x)+2x)=1，则f(−2)的值为（ ）A ．3B ．1C ．0D ．−1答案：A分析：设f(x)+2x =t ，则f(x)=−2x +t ，即可由f(f(x)+2x)=1得f(t)=−2t +t =1，解出t ，从而得到f(x)=−2x−1，进而求出f(−2)的值．根据题意，函数f(x)在定义域R上单调，且x∈(0,+∞)时均有f(f(x)+2x)=1，则f(x)+2x为常数，设f(x)+2x=t，则f(x)=−2x+t，则有f(t)=−2t+t=1，解可得t=−1，则f(x)=−2x−1，故f(−2)=4−1=3；故选：A.9、已知函数f(x)={2x2+1,x≤1,3x,x>1.则f(f(3))=（）A．319B．3C．1D．19答案：B分析：根据解析式代入求解即可f(f(3))=f(33)=f(1)=2+1=3故选：B10、下列图形能表示函数图象的是（）A．B．C．D．答案：D分析：根据函数的定义，判断任意垂直于x轴的直线与函数的图象的交点个数，即可得答案. 由函数的定义：任意垂直于x轴的直线与函数的图象至多有一个交点，所以A 、B 显然不符合，C 在x =0与函数图象有两个交点，不符合，只有D 符合要求.故选：D11、已知f(x)是一次函数，2f(2)−3f(1)=5，2f (0)−f (−1)=−1，则f(x)=（ ）A ．3x +2B ．3x −2C ．2x +3D ．2x −3答案：D分析：设出函数f(x)的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答.依题意，设f(x)=kx +b,k ≠0，则有{2(2k +b)−3(k +b)=52b −(−k +b)=−1，解得k =2,b =−3， 所以f(x)=2x −3.故选：D12、已知f (2x +1)=4x 2+3，则f (x )=（ ）．A ．x 2−2x +4B ．x 2+2xC ．x 2−2x −1D ．x 2+2x +3答案：A分析：利用配凑法直接得出函数的解析式.因为f (2x +1)=4x 2+3=(2x +1)2−2(2x +1)+4，所以f (x )=x 2−2x +4．故选：A填空题13、已知函数f (x )={|lnx |,x >0，x 2+4x +3,x ≤0，若函数g (x )=[f (x )]2−4f (x )+m +1恰有8个零点，则m 的范围为___________．答案：2≤m <3解析：设f (x )=t ，则g (x )=[f (x )]2−4f (x )+m +1=0，转化为t 2−4t +m +1=0，由g (x )有8个零点，转化为方程f (x )=t ，t ∈(0,3]有4个不同的实根，即m +1=−t 2+4t 在t ∈(0,3]内有2个不同的实根，利用数形结合法求解.画出函数f(x)={|lnx|,x>0,x2+4x+3,x≤0,的图像如图所示，设f(x)=t，由g(x)=[f(x)]2−4f(x)+m+1=0，得t2−4t+m+1=0．因为g(x)有8个零点，所以方程f(x)=t有4个不同的实根，结合f(x)的图像可得在t∈(0,3]内有4个不同的实根．所以方程t2−4t+m+1=0必有两个不等的实数根，即m+1=−t2+4t在t∈(0,3]内有2个不同的实根，画出函数y=−t2+4t的图象，如图所示：结合图像可知，3≤m+1<4，故2≤m<3．小提示：方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解14、设函数f （x ）=(x+1)2+ax 132x 2+2，a ∈R 的最大值为M ，最小值为m ，则M +m ＝__．答案：1 分析：令g （x ）＝f （x ）−12=2x+ax 132x 2+2，易判断g （x ）为奇函数，由奇函数的性质，可得（M −12）+（m −12）＝0，即可求出M +m 的值.解：f （x ）=(x+1)2+ax 132x 2+2=x 2+2x+1+ax 132x 2+2=12+2x+ax 132x 2+2，令g （x ）＝f （x ）−12=2x+ax 132x 2+2，则g （﹣x ）=−2x−ax 132x 2+2=−g （x ），所以g （x ）为奇函数，所以g （x ）的最大最小值分别为M −12，m −12，由奇函数的性质，可得（M −12）+（m −12）＝0，所以M +m ＝1．所以答案是：1．15、已知函数f (x )=(a −1)x a2−1是幂函数，则f (2)的值为_____．答案：8分析：利用幂函数的定义可求解.依题意得，a −1=1，∴a =2，则f (x )=x 3，∴f (2)=8所以答案是：816、函数y =√x 2−1的单调递减区间为___________.答案：(−∞,−1](或(−∞,−1)都对)解析：利用复合函数的单调性，同增异减，即可得到答案；令t =x 2−1，则y =√t ，∵ t =x 2−1在(−∞,−1)单调递减，y =√t 在(0,+∞)单调递增，根据复合函数的单调性可得：y =√x 2−1在(−∞,−1)单调递减，所以答案是：(−∞,−1).17、已知f (x )={(3a −1)x +4a,x <1−x +1,x ⩾1是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是___. 答案：[17,13) 分析：利用函数在R 上是减函数，可列出不等式组{3a −1<0(3a −1)+4a ⩾−1+1，由此求得a 的取值范围. 由于f (x )={(3a −1)x +4a,x <1−x +1,x ⩾1是定义在R 上的减函数，∴{3a −1<0(3a −1)+4a ⩾−1+1 ， 求得17⩽a <13， 所以答案是：[17,13).解答题18、已知函数f (x )=x−1x+2，x ∈[3,5].（1）判断函数f (x )的单调性，并证明；（2）求函数f (x )的值域.答案：（1）单调递增，证明见解析；（2）[25,47]分析：（1）利用函数单调性的定义即可证明函数f (x )在区间[3,5]上的单调性；（2）根据函数f (x )在区间[3,5]上的单调性即可求其值域.（1）f (x )=x−1x+2=x+2−3x+2=1−3x+2在区间[3,5]上单调递增， 证明如下：任取x 1,x 2∈[3,5]且x 1<x 2，f (x 1)−f (x 2)=(1−3x 1+2)−(1−3x 2+2)=3x 2+2−3x 1+2=3(x1+2)−3(x2+2) (x1+2)(x2+2)=3(x1−x2)(x1+2)(x2+2)，因为3≤x1<x2≤5，所以x1−x2<0，x1+2>0，x2+2>0，所以f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在区间[3,5]上单调递增.（2）由（1）知：f(x)在区间[3,5]上单调递增，所以f(x)min=f(3)=3−13+2=25，f(x)max=f(5)=5−15+2=47，所以函数f(x)的值域是[25,4 7 ].19、已知函数f(x)=x+mx，且f(1)=5．（1）求m；（2）判断并证明f(x)的奇偶性；（3）判断函数f(x)在(2,+∞)，上是单调递增还是单调递减？并证明．答案：（1）m=4；（2）奇函数，证明见解析；（3）单调递增函数，证明见解析. 分析：（1）根据题意，将x=1代入函数解析式，求解即可；（2）利用奇函数的定义判断并证明即可；（3）利用函数单调性的定义判断并证明即可．（1）根据题意，函数f(x)=x+mx，且f(1)=5，则f(1)=1+m=5，解得m=4；（2）由（1）可知f(x)=x+4x，其定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，又由f(−x)=−x−4x =−(x+4x)=−f(x)，所以f(x)是奇函数；（3）f(x)在(2,+∞)上是单调递增函数．证明如下：设2<x1<x2，则f(x1)−f(x2)=(x1+4x1)−(x2+4x2)=(x1−x2)⋅x1x2−4x1x2，因为2<x1<x2，所以x1x2>4，x1−x2<0，则f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(2,+∞)上是单调递增函数．20、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=x4−2x2；(2)f(x)=x5−x；(3)f(x)=3x1−x2；(4)f(x)=|x|+x．答案：(1)偶函数(2)奇函数(3)奇函数(4)非奇非偶函数分析：（1）利用偶函数的定义可判断函数的奇偶性；（2）利用奇函数的定义可判断函数的奇偶性；（3）利用奇函数的定义可判断函数的奇偶性；（4）利用反例可判断该函数为非奇非偶函数.（1）f(x)的定义域为R，它关于原点对称.f(−x)=(−x)4−2(−x)2=x4−2x2=f(x)，故f(x)为偶函数.（2）f(x)的定义域为R，它关于原点对称.f(−x)=(−x)5−(−x)=−x5+x=−f(x)，故f(x)为奇函数.（3）f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞)，它关于原点对称.=−f(x)，故f(x)为奇函数.f(−x)=−3x1−(−x)2（4）f(1)=|1|+1=2,f(−1)=0，故f(1)≠f(−1),f(−1)≠−f(1)，故f(x)为非奇非偶函数.。
高中数学第三章 函数概念与性质之函数的概念及表示(精练)(必修第一册)(学生版)
3.1 函数的概念【题组一 区间】1．(2020·三亚华侨学校高一月考)不等式0213x <-≤的解集用区间可表示为( ) A ．1(,2)2B ．(0,2]C ．1[,2)2D ．1(,2]22．(2020·全国高一课时练习)集合{|342}x x -<可以表示为( ) A ．(2,)+∞ B ．(,2)-∞C ．[2,)+∞D ．(,2]-∞3．(2020·全国高一课时练习)不等式20x -≥的所有解组成的集合表示成区间是( ) A ．(2,)+∞ B ．[2,)+∞C ．(,2)-∞D ．(,2]-∞4．(2019·贵州省铜仁第一中学高一期中)集合{0x x >且}2x ≠用区间表示出来( ) A ．()0,2 B ．()0,∞+C ．()()0,22,+∞ D ．()2,+∞5．(2019·吉林辽源高一期中(理))下列四个区间能表示数集{|05A x x =≤<或}10x >的是( ) A ．((0,5)1)0,∞＋B ．[)0,51()0,∞＋C ．(]0,51[)0,∞＋D ．[]0,51()0,∞＋6．(2020·全国高一课时练习)若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________．7．(2020·全国高一课时练习)已知(]2,31a a -为一个确定的区间，则a 的取值范围是________.【题组二 函数的判断】1．(2020·三亚华侨学校高一月考)下列图象表示函数图象的是( )A ．B．C ．D ．2．(2020·全国高一)在下列图象中，函数()y f x =的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．3．(2020·全国高一课时练习)设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是________.【题组三 定义域】1．(2020·浙江高一课时练习)函数22()44f x x x =-+-的定义域是( )A ．[2,2]-B ．{2,2}-C ．(,2)(2,)-∞-+∞ D ．(2,2)-2．(2020·贵州高二学业考试)函数()1f x x =-的定义域是( )A ．{}|1x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{}|1x x >D ．{}|1x x <3．(2020·朝阳.吉林省实验高二期末(文))函数()12x f x =-的定义域是 ( ) A ．(],0-∞ B ．[)0,+∞C ．(),0-∞D ．(),-∞+∞4．(2020·汪清县汪清第六中学高二月考(文))函数42()xf x x-=的定义域为 A ．(,2]-∞ B ．[0,2]C ．(0,2]D ．[2,)+∞5．(2019·哈尔滨市第一中学校高三开学考试(文))已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 ( ) A ．(1,1)- B ．1(1,)2-- C ．(1,0)-D ．1(,1)26．(2020·嫩江市高级中学高一月考)已知(1)f x +的定义域为[2,3)-，(2)f x -的定义域是( ) A ．[2,3)-B ．[1,4)-C ．[0,5)D ．[1,6)7．(2020·全国高一)若函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()()22f x g x x=的定义域是( ) A ．[]0,4B ．](0,4C ．](0,1D ．](0,28(2020·广西兴宁.南宁三中高二月考(文))已知函数(1)f x +的定义域为[－2，1]，则函数()(2)g x f x =-的定义域为( ) A ．[－2，1] B ．[0，3]C ．[1，4]D ．[1，3]9．(2019·内蒙古集宁一中高一期中(文))已知函数()y f x =定义域是[]2,3-，则()21y f x =-的定义域是( )A ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．[]2,3-D ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【题组四 解析式】1．(2020·云南会泽。
高考数学全程训练计划：天天练3 函数的概念及表示
天天练3 函数的概念及表示小题狂练③一、选择题1．[2019·惠州二调]已知函数f(x)＝x ＋1x －1,f(a)＝2,则f(－a)＝( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4 答案：D解析：解法一 由已知得f(a)＝a ＋1a －1＝2,即a ＋1a ＝3,所以f(－a)＝－a －1a －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －1＝－3－1＝－4.解法二 因为f(x)＋1＝x ＋1x ,设g(x)＝f(x)＋1＝x ＋1x ,易判断g(x)＝x ＋1x 为奇函数,故g(x)＋g(－x)＝x ＋1x －x －1x ＝0,即f(x)＋1＋f(－x)＋1＝0,故f(x)＋f(－x)＝－2,所以f(a)＋f(－a)＝－2,故f(－a)＝－4.2．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B解析：①中当x>0时,每一个x 的值对应两个不同的y 值,因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时,y 的值有两个,因此不是函数图象,③④中每一个x 的值对应唯一的y 值,因此是函数图象．故选B.3．[2019·河南豫东、豫北十所名校段测]设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，0＜x≤9，f x －4，x ＞9，则f(13)＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值为( )A ．1B ．0C ．－2D ．2 答案：B解析：因为f(13)＝f(13－4)＝f(9)＝log 39＝2,2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2log 313＝－2,所以f(13)＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2－2＝0.故选B.4．[2019·山东潍坊青州段测]函数f(x)＝ln(x －1)＋12－x的定义域为( )A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2] 答案：A解析：函数f(x)＝ln(x －1)＋12－x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，2－x ＞0的解集,解得1＜x ＜2,所以函数f(x)的定义域为(1,2)．故选A.5．[2019·福建省六校联考]下列函数中,满足f(x 2)＝[f(x)]2的是( ) A ．f(x)＝lnx B ．f(x)＝|x ＋1| C ．f(x)＝x 3D ．f(x)＝e x答案：C解析：解法一 对于函数f(x)＝x 3,有f(x 2)＝(x 2)3＝x 6,[f(x)]2＝(x 3)2＝x 6,所以f(x 2)＝[f(x)]2,故选C.解法二 因为f(x 2)＝[f(x)]2,对选项A,f(22)＝ln4,[f(2)]2＝(ln2)2,排除A ；对选项B,则有f(12)＝|12＋1|＝2,[f(1)]2＝|1＋1|2＝4,排除B ；对选项D,则有f(12)＝e,[f(1)]2＝e 2,排除D.故选C.6．[2019·重庆二诊]如图所示,对应关系f 是从A 到B 的映射的是( )答案：D解析：A 到B 的映射为对于A 中的每一个元素在B 中都有唯一的元素与之对应,所以不能出现一对多的情况,因此D 表示A 到B 的映射．7．已知函数y ＝f(x ＋2)的定义域是[－2,5),则y ＝f(3x －1)的定义域为( ) A ．[－7,14) B ．(－7,14] C.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，83 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，83答案：D解析：因为函数y ＝f(x ＋2)的定义域是[－2,5),所以－2≤x＜5,所以0≤x＋2＜7,所以函数f(x)的定义域为[0,7),对于函数y ＝f(3x －1),0≤3x－1＜7,解得13≤x＜83,故y ＝f(3x －1)的定义域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，83,故选D.8．[2019·山东德州模拟]设函数y ＝9－x 2的定义域为A,函数y ＝ln(3－x)的定义域为B,则A∩∁R B ＝( )A ．(－∞,3)B ．(－∞,－3)C ．{3}D ．[－3,3) 答案：C解析：由9－x 2≥0解得－3≤x≤3,可得A ＝[－3,3],由3－x>0解得x<3,可得B ＝(－∞,3),因此∁R B ＝[3,＋∞)．∴A∩(∁R B)＝[－3,3]∩[3,＋∞)＝{3}．故选C.二、非选择题9．[2018·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝log2(x 2＋a)．若f(3)＝1,则a ＝________. 答案：－7解析：∵ f(x)＝log2(x 2＋a)且f(3)＝1,∴ 1＝log2(9＋a),∴ 9＋a ＝2,∴ a＝－7.10．[2019·南阳模拟]已知函数y ＝f(x)满足f(x)＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3x,则f(x)的解析式为________． 答案：f(x)＝－x －2x(x≠0)解析：由题意知函数y ＝f(x)满足f(x)＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3x,即f(x)－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x,用1x 代换上式中的x,可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f(x)＝3x,联立得,⎩⎪⎨⎪⎧fx －2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f x ＝3x，解得f(x)＝－x －2x(x≠0)．11．[2019·河南开封模拟]f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x<2，log 3x 2－1，x≥2，则f(f(2))的值为________．答案：2解析：∵当x≥2时,f(x)＝log 3(x 2－1),∴f(2)＝log 3(22－1)＝1<2,∴f(f(2))＝f(1)＝2e1－1＝2.12．[2019·湖北黄冈浠水县实验高中模拟]已知函数f(x)的定义域为(－1,0),则函数f(2x ＋1)的定义域为________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12解析：∵函数f(x)的定义域为(－1,0), ∴由－1<2x ＋1<0,解得－1<x<－12.∴函数f(2x ＋1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12.课时测评③一、选择题1．下列各组函数中表示同一函数的是( ) A ．f(x)＝x 2,g(x)＝(x)2B ．f(x)＝1,g(x)＝x 2C ．f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x≥0，－x ，x<0，g(t)＝|t|D ．f(x)＝x ＋1,g(x)＝x 2－1x －1答案：C解析：选项A 中,f(x)＝x 2的定义域是R,g(x)＝(x)2的定义域是{x|x≥0},故f(x)与g(x)不表示同一函数,排除A ；选项B 中,f(x)与g(x)定义域相同,但对应关系和值域不同,故f(x)与g(x)不表示同一函数,排除B ；选项D 中,f(x)＝x ＋1的定义域为R,g(x)＝x 2－1x －1的定义域为{x|x≠1},故f(x)与g(x)不表示同一函数,排除D ；选项C 中,f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x≥0，－x ，x<0可化为f(x)＝|x|,所以其与g(t)＝|t|表示同一函数．故选C.2．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x>0，x ，x≤0，若f(a)＋f(3)＝5,则实数a ＝( )A ．2B ．－1C ．－1或0D ．0 答案：B解析：解法一 因为f(a)＋f(3)＝5,又f(3)＝23－2＝6,所以f(a)＝－1,所以⎩⎪⎨⎪⎧2a－2＝－1，a>0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，a≤0，解得a ＝－1,故选B.解法二 因为f(3)＝23－2＝6,f(2)＝22－2＝2,所以f(2)＋f(3)＝2＋6＝8≠5,所以a≠2,排除A ；因为f(0)＝0,所以f(0)＋f(3)＝0＋6＝6≠5,所以a≠0,排除C,D.故选B.3．函数f(x)＝(x －2)0＋23x ＋1的定义域是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13 C ．R D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2∪(2,＋∞)答案：D解析：要使函数f(x)有意义,只需⎩⎪⎨⎪⎧x≠2，3x ＋1>0，所以x>－13且x≠2,所以函数f(x)的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2∪(2,＋∞),故选D.4．[2019·湖南邵阳模拟]设函数f(x)＝log 2(x －1)＋2－x,则函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的定义域为( )A ．[1,2]B ．(2,4]C ．[1,2)D ．[2,4) 答案：B解析：∵函数f(x)＝log 2(x －1)＋2－x 有意义,∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，2－x≥0，解得1<x≤2,∴函数的f(x)定义域为(1,2],∴1<x 2≤2,解得x∈(2,4],则函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的定义域为(2,4]．故选B.5．[2019·陕西西安长安区质量检测大联考]已知函数f(x)＝－x 2＋4x,x∈[m,5]的值域是[－5,4],则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞,－1)B ．(－1,2]C ．[－1,2]D ．[2,5] 答案：C解析：∵f(x)＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4,∴当x ＝2时,f(2)＝4,由f(x)＝－x 2＋4x ＝－5,解得x ＝5或x ＝－1,∴结合图象可知,要使函数在[m,5]上的值域是[－5,4],则－1≤m≤2.故选C.6．[2019·新疆乌鲁木齐一诊]函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x<2，－log 3x －1，x≥2，则不等式f(x)>1的解集为( )A ．(1,2) B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，43 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43 D ．[2,＋∞)答案：A解析：当x<2时,不等式f(x)>1即e x －1>1,∴x－1>0,∴x>1,则1<x<2；当x≥2时,不等式f(x)>1即－log 3(x －1)>1, ∴0<x－1<13,∴1<x<43,此时不等式无解．综上可得,不等式的解集为(1,2)．故选A.7．[2019·定州模拟]设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x 2，x<0，－e x，x≥0，若f(f(t))≤2,则实数t 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[0,ln2]B ．[ln2,＋∞) C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12 D ．[－2,＋∞) 答案：A解析：令m ＝f(t),则f(m)≤2,则⎩⎪⎨⎪⎧m<0，log 2m 2≤2或⎩⎪⎨⎪⎧m≥0，－e m≤2，即－2≤m<0或m≥0,所以m≥－2,则f(t)≥－2,即⎩⎪⎨⎪⎧t<0，log 2t 2≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧t≥0，－e t≥－2，即t≤－12或0≤t≤ln2,所以实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[0,ln2]．故选A. 8．[2019·福建福清校际联盟模拟]定义函数f(x),g(x)如下表：则满足f(g(x))>g(f(x))的x A ．0或1 B ．0或2 C ．1或7 D ．2或7 答案：D解析：由表格可以看出,当x ＝0时,g(0)＝2,f(g(0))＝f(2)＝0,同理g(f(0))＝g(1)＝1,不满足f(g(x))>g(f(x)),排除A,B.当x ＝1时,f(g(1))＝f(1)＝2,g(f(1))＝g(2)＝7,不满足f(g(x))>g(f(x)),排除C.当x ＝2时,f(2)＝0,g(2)＝7,f(g(2))＝f(7)＝7,同理g(f(2))＝g(0)＝2,满足f(g(x))>g(f(x))． 当x ＝7时,f(g(7))＝f(0)＝1,g(f(7))＝g(7)＝0,满足f(g(x))>g(f(x))．故选D. 二、非选择题9．[2019·唐山五校联考]函数y ＝110x－2的定义域为________．答案：(lg2,＋∞)解析：依题意,10x>2,解得x>lg2,所以函数的定义域为(lg2,＋∞)． 10．已知函数f(3x ＋2)＝x 2－3x ＋1,则函数f(x)的解析式为________． 答案：f(x)＝19x 2－13x 9＋319解析：设t ＝3x ＋2,则x ＝t －23,所以f(t)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232－3·t －23＋1＝19t 2－13t 9＋319,所以函数f(x)的解析式为f(x)＝19x 2－13x 9＋319.11．对于每个实数x,设f(x)取y ＝4x ＋1,y ＝x ＋2,y ＝－2x ＋4三个函数中的最小值,用分段函数写出f(x)的解析式,并求f(x)的最大值．解析：由直线y ＝4x ＋1与y ＝x ＋2求得交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，73；由直线y ＝x ＋2与y ＝－2x ＋4,求出交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，83. 由图象可看出：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥23x ＋2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<x<234x ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≤13f(x)的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝83.。
高三复习数学必修三知识点
高三复习数学必修三知识点数学是一门基础科学，对于高中生来说，数学必修课程无疑是最重要的。
在高三这个关键的学习阶段，复习数学必修三的知识点至关重要。
下面将对高三复习数学必修三涉及的知识点进行详细讲解。
一、函数的概念与性质函数是数学中一个重要的概念，它描述了自变量与因变量之间的关系。
在必修三中，关于函数的概念与性质需要进行深入的理解和掌握。
1. 函数的定义：函数是一种特殊的关系，它使每一个自变量对应唯一一个因变量。
函数通常表示为f(x)，其中x为自变量，f(x)为对应的因变量。
2. 函数的性质：函数具有唯一性和确定性。
对于给定的自变量x，函数值f(x)是唯一确定的。
此外，函数还具有奇偶性、单调性、周期性等性质。
二、三角函数三角函数是必修三中的另一个重要知识点，它在物理、工程、计算机等领域中具有广泛应用。
1. 基本三角函数：必修三中主要学习正弦函数、余弦函数和正切函数。
这三个函数分别表示了直角三角形中的边与角度之间的关系。
- 正弦函数：sin(x) = 对边/斜边- 余弦函数：cos(x) = 临边/斜边- 正切函数：tan(x) = 对边/临边2. 基本性质：三角函数具有周期性、奇偶性、单调性等性质。
此外，三角函数还涉及到单位圆的概念，通过单位圆可以更加直观地理解三角函数的性质。
三、数列与数列的极限数列是一种有规律的数的序列，数列的极限是必修三中的一个重要概念。
1. 数列的概念：数列是一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
数列可以分为等差数列和等比数列等多种类型。
2. 数列的极限：数列的极限表示随着序号n趋向无穷大时，数列的值趋向于一个确定的常数L。
数列的极限可以是有限的或无限的。
四、导数与微分导数与微分是微积分的核心概念，它在物理、经济学等领域中有着广泛的应用。
1. 导数的定义：导数表示函数在某一点的瞬时变化率，或者是函数在某点的切线斜率。
函数f(x)在点x处的导数表示为f'(x)或dy/dx。
高考数学复习专题三函数的概念
2013-2014高三第一轮复习资料第3讲 函数概念及表示【1判断(相同)函数】原则__________________________________________ 【例】【2009宁夏】1．设有函数组：①y x =，y =；②y x =，y ；③y =y =；④1(0),1(0),x y x >⎧=⎨-<⎩，x y x =；⑤lg 1y x =-，lg 10x y =．其中表示同一个函数的有___．【例】【2009江西】2.设集合{02}M x x =≤≤，{02}N y y =≤≤，从M 到N 有四种对应如图所其中能表示为M 到N 的函数关系的有_____．【练习】16.【2012高考真题江西理2】下列函数中，与函数31xy=定义域相同的函数为 A ．x y sin 1=B. xx y ln = C.xxe y = D. x x y sin = 【2函数定义域】【例】2011.（广东文4）函数)1(lg -11)(++=x xx f 的定义域是 （ ） A ．)1,-(-∞ B ．)(1,+∞ C ．)(1,)1(-1,+∞ D ．),(-+∞∞ 2011.（江西文3）若)12(21log 1)(+=x x f ，则)(x f 的定义域为( )A.)0,21(-B. ),21(+∞-C. )0()0,21(∞+-，D. )2,21(- 2011.（江西理3）若)12(21log1)(+=x x f ，则)(x f 定义域为A. )0,21(-B. ]0,21(-C. ),21(+∞- D. )0(∞+， 27.【2012高考江苏5】（5分）函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 ．①②③④【能力提升】函数)(x f 的定义域为（2,4）函数)3-1(x f 的定义域为 ___________ 【3函数值域】常见的方法__________________________________________________ 【例】求下列函数的值域：（1）242y x x =-+-，[0,3)x ∈；（2）221x y x =+()x R ∈；（3）21y x x =-+．【分式结构一次必会】（4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=4,0,cos πx x x y（2010重庆文数）(12)已知0t >，则函数241t t y t-+=的最小值为____________ .2011.（湖南文8）已知函数3-4-)(,1-e )(2xx x x g x f +==若有g(b))(=a f 则b 的取值范围为A ．[]22,2-2+B ．()22,2-2+ C ．[]3,1 D ．)3,1(2011.（天津文10）设函数⎩⎨⎧≥<++=∈=)(,-)()(,4)()(),(2-x )(2x g x x x g x g x x x g x f R x x g ，则)(x f 的值域是（ ）． Ａ．()∞+⎪⎭⎫⎢⎣⎡，10,49-Ｂ．[)∞+，0， Ｃ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，49- Ｄ．()∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡，20,49-3．(2013·石家庄质检)函数f (x )满足f (0)＝0，其导函数f ′(x )的图象如图，则f (x )在[－2,1]上的最小值为 ( )． A ．2B ．0C ．－1D ．3分析：运用配方法，逆求法，换元法、单调性、基本不等式、导数等方法求函数值域．点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围．8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x(x >0)，e x (x ≤0)，F (x )＝f (x )＋x ，x ∈R .F (x )的值域为 ( )．A ．(－∞，1]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)【4函数的表示方法及其运用】 【基础练习】1. .设函数1()1f x x=+，2()2g x x =+,则(1)g -=_______；[(2)]f g =__；[()]f g x =____．2.【2009宁夏模拟】已知函数()f x 是一次函数，且(3)7f =，(5)1f =-,则(1)f =_____．14．(2013·日照模拟)20XX 年我国人口总数约为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则________年我国人口将超过20亿．(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg7 ≈0.845 1)3.【2009广东】设)(x f ＝2|1|2,||1,1, ||11x x x x --≤⎧⎪⎨>⎪+⎩，则f [f (21)]＝_____________． 4.如图所示的图象所表示的函数解析式为__________________________． 【例】已知二次函数()y f x =的最小值等于4，且(0)(2)6f f ==， ()f x 的解析式_________．4．(2013·广州模拟)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )．A.12B ．1C.32D ．25．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－b2a 对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( )．A ．{1,2}B ．{1,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,4,16,64}6．函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数零点，则实数m 的取值范围是( )． A ．(－∞，1] B ．(－∞，0]∪{1} C ．(－∞，0)∪{1} D ．(－∞，1)1．【2008全国理】若()2x x e e f x --=，()2x xe e g x -+=，则(2)f x =（ ）Ａ． 2()f x Ｂ．2[()()]f x g x + Ｃ．2()g x Ｄ． 2[()()]f x g x ⋅2．【2009辽宁】已知1(1)232f x x -=+，且()6f m =，则m 等于________．3.【2008湖北】 已知函数)(x f 和)(x g 的图象关于原点对称，x x x f 2)(2+=．函数)(x g 的解析____． （改编）（15）已知函数()f x 满足：()114f =， ()()()()()4,f x f y f x y f x y x y R =++-∈，则)2014(f =_____________.（2010天津理数）（16）设函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，第4题24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是 . 2011.（福建文8）已知函数⎩⎨⎧≤+>=0,10,2)(x x x x x f ，若0)1()(=+f a f ，则实数a 的值等于（ ）A ．－3B ．－1C ．1D ．32011.（江苏11）已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≤--<+=0,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值_____2011. （湖南文12）已知)(x f 为奇函数，()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则 3.【2012高考真题安徽理2】下列函数中，不满足：(2)2()f x f x =的是（ ）()A ()f x x = ()B ()f x x x =- ()C ()f x x =+1()D ()f x x =-12.【2012高考真题山东理8】定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=.当31x -≤<-时，2()(2)f x x =-+，当13x -≤<时，()f x x =。
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②若函数g(x)＝2x－a与x轴有无交点，则函数h(x)＝4(x－a)(x－2a)与x轴有两个交点，当a≤0时g(x)与x轴有无交点，h(x)＝4(x－a)(x－2a)在x≥1与x轴有无交点，不合题意；当h(1)＝2－a≥0时，a≥2，h(x)与x轴有两个交点，x＝a和x＝2a，由于a≥2，两交点横坐标均满足x≥1；综上所述a的取值范围为 ≤a＜1或a≥2.
天天练
一、选择题
1．集合A＝{1,2,3}，B＝{－1,0,1}，满足条件f(3)＝f(1)＋f(2)的映射f：A→B的个数是()
A．2 B．4 C．5 D．7
2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有()
5．定义在R上的函数f(x)，若对任意x1≠x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，则称f(x)为“Z函数”，给出下列函数：
①y＝ x3－x2＋x－2；②y＝2x－(sinx＋cosx)③y＝ex＋1④f(x)＝ 其中是“Z函数”的个数为()
A．1 B．2 C．3 D．4
技巧点拨：由函数的定义域与解析式推出函数f(x)的偶函数是解答本题的关键．
9．[－3,1]
解析：要使函数y＝ 有意义，则3－2x－x2≥0，解得－3≤x≤1，则函数y＝ 的定义域是[－3,1]．
解后反思：熟悉常见函数有意义的条件是解决这类问题的关键，如本题中偶次根式有意义的条件是根号下的式子非负．
10．[0， )
∴不等式等价为(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0恒成立，
即函数f(x)是定义在R上的增函数．
①y＝ x3－x2＋x－2；y′＝x2－2x＋1＝(x－1)2，则函数在定义域上单调递增.
②y＝2x－(sinx＋cosx)；y′＝2－(cosx－sinx)＝2＋ sin ＞0，函数单调递增，满足条件．
3．D令f(a)＝t，则f(t)≤3⇔ 或 解得t≥－3，则f(a)≥－3⇔ 或 解得a＜0或0≤a≤ ，则实数a的取值范围是(－∞， ]，故选D.
4．D函数y＝10lgx的定义域为(0，＋∞)，又当x＞0时，y＝10lgx＝x，故函数的值域为(0，＋∞).只有D选项符合．
5．C∵对于任意给定的不等实数x1、x2，不等式x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)恒成立，
∴f(t2－1)＝t(t≥0)⇔f(x)＝ ，符合题意，故选D.
7．C令x＝cosθ，θ∈[0，π]，则函数f(x)即g(θ)＝ ＝ ，而 的几何意义是单位圆(在x轴及其上方)上的点与点(2,1)连线的斜率，所以函数f(x)＝ 的值域为[0,1]，故选C.
8．C因为函数f(x)的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝－lnx－x＝f(x)，同理，当x＜0时，也有f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．因为f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝－ln2－2＝ln －2，所以，当m＞0时，由f( )＜ln －2，得f( )＜f(2)，所以 ＞2，解得0＜m＜ .根据偶函数的性质知当m＜0时，得－ ＜m＜0，故选C.
③y＝ex＋1为增函数，满足条件．
④f(x)＝ ，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．故选C.
6．DA：取x＝0，可知f(sin0)＝sin0，即f(0)＝0，再取x＝ ，可知f(sinπ)＝sin ，即f(0)＝1，矛盾，∴A错误；同理可知B错误；C：取x＝1，可知f(2)＝2，再取x＝－1，可知f(2)＝0，矛盾，∴C错误，D：令t＝|x＋1|(t≥0)，
解析：因为当x≥1时，f(x)＝2x－1∈[1，＋∞)，则由f(x)的值域为R得 解得0≤a＜ ，即实数a的取值范围为[0， )．
误区警示：分段函数的值域为每一段的值域的并集．
11．(1)－1(2) ≤a＜1或a≥2.
解析：(1)a＝1时，f(x)＝ ，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，函数值大于－1，在 为减函数，在 为增函数，当x＝ 时，f(x)取得最小值为－1；
12．解析：由直线y＝4x＋1与y＝x＋2求得交点A ；
由直线y＝x＋2与y＝－2x＋4，求出交点B .
由图象可看出：
f(x)＝
f(x)的最大值为f( )＝ .
(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
12．对于每个实数x，设f(x)取y＝4x＋1，y＝x＋2，y＝－2x＋4三个函数中的最小值，用分段函数写出f(x)的解析式，并求f(x)的最大值．
天天练
1．D按f(3)＝f(1)＋f(2)的要求寻找．
2．A不要忘了1，－1,2.这种的类型的情况，还有1，－1,2，－2的情况．
A．9B．8个C．5个D．4个
3．(·广东三校联考)设函数f(x)＝ 若f(f(a))≤3，则实数a的取值范围是()
A．(－∞，－ ) B．[－ ，＋∞)
C．[－ ， ]D．(－∞， ]
4．(·新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是()
A．y＝xB．y＝lgxC．y＝2xD．y＝
A．(0， )B．(0,2)
C．(－ ，0)∪(0， ) D．(－2,0)∪(0,2)
二、填空题
9．(·江苏卷)函数y＝ 的定义域是__________．
10．(·厦门一检)已知函数f(x)＝ 的值域为R，则实数a的取值范围是__________．
11．设函数f(x)＝
(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；
6．存在函数f(x)满足，对任意x∈R都有()
A．f(sin2x)＝sinxB．f(sin2x)＝x2＋x
C．f(x2＋1)＝|x＋1| D．f(x2Байду номын сангаас2x)＝|x＋1|
7．(·武汉调研)函数f(x)＝ 的值域为()
A．[－ ， ] B．[－ ，0]
C．[0,1] D．[0， ]
8．(·深圳二调)已知f(x)＝ 则关于m的不等式f( )＜ln －2的解集为()