三角形的内切圆_和内切圆半径有关的计算

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三角形内切圆半径公式

三角形内切圆半径公式
三角形内切圆半径公式：r=2S/(a+b+c）推导：设内切圆半径为r,圆心O,连接OA、OB、OC得到三个三角形OAB、OBC、OAC那么,这三个三角形的边AB、BC、AC上的高均为内切圆半径r所以：
S=S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OAC=(1/2...）
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。

三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。

1、三角形三内角平分线交于一点，内切圆的圆心为三条角平分线的交点。

2、三角形的面积等于周长之半与内切圆半径之积。

三角形一定有内切圆，其他的图形不一定有内切圆（一般情况下，n 边形无内切圆，但也有例外，如对边之和相等的四边形有内切圆。

），且内切圆圆心定在三角形内部。

在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。

内切圆的半径为r=2S/C=S/p，当中S表示三角形的面积，C表示三角形的周长，p表示三角形的半周长。

面积法；1/2lr(l周长）用于任意三角形。

三角形的内切圆——与内切圆半径有关的计算

三角形的内切圆——与内切圆半径有关的计算在计算内切圆相关问题时，最常见的是计算内切圆的半径。

为了计算内切圆半径，我们需要了解以下概念与定理：三角形的半周长、海伦公式以及正弦定理。

首先，我们来了解一下三角形的半周长。

三角形的半周长等于三边之和的一半，即s=(a+b+c)/2，其中a、b、c为三角形的三边长。

海伦公式是计算三角形面积的一种常用公式，它利用三角形的边长来计算三角形的面积。

给定三角形的三边长a、b、c，利用海伦公式可以计算出三角形的面积S，公式为S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))，其中s为三角形的半周长。

正弦定理是用于计算三角形边长与角度关系的定理。

对于任意三角形ABC，设A、B、C分别为三角形的内角，a、b、c分别为与角A、B、C相对应的边长。

根据正弦定理可得：a/sinA = b/sinB = c/sinC。

了解了这些基本概念和公式后，我们可以来计算三角形内切圆的半径。

设三角形的内切圆半径为r。

根据题设，内切圆与三角形的三条边都相切，所以内切圆与三角形的三角形的三个角的角平分线相交于一个点O，该点O为内切圆圆心。

假设内切圆与三角形的边a、b、c相切的点分别为D、E、F。

我们可以利用角平分线与边的相交关系来计算对应的长度。

根据角平分线定理，角平分线将对边分成的两条线段比值等于两个对边长度的比值：a/AD=b/BE=c/CF根据正弦定理，可以得到下列等式：sinA = AD/rsinB = BE/rsinC = CF/r由此，可以得到：AD = a * sinA / rBE = b * sinB / rCF = c * sinC / r根据三角形的半周长s，可以得出s=(a+b+c)/2又根据海伦公式，可以得到内切圆半径与三角形面积的关系：S = √(s(s-a)(s-b)(s-c)) = sr其中S为三角形的面积，由此可得：r=√((s-a)(s-b)(s-c))/s综上所述，我们可以利用三角形的边长来计算内切圆的半径。

内切圆公式大全

内切圆公式大全全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：内切圆是指一个圆完全嵌入在一个多边形内部，并且切正多边形的每一边。

内切圆在几何问题和工程设计中有着广泛的应用，因此了解内切圆的相关知识和公式是非常重要的。

在本文中，我们将分享一些关于内切圆的公式大全，希望能够帮助大家更好地理解和应用。

一、内切圆的半径计算公式1. 内切圆的半径公式：对于一个正五边形，其内切圆的半径r可以通过下面的公式来计算：r = a * sqrt(10 + 2 * sqrt(5))/10a代表正五边形的边长。

二、内切圆和外接圆的关系公式1. 内切圆和外接圆的半径关系：对于任意多边形，其内切圆的半径r和外接圆的半径R之间存在着以下关系：R = 2r三、内切圆和多边形边长的关系2. 内切圆和多边形内角的关系：对于一个正n边形，其内切圆和内角之间存在以下关系：角A = 180 - (n-2)*180/nA表示正n边形的内角。

四、常见多边形的内切圆公式总结第二篇示例：内切圆，俗称内切圆，是指一个圆与一个给定的多边形（三角形、四边形、正多边形）相切。

内切圆在数学中有着重要的应用，特别是在几何学和工程学中。

在实际生活和工程中，我们常常需要计算内切圆的半径、圆心和切点等信息。

内切圆的相关公式是很有必要了解和掌握的。

在几何中，内切圆与多边形的关系是一个经典问题，经常出现在数学竞赛和学习中。

内切圆的半径、圆心和切点等可以通过一些简单的公式来求解，下面我们就来介绍一下关于内切圆的一些常用公式。

我们来看一下内切圆的半径计算公式。

对于一个三角形ABC，假设其三边分别为a、b、c，内切圆的半径r可以用以下公式来表示：\[r = \frac{2S}{a+b+c}\]其中S表示三角形ABC的面积，可以通过海伦公式来计算。

海伦公式是用来计算三角形面积的公式，其表达式如下：\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]其中p是三角形ABC的半周长，即\(p = \frac{a+b+c}{2}\)。

三角形内切圆半径求法

三角形内切圆半径求法三角形的内切圆是指能够恰好与三角形内部接触的一个圆，它的圆心位于三角形内部，且与三角形三边相切。

内切圆半径的求法在数学中是非常重要的，本篇文章将详细介绍三角形内切圆半径的求法。

一、明确概念在进行内切圆半径的求解之前，我们首先需要了解“内切圆”和“半径”两个概念的真正含义。

内切圆是指与三角形内部的三条边相切，且圆心位于三角形内部的一个圆。

而半径则是圆心到圆周上某一点的距离。

因此，“三角形内切圆半径”就是该内切圆的半径长度。

二、三角形边长计算计算内切圆半径首先需要能够确定三角形的边长。

确定三角形的边长有以下两种方法：方法一：通过三角形三个顶点的坐标差法计算出三条边长。

方法二：利用勾股定理，求出三个顶角所对应的三个边长。

三、计算三角形的面积在确定了三角形边长后，接下来需要计算三角形的面积。

求解三角形面积的公式为：面积=根号下（p * (p - a) * (p - b) * (p - c)）其中，a、b、c 分别为三角形的三边长，p=(a+b+c)/2为半周长。

四、计算内切圆半径计算出三角形的面积后，我们便可以求出内切圆半径。

内切圆半径的计算公式为：内切圆半径=三角形面积/半周长五、实例演练为更好理解内切圆半径求法，我们取一个斜边为 12，一个直角边为 5的等腰直角三角形为实例进行演练，其另一直角边长为 5。

1、计算出三角形的半周长：p=(12+5+5)/2=112、计算出三角形的面积：面积=根号下(11* (11-12)* (11-5)* (11-5))=根号下(11* (-1)* 6* 6)=5.4773、计算内切圆的半径：内切圆半径=5.477/11=0.497因此，在该等腰直角三角形中，内切圆的半径为 0.497。

总结通过上面的讲解，我们可以发现，内切圆半径的求法并不复杂，只需要将三角形的边长和半周长通过公式计算得出后，再按公式计算出三角形的面积和内切圆半径即可。

但在实际运用中，我们也需要细心认真地对待每一个步骤。

三角形内切圆的半径公式推导

三角形内切圆的半径公式推导一、引言在几何学中，三角形内切圆是指与三角形的三条边都相切的圆。

在三角形内切圆中，有一个重要的性质，即内切圆的半径与三角形的三边之间存在一定的关系，本文将对这一关系进行推导和证明。

二、推导过程设三角形的三条边分别为a、b、c，三个内角对应的角度分别为A、B、C。

三角形的半周长定义为s，即s=(a+b+c)/2。

我们将内切圆的半径记为r，圆心到三角形三边的距离分别记为d1、d2、d3。

由于内切圆与三角形的三边都相切，因此d1、d2、d3分别是三角形三边的垂直平分线。

1. 推导d1的长度根据直角三角形的性质，我们可以得出以下关系：tan(A/2) = d1 / (s-a)其中，A/2表示角A的一半，即A的角度除以2。

根据正切函数的性质，我们可以得到：d1 = (s-a) * tan(A/2)2. 推导d2和d3的长度同理，我们可以得到以下关系：d2 = (s-b) * tan(B/2)d3 = (s-c) * tan(C/2)3. 推导r的长度根据垂直平分线的性质，我们知道d1、d2、d3相等，即有d1=d2=d3。

将d1、d2、d3的表达式代入上述等式，可以得到：(s-a) * tan(A/2) = (s-b) * tan(B/2) = (s-c) * tan(C/2) = r由于s是三角形的半周长，可以得到以下关系：s = (a+b+c)/2将s代入上述等式，可以得到：(s-a) * tan(A/2) = (s-b) * tan(B/2) = (s-c) * tan(C/2) = r(a+b+c)/2 - a * tan(A/2) = (a+b+c)/2 - b * tan(B/2) = (a+b+c)/2 - c * tan(C/2) = r化简上述等式，可以得到：r = (s-a) * tan(A/2) = (s-b) * tan(B/2) = (s-c) * tan(C/2)4. 推导半径公式由于tan(A/2)、tan(B/2)、tan(C/2)都是三角函数，可以使用三角恒等式将其转化为三角函数的其他形式。

任意三角形外接圆半径、内切圆半径的求法及通用公式

一、任意三角形外接圆半径设三角形各边边长分别为a,b,c 外接圆半径为R ，（如右图所示）则βαβαβαsin sin cos cos 2)cos(222-=-+=+abc b a（余弦定理）而R bR b22cos ==α，R b R 4sin 22-=α RaR a22cos ==β，Ra R 4sin 22-=β 即有：=-+ab c b a 2222Ra R Rb R R a R b 44222222-⋅--⋅ 即有：222222222)4)(4(R a R b R ab ab c b a ---=-+ 所以：)4)(4()(222222222a Rb R abc b a R ab --=-+- 即有：2222242222422222)(416)(4)(4)(b a R b a R abc b a R c b a R ab ++-=-++-+- 所以：])(4[222222abc b a R c -+-=，即：])(4[2222222222c b a b a R c b a -+-= 所以：))()()((a c b b c a c b a c b a abcR -+-+-+++=而三角形面积： ))()()((4a c b b c a c b a c b a S -+-+-+++= （海伦公式）所以，有：SabcR 4=※ 另一求法，可用正弦定理，即：R Aa2sin =，而bc a c b A 2cos 222-+=所以：22222222222)(4)2(12)(cos 12sin 2a c b c b abcbca cb aA aA a R -+-=-+-=-==二、任意三角形内切圆的半径设三角形各边边长分别为a,b,c 内切圆半径为r ，（如右图所示）因为内切圆的圆心为各角的角平分线的交点，所以，会有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+cz y b y x az x ，解得2c b a x -+= 显然：αtan x r =，而ααααα2cos 1)2(cos 12cos 12sin tan 2+-=+= 而由余弦定理有：abc b a 22cos 222-+=α所以：))(()()(421)2(1tan 222222222222c b a c b a c b a ab abc b a ab c b a -+++-+-=-++-+-=α即有:)(2)()(4))(()()(422222222222c b a c b a ab c b a c b a c b a ab c b a r ++-+-=-+++-+-⋅-+=即：cb a Sc b a S c b a a c b b c a c b a c b a r ++=++=++-+-+-+++=2)(24)(2))()()((。

三角形内切圆求半径公式

三角形内切圆求半径公式咱们先来说说三角形内切圆求半径公式这个事儿哈。

咱都知道，在数学的世界里，三角形那可是个常见的“主角”。

而这三角形内切圆呢，就像是藏在三角形里面的一个小秘密宝藏。

那怎么才能找到开启这个宝藏的钥匙，也就是求出内切圆的半径呢？这就得提到一个神奇的公式：r = （S）/ p ，这里的 r 就是内切圆的半径，S 呢是三角形的面积，p 是三角形的半周长。

我给您讲讲我之前遇到的一件事儿，那时候我在给学生们讲这个知识点。

有个小同学瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这公式怎么来的呀？”我当时就想，得让他们明白这里面的道理，不能死记硬背。

我就拿出了一张纸，画了一个三角形，然后一点点地给他们解释。

我先把三角形的三条边的切点连起来，把三角形分成了三块。

这三块呀，分别以三角形的三条边为底，内切圆的半径为高。

然后我就说：“同学们，你们看，这三角形的面积 S 是不是就等于这三块小三角形的面积之和呀？”他们都点头。

我接着说：“那每一块小三角形的面积就是 1/2 乘以底乘以高，也就是 1/2 ×边长 × r 。

”这么一解释，他们好像有点开窍了。

然后我再带着他们把整个公式推导了一遍，看着他们恍然大悟的表情，我心里那叫一个满足。

咱们再回到这个公式。

知道了这个公式，那用处可大了。

比如说，给您一个三角形，告诉您三条边的长度，您先算出半周长 p ，再算出面积 S ，就能轻松求出内切圆的半径 r 啦。

在实际解题的时候，有时候题目不会直接告诉您三角形的面积和边长，这就得靠您灵活运用其他的知识来先求出这些条件。

这就像是玩一个解谜游戏，每一个条件都是一个线索，您得把它们都串起来，才能找到最终的答案。

比如说，给您一个直角三角形，两条直角边分别是 3 和 4 ，那斜边就是 5 。

这时候先算出三角形的面积，就是 1/2 × 3 × 4 = 6 。

半周长 p 就是（3 + 4 + 5）÷ 2 = 6 。

三角内切圆面积公式

三角内切圆面积公式
三角形的内切圆是指与三角形的三条边都相切的圆，也被称为内心圆。

内切圆具有一些特殊的性质，例如它的圆心是三角形的内心，而且它与三角形的三条边的切点构成的三角形是等边三角形。

此外，内切圆的半径通常用字母 r 表示。

当我们想要计算三角形的内切圆面积时，可以使用以下公式：
内切圆面积 = s * r
其中，s 表示三角形的半周长。

半周长的计算公式为：
s = (a + b + c) / 2
其中，a、b 和 c 分别表示三角形的三条边的长度。

因此，如果我们已知三角形的三条边的长度，就可以使用上述公式计算出内切圆的面积。

例如，如果三角形的三条边分别为 3、4 和5，那么它的半周长为：
s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6
接下来，我们需要计算内切圆的半径。

根据三角形内切圆的性质，我们可以使用以下公式计算出半径：
r = A / s
其中，A 表示三角形的面积。

三角形面积可以使用海伦公式计算： A = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
将 a、b、c 和 s 带入上式，可以得到：
A = √[6(6-3)(6-4)(6-5)] = √[6*3*2*1] = 3√6
因此，内切圆的半径为：
r = A / s = (3√6) / 6 = √6 / 2
最后，我们可以使用内切圆面积公式计算出内切圆的面积：
内切圆面积 = s * r = 6 * (√6 / 2) = 3√6
因此，当三角形的三条边分别为 3、4 和 5 时，它的内切圆面积为 3√6。

三角形的内切圆_和内切圆半径有关的计算

三角形的内切圆_和内切圆半径有关的计算我们先来回顾一下三角形的内切圆的性质：1. 内切圆的圆心与三角形的重心、垂心、外心、内心共线，且这条线段称为Euler线。

2.内切圆的半径与三角形的面积、周长有关。

根据这两个性质，我们可以利用三角形的边长来求内切圆的半径。

下面以常见的三角形类型为例进行介绍。

一、等边三角形等边三角形是指三边长度相等的三角形。

由于等边三角形的内切圆的圆心就是三角形的重心、垂心、外心、内心的交点，所以内切圆的半径等于三角形任意一条边的一半。

也就是说，对于等边三角形来说，内切圆的半径r等于边长a的一半，即r=a/2二、等腰三角形等腰三角形是指两边长度相等的三角形。

对于等腰三角形，我们可以利用勾股定理和等腰三角形的性质来求内切圆的半径。

以等腰三角形ABC为例，AB=AC=a，BC=b。

假设D为底边BC的中点，E为内切圆与BC的切点。

根据勾股定理，有AD=sqrt(AB^2-BD^2)=sqrt(a^2-b^2/4)。

由于DE和BD是一条线段，所以DE=BD。

又因为DE垂直于BC，所以DE也是高。

进一步利用三角形的面积公式S=1/2 bh，其中b为底边长，h为高，可得S=1/2 * a * DE。

将之前得到的DE 带入计算，可以得到S=1/2 * a * BD = 1/2 * a * r，其中r为内切圆半径。

综上所述，对于等腰三角形，内切圆的半径r等于sqrt(a^2-b^2/4)/2，其中a为腰长，b为底边长。

三、一般三角形对于一般的任意三角形ABC，我们可以利用海伦公式和三角形面积公式来求内切圆的半径。

首先，我们可以利用海伦公式来计算三角形的面积S，海伦公式为S=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))，其中a、b、c为三角形的边长，p=(a+b+c)/2为半周长。

然后，我们可以利用面积公式S=1/2*a*r，其中a为三角形的半周长，r为内切圆的半径。

将两个公式结合起来，可以得到r=S/(1/2*a)=2S/a。

三角形内切圆和外接圆的半径公式

三角形内切圆和外接圆的半径公式在三角形中，存在一个内切圆和一个外接圆。

这两个圆起到了一些重要的几何作用，它们的半径可以通过一些公式计算得出。

首先，我们来看内切圆的半径公式。

内切圆是能够接触三角形的三条边的一个圆。

设三角形的三条边分别为a、b、c，内切圆的半径为r。

根据三角形性质可知，内切圆的半径与三角形的三条边的长度之间存在其中一种关系。

根据欧拉公式，有以下关系式：r=A/s其中，A为三角形的面积，s为三角形的半周长，即s=(a+b+c)/2三角形的面积A可以通过海伦公式求解：A=√(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))将上述两个公式代入，可以得到内切圆的半径公式：r=√(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))/(s)另外，我们还可以通过三角形的内角和来计算内切圆的半径。

设三角形的三个内角分别为A、B、C，内切圆的半径为r。

则有以下关系式：A+B+C=180°其中，A、B、C分别为三角形的内角。

根据正弦定理，有以下关系式：a / sin(A) =b / sin(B) =c / sin(C) = 2r其中，a、b、c分别为三角形的三条边的长度。

将上述关系式代入，可以得到内切圆的半径公式：r=(a+b+c)/(2*(A+B+C))接下来，我们来看外接圆的半径公式。

外接圆是能够过三角形的三个顶点的一个圆。

设三角形的三条边分别为a、b、c，外接圆的半径为R。

根据三角形的性质可知，外接圆的半径与三角形的三条边的长度之间也存在其中一种关系。

根据正弦定理a / sin(A) =b / sin(B) =c / sin(C) = 2R其中，A、B、C分别为三角形的内角。

将上述关系式代入，可以得到外接圆的半径公式：R = (a + b + c) / (2 * (sin(A) + sin(B) + sin(C)))除了通过三角形的内角来计算外接圆的半径，我们还可以通过三角形的边长来计算。

设三角形的三条边分别为a、b、c，外接圆的半径为R。

三角形内切球半径公式

三角形内切球半径公式在几何学中，三角形内切圆是指能够刚好触碰三角形内部三条边的圆。

如果记三角形的三边分别为a、b、c，三角形内切圆的半径为r，则可以利用以下公式来计算其值：r = A / s其中，A表示三角形的面积，s表示半周长，即s = (a+b+c) / 2下面我们来一步步证明这个公式：首先，我们需要了解三角形内切圆的一些特性。

假设三角形内切圆心为O，则连接三角形顶点和圆心O的三条线段等分角A、B、C。

同时，连接圆心O和三角形三边的第一条交点P、第二条交点Q、第三条交点R，可以得出如下著名结论：1. OA⊥BC, OB⊥AC, OC⊥AB.2. OP=OQ=OR=r.3. PA+PB+PC=a+b+c.4. 三角形内心O是中线AM、BN、C指向点A、B、C连线的交点。

接下来，我们来证明公式r = A / s：首先根据三角形面积公式，可以得出a、b、c和半周长s的关系式：A = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]接着，我们需要用到公式sin(A/2) = r / (s-a)，将r表示为r = (s-a)sin(A/2)同理，还可以得出r = (s-b)sin(B/2)r = (s-c)sin(C/2)将这三个式子代入公式s = (a+b+c) / 2并进行整理，可以得出以下式子：[s(s-a)(s-b)(s-c)] = r * (s-a) * r * (s-b) * r * (s-c) 将三个式子相乘可以得到：A^2 = r * [(s-a)(s-b)(s-c)]将A和s代入原公式中可以得出r = A / s这就完成了问题的证明。

值得注意的是，三角形内切圆半径公式与三角形的边长和面积有关。

在计算时，需要先求出三角形的半周长和面积，然后才能使用公式求出内切圆的半径。

计算三角形内切圆半径

计算三角形内切圆半径三角形内切圆半径是指能够与三角形的三条边相切的圆，同时也是能够在三角形内部完全包含的最大圆。

本文将介绍如何计算三角形内切圆的半径。

三角形内切圆的半径可以用三角形的各边长来计算。

我们将通过以下步骤来推导内切圆半径的计算公式。

首先，我们需要了解三角形内切圆的性质。

内切圆的圆心和三角形的三条边的交点构成的三条边的角度相等，且都等于90度的1/2。

这些交点也分别位于三条边的中点上。

利用这些性质，我们可以得到内切圆的半径。

假设三角形的三边分别为a、b、c，内切圆的半径为r。

我们可以使用海伦公式来计算三角形的面积，然后利用三角形的面积公式和半周长来计算内切圆的半径。

首先，我们计算三角形的半周长s，s=(a+b+c)/2。

然后，利用海伦公式计算三角形的面积S，S=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))。

接着，我们使用面积公式计算内切圆的半径。

三角形的面积可以用三个小三角形的面积之和表示，即S=S1+S2+S3，其中S1、S2、S3分别表示三个小三角形的面积。

三角形的面积与半周长和半径之间存在以下关系：S=sr，其中r表示内切圆的半径。

这个公式可以用来计算内切圆的半径。

综上所述，我们得到内切圆半径的计算公式为r=S/s，其中S为三角形的面积，s为三角形的半周长。

现在，我们可以通过一个具体的例子来计算内切圆的半径。

假设三角形的三边分别为a=3、b=4、c=5。

我们可以计算出半周长s=(3+4+5)/2=6。

然后，我们可以使用半周长和面积的公式计算三角形的面积S=sqrt(6(6-3)(6-4)(6-5))=sqrt(36)=6。

最后，我们可以计算内切圆的半径r=S/s=6/6=1。

所以，当三角形的三边为a=3、b=4、c=5时，三角形内切圆的半径为1。

在实际应用中，计算内切圆半径的公式可以方便地应用于各种形状的三角形。

通过计算内切圆的半径，我们可以了解三角形的形状和特征，并在实际问题中进行应用。

三角形内切圆半径公式

三角形内切圆半径公式
三角形内切圆的半径公式是比较简单的，我们可以通过以下步骤来推导它：
1. 首先，我们需要知道三角形的三边长 a、b、c。

2. 然后，我们可以根据海龙公式来求出三角形的面积 S：
S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
其中，s = (a+b+c)/2 是三角形的半周长。

3. 接下来，我们需要知道三角形的半周长 s，这可以通过直接计算得到：
s = (a+b+c)/2
4. 最后，我们可以根据以下公式来计算三角形内切圆的半径 r：
r = S/s
即，内切圆的半径等于三角形面积与半周长的乘积再除以半周长。

可以看到，三角形内切圆半径公式只需要依据三角形的三边长即可进行计算，因此非常简单易用。

同时，由于内切圆的半径是三角形内部的一个重要参数，因此在计算三角形相关问题时，该公式也是非常重要的。

直角三角形内切圆半径的公式

在直角三角形中，内切圆的半径是一个重要的几何概念。

它可以帮助我们更好地理解三角形的性质和优化三角形的利用。

首先，让我们定义直角三角形内切圆的半径为r。

然后我们可以使用以下公式来计算r：
r = (a+b-c) / 2
其中，a、b和c分别是三角形的三边长度。

这个公式是基于三角形内切圆的定义得出的，即内切圆的半径等于三角形三边之和减去斜边的长度的一半。

为了更好地理解这个公式，我们可以从直观的角度来看。

在直角三角形中，内切圆是三个角的平分线的交点。

因此，内切圆的半径等于三角形两个锐角平分线的长度之和的一半。

由于三角形的三边长度与三个角的度数有关，因此我们可以使用这个公式来计算内切圆的半径。

此外，如果我们考虑三角形的面积，内切圆的半径也有重要的应用。

三角形的面积等于两个锐角平分线的长度之积的一半，这个面积也可以用三角形的底和高来表示。

因此，通过比较两种方法得出的面积，我们可以得出一个与半径有关的公式，这个公式可以帮助我们快速计算出内切圆的半径。

总之，直角三角形内切圆的半径的公式是一个重要的几何概念，它可以帮助我们更好地理解三角形的性质和优化三角形的利用。

三角形内切圆和外切圆半径的计算方法

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任意三角形外接圆半径、内切圆半径的求法及通用公式-文档

三角形切圆公式

三角形切圆公式三角形切圆公式是一种用于计算三角形内切圆半径的公式。

在几何学中，内切圆是指与三角形的三条边都相切的圆。

内切圆的半径对于三角形的性质和计算十分重要，而三角形切圆公式就是用来计算内切圆半径的工具。

三角形切圆公式的推导过程相对复杂，但我们可以简要介绍一下其基本原理。

首先，我们需要了解三角形内切圆的性质。

对于任意三角形ABC，其内切圆的圆心记为O，半径记为r。

根据圆的性质，圆心O到三角形的三条边AB、BC和CA的距离分别等于内切圆的半径r。

假设圆心到边AB的距离为d1，到边BC的距离为d2，到边CA的距离为d3，则有以下等式成立：d1 = d2 = d3 = r现在我们来推导三角形切圆公式。

根据三角形的面积公式，可以得到以下等式：面积S = 0.5 * AB * d1 + 0.5 * BC * d2 + 0.5 * CA * d3将d1、d2和d3代入上述等式，可以得到：面积S = 0.5 * AB * r + 0.5 * BC * r + 0.5 * CA * r整理后可得：面积S = (AB + BC + CA) * r / 2根据海伦公式，可以得到三角形的面积S：面积S = √[s * (s - AB) * (s - BC) * (s - CA)]其中s为三角形的半周长，计算公式为：s = (AB + BC + CA) / 2将上述两个公式联立，可以得到三角形切圆公式：r = √[s * (s - AB) * (s - BC) * (s - CA)] / (AB + BC + CA)其中AB、BC和CA分别为三角形的三边长度。

三角形切圆公式的应用非常广泛。

在几何学中，我们可以利用这个公式来计算各种类型的三角形的内切圆半径。

在工程和建筑领域，这个公式也常被用来计算三角形的内切圆半径，以便确定建筑物的结构和设计。

需要注意的是，三角形切圆公式只适用于三角形，不适用于其他形状的图形。

此外，当三角形的边长非常大时，使用该公式可能会产生较大的误差。

三角形内切圆半径公式推导

三角形内切圆半径公式推导
内切圆半径公式为：r=（a+b-c）/2(a,b为直角边，c为斜边)，一般三角形：内切圆半径r=2s/(a+b+c)，s是三角形的面积公式。

首先画一个三角形以及三角形的内接圆，分别连接圆心和三角形三个顶点（这时可见三角形分为了三个三角形），再分别连接圆心和三个切点（这时可见三角形分为六个个小三角形），可得这三条线段分别与三角形三条边a、b、c垂直，这时三角形面积可以用三个小三角形来求，
既a*r/2+b*r/2+c*r/2=(a+b+c)*r/2=s
所以r=2s/(a+b+c)
设立△abc的三边分别为a、b、c，面积为s，内切圆半径为r，则：
1/2ar＋1/2br＋1/2cr＝s
∴r＝2s/(a＋b＋c)
这就是三角形中内切圆半径的计算公式，即三角形中内切圆半径等于面积的2倍除以周长。

推论：设立内切圆半径为r，圆心o，相连接oa、ob、oc
得到三个三角形oab、obc、oac
那么，这三个三角形的边ab、bc、ac上的填有为内切圆半径r
所以：s=s△abc=s△oab+s△obc+s△oac
=(1/2)ab*r+(1/2)bc*r+(1/2)*ac*r
=(1/2)(ab+bc+ac)*r
=(1/2)(a+b+c)*r
所以，r=2s/(a+b+c).。

三角形的内切圆_和内切圆半径有关的计算

三角形的内切圆【2 】——与内切圆半径有关的盘算【进修目的】1．懂得三角形内切圆的有关概念. 2．控制三角形的心坎的地位.数目特点.3．会求三角形的内切圆半径,会运用心坎的相干性质解决盘算问题. 【准备常识】1.内切圆的有关概念 _________________________叫做三角形的内切圆,圆心叫做三角形的心坎,三角形的心坎是__________________________的交点.2.内切圆的性质（Ⅰ）心坎的性质：_____________________________的距离相等.（Ⅱ）设S 是△ABC 面积,a, b,c 是三角形三边长,r 为三角形内切圆半径,则三角形面积与其内切圆半径的关系为：S=______________特别地,直角三角形三边长与内切圆半径关系为： r=______________3.切线长定理经由圆外一点的切线,这一点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.从圆外一点引圆的两条切线,__________________,________________________________.FDOBbc arrrDE FI BAC4.若何求一个三角形的面积△ABC 中a,b,c 是三角形的三边长,2a b c p ++=办法① 海伦公式()()()S p p a p b p c =---办法②【中考连接】(天津中考)已知Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,AC ＝6,BC ＝8. （Ⅰ）如图①,若半径为r 1的⊙O 1是Rt △ABC 的内切圆,求r 1;（Ⅱ）如图②,若半径为r 2的两个等圆⊙O 1.⊙O 2外切,且⊙O 1与AC.AB 相切,⊙O 2与BC.AB 相切,求r 2;（Ⅲ）如图③,当n 大于2的正整数时,若半径r n 的n 个等圆⊙O 1.⊙O 2.….⊙O n 依次外切,且⊙O 1与AC.BC 相切,⊙O n 与BC.AB 相切,⊙O 1.⊙O 2.⊙O 3.….⊙O n －1均与AB 边相切,求r n .拓展路径1：CBACDCBA CBA拓展路径2：CBACBACBA小结：类比,由特别到一般,等面积转化. 【实战练习训练】【演习1】（2016四川省攀枝花市）如图,△ABC 中,∠C=90°,AC=3,AB=5,D 为BC 边的中点,以AD 上一点O 为圆心的⊙O 和AB.BC 均相切,则⊙O 的半径为．【演习2】（2011年江苏省南通）如图,三个半圆依次相外切,它们的圆心都在x 轴上,并与直线y ＝33x 相切．设三个半圆的半径依次为r 1.r 2.r 3,则当r 1＝1时,r 3＝．【演习3】（2016年福建龙岩第16题）如图1～4,在直角边分离为3和4的直角三角形中,每多作一条斜边上的高就增长一个三角形的内切圆,依此类推,图10中有10个直角三角形的内切圆,它们的面积分离记为S 1,S 2,S 3,…,S 10,则S 1+S 2+S 3+…+S 10=．O O 1 O 2 O 3x y· ··【演习4】（2014山东省济宁市部分）（2）懂得运用：如图,在等腰梯形ABCD 中,AB ∥DC ,AB =21,CD =11,AD =13,⊙O 1与⊙O 2分离为△ABD 与△BCD 的内切圆,设它们的半径分离为r 1和r 2,求21r r 的值.【参考答案】91421=r r .【演习5】（2016广西桂林第23题）已知随意率性三角形的三边长,若何求三角形面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题,在他的著作《器量论》一书中给出了盘算公式﹣﹣海伦公式()()()S p p a p b p c =---（个中a,b,c 是三角形的三边长,2a b c p ++=,S 为三角形的面积）,并给出了证实例如：在△ABC 中,a=3,b=4,c=5,那么它的面积可以如许盘算：∵a=3,b=4,c=5 ∴2a b cp ++==6∴()()()S p p a p b p c =---==6事实上,对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题,还可用我国南宋时代数学家秦九韶提出的秦九韶公式等办法解决．如图,在△ABC 中,BC=5,AC=6,AB=9（1）用海伦公式求△ABC 的面积;（2）求△ABC 的内切圆半径r ．【演习6】（上海市普陀区中考二模）如图,Rt △ABC,∠ABC ＝90°,圆O 与圆M 外切,圆O 与线段AC.线段BC.线段AB 相切于点E.D.F,圆M 与线段AC.线段BC 都相切,个中AB ＝5,BC ＝12.求：（1）圆O 的半径r;（2）2tanC ;（即DC OD ）（3）2sinC ;（即OC OD ）（4）圆M 的半径M r .图①图②图③。

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E
F
D
O A
B
C
三角形的内切圆
——与内切圆半径有关的计算
【学习目标】
1．理解三角形内切圆的有关概念。

2．掌握三角形的内心的位置、数量特征。

3．会求三角形的内切圆半径，会利用内心的相关性质解决计算问题。

【预备知识】
1.内切圆的有关概念 _________________________叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是__________________________的交点。

2.内切圆的性质
（Ⅰ）内心的性质：_____________________________的距离相等。

（Ⅱ）设S 是△ABC 面积，a, b ，c 是三角形三边长，r 为三角形
内切圆半径,则三角形面积与其内切圆半径的关系为：S=______________ 特别地，直角三角形三边长与内切圆半径关系为： r=______________
3. 切线长定理
经过圆外一点的切线，这一点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长。

从圆外一
点引圆的两条切线，__________________，________________________________。

4.如何求一个三角形的面积
△ABC 中a ，b ，c 是三角形的三边长，2
a b c
p ++=
方法① 海伦公式()()()S p p a p b p c =---
方法②
b
c a
r
r
r
D
E F I B
A
C
C
A
B
D
【中考衔接】
(天津中考)已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8。

（Ⅰ）如图①，若半径为r 1的⊙O 1是Rt △ABC 的内切圆，求r 1；
（Ⅱ）如图②，若半径为r 2的两个等圆⊙O 1、⊙O 2外切，且⊙O 1与AC 、AB 相切，⊙O 2与BC 、AB 相切，求r 2；
（Ⅲ）如图③，当n 大于2的正整数时，若半径r n 的n 个等圆⊙O 1、⊙O 2、…、⊙O n 依次外切，且⊙O 1与AC 、BC 相切，⊙O n 与BC 、AB 相切，⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3、…、⊙O n －1均与AB 边相切，求r n .
拓展路径1：
C
B
A
C
B
A
C
B
A
拓展路径2：
C
B
A
C
B
A
C
B
A
小结：类比，由特殊到一般，等面积转化。

【实战演练】
【练习1】（2016四川省攀枝花市）如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D 为BC 边的中点，以AD 上一点O 为圆心的⊙O 和AB 、BC 均相切，则⊙O 的半径为．
【练习2】（2011年江苏省南通）如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x 轴上，并与直线y ＝
3
3
x 相切．设三个半圆的半径依次为r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝．【练习3】（2016年福建龙岩第16题）如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S 1，S 2，S 3，…，S 10，则S 1+S 2+S 3+…+S 10= ．
【练习4】（2014山东省济宁市部分）（2）理解应用：如图，在等腰梯形ABCD 中，AB
∥DC ，AB =21，CD =11，AD =13，⊙O 1与⊙O 2分别为△ABD 与△BCD 的内切圆，设它们的半径
分别为r 1和r 2，求
2
1
r r 的值. 【参考答案】
9
1421 r r . O O 1 O 2
O 3
x y
· ·
·
【练习5】（2016广西桂林第23题）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式﹣﹣海伦公式()()()S p p a p b p c =
---（其中a ，
b ，
c 是三角形的三边长，2
a b c
p ++=，S 为三角形的面积），并给出了证明
例如：在△ABC 中，a=3，b=4，c=5，那么它的面积可以这样计算： ∵a=3，b=4，c=5 ∴2
a b c
p ++==6 ∴()()()S p p a p b p c =
---=
=6
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．如图，在△ABC 中，BC=5，AC=6，AB=9
（1）用海伦公式求△ABC 的面积；（2）求△ABC 的内切圆半径r ．
【练习6】（上海市普陀区中考二模）如图，Rt △ABC ，∠ABC ＝90°，圆O 与圆M 外切，圆O 与线段AC 、线段BC 、线段AB 相切于点E 、D 、F ，圆M 与线段AC 、线段BC 都相切，其中AB ＝5，BC ＝12。

求：（1）圆O 的半径r ；
（2）2tan
C ；（即DC OD
）（3）2sin C ；（即OC
OD
）
（4）圆M 的半径M r 。

图①
图②图③。