薄板的屈曲课程课件

2wwk.baidu.comxy
Ny
2w y 2
D
4w x4
2
4w x22 y
4w y4
Nx
2w x2
0
均匀受压简支板
第6章 薄板的屈曲
➢ 小挠度理论板的弹性曲面微分方程
✓单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载
边界条件：
x 0 、x a 时：w 0
2w 2x
0
y 0 、 y b 时：w 0
2w 2 y
0
2w y2
2w xy
2
dxdy
V 1 2
a 0
b 0
Nx
w x
2
Ny
w y
2 N xy
w x
w
y
dxdy
第6章 薄板的屈曲
➢ 能量法计算板的弹性失稳荷载
✓瑞利-里兹法
要求假定的挠曲面函数符合板的几何边界条件。 假定挠曲面函数为：
w Amn x, y m1 n1
D
2
a 0
b 0
2w x2
2w y2
2
2
1
2w x2
2w y2
2w xy
2
dxdy
1 2
a 0
b 0
px
w x
2
dxdy
假定挠曲面函数为： w Ay sin m x
a
代入总势能公式，积分后有：
D 2
A2
m2
a2
2
m2 2b2
6a2
1
ab
px 12
A2
第6章 薄板的屈曲
➢ 小挠度理论板的弹性曲面微分方程
✓弹性曲面微分方程
以弯曲变形后的状态建立x、y、z方向力的平衡方程和绕x轴、y轴的 力矩的平衡方程，合并后有：
D
4w x4
2
4w x22 y
4w y4
Nx
2w x2
2Nxy
2w xy
Ny
2w y2
D Et3 12 1 2
为板的抗弯刚度；
✓按照小挠度理论分析只能得到板的分叉屈曲荷载，根据大挠度理论 分析才能得到板的屈曲后强度和板的挠度。
第6章 薄板的屈曲
➢ 小挠度理论板的弹性曲面微分方程
基本假定：
✓垂直于中面方向的正应变很小，可以忽略。即中面任何一根法线上， 薄板全厚度内的所有点具有相同的挠度；且可以忽略中面因弯曲变 形伸长而产生的薄膜应力。
主要内容:
薄板的屈曲
➢ 小挠度理论板的弹性曲面微分方程
➢ 能量法计算板的弹性失稳荷载
➢ 不同面内荷载作用下板的弹性失稳 ➢ 几种边缘荷载共同作用下薄板的临界条件
➢ 板稳定理论在钢结构设计中的应用
第6章 薄板的屈曲
➢ 钢结构中板的分类：
✓厚板：t / b 1/ 5 ~1/ 8
受力特点：横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形大小同阶，分析时不 能忽略剪切变形的影响。
m x n y
w
Amn sin
m1 n1
a
sin
b
代入平衡方程有：
m1
n1
Amn
m4 4
a4
2
m2n2 4
a2b2
n4 4
b4
Nx D
m2 2
a2
sin
m x sin
a
n y
b
0
满足上式的唯一条件是每一项系数中括号内的式子为零：
m4 4
a4
2
m2n2
a2b2
4
n4
b4
4
Nx D
m2
a2
点的弯矩
M
x
、M
y
和扭矩
M
以及板的挠度
xy
w
都与此点的坐标有关。
✓板的平衡方程属于二维偏微分方程，除了均匀受压的四边简支的理
想矩形板可直接求解分叉屈曲荷载外，对于其他受力条件和边界条
件的板，用平衡法很难求解；需用能量法或数值法求解。
✓理想薄板失稳属于稳定的分叉失稳。对于有刚强侧边支撑的板，会 产生薄膜应力，提高钢板屈曲后的强度（屈曲后强度）。
4 2D b2
a
b kmin 4
第6章 薄板的屈曲
➢ 小挠度理论板的弹性曲面微分方程
✓单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载
板件屈曲系数（四边简支）
第6章 薄板的屈曲
➢ 能量法计算板的弹性失稳荷载
板在微弯状态时的总势能为：
U V
U D
2
a 0
b 0
2w x2
2w y2
2
2 1
2w x2
2
0
或 Nx
2a2D m2
m2 a2
n2 b2
2
第6章 薄板的屈曲
➢ 小挠度理论板的弹性曲面微分方程
✓单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载
临界荷载为板保持微弯曲状态的最小荷载，故取n＝1；
N x,cr
2a2D m2
m2 a2
1 b2
2
2D
b2
a2b2 m2
m2
a2
1 b2
2
k
2D
b2
x,cr
N x,cr t
12
k
1 2
2E
b/t 2
均匀受压板的屈曲应力与板的宽厚比 的平方成反比，而与板的长度无关。
k为屈曲系数，且：
k
ab
m
m2 a2
1 b2
2
b a
m
a mb
2
m
m
2
由
dk dm
0，有
2
m
m
1
m2
0
m
N x,cr ,min
代入总势能公式，积分后利用势能驻值原理，有：
A11
0
A12
0
系数行列式为零
Amn
0
板的屈曲方程
第6章 薄板的屈曲
➢ 能量法计算板的弹性失稳荷载
✓瑞利-里兹法
算例Ⅰ：求解单向均匀受压矩形板的屈曲荷载。板的两加载边和
一个非加载边简支，另一非加载边自由。
由 py pxy 0 ，有总势能为：
Nx、Ny 为板中面沿x、y轴方向单位长度上的应力；
Nxy 为板中面单位长度上的剪力。
第6章 薄板的屈曲
➢ 小挠度理论板的弹性曲面微分方程
✓单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载
单向（x方向）均匀受压四边简支板，N y =Nxy 0 由
D
4w x4
2
4w x22 y
4w y4
Nx
2w x2
2 N xy
✓薄板：1/80 ~1/100 t / b 1/ 5 ~1/8
受力特点：横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形相比可以忽略不计。
✓薄膜：t / b 1/80 ~1/100
受力特点：没有抗弯刚度，依靠薄膜拉力与横向荷载平衡。
第6章 薄板的屈曲
➢ 板失稳的特点：
✓板屈曲时产生出平面的双向弯曲变形（凸曲现象），故板上任何一
m2 2
a2
ab3
由势能驻值原理，有：A
Dm2
a
2b
m2 2b2
a2
1
px
m2 2b3
a
0
第6章 薄板的屈曲
➢ 能量法计算板的弹性失稳荷载
✓瑞利-里兹法
A0
px
m2 2b2
a2
6
1
D b2
2D
b2
1
2
m2 2b2
a2
61
令 m 1，可得px的最小值：
✓应力分量 z 、 zx 和 zy 远小于 x、 y 和 xy ，故可以忽略他们产生的 正应变 z 、剪应变 zx 和 zy 。薄板小挠度弯曲问题可简化为平面应
力问题。
✓薄板弯曲时，中面内各点不产生平行于中面的应变。即在xy平面上 的投影形状不变。类似于受弯构件平截面假定。
✓板为各向同性的弹性体，应力与应变关系服从虎克定律。