拉普拉斯逆变换

k13 (s 1)1
k2 s2
23 页
k11 1
1
d
k12
s2 ds
1 (s 2)2 1
s 1
s 1
k13
1 2
d2 1 s ds 2
2
2
1 k2 (s 1)3
1
s 2
s 1
f (t ) ( 1 t 2 et t et 2et e2t )u(t) 2
X
第
五．F(s)两种特殊情况
s2 k1 (s 2) (s 2)(s 1)2 4
s 2
k3
(s
1)2
(s
s2 2)( s
1)2
1
如何求k2 ?
s 1
X
如何求k2?设法使部分分式只保留k2，其他分式为0
第 20
页
对原式两边乘以(s 1)2
s2 s2
(s
1)2
k1 s2
k2(s
1)
k3
令s 1时,只能求出k3 1,若求k2 ,两边再求导
第 1 页
§ 4.4 拉普拉斯逆变换
X
第
主要内容
2 页
由象函数求原函数的三种方法
部分分式法求拉氏逆变换
两种特殊情况
重点 部分分式法求拉氏逆变换
难点 部分分式法求拉氏逆变换展开法之三：
高阶极点
X
第
一．由象函数求原函数的三种方法
3
页
(1)部分分式法（重点） (2)利用留数定理——围线积分法（了解） (3)数值计算方法——利用计算机（了解）
第 12
例题
求F (s)
(s
s2 3s 7 1)(s2 4s
8)
的逆变换f
(t )。
页
方法1：
p1 1
p2，p3为共轭复数
极点：p2 2 2 j α j β 1, p3 2 2 j α j β 2, 取 0
Fs
s2 3s 7
(s 1)(s 2 j2)(s 2 j2)
pn )
p1 , p2 , p3 pn为不同的实数根
F (s) k1 k2 kn
s p1 s p2
s pn
求出k1, k2 , k3 kn ,即可将F s展开为部分分式
2. 第二种情况：极点为共轭复数
3.第三种情况：有重根存在
X
第一种情况：单阶实数极点
第
8
2s2 3s 3
页
F (s) s3 6s2 11s 6
L1
s
K1 α
jβ
K2 s α
jβ
eα t K1 eβ t K1* eβ t
2eα t Acost Bsint
X
另一种方法
第 18
求下示函数F(s)
的逆变换f(t)：F s
s
s
2
2
页
解：F(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法
利用
L e t sin
t
(s )2
第 21 页
t 0
X
一般情况
第 22
页
A(s) (s p1 )k
k11 (s p1 )k
(s
k12 p1
)k
1
k1(k 1) (s p1 )2
k1k s p1
求k11，方法同第一种情况：
k11 F1(s) s p1 (s p1 )k F (s) s p1
求其他系数，要用下式
1 di1
K1 K2 K3 s1 s 2 j2 s 2 j2
X
求系数方法同情况一
s2 3s 7 F(s) (s 1)(s2 4s 8)
第 13
页
K1 (s 1)F s s1 1
K2
(s
2
j 2) (s
1)( s
s2 3s 7 2 j2)(s
2
j 2)
1j 4
s2 j2
s2 3s 7
24
页
非真分式—— 化为真分式＋多项式
含e s的非有理式
X
第
1.非真分式——真分式＋多项式
25
页
F(s)
s3
5s2 s2 3s
9s 2
7
s2
作长除法 s2 3s 2 s3 5s2 9s 7
s3 3s2 2s
2s2 7s 7
2s2 6s 4
s3
s3
F (s) s 2 s 1s 2 s 2 F1(s)
27
页
es 项不参加部分分式运算 ， 求解时利用时移性质 。
s2
e 2 s 3s
2
F1(s) e2s
1 1 F1(s) s 1 s 2
所以 f1(t) L1 F1(s) et e2t u(t)
f (t t0 ) F(s)est0 f (t) L1 F1(s)e2s
4
4
[et 1 j e-2t (ej2t e-j2t )]u(t ) [et 1 e-2t sin 2t ]u(t )
4
2
[et 1 e-2t cos 2t ]u(t )
2
2
k2
k3
1 4
，
2
2
，3
，
2
结 果 ：2pk2 3e
α
t
jβ cos
2
( t
2j
2)
X
另一种方法
X
第
二．F(s)的一般形式
4 页
通常F s具有如下形式:
F(s)
A(s) B(s)
am s m bn s n
am1sm1 a1s a0 bn1sn1 b1s b0
ai,bi为实数，m,n为正整数。
当m n , Fs为有理真分式
当拉普拉斯变换为有理函数时，可以利用部分 分式将其展开（亥维赛德展开法）
k1i (i 1)! d si1 F1(s)
注意： k次重根，要设k项
s p1
i 1,2,3,k
当i 2,
d K12 d s F1(s) s p1
当i 3,
1 d2 K13 2 d s2 F1(s) s p1
X
第
例： 1 (s 2)(s 1)3
k11 (s 1)3
k12 (s 1)2
所以 f t f1 t 2 e e (t2) 2(t2) u(t 2)
X
将F ( s)分子、分母分别进行因式分解：
X
第
将F ( s)分子、分母分别进行因式分解：
5
页
F(s)
A(s) B(s)
am (s z1 )(s bn(s p1 )(s
z2 )(s zm ) p2 )(s pn )
零点 z1, z2, z3 zm是As 0的根,称为Fs的零点
因为A(s) 0 F(s) 0
当s pi时，(s pi )即B(s)均为零
(s
pi
)
A(s) B(s)
将成为0 0
的不定式
ki
lim [ ( s
s pi
pi )A(s)] B(s)
由罗必塔法则，得
ki
lim[(s
s pi
pi )A'(s) B'(s)
A(s) A(s) ] [ B'(s)]s pi
X
第 11 页
X
2. 第二种情况：极点为共轭复数
X
如何求系数k1, k2, k3``````？（1）F s k1 k2 k3
第 9
s1 s2 s3 页
对等式两边同乘以s 1,且令s 1
右边
(s
1)
k1 s1
k2 s2
k3 s3
s 1
k1
左边 (s 1)F(s) s1
2s2 3s 3 (s 1)
(s 1)(s 2)(s 3)
L
e t
cos
t
2
s (s
)2
F s
s
s
2
2
s
2
2
求得 f t e t cos t α e t sin t t 0
β
X
第
3. 第三种情况：有重根存在
ห้องสมุดไป่ตู้
19 页
F(s)
s2 (s 2)(s 1)2
k1 s2
k2 s1
k3 (s 1)2
k1 为单根系数, k3为重根最高次系数
极点 p1, p2, p3 pn是Bs 0的根,称为Fs的极点 因为B(s) 0 F(s)
X
第
三．拉氏逆变换的过程
6
页
找出F s的极点 将F s展成部分分式 查拉氏变换表求 f t
X
第
四．部分分式展开法(m<n)
7
页
1.第一种情况：单阶实数极点
F(s)
(s
p1 )(s
A(s) p2 )(s
1 所以 k1 1
s 1
同理: k2 (s 2)F(s) s2 5, k3 (s 3)F(s) s3 6
所以 F(s) 1 5 6 s1 s2 s3
X
第
另一种求系数的方法（2）
10 页
F (s) A(s) k1 k2 kn
B(s) s p1 s p2
s pn
A s1
1 2
(
s
2 2)2
22
2,0 2
f t [et 1 e2t sin2 t ] u(t)
2
X
第
第二种情况：极点为共轭复数(通用公式)
16
Fs
As
Ds s α 2 β 2
s
α
F1 s jβ s α
jβ
页
共轭极点出现在 α jβ
F s K1 K2 ......
s α jβ s α jβ
利 用 ：e t
sin0t
02
0
(s
)2
第 15
页
Fs
s
A 1
B(s 2) C (s 2)2 22
通分，分子比较系数，同阶次系数相同
Fs
A[(s 2)2 22 ] (s 1)[B(s 2) C] (s 1)[( s 2)2 22 ]
Fs
1 s1
1 (s 2)2 22
K1
s α jβ Fs
s α jβ
F1α jβ
2 jβ
K2 s α jβ F s s α jβ F2α jβ
可见K1
,
K
成共轭关系：
2
2 jβ
K1 A j B K2 A j B K1*
X
第
求f(t)
17 页
K1 A j B K2 A j B K1*
fCt
右边
d ds
(s
1)2
k1 s2
(s
1)k2
k3
2(s
1)(s
2)k1 (s 2)2
k1 ( s
1)2
k2
0
左边
d ds
(s 1)2 F (s)
d s2
d
s
s
2
2s(s 2) s2 (s 2)2
s2 4s (s 2)2
X
右边
2(s
1)( s
2)k1 (s 2)2
1
K2
(s
2
j 2) (s
1)( s
2
j 2)( s
2
j 2)
j 4
s2 j2
可见K2 ,
K3成共轭关系：K3
K
2
F(s) 1
1j 4
1j 4
s1 s 2 j2 s 2 j2
X
F(s) 1
1j 4
1j 4
第 14
页
s1 s 2 j2 s 2 j2
f t [et 1 j e-(2j2)t 1 j e-(2 j2)t ]u(t )
k1 ( s
1)2
k2
0
左边
d ds
(s 1)2 F (s)
s2 4s (s 2)2
此时令s
1, 右
k2
左边
s2 4s (s 2)2
3
所以 k2 3
s 1
逆变换
4 3 1 F (s) s 2 s 1 (s 1)2
f (t) L1 F(s) 4e2t 3et t et
X
第
26
s3
F (s) s 2 s 1s 2 s 2 F1(s)
页
L1[s 2] t 2 t
L1[F1(s)] (2et e2t )u(t)
f t t 2 t 2et u(t) e2t u(t) F(s)为真分式时，f t含 t及其导数项
X
第
2.含e-s的非有理式
(1)找极点 F s 2s2 3s 3
(s 1)(s 2)(s 3)
(2)展成部分分式 F s k1 k2 k3
s1 s2 s3 求系数 所以 F (s) 1 5 6
s1 s2 s3
(3)逆变换 根据L e t ut 1 s α
得 : f (t) et 5e2t 6e3t t 0