圆锥曲线的最值问题常见类型及解法
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要使|MF|+|MA|最大，即要使|MA|-|MF’|最大， 连AF’，延长交椭圆于M’ 则| |MA|-|MF’| | ≤ |AF’| 当且仅当M,A,F’三点共线时，等号成立。 ∴ |MA|-|MF’|的最大值为 |AF’|，这时M与M’ 重合
∵ |AF’|= [1（4） ]2 1 26 ∴ |MF|+|MA| 的最大值为 10 26
2M NAD BC ,MN 2 py01 4y0,
y
B M
ADBC2(1 4y0)
AF
o
x
D
NC
AD A,F BC BF
1 AFBF2(4y0)
AB 中 ,A F F B FA B 2
(A | | F |B|) F m in 2即y0min
3 4
类型二：圆锥曲线上点到某条直线的距离
的最值
切线法
A（1，4），P是双曲线右支上动点，则 PF PA
的最小Байду номын сангаас为
.
yA
解析：设双曲线右焦点为F/
P
PF PA
PF PF PA PF F
x
2a PA PF
4 AF 9
例2： 已知椭圆
x2
y2
1的右焦点F，且有定点A（1，1），
25 9
又点M是椭圆上一动点。问|MA|+|MF|是否有最值，
o
x
切线与直线 y x 2 3 的距离为
最值，切点就是所求的点.
例2、求椭圆 x 2 y 2 1 上的点到直线 y x 2 3的距 2
离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标.
解：设椭圆与 y x 2 3平行的切线方程为 y x b
y xb
x2 2
y2
1
3x2 4bx2b2 20 (1) (4b)2 43(2b2 2) 0
∴m2=52， m=±2 13
∴圆上的点到直线的最短距离即为两平行直线间的距离
162 13 1613
dmin
2
13
13
例2、求椭圆 x 2 y 2 1 上的点到直线 y x 2 3的距 2
离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标.
思维导图：
y
求与 y x 2 3平行的椭圆
的切线
x2 y2 1 4
上点的最大距离，
并求出此时椭圆上的点的坐标。
分析：
本题可以根据椭圆的方程设出满足条件的 点的坐标，然后根据两点间的距离公式借 助于二次函数求出此最大值，并求出点的 坐标。
例3
求点 P ( 0，3 )到椭圆
2
x2 y2 1 4
上点的最大距离，
并求出此时椭圆上的点的坐标。
解： 设点 Q(x,y)为椭圆 x2 y2 1 上的任意一点，
16 13 13
r 所以圆上的点到直线的最短距离为 d=d1-
16 13 2 13
问题：直线L的方程改为 3x-2y-6=0， 其结果又如何？
思考： 例1是否还有其他解题方法？
另解：设平行于直线L且与圆相切的直线方程：3x-2y+m=0 代入圆x2+y2=4整理得：13x2+6mx+m2-16=0 ∵直线与圆相切 ∴△=36 m2-52(m2-16)=0
b 3
1)当b
3时,代入(1)得dmin
6; 2
2)当b
3时,代入(1)得dmax
3 6. 2
变式训练：
动点P在抛物线 y 2 x 上，则点P 到直线 y x4 的距离最小时，P点的坐
标为_________.
类型三：圆锥曲线上点到x轴（Y轴）上某
定点的距离的最值
例3
求点 P ( 0，3 )到椭圆 2
问题：本题解题到此结束了吗？
最小值为 10 26
变式训练：
1 . 已知P点为抛物线 y 2 4 x 上的点，那
么P点到点Q（2，-1）的距离与P点到抛物线焦
点的距离之和的最小值为 _ __，此时P点坐
标为
_.
y
x Q
2、已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标 的最小值.
解法： 设 A (x 1 ,y 1 )B ,(x 2 y 2 )A ,中 B M (x 点 0 ,y 0 )
4
则 PQ 2 （x0）2 (y3)2
2
又因为x2 = 4- 4y2
所以
PQ
2
44y2 y2 3y93y2 3y25
4
4
3(y1)2 7 2
（－1≤y≤1）
所以 PQ 的最大值为
7
此时， y1，x 3
2
即此时Q的坐标为：（3， 1） 、（ 3， 1）
2
2
思考题：
求 ： P(0点 ,m)使 , 其 到 x2椭 y2圆 1上 的 4
若有，求出最值并指出点M的坐标
分析：
如图，由椭圆的定义：椭圆上的点到两个 定点之间的距离为定值
|MF|+|MF’|=10
|MF|+|MA|=10- |MF’|+|MA|=10+ (|MA|-|MF’|)≤10+ |AF’|
因此，当|AF’|最大时， |MA|+|MF|是最大值。 具体解题过程如下：
解： 设椭圆的左焦点为F’ 则F’的坐标为(－4,0) 由椭圆的定义得： |MF|+|MF’|=10 |MF|+|MA|=10- |MF’|+|MA|
关键：用好圆锥曲线的定义
例1、已知点F是双曲线 x 2 y 2 1 的左焦点，定点 4 12
A（1，4），P是双曲线右支上动点，则 PF PA
的最小值为
.
yA
思维导图：
P
根据双曲线的定义，建立点A、
P与两焦点之间的关系
F
x
两点之间线段最短
例1、已知点F是双曲线 x 2 y 2 1 的左焦点，定点 4 12
当所求的最值是圆锥曲线上点到某条 直线的距离的最值时，可以通过作与这条 直线平行的圆锥曲线的切线，则两平行线 间的距离就是所求的最值，切点就是曲线 上取的最值时的点。
例1：
在圆x2+y2=4上求一点P，使它到直线L：3x-2y-16=0 的距离最短。
略解： 圆心到直线L的距离d1=
16 32 22
最 大 距7。 离 是
变式训练：
已知双曲线C：x 2 y 2 1 ，P为C
4
上任一点，点A（3，0），则|PA|的最小 值为________.
类 例1： 已知抛物线y2=4x，以抛物线上两点 型 A(4,4)、B(1,-2)的连线为底边的△ABP，其顶点P
圆锥曲线的最值问题常见类型及解法
高考地位:
最值问题是高考的热点，而圆锥曲线 的最值问题几乎是高考的必考点，不仅会 在选择题或填空题中进行考察，在综合题 中也往往将其设计为试题考查的核心。
类型一:两条线段最值问题
利用圆锥曲线的定义求解 根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化 为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等， 这是求圆锥曲线最值问题的基本方法。
∵ |AF’|= [1（4） ]2 1 26 ∴ |MF|+|MA| 的最大值为 10 26
2M NAD BC ,MN 2 py01 4y0,
y
B M
ADBC2(1 4y0)
AF
o
x
D
NC
AD A,F BC BF
1 AFBF2(4y0)
AB 中 ,A F F B FA B 2
(A | | F |B|) F m in 2即y0min
3 4
类型二：圆锥曲线上点到某条直线的距离
的最值
切线法
A（1，4），P是双曲线右支上动点，则 PF PA
的最小Байду номын сангаас为
.
yA
解析：设双曲线右焦点为F/
P
PF PA
PF PF PA PF F
x
2a PA PF
4 AF 9
例2： 已知椭圆
x2
y2
1的右焦点F，且有定点A（1，1），
25 9
又点M是椭圆上一动点。问|MA|+|MF|是否有最值，
o
x
切线与直线 y x 2 3 的距离为
最值，切点就是所求的点.
例2、求椭圆 x 2 y 2 1 上的点到直线 y x 2 3的距 2
离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标.
解：设椭圆与 y x 2 3平行的切线方程为 y x b
y xb
x2 2
y2
1
3x2 4bx2b2 20 (1) (4b)2 43(2b2 2) 0
∴m2=52， m=±2 13
∴圆上的点到直线的最短距离即为两平行直线间的距离
162 13 1613
dmin
2
13
13
例2、求椭圆 x 2 y 2 1 上的点到直线 y x 2 3的距 2
离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标.
思维导图：
y
求与 y x 2 3平行的椭圆
的切线
x2 y2 1 4
上点的最大距离，
并求出此时椭圆上的点的坐标。
分析：
本题可以根据椭圆的方程设出满足条件的 点的坐标，然后根据两点间的距离公式借 助于二次函数求出此最大值，并求出点的 坐标。
例3
求点 P ( 0，3 )到椭圆
2
x2 y2 1 4
上点的最大距离，
并求出此时椭圆上的点的坐标。
解： 设点 Q(x,y)为椭圆 x2 y2 1 上的任意一点，
16 13 13
r 所以圆上的点到直线的最短距离为 d=d1-
16 13 2 13
问题：直线L的方程改为 3x-2y-6=0， 其结果又如何？
思考： 例1是否还有其他解题方法？
另解：设平行于直线L且与圆相切的直线方程：3x-2y+m=0 代入圆x2+y2=4整理得：13x2+6mx+m2-16=0 ∵直线与圆相切 ∴△=36 m2-52(m2-16)=0
b 3
1)当b
3时,代入(1)得dmin
6; 2
2)当b
3时,代入(1)得dmax
3 6. 2
变式训练：
动点P在抛物线 y 2 x 上，则点P 到直线 y x4 的距离最小时，P点的坐
标为_________.
类型三：圆锥曲线上点到x轴（Y轴）上某
定点的距离的最值
例3
求点 P ( 0，3 )到椭圆 2
问题：本题解题到此结束了吗？
最小值为 10 26
变式训练：
1 . 已知P点为抛物线 y 2 4 x 上的点，那
么P点到点Q（2，-1）的距离与P点到抛物线焦
点的距离之和的最小值为 _ __，此时P点坐
标为
_.
y
x Q
2、已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标 的最小值.
解法： 设 A (x 1 ,y 1 )B ,(x 2 y 2 )A ,中 B M (x 点 0 ,y 0 )
4
则 PQ 2 （x0）2 (y3)2
2
又因为x2 = 4- 4y2
所以
PQ
2
44y2 y2 3y93y2 3y25
4
4
3(y1)2 7 2
（－1≤y≤1）
所以 PQ 的最大值为
7
此时， y1，x 3
2
即此时Q的坐标为：（3， 1） 、（ 3， 1）
2
2
思考题：
求 ： P(0点 ,m)使 , 其 到 x2椭 y2圆 1上 的 4
若有，求出最值并指出点M的坐标
分析：
如图，由椭圆的定义：椭圆上的点到两个 定点之间的距离为定值
|MF|+|MF’|=10
|MF|+|MA|=10- |MF’|+|MA|=10+ (|MA|-|MF’|)≤10+ |AF’|
因此，当|AF’|最大时， |MA|+|MF|是最大值。 具体解题过程如下：
解： 设椭圆的左焦点为F’ 则F’的坐标为(－4,0) 由椭圆的定义得： |MF|+|MF’|=10 |MF|+|MA|=10- |MF’|+|MA|
关键：用好圆锥曲线的定义
例1、已知点F是双曲线 x 2 y 2 1 的左焦点，定点 4 12
A（1，4），P是双曲线右支上动点，则 PF PA
的最小值为
.
yA
思维导图：
P
根据双曲线的定义，建立点A、
P与两焦点之间的关系
F
x
两点之间线段最短
例1、已知点F是双曲线 x 2 y 2 1 的左焦点，定点 4 12
当所求的最值是圆锥曲线上点到某条 直线的距离的最值时，可以通过作与这条 直线平行的圆锥曲线的切线，则两平行线 间的距离就是所求的最值，切点就是曲线 上取的最值时的点。
例1：
在圆x2+y2=4上求一点P，使它到直线L：3x-2y-16=0 的距离最短。
略解： 圆心到直线L的距离d1=
16 32 22
最 大 距7。 离 是
变式训练：
已知双曲线C：x 2 y 2 1 ，P为C
4
上任一点，点A（3，0），则|PA|的最小 值为________.
类 例1： 已知抛物线y2=4x，以抛物线上两点 型 A(4,4)、B(1,-2)的连线为底边的△ABP，其顶点P
圆锥曲线的最值问题常见类型及解法
高考地位:
最值问题是高考的热点，而圆锥曲线 的最值问题几乎是高考的必考点，不仅会 在选择题或填空题中进行考察，在综合题 中也往往将其设计为试题考查的核心。
类型一:两条线段最值问题
利用圆锥曲线的定义求解 根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化 为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等， 这是求圆锥曲线最值问题的基本方法。